基于集成学习与贝叶斯优化的岩石抗压强度预测

Prediction for Rock Compressive Strength Based on Ensemble Learning and Bayesian Optimization

摘要

岩石抗压强度是评估岩体工程稳定性的重要力学参数，传统统计回归方法对于岩石抗压强度预测存在一定的局限性.为此，提出了一种利用简单岩石力学参数实现岩石抗压强度智能预测的方法，首先收集了620组含不同类型岩石的三轴试验数据，然后分别采用随机森林（Random Forest，RF）、极限梯度提升树（XGBoost，XGB）和轻量梯度提升机（LightGBM，LGB）3种主流的集成学习算法建立了岩石抗压强度预测模型，使用贝叶斯优化算法在模型训练过程中进行超参数优化，最后利用决定系数（R ²）、平均绝对百分比误差（MAPE）和均方根误差（RMSE）对优化后模型的泛化能力进行了综合评估和对比分析.此外，利用LGB模型对输入特征进行重要性分析，以评估不同输入特征对模型泛化性能的影响重要程度.研究结果表明：所建立的3种模型对岩石抗压强度均取得了较好的预测结果，其中LGB模型泛化性能优于另外两种模型（R ²=0.978， RMSE=5.58，MAPE=9.70%），且运行耗时相对最少.弹性模量（E）、围压（σ ₃）和密度（ρ）对模型的泛化性能影响较大，泊松比（v）影响较小.提出的预测模型对于岩石抗压强度预测有良好的适用性，为机器学习与岩土工程的结合提供了新的思路.

关键词

岩石强度 / 集成学习 / 贝叶斯优化 / 随机森林 / 极限梯度提升树 / 轻量梯度提升机 / 工程地质

Key words

rock strength / ensemble learning / Bayesian optimization / random forest / XGBoost / LightGBM / engineering geology

0 引言

在实际岩体工程中，合理确定岩石的极限承载力是从事设计、施工、支护的前提，岩石抗压强度是岩石最基本和最重要的力学指标之一，可以很好地评估岩石的承载能力（Bieniawski，1974； Grima and Babuška，1999； Gokceoglu，2002）.因此，准确、经济和快速获取岩石抗压强度对于合理研究岩体工程的稳定性和安全性具有重要意义（Culshaw，2015； Jahed Armaghani，2016）.对岩石进行不同围压下的力学试验是获取岩石抗压强度最直接的方式（Edelbro，2003），然而力学试验往往对岩石试件的制作标准要求较高，特别是对于裂隙岩石取样是非常困难的，因此对岩石进行直接力学试验往往费用较高且耗时耗力（Sarkar， 2010）.许多研究人员尝试用更简单、更经济的间接试验去获取岩石抗压强度，如施密特锤试验（Goudie，2006； Wangand Wan， 2019）、声波测试法（ÇobanoğluandÇelik，2008； Wang， 2020）和点荷载试验法等（Singh， 2012； 张春玲等，2015），这些方法所需仪器便携、易操作可以对岩石强度进行快速的测定，已被广泛用于各类岩石强度及其他力学参数的测定.此外，国内外许多学者致力于从试验数据中挖掘出岩石抗压强度与其力学参数之间的相关关系，并利用统计回归的方法建立经验公式或回归模型，进而利用简单的力学参数间接估计岩石的抗压强度（Cargilland Shakoor， 1990； Arjmandpourand Hosseinitoudeshki， 2013； 杨科等，2013； Aladejare，2020）.然而由于影响岩石抗压强度的因素具有极强的非线性和不确定性，导致很难用一个特定的经验公式或回归方程准确描述岩石抗压强度与其影响因素间的关系.此外，函数形式和特征变量的选取没有统一标准，多依赖研究人员的主观性，其适用范围限制了相关研究的进一步发展.

近些年来随着人工智能理论的快速发展，许多学者将善于处理复杂非线性问题和具有良好泛化能力的机器学习方法用来研究工程领域问题（郭子正等，2019； 黄发明等，2021； Li et al.， 2021；李文彬等，2021； 仉文岗等，2021a，2023； 黄鑫怀等，2022）.机器学习可以从试验数据中挖掘变量之间的隐藏关系，不需要预先假定方程形式，从而可以突破传统经验回归模型局限性，为预测岩石抗压强度提供一种新兴路径（Miah，2020； Mahmoodzadeh， 2022）.李文和谭卓英（2016）采用径向基函数（RBF）作为LS-SVM的核函数，在MATLAB环境下建立了以岩石密度、点荷载强度、纵波波速作为输入特征建立了页岩单轴抗压强度预测模型.Mohamad（2018）收集整理了38组包括岩石密度、含水率、点荷载强度、纵波波速和岩石耐崩解性指数的数据集，提出了基于粒子群优化算法和BP神经网络的砂岩单轴抗压强度预测模型；He （2019）以钻井数据、粘聚力和内摩擦角作为输入特征，采用深度卷积网络算法对岩石单轴抗压强度进行了预测.以上研究均展现出了机器学习构建岩石抗压强度预测模型的优势，总结前人所建立的机器学习模型主要存在以下限制：

（1） 所建立模型多针对于一种类型岩石的强度预测，而不同类型岩石差异性较大，其适用范围受到了限制.

（2） 包含小样本数据集的机器学习模型虽然预测结果相对较好，但泛化能力有待进一步提高.

（3） 自然界中的岩石在复杂的地质构造运动作用下将产生不同形式的裂隙，所建立的机器学习模型多针对于完整岩石的强度预测，对含裂隙岩石强度预测模型的研究较少.

相较于传统的神经网络算法，集成学习算法具有建模简便以及学习效率高等优点（Sagi andRokach， 2018）.因此，针对不同类型岩石，本文首先收集了大量的完整岩石及裂隙岩石试验数据，并基于3种主流集成算法建立了岩石抗压强度预测模型，在模型训练过程中使用贝叶斯优化算法完成超参数优化，然后利用多项评价指标对模型的泛化能力进行了评估，最后对输入特征进行了重要性分析以评估各特征对模型泛化性能的影响重要程度，对岩石力学性能研究提供一定的参考价值.

1 数据准备

1.1　数据来源

具有良好泛化能力的机器学习模型依赖于大量且高质量的数据，本文通过室内压缩试验与文献调研相结合的方式对岩石试验数据进行了收集整理.试验数据来源见附图1所示，其中室内压缩试验所用试样取自于陕西省宝鸡市园子沟煤矿现场，通过地质勘探孔获取不同粒径大小的砂岩岩心，根据组成沙粒粒径大小不同可分为粗砂岩、中砂岩和细砂岩3种.然后按照《工程岩体分级标准》（GB/T50218-2014）规程要求加工成标准圆柱体试件，对试件进行密度测试后采用MTS 815电液伺服试验系统进行不同围压下的加载试验，该试验系统可自动完成数据的采集与处理.以此，收集整理得到137组包含岩石密度（ρ）、弹性模量（E）、泊松比（v）、围压（σ ₃）、轴向峰值应变（ɛ _1p）和抗压强度（σ _1p）特征变量的完整岩石三轴压缩试验数据.为确保机器学习模型具有良好的泛化能力，通过公开发表的文献获取相关试验数据，整理得到483组包括花岗岩、大理岩和泥岩等多种岩石类型的完整岩石和裂隙岩石试验数据，在完整岩石特征变量基础上以裂隙长度（F_L ）、裂隙数量（F_N ）和裂隙倾角（F_α ）作为裂隙岩石的特征变量.基于以上两种方式，共收集整理得到620组含多种岩石类型的试验数据，其中完整岩石328组，裂隙岩石292组，每组数据含9个特征变量，以ρ，E，v，σ ₃ ，ɛ _1p ，F_L，F_N，F_α 作为模型的输入特征，σ _1p作为模型的输出特征.

1.2　数据统计分析

数据来源多样，不同类型及不同地点的岩石特征参数具有一定差异性，因此需要了解试验数据的分布、特征参数之间相关性和离散情况.数据统计分析结果见附图2所示，右上为矩阵散点图，其中直方图代表数据分布特征情况，从附图2中可以看出ρ、v、E、ɛ _1p和σ _1p 符合正态分布，利用皮尔逊系数（P _ccs）衡量特征之间的相关性，可以看出ρ和E，σ _1p具有较高的线性相关性，E和σ _1p 具有更强的线性相关性，其中F_L 、F_N 和F_α 与岩石抗压强度存在不同程度的负线性相关性，其他特征之间存在较弱的相关性.饼状图表示了数据集中不同类型岩石所占比例，表格中显示了数据集的特征统计情况，限于篇幅，本文所收集的数据集将以补充材料的方式进行展示.

2 集成学习原理

集成学习通过构建多个基学习器进行学习并采用某种集成策略将基学习器训练结果进行结合来完成回归或分类任务，相较于单一的学习器，集成学习往往能获得更为显著优越的泛化性能（Zhou， 2021）.按照基学习器间是否存在强依赖关系可将集成学习大致分为两类，即存在强依赖关系的串行序列化方法和不存在强依赖关系的并行法，两者的代表分别是提升法（Boosting）和装袋法（Bagging）（周志华， 2016）.本文分别采用基于Bagging集成思想的RF算法以及基于Boosting集成思想XGBoost和Light GBM算法建模然后进行验证比较，旨在获得一种具有良好泛化性能的岩石抗压强度预测模型.

2.1　随机森林

随机森林（Random Forest，RF）是Breiman在2001年提出的一种以决策树为基学习器的集成学习算法，它改善了单一决策树的不足，使得整体模型的结果具有较高的精确性和稳定性（Breiman， 2001）.决策树是由根节点、决策节点和叶子节点构成的树形数据结构，决策树遍历每个根部节点待决策样本的属性值然后与决策节点值进行比较，以判定该样本的分枝走向，直至持续达到某个叶子节点已无样本可分时，代表决策过程的完成，所对应的叶子节点即为该样本的最终决策结果.如图1所示，RF在训练决策树的过程中，利用Bootstrap重采样法从训练集S中随机抽取n个独立同分布的训练子集，并根据不同的训练子集生成对应n棵不同的决策树.在对决策树每个节点进行分裂时，RF随机选取样本的特征属性，然后利用Gini系数或均方误差（MSE）来衡量特征属性的不纯度指标以寻求最优属性用于分裂，并设置节点阈值和满足停止分裂的标准，最后基于Bagging集成思想将每棵决策树的训练结果相结合，通过投票或者取均值的方法决定最后的分类或回归结果.

2.2　极端梯度提升树（XGBoost）

极端梯度提升树（XGBoost，XGB）是陈天奇在2014年提出的一种基于梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree，GBDT）的改进优化算法（ChenandGuestrin，2016）.XGB与传统的GBDT相同点在于两者都是基于Boosting集成思想的串行序列化算法，基于上一棵决策树预测结果与实测值之间的残差对决策树进行训练，通过多次迭代拟合残差从而不断地逼近实测值，达到设定的阈值或者迭代次数后训练停止，将各个决策树的预测结果进行加权求和后就是这个样本在整个集成模型上的最终预测结果.不同点在于求解损失函数时XGB使用泰勒二阶展开用于简化计算，并在目标函数中加入了正则化项用于控制模型的复杂度，其计算式见式（1）.相较于传统的GBDT算法，XGB算法具有更高的运算效率和防过拟合能力.

O b j = {\sum }_{i=\mathrm{1}}^n l(y_i,{\widehat{y}}_i) + {\sum }_{k=\mathrm{1}}^K \Omega (f_k)，(1)

式中，Obj代表目标函数；等式右边第1项为损失函数，y_i 和ŷ_i 分别为样本i的实测值和预测值；等式右边第2项为惩罚函数，K代表决策树的总数量，f_k 表示第k棵树的复杂度.

2.3　轻量梯度提升机

轻量梯度提升机（LightGBM，LGB）在2017年由微软公司提出，与XGBoost原理类似，也是基于GBDT算法的改进优化算法（Ke， 2017）.不同之处在于，LGB利用直方图算法（Histogram）将连续的特征值离散化到多个分箱（bin）中，并根据特征所在的bin对其进行梯度累加及个数统计，最后遍历所有的特征和数据寻找最优分割点，这样可以解决分裂点数量过多的问题，提高决策树的训练效率以及减少内存的占用.同时，LGB使用单边梯度采样算法和互斥特征捆绑算法分别解决了样本数量和特征数量过多的问题，进一步提高了模型的运算效率.此外，在Histogram算法基础上，使用了带有深度限制的叶子生长（leaf-wise）算法，每次只在分裂增益最大的叶子节点进行分裂，在降低模型复杂度的同时也提高了抗过拟合能力.

3 岩石强度回归预测模型

3.1　模型训练流程

本研究采用基于Python语言的Scikit-learn机器学习库作为模型建立的基础工具，其涵盖了多种主流的机器学习算法，与NumPy、Pandas和Matplotlib等Python数据分析处理库相结合可以简单高效地实现数据切分、数据预处理、模型建立及结果可视化等环节.本研究所提出的岩石抗压强度预测模型实现流程如下：Step1：指定岩石强度试验数据文件所在路径，读取数据；Step2：对数据进行切片处理，指定模型的输入特征及输出特征；Step3：设置模型中训练集和数据集的所占比例，对数据集进行划分；Step4：调用Scikit-learn库中的RandomForestRegressor、XGBRFRegressor、lightgbm函数，并设置模型初始超参数，建立3种初始预测模型；Step5：对预测模型进行训练，利用贝叶斯优化算法对模型进行超参数优化，寻找最优超参数组合；Step6：调整超参数后获得最优预测模型，对测试集进行预测并打印预测结果；Step7：通过统计指标对模型预测结果进行评估，对3种预测模型综合性能进行对比分析；Step8：利用最优预测模型对输入特征进行重要性分析，评估各特征对模型性能的重要性；Step9：调用pickle函数保存最优预测模型的权重函数.

3.2　模型建立

模型建立前需要预先将数据集划分为训练集和测试集，训练集用于模型的训练，测试集用于验证与评估已训练好模型的可靠性及泛化性能（汤志立和徐千军，2020）.合理划分数据集对于模型最终泛化性能有重要影响，当训练集比例过高而测试集比例较少时，会导致模型出现过拟合，即在训练集表现出较好的泛化性能而在测试集上表现较差，当训练集比例较少而测试集比例过高时，又会导致模型出现欠拟合，在训练集和测试集都表现出较差的泛化性能.训练集和测试集的划分比例为7∶3和8∶2时较为常见（仉文岗等， 2021b； 黄发明等， 2023），经过验证对比后发现按照8∶2比例对数据集进行划分时泛化性能相对较好，因此本文将数据集按照8：2的比例划分为训练集（496组）与测试集（124组）分别用作模型的训练与验证.且为了保证训练集和测试集之间相互独立而无任何交集，采用Scikit-learn中的train_test_split函数对数据集进行随机划分.

以通过实验和文献调研方式得到的620组试验数据为基础，建立岩石抗压强度预测数据集，然后对数据集进行划分，以ρ，E，v，ɛ _1p ，σ ₃ ，F_L，F_N，F_α 作为模型的输入特征，σ _1p作为模型的输出特征，通过Scikit-learn调用机器学习包，建立基于RF、XGB和LGB三种集成算法的岩石强度回归预测模型，其中数据集以.xls格式存储，采用Pandas库中的read_excel（）函数读取数据并写入到模型之中.考虑到以决策树为基学习器的集成学习算法对特征缩放的不敏感性，本文模型未对输入特征进行归一化或标准化处理.限于篇幅，本文所建立的预测模型源代码将以补充材料方式进行展示.

3.3　模型超参数优化

机器学习模型含有较多超参数，不同的超参数组合对模型的运算效率和泛化性能均有较大影响，因此为获得一个兼具良好运算效率和泛化性能的模型，优化超参数是必要的.常用的超参数优化方法包括网格搜索、随机搜索和贝叶斯优化算法等（李亚茹等，2022）.网格搜索是在给定的超参数范围内，通过遍历循环查找超参数空间中网格上的所有点来确定一组最优值作为模型的最终超参数组合，但该方法在多参数和大数据集的情况下非常消耗时间和计算资源.随机搜索的思想与网格搜索比较相似，它通过在搜索范围中随机取样本点来寻找全局最优点，节省了超参数优化时间，但无法确保得到最佳的超参数组合.贝叶斯优化（Bayesian Optimization，BO）是一种十分有效的全局优化算法（崔佳旭和杨博， 2018），与网格搜索和随机搜索构建目标函数不同，BO利用有限的样本点构造代理函数近似替代黑箱目标函数，降低了计算目标函数的时间成本，并引入了采集函数，对损失函数最小的评估点进行有效探索和利用，能在较少的评估次数下取得复杂目标函数的最优解，从而可以大大提高超参数的优化效率.

本文使用贝叶斯优化算法对已建立的模型进行超参数优化，设置参数空间对指定的超参数进行搜索，以寻求最优超参数组合.其最优参数及模型运行耗时见表1所示，LGB模型运行耗时最少，其次是RF模型，XGB模型耗时最长，但也仅需数十秒即可完成模型的运行，由此可见，利用贝叶斯优化算法的机器学习模型具有较高的训练效率.除本文所提到的超参数之外，模型的其他超参数取为默认值，将优化后的超参数代入模型之中即可得到训练完成的抗压强度预测模型.

3.4　模型性能评估

为评估所建3种预测模型的泛化性能，采用决定系数（R ²）、平均绝对百分比误差（MAPE）和均方根误差（RMSE）作为衡量模型泛化能力的评价指标.相应计算公式见表2所示，R ²表示模型拟合数据的准确程度，其值越接近1表明模型的拟合效果越好.RMSE反映模型预测值与实测值的偏离程度，MAPE表示预测值和实测值之间绝对误差的平均值，两者数值越小表明模型的泛化性能越好.

图2显示了3种模型预测值和实测值的比较结果，图中白色和红色散点分别表示模型对训练集和测试集中样本的预测结果，前者可以反映模型对已知数据中复杂非线性关系的学习能力，后者反映模型对未知数据预测的泛化能力.从图中可以看出3种模型的散点皆均匀分布在斜率为1的参考线附近，表明所建模型对岩石抗压强度都取得了较好的预测结果.从评价指标数值来看，RF模型在训练集的表现结果优于LGB和XGB模型，其R ²、RMSE和MAPE分别为：0.991、3.41和4.89%，其次分别是LGB和XGB模型，表明RF在训练集上的学习能力略优于另外两种模型.对于测试集预测结果，LGB模型各项评价指标均高于RF模型和XGB模型，其R ²和RMSE分别为0.978和5.58，其整体平均误差在10%以内，其次分别是RF模型和XGB模型，RF模型略优于XGB模型，两者R ²分别达到了0.961和0.947，RMSE分别为7.34和10.4，两者MAPE较为接近，整体平均误差在15%左右，分别为14.65%和15.7%.

综合运行耗时和泛化能力来看，相较于RF模型和XGB模型，基于LGB算法的岩石抗压强度预测模型准确度高、稳定性好、具有最高的运行效率和泛化能力，表明LGB算法在处理高维度数据问题时具有较大优势.RF模型和XGB模型预测精度较为接近，但其运行耗时优于XGB模型.

3.5　特征重要性分析

集成学习算法在决策树叶节点分裂时利用基尼系数衡量特征的重要性来确定最优分裂特征，为增加模型的可解释性，利用LGB模型对输入特征进行重要性分析，以评估各特征对模型泛化性能的影响重要程度.特征重要性分析结果见图3所示，对于完整岩石而言，E是影响模型泛化性能最重要的因素，ρ和σ ₃两者重要程度较为接近，是影响模型泛化性能的关键因素，ɛ _1p次之，v对模型精度影响最小，最终特征相对重要性排序为：E>ρ>σ ₃>ɛ _1p>v，研究结果与前文数据统计分析结果较为吻合，进一步验证了模型的可靠性.对于裂隙岩石而言，其E、ρ和σ ₃的相对重要性和完整岩石较为一致，三者对裂隙岩石强度的预测精度起着决定性作用，其次分别是F_L 和F_α，两者的重要性优于ɛ _1p和v，从上文相关性分析结果来看，两者与岩石抗压强度存在着较弱的负线性相关性，但对预测结果具有较大影响，表明F_L 和F_α 与岩石抗压强度之间存在着复杂的非线性关系，F_N 影响重要程度与数据统计分析结果偏差较大，分析其原因可能是本文所收集的292组裂隙岩石数据中多为单裂隙和双裂隙试样，少部分为多裂隙试样，数据样本的不均衡弱化了该特征之间的差异性，因此利用LGB模型进行重要性分析时F_N 相较于其他特征相对重要性最低，最终特征相对重要性排序为：E>σ ₃ >ρ>F_L>F_α>ɛ _1p >v>F_N .

4 结论

（1）通过室内试验和文献调研相结合的方式整理620组包含多种岩石类型的完整和裂隙岩石试验数据，对影响因素之间进行相关性分析发现，弹性模量、密度和围压对岩石抗压强度存在较强的线性关系，裂隙长度、裂隙数量和裂隙倾角与岩石抗压强度均呈现不同程度的负相关性，而各特征之间相互作用、相互耦合存在着较为复杂的非线性关系.

（2）利用贝叶斯优化算法对训练的模型进行超参数优化，提高训练效率的同时也保证了模型具有较高的预测精度.利用多项评价指标对3种模型泛化性能评估，其中LGB模型在各项评价指标上均优于RF和XGB模型，且运行耗时最少，综合性能排序为：LGB>RF>XGB.

（3）利用LGB模型对输入特征进行重要性分析以评估各个特征对模型泛化性能的影响重要程度，其中完整岩石的特征重要性排序为：E>ρ>σ ₃ >ɛ _1p >v，裂隙岩石的特征重要性排序为：E>σ ₃ >ρ>F_L>F_α>ɛ _1p >v>F_N .

综上所述，本文将机器学习与岩土工程相结合，利用简单力学参数实现了岩石强度的智能预测，相较于传统的试验方法，节约了大量的人力、财力及时间，为岩石强度预测提供了一条可供参考的新思路，此外，特征重要性分析结果也可为岩石力学性能研究提供一定的参考价值.考虑到影响岩石强度的因素较多，除文本所提及到的之外还有孔隙率、含水率等特征，将来可考虑收集更多的数据及特征用作模型训练，进一步提高模型的泛化性能.

--引用第三方内容--

附图见本刊官网（http://www.earth-science.net）.

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基金资助

国家自然科学基金项目(41977238;51978634)

河南省自然科学基金青年基金项目(232300421331)

河南省高等学校重点科研项目(23A440005)