考虑土体剪切与接头剪切效应的盾构隧道纵向变形计算模型

Calculation Model for Longitudinal Deformation of Shield Tunnel Considering Soil Shear and Joint Shear Effect

摘要

针对紧接盾构隧道或盾构穿切桩基工程中附加外力作用下的盾构隧道纵向非均匀变形和受力问题，利用计算解析方法，将盾构隧道视为置于Pasternak双参数地基上的铁摩辛柯梁，同时引入修正等效连续化模型和传递矩阵法，提出一种新的盾构隧道纵向变形计算模型，并采用室内模型试验的方法进行验证。结果表明：模型试验中，在集中荷载与围压共同作用下，整个隧道处于弹性变形阶段，各环管片收敛变形、拱顶和拱底竖向位移、环缝错台量均随集中荷载的增加而近似线性增大，并以集中荷载为中心沿纵向呈对称分布，变形趋势与计算结果相同，且2种方法下环缝错台量最大相对误差仅为8.75%；2种方法得到的结果在分布特征和量值上基本一致，验证了计算模型的可行性。该计算模型能够反映土弹簧间的剪切作用、收敛变形对隧道纵向变形刚度的影响及接头的非连续性，可对盾构隧道纵向变形和内力进行预测分析，并为紧接盾构隧道工程中既有盾构隧道的安全评估提供理论指导。

Abstract

In order to solve the problem of longitudinal non-uniform deformation and stress of shield tunnel under additional external forces in the engineering of immediate shield tunnel or shield tunnel piercing through pile foundation, a new calculation model for longitudinal deformation of shield tunnel is proposed by using a computational analytic method to consider shield tunnel as Timoshenko beam placed on Pasternak two-parameter foundation, and introduce the modified equivalent continuum model and transfer matrix method, which is verified by the method of laboratory model test. The results show that in the model test, under the combined action of concentrated load and confining pressure, during the whole elastic deformation stage of the tunnel, the convergence deformation of each ring segment, the vertical displacement of the arch crown and arch bottom, and the misalignment of the circumferential seam all increase approximately linearly with the increase of concentrated load, and they are distributed symmetrically along the longitudinal direction with the concentrated load as the center, whose deformation trend is the same as the calculation result. With the two methods, the maximum relative error of circumferential seam misalignment is only 8.75%. The results obtained by two methods are basically consistent in terms of distribution characteristics and magnitude, which verifies the feasibility of the calculation model. The model can reflect the shear action between soil springs, the influence of convergence deformation on longitudinal deformation stiffness of tunnel and discontinuity of joint. It can predict and analyze the longitudinal deformation and internal force of shield tunnel, and provide theoretical guidance for the safety evaluation of the existing shield tunnel in the immediate shield tunnel engineering.

Graphical abstract

关键词

盾构隧道 / 铁摩辛柯梁 / Pasternak双参数地基模型 / 纵向变形

Key words

Shield tunnel / Timoshenko beam / Pasternak two-parameter foundation model / Longitudinal deformation

近年来，伴随着地下工程的大规模建设，大量在拟建基坑或隧道上跨^［1-2］或下穿既有盾构隧道^［3-4］和桩基^［5］的工程中，附加超载作用往往导致管片破损和渗漏^［6-7］。对于此类紧接工程，有必要提出一种新的能够准确预测既有盾构隧道纵向变形的计算模型，这对于盾构隧道运营安全维护具有重要意义。

目前关于盾构隧道纵向力学性能的理论分析中，大多数学者都未考虑地层与隧道间的相互作用。LIU等^［8］基于弹性地基梁法，将地基弹簧视为变量，利用叠加法求解了拟建隧道影响下既有隧道的力学响应。刘雍正等^［9］将盾构隧道假定为位于Pasternak模型上的弹性地基短梁，利用拉伸弹簧、压缩弹簧和剪切弹簧，模拟分析了管片间的转动和剪切特性以及管土相互作用。黄旭民等^［10］将传递矩阵法引入弹性地基梁模型，提出了一种新的管片上浮预测方法。璩继立等^［11］将深埋盾构隧道等效为双面弹性地基梁，利用Boussinesq解得到附加应力，采用有限差分法计算隧道的纵向位移和内力，并将计算结果与Winkler梁模型的进行对比分析。孙春平等^［12］和尹静等^［13］在Winkler梁模型中考虑了环向摩阻力，同样采用矩阵传递法计算分析盾构的纵向变形和内力。WU等^［14］、LIANG等^［15］、郭一帆等^［16］、LIU等^［17］将盾构隧道简化为可以同时考虑抗剪和抗弯特性的铁摩辛柯梁模型，并与Euler-Bernoulli梁模型的计算结果进行对比分析。YU等^［18］通过铁摩辛柯梁和Winkler梁模型，研究了隧道下穿对既有隧道的影响。周恒竹等^［19］将沉管隧道等效为铁摩辛柯梁模型，地基采用Vlasov双参数地基梁模型，分析了潮汐荷载下沉管隧道纵向变形特征。康成等^［20］通过Winkler梁模型和铁摩辛柯梁模型，分析了不同埋深下盾构隧道纵向受力与变形。Franza等^［21］基于铁摩辛柯梁模型和极限拉伸应变法，采用2阶段分析法分析基坑开挖过程中的隧道变形响应。

目前的相关研究中存在几点不足：一是地基模型未考虑土弹簧间的剪切作用；二是隧道计算模型未考虑环缝剪切效应；三是未考虑收敛变形对隧道纵向变形刚度的影响。为弥补上述不足，本文将Pasternak双参数地基梁模型、铁摩辛柯梁模型、修正等效连续化模型和传递矩阵法相融合，提出一种新的盾构隧道纵向变形计算模型；设计并开展室内模型试验，探讨盾构隧道纵向变形分布特征，对理论计算结果进行验证。

1 理论计算

1.1　微分方程的建立及求解

1.1.1　双参数铁摩辛柯梁模型

利用Pasternak双参数地基梁模型与铁摩辛柯梁模型分别模拟地基土和隧道。Pasternak双参数地基梁模型在Winkler梁模型上增加了不可压缩的剪切层，模拟土弹簧间的剪切作用，如图1所示。图中：n为管片总环数。

以梁模型左侧起点处为x=0，则梁上任意一点双参数弹性地基的地基反力p （x）可表示为

p\left(x\right)=k\omega \left(x\right)-G_{\mathrm{p}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}（1）

式中：k为地基弹簧系数；ω为梁的挠度，mm；G_p为地基土剪切层刚度。

铁摩辛柯梁模型能够反映盾构隧道的剪切和弯曲受力特征，如图2所示。图中：θ为横截面的旋转角，（°）；η为剪切角，（°）。

铁摩辛柯梁模型中，力的平衡条件、几何关系及物理方程为

\left\{\begin{array}{l}Q=\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x}-q=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}M}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}-q=\mathrm{0}\\ \theta =\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x}-\eta \\ M=EI{k}_c\\ Q=\kappa GA\eta \end{array}\right.（2）

式中：Q为单元体所受剪力，kN；M为单元体所受弯矩，kN · m；q为外荷载；G和E分别为等效后的剪切模量和弹性模量，Pa；I为截面惯性矩，m⁴；k_c 为中性轴曲率；κ为横截面翘曲的1个因素；A为横截面面积，m²。

根据力平衡和弯矩平衡可得

\begin{array}{l}-q(x)B\mathrm{d}x+Q+\left(k\omega (x)-G_p\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\right)B\mathrm{d}x=\\ Q+\mathrm{d}Q\end{array}（3）

M+Q\mathrm{d}x+q(x)B\frac{{(\mathrm{d}x)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+B\left(k\omega (x)-G_{\mathrm{p}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\right)\frac{{(\mathrm{d}x)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=M+\mathrm{d}M（4）

式中：B为梁的宽度，mm。

联立式（2）—式（4）可得

-\kappa GA\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}+\kappa GA\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}x}+\left(k\omega (x)-G_p\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\right)B=q(x)B（5）

EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\theta }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}+\kappa GA\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}x}-\kappa GA\theta =\mathrm{0}（6）

引入等效抗剪刚度κGA_eq^［14］和等效抗弯刚度EI_eq^［22］，令κGA_eq=T，EI_eq=H，得到铁摩辛柯梁的挠曲变形微分方程为

\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}-\frac{k\frac{B}{T}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{H}}{\mathrm{1}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{T}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\omega }{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}+\frac{k\frac{B}{H}}{\mathrm{1}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{T}}\omega =\\ q(x)\frac{B}{H\left(\mathrm{1}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{T}\right)}-\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}q(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\frac{B}{T\left(\mathrm{1}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{T}\right)}\end{array}（7）

对式（7）进行积分，即可求解得到铁摩辛柯梁的纵向变形表达式。再令k\frac{B}{T}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{H}=U,\mathrm{1}+G_{\mathrm{p}}\frac{B}{T}=V，得到挠度和转角的方程分别为

\omega (x)=a_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}(x)+a_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+a_{\mathrm{3}}{\phi }_{\mathrm{3}}(x)+a_{\mathrm{4}}{\phi }_{\mathrm{4}}(x)（8）

\theta (x)=b_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}(x)+b_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+b_{\mathrm{3}}{\phi }_{\mathrm{3}}(x)+b_{\mathrm{4}}{\phi }_{\mathrm{4}}(x)（9）

其中，

\left\{\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{1}}\left(x\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x\\ {\phi }_{\mathrm{2}}\left(x\right)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x\\ {\phi }_{\mathrm{3}}(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x\\ {\phi }_{\mathrm{4}}(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\alpha x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{c}\alpha =\sqrt[]{\sqrt[]{\frac{kB}{\mathrm{4}VH}}+\frac{U}{\mathrm{4}V}}\\ \beta =\sqrt[]{\sqrt[]{\frac{kB}{\mathrm{4}VH}}-\frac{U}{\mathrm{4}V}}\end{array}\right.

式中：a_{\mathrm{1}}—a_{\mathrm{4}}和b_{\mathrm{1}}—b_{\mathrm{4}}均为多项式系数；{\phi }_{\mathrm{1}}(x）—{\phi }_{\mathrm{4}}(x），\alpha和\beta均为计算过程中的中间值。

通过变换，进一步得到系数a_{\mathrm{1}}—a_{\mathrm{4}}的表达式为

\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha P-\beta L)b_{\mathrm{3}}-(\alpha L+\beta P)b_{\mathrm{2}}\right]\\ a_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha L+\beta P)b_{\mathrm{1}}+(\alpha P-\beta L)b_{\mathrm{4}}\right]\\ a_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha P-\beta L)b_{\mathrm{1}}-(\alpha L+\beta P)b_{\mathrm{4}}\right]\\ a_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha P-\beta L)b_{\mathrm{2}}+(\alpha L+\beta P)b_{\mathrm{3}}\right]\end{array}\right.（10）

P=\mathrm{1}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}})（11）

L=\mathrm{2}\alpha \beta \frac{H}{T}（12）

式中：P和L均为计算过程中的中间值。

铁摩辛柯梁模型左侧起点x=0处的挠度ω₀、转角θ₀、弯矩M₀和剪力Q₀分别为

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{1}}\\ {\theta }_{\mathrm{0}}=b_{\mathrm{1}}\\ M_{\mathrm{0}}=-H(\alpha b_{\mathrm{3}}+\beta b_{\mathrm{2}})\\ Q_{\mathrm{0}}=-H[({\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}})b_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}\alpha \beta b_{\mathrm{4}}]\end{array}\right.（13）

结合式（10）—式（13），得到系数a_{\mathrm{1}}—a_{\mathrm{4}}和b_{\mathrm{1}}—b_{\mathrm{4}}的最终表达式为

\left\{\begin{array}{l}{a}_{\mathrm{1}}={\omega }_{\mathrm{0}}\\ a_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha L+\beta P){\theta }_{\mathrm{0}}-{}_{}\right.\\ \left.(\alpha P-\beta L)\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\theta }_{\mathrm{0}}\right]\\ a_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{{\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}\left[(\alpha P-\beta L){\theta }_{\mathrm{0}}+{}_{}\right.\\ \left.(\alpha L+\beta P)\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\theta }_{\mathrm{0}}\right]\\ a_{\mathrm{4}}=-{\omega }_{\mathrm{0}}\frac{(\alpha P-\beta L)-(\alpha L+\beta P)\frac{\beta }{\alpha }}{(\alpha P-\beta L)\frac{\beta }{\alpha }+(\alpha L+\beta P)}\end{array}\right.（14）

\left\{\begin{array}{l}{b}_{\mathrm{1}}={\theta }_{\mathrm{0}}\\ b_{\mathrm{2}}=-\frac{\alpha ({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\omega }_{\mathrm{0}}}{({\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}})L+\mathrm{2}\alpha \beta P}\\ b_{\mathrm{3}}=\frac{\beta ({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\omega }_{\mathrm{0}}}{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})L+\mathrm{2}\alpha \beta P}\\ b_{\mathrm{4}}=-\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\theta }_{\mathrm{0}}\end{array}\right.（15）

至此，式（8）和式（9）中的系数全部求出。

1.1.2　传递矩阵法求解管片隧道纵向变形与受力状态

由于盾构隧道是由管片拼装组成的，接缝的存在会对盾构隧道纵向内力和变形产生影响，使其实际受力状态与梁模型存在差别。为了减小这一差别，引入传递矩阵法，在计算得到第1环的初始参数后，通过矩阵传递给下1环，逐环计算，最终得到整个隧道纵向受力与变形状态。

梁模型中，第m环管片的计算单元模型如图3所示。图中：以该管片环中心轴线作为横坐标轴x，将第m环左侧设为坐标轴原点O，以挠度ω作为纵坐标轴，建立直角坐标系Oxω；L为计算界面到原点的距离。

根据图3，管片环左侧力学状态可表示为 R_m，O，管片环右侧力学状态可表示为 R_m，L，第m环管片中心轴线上任一位置x处的力学状态 R_m，x （以下标“m，x”表示第m环管片中心轴线任意位置x处，后同）可以用矩阵表达为

{\mathit{R}}_{m,x}={\left({\mathit{\omega }}_{m,x}{\mathit{\theta }}_{m,x}{\mathit{M}}_{m,x}{\mathit{Q}}_{m,x}\right)}^{\mathrm{T}}（16）

不考虑附加外力作用时，式（16）可表示为

{\mathit{R}}_{m,x}={\mathit{A}}_{m,x}{\mathit{R}}_{m,O}（17）

式中：{\mathit{A}}_m_，x 为计算所需的刚度矩阵，设{\mathit{A}}_m_，x=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{\mathrm{1}}(x)& c_{\mathrm{2}}(x)& c_{\mathrm{3}}(x)& c_{\mathrm{4}}(x)\\ d_{\mathrm{1}}(x)& d_{\mathrm{2}}(x)& d_{\mathrm{3}}(x)& d_{\mathrm{4}}(x)\\ e_{\mathrm{1}}(x)& e_{\mathrm{2}}(x)& e_{\mathrm{3}}(x)& e_{\mathrm{4}}(x)\\ g_{\mathrm{1}}(x)& g_{\mathrm{2}}(x)& g_{\mathrm{3}}(x)& g_{\mathrm{4}}(x)\end{array}\right)。

考虑附加外力 F_m，x 作用在隧道上时，第m环管片上任一位置处及该管片右截面的力学状态可分别表示为

{\mathit{R}}_{m,x}={\mathit{A}}_{m,x}{\mathit{R}}_{m,O}+{\mathit{F}}_{m,x}（18）

{\mathit{R}}_{m,L}={\mathit{A}}_{m,L}{\mathit{R}}_{m,O}+{\mathit{F}}_{m,L}（19）

基于传递矩阵法计算原理，相邻管片环接缝处的力学状态是相同的，因此可得出

{\mathit{R}}_{m,L}={\mathit{R}}_{m+\mathrm{1},O}（20）

结合式（8）和式（20），可将铁摩辛柯梁的挠曲方程表示为

\omega (x)=\mathrm{0.85}\left(a_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{1}}(x)+a_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+\right.

\left.a_{\mathrm{3}}{\phi }_{\mathrm{3}}(x)+a_{\mathrm{4}}{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\right)=\mathrm{0.85}\left(c_{\mathrm{1}}(x)+\right.

\left.c_{\mathrm{2}}(x)+c_{\mathrm{3}}(x)+c_{\mathrm{4}}(x)\right)（21）

式中：c_u （x）为刚度矩阵{\mathit{A}}_m_，x 中的元素，u取1，2，3，4。

文献［23-25］表明，当附加外力作用下梁的受影响范围远小于梁的长度，计算模型两端不会发生位移或转动。且本文模型隧道的长度大于纵向沉降槽宽度0.32 m，据此可以将计算模型两端设为自由边界，即两端弯矩、剪力均为0。

对比式（14）与式（21），可得c_u （x）为

\left\{\begin{array}{l}{c}_{\mathrm{1}}(x)={\phi }_{\mathrm{1}}(x)+\frac{{\beta }^{\mathrm{2}}-{\alpha }^{\mathrm{2}}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\\ c_{\mathrm{2}}(x)=\frac{\mathrm{3}{\beta }^{\mathrm{2}}-{\alpha }^{\mathrm{2}}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\beta ({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+\frac{\mathrm{3}{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha ({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\phi }_{\mathrm{3}}(x)\\ c_{\mathrm{3}}(x)=\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}{\left[\mathrm{1}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})\right]}^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{\left[\mathrm{1}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})\right]}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta H\left({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}\right)}{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\\ c_{\mathrm{4}}(x)=\frac{\mathrm{1}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}\alpha H({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\phi }_{\mathrm{3}}(x)-\frac{\mathrm{1}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\beta H({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\phi }_{\mathrm{2}}(x)\end{array}\right.（22）

同理可得d_u （x），e_u （x）和g_u （x）分别为

\left\{\begin{array}{l}{d}_{\mathrm{1}}(x)=\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{3}}(x)}{\mathrm{2}\alpha }-\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{2}\beta }\\ d_{\mathrm{2}}(x)={\phi }_{\mathrm{1}}(x)-\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{4}}(x)}{\mathrm{2}\alpha \beta }\\ d_{\mathrm{3}}(x)=-\frac{\mathrm{1}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{2}\beta H}-\frac{\mathrm{1}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}){\phi }_{\mathrm{3}}(x)}{\mathrm{2}\alpha H}\\ d_{\mathrm{4}}(x)=-\frac{{\phi }_{\mathrm{4}}(x)}{\mathrm{2}\alpha \beta H}\end{array}\right.（23）

\left\{\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{1}}(x)=\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}H}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\\ e_{\mathrm{2}}(x)=\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})H}{\mathrm{2}\beta }{\phi }_{\mathrm{2}}(x)-\\ \frac{\mathrm{1}+\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}\alpha }{\phi }_{\mathrm{3}}(x)\\ e_{\mathrm{3}}(x)={\phi }_{\mathrm{1}}(x)+\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\\ e_{\mathrm{4}}(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\beta }{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\alpha }{\phi }_{\mathrm{3}}(x)\end{array}\right.（24）

\left\{\begin{array}{l}{g}_{\mathrm{1}}(x)=\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}H}{\mathrm{2}\beta }{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}H}{\mathrm{2}\alpha }{\phi }_{\mathrm{3}}(x)\\ g_{\mathrm{2}}(x)=\frac{({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}H}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\\ g_{\mathrm{3}}(x)=\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\beta }^{\mathrm{2}}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\beta }{\phi }_{\mathrm{2}}(x)+\\ \frac{\mathrm{3}{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}-\frac{H}{T}({\alpha }^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha }{\phi }_{\mathrm{3}}(x)\\ g_{\mathrm{4}}(x)={\phi }_{\mathrm{1}}(x)+\frac{{\alpha }^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\alpha \beta }{\phi }_{\mathrm{4}}(x)\end{array}\right.（25）

1.2　集中外力作用下的附加项

以15环管片为例进行建模。当集中力F作用于第8环管片中心X点处时的示意图如图4所示。图中：以X点为x=0处，h为X点距第1环隧道左端的距离。设X点左侧截面为X⁺，X点右侧截面为X^-，相应地X点左侧截面的变形与内力参数分别为ω_X+，θ_X+，M_X+ 和Q_X+，右侧截面的变形与内力参数分别为ω_X-，θ_X-，M_X- 和Q_X-。

考虑ω，θ和M在X点处具有连续特征，Q在X点处具有突变特征，则有

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{X^{+}}={\omega }_{X^{-}}\\ {\theta }_{X^{+}}={\theta }_{X^{-}}\\ M_{X^{+}}=M_{X^{-}}\\ Q_{X^{+}}=Q_{X^{-}}-F\end{array}\right.（26）

集中荷载作用下，变形与内力参数的附加项∆\omega，∆\theta，∆M和∆Q分别为

\left\{\begin{array}{l}∆\omega ={\omega }_{X^{-}}-{\omega }_{X^{+}}=P{a}_{\mathrm{4}}(x)\\ ∆\theta ={\theta }_{X^{-}}-{\theta }_{X^{+}}=P{b}_{\mathrm{4}}(x)\\ ∆M=M_{X^{-}}-M_{X^{+}}=P{c}_{\mathrm{4}}(x)\\ ∆Q=Q_{X^{-}}-Q_{X^{+}}=P{d}_{\mathrm{4}}(x)\end{array}\right.（27）

此时，以第1环管片左端为x的相对原点，设坐标轴上计算点到相对原点的距离为x₁，则有

x=x_{{\mathrm{1}}^{-}}h（28）

集中力作用下内力解的附加项F(x_{\mathrm{1}})为

F(x_{\mathrm{1}})=\left[\begin{array}{c}‖{}_{x=h}F{a}_{\mathrm{4}}(x_{\mathrm{1}}-h)\\ ‖{}_{x=h}F{b}_{\mathrm{4}}(x_{\mathrm{1}}-h)\\ ‖{}_{x=h}F{c}_{\mathrm{4}}(x_{\mathrm{1}}-h)\\ ‖{}_{x=h}F{d}_{\mathrm{4}}(x_{\mathrm{1}}-h)\end{array}\right]（29）

式中：‖{}_{x=h}为当x≥h时才考虑、当x<h时无须考虑的附加项。

至此，计算隧道纵向变形和内力的式（16）中所需参数全部求出。

2 模型试验

2.1　相似比计算

依托郑州市轨道交通5号线地铁盾构隧道工程设计相似模型。该工程隧道埋深4~23 m，穿越地层主要为粉质黏土层，土体天然重度γ约为17 kN · m^-3；管片整体采用错缝拼装方式，混凝土标号为C50，密度ρ为2.42×10³ kg · m^-3，混凝土剪切模量为14.38×10⁹ Pa。本次模型试验取隧道埋深为5 m。

首先，确定模型相似比。选取模型与原型相同的物理量，通过相似理论得到一定的相似关系，确保所需数据的可靠性。根据相似三定理^［26］，以几何相似和弹性模量相似为基本相似准则，长度量纲L和力量纲F作为基本量纲，通过量纲分析法计算出模型试验中各参数。通过材料比选，确定模型管片材料为有机玻璃，并按照相似关系计算得到几何相似比为15.5^［26-29］。

其次，比选模型螺栓材料。按照式（30）计算得到原型隧道接头处的各刚度比值α_ij，p与模型隧道接头处的各刚度比值α_ij，m。根据相似理论，引入式（31）比较α_ij，p与α_ij，m，计算得到模型隧道与实际隧道接缝处的弯曲、拉压和剪切刚度的相似度β_ij，在保证接缝相似度β_ij 不小于80%的情况下得到模型螺栓各参数取值，最终确定模型螺丝材料为纯铝焊丝（HS301）。相较于目前用弹簧刚度的相似度计算方法，本文方法得到的接头相似度，可以同时满足材料力学性能和螺栓数量要求。

{\alpha }_{ij}=\left\{\begin{array}{l}\frac{E_{\mathrm{c}}{I}_{\mathrm{c}}}{n_i{E}_{\mathrm{t}}{I}_{\mathrm{t}}}j=\mathrm{1}\\ \frac{G_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}}{n_i{G}_{\mathrm{t}}{A}_{\mathrm{t}}}j=\mathrm{2}\\ \frac{E_{\mathrm{c}}{A}_{\mathrm{c}}}{n_i{E}_{\mathrm{t}}{A}_{\mathrm{t}}}j=\mathrm{3}\end{array}\right.（30）

{\beta }_{ij}=\mathrm{1}-\frac{\left|{\alpha }_{ij,\mathrm{p}}-{\alpha }_{ij,\mathrm{m}}\right|}{{\alpha }_{ij,\mathrm{m}}}（31）

式中：α_ij 为管片刚度与螺栓刚度的比值，其中i=1表示纵缝，i=2表示环缝，j=1表示弯曲，j=2表示剪切，j=3表示拉压；E_c和E_t分别为管片和螺栓的弹性模量，Pa；I_c和I_t分别为管片与螺栓的截面惯性矩，m⁴；G_c和G_t分别为管片与螺栓的剪切模量，Pa；A_c和A_t分别为管片与螺栓的接头处接触面积，m²；n_i 为接头连接螺栓根数。

得到管片和螺栓的原型、模型相关参数分别见表1和表2。

2.2　模型管片设计

根据相似比计算结果，借鉴文献［30-33］，本试验中模型隧道环数为15环，每环管片由1片K块（宽0.1 m、厚0.023 m、弧度22.5°）和5片B块（宽0.1 m、厚0.023 m、弧度67.5°）通过螺栓拼接构成，并且在每片管片外弧面中心处设有直径40 mm的加载平台，用于安放微型压力传感器。K块的每边中心位置各设1个螺栓孔。B块管片设计时，为了实现通缝或错缝拼装，在其环缝边打设3个螺栓孔，各孔间隔22.5°，但实际错缝拼装时，仅在每片B块的环缝边中间处进行螺栓连接，其他孔不连接螺栓。每片B块环缝处连接1个螺栓，环与环之间共连接6个螺栓；每片B块纵缝边中心位置设1个螺栓孔。模型实物如图5所示。

2.3　加载装置设计

为更精确地进行力的加载与量测，采用自主设计的盾构隧道模型三维加载装置，如图6所示。加载装置由15个加载环组成，每个加载环上安装有弹簧加载单元和位移计；每个弹簧加载单元又由有机玻璃套管、螺杆、弹簧、微型压力传感器和垫片组成。微型压力传感器量程为0.3 MPa，加载量、输出应变量、换算的压强比例为1∶4∶2。试验时，将15环的隧道模型放入装置内，根据微型压力传感器读数，转动螺杆，推动弹簧，传力给微型压力传感器和垫片，进而对单个管片单元施加围压；当管片产生形变时，通过周围的加载弹簧变形反映土与隧道相互作用与协同变形特征。

2.4　监测内容及测点布设方法

为测量拱顶竖向位移和竖向收敛变形，分别在每环管片的拱顶和奇数环的模型隧道内架设位移计，如图7所示。其中，竖向收敛变形监测借鉴了文献［34-36］的分析理念，环缝错台量为相邻管片环拱顶竖向位移差。

2.5　加载设计

为使模型试验中加载弹簧更加准确地模拟土体的基床系数，先根据式（32），按照现场取土进行土体试验所得平均值，计算得到实际工程中土体的基床系数为26 900 kN · m^-3；然后按照相似比，换算得到模型试验中土体的基床系数为33 600 kN · m^-3。

K=\frac{\mathrm{1.3}{E}_{\mathrm{s}}}{D(\mathrm{1}-{\mu }_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}})}\sqrt[\mathrm{12}]{\frac{E_{\mathrm{s}}{D}^{\mathrm{4}}}{E{I}_{\mathrm{e}\mathrm{q}}}}（32）

式中：E_s 为土体弹性模量，本文取15 MPa；μ_s 为土体泊松比，本文取0.33；EI_eq为隧道的等效抗弯刚度，取4.15×10⁷ kN · m^-2。

借鉴文献［37-38］的试验加载方法，进一步计算得到加载弹簧的设计参数，见表3。

分析对象为浅埋隧道，无须考虑土拱效应^［39-41］，假定土体抗力与变形成线性关系^［42］。在此基础上，参考文献［43-48］的分析方法，利用m值法计算得到原型隧道围压，见表4。表中：σ₀为围岩压力，kPa；A_pK和A_pB分别为原型隧道K块与B块管片外弧面面积，m²；F_pK和F_pB分别为原型隧道K块与B块管片外弧面合，kN；γ为土体重度，kN · m³；h为隧道上覆土厚度，m；D为隧道外径，m；b为管片厚度，m。

利用相似比换算得到模型试验中K块和B块上的集中荷载分别为40和125 N。

确定参数取值后开展试验，操作步骤大致如下。

（1）安装隧道模型与监测元件。将组装成型的15环隧道模型放入三维加载装置后，安装弹簧加载单元和位移计，连接静态数据采集仪，进行数据监测与采集测试。

（2）施加围压。分别按照前文的加载装置操作方法和加载方案，依据静态数据采集仪读数，对各环管片施加围压，待采集仪数据稳定后进行下一步操作。

（3）施加竖向集中荷载。在模型隧道第8环底部利用液压千斤顶分级施加集中荷载，加载位置如图6（c）所示。借鉴文献［49-50］中的加载方案，设置最大加载量为100 N，分为6级加载；加载速率约为3~5 N · s^-1，每级加载持荷10 min，当采集仪数据稳定后施加下一级荷载。

3 试验数据及分析

3.1　变形特征

对装置进行集中荷载的分级加载，为获得各环拱顶竖向位移、收敛变形和拱顶环缝处错台的数值变化规律，绘制这3个参数沿隧道纵向的分布曲线分别如图8所示，图中：“1-2”表示第1、第2环之间的环缝，其他以此类推。需要指出的是，对于室内模型试验，管片和螺栓经缩尺后，接头的非线性表现不明显；本试验集中荷载偏小，整个模型隧道处于弹性变形阶段^［53-55］。从图8可以看出：随着第8环拱底处荷载量增加，各环3个参数的量值均近似线性增大，并以第8环为中心成近似对称分布；同一级荷载下，各参数量值以第8环为中心向两侧成指数函数递减，且随着荷载增加，该函数的切线斜率逐渐增加，表明荷载的增加使得隧道的变形速度也发生了变化；集中加载环的环缝错台量、收敛变形量和拱底竖向位移量明显大于相邻环的，其中收敛变形量和拱底竖向位移量的差别随着集中荷载的增加逐渐减小，而环缝错台量的差别随着集中荷载的增加逐渐增大。

3.2　量值对比

根据表3的相似关系，对集中荷载进行换算，得到实际集中荷载最大值为1 700 kN。其他参数取值见2.1节和2.2节。根据Wu^［14］的计算方法，计算得到等效抗剪刚度为1.3×10⁶ kN · m^-1，结合式（2）并引入式（33）^［14］，计算得到环间接缝处的错台量δ。

\delta =s\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\eta（33）

式中：s为环宽，m。

计算结果与模型试验结果的对比如图9所示。由图9可以看出，两者在隧道纵向变形和环缝错台上的分布曲线均较为接近，环缝错台量的误差范围为0~0.14 mm，最大相对误差仅为8.75%，这证明本文提出的计算模型是可行的，该模型可用在盾构穿切桥梁桩基工程、盾构上跨或下穿既有盾构隧道工程等紧接工程中，为盾构隧道的结构安全评估提供理论依据。

4 结语

本文将Pasternak双参数地基模型、铁摩辛柯梁模型、等效连续化模型、传递矩阵法进行融合，提出了一种新的盾构隧道纵向变形计算模型，其中Pasternak双参数地基模型能够反映地基土弹簧间的剪切作用，铁摩辛柯梁模型能够对隧道受弯与受剪2种状态进行分析，传递矩阵法能够反映接头的非连续性特征，修正等效连续化模型能够反映收敛变形对隧道纵向抗弯刚度的影响。该模型体现了隧道横纵向变形和受力的相关性，将目前应用较多的一维计算模型扩展为二维模型。

计算模型结果与室内模型试验结果在分布特征和量值上基本一致。模型试验证明：在集中荷载与围压的共同作用下，整个隧道处于弹性变形阶段，此时各环管片收敛变形、拱顶和拱底竖向位移、环缝错台量均随着集中荷载的增加而近似线性增大，并且以集中荷载为中心沿纵向成对称分布；同一级荷载下，各参数量值以第8环为中心向两侧成指数函数递减；伴随着荷载增加，该函数的切线斜率逐渐增加，表明荷载的增加使得隧道的变形速度也发生了变化。2种方法得到的环缝错台量误差范围仅为0~0.14 mm，最大相对误差仅为8.75%。

本文提出的计算模型是可行的，可用于在盾构穿切桥梁桩基工程、盾构上跨或下穿既有盾构隧道工程等紧接工程中，为盾构隧道的结构安全预测与评估提供理论依据。

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基金资助

泰山产业领军人才工程专项经费资助项目(tscx202306015)

河南省重点研发与推广专项（科技攻关）项目(202102310586)

河南省重点研发与推广专项（科技攻关）项目(232102241011)

河南省住房城乡建设科技计划项目(K1940)

河南省住房城乡建设科技计划项目(K1817)

中铁十四局集团有限公司科技研发计划课题(9137000016305598912021A02)