地下爆炸Lg波地震矩与源地震矩关系数值模拟

Numerical Simulation on the Relationship between Seismic Moment of Lg Wave and Source of Underground Explosion

摘要

针对地下爆炸当量估算问题，基于理论地震图仿真和Lg波谱反演方法，系统研究了不同场地中埋深、震源成分（ISO源、CLVD源、DC源及其组合）对源地震矩M₀（source）与Lg波地震矩M₀（Lg）关系的影响.通过定量标定M₀（source）/M₀（Lg）比值，结果表明两者比值具有显著的场地依赖性：朝鲜场地比值普遍高于0.2，而内华达场地低于0.2. CLVD和DC源等次生震源会显著降低朝鲜场地的Lg波激发效率（降幅可达50%），同时埋深增大会减弱P⁃S转换效应，导致比值进一步减小.（进一步的，结合震源模型建立了基于Lg波地震矩的当量估算方法，并以朝鲜第六次核试验数据为例进行了验证.

Abstract

Regarding the estimation of yield of underground explosions, this study systematically investigates the influence of burial depth, source components(ISO, CLVD, DC, and their combinations), and site conditions on the relationship between the source seismic moment M₀(source) and the Lg⁃wave seismic moment M₀(Lg). Based on theoretical synthetic seismogram simulations and Lg⁃wave spectral inversion methods, we quantitatively calibrated the M₀(source)/ M₀(Lg) ratio for different test sites. The results reveal significant site dependence: the ratio generally exceeds 0.2 for the North Korean site but falls below 0.2 for the Nevada site. Secondary sources(e.g., CLVD and DC) reduce Lg⁃wave excitation efficiency in the North Korean site by up to 50%, while increased burial depth weakens P⁃S conversion effects, further decreasing the ratio. By integrating a seismic source model, we established a yield estimation method based on M₀(Lg) and validated it using data from North Korea's sixth nuclear test.

Graphical abstract

关键词

源地震矩 / Lg波 / 震源模型 / 当量估算 / 理论地震图.

Key words

source seismic moment / Lg wave / source model / yield estimation / synthetic seismogram

0 引言

估算地下爆炸的当量一直是禁核试核查地震监测领域关注的热点问题（Adushkin，2001； Pasyanos and Myers，2018；Jin et al.，2019），目前常用的当量估算方法有基于统计结果的震级-当量关系（Marshall et al.，1971；Murphy and Mueller，1971； Zhao et al.，2012）、基于震源模型的台网平均P波频谱法（Murphy and Barker，2001）和基于区域震相的振幅谱反演（Sereno et al.，1988；Xie，1993；靳平等，2004）等方法. 其中，振幅谱反演方法根据Pn波或Lg波震相幅值反演得到事件的地震矩，结合震源模型（Murphy and Mueller，1971；Denny and Johnson，1991）中的地震矩-当量关系来估算当量. 由于震源模型中的折合位移势本质上是距离归一化的Pn波位移势，因此利用Pn波得到的源地震矩可以直接代入经典的震源模型进行当量估算. 但实际中Pn波的几何扩散受上地幔速度梯度等因素的影响较为复杂，反演得到的源地震矩不确定度较大. 另外通过波形反演等方法反演事件震源机制（Herrmann，1995；Zhu and Ben⁃Zion，2013；万永革， 2024； 徐志双等，2025）也可以得到源地震矩，但由于要计算格林函数，所需时间较长、耗费计算资源较大. 而Lg波作为区域震相中幅值最大、最稳定的震相（何静等，2017），利用其振幅谱可以快速反演得到Lg波地震矩，结果也相对稳定.

因此通过标定Lg波地震矩与源地震矩关系，可以快速确定地下爆炸地震矩和矩震级，进一步结合震源模型实现对当量的快速估算. 但目前来看，Lg波地震矩与源地震矩的关系并不明确. Sereno et al.（1988）曾对斯堪的纳维亚的工业爆破进行了研究，得到M₀（Lg）≈0.27M₀（exp），但这一结论对其他核试验场地并不一定适用. 本文以朝鲜和内华达核试验场地为例，通过仿真不同情况下的理论地震图并反演Lg波地震矩，对地下爆炸M₀（Lg）/M₀（exp）关系进行了标定，研究了源区介质、埋深和源成分等因素对两者关系的影响，进而建立起基于M₀（Lg）的当量估算方法.

1 方法

1.1　Lg波地震矩反演方法

根据Xie（1993），地下爆炸或地震事件在特定台站上的Lg波幅值谱可以表示为：

A\left(f\right)=S\left(f\right)G\left(\Delta \right)\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\frac{\mathrm{\pi }f\Delta }{Q\left(f\right)v}\right)X\left(f\right)r\left(f\right),（1）

其中：A（f）为Lg波位移谱；S（f）为源频谱；Δ为震中距（km）；X（f）表示场地效应；r（f）为随机干扰；G表示几何扩散且G=({∆}_{\mathrm{0}}{∆)}^{-\mathrm{1}/\mathrm{2}}；{∆}_{\mathrm{0}}为参考距离，可取100 km；v为Lg波群速度（km/s）；Q\left(f\right)=Q_{\mathrm{0}}{f}^{\eta }，其中Q₀为1 Hz时传播路径上的品质因子；η为的频率指数.

对于地震事件，源频谱可以表示为（Street et al.，1975）：

S^{\mathrm{e}\mathrm{q}}\left(f\right)=\frac{M_{\mathrm{0}}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }\rho v_{\mathrm{S}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+f/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}}\beta,（2）

其中：M₀为地震矩（N·m）；f_c为源拐角频率；ρ、v_S分别为源区介质密度（kg/m³）和S波速度（km/s）.

对于地下爆炸，Sereno（1988）提出了一种简化的MM71模型：

S^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}\left(f\right)=\frac{M_{\mathrm{0}}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }\rho v_{\mathrm{S}}^{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{{\left[\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}-\mathrm{2}\beta \right)f^{\mathrm{2}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{f}^{\mathrm{4}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}}\right]}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}},（3）

其中：β=4v_P²/v_S².

根据（1）式，对某一特定事件，可以得到第i个台站上实际观测到的Lg谱在第j个频率采样点与理论值的误差（τ为Lg波平均走时）：

d_{ij}=\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{A_i\left(f_j\right)\sqrt[]{{\Delta }_{\mathrm{0}}{\Delta }_i}}{S\left(f_j\right)}+\frac{\mathrm{\pi }{f}_j^{\mathrm{1}-{\eta }_i}\tau }{Q_{\mathrm{0}i}},（4）

利用（4）式可以将反演问题转化为求参数m=［M₀^Lg，Q₀，f_c，η］的最优解，使得误差d_ij 最小. 进一步的，（4）式可转化为求解下列方程：

-G\Delta m=\Delta d,（5）

其中：G为位移谱对4个参数的偏导数矩阵，对地震事件：

G=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial d_{ij}}{\partial Q_{\mathrm{0}i}}=-\frac{\mathrm{\pi }{f}_j^{\mathrm{1}-{\eta }_i}}{Q_{\mathrm{0}i}^{\mathrm{2}}}& \frac{\partial d_{ij}}{\partial {\eta }_i}=-\frac{\mathrm{\pi }{f}_j^{\mathrm{1}-{\eta }_i}{\tau }_i}{Q_{\mathrm{0}i}^{\mathrm{2}}}\mathrm{l}\mathrm{g}{f}_j\\ \frac{\partial d_{ij}}{\partial \mathrm{l}\mathrm{n}{M}_{\mathrm{0}}}=-\mathrm{1}& \frac{\partial d_{ij}}{\partial f_c}=-\frac{\mathrm{2}{f}_j^{\mathrm{2}}}{f_j^{\mathrm{2}}+f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{1}}{f_{\mathrm{c}}}\end{array}\right].（6）

对于地下爆炸，则有：

\frac{\partial d_{ij}}{\partial f_{\mathrm{c}}}=\frac{\left(\mathrm{2}\beta -\mathrm{1}\right)f^{\mathrm{2}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{\beta }^{\mathrm{2}}{f}^{\mathrm{4}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{5}}}{\left[\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}-\mathrm{2}\beta \right)f^{\mathrm{2}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{f}^{\mathrm{4}}/f_{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}}\right]}.（7）

对于（5）式的求解，常用的有梯度下降算法、高斯牛顿法等. 基本原理是预设一组初始解m₀，代入（5）式得到∆m，令m₁=m₀+∆m，反复迭代直到|∆d|小于预设的误差值，即可得到最优化参数. Xie（1993）反演了单次事件-多台的情况，靳平等（2004）反演了多台-多事件的情况.

在实际中，当预设的初始解m₀离最优解m_i较远时，高斯牛顿算法往往不能收敛，因此我们采用Levenberg⁃Marquardt方法，即求解（5）式时引入阻尼因子λ，使得：

∆m=-(G^{\mathrm{T}}{G+\lambda I)}^{-\mathrm{1}}{G}^{\mathrm{T}}∆d,（8）

当λ=0时，L⁃M方法退化成高斯牛顿算法，较大时，则近似于梯度下降算法.

1.2　 Q值反演方法

一般地，反演Lg波Q值的方法有单台法（Xie and Nuttli，1988）、双台法（Xie and Mitchell，1990）和反双台法（Chun et al.，1987）等. 本文仿真时采用的是一维层状速度模型，因此当震源深度固定时，利用双台法反演出两个台站之间路径的Q值，即可视为震源到任意台站路径上的Q值. 双台法的原理为：当有两个台站记录到同一次事件的Lg波信号时（假设两个台站与事件位于同一个大圆弧路径上），利用（1）式可以得到它们的位移频谱比值. 类似于Xie（2002），记D为（忽略场地效应和随机干扰）：

D=\frac{v}{\mathrm{\pi }\left({\Delta }_j-{\Delta }_i\right)}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\sqrt[]{\frac{{\Delta }_j}{{\Delta }_i}}\frac{A_i}{A_j}\right)=\frac{f}{Q}.（9）

结合Lg波Q值定义（Mitchell，1980）：Q=Q₀f^η，则D与Q值在对数域满足下面的线性关系：

\mathrm{l}\mathrm{n}D=-\mathrm{l}\mathrm{n}{Q}_{\mathrm{0}}+\left(\mathrm{1}-\eta \right)\mathrm{l}\mathrm{n}f.（10）

利用（10）式对观测数据进行拟合，即可得到两个台站之间传播路径上的Q值.

2 理论波形标定结果

理论地震图仿真采用Zhu and Rivera（2002）基于频率波数积分方法开发的fk软件，fk中可以以地震矩张量的形式设置震源. 一般的，地震矩张量M可以分解为各向同性源（ISO）、线性补偿偶极源（CLVD）和双力偶源（DC），如下式所示：

M=M_{\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}}\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]+M_{\mathrm{D}\mathrm{C}}\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]+M_{\mathrm{C}\mathrm{L}\mathrm{V}\mathrm{D}}\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{0.5}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{0.5}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right].（11）

在仿真时，先设置好ISO源标量地震矩大小，再根据情况设置次生震源相对强度，利用（11）式得到震源的全矩张量，并根据各分量计算总的地震矩强度，如下式所示：

M_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{i=\mathrm{3}}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{j=\mathrm{3}}}{M}_{ij}}.（12）

对于地下爆炸，埋深一般与当量成比例，因此本文通过假设不同当量研究埋深的影响. 对于震源成分，首先考虑“ISO+CLVD”源情况，其中CLVD/ISO源相对强度用F_CLVD表示.

我们仿真了不同当量下的理论地震图，假设当量分别为10 kt，100 kt，1 000 kt和10 000 kt，取比例埋深120 m/kt^1/3，则对应的埋深分别为0.26 km，0.60 km，1.20 km和2.60 km，相应的地震矩可以根据Denny et al.（1991）提出的震源模型（DJ91）和表1给出的源区介质参数得到，其中内华达场地模型（NTS）参考Stevens et al.（1986），朝鲜场地模型（KOR）采用Ford 2009模型（Ford et al.，2009），同时取F_CLVD分别为0，0.3，0.5.

图1给出了朝鲜场地模型下，埋深为0.26 km时震中距为400~1 000 km台站上的仿真波形，红色表示用3.0~3.6 km/s速度窗截取的Lg波波形，图中可以看到明显的Rg震相.

利用截取的波形，基于上文“双台法”反演Lg波Q值. 为保证反演结果的准确性，将不同震中距上的两个台站组成一个台站对，对其D值叠加取平均作为反演的观测数据. 选取台站对参照如下原则：1.根据（9）式的物理意义，D值不能为负，因此当两个台站在某频率点D值为负时，在该频率点舍去该台站对比值，只考虑其他台站对的结果；2.由于速度模型为层状介质，不同台站对之间的Lg波位移谱比值趋势应该相同，因此将偏离整体结果较大的台站对舍去. 依据上述原则对不同震中距上的台站自由组合，取平均结果保证Q值反演结果的准确性和稳定性.

对截取的仿真Lg波形做4 096点快速傅里叶变换，并取10点光滑后得到位移谱. 对位移谱进行抽样，类似于Xie（2002），抽样频带为0.2~3.6 Hz. 计算各台站对的振幅谱比值，为保证结果准确性，将5组位移谱比值在相应的频率上叠加并取均值，最后利用（10）式进行拟合，观测值和理论曲线如图2所示.

根据图2中的拟合结果，我们得到传播路径上的Q值（以埋深0.26 km为例）：

.（13）

根据双台法得到的Q值，结合上节中Lg波谱反演方法进一步反演Lg波地震矩，结果如图3所示. 其中星号为各台站得到的Lg波地震矩，直线表示源地震矩（2.8×10¹⁵ N·m）. 可以看出，不同震中距上反演得到的M₀（Lg）相对稳定，说明了反演方法的合理性. 图3下图给出了源拐角频率f_c的反演结果，注意这里的f_c为视拐角频率.

按照以上步骤，我们反演了不同埋深和F_CLVD值情况下的Lg波地震矩，对不同场地，M₀（Lg）/M₀（exp）与F_CLVD值关系如图4所示. 可以看出，对于朝鲜场地，引入CLVD源后，M₀（Lg）/M₀（exp）出现明显下降，表明CLVD源会减弱Lg波的幅值，并且在震源埋深较浅时，这种减弱作用会随着CLVD源相对强度的增强而增强，埋深较大时，CLVD源的影响不再明显. 对于内华达场地，震源相对强度的影响不大，不同源成分和埋深时的M₀（Lg）/M₀（exp）比值接近.

只有ISO和DC源情况下的反演结果如图5所示，DC源的相对强度可以用F_DC表示，其定义为F=M_DC/M_ISO，对F_DC因子取0.3~0.6. 对于KOR场地，相比于纯爆炸源情况，DC源存在时M₀（Lg）也出现明显下降，但DC源对Lg的减弱作用没有CLVD源明显，同时这种减弱作用也随着埋深增加而减小. 对于NTS场地，DC源会较轻微的减弱M₀（Lg）.

进一步考虑ISO+CLVD+DC源的情况，设F_DC=0.3，反演结果如图6所示. 结合图4，图5，对于KOR场地， DC和CLVD源共同作用进一步减弱了Lg波强度，使得M₀（Lg）/M₀（exp）比值相比单一次生震源的结果都要小. 对于NTS场地，次生震源的影响仍不明显，M₀（Lg）/M₀（exp）比值整体相对KOR场地较小.

3 实际数据验证结果

本节根据前文结果，利用Lg波地震矩估算朝鲜2017年核试验（Kor17）当量. 反演Lg波地震矩所用地震数据主要来源于中国数字地震台网. 去除幅值明显不合理的台站后，从中筛选出震中距在5°~10°范围内、Lg波发育较好的台站波形作为反演所用数据. 部分台站分布和Kor17事件位置如图7所示.

Xu et al（2020）利用gCAP方法结合面波幅值比反演了Kor17的震源相对成分，其中假定埋深0.5 km和1.0 km时得到CLVD源与ISO源相对强度均约为0.46，矩震级分别为5.37和5.46， Liu et al.（2018）利用全波形反演方法得到埋深1.5 km情况下，Kor17中ISO源成分约为55%~60%，CLVD源成分约为30%~45%，即CLVD/ISO约为0.5~0.8，矩震级为5.7. 根据Jin et al（2023）的结果，Kor17的埋深约为600 m. 综合以上结果，假设Kor17埋深0.6 km，M_CLVD/M_ISO为0.5，结合上文图4中的反演结果，则对于Kor17，有：

M_{\mathrm{0}}^{\mathrm{L}\mathrm{g}}\approx \mathrm{0.27}{M}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}.（14）

同时根据上文利用Ford 2009模型对Lg波Q值的反演结果，埋深0.6 km、CLVD/ISO相对强度0.5时有：

\left\{\begin{array}{c}{Q}_{\mathrm{0}}=\mathrm{272}\\ \eta =\mathrm{0.5}\end{array}\right..（15）

给定Q₀和η值后，对图7中的台站数据，利用3.0~3.6 km/s速度窗截取Lg波形，对其做FFT变换后取0.1~5.0 Hz频谱幅值，利用上文中的方法反演Lg波地震矩，部分台站的反演结果如图8所示，其中黑色虚线表示观测Lg波频谱，灰色为迭代曲线，红色为最优的参数组合下的理论谱.

图9给出了各台站反演得到的M₀（Lg）及其均值，可以看出反演结果有一定的离散度，其原因主要是反演前根据一维速度模型反演结果预先给定了统一的Lg波Q值，对实际中不同方向上台站的传播路径并不完全适用，因此反演结果会出现一定的离散度和误差.

根据反演结果均值，结合（12）式估算Kor17的源地震矩，利用M₀=4πρα²φ_∞得到地下爆炸折合位移势φ_∞，其中α为S波波速. 根据DJ91模型：

{\varphi }_{\mathrm{\infty }}=\frac{\mathrm{3.4}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{9}}W}{{\beta }^{\mathrm{1.154}\mathrm{4}}{\left(\rho \mathrm{g}h\right)}^{\mathrm{0.438}\mathrm{5}}{\mathrm{10}}^{\mathrm{0.034}\mathrm{4}GP}},（16）

其中：β、ρ分别为源区S波波速和介质密度；GP为空隙密度；W为当量（kt）. 对于朝鲜场地，参考Ford模型，取α=5 000 m/s，β=α/\sqrt[]{\mathrm{3}}，ρ=2 700 kg/m³，GP=1，得到当量约为210 kt，与其他研究估算的结果较为一致（Jin et al.，2023；Lu et al.，2024）.

4 讨论

本文基于Lg波地震矩的当量估算方法利用了地下爆炸震源模型，这一模型是Denny et al（1991）根据不同国家地下核爆炸、化爆和实验室爆炸测量结果，采用回归分析方法得到的经验模型，因此基于此模型得到是面向全球的平均结果. 除模型本身外，介质参数也会对当量估算结果有明显的影响. 在对朝鲜第六次核试验当量估算中，尽管我们已经根据朝鲜地区的速度模型选择了合适的参数，但这些参数来源于一维速度模型，无法完全代表试验场地精确的介质特性，因此模型本身的形式以及参数的误差都会导致当量估算结果的误差.

针对本文发现的Lg波强度随埋深下降问题，我们进一步测量了纯ISO源情况下，不同深度时的P/S幅值比（以朝鲜速度模型为例），结果如图10所示（图中分别给出了原始波形和1~2 Hz滤波后的幅值比）. 可以看出随着深度的增加，P/S幅值比也增大. 由于爆炸源并不直接激发S波，观测到的S波主要来自P⁃S转换，P/S幅值比增大表明了P⁃S转换效应变弱，而Lg波成因之一是S波在地壳内多次反射形成的导波（何静， 2017），因此根据仿真结果，可以推测随着爆炸埋深增大，P⁃S转换效应变弱导致了Lg波强度的下降.

5 结论

本文研究了朝鲜和内华达核试验场地Lg波地震矩与源地震矩关系并进行了标定，分析了介质模型、源成分和埋深对M₀（Lg）/M₀（exp）的影响，结合地下爆炸震源模型建立了基于Lg波地震矩的当量估算方法. 综合两个场地的反演结果，可以得到以下结论：

（1）M₀（Lg）与M₀（exp）关系对场地有强烈的依赖性，不同场地的M₀（Lg）/M₀（exp）比值可能会有较大差异，朝鲜场地的比值基本在0.2以上，而内华达场地在0.2以下.

（2）次生震源对不同场的影响不同，对于朝鲜场地，CLVD源和DC源会明显使M₀（Lg）/M₀（exp）减小，表明次生震源会减弱Lg波的激发. 对于内华达场地，由于单一ISO源激发的M₀（Lg）/M₀（exp）已经较小，次生震源的影响不明显.

（3）在纯爆炸源情况下，M₀（Lg）/M₀（exp）整体上会随埋深增加而较小，根据我们仿真实验结果，主要是由于P⁃S转换效应变弱，S波强度下降，进一步导致了Lg波幅值减小.

通过理论仿真的方法，我们标定了两种典型核试验场地的M₀（Lg）/M₀（exp），并进一步以朝鲜17年核试验为例，利用区域台阵波形反演了M₀（Lg）并估算了核试验当量，结果与其他研究结论较为一致，表明了本文建立的基于Lg波地震矩估算源地下爆炸当量方法的可行性.

需要注意的是，本文得到的M₀（Lg）/M₀（exp）标定关系是基于一维速度模型得到的，忽略了实际中地球介质横向不均匀性造成的不同方向传播路径差异（即Q值差异），因此针对具体的场地和特定台站，要想精确地标定M₀（Lg）/M₀（exp）比值或研究上述因素的影响，还需要更精细的三维理论地震图仿真和反演工作.

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