基于时序InSAR与机器学习的大范围地面沉降预测方法

The Prediction Method of Large-Scale Land Subsidence Based on Multi-Temporal InSAR and Machine Learning

摘要

地面沉降是由自然因素和人为因素综合作用下形成的地面标高损失，为预防这种累进性的缓变地质灾害，高效的大范围地面沉降预测显得尤为重要.现有的预测方法忽略了地面沉降的空间特征，且基于单点循环预测存在高耗时现象.针对上述问题，提出了一种基于时序InSAR与机器学习的大范围地面沉降预测方法.首先，利用SBAS-InSAR技术获取大范围的地面沉降时序信息；其次，采用经验正交函数（empirical orthogonal function， EOF）提取时序信息的空间模态及对应的主成分（principal components， PCs）；最后，采用基于误差反馈的岭多项式神经网络（ridge polynomial neural network with error-output feedbacks， RPNN-EOF）模型训练与预测PCs，将预测结果重构回地面沉降时序.以延安新区2018年8月至2021年5月的84景Sentinel-1A数据为例，获取了新区的地面沉降时序.同时，EOF所提取的空间模态能清晰地表达整个新区的空间变化特征.预测结果显示，相较于传统点循环模式以及主流的时间序列预测方法，本文方法的均方根误差至少降低了22.7%，建模耗时至少降低了27.5%，因此该方法具有良好的实用性.

关键词

机器学习 / 时间序列预测 / 经验正交函数 / 空间模态 / 神经网络 / 时序InSAR / 地面沉降 / 灾害

Key words

machine learning / time series prediction / empirical orthogonal functions / spatial modalities / neural networks / multi-temporal InSAR / land subsidence / hazards

在自然因素和人为因素的综合作用下，地壳表层土体压密导致区域性的地面标高损失，这种工程地质现象称为地面沉降（苏河源和胡兆璋，1980）.地面沉降是一种累进性的缓变地质灾害，虽成灾慢，但损失大，且不易治理（殷跃平等，2005）.因此，开展大范围的地面沉降预测预报分析，具有指导城市规划和防灾减灾工作的重要意义.

目前，大范围地面沉降预测的研究并不丰富，大批专家学者主要集中于小区域或特殊点位的地面沉降预测，这类研究大体可分为3类.第一类是基于沉降的物理机制来实现，即物理方法，常见有地铁沉降模型、地下水耦合模型、采矿沉降模型等（Zhang andZhang， 2013； Phi and Strokova， 2015； 金必晶等， 2022； 骆祖江等， 2024）.该类方法首先需概化复杂的物理环境，并通过实地检测和实验来获取一系列复杂的物理参数，包括岩性特征、水文特征等参数，进而模拟沉降内部实际的物理演化过程并预测（Shearer， 1998； Shi et al.， 2008）.然而，该类方法存在参数获取困难、概化程度因人而异、构建模型复杂及运算效率低下等问题，因此实际应用难度大.第二类是基于数理统计的分析方法，包括回归分析、灰色模型等数学模型（李丽， 2014； Wang and Yang， 2014）.该类方法通过解译大量历史监测数据的内在关系和发展规律，对未来地面沉降趋势进行模拟预测.这类模型虽相对简单，但未考虑地下岩土介质的本构关系，面对具有复杂规律的地面沉降难以取得良好的预测效果，并深受模型参数的影响，因此不具备推广性（范泽琳和张永红， 2019）.第三类则是基于机器学习的智能方法，它解决了高度复杂的非线性拟合问题.在地面沉降预测中，该类方法不受研究区域复杂的地质及水文等物理参数的限制，更好地学习沉降特征，高效地实现时间序列预测，如经典的支持向量回归机、人工神经网络、深度学习等（Shahin et al.， 2003； Gao et al.， 2016； Chen et al.， 2021）.

随着InSAR技术的快速发展，大范围地面沉降监测得以实现，结合机器学习的地面沉降预测也随之逐渐成为主流（Shi et al.， 2020； Ding et al.， 2021； Hill et al.， 2021）.不同于大多数仅限于典型区域的研究，刘青豪等（2021）关注大范围地面沉降的发展趋势，并充分利用InSAR结果的大尺度作用，但未考虑地面沉降的空间特征.而后Li et al.（2021）通过地理加权引入空间特征以提高模型的泛化能力，却增加了时间成本.面对大量的历史监测数据，为满足日益增长的生产效率需求，大范围地面沉降预测仍面临着挑战，即要在提取空间特征的同时降低时间成本，又要有效地提高模型精度.其中，经验正交函数（empirical orthogonal function， EOF）能够提取空间特征，减少数据量，由于其正交性也使得空间特征所对应的主成分（principal components， PCs）完全独立（Lorenz， 1956）.基于此特性，EOF被广泛地应用于大尺度时序预测，常见于海洋表面温度等领域（Shao et al.， 2021）.同时，误差反馈有助于得到更加精确的神经网络模型参数，旨在提高模型预测精度（Waheeb et al.， 2016）.因此，针对完全独立的PCs，基于误差反馈的神经网络有望提高整体预测精度，极大地降低时间成本.

综上所述，本文提出了一种基于时序InSAR与机器学习的大范围地面沉降预测方法.该方法结合InSAR监测的大尺度优势和经验正交函数的时空分解特性，相较于传统方法拓展了预测广度，降低了预测时间成本，同时误差反馈的引入将获得更精确的神经网络模型参数，进一步提高预测精度，具有良好的应用前景.以延安新区2018年8月至2021年5月的84景Sentinel-1A数据为例，获取大范围地面沉降InSAR监测结果，提取沉降空间特征，构建时序数据集进行模型预测，并重构预测结果后验证分析.

1 方法原理

1.1　新型大范围地面沉降预测模型

本文提出了一种基于时序InSAR与机器学习的大范围地面沉降预测方法.该方法主要包括数据的预处理、模型预测和数据重构.具体流程如图1所示：

（1）首先，采用ArcGIS中的点转栅格工具，将SBAS-InSAR处理的累积沉降量转换为栅格图像集，并从时间维度上分为训练集和测试集.将训练集的所有栅格图像作为EOF的输入，得到图像整体的空间模态（EOFs）及对应的主成分（PCs）.相应地，将上述获取的EOFs映射到测试集数据，即根据已有EOFs求解测试集的PCs.

（2）然后，采用经典的min-max方法归一化所有PCs，并确定模型样本的输入和标签长度.基于MATLAB 2022a平台构建RPNN-EOF模型，初始化训练参数设置，如动量项、学习率、权值初始化范围和停止标准等.针对所有PCs，采用统一的预测模型及其参数.输入训练集的所有PCs训练模型，之后使用该模型对测试集进行预测，获得PCs的预测值.

（3）最后，为获取累积沉降量的预测图，需将PCs预测值重构.基于式（6），采用步骤（1）所得的EOFs便可重构PCs预测值，最终获得大范围地面沉降预测图.

1.2　经验正交函数

作为一种统计方法，经验正交函数（empirical orthogonal function， EOF）分析通过快速分解和压缩大量数据，以及恢复数据域的基本结构，从而有效地分析时空变化.Lorenz（1956）于20世纪50年代首次将其引入气象和气候研究中，随即在地学等领域中得到了广泛的应用.本文使用EOF分析旨在减少计算量，提取主要的空间特征，并考虑到空间相关.此外，由于其正交性，可采用完全独立的主成分（principal components， PCs）实现预测.

沉降数据集的时空矩阵X（N×M，N为空间维度，M为时间维度）可表示为：

X = \left[\begin{array}{l}{X}_{\mathrm{1,1}}\cdots X_{\mathrm{1},M}\\ ⋮⋮⋮\\ X_{N,\mathrm{1}}\cdots X_{N,M}\end{array}\right],(1)

为满足预测模型的无量纲输入，将时空矩阵距平归一化为：

X^{\text{'}} = {\sigma }^{-\mathrm{1}} \left(X-\overline{X}\right),(2)

式中： \sigma为标准差矩阵， \overline{X}为平均值矩阵.

在EOF分解距平归一化矩阵之前，需要构建其相关系数矩阵，获取相应的模态：

\mathrm{C} \mathrm{o} \mathrm{r} \left(X^{\text{'}}\right) = \frac{\mathrm{1}}{M} X^{\text{'}} {X^{\text{'}}}^{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{1}}{M} \left(V\left(\mathrm{P}\mathrm{C}\right)\right) {\left(V\left(\mathrm{P}\mathrm{C}\right)\right)}^{\mathrm{T}},(3)

式中：V为空间模态（EOFs），维度为N×N；PC代表其对应的主成分，维度为N×M.其中EOFs具有空间特征，PCs具有时间特征.

最后，采用雅可比迭代法分解获取相关系数矩阵的特征向量和特征值：

\mathrm{C} \mathrm{o} \mathrm{r} \left(X^{\text{'}}\right) = V \overline{\mathrm{\Lambda }} V^{\mathrm{T}},(4)

同理， X^{\text{'}} {X^{\text{'}}}^{\mathrm{T}}的特征向量和特征值可表示为：

X^{\text{'}} {X^{\text{'}}}^{\mathrm{T}} = V \mathrm{\Lambda } V^{\mathrm{T}},(5)

式中： \mathrm{\Lambda } = M \mathrm{\Lambda } = d i a g \left({\lambda }_{\mathrm{1}},\dots ,{\lambda }_N\right).因此，原始的空间矩阵X可以重构为：

X = \overline{X} + \sigma X^{\text{'}} = \overline{X} + \sigma V \left(\mathrm{P}\mathrm{C}\right) .(6)

1.3　基于误差反馈的岭多项式神经网络

Pi-Sigma神经网络（Pi-Sigma neural network， PSNN）结构非常简单，属于高阶前馈型神经网络，具有收敛快和强非线性映射能力.而岭多项式神经网络以PSNN作为模块构建而成，可逼近定义在某一紧集上的任意连续函数，不同于单一的高阶神经网络，它采用易于控制的单变量多项式从而避免自由参数数目过大（Shin andGhosh， 1995）.在此基础上，引入网络输出和网络误差两种反馈，便可得到基于误差反馈的岭多项式神经网络（ridge polynomial neural network with error-output feedbacks， RPNN-EOF）（Waheeb and Ghazali， 2020）.该网络利用了时间序列的滞后变量和网络误差直接反馈到输入层建模，从而获得更准确的预测.

如图2所示，假设m为时间序列x（n）输入到网络的个数，y（n）和e（n）分别为当前时刻的网络输出和误差.则：

Z_g \left(n\right) = \left\{\begin{array}{l}{x}_g\left(n\right),\mathrm{1}\le g\le m,\\ e\left(n\right)=d\left(n\right)-y\left(n\right),g=m+\mathrm{1}\\ y\left(n\right),g=m+\mathrm{2},\end{array}\right.,(7)

式中：d（n）为希望输出值.最终预测值y（n+1）为：

h_j \left(n+\mathrm{1}\right) = {\displaystyle \sum _{g=\mathrm{1}}^{m+\mathrm{2}}} w_{gj}{Z}_g\left(n\right),(8)

P_i \left(n+\mathrm{1}\right) = {\displaystyle \prod _{j=\mathrm{1}}^i} \left(h_j\left(n+\mathrm{1}\right)\right),(9)

y \left(n+\mathrm{1}\right) \approx F \left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{k-\mathrm{1}}}{P}_i\widehat{\left(n+\mathrm{1}\right)}+P_k\left(n+\mathrm{1}\right)\right),(10)

式中： w_{gj}是输入g和sigma单元j的权值， h_j \left(n+\mathrm{1}\right)为sigma单元j的净和， P_k \left(n+\mathrm{1}\right)是PSNN模块的输出， P_i \widehat{\left(n+\mathrm{1}\right)}是 P_i \left(n+\mathrm{1}\right)的冻结权值，k为pi-sigma模块的数量，F为激活函数，即Sigmoid函数.

RPNN-EOF使用了一种构造学习方法，即采用实时递归学习算法（real-time recurrent learning algorithm， RTRL）更新其权值（ Williams and Zipser， 1989）.同时，引入Lyapunov函数解决由于反馈地存在而导致的收敛性和稳定性问题（Waheeb et al.， 2018）.

1.4　性能评价指标

为评价预测模型的性能，并与其他模型进行对比证明其自身的优越性，本文使用3个统计指标，即平均绝对误差（mean absolute error， MAE）、均方根误差（root mean square error， RMSE）和归一化均方误差（normalized mean squared error， NMSE）.具体计算方法如下：

\mathrm{M} \mathrm{A} {\mathrm{E}}_i = {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{MM}} \left(\left|T_{ij}-P_{ij}\right|\right)/MM,(11)

\mathrm{R} \mathrm{M} \mathrm{S} {\mathrm{E}}_i = \sqrt[]{\frac{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^{MM}{\left(T_{ij}-P_{ij}\right)}^{\mathrm{2}}}{MM}},(12)

\mathrm{N} \mathrm{M} \mathrm{S} {\mathrm{E}}_i = \frac{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^{MM}{\left(T_{ij}-P_{ij}\right)}^{\mathrm{2}}}{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^{MM}{\left(T_{ij}-{\overline{T}}_i\right)}^{\mathrm{2}}} , {\overline{T}}_i = \frac{{\sum }_{j=\mathrm{1}}^{MM}{T}_{ij}}{MM},(13)

式中：T_ij 和P_ij 分别为第i个栅格点的第j个样本的原始值和预测值；N为栅格点数，MM为测试样本数；MAE _i 、RMSE _i 和NMSE _i 分别代表第i个栅格点的指标.因此，最终的指标为所有栅格点的均值.

2 延安新区地面沉降预测结果与分析

2.1　数据源

2011年12月，延安市制定了新的城市发展战略，将原始的湿陷性黄土沟壑地区整平为建设用地，以此破解城市发展困局.但是，新区地质条件复杂，地形以峁、墚为主，土体结构疏松且具湿陷性（张宏雪， 2021）.因此，对新区的大范围地面沉降监测和预测显得尤为重要.本文从欧空局获取覆盖新区的84景Sentinel-1A升轨影像，时间跨度为2018年8月至2021年5月，引入精密轨道数据，采用SBAS-InSAR方法得到新区形变速率（图3），同时解算出长时序累积沉降量.Zhou et al.（2022）利用少量地面监测点验证了延安新区InSAR监测结果的可靠性，本文将InSAR结果与其进行了定性对比，结果显示两个InSAR结果在量级和空间范围上基本一致，表明本文InSAR结果基本可靠.InSAR结果显示，新区大部分区域较为稳定，形变速率为-8~8 mm/a.沉降主要发生于填方区，3个较大沉降区分别位于A区域（桥儿沟流域）、B区域（高家沟流域）和C区域（新区东北部），最大沉降速率分别为-48 mm/a、-57 mm/a和-78 mm/a.本文选取由SBAS-InSAR反演得到的45 302高相干点的沉降时序，每个观测点包含83个沉降记录.采用ArcGIS中的点转栅格工具，将上述时序转换为栅格图像集，栅格图像大小为254×411，共83幅.随即，采用本文所提出的新型大范围地面沉降预测模型进行分析.

2.2　地面沉降空间变化特征

延安新区规划有三大片区，从建设时间上来看，首先实施位于清凉山南北中轴线北部的北区一期工程.一期工程于2012年4月17日正式开工建设，采用地下排水、碾压、强夯和边坡加固相结合的方法，以减轻黄土湿陷性，并于2018年8月岩土工程全面完成.此外，新区实施“先建挖掘区，然后绿化填充区，并等到沉降稳定后再建造填充区”的策略，以最小化沉降的影响（Li et al. ， 2019）.尽管采取了各种预防措施，地面沉降仍在持续.延安新区的工程建设范围由中间向两周扩展，后期建设重心逐渐移向东北部.延安新区工程建设一直处于活跃阶段，建筑和道路分别从2014年和2015年开始快速增加，并随着填方工程的逐步完工，其面积也逐年增加.自工程建设以来，截止到2018年新区工程造地总面积约为22.3 km²（蒲川豪等， 2021）.如此大规模的挖填方工程以及频繁的城市建设，不可避免地引起大量的工后地面沉降现象，因此分析工后大范围地面沉降的空间变化特征对延安新区后期的城市建设具有指导意义.

通常，空间模态及其对应的PCs均无量纲.依据式（6），将PCs除以本身的标准差进行标准化，同时空间模态乘以PCs的标准差，便可获得与原始数据同量纲的空间模态，从而易于分析.每个PC时间序列代表所对应空间模态在时间上的分布权重，即PC的大小和正负表示对应空间模态在特定时间点的出现倾向.当PC越靠近正向时，对应时间点的原始数据越接近于该空间模态，反之亦然.本文选取SBAS-InSAR所获取的83幅栅格图像为例，经过EOF分解后，前3个空间模态通过显著性检验，并占总方差的96.24%，表征了整个延安新区地面沉降的空间演化（图4）.空间模态1显示了整个新区主要地面沉降的空间分布，方差解释度为89%，符合延安新区地面沉降的主要变化趋势.对应的PC1在时间上由负到正呈线性增加，表明每个时间点的原始数据从始至终都在靠近该空间模态发展.空间模态2主要反映新区东北部的沉降变化空间分布，方差解释度为4%.新区东北部为北区最后施工区域，相较于其他区域沉降速率较快，沉降量较大.同时，SBAS-InSAR监测结果中最大沉降也位于此区域.因此，空间模态2的分布可以解释为新区沉降速率极快的空间分布特征.结合PC2可以看出，原始数据随着时间的推移先趋向于正向而后趋于负向，表明新区东北部前期快速的沉降符合该空间模态发展，随着黄土的压实，沉降的快速变化也逐渐变弱，并趋于新区其他区域的变化速率.空间模态3则显示新区大范围整体沉降变化的残余分布，方差解释度为2%，并且PC3位于零值上下随机变化，表明原始数据对该模态的出现倾向是随机的.综上所述，证明了EOF分解后占总方差95%的空间模态能够表征新区的空间变化特征，也为继传统的点循环预测模式提供新的思路.

2.3　预测结果

本文将前78幅累积沉降栅格图像作为训练集，并通过EOF分解获得空间模态（EOFs）及对应的主成分（PCs）.随后，剩余的5幅累积沉降栅格图像作为测试集，并由上述获取的EOFs映射解算测试集的PCs.随即采用经典的min-max归一化所有PCs，建模训练与预测.本研究中，模型参数设置如下：学习率为［0.01~1］，初始权重范围为［-0.5~0.5］，动量项为［0.4~0.8］，达到最大迭代次数=3 000或均方误差=0.000 001作为停止标准.其中样本划分原则同刘青豪等（2021），样本输入和标签长度为5和1.获得预测的PCs后，需进行数据重构得到累积沉降量预测图.最终，从整幅影像的尺度展示了延安新区大范围地面沉降预测结果（图5）.结合真实形变的InSAR监测值，可以发现本文方法的预测结果与真实形变高度吻合，三大沉降区域显示清晰且大部分高相干点的预测误差控制在±3 mm以内.残差分布均匀，但三大沉降区域容易出现较大误差，这可能与本身沉降量较大有关.模型运行结果显示（表2），本文方法预测结果最高精度达到MAE=0.757 7，RMSE=1.013 3，NMSE=0.000 7.同时，随着预测时长的增加，预测精度也相对降低.

对残差做统计学意义分析，5个预测时长的相对误差均分布相对集中，符合标准正态分布，只存在极少的离群值（图6a）.表1显示，随着预测时长的增加，残差的中位数从-0.033 7 mm变化为-0.815 3 mm，50%的残差分布区间也从［-0.599 0 mm， 0.593 5 mm］扩大至［-1.794 9 mm， 0.210 3 mm］，并且区间有所下移，最大极值为-12.270 8 mm. 图6b~6f也足以显示出随着预测时长的增加，相对残差范围增大，第五预测日期相对残差范围已扩大至±10 mm以内.相对误差±1 mm的统计量占比由73.14%降低为42.11%，±3 mm的统计量占比由98.85%降低为89.63%，±5 mm的统计量占比由99.86%降低为98.45%.即使预测时长的增加会导致预测精度的降低，但整体的预测结果与实际沉降量相比偏差仍然偏小，能够反映地面沉降随时间变化的基本规律，预测结果具有足够的可信性.

2.4　讨论

为验证本文方法与传统点循环模式以及主流的时间序列预测方法相比所具有的优势，将本文组合模型与传统时间序列预测模型、机器学习模型进行试验对比，并选择预测误差以及建模耗时作为评价指标.为统一数据标准，降低时间成本，试验数据均采用样本输入5和标签长度1的划分原则.

对于传统的点循环模式，由于地面累积沉降量有趋势性的变化，而处理非线性数据的机器学习方法显得不适用.因此，在点循环模式下，选择多元线性回归（multiple linear regression， MLR）模型进行试验对比.面对实际问题，一个因变量往往对应多个自变量，并受其影响.而多元线性回归是一种应用广泛的多因素回归分析方法，从而在多个领域的时间序列预测中受到欢迎（Nikolopoulos et al. ， 2007）.多元线性回归中，自变量为样本输入，因变量为标签.然而，对于经验正交函数分解后，为验证RPNN-EOF模型面对非线性数据的处理能力具有更强的优势，选择长短期记忆（long short-term memory， LSTM）网络模型进行试验对比.LSTM是一种特殊的循环神经网络（recurrent neural network， RNN），在隐藏层中增加门控机制来控制信息的流失，并反向传播进行动态调整，解决了网络的长期依赖问题（Gers et al. ， 2000）.

表2展示了3种预测方法的预测效果以及建模耗时.相比于传统的点循环预测模式，基于经验正交函数的预测方法无论是在建模耗时，亦或是预测精度上都优于传统点循环模式.其中，建模耗时减少64.3%，表明经验正交函数在大范围地面沉降预测中是一种实质性的新模式，具有高度的可行性.面对上万的点数据，点循环模式下的每一个高相干点的预测都需要更多的时间成本，并不适合于高效的大范围地面沉降预测.而相比同一模式下的LSTM模型，本文方法在各项指标上表现得更具优势，均方根误差至少降低了22.7%，建模耗时降低了27.5%.3种方法的预测精度均随着预测时长的增加而降低，但本文方法的精度下降较小，第一预测时长至第五预测时长的均方根误差仅增加了0.883 9 mm.

总之，EOF在大范围地面沉降预测中是一种实质性的新模式，具有高度的可行性.在该模式的驱动下，基于误差反馈的神经网络模型取得了高精度、高时效的显著优势.本文方法很好地解决了大范围地面沉降的空间相关性问题，误差反馈机制提高了网络参数精度，达到了低时间成本、高预测精度的生产需求.基于目前的工作，后续应考虑影响地面沉降的物理因素，构建多因素驱动和解释力更强的预测模型.

3 结论

本文通过引入EOF提取大范围地面沉降的空间特征，同时构建基于误差反馈的岭多项式神经网络，用于预测各空间特征对应的独立主成分，最后数据重构以实现高精度、高效率的沉降预测.以延安新区为例，EOF所提取的空间模态能清晰地表达整个新区的空间变化特征，主要包括新区的主要空间分布以及东北部快速沉降的空间特征.同时，空间模态之间是完全独立的，所对应的PCs便是其时间上的变化，针对PCs时间序列的预测消除了传统点循环模式中相邻点之间空间相关性的影响，而未丢失自身所具有的空间信息.预测结果显示，相较于传统点循环模式以及主流的时间序列预测方法，本文方法的均方根误差至少降低了22.7%，建模耗时至少降低了27.5%.综上所述，基于经验正交函数的RPNN-EOF模型适用于大范围的地面沉降预测，预测结果精度较高，时间成本大幅降低，是一种更为满足生产需求的方法.

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基金资助

国家自然科学基金项目(41790445;41630640)

国家重点研发计划项目(2021YFC3000401)

地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室自主研究课题(SKLGP2023Z026)