新型波形钢腹板组合箱梁畸变效应

Distortion Effect of New Composite Box Girder with Corrugated Steel Webs

摘要

为研究新型波形钢腹板（CSW）组合箱梁的畸变效应，以板梁框架法和位移法为基础，建立单箱多室新型CSW组合箱梁的畸变控制微分方程和边界条件，得到畸变正应力解析解，并采用有限元法检验推导结果的正确性。应用推导结果对比分析新型CSW组合箱梁与传统CSW组合箱梁的畸变性能，以及截面高度、箱室宽度和钢底板厚度对新型CSW组合箱梁畸变效应的影响。结果表明：解析解计算得到的畸变正应力与有限元模型计算的结果吻合较好，畸变角的变化规律与有限元模型计算结果一致；与传统CSW组合箱梁相比，新型CSW组合箱梁的畸变翘曲刚度减小了38.89%，畸变框架刚度减小了71.84%，抗畸变能力减弱；随着截面高度和箱室宽度增加，新型CSW组合箱梁跨中畸变角和跨中畸变双力矩均逐渐增大，且箱室宽度的影响更为明显；随着钢底板厚度增加，新型CSW组合箱梁跨中畸变角逐渐减小，跨中畸变双力矩逐渐增大。

Abstract

In order to study the distortion effect of new composite box girder with corrugated steel webs (CSW), based on plate girder-frame method and displacement method, the distortion control differential equations and boundary conditions of single-box multi-cell new composite box girder with CSW were established, to obtain the analytical solution of distortion normal stress. Through the finite element simulation, the correctness of the derived results was verified. The distortion performance of new composite box girder with CSW and traditional composite box girder with CSW were compared and analyzed by the derivation results, as well as the influence of section height, cell width and steel bottom plate thickness on the distortion effect of new composite box girder with CSW. The results show that the distortion normal stress calculated by the method in this paper is in good agreement with the results calculated by the finite element model, and the variation law of distortion angle is consistent with the results calculated by the finite element model. Compared with traditional composite box girder with CSW, the distortion warping stiffness of new composite box girder with CSW decreases by 38.89%, and the distortion frame stiffness decreases by 71.84%. The anti-distortion ability decreases. With the increase of section height and cell width, the mid-span distortion angle and the mid-span distortion bi-moment of new composite box girder with CSW increase gradually, and the influence of cell width is more obvious. With the increase of steel bottom plate thickness, the mid-span distortion angle of new composite box girder with CSW decreases gradually, and the mid-span distortion bi-moment increases gradually.

Graphical abstract

关键词

波形钢腹板组合箱梁 / 单箱多室 / 畸变效应 / 畸变控制微分方程 / 边界条件 / 畸变性能

Key words

Composite box girder with corrugated steel webs / Single-box multi-cell / Distortion effect / Distortion control differential equation / Boundary condition / Distortion performance

波形钢腹板（CSW）组合箱梁作为一种钢-混组合结构，具有自重较轻、施工方便、预应力效率高、避免腹板混凝土开裂等优点。用波形钢腹板代替混凝土腹板，腹板厚度的减小也降低了箱梁的截面刚度，已有文献表明^［1］，CSW组合箱梁相对于PC箱梁，其截面纵向刚度和横向抗弯刚度分别下降约10%和25%。因此，在偏心荷载作用下，CSW组合箱梁伴随扭转产生的畸变变形较为明显。

对于CSW组合箱梁的畸变效应，国内外学者已进行大量的研究。李宏江等^［2-3］通过模型试验和有限元模拟研究了CSW组合箱梁的扭转与畸变效应，分析了几何参数对扭转与畸变的影响。Mo等^［4-5］将软化桁架理论应用到CSW组合箱梁的扭转分析中，提出了相应的抗扭设计方法。刘保东等^［6-7］利用模型试验对比了CSW连续刚构桥和混凝土腹板连续刚构桥的扭转与畸变性能，分析了内衬混凝土对扭转与畸变的影响。李立峰等^［8］基于纽玛克法分析了变截面CSW组合箱梁的畸变效应，比较了该类箱梁与PC箱梁的抗畸变能力。马磊等^［9］推导了单箱双室CSW组合箱梁的扭转与畸变微分方程，利用静载试验和有限元模拟验证了理论公式的适用性。邓文琴等^［10］通过理论分析和模型试验研究了单箱三室CSW悬臂梁的扭转与畸变效应，分析了悬臂梁沿跨径的扭转与畸变特性。

近年来，一些学者在传统CSW组合箱梁的基础上，提出了一种用钢底板代替混凝土底板的新型CSW组合箱梁。与传统CSW组合箱梁相比，该类箱梁自重更轻，抗震性能更好，在受弯状态下能够充分发挥顶、底板材料的压拉性能，避免了底板混凝土的开裂问题，钢箱通过预制拼装，缩短工期，提高了经济效益。同时，底板厚度的减小也进一步降低了截面刚度，箱梁的抗畸变能力也会明显降低。

本文运用板梁框架法和位移法，考虑顶、底板的不同材料属性，建立单箱多室新型CSW组合箱梁的畸变控制微分方程和边界条件，推导箱梁的畸变正应力计算式，并采用有限元法检验其正确性。分析新型CSW组合箱梁与传统CSW组合箱梁的性能差异，以及截面高度、箱室宽度和钢底板厚度对新型CSW组合箱梁畸变效应的影响。需要指出的是，在偏心荷载下，箱梁的扭转与畸变是相互耦合的，模型试验无法单独对畸变理论进行验证，因此本文采用有限元方法进行验证。

1 波形钢腹板力学参数

1）弹性模量

波形钢腹板构造如图1所示。图中：L_{\mathrm{w}\mathrm{1}}为直板长度；L_{\mathrm{w}\mathrm{2}}为斜板投影长度；\alpha为直板与斜板夹角；t_{\mathrm{w}}和h_{\mathrm{w}}分别为波形钢腹板厚度和高度；L_{\mathrm{w}}为波形钢腹板沿纵向1个节段长度。

将波形钢腹板等效为正交异形板，其在x和z方向的弹性模量分别为^［11］

E_x=\frac{L_{\mathrm{w}\mathrm{1}}+L_{\mathrm{w}\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\alpha }{L_{\mathrm{w}\mathrm{1}}+L_{\mathrm{w}\mathrm{2}}}{E}_{\mathrm{s}}（1）

E_z=\frac{L_{\mathrm{w}\mathrm{1}}+L_{\mathrm{w}\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{w}\mathrm{1}}}{(\frac{t_{\mathrm{w}}}{h_{\mathrm{w}}})}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{s}}（2）

式中：E_{\mathrm{s}}为钢板弹性模量。

2）横向抗弯惯性矩

根据材料力学中的惯性矩计算公式，可求出波形钢腹板沿纵向单位宽度的横向抗弯惯性矩^［12］

I_{\mathrm{w}x}=\frac{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{w}\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{w}}{(\frac{h_{\mathrm{w}}}{\mathrm{2}})}^{\mathrm{2}}+\frac{t_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{w}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }{L_{\mathrm{w}}}（3）

2 畸变微分方程建立

在进行新型CSW组合箱梁畸变效应分析时，做以下假定：

（1）忽略组合箱梁界面滑移的影响；

（2）各板件在平面内的翘曲符合平截面假定；

（3）畸变翘曲正应力和剪应力沿壁厚均匀分布；

（4）波形钢腹板沿纵向不承担弯矩。

2.1　畸变变形

在偏心荷载作用下，多室箱梁承受多种畸变荷载，与主要畸变荷载相比，其他畸变荷载较小且作用较低^［13］。截取长度为\mathrm{d}z的多室箱梁微段作为框架结构，主要畸变荷载引起的框架结构畸变变形如图2所示。图中：\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{A}}和\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{B}}分别为角点A和角点B的水平位移；\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{A}}和\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{B}}分别为角点A和角点B的竖向位移；γ₁，γ₂和γ₃分别为腹板，顶板和底板的畸变角；L_{\mathrm{b}}为单个箱室的宽度；n为箱室个数；h为框架高度。

由于新型CSW组合箱梁顶、底板材料不同，所以顶、底板变形幅度不同。忽虑腹板的微小变形，顶、底板角点竖向位移相等，即：\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{A}}=\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{B}}=\mathrm{\Delta }v（\mathrm{\Delta }v为边角点的竖向位移），则箱梁截面总畸变角为

\gamma ={\gamma }_{\mathrm{1}}+\frac{{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{B}}}{h}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{\Delta }v}{n{L}_{\mathrm{b}}}（4）

其中，

{\gamma }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{B}}}{h}

{\gamma }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{A}}}{n{L}_{\mathrm{b}}}

{\gamma }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\Delta }{v}_{\mathrm{B}}}{n{L}_{\mathrm{b}}}

2.2　各板元平面内力系

根据平截面假定，箱梁截面畸变正应力沿周边呈直线变化，忽略波形钢腹板的抗弯性能的影响，截面畸变正应力分布如图3所示。图中：{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{A}}和{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{B}}分别为角点A和角点B的畸变正应力。

选取多室框架的各板元作为研究对象，顶板、底板和边腹板的微段面内力系如图4所示。图中：F_{\mathrm{H}\mathrm{d}}为顶板和底板上的畸变荷载；F_{\mathrm{V}\mathrm{d}}为边腹板上的畸变荷载；F_{x\mathrm{A}}和F_{x\mathrm{D}}分别为边腹板对顶板的横向约束反力；F_{x\mathrm{B}}和F_{x\mathrm{C}}分别为边腹板对底板的横向约束反力；F_{\mathrm{T}\mathrm{P}}和F_{\mathrm{B}\mathrm{P}}分别为中腹板对顶板和底板的横向约束反力之和；F_{\mathrm{T}\mathrm{o}}和F_{\mathrm{T}\mathrm{u}}分别为边腹板对顶板和底板的纵向约束反力；F_{\mathrm{Q}\mathrm{o}}和M_{\mathrm{o}}分别为顶板上的剪力和力矩；F_{\mathrm{Q}\mathrm{u}}和M_{\mathrm{u}}分别为底板上的剪力和力矩；F_{y\mathrm{A}}和F_{y\mathrm{B}}分别为顶、底板对边腹板的竖向约束反力；F_{\mathrm{Q}\mathrm{c}}为边腹板上的剪力；L_{\mathrm{d}}为顶板单侧悬臂长度。

根据力与力矩平衡条件，略去式中的微量，建立的各板元化简力学平衡方程如下。

1）顶板元

\frac{\mathrm{d}{F}_{\mathrm{Q}\mathrm{o}}}{\mathrm{d}z}=F_{\mathrm{H}\mathrm{d}}-F_x（5）

F_{\mathrm{T}\mathrm{o}}=-\frac{\mathrm{1}}{n{L}_{\mathrm{b}}}\left(\frac{\mathrm{d}{M}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{d}z}+F_{\mathrm{Q}\mathrm{o}}+M_{\mathrm{T}\mathrm{P}}\right)（6）

其中，

F_x=F_{x\mathrm{A}}+F_{x\mathrm{D}}+F_{\mathrm{T}\mathrm{P}}

式中：F_x为腹板对顶板的横向约束反力之和；M_{\mathrm{T}\mathrm{P}}为中腹板对顶板的纵向约束反力所形成的力矩之和。

2）底板元

\frac{\mathrm{d}{F}_{\mathrm{Q}\mathrm{u}}}{\mathrm{d}z}=F_{\mathrm{H}\mathrm{d}}-F_x（7）

F_{\mathrm{T}\mathrm{u}}=-\frac{\mathrm{1}}{n{L}_{\mathrm{b}}}\left(\frac{\mathrm{d}{M}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{d}z}+F_{\mathrm{Q}\mathrm{u}}+M_{\mathrm{B}\mathrm{P}}\right)（8）

其中，

F_x=F_{x\mathrm{B}}+F_{x\mathrm{C}}+F_{\mathrm{B}\mathrm{P}}

式中：F_x为腹板对底板的横向约束反力之和；M_{\mathrm{B}\mathrm{P}}为中腹板对底板的纵向约束反力所形成的力矩之和。

3）边腹板元

\frac{\mathrm{d}{F}_{\mathrm{Q}\mathrm{c}}}{\mathrm{d}z}=F_y-F_{\mathrm{V}\mathrm{d}}（9）

F_{\mathrm{Q}\mathrm{c}}=-\frac{h}{\mathrm{2}}(F_{\mathrm{T}\mathrm{o}}+F_{\mathrm{T}\mathrm{u}})（10）

其中，

F_y=F_{y\mathrm{A}}+F_{y\mathrm{B}}

由式（5）—式（10）整理得

\frac{h}{\mathrm{2}n{L}_{\mathrm{b}}}(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{M}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}+\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{M}_{\mathrm{u}}}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}})-(\frac{h}{n{L}_{\mathrm{b}}}{F}_x+F_y)+\frac{h}{n{L}_{\mathrm{b}}}{F}_{\mathrm{H}\mathrm{d}}+F_{\mathrm{V}\mathrm{d}}=\mathrm{0}（11）

由于畸变正应力在横截面内是自相平衡的^［14］，因此满足如下条件

\left\{\begin{array}{l}{\int }_S{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}}\mathrm{d}S=\mathrm{0}\\ {\int }_S{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}}x\mathrm{d}S=\mathrm{0}\\ {\int }_S{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}}y\mathrm{d}S=\mathrm{0}\end{array}\right.（12）

式中：{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}}为截面畸变正应力；S为横截面面积。

由于箱梁截面关于y轴对称，畸变正应力关于y轴反对称，因此式（12）中第1、第3式自然满足。根据式（12）中第2式可确定角点A和角点B的畸变正应力比，即

\beta =\frac{{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{A}}}{{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{B}}}=\frac{t_{\mathrm{u}}(n{L}_{\mathrm{b}}{)}^{\mathrm{3}}}{t_{\mathrm{o}}(n{L}_{\mathrm{b}}+\mathrm{2}{L}_{\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{3}}}（13）

式中：t_{\mathrm{o}}为混凝土顶板厚度；t_{\mathrm{u}}为钢底板厚度；

依据初等梁理论中各板元面内弯矩与翘曲应力关系得

M_{\mathrm{u}}=\frac{I_{\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{o}}\beta }{M}_{\mathrm{o}}（14）

其中，

I_{\mathrm{o}}=\frac{t_{\mathrm{o}}(n{L}_{\mathrm{b}}+\mathrm{2}{L}_{\mathrm{d}}{)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}

I_{\mathrm{u}}=\frac{t_{\mathrm{u}}(n{L}_{\mathrm{b}}{)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}

式中：I_o和I_u分别为混凝土顶板、钢底板惯性矩。

根据挠曲位移方程，可得各板元面内弯矩与位移关系，由于波形钢腹板不承担弯矩，因此\mathrm{\Delta }{v}^{″}=\mathrm{0}。结合式（4）可得畸变角二次微分计算式

{\gamma }^{″}=\frac{\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{A}}^{″}+\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{B}}^{″}}{h}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{\Delta }{v}^{″}}{n{L}_{\mathrm{b}}}=-\frac{M_{\mathrm{o}}}{I_{\mathrm{o}}h}\left(\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{s}}\beta }\right)（15）

式中：E_{\mathrm{c}}为混凝土弹性模量。

因此，整理式（11）得

-\frac{I_{\mathrm{o}}{h}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}n{L}_{\mathrm{b}}\left(\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{s}}\beta }\right)}\left(\mathrm{1}+\frac{I_{\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{o}}\beta }\right){\gamma }^{(\mathrm{4})}-(\frac{h}{n{L}_{\mathrm{b}}}{F}_x+F_y)+\frac{h}{n{L}_{\mathrm{b}}}{F}_{\mathrm{H}\mathrm{d}}+F_{\mathrm{V}\mathrm{d}}=\mathrm{0}（16）

2.3　各板元平面外力系

箱梁框架的横向挠曲与悬臂无关^［15］，将框架结构的各板元离散，各板元上的平面外力系如图5所示。图中：F_{x\mathrm{E}}，F_{x\mathrm{F}}，F_{x\mathrm{G}}，F_{x\mathrm{H}}，F_{y\mathrm{A}}，F_{y\mathrm{B}}，F_{y\mathrm{C}}，F_{y\mathrm{D}}，F_{y\mathrm{E}}，F_{y\mathrm{F}}，F_{y\mathrm{G}}，F_{y\mathrm{H}}为各板元端部的约束反力；M_{\mathrm{A}\mathrm{B}}，M_{\mathrm{B}\mathrm{A}}，M_{\mathrm{E}\mathrm{F}}，M_{\mathrm{F}\mathrm{E}}，M_{\mathrm{H}\mathrm{G}}，M_{\mathrm{G}\mathrm{H}}，M_{\mathrm{D}\mathrm{C}}，M_{\mathrm{C}\mathrm{D}}，M_{\mathrm{A}\mathrm{E}}，M_{\mathrm{E}\mathrm{A}}，M_{\mathrm{E}\mathrm{H}}，M_{\mathrm{H}\mathrm{E}}，M_{\mathrm{H}\mathrm{D}}，M_{\mathrm{D}\mathrm{H}}，M_{\mathrm{B}\mathrm{F}}，M_{\mathrm{F}\mathrm{B}}，M_{\mathrm{F}\mathrm{G}}，M_{\mathrm{G}\mathrm{F}}，M_{\mathrm{G}\mathrm{C}}，M_{\mathrm{C}\mathrm{G}}为各板元端部的弯矩，且各角点满足力矩平衡条件。

由文献［16］可知，畸变角与箱梁截面的刚体位移无关，仅与组成该截面框架的各板元相对位移有关，由此可得多室框架在畸变时的等效计算简图如图6所示，畸变时顶板的水平位移为h\gamma。图中：F_{\mathrm{P}}为框架上的水平力，F_{\mathrm{V}}为框架上的竖向力。

根据位移法基本原理，建立计算在单位水平力F_{\mathrm{P}}作用下基本体系的结构位移方程，即

\left(\begin{array}{ccccc}{k}_{\mathrm{11}}& \cdots & k_{\mathrm{1}j}& \cdots & k_{\mathrm{1}m}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ k_{j\mathrm{1}}& \cdots & k_{jj}& \cdots & k_{jm}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ k_{m\mathrm{1}}& \cdots & k_{mj}& \cdots & k_{mm}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{Z}_{\mathrm{1}}\\ ⋮\\ Z_j\\ ⋮\\ Z_m\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}P}\\ ⋮\\ F_{jP}\\ ⋮\\ F_{mP}\end{array}\right)=\mathrm{0}（17）

其中，

m=\mathrm{2}n+\mathrm{3}

I_{\mathrm{o}x}=\frac{t_{\mathrm{o}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}})}

I_{\mathrm{u}x}=\frac{t_{\mathrm{u}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}(\mathrm{1}-{\nu }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}})}

式中：k_{jj}为各角点处的刚度；Z_j为各角点处的角位移或线位移；F_{j\mathrm{P}}为水平力F_{\mathrm{P}}对各角点处的作用反力；I_{\mathrm{o}x}和I_{\mathrm{u}x}分别为沿纵向单位长度的顶板、底板横向抗弯惯性矩；{\nu }_{\mathrm{c}}和{\nu }_{\mathrm{s}}分别为混凝土和钢板泊松比。

利用MATLAB编程，求解单位水平力下顶板水平位移Z_m。则单位水平力下顶板的抗剪刚度R为^［15］

R=\frac{\mathrm{1}}{Z_m}（18）

当水平力F_{\mathrm{P}}=F_x时，根据R的定义可得顶板水平位移

h\gamma =\frac{F_x}{R}（19）

因此，可得畸变角

\gamma =\frac{F_x}{hR}=\frac{F_x{Z}_m}{h}（20）

已知：F_y=\frac{h{F}_x}{n{L}_{\mathrm{b}}}，F_{\mathrm{V}\mathrm{d}}=\frac{h{F}_{\mathrm{H}\mathrm{d}}}{n{L}_{\mathrm{b}}}。结合式（16）和式（20）化简得畸变微分方程

\Gamma {\gamma }^{(\mathrm{4})}+\Psi \gamma =n{L}_{\mathrm{b}}{F}_{\mathrm{V}\mathrm{d}}（21）

其中，

\Gamma =\frac{I_{\mathrm{o}}{h}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{c}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{s}}\beta }\right)}\left(\mathrm{1}+\frac{I_{\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{o}}\beta }\right)

\Psi =\frac{h^{\mathrm{2}}}{Z_m}

式中：\Gamma为箱梁的畸变翘曲刚度；\Psi为箱梁的畸变框架刚度。

对于传统CSW组合箱梁的畸变效应分析，将公式中的钢底板厚度和弹性模量换成混凝土底板厚度和弹性模量即可。

2.4　畸变微分方程求解

令\lambda =\sqrt[\mathrm{4}]{\frac{\Psi }{\mathrm{4}\Gamma }}，\lambda为畸变几何特性参数，它体现了箱梁抵抗畸变变形的能力。则式（21）写成

{\gamma }^{(\mathrm{4})}+\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{4}}\gamma =\frac{n{L}_{\mathrm{b}}{F}_{\mathrm{V}\mathrm{d}}}{\Gamma }（22）

箱梁的畸变双力矩和畸变矩分别为^［17］

B_{\mathrm{D}}=-\Gamma {\gamma }^{″}（23）

M_{\mathrm{D}}=-\Gamma {\gamma }^{‴}（24）

因此，可得畸变正应力

{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{2}n{L}_{\mathrm{b}}{B}_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{o}}h\left(\mathrm{1}+\frac{I_{\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{o}}\beta }\right)}（25）

{\sigma }_{\mathrm{D}\mathrm{W}\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{2}n{L}_{\mathrm{b}}{B}_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{o}}h\left(\beta +\frac{I_{\mathrm{u}}}{I_{\mathrm{o}}}\right)}（26）

定义箱梁起始端的畸变角{\gamma }_{\mathrm{0}}、畸变翘曲位移{\gamma }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}、畸变双力矩B_{\mathrm{0}}和畸变矩M_{\mathrm{0}}共4个初参数。根据式（22）的齐次微分方程，可求畸变角、畸变翘曲位移、畸变双力矩和畸变矩的初参数解。限于篇幅，只给出畸变角的初参数解

\begin{array}{l}\gamma (z)={\gamma }_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda z)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda z)+\frac{{\gamma }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}}{\mathrm{2}\lambda }\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda z)\right.\times \\ \left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda z)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda z)\right]-\\ \frac{B_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}\Gamma }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda z)+\frac{M_{\mathrm{0}}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{3}}\Gamma }\times \\ \left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda z)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda z)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda z)\right]\end{array}（27）

初参数解只适用箱梁跨中无荷载情况，4个初参数由下面边界条件^［18］确定。

（1）固定端：\gamma =\mathrm{0}，{\gamma }^{\text{'}}=\mathrm{0}。

（2）有刚性横隔梁的简支端：\gamma =\mathrm{0}，{\gamma }^{″}=\mathrm{0}。

（3）无横隔梁的自由悬臂端：{\gamma }^{″}=\mathrm{0}，{\gamma }^{‴}=\mathrm{0}。

当简支梁在跨中截面承受集中畸变矩荷载\tilde{M}时，箱梁任意截面的畸变角为

\begin{array}{l}\gamma (z)=\frac{{\gamma }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{3}}\Gamma }\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda z)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda z)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda z)\times \right.\\ \left.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda z)\right]+\frac{M_{\mathrm{0}}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{3}}\Gamma }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda z)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda z)-\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda z)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda z)-‖{}_{\frac{L}{\mathrm{2}}}\frac{\tilde{M}}{\mathrm{4}{\lambda }^{\mathrm{3}}\Gamma }[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda (z-\\ \frac{L}{\mathrm{2}})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\lambda (z-\frac{L}{\mathrm{2}})-\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda (z-\frac{L}{\mathrm{2}})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\lambda (z-\frac{L}{\mathrm{2}})](\mathrm{28})\end{array}

其中，

\begin{array}{l}{\gamma }_{\mathrm{0}}^{\text{'}}=\frac{\tilde{M}\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda L)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}-\right.}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)+}\to \\ \leftarrow \frac{\left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda L)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\right]}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)}\end{array}

\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{0}}=\frac{\tilde{M}\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\lambda L)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}+\right.}{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)+}\to \\ \leftarrow \frac{\left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\lambda L)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda L}{\mathrm{2}}\right]}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}(\lambda L)}\end{array}

式中：‖{}_{\frac{L}{\mathrm{2}}}表示当z>\frac{L}{\mathrm{2}}才计入该项；L为箱梁跨径。

根据畸变角计算式，类似可推导出畸变翘曲位移、畸变双力矩和畸变矩公式。

3 CSW组合箱梁有限元模型

设新型和传统CSW组合箱梁的计算跨径均为6 m，梁高均为41 cm，顶板宽度均为1.5 m，均为等截面简支梁，截面尺寸如图7所示，波形钢腹板尺寸如图8所示。新型CSW组合箱梁的顶板和传统CSW组合箱梁的顶、底板采用C55混凝土浇筑，弹性模量为35.5 GPa，泊松比0.2；波形钢腹板和新型CSW组合箱梁的底板采用Q345钢板，弹性模量为206 GPa，泊松比0.28；钢板和混凝土均满足各自的应力-应变关系。在梁端支座处设有横隔板，跨内无横隔板，集中荷载10 kN，作用在跨中截面的顶板与边腹板交点处。

运用ANSYS建立新型CSW组合箱梁有限元模型。其中，顶板采用实体单元SOLID65模拟，钢箱采用壳单元SHELL63模拟，二者采用共节点连接且完全耦合，边界条件按简支梁施加，主要畸变荷载施加到跨中截面相应的角点位置。有限元模型如图9所示。

4 验证

在上述畸变荷载作用下，采用本文方法和有限元模型计算的新型CSW组合箱梁畸变正应力见表1。

由表1可知：本文方法和有限元模型计算的新型CSW组合箱梁畸变正应力值吻合较好，各计算点相对误差均在±10%以内，验证了本文分析方法的正确性和可行性。

本文方法和ANSYS有限元模型计算的新型CSW组合箱梁畸变角沿纵向分布如图10所示。

由图10可知：本文方法计算的畸变角与有限元结果变化规律一致，在跨中截面畸变角达到最大值，在支座位置畸变角为0。在跨中截面本文方法和有限元模型计算的畸变角相差较大，相对误差为7.55%，主要是荷载作用使得有限元模型角点位置发生局部变形，从而角点位移误差较大。

5 组合箱梁畸变效应

5.1 组合箱梁畸变物理量

在上述畸变荷载作用下，新型和传统CSW组合箱梁在跨中截面的畸变位移、畸变内力、畸变应力及畸变几何特性见表2。

由表2可知：与传统CSW组合箱梁相比，新型CSW组合箱梁的畸变翘曲刚度减小了38.89%，畸变框架刚度减小了71.84%，畸变几何特性参数减小了17.61%；相同荷载作用下，新型CSW组合箱梁跨中畸变角是传统CSW组合箱梁的3.01倍，畸变双力矩是传统CSW组合箱梁的1.21倍；二者的顶板畸变正应力相差较小，底板畸变正应力相差很大，由于新型CSW组合箱梁畸变中心上移，其底板畸变正应力远大于顶板畸变正应力，充分发挥了钢材的抗拉性能。

5.2 几何参数对新型CSW组合箱梁的畸变效应影响

现有设计规范中^［19］，箱梁的畸变问题主要针对PC箱梁。为避免CSW组合箱梁产生较大的畸变正应力，可通过选择合理的几何参数增大箱梁的抗畸变刚度。对于几何参数的选取，陈宝春等^［20］通过对4座CSW简支梁调查发现，箱梁的高跨比多数为0.05，少数为0.07，而箱梁的宽跨比则没有明显的规律。

5.2.1　截面高度的影响

以算例中的新型CSW组合箱梁为基础，控制跨径、板厚和截面宽度不变，根据箱梁高跨比调查结果，截面高度分别取0.30，0.36和0.42 m。在算例的畸变荷载作用下，不同截面高度箱梁畸变角和畸变双力矩沿纵向变化分别如图11和图12所示。

由图11和图12可知：畸变角由梁端到跨中逐渐增大，在跨中达到最大值；畸变双力矩由梁端到跨中先减小再增大，在1/4跨附近达到最小值，在跨中达到最大值；随着截面高度增加，跨中畸变角和跨中畸变双力矩均增大；截面高度由0.30 m增加到0.42 m，跨中畸变角增大了7.79%，跨中畸变双力矩增大了29.10%。因此，截面高度对新型CSW组合箱梁的畸变效应影响较大。

5.2.2　箱室宽度的影响

以算例中的新型CSW组合箱梁为基础，控制跨径、梁高和板厚不变，根据箱梁宽跨比调查结果，箱室宽度分别取0.3，0.4和0.5 m。在算例的畸变荷载作用下，不同箱室宽度箱梁畸变角和畸变双力矩沿纵向变化如图13和图14所示。

由图13和图14可知：畸变角和畸变双力矩均在跨中达到最大值，在梁端为0。随着箱室宽度增加，跨中畸变角和跨中畸变双力矩均增大；箱室宽度由0.3 m增加到0.5 m，跨中畸变角增大了30.72%，跨中畸变双力矩增大了1.49倍。因此，箱室宽度对新型CSW组合箱梁的畸变效应影响显著。

5.2.3　钢底板厚度的影响

以算例中的新型CSW组合箱梁为基础，控制跨径、梁高和截面宽度不变，钢底板厚度由3 mm每次增幅为0.5 mm增加到8 mm，在算例的畸变荷载作用下，箱梁跨中畸变角和跨中畸变双力矩随钢底板厚度的变化如图15和图16所示。

由图15和图16可知：随着钢底板厚度增加，跨中畸变角逐渐减小，跨中畸变双力矩逐渐增大，且增幅变缓；厚度由3 mm增加到8 mm，跨中畸变角减小了30.46%，跨中畸变双力矩增大了18.70%。实际工程中应根据新型CSW组合箱梁的受力情况合理选择钢底板厚度。

6 结论

（1）采用本文方法和有限元模型计算的新型CSW组合箱梁畸变正应力吻合较好，畸变角的变化规律与有限元模型计算结果一致，验证了本文方法的正确性。

（2）与传统CSW组合箱梁相比，新型CSW组合箱梁的畸变翘曲刚度减小了38.89%，畸变框架刚度减小了71.84%。相同荷载作用下，新型CSW组合箱梁跨的畸变角是传统CSW组合箱梁的3.01倍，畸变双力矩是传统CSW组合箱梁的1.21倍。新型CSW组合箱梁的抗畸变能力小于传统CSW组合箱梁，实际工程中要充分考虑这一性能变化的影响。

（3）随着截面高度和箱室宽度增加，新型CSW组合箱梁跨中畸变角和跨中畸变双力矩均逐渐增大，且箱室宽度的影响更为明显；随着钢底板厚度增加，新型CSW组合箱梁跨中畸变角逐渐减小，跨中畸变双力矩逐渐增大。因此，在满足变形条件下，截面高度、箱室宽度和钢底板厚度越小，对结构受力越有利。

（4）本文推导的计算式适用于单箱多室等截面CSW组合箱梁，对于变截面CSW组合箱梁则不再适用。为降低新型CSW组合箱梁畸变效应的影响，除结论（3）中的措施外，在跨内布置一定数量的横隔板也可降低箱梁的畸变效应，具体影响可做进一步研究。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(51868040)

国家自然科学基金资助项目(52268027)

四川省自然科学基金资助项目(2022NSFSC0427)

甘肃省教育厅优秀研究生“创新之星”项目(2021CXZX-569)