基于机器学习的高铁边坡位移预测不确定性度量与应用

Uncertainty Measurement and Application of High-Speed Railway Slope Displacement Prediction Based on Machine Learning

摘要

为解决不确定性问题对高铁边坡位移预测精度的影响，引入区间预测理论量化位移预测中的不确定性问题，并建立Bootstrap-GRU-BP混合区间预测模型（BGB模型）。该模型首先采用基于Bootstrap的门控循环单元（Gated Recurrent Unit，GRU）算法度量位移预测均值和认知误差的方差，再采用BP算法度量随机误差的方差，然后将位移预测均值、认知误差和随机误差的方差3者结合在一起，量化出一定置信水平下的预测区间。最后，基于杭绍台高铁沿线边坡的监测数据，探讨BGB模型认知不确定性的响应特征，并通过对比多种区间预测模型来验证BGB模型的优越性。结果表明：BGB模型不仅能构造清晰可靠的预测区间，还能提供高精度的点预测结果；改变模型输入特征和预测算法会导致认知不确定性的改变，而BGB模型所构造的预测区间能正确地响应不确定性的变化；对比以极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）和支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）为核心的区间预测模型，BGB模型的区间预测和点预测性均能更优。研究成果可为高铁边坡位移发展提供可靠的预测结果，进而为高铁边坡可靠度分析提供理论基础。

Abstract

To solve the influence of uncertainty on the prediction accuracy of high-speed railway slope displacement, an interval prediction theory is introduced to quantify the uncertainty in displacement prediction, and a Bootstrap-GRU-BP (BGB) hybrid interval prediction model is established. BGB model firstly uses the Bootstrap-based Gated Recurrent Unit (GRU) algorithm to measure the predicted mean value of displacement and the variance of cognitive error, uses the BP algorithm to measure the variance of random error, and then combines the predicted mean of displacement, the variance of cognitive error and random error to quantify the prediction intervals under a certain confidence level. Finally, based on the monitoring data of the slopes along the Hangzhou-Shaoxing-Taizhou High-Speed Railway, the response characteristics of the cognitive uncertainty of the BGB model are explored, and the superiority of the BGB model is verified by comparing multiple interval prediction models. The results show that the BGB model not only constructs clear and reliable prediction intervals but also provides highly accurate point prediction results; changing model input features and prediction algorithm leads to the change of cognitive uncertainty, while the prediction intervals constructed by the BGB model can correctly respond to the changes in uncertainty. Compared to the interval prediction models centered on Extreme Learning Machine (ELM) and Support Vector Regression (SVR), the BGB model has better performance in both interval and point predictions. The research results can provide reliable prediction results for the development of high-speed railway slope displacement, and further provide the theoretical basis for the reliability analysis of high-speed railway slope.

Graphical abstract

关键词

边坡位移预测 / 不确定性度量 / 区间预测 / 机器学习 / Bootstrap算法

Key words

Slope displacement prediction / Uncertainty measurement / Interval prediction / Machine learning / Bootstrap algorithm

截至2022年，我国高速铁路运营里程突破4万公里，稳居世界第一。高铁边坡是高速铁路基础设施的重要组成，在其建设或运维过程中不可避免受到多种外部条件影响，劣化长期服役性能，进一步诱发边坡失稳等问题^［1-2］。高铁具有速度快、运能大、维养难等特点，一旦发生边坡失稳破坏，将对铁路运输及人民生命财产安全造成巨大损失。位移是边坡失稳演化过程中的关键信息，可表征边坡状态的发展趋势^［3］。因此，可采用数据挖掘方法对边坡位移监测数据进行预测分析，以期进一步实现边坡安全可靠性评价。

随着信息化技术的发展，机器学习在边坡位移预测领域得到推广应用。为提升支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）、极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM），BP神经网络和随机森林等单一预测算法的性能，学者们引入粒子群（Particle Swarm Optimization，PSO）算法、遗传算法、灰狼算法等元启发式算法优化其内部参数，形成混合预测算法^［4-7］。上述研究使得边坡位移预测结果的准确性得到保证，但其中所涉及的算法均为确定性的点预测方法，仅能提供边坡预测位移的数值，未考虑人类先验知识、预测模型建立、边坡内外随机过程和采集数据等条件中存在的多种不确定性所导致的误差，难以保证点预测结果的可靠性和可信度^［8］。因此，有必要在既有高精度点预测算法的基础上，引入区间预测的理论来量化表征边坡位移预测中的不确定性问题。

Bootstrap法是区间预测方法的一种，也被称作自举法或靴带法，其优势在于只依赖原始观测样本数据，进行统计推断时无须假设总体分布或增加新的观测数据。该方法不仅广泛应用于电力、水利等领域^［9-10］，也为在边坡监测有限数据条件下模拟统计量分布提供了新方法。Ma等^［8］最早将Bootstrap法应用于滑坡位移区间预测领域，与ELM算法、人工神经网络结合形成一种混合方法，并在三峡库区树坪滑坡位移的概率预测中取得了较理想的效果。随后，李麟玮等^［11］、Ge等^［12］进一步讨论了不同Bootstrap算法的适用性、点预测与区间预测的关系、突变点预测精度提升及计算效率等。然而，现有研究仍存在以下3方面问题。第一，上述Bootstrap区间预测方法的应用场景均为库区滑坡领域，尚无在高铁滑坡位移预测领域的研究成果，而高速铁路对边坡稳定性要求更为严格，因此该方法的适用性及预测质量等亟待验证。第二，上述研究未对预测模型输入特征或模型种类与认知不确定性之间的量化关系进行讨论，所提的多种混合区间预测模型能否正确响应此不确定性仍需考量。第三，上述研究所涉及的核心预测算法（ELM和多层感知机）以及其他区间预测问题中所常用的SVR算法^［13］本身均呈静态特性，不能兼顾边坡位移的历史信息，制约了位移预测精度的提升。边坡位移变化是一个动态过程，Cho等^［14］2014年提出的门控循环单元（Gated Recurrent Unit，GRU）具有记忆历史信息的功能，在处理位移时间序列数据方面有较大优势^［15］，将其融入既有Bootstrap框架，理论上更为适用。

在Bootstrap算法的框架基础上，融合GRU和BP算法，分别量化边坡位移预测过程中的认知不确定性与随机不确定性，建立Bootstrap-GRU-BP（BGB）混合区间预测模型；结合杭绍台高铁沿线边坡的监测数据探讨BGB模型对认知不确定性的响应特征，并通过对比多种区间预测模型验证BGB模型在区间预测和点预测性能方面的优越性。

1 基于区间预测理论的不确定性表征

1.1　边坡位移预测不确定性来源

边坡位移预测中的不确定性主要分为认知不确定性和随机不确定性2部分。

1）认知不确定性

认知不确定性考虑人类认知水平与预测模型的影响，主要表现为以下2种形式。第一，由于对边坡劣化机理或灾变机制的认识不准确，导致预测模型的输入特征选择不合理，这对于预测模型的性能有很大的影响，增加了预测结果的不确定性，例如在膨胀土边坡位移预测模型中，如何从降雨量、孔隙水压力、土压力等多源影响因素中优选最佳输入特征的问题。第二，预测模型种类的选取及模型确定后相应参数的设置过程使得预测结果有明显的不确定性，例如，在众多机器学习预测模型中，常通过对比分析或者经验知识来选择最优模型，而这一过程便存在较大的不确定性。另外，在模型超参数整定过程中需选取参数优化算法、确定优化指标等，可能存在参数寻优范围设置不合理、优化算法陷入早熟或局部最优解的问题，这势必会在后续预测结果中引入无法忽视的不确定性。

2）随机不确定性

随机不确定性主要来自监测噪声数据集中，主要表现为以下2种形式。第一，边坡位移发展受外界环境和边坡材料力学特性共同影响，而内外因素相互作用过程中具有随机性和可变性。另外，作用于边坡上的外界荷载（例如列车活载、地震荷载、坡顶堆载等）与边坡内部参数是时变的，这进一步加剧了边坡系统的不确定性。第二，监测数据在传感器安装、数据采集与传输的过程中不可避免地受到各种干扰而产生误差，例如监测设备不完善会产生测量误差，监测仪器的错误校准、采样程序的偏差会导致系统误差，数据传输过程中出现数据丢包问题而导致数据缺失等。因此，以这些数据为基础执行训练、验证和测试后得到的边坡位移预测模型，势必会受到数据误差的影响而产生不确定性。

综上所述，与边坡位移预测相关的不确定性无法完全避免或确定性量化，这使得位移点预测结果的可靠性得不到保证，有时较大的误差还会影响点预测的效果和精度，出现预测失败的问题。因此，可引入区间预测理论，以概率方式量化边坡位移预测中的不确定性，使得预测结果的可信度、参考与应用价值得到提升。

1.2　边坡位移预测不确定性量化方法

区间预测中，为量化点预测中的不确定性提出了预测区间P_is的概念。在显著性水平为\alpha时，预测区间给出了预测上限U_{\alpha }和预测下限L_{\alpha }，代表预测值\widehat{f}潜在取值范围的估计。

以一个边坡位移预测任务为例，其原始监测数据集T包括了输入特征\mathit{X}和输出特征\mathit{Y}

\mathit{X}=({\mathit{x}}_{\mathrm{1}}{\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\cdots {\mathit{x}}_t\cdots {\mathit{x}}_N{)}^{\mathrm{T}}t=\mathrm{1,2},\cdots ,N（1）

\mathit{Y}=\left(y_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}\cdots y_t\cdots y_N\right)（2）

式中：{\mathit{x}}_t为第t个输入特征向量，一般由边坡的历史时刻位移及位移影响因素组成；N为输入特征向量个数；y_t为第t个输入特征向量对应的输出特征，取为未来时刻边坡位移的监测值。

则边坡位移预测的不确定量化表示流程如下。

1）确定输出目标表达式

若y_t与{\mathit{x}}_t之间存在一个非线性映射关系f(\mathit{x})，则y_t可表示如下

y_t=f\left({\mathit{x}}_t\right)+\epsilon \left({\mathit{x}}_t\right)（3）

式中：f\left({\mathit{x}}_t\right)为真实的回归值；\epsilon ({\mathit{x}}_t)为目标观测噪声（随机误差），主要由边坡现场采集数据的不确定性（监测设备与监测技术的不完善）导致，假设\epsilon \left({\mathit{x}}_t\right)服从均值为0、方差为{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)的高斯分布^{［12，16］}。

2）计算边坡位移预测误差

采用机器学习算法进行回归预测，该算法在训练集上训练后建立相应预测模型，并在测试集上预测，得到预测输出为\widehat{f}(\mathit{x})，则预测总误差\delta \left({\mathit{x}}_t\right)可表示如下

\delta \left({\mathit{x}}_t\right)=y_t-\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)（4）

\delta \left({\mathit{x}}_t\right)亦可表示为

\delta \left({\mathit{x}}_t\right)={\epsilon }_{\widehat{f}}\left({\mathit{x}}_t\right)+\epsilon \left({\mathit{x}}_t\right)（5）

其中，

{\epsilon }_{\widehat{f}}\left({\mathit{x}}_t\right)=f\left({\mathit{x}}_t\right)-\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)

式中：{\epsilon }_{\widehat{f}}\left({\mathit{x}}_t\right)为认知误差，表示预测输出相对于真实回归值的差距。

3）计算边坡位移预测总误差的方差

预测总误差由认知误差和随机误差构成，且这2部分误差相互独立^［8，17］，则总误差的方差{\sigma }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)可表示为

{\sigma }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)={\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)+{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)（6）

式中：{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)为认知误差的方差。

4）构造边坡位移预测区间

显著性水平为\alpha，则边坡位移预测区间可按下式构造

L_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)\le f\left({\mathit{x}}_t\right)\le U_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)（7）

其中，

U_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)=\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)+c_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)}

L_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)=\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)-c_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\sqrt[]{{\sigma }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)}

式中：c_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}为位移预测区间的置信度，其值取决于置信水平\left(\mathrm{1}-\alpha \right)\times \mathrm{100}\mathrm{\%}，具体求解可查阅标准正态分布的分位数表。

2 Bootstrap-GRU-BP混合区间预测模型

2.1　Bootstrap算法

Bootstrap算法^［17］是一种基于重采样技术的非参数统计方法。在边坡位移区间预测中，假设目标边坡原始监测数据集T包括了输入特征\mathit{X}和输出特征\mathit{Y}，总体分布未知，则采用Bootstrap算法进行模拟的主要流程如下。

1）重采样

对边坡原始监测数据集T以等概率（抽样概率为\mathrm{1}/N）进行N次随机抽样，得到与原始监测数据集T样本容量相同的伪样本集T^{\mathrm{*}}。重复上述步骤A次，可得到A个伪样本集。

2）参数估计

对每个伪样本集T^{*}计算特定的统计量（例如位移预测值），得到A个统计量，进一步可根据这A个统计量估计未知参数，包括均值和方差等。

2.2　GRU门控循环网络

GRU在保留已有循环神经网络功能的基础上，优化了结构框架，无论是在模型收敛、训练速度还是在泛化能力上都更优^［15］。鉴于此，可将GRU应用于边坡位移预测，进一步估计预测模型认知误差的方差。

在GRU网络结构中，输入特征{\mathit{x}}_t首先进入GRU循环单元的更新门和重置门，重置门使用\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}非线性激活函数计算得到候选隐状态，并结合更新门控制当前隐状态，最终输出边坡位移序列\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)，GRU循环单元的一次前向计算可参考文献［15］。GRU算法是BGB区间预测模型的核心，其性能对最终区间预测的效果影响重大。为保证GRU的预测性能，本部分引入改进PSO算法对GRU算法的超参数进行优化，以实现其自适应确定，关于改进PSO算法的详细阐述可参考文献［18］。

2.3　BP神经网络

BP神经网络具有很强的复杂非线性映射、学习和泛化能力，可用于估计预测模型随机误差的方差。一个典型的BP神经网络结构包含一个输入层、一个或多个隐藏层和输出层，在训练过程中，通过信号的前向传递和误差反向传播的反复学习，不断调整权重得到误差控制下的预测结果。

2.4　Bootstrap-GRU-BP混合区间预测模型

基于上述理论背景，提出一种Bootstrap-GRU-BP混合边坡位移区间预测模型。该模型以Bootstrap算法为基础框架，利用GRU算法度量位移预测均值和认知误差的方差；进一步，利用BP算法度量随机误差的方差。Bootstrap-GRU-BP区间预测模型建立流程如图1所示，主要分为如下5个步骤。

步骤1：边坡监测数据预处理与伪训练集生成。

（1）数据预处理。获得边坡的原始监测数据集T，首先对其做线性函数归一化处理，将值映射到0~1之间。需要注意的是，后续得到预测结果后需进行反归一化处理，使预测结果为真实值。

（2）伪训练集生成。按照8∶2的比例将数据集T划分为训练集T_{\mathrm{t}\mathrm{r}}和测试集T_{\mathrm{t}\mathrm{e}}，并利用Bootstrap算法对训练集进行N_{\mathrm{t}\mathrm{r}}次重采样（N_{\mathrm{t}\mathrm{r}}为训练集样本总数），得到一个伪训练集T_{\mathrm{t}\mathrm{r}}^{*}，重复上述步骤A次，生成A个伪训练集。

步骤2：GRU门控循环神经网络训练与模型保存。

（1）训练过程数据集划分。将伪训练集T_{\mathrm{t}\mathrm{r}}^{*}输入到GRU门控循环神经网络中，并通过设置自动切分验证参数从伪训练集中分出25%作为伪验证集T_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}}^{*}，供模型训练过程中进行验证，防止过拟合现象。

（2）GRU门控循环神经网络参数优化。引入改进PSO算法进行超参数整定，获得GRU网络的最佳参数配置。

（3）模型保存。基于（2）所得GRU最优参数配置，输入伪训练集T_{\mathrm{t}\mathrm{r}}^{*}执行GRU的迭代训练，待训练结束后保存最佳模型。重复上述步骤A次，得到A个训练好的GRU模型。

步骤3：位移预测均值计算与认知误差方差估计。

（1）位移预测均值计算。将测试集T_{\mathrm{t}\mathrm{e}}分别输入到训练好的A个GRU预测模型中进行预测，可得到A个位移预测结果{\widehat{f}}_a\left({\mathit{x}}_t\right)，a=\mathrm{1,2},\dots ,A。将A个模型的结果进行集合，可得到小偏差条件下位移预测真实回归的估计值^［19］，即通过平均A个GRU预测模型的预测值\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)来估计真实的边坡位移回归值

\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)=\frac{\mathrm{1}}{A}{\displaystyle \sum _{a=\mathrm{1}}^A}{\widehat{f}}_a\left({\mathit{x}}_t\right)（8）

（2）认知误差方差估计。假定GRU模型的边坡位移预测值是无偏的，则认知误差的方差可以用A个点预测值的方差{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)来估计^［20］

{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)=\frac{\mathrm{1}}{A-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{a=\mathrm{1}}^A} {\left({\widehat{f}}_a\left({\mathit{x}}_t\right)-\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)\right)}^{\mathrm{2}}（9）

步骤4：基于BP模型的随机误差方差估计。

（1）确定模型随机误差的方差估计公式。在确定模型认知误差的方差后，为构造边坡位移的预测区间，还需估计模型随机误差的方差{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)。参考Ma等^［8］、李麟玮等^［11］和Ren等^［21］的研究成果，随机误差的方差{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)由下式进行估计

{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)=\mathrm{E}\left({\left(y_t-\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)\right)}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)\right)（10）

式中：\mathrm{E}为取数学期望。

（2）构建平方残差数据集。为顺利实现对{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)的预测，基于式（10）重新构建边坡位移预测的平方残差r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)

r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left({\left(y_t-\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)\right)}^{\mathrm{2}}-{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right),\mathrm{0}\right)（11）

r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)与{\mathit{x}}_t组合可建立平方残差数据集T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}}，该残差数据集的输入特征为X，输出特征为r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)构成的向量\mathit{R}

\mathit{R}=\left(r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_{\mathrm{1}}\right)r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_{\mathrm{2}}\right)\cdots r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)\cdots r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_N\right)\right)（12）

参考步骤1中数据集的划分方法，可将T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}}划分为平方残差训练集T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\_\mathrm{r}}和平方残差测试集T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\_\mathrm{e}}。

（3）BP模型损失函数改进及{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)预测。以T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\_\mathrm{r}}为基础可建立一个用来预测{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)的BP模型，在训练过程中，预测目标是使得观测样本{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)在T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}}中出现的概率最大，而传统的均方误差或平均绝对误差等均无法实现这一目标，因此可引入极大似然估计，对BP模型的损失函数L_{\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\epsilon }进行改进^［21］。改进后L_{\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\epsilon }如下

L_{\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{s}\epsilon }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{l}\mathrm{n}{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)+\frac{r^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)}{{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)}\right)（13）

需要注意的是，为保证BP模型的预测输出{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)始终为正，须将输出层的激活函数设置为指数型函数，本部分采用softplus激活函数。同时，参考步骤2引入改进PSO算法对BP模型进行参数优化，以保证其预测性能。完成训练后，将平方残差测试集T_{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\_\mathrm{e}}输入模型，得到结果{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)。

步骤5：边坡位移预测区间构造。

由步骤3和步骤4可得A个GRU预测模型的位移预测均值\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)、认知误差方差{\sigma }_{\widehat{f}}^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)与随机误差方差{\sigma }_{\epsilon }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)，将\widehat{f}\left({\mathit{x}}_t\right)作为边坡位移的点预测值，通过式（6）得到预测总误差的方差{\sigma }^{\mathrm{2}}\left({\mathit{x}}_t\right)，进一步，通过式（7）得到边坡位移的预测区间。

3 工程应用

为证明所提出的BGB区间预测模型在量化高铁边坡位移预测不确定性方面的效果，选取浙江省杭绍台高铁沿线的边坡试验段作为工程应用实例验证。

3.1　工程概况与监测点位布设

图2为边坡现场与监测点位布设示意图。该边坡为二级边坡，坡高约9 m，坡率为1∶1.5。在坡中和坡脚位置处安装自动测斜仪，测量边坡各深度处的水平位移数据，同时布设雨量站、湿度计、水位观测孔、孔隙水压力计获取位移影响因素的数据。监测时长约为5个月，数据采集频次为每天1次。其中，0.75 m深度处的G1和G2测点数据完整性较好，且G1测点位于整个边坡中部、G2测点位于整个边坡底部，可较好反映目标边坡的变形过程，故选择G1和G2测点的监测数据进行后续分析。

3.2　结果分析

选取G1和G2测点2019年6月25日至2019年11月17日的监测数据作为原始监测样本，其中G2测点的监测数据有些许缺失并不连续，采用数据插补方法得到完整的监测样本。样本长度为146条，基于滑动窗口构建原始监测数据集T，采用Bootstrap-GRU-BP混合区间预测模型进行评估分析。

3.2.1　预测区间精度评估

预测区间覆盖率P_icp和平均预测区间宽度M_piw是用于评估预测区间可靠性和清晰度的2个重要指标，P_icp越大、M_piw越小则预测精度越高，相应计算式如下

P_{\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}}}{\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^{N_{te}}} c_t（14）

M_{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{w}}=\frac{\mathrm{1}}{N_{\mathrm{t}\mathrm{e}}}{\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^{N_{te}}} \left(U_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)-L_{\alpha }\left({\mathit{x}}_t\right)\right)（15）

式中：N_{\mathrm{t}\mathrm{e}}为测试集样本总数；c_t为布尔值，若输出目标落在了预测区间内则取1，反之取0。

在实际应用中，存在P_icp和M_piw相互冲突的问题，即通过增加预测区间宽度可以很方便获得更大的P_icp值^［21］。对此引入覆盖宽度综合评估指标C_wc，综合考虑预测区间的覆盖率和狭窄程度，C_wc越小则预测精度越高^［16］，其计算式如下

C_{\mathrm{w}\mathrm{c}}=M_{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{w}}\left[\mathrm{1}+\gamma {\mathrm{e}}^{-\eta \left(P_{\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{p}}-P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}\right)}\right]（16）

式中：\gamma为布尔型变量，由P_{\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{p}}值决定，若则\gamma =\mathrm{1}，反之取0；P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}是预测区间名义置信度，取P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}=\left(\mathrm{1}-\alpha \right)\times \mathrm{100}\mathrm{\%}；\eta是惩罚参数，与P_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}一起决定惩罚程度，取为10。

3.2.2　输入特征与算法参数选择

基于关联度分析GRA算法对边坡位移影响因素开展特征分析，得到不同特征与位移的关联度，结果见表1。

由表1可知：G1与G2测点的各特征与位移之间的相关程度由高到低排序依次为降雨量、含水率、孔隙水压力、地下水位、边坡坡度、土压力、坡顶堆载。以G1测点为例，降雨量与位移的关联性最强，关联度达到了0.82，参考李麟玮等^［7］和李丽敏等^［22］的研究成果，可选择位移和降雨量作为输入特征。

为保证BGB区间预测模型的预测精度，在建模过程中需确定算法的内部参数。在Bootstrap算法中，重采样次数A是控制模型预测性能和计算效率的关键参数。通常，将重采样次数A设置为20~200可以满足大多数分析的需求^［23］。参考Ma等^［8］和Lian等^［24］在滑坡领域使用的A值，将G1和G2测点的重采样次数均设置为50。利用改进PSO算法对GRU和BP算法中的参数进行优选，得到寻优后的G1和G2测点区间预测模型中算法参数取值，见表2。

3.2.3　区间预测结果

将各算法参数输入到区间预测模型中，分别设置90%，95%和99%共3种不同置信水平用于对比分析。在G1和G2测点的测试集上进行预测，得到3种置信水平下的区间预测结果，如图3所示。

由图3可知：G1和G2测点预测区间的区间宽度整体较为均匀，且随着置信水平的增加而增加，这与Ge等^［12］和Wan等^［25］得到的研究结果一致，以G2测点为例，在90%，95%和99%置信水平下的区间宽度分别为0.66，0.74和0.78 mm；同时，G1和G2测点的P_icp均高于对应的名义置信度P_inc，预测区间可较好地将位移实测曲线覆盖在内，表明区间预测结果的可靠性非常高。

进一步，3种置信水平下的预测区间精度评估结果见表3。由表3可知：各置信水平下的P_icp与对应的P_inc之间的差值，即平均覆盖误差A_ce^［26］保持在较小的范围，约为1%~6%；G1测点的A_ce分别为6%，5%和1%，G2测点的A_ce 分别为6%，1%和1%。综上可得，所提的BGB区间预测模型有效解决了点预测结果可靠度低的问题，可构造出清晰可靠的预测区间量化边坡位移预测过程中的不确定性。

预测区间宽度P_iw的动态变化可反映边坡变形过程中外界对其造成的不确定性影响。例如，如图3（a）所示，受外界环境影响G1测点从11月2日至11月6日发生位移突增（由49.02 mm增加至52.03 mm），对应各置信水平下的P_iw也相应增加，在99%置信水平下，P_iw峰值达到了5.56 mm，比11月2日之前的平均P_iw增加0.46 mm。同时，P_iw也受位移值大小的影响。例如，G1测点的位移值远大于G2测点，表3中各置信水平下G1测点的M_piw约为G2测点的7倍，表明位移的量级和范围越大，预测模型所涉及的不确定性也更为显著^［21］。综上，预测区间可有效地表征边坡位移变化过程中外界条件的影响，并通过P_iw反映。

BGB模型不仅能构造定量化的P_is，还能提供点预测结果。由式（11）可知，边坡位移点预测值等于A个GRU预测模型的预测均值，因此理论上置信水平的不同并不影响的边坡位移点预测值，可仅以99%置信水平为例进行分析，得到点预测结果如图4所示。

采用拟合优度、平均绝对百分比误差和平均绝对误差^［27-28］针对点预测结果评价，结果见表4。分析图4和表4可知，G1和G2测点的点预测结果与实际值吻合度较高。

3.3　输入特征对认知不确定性的影响

预测模型的输入特征选择对模型架构有很大的影响，进一步可导致边坡位移预测过程中的认知不确定性发生变化，为验证所提的BGB区间预测模型能正确响应此不确定性，以99%的置信水平为例，将模型的输入特征改为仅采用位移特征，得到区间预测结果如图5所示。不同输入特征下的预测区间精度评估结果见表5。

综合分析图5和表5可知：改变输入特征后，M_piw增幅不大，表明预测区间的清晰度并未显著变化，但P_icp大幅降低，甚至远低于P_inc为99%时的取值，导致综合评估指标C_wc出现了过大的现象。定义X_{\mathrm{D}}是仅由位移构成的输入特征集，X_DR是由位移和降雨共同构成的输入特征集。以G1测点为例，将图6（a）与图3（e）对比分析可知，BGB模型在输入特征集X_{\mathrm{D}\mathrm{R}}上的预测性能更好，可将位移实测曲线完全覆盖在预测区间内，P_icp为100%；而在特征集X_{\mathrm{D}}上则有几个位移数据点落在了预测区间的外部，其P_icp仅为91%，C_wc则达到了16.83 mm，这是由于点预测是区间预测的基础和必要前提，在不同特征集上点预测精度的差距直接导致了区间预测质量的差距；此外，特征集X_{\mathrm{D}}中并未考虑边坡位移影响因子的作用，难以应对一些外界突发情况而引起的位移变化，导致在位移突增期间（11月2日至11月6日）效果不佳，而特征集X_{\mathrm{D}\mathrm{R}}中考虑了降雨量这一主控因素的影响，更好地反映了边坡受外界诱发因素所导致的位移变化。

3.4　区间预测模型的性能

为验证所提的BGB区间预测模型的优越性，并探讨核心预测算法的改变对认知不确定性量化的影响。首先保持BP算法不变，将用于估计度位移预测均值和认知误差方差的GRU算法分别替换为ELM和SVR算法，得到Bootstrap-ELM-BP（BEB）和Bootstrap-SVR-BP（BSB）区间预测模型；然后，在置信水平为99%的条件下，分别利用上述3种模型在特征集X_{\mathrm{D}\mathrm{R}}上运算，得到评估结果见表6。表中，R²为拟合优度，M_ape为平均绝对百分比误差，M_ae为平均绝对误差。

由表6可知：在区间预测性能方面，BGB的综合评估指标C_wc最优，分别为5.82和0.78 mm，表明其综合性能优于前2种模型；值得注意的是，BGB的M_piw分别为5.28和0.78 mm，略高于BSB的4.39和0.75 mm，这主要是由于GRU算法在开始训练时，各层间的连接权重是采用高斯分布进行随机初始化，因此其点预测结果的可变性相较于SVR算法更显著。在点预测性能方面，以G2测点为例，BGB模型的R^{\mathrm{2}}，M_ape和M_ae分别为0.906，1.701%和0.096 mm，相较于其他2种模型，其各项评估指标均最优，展示了更好的泛化能力。分析其原因，其他2种区间预测模型的核心预测算法ELM和SVR本身存在局限性，呈静态特性，只能学习和使用当前时刻的位移信息，不能兼顾其历史信息，导致预测时不能充分挖掘边坡位移变化的内在趋势。

综上，BGB区间预测模型无论是区间预测还是点预测的质量均优于其他两种模型，展示了其优越性；同时，不同预测算法的认知不确定性量化表征存在差异，但可具体表现在预测结果P_icp和P_iw上。

4 结论

（1）所提的BGB区间预测模型可有效支撑高铁边坡位移区间预测，不仅能构造可靠的预测区间，在3种置信水平下各位移测点的P_icp均值高于97%，且在99%的置信水平下，P_icp为100%，A_ce仅为1%；还能提供精准的点预测结果，M_ape低于1.00%，R^{\mathrm{2}}高于0.90。

（2）预测区间宽度的变化可反映边坡位移发展过程中外界对其造成的不确定性影响。预测区间宽度也受位移本身大小的影响，G1测点的位移远大于G2测点，得到G1测点的M_piw约为G2测点的7倍，即位移数据的量级和范围越大则涉及的不确定性更为显著。

（3）改变输入特征和预测算法会导致边坡位移预测模型的认知不确定性发生变化，而BGB模型所构造的预测区间能正确地响应该不确定性，并体现在预测结果P_icp和M_piw的变化上。

（4）对比ELM和SVR为核心的区间预测模型，所提的BGB区间预测模型在区间预测和点预测精度方面都更优，可为高铁边坡位移发展提供可靠的预测结果，进一步为高铁边坡可靠度分析提供理论基础。

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基金资助

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