基于大样本不完整数据的岩爆致因特征及预测模型

Causative Characteristics and Prediction Model of Rockburst Based on Large and Incomplete Data Set

摘要

为判别影响岩爆的敏感性因素并构建不完整数据条件下的岩爆预测方法，在收集到429组国内外岩爆案例的基础上建立大样本数据库，归纳总结岩爆致因分布特征及规律，选取埋深、岩石单轴抗压强度、岩石单轴抗拉强度、围岩最大切向应力、弹性应变能量指数、岩体完整性系数6个评价指标，利用贝叶斯网络建立基于大样本不完整数据集的岩爆概率预测模型，并进行敏感性分析和工程应用.分析发现围岩最大切向应力与岩体完整性系数对岩爆的影响较大，所建模型对信息缺失率为20%的岩爆案例预测吻合率达83.3%，且预测效果优于常用岩爆经验判据.结果表明所选取的预测指标能够综合考虑岩爆的影响因素，所建立模型对于深部岩爆灾害的预测具有适用性和可靠性.

关键词

岩爆 / 致灾因素 / 敏感性分析 / 概率预测 / 不完整数据集 / 灾害地质

Key words

rockburst / disaster-inducing factor / sensitivity analysis / probabilistic prediction / incomplete data set / hazard geology

0 引言

岩爆是在高应力地区施工时，洞室围岩由于开挖卸载产生应力分异作用，硬脆性围岩中积聚的弹性应变能突然释放造成的剥离、崩落、弹射的一种动力失稳灾害（徐林生等，2002），在深埋地下工程施工中出现频率高且危害性大，往往会造成人员伤亡和经济损失（Liu et al.， 2016；冯夏庭等，2019；何满潮，2021）.在世界范围内最早的岩爆事件可以追溯到1738年的英国，在此之后开始有大量岩爆数据的记载，随着社会经济的发展，走向深部，向深部要资源是必然趋势（Zhao and Chen，2021），各种大型地下工程施工相继开展，建设的难度和危险性逐步增加，岩爆案例数量也呈现出快速增长的趋势，岩爆实例记录资料不断丰富，因此，归纳分析岩爆影响因素以及如何有效预测岩爆已成为深部发展亟待解决的一道难题.

近几年来，基于多影响因素的岩爆综合预测方法成为岩爆预测研究的热点，如模糊综合评价模型（Wang et al.，2015）、物元可拓模型（胡建华等，2013）、云模型（Zhou et al.， 2012）、决策树模型（Zhao et al.， 2021）、支持向量机模型（冯夏庭和赵洪波，2002；杨玲和魏静，2023）和神经网络模型（杨涛和李国维，2000），该类方法达到了较好的预测效果，但由于是基于信息完备的基础上实现的，在实际应用中普遍存在数据难以获取及案例信息不完整的情况，导致其具有一定的局限性.Pearl（1986）提出贝叶斯网络（Bayesian Network，BN）方法，能够对信息不完整数据进行预测，Sousa et al.（2017）在分析影响岩爆发生因素的基础上，建立了3种BN模型，并证明其是一种可行的预测手段；Li et al.（2017）基于135个不完整数据案例作为学习样本构建了岩爆预测的BN模型，并通过验证表明该模型能够很好地处理不完整数据；Maxutov and Adoko（2021）基于214个案例，通过BN方法建立了岩爆预测模型.上述研究均证实了BN方法能够对不完整数据案例进行分析，其在一定程度上克服了神经网络、支持向量机等机器学习方法难以训练不完整数据的缺点，但是当所采用的岩爆案例较少且局限于部分工程时，模型网络结构合理性及节点条件概率的精度难以保障，导致模型适用性偏低.近些年来，随着大量深埋地下工程的兴建，岩爆实例记录资料不断丰富，亟需弥补与完善岩爆案例数据库，系统归纳岩爆影响因素及其特征规律，在此基础上开展大样本不完整数据集条件下的岩爆预测模型及适用性研究.

鉴于此，本文在整理国内外大量文献资料的基础上，收集到429组岩爆案例，采用聚类分析与数理统计的方法，归纳总结出在深埋地下工程中各影响因素的特征，并在考虑数据集不完整的情况下开展基于BN的岩爆概率预测模型研究，根据敏感性分析探讨各指标对岩爆的影响程度，最后利用模型对重大深埋地下工程案例进行岩爆概率预测，评价所构建模型的适用性和可靠性.

1 岩爆数据库构建及影响因素分布统计

1.1　岩爆数据库构建

岩爆的发生受岩性、节理构造、岩体聚集的能量、地应力等多种因素的共同影响，综合考虑岩爆形成机理及工程实际情况，选取隧道埋深H、岩石单轴抗压强度σ_c 、岩石单轴抗拉强度σ_t 、围岩最大切向应力σ_θ 、岩石弹性应变能量指数W_et 和岩体完整性系数K_v 这6个常用指标构建数据库.其中，埋深H直接决定地应力水平，一般而言，埋深越大，强岩爆风险越高（严孝海等，2022）；岩石单轴抗压强度σ_c 和岩石单轴抗拉强度σ_t 反映了岩石硬度和脆性特征（Bao et al.， 2022）；围岩最大切向应力σ_θ 反映了工程开挖卸荷后洞壁围岩应力集中程度，且间接考虑洞室开挖卸荷的影响；弹性应变能量指数W_et 反映了岩体能量聚集程度； K_v 反映了岩体的完整性大小，决定岩体储能程度.本文通过文献分析，对江边水电站、锦屏二级水电站、桑珠岭隧道、大相岭隧道等国内外重大工程中的岩爆事件进行整理，收集到429组岩爆工程案例，其中，无、轻微、中等与强烈岩爆案例的占比分别为21.7%、25.9%、34.5%与17.9%，6项指标对应数据的总缺失率约为20%，工程来源分布如图1所示，可见本文所收集的数据库具有普适性，部分岩爆案例如表1所示.

1.2　岩爆影响因素分布规律

对数据库各指标分别绘制如图2所示的岩爆案例分布直方图，由图2a可知埋深大部分大于250 m，说明所收集的案例均为深埋地下工程；经过大量的实践证明，岩爆易发生在强度高、脆性大和刚度大的岩体中，由图2b和图2c可知，岩石单轴抗压强度和岩石单轴抗拉强度分别在70~175 MPa和3~ 9 MPa范围内的占比最高，说明隧道开挖过程中所遇到的岩石几乎为坚硬岩石，易出现岩爆现象；K_v 可以衡量岩体的完整性，岩体越完整越有利于岩体内部应变能的储存（Bao et al.，2020），由图2f可知，岩体完整性系数平均值为0.7且大部分分布于0.6~0.8，表明岩体均比较完整，极易发生岩爆现象；岩石弹性能指数越大，说明围岩的储能能力较强，由图2e可知，岩石弹性应变能量指数大部分位于2~6，说明出现岩爆现象的概率较大；高地应力是岩爆发生的重要能量来源和最关键因素，图2d表明围岩最大切向应力多处于40~60 MPa，可见大部分为高地应力地区，极易发生岩爆.综上可知，这6个指标均对岩爆的产生有着重要的影响作用，且在深埋地下工程中各指标均表明大概率有岩爆事件的发生，因此在施工过程中应及时预测岩爆发生概率并进行处理，防止岩爆灾害以及减少所带来的损失.

1.3　岩爆案例聚类分析及预测指标评价

在获取岩爆数据时，不可避免地存在误差，导致建立的数据库中存在极少数较为离散的数据，如果不对其进行识别与剔除，将导致后续建模的精度有所降低.因此，在构建岩爆概率预测模型之前有必要对数据库异常值进行剔除.聚类分析是依据研究对象的特征对其进行分类的方法，通过将具有相似性质的对象归为一类，性质不同的对象归为另一类，从而识别出较为离散化的异常数据.本文将案例分等级分指标进行聚类分析，以无岩爆情况下岩石单轴抗压强度σ_c 为例，选出数据库中无岩爆案例对应的σ_c 数据集，通过聚类计算分析，将距离最近的两类合并成为一类，重复此步骤直至将所有数据归为一类为止，归类结束后绘制出的谱系图如图3所示，将距离在一定范围且比较集中的数据归为I类，可以作为无岩爆情况下岩石单轴抗压强度的代表，剩余数据为距离中部稍远的离散点，归为II类，可不予考虑，其余各等级各评价指标异常值剔除方法类似（由于埋深信息的获取较为准确，故不对其进行异常值的剔除），各指标各岩爆等级异常值剔除情况如表2所示，各等级单项指标对应异常值剔除比不超过5%，总体剔除比约2%.

异常值剔除后各评价指标样本分布如图4所示，可见，随着岩爆等级的提高，各指标数值都呈现出上升趋势，尤其是σ_θ 、K_v 、σ_c 较其他指标的上升幅度明显，表明该指标对岩爆等级的区分度较强，是影响岩爆的敏感因素，但位于各等级两端的数据值有所重叠，难以判断处于何种岩爆等级，在考虑1.1节对指标统计分析的结果基础上，选取6个评价指标构建岩爆概率预测模型，能够综合考虑各指标对岩爆等级的影响，避免单一指标带来的片面性.

2 岩爆预测模型构建

本文建立岩爆BN模型的主要流程如图5所示：（1）模型结构分析阶段，在分析选取合理的岩爆评价指标后，通过创建的岩爆数据库进行相关性分析，结合专家经验构造岩爆预测的初始BN结构模型.（2）模型参数确定阶段，将案例数据按照离散化标准处理后，通过BN算法进行参数学习，建立岩爆概率预测的BN模型，并采用回判与十折交叉验证判断模型是否满足要求，若不满足要求，需进行反馈优化，对岩爆预测评价指标重新进行分析、选取，再次建立岩爆概率预测的BN模型.

2.1　BN原理

贝叶斯网络又称信度网络，是一种以贝叶斯公式为基础的图形化网络，由有向无环图和条件概率表（CPT）组成（Zhang et al.， 2020）：（1）有向无环图定性表示各变量之间的相互关系，可分为节点和有向线段两部分，每个节点表示一个随机变量，每条有向线段表示两个随机变量之间的依赖关系.节点类型包括证据节点、中间节点和目标节点，证据节点表示可获得的数据，能够作为推理的前提条件；目标节点表示所探究的问题，能够通过推理获得相应概率；中间节点是除了目标节点和证据节点之外的节点.（2）条件概率表定量地表示了相邻变量之间依赖关系的强弱，贝叶斯理论中假设某试验E的样本空间为Ω，A为E的事件，B₁，B₂，⋯，B_n 为Ω的一组分割，且P（A）>0，P（B_i ）>0， i=1，2，⋯，n，则由条件概率公式（3.1）、乘法公式（3.2）和全概率公式（3.3）可得到贝叶斯公式（3.4），其中P（B_i ）为先验概率，P（B_i|A）为后验概率，P（A|B_i ）为事件B_i 发生条件下事件A发生的概率，即条件概率.贝叶斯定理表示导致一个事件发生的若干原因对这个事件产生的影响有多大.

P \left(A\left|B\right.\right) = \frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)},（3.1）

P \left(AB\right) = P \left(A\right) P \left(B\left|A\right.\right),（3.2）

\begin{array}{l}P\left(A\right)=P\left(A{B}_{\mathrm{1}}\right)+P\left(A{B}_{\mathrm{2}}\right)+\cdots +P\left(A{B}_n\right)=\\ P\left(A\left|B_{\mathrm{1}}\right.\right)P\left(B_{\mathrm{1}}\right)+P\left(A\left|B_{\mathrm{2}}\right.\right)P\left(B_{\mathrm{2}}\right)\\ +\cdots +P\left(A\left|B_n\right.\right)P\left(B_n\right)=\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}P\left(B_i\right)P\left(A\left|B_i\right.\right),\end{array} （3.3）

P \left(B_i\left|A\right.\right) = \frac{P\left(A\left|B_i\right.\right)P\left(B_i\right)}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}P\left(B_i\right)P\left(A\left|B_i\right.\right)},（3.4）

在已知先验概率和条件概率之后，可以得到如式（3.5）所示的包含所有节点的联合概率分布，式中P｛x ₁ ，x ₂ ，……，x_n ｝表示每个节点取特定值时的联合概率分布，parent（x_i ）表示x_i 父节点变量的值.

P \left\{x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n\right\} = {\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^n} P\left\{x_i|parent\left(x_i\right)\right\} .（3.5）

2.2　网络结构确定

BN由有向无环图和条件概率表组成，故BN建立过程包括结构学习和参数学习两部分，结构学习是为了确定网络结构，并为参数学习提供基础.

由图5可知，首先应确定模型的网络结构，根据前人的研究发现，岩爆发生受岩性、应力和节理构造等条件的共同影响，并参考1.2节的分析，将σ_c 、K_v、σ_θ 作为中间层，其余3个指标W_et、σ_t、H作为顶层，岩爆等级作为底层；同时，根据指标之间的相关程度对模型关系进行修正、完善，通过对6个指标分别和岩爆等级进行双变量相关分析，结果如表3所示，可见，所选取的评价指标与岩爆等级之间的相关度均是显著的，其中K_v 与岩爆等级的相关性最强，为0.751，其次为σ_θ，其间相关程度达到0.593，综上拟构建出图6所示的岩爆预测初始BN结构模型.

2.3　网络参数学习

参数学习通过对数据库进行学习而得到各节点的概率分布表，从而构建出完整的BN模型，可以定性、定量地分析待解决问题.

由于所建立的岩爆概率预测模型对离散数据处理效果较好，因此需要对连续变量进行离散后再进行参数学习，本文按照等频数的原则对数据进行分类，由于样本集中评价指标埋深（H）数据分布的范围较广，将其划分为5类，其余5个指标划分为4类，岩爆样本各指标离散等级区间划分如表4所示，按照该方法对学习样本进行离散，并在考虑模型准确性的基础上，将岩爆烈度等级为轻微岩爆（即岩爆破坏深度<0.5 m）和中等岩爆（即岩爆破坏深度为0.5~1.0 m）的情况合并为弱岩爆等级，因此该模型岩爆评价等级为3类，分别为无岩爆、弱岩爆和强岩爆.

在数据离散后，对拟建立好的岩爆预测初始BN结构模型进行参数学习，来获得各节点的CPT.贝叶斯网络具有条件独立性，其反映的是整个数据库中数据间的概率关系模型，部分数据缺失仍然可以建立较为精确的模型.为提高模型的精度，对于不完整数据采用期望最大化算法（EM算法）进行补充，该迭代算法通过式3.6所示的E步（期望步）计算当前参数θ的似然函数期望，通过式3.7所示的M步对E步获得的似然函数最大化，将结果替换为下一期望，两部分反复迭代直至收敛，能够弥补数据缺失的情况，采用该方法进行参数学习，得到如图7所示的基于BN的岩爆概率预测模型.

l ( \theta , {\theta }_j ) = {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n} \sum _{z_i}p(z_i|x_i,{\theta }_j)\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{p(x_i,z_i;\theta )}{p(z_i|x_i,{\theta }_j)},（3.6）

{\theta }_{j+\mathrm{1}} = \mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{g} \mathrm{m} \mathrm{a} \mathrm{x} l ( \theta , {\theta }_j ) .（3.7）

2.4　岩爆概率预测的BN模型验证

基于BN的岩爆概率预测模型构建完成后，需对其整体性能和预测准确性进行判定，以保证模型满足要求，此过程可以通过回判以及交叉验证完成.

利用已经建立好的岩爆概率预测模型对学习样本进行回判，并与表5所示的前人提出的4种岩爆预测方法（宫凤强等，2010）进行对比，各方法预测准确率对比如图8所示.可以看出，本文所建立的BN模型回判准确率总体达到82.3%，均高于其余岩爆预测方法，在一定程度上说明了该模型的可靠性.通常情况下，强岩爆风险的预测在洞室施工中备受关注，由图8可见，相比于Russense判据和Kidybinski判据，该模型对于强岩爆的预测准确率看上去偏低，经分析存在两方面原因；一方面，这些判据无法对部分指标信息缺失案例进行预测，验证时所采用的强岩爆案例数量不等，均少于BN模型案例，影响准确率对比结果，因此，进一步给出了相同案例情况下BN模型与各判据预测的强岩爆吻合率对比效果，如图9所示，可以看到，BN模型在预测强岩爆方面的准确率与Russense判据和Kidybinski判据基本接近（相差在4%范围以内）.另一方面，Russense判据和Kidybinski判据将过多非强岩爆案例误判为强岩爆，图10给出了各类方法对于强岩爆的误判率对比结果，可见，BN模型的误判率最低，而Russense判据和Kidybinski判据的误判率远高于BN模型（约高出25%~31%），易将其他低等级案例误判为强岩爆风险，这也是导致图8中这两类判据对应的强岩爆预测吻合率较高的主要原因，误判率过高并不利于现场施工，易导致防治策略过于保守.综上来看.所构建的岩爆预测BN模型验证吻合率总体较高且误判率低，且适用于案例信息不完备的情况 ，表明所建立模型的适用性较强，弥补了之前经验判据的不足.

交叉验证方法有3种，第1种方法为简单交叉验证，随机在样本中抽取少于1/3的数据作为验证样本，其余数据作为训练样本；第2种方法为K折交叉验证，随机将样本数据均分为K组（K一般取值5~10），分别将每一小组作为验证样本，其余K-1组作为训练样本，平均K次的验证准确率作为评判模型的性能指标；第3种方法为留一验证，假设共有N个样本，分别将每个样本作为验证样本，其余N-1个样本作为训练样本，得到N个模型，将这N个模型的准确率取平均值作为评判模型的性能指标.第1种方法模型的准确率有很大的偶然性，得到的模型性能指标说服力不足；第3种方法弥补了简单交叉验证方法偶然性过大的缺点，但是当数据量过大时，计算复杂.因此采用K折交叉验证，并取K=10，即随机将数据库分为10组，前九组包含43个数据，第10组包含42个数据，分别取1组数据作为验证样本，其余9组作为学习样本，重复10次，记录每次验证准确率并计算平均值，结果如图11所示，从图中可以发现10次验证准确率均在73%以上，且准确率平均值为76%，表明岩爆模型的稳定性和准确性较好，能够有效预测岩爆发生烈度.值得注意的是，若在模型验证阶段，回判及交叉验证准确率不满足要求，则需要返回至模型结构分析阶段进行优化，直至岩爆概率预测模型符合要求.

3 岩爆敏感性指标的判别

3.1　岩爆各预测指标的敏感程度

当模型中某个指标的参数发生改变时会对目标节点造成影响，且各指标的影响程度不同.为了判别岩爆等级的敏感因素，可采用敏感性分析方法，通过改变各节点概率来量化这些变化对目标节点所产生的影响.本文通过互信息（Mutual information）的方法实现敏感性分析，其分析结果见表6，互信息衡量两个变量之间的关系强弱，百分比对强弱关系进行定量表示，数值越大表示该指标对岩爆等级的影响越大，意味着该指标对岩爆等级越敏感，从表中可以看出对岩爆等级影响最大的是围岩最大切向应力，其次是岩体完整性系数.

3.2　高敏感性指标对岩爆的影响

利用BN模型推理，在基于节点信息已知条件下，借助学习到的条件概率计算其余节点的后验概率，来进一步分析以上两个高敏感性指标对于岩爆等级的影响量化程度，过程如下.

3.2.1　围岩最大切向应力σ_θ 对岩爆等级的影响

当确定某个节点的状态时，模型将自动更新整个网络节点的概率，分别将岩爆概率预测BN模型中σ_θ 的状态设置为低应力状态、中等应力状态、高应力状态、极高应力状态，岩爆各状态概率变化如图12所示.可见，随着围岩最大切向应力的增强，无岩爆发生概率明显下降；弱岩爆发生概率呈现出先上升后下降的趋势，从处于低应力状态时的46.3%上升到处于中等应力状态时的88.8%，再下降到处于极高应力状态时的45.4%；强岩爆发生概率在处于中等应力状态时呈现出大幅度上升，从2.96%上升到处于极高应力状态时的54.6%，表明岩爆剧烈程度会随着围岩最大切向应力增加而显著加剧.

3.2.2　岩体完整性系数K_v 对岩爆等级的影响

本文分别将岩爆概率预测BN模型中K_v 的状态设置为完整性差、中等完整、完整、极完整状态，岩爆各状态概率变化如图13所示，虽然各岩爆等级概率的变化幅度较小，但是也从某种程度反映岩体完整性系数对岩爆等级各状态的变化产生影响.

具体而言，随着岩体完整性系数的增强，弱岩爆发生概率一直处于高位；无岩爆发生概率呈现出先小幅度上升后下降趋势，并一直处于发生概率较低状态；强岩爆发生概率在处于完整状态时大幅度上升，在处于极完整状态时，概率与弱岩爆相近，为41.6%.虽然在4种状态下的预测结果均为弱岩爆，但强岩爆出现概率逐步提升，表明相同条件下，随着岩体完整性增加，发生强岩爆的可能性逐渐增大.

4 工程应用

为了进一步检验所构建模型在实际应用中的预测效果，选取共30个数据库之外的工程案例进行预测分析，涉及巴玉隧道、桑珠岭隧道、江边水电站、锦屏二级水电站、双江口水电站、秦岭隧道等国内重大工程，各工程基本信息如表7所示，表8给出了对应案例实测数据，其中，数据缺失率为20%.

采用前文所构建的岩爆概率预测BN模型对30个案例进行预测，结果见表8，并与前人提出的4种岩爆判据的预测准确率进行对比，结果如图14所示.可以看出，BN模型预测总体准确率为83.3%，均高于其余4种方法，说明所提出的模型预测准确性较好.此外，该模型对上述案例均可进行预测，而另外4种方法对部分数据缺失案例预测失效，表明该模型能够有效解决案例信息不完整的情况.进一步来看，该BN模型对于无岩爆与弱岩爆案例预测效果更好，强岩爆案例预测准确率相对偏低，究其原因，主要是强岩爆预测案例较少，且存在部分指标信息缺失，预测结果随机性增大，影响模型预测精度.

5 结论

（1）通过所收集的国内外429组大样本岩爆案例的统计分析，发现绝大多数岩爆发生在250 m深度以下，围岩最大切向应力主要为40~60 MPa，岩爆区岩石单轴抗压强度和岩石单轴抗拉强度分别主要分布在70~175 MPa和3~9 MPa范围，岩体完整性主要介于0.6~0.8，岩爆区岩石弹性能指数多处于2~6，以上有关岩爆的致因统计分析结果能够为岩爆倾向性判别提供依据.

（2）针对大样本不完整岩爆案例数据集，构建了基于BN方法的岩爆优化概率预测模型，案例回判结果显示，模型的准确率为82.3%，进一步利用该模型针对国内多个重点地下工程中的30组岩爆案例进行应用，预测准确率高于前人提出岩爆判据预测方法，达到83.3%.结果表明，所构建的基于大样本不完整数据集的模型综合考虑了多种致灾因素对岩爆的影响，能够适用于不同指标参数组合的实际工程情况，具有可靠性和适用性，弥补了一般岩爆预测方法在预测信息不完整情况时的短板.

（3）针对岩爆各影响指标的敏感性分析结果表明，围岩最大切向应力σ_θ 及岩体完整性系数K_v 是影响岩爆发生强烈程度与破坏规模的关键因素，并通过因果推理，发现岩爆烈度等级随着σ_θ 、K_v 的增加而加剧，且σ_θ 的影响程度高于K_v .

（4）由于数据库中强烈~极强岩爆案例数量相对较少，所构建的预测方法对于此类案例的应用效果还有待进一步提升，随着目前国内外各类地下工程的深入发展，岩爆案例数量在不断增加，在后续的研究过程中，应补充更新数据库中强烈~极强岩爆案例的样本数量，提升模型的训练预测精度.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52209120;42077265)

陕西省自然科学基础研究计划项目(2022JM-191)

长安大学中央高校基本科研业务费专项资金项目(300102213203)

中国科学院青年创新促进会项目(2021326)