尖轨端面复杂廓形机器人铣削轨迹规划方法

Trajectory Planning for Robot Milling of Complex Profiles on Switch Rail Tip Surface

摘要

铁路道岔尖轨数控成型铣削后的打磨抛光目前普遍由人工完成，存在效率低、质量一致性差和漏打磨等问题，难以满足尖轨高效高质加工需求。而将工业机器人铣削技术应用到打磨抛光工序中虽可提升尖轨制造自动化水平，但尖轨端面廓形的复杂多变以及机器人存在的弱刚性又导致其加工轨迹平滑度难以得到保障。为此，需要对尖轨端面复杂廓形机器人铣削轨迹规划方法进行创新。首先，基于MD-H参数法建立机器人运动学模型并分析其运动特性；然后，采用三次NURBS曲线对尖轨端面廓形进行参数化描述，以铣削作业法向刚度性能指标作为优化目标，建立轨迹点姿态优化模型；同时，考虑机器人关节连续性约束，建立机器人铣削轨迹姿态规划模型；在此基础上，基于S型曲线算法实现机器人铣削速度规划；最后，通过仿真和试验进行验证。结果表明：该方法能够有效控制机器人的运动轨迹，解决了外凸夹角区域的“过切”和“跳刀”问题，加工后尖轨端面廓形更为平滑，能满足尖轨制造要求。

Abstract

The grinding and polishing of the switch rail after CNC shaping and milling in railway turnout is currently conducted manually, resulting in issues such as low efficiency, poor quality consistency, and missed grinding, which hinder meeting the requirements for efficient and high-quality processing of switch rail. While the integration of industrial robot milling technology into the grinding and polishing process can enhance the automation level of switch rail manufacturing, the complexity and variability of the switch rail tip profile and the weak rigidity of robots pose challenges in ensuring the smoothness of the machining trajectory. Therefore, it is imperative to innovate the trajectory planning method of the robot with complex profile on switch rail tip surfaces. Firstly, a kinematics model of robot is established based on MD-H parameter method and its motion characteristics are analyzed. Then, the tip profile of the switch rail is parameterized by cubic NURBS curve. An optimization model for trajectory point pose is developed, with the normal stiffness performance index of the milling operation as the optimization objective. Meanwhile, considering the constraints of robot joint continuity, a pose planning model for robot milling trajectory attitude is established. On this basis, the robot's milling speed is planned using an S-shaped curve algorithm. Finally, simulation and experiments are conducted for verification. The results show that this method can effectively control the trajectory of the robot, address the issue of “over-cutting” and “tool jumping” in the convex-included angle area through the inserted transition curve, and achieve a smoother tip profile of the switch rail after processing, meeting the manufacturing requirements of the switch rail.

Graphical abstract

关键词

铁路道岔 / 尖轨 / 工业机器人 / 铣削技术 / 轨迹规划 / NURBS曲线

Key words

Railway turnout / Switch rail / Industrial robot / Milling technology / Trajectory planning / NURBS curve

铁路道岔尖轨经过数控成型铣削后会存在尖锐棱角、较硬毛刺和残留片状铣屑等问题，如图1所示，通常需要对其进行磨抛处理。若磨抛质量不佳，容易导致尖轨在服役过程中产生裂纹甚至断裂，严重影响列车运行的安全性和稳定性^［1-4］。目前，尖轨打磨抛光工序全部由人工完成，存在着打磨效率低、打磨质量一致性差和漏打磨等问题。随着我国铁路交通朝着高速重载的方向快速发展^［5-6］，尖轨的高效高质加工需求愈发迫切。

考虑到工业机器人具有加工一致性好、效率高等优点^［7-9］，将工业机器人铣削技术应用到尖轨打磨抛光工序中，可以大幅度提升尖轨制造自动化水平。然而，工业机器人存在弱刚性问题，加之尖轨端面廓形复杂多变，对工业机器人运动规划能力提出了更高要求。

精确的轨迹规划可以保证机器人运动平稳性^［10-11］，国内外学者对此开展了大量研究。林熊^［12］基于拟牛顿DFP算法提出了一种曲面打磨轨迹生成算法，并通过离线仿真和在线试验验证了轨迹生成算法的有效性。席文明等^［13］提出了一种CAD/CAM集成的机器人磨削轨迹规划方法，通过建立CAM空间与磨削作业空间的准确映射关系，从而生成了机器人各关节轨迹程序。杨靖等^［14］、Peng等^［15］、Celikag等^［16］、Chen等^［17］和Xiong等^［18］都考虑机器人冗余特性，提出了冗余自由度姿态优化方法，提高了机器人沿给定轨迹加工的稳定性。Lu等^［19］采用B样条进行联合构型插值，提出了一种高效寻找机器人关节运动全局最优解的方法，实现了刀具路径平稳和无碰撞操作。Li等^［20］考虑力学和运动学约束，提出了一种姿态轨迹规划虚拟斥力势场算法，提高了铣削质量。Lv等^［21］考虑弹性变形，提出了一种基于材料去除廓形模型的自适应刀具轨迹规划方法，提高了机器人砂带磨削作业的轮廓精度。周乐天等^［22］采用S曲线加减速控制算法对机器人进行速度规划，优化了直线插补和圆弧插补的运动速度。综上所述，机器人位姿优化去冗余的相关研究比较充分，但针对曲率变化大、型面复杂工件的轨迹规划方法研究尚不充分。

本文以铁路道岔尖轨为研究对象，针对机器人铣削尖轨端面复杂廓形运动平稳性问题，对轨迹规划方法开展研究。

1 机器人铣削加工系统

机器人铣削加工系统如图2所示，主要由直线电机模组、工业机器人和末端执行器组成。为满足尖轨长距离铣削的需求，采用了将6自由度机器人安装在直线电机模组上的创新方式，形成了“直线电机-机器人”加工系统。对于尖轨端面廓形机器人铣削而言，采用原位加工方式，即设定直线电机模组固定不动，只考虑机器人本体的运动。

采用MD-H法^［23］定义机器人各连杆坐标系。本文使用的是6自由度工业机器人，1个关节把相邻2个连杆连接，共有6个关节7个连杆。把固定基座作为第0个连杆，机械臂末端的连杆作为第6个连杆。采用l_i表示各连杆长度，i表示连杆编号（i=0，1，…，6），相应的连杆坐标系为坐标系i。先建立中间连杆坐标系i，以关节轴i作为Z轴，以连杆i与Z轴的交点作为原点O_i，以连杆i作为X轴指向关节轴i+\mathrm{1}，根据右手定则确定Y轴，这样依次建立连杆1—连杆5的坐标系。其中，连杆4和连杆5的旋转轴交点在连杆5的中心，将其作为坐标系4和5的原点。对于连杆0即基座，作为参考系，规定坐标系0与坐标系1方向相同，原点O_{\mathrm{0}}与O_{\mathrm{1}}距离为l_{\mathrm{0}}。对于连杆6，原点O_{\mathrm{6}}和X轴方向可以任意选取，为了方便计算，设原点O_{\mathrm{6}}在连杆6中心，X轴方向与连杆5坐标系X轴方向相同。

建立的珞石XB-25机器人坐标系如图3所示。连杆0—连杆5的长度分别为490，160，780，150，660和110 mm。机器人末端（第6轴）到工具坐标系的长度l_{\mathrm{6}}与工具有关，在机器人运动学建模的时候不考虑。

表1为机器人MD-H参数。表中：{\alpha }_i为绕X_i轴从Z_i轴旋转到Z_{i+\mathrm{1}}轴的角度；a_i为从Z_i轴沿X_i轴移动到Z_{i+\mathrm{1}}轴的距离；d_i为从X_{i-\mathrm{1}}轴沿Z_i轴移动到X_i轴的距离；{\theta }_i为绕Z_i轴从X_{i-\mathrm{1}}轴旋转到X_i轴的角度，即关节转动角度。

2个相邻坐标系（坐标系i-1和坐标系i）之间的转换矩阵可由下式求得。

{\mathit{T}}_{i-\mathrm{1},i}={\mathit{R}}_{X,{\alpha }_{i-\mathrm{1}}}{\mathit{T}}_{X,a_{i-\mathrm{1}}}{\mathit{T}}_{Z,d_i}{\mathit{R}}_{Z,{\theta }_i}（1）

其中，

{\mathit{R}}_{X,{\alpha }_{i-\mathrm{1}}}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& cos{\alpha }_{i-\mathrm{1}}& -sin{\alpha }_{i-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& sin{\alpha }_{i-\mathrm{1}}& cos{\alpha }_{i-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

{\mathit{T}}_{X,a_{i-\mathrm{1}}}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& a_{i-\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

{\mathit{T}}_{Z,d_i}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& d_i\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

{\mathit{R}}_{Z,{\theta }_i}=\left(\begin{array}{cccc}cos{\theta }_i& -sin{\theta }_i& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ sin{\theta }_i& cos{\theta }_i& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)

式中：{\mathit{R}}_X_, {}_{{\alpha }_{i-\mathrm{1}}}为坐标系i-1相对坐标系i绕X轴旋转{\alpha }_{i-\mathrm{1}}角度的旋转矩阵；{\mathit{T}}_X_, {}_{{\alpha }_{i-\mathrm{1}}}为坐标系i-1相对坐标系i沿X轴平移a_{i-\mathrm{1}}长度的平移矩阵；{\mathit{T}}_Z_, {}_{d_i}为坐标系i-1相对坐标系i沿Z轴平移d_i长度的平移矩阵；{\mathit{R}}_Z_, {}_{{\theta }_i}为坐标系i-1相对坐标系i绕Z轴旋转{\theta }_i角度的旋转矩阵。

令s_i=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_i，c_i=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_i，将表1参数代入式（1），即可求解得到机器人末端坐标系与基坐标系（坐标系0）的变换矩阵 T_0，6

{\mathit{T}}_{\mathrm{0,6}}={\mathit{T}}_{\mathrm{0,1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{1,2}}{\mathit{T}}_{\mathrm{2,3}}{\mathit{T}}_{\mathrm{3,4}}{\mathit{T}}_{\mathrm{4,5}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5,6}}=\left(\begin{array}{cccc}{n}_x& o_x& a_x& p_x\\ n_y& o_y& a_y& p_y\\ n_z& o_z& a_z& p_z\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)（2）

其中，

n_x=s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{6}}+c{}_{\mathrm{1}}{}^{}s{s}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}+s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}

n_y=-s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}-s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{6}}+s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{6}}

n_z=-s_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}+c_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{6}}

a_x=c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}}+s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}

a_y=s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}-s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}

a_z=s_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}}+c_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}

o_x=c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}-s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}+c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}+s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{6}}+c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{6}}

o_y=s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}+c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}+s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{6}}+s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{6}}

o_z=s_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{5}}{s}_{\mathrm{6}}-c_{\mathrm{23}}{s}_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{6}}

p_x=l_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}+l_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}+l_{\mathrm{5}}(s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}+c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}})

p_y=l_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{2}}{s}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{3}}{s}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}+l_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}+l_{\mathrm{5}}(s_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}}-c_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}}-s_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}})

p_z=l_{\mathrm{0}}+l_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+l_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{23}}+l_{\mathrm{4}}{s_{\mathrm{2}}}_{\mathrm{3}}+l_{\mathrm{5}}(s_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{5}}+c_{\mathrm{23}}{c}_{\mathrm{4}}{s}_{\mathrm{5}})

s_{\mathrm{23}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{3}})

c_{\mathrm{23}}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_{\mathrm{2}}+{\theta }_{\mathrm{3}})

若已知机器人关节变化形式和具体数值，根据上述计算式可求出唯一运动学正解。然后，由式（2）可得

{\mathit{T}}_{\mathrm{0,1}}^{-\mathrm{1}}{\mathit{T}}_{\mathrm{0,6}}{\mathit{T}}_{\mathrm{5,6}}^{-\mathrm{1}}={\mathit{T}}_{\mathrm{1,5}}（3）

根据式（3）等式两边的矩阵中各元素相等，列出相应的方程组，采用解析法求解机器人运动学逆解。机器人各关节的转动角度求解结果如下。

{\theta }_{\mathrm{1}}=\varphi +k\mathrm{\pi }（4）

\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}\left(\frac{K}{\sqrt[]{(\mathrm{2}b{l}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{2}a{l}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}},\pm \right.\\ \left.\sqrt[]{\mathrm{1}-\frac{K^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{2}b{l}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{2}a{l}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}}\right)+\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}(\mathrm{2}b{l}_{\mathrm{2}},\mathrm{2}a{l}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}{l}_{\mathrm{2}})\end{array}（5）

{\theta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}(\frac{b{l}_{\mathrm{4}}-a{l}_{\mathrm{3}}}{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+l_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}},\frac{a{l}_{\mathrm{4}}+b{l}_{\mathrm{3}}}{l_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}+l_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}})-{\theta }_{\mathrm{2}}（6）

\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{4}}=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}\left(\frac{o_x{s}_{\mathrm{1}}-o_y{c}_{\mathrm{1}}}{s_{\mathrm{5}}},\right.\\ \left.\frac{-o_x{c}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}-o_y{s}_{\mathrm{1}}{s}_{\mathrm{23}}+o_z{c}_{\mathrm{23}}}{s_{\mathrm{5}}}\right)\end{array}（7）

{\theta }_{\mathrm{5}}=\pm \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(a_x{c}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}+a_y{s}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}+a_{\mathrm{z}}{s}_{\mathrm{23}})（8）

\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{6}}=\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}\left(\frac{-o_x{c}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}-o_y{s}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}-o_z{s}_{\mathrm{23}}}{s_{\mathrm{5}}},\right.\\ \left.\frac{-n_x{c}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}-n_y{s}_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{23}}-n_z{s}_{\mathrm{23}}}{s_{\mathrm{5}}}\right)\end{array}（9）

其中，

K={l_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}+{l_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{2}}-{l_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{l_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}-b^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{l}_{\mathrm{1}}a

\varphi =\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{2}(a_y{l}_{\mathrm{5}}-p_y,a_x{l}_{\mathrm{5}}-p_x)

a=p_x{c}_{\mathrm{1}}+p_y{s}_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{5}}{a}_x{c}_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{5}}{a}_y{s}_{\mathrm{1}}-l_{\mathrm{1}}+l_{\mathrm{2}}{s}_{\mathrm{2}}

b=p_z-l_{\mathrm{0}}-l_{\mathrm{5}}{a}_z-l_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}

k=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}\varphi \le \mathrm{0}\\ -\mathrm{1}\varphi >\mathrm{0}\end{array}\right.

式中：atan2（·，·）为四象限反正切函数。

由式（4）、式（5）和式（8）可知，{\theta }_{\mathrm{1}}，{\theta }_{\mathrm{2}}和{\theta }_{\mathrm{5}}各有2种解，故本工业机器人共有8组逆解。

2 轨迹规划方法

2.1　尖轨端面廓形参数化描述

针对机器人在笛卡尔空间中末端作业路径曲线难以规划及减速点难以预测的问题，越来越多的学者将B样条运用到了轨迹规划中^［24-25］。采用三次非均匀有理B样条曲线^［26］（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS）对廓形曲线进行参数化描述。选取12#尖轨端面廓形曲线上的61个点作为NURBS曲线的型值点，设置各控制点的权因子为1，最终尖轨端面廓形三次NURBS曲线拟合效果如图4所示。

2.2　机器人铣削轨迹点位置规划

通过路径曲线离散化得到机器人末端轨迹点。为了保证加工质量和效率，选用改进的等弦高误差法来确定合适的步长。

传统的等弦高误差法步长计算原理如图5所示。图中：点P_{\mathrm{A}}和点P_{\mathrm{B}}分别为曲线上相邻的2个离散点；点P_{\mathrm{B}\mathrm{1}}为理论轨迹曲线上的离散点；R_{\mathrm{A}}和R_{\mathrm{B}}分别为其曲率半径，O_{\mathrm{A}}和O_{\mathrm{B}}为分别为其圆心；e为弦高误差；ε为误差允许范围内的最大弦高误差；M为弦长中点；L为步长。

通常情况下，R_{\mathrm{A}}和R_{\mathrm{B}}并不相等，由于相邻2个离散点之间的距离较短，将曲线段近似看作半径为R_{\mathrm{A}}的圆弧段\stackrel{̑}{P_{\mathrm{A}}{P}_{\mathrm{B}\mathrm{1}}}，即R_{\mathrm{A}}=R_{\mathrm{B}}，L可由下式求解。

L=\mathrm{2}\sqrt[]{R_{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}-(R_{\mathrm{A}}{-e)}^{\mathrm{2}}}（10）

由于e²非常小，可以忽略，因此L可近似为

L\approx \mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{A}}e}（11）

由于曲线段是近似圆弧处理，导致实际弦高误差e的大小与曲线段的曲率变化有关。因此，相邻离散点之间的弦高误差可能不处于误差允许范围内，由此生成的铣削轨迹点可能不符合加工要求。

由式（11）可知，步长与当前点曲率半径的平方根成正比，如果当前点的曲率半径大于曲线段的最小曲率半径，此时的弦高误差会超过规定的最大加工误差，极易出现“过切”加工。因此，在基于等弦高误差法计算下一离散点后，将这段曲线在参数域上等分为若干份，分别计算各插值点到直线P_{\mathrm{A}}{P}_{\mathrm{B}}的距离（即各插值点处的误差），如果最大误差y_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}超出误差允许范围，则计算各插值点的曲率半径，选择最小的曲率半径R_min作为当前点的曲率半径，重新计算下一离散点位置，如图6所示。图中：点P_{\mathrm{B}\mathrm{2}}为点P_{\mathrm{B}}优化后的位置。

设置最大弦高误差为0.005 mm，在MAT-LAB软件中编写程序来求解12#尖轨端面铣削轨迹点位置，优化前后每一段的最大弦高误差如图7所示。由图7可知：传统的等弦高误差法计算轨迹点存在相邻点之间步长过大导致弦高误差超出允许范围的问题；用本文的方法进行优化，虽然增加了轨迹点的数量，但点与点之间的弦高误差均处于误差允许范围内，保证了铣削加工的精度。

2.3　尖轨端面铣削轨迹点姿态规划

2.3.1　性能指标

将机器人末端作用力分解为沿轨迹法向方向作用力F_X 、沿轨迹切向方向作用力F_Y 以及沿刀具轴向方向作用力F_Z，如图8所示。

其中，F_X 对轨迹精度的影响最大。因此，该方向刚度越大，则在铣削过程中刀具末端的变形位移越小。根据文献［27］，机器人单方向上的刚度性能指标Q为

Q=\frac{\mathrm{1}}{{\mathit{g}}^T\mathit{C}\mathit{g}}（12）

式中：\mathit{g}为作用力的方向矢量；{\mathit{g}}^{\mathrm{T}}为\mathit{g}的转置矩阵；\mathit{C}为力-线位移柔度矩阵。

同时，为衡量机器人灵巧性及正反解的精度，定义规范雅可比矩阵条件数的倒数D（0<D≤1）作为机器人灵巧性指标，D越大说明机器人灵巧性越好，当D=1时机器人灵巧性最好。D可由下式求得

D=\frac{\mathrm{1}}{k_F({\mathit{J}}_N)}（13）

式中：{\mathit{J}}_{\mathrm{N}}为规范雅可比矩阵；k_{\mathrm{F}}({\mathit{J}}_{\mathrm{N}})为机器人规范雅可比矩阵的条件数。

2.3.2　基于刚度性能的点姿态优化

尖轨端面廓形铣削所使用的工业机器人末端执行器为盈连科技RCD-E800D电主轴，如图9所示。图中：O_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}{X}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}{Y}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}{Z}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}为刀具坐标系；O_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}{X}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}{Y}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}{Z}_{\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}法兰坐标系；O_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}{X}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}{Y}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}{Z}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}工件坐标系。

机器人法兰坐标系与刀具坐标系之间的变换矩阵为

{\mathit{T}}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{218.7}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{80}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)（14）

工件坐标系与机器人基坐标系之间的变换矩阵为

{\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}=\left(\begin{array}{cccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& x_{\mathrm{0},work}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& y_{\mathrm{0},work}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& z_{\mathrm{0},work}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)（15）

式中：(x_{\mathrm{0},\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}},y_{\mathrm{0},\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}},z_{\mathrm{0},\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}})为工件坐标系原点在机器人基坐标系下的坐标。

设定轨迹点在刀具坐标系相对于工件坐标系的变换矩阵为

{\mathit{T}}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}=\left(\begin{array}{cccc}-\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& x_{work,TCP}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& y_{work,TCP}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& z_{work,TCP}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)（16）

式中：(x_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}},y_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}},z_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}})为刀具坐标系下轨迹点在工件坐标系的坐标。

通过矩阵变换可以得到刀具坐标系与机器人基坐标系的变换矩阵为

{\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}={\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k}}{\mathit{T}}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}（17）

由式（17）可得

{\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}={\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}{\mathit{T}}_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}^{-\mathrm{1}}（18）

通过式（18）计算机器人法兰坐标系相对于基坐标系的变换矩阵，再根据逆运动学方程即可计算各关节旋转角度。

机器人末端执行器对尖轨端面廓形进行铣削时，刀具末端位置和轴向方向保持不变，绕刀具轴向方向旋转，即刀具坐标系在保持原点位置和Z轴方向不变的情况下，X轴和Y轴绕Z轴旋转，且每旋转1个角度，{\mathit{T}}_{\mathrm{0},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}就会发生改变，机器人姿态也随之改变，从而可以生成无数个满足加工要求的机器人姿态。通过式（18）求解旋转后的机器人法兰坐标系变换矩阵，从而计算机器人各关节旋转角度以及法向刚度性能指标，在遍历所有姿态后选取性能最优的姿态作为此轨迹点的加工姿态。由于在取值范围内\left[-\mathrm{180}°,\mathrm{180}°\right]有无数个旋转角度，若一一筛选，数据量太大，因此以固定角度Δθ为步长对机器人姿态进行优化。

2.3.3　铣削轨迹的姿态规划

对于1条铣削轨迹来说，存在多个轨迹点，如果对每个轨迹点都按点姿态优化方法选取最优姿态，可能会造成机器人关节运动不连续、运动不平稳等问题。当轨迹点都选法向刚度性能最好的姿态时，前25个点的机器人各关节旋转角度如图10所示。图中，关节1与关节4的转动角度都为0，关节1的变化曲线被关节4的变化曲线覆盖。

由图10可知：从轨迹点20旋转比较大的关节角度才能到达下一个点，由于相邻点之间距离较短，需要比较大的角速度和角加速度才能实现，容易造成各关节角速度不连续，不满足机器人关节平滑过渡的要求。因此，在优化姿态的过程中设置机器人关节连续约束如下。

{\theta }_{i,n-\mathrm{1}}-\omega \mathrm{\Delta }t\le {\theta }_{i,n}\le {\theta }_{i,n-\mathrm{1}}+\omega \mathrm{\Delta }t（19）

式中：{\theta }_{i,n}为第n个轨迹点关节i的转动角度，{\theta }_{i,n-\mathrm{1}}为第n-1个轨迹点关节i的转动角度，n=1，2，…，25；ω为最大关节角速度；Δt为相邻2个轨迹点之间的运动时间。

通过等参数法将直线段离散，机器人各关节角度运动范围均通过上一个轨迹点的关节角度进行约束，对铣削轨迹姿态进行优化。第1个轨迹点在工件坐标系下坐标为

\left(x_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}},y_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}},z_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{k},\mathrm{T}\mathrm{C}\mathrm{P}}\right)=\left(-\mathrm{64,0},\mathrm{51.25}\right)（20）

让机器人末端执行器绕刀具轴向方向旋转1周，寻找机器人加工最优姿态。第1个轨迹点的优化过程如图11所示。图中：{\theta }_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}为刀具转动角度。由于\mathrm{40}°\le {\theta }_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}\le \mathrm{150}°的姿态不可达，将旋转角度范围修正为-\mathrm{205}°\le {\theta }_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}\le \mathrm{35}°。

由图11可知：当机器人末端执行器从初始姿态逆时针旋转-\mathrm{90}°时，机器人法向刚度性能指标Q达到最大，但是此时的灵巧性指标D<0.45，机器人没有远离奇异位姿，因此选取{\theta }_{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{O}}=-\mathrm{95}°时的次优姿态作为机器人铣削的起始姿态。第1个轨迹点的初始姿态和优化姿态的各关节角度信息见表2。

优化前后机器人铣削轨迹刚度性能如图12所示。由图12可知：相较于初始姿态，优化姿态的刚度性能有了明显提升；机器人在铣削尖轨端面的曲线段时，曲线的法向方向一直在变化且变化范围较大，所以法向刚度性能波动较大。

铣削轨迹姿态优化后机器人各关节角度如图13所示。在铣削过程中，关节1、关节4和关节6的转动角度不发生改变，图中只展示关节2、关节3和关节5的变化曲线。由图13可知：相邻轨迹点之间机器人各关节角度变化较小，机器人姿态变化幅度低。由于直线段的轨迹点之间距离较大，相邻点之间的关节角度变化较快，而曲线段上的点分布较密集，相邻点之间的关节角度变化较缓。

2.3.4　过渡曲线点位置和姿态规划

图14为尖轨端面示意图。由图14可知，尖轨端面廓形表现为复杂多变的特殊形态，其中包含3个尖锐的外凸夹角。3个尖锐的外凸夹角容易导致在铣削过程中刀具不稳定跳动。为了解决这一问题，在3个外凸夹角处插入过渡曲线，使机器人能够及时调整末端接触状态，确保末端刀具能够平滑运动。

机器人在铣削尖轨端面廓形时，首先提取尖轨端面廓形特征点信息，然后由三次NURBS曲线拟合廓形，生成铣削轨迹。最后计算获得进入和离开过渡曲线的机器人姿态，利用四元数法对过渡轨迹进行姿态规划。

过渡曲线上的轨迹点分布如图15所示。由图15可知：由于过渡曲线是空行程，过渡曲线的离散点比尖轨端面廓形曲线的离散点分布要稀疏一些。

机器人末端在过渡曲线上运动时，机器人关节2，关节3和关节5的关节角度变化曲线如图16所示。由图16可知：机器人各关节运动连续，机器人姿态运动平缓。

2.4　基于S型曲线的尖轨端面铣削速度规划

尖轨端面廓形复杂多变，存在多个直线段和曲线段，导致机器人铣削加工时需频繁做加减速运动。传统梯形加速度方式存在加速度突变、速度过渡不平滑等缺点，会对机器人系统造成冲击，导致系统出现振动，而S型曲线加减速控制可以避免此类情况的发生，从而提高机器人的工作效率。因此，基于S型曲线对机器人末端速度进行规划。

对于自变量为u的参数化曲线p(u)，其曲线曲率k(u)表达式为

k(u)=\frac{\left|p\text{'}(u)p\text{'}\text{'}(u)\right|}{{\left|p\text{'}(u)\right|}^{\mathrm{3}}}（21）

式中：p\text{'}(u)为曲线p(u)的1阶导数；p\text{'}\text{'}(u)为曲线p(u)的2阶导数。

为了方便求解NURBS曲线的导数，将NURBS曲线改写成

p(u)=\frac{A(u)}{W(u)}（22）

其中，

A(u)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^m}{w}_h{d}_h{N}_{h,q}^{}(u)

W(u)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^m}{w}_h{N}_{h,q}^{}(u)

式中：m为控制点个数；w_h 为权因子；d_h 为控制点坐标；N_h，q （u）为q次规范B样条基函数；q为样条的阶数。

B样条基函数的r阶（r=0，1，…，3）通用求导公式为

N_{h,q}^{(r)}=p\left(\frac{N_{h,q-\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}(u)}{u_{h+q}-u_h}+\frac{N_{h+\mathrm{1},q-\mathrm{1}}^{r-\mathrm{1}}(u)}{u_{h+q+\mathrm{1}}-u_{h+\mathrm{1}}}\right)（25）

则A(u)和W(u)的r阶导数分别为

A^{(r)}(u)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^m}{w}_h{d}_h{N}_{h,q}^{(r)}(u)（26）

W^{(r)}(u)={\displaystyle \sum _{h=\mathrm{0}}^m}{w}_h{N}_{h,q}^{(r)}(u)（27）

通过上述公式可以计算出每个轨迹点处的曲率，再按照曲率值对铣削轨迹进行分段处理，完整的七段S型曲线主要由速度、位移、加速度等共同决定^［28］。在实际应用过程中，S型曲线的组成部分根据具体情况确定。

本文设计的S型曲线速度规划算法流程如图17所示。图中：T_a为加速段的时间；T_d为减速段的时间；T_v为匀速阶段的时间；a_max为S型曲线的最大加速度。首先输入需要规划的轨迹信息，包含轨迹始末位置、始末速度、最大速度、最大加速度和最大加加速度，计算出各段的路径长度，再根据轨迹具体情况判断S型曲线的组成类型，计算每一阶段的时间，最后求解位置、速度、加速度和加加速度曲线。

3 仿真与试验

3.1　铣削轨迹速度规划仿真

在MATLAB软件中编写S型曲线算法程序，设定最大速度为10 mm · s^—1，最大加速度为10 mm · s^—2，最大加加速度为30 mm · s^—3，插补周期为0.001 s。第1段轨迹的起始速度为0，末端速度为5 mm · s^—1，对其进行速度规划仿真，机器人末端位置、速度、加速度和加加速度规划结果如图18所示。由于第1段轨迹与机器人基坐标系的Z轴平行，因此插补点的X坐标和Y坐标不变，图中位置曲线为插补点在机器人基坐标系下的Z坐标值。速度曲线仅表示速度大小变化，与速度方向无关。由图18可知：该段轨迹对应的S型曲线由7段组成，机器人末端在运动过程中速度和加速度连续，机器人末端刀具运动平滑稳定。

机器人关节2、关节3、关节5的角度、角速度、角加速度变化分别如图19-图21所示。在机器人运动过程中，关节1、关节4和关节6的角度不变化，因此图中只展示关节2、关节3和关节5的变化曲线。角速度曲线仅表示角速度大小变化，与角速度方向无关。由图19-图21可知：各关节角度变化平缓，速度和加速度连续无突变，验证了S型曲线算法的正确性；根据机器人关节速度与末端速度的关系，当机器人末端速度平滑时，映射到机器人各关节速度也是平滑的。

在MATLAB/SIMULINK软件中对整个铣削轨迹进行速度规划。设定铣削轨迹始末速度为零，最大加速度为10 mm · s^—2，最大加加速度为30 mm · s^—3以及插补周期为0.001 s，仿真运动过程如图22所示。图中蓝色轨迹为机器人末端运动轨迹，即机器人铣削尖轨端面的铣削轨迹。

在机器人基坐标系下，机器人末端位置随时间变化如图23（a）—（c）所示，由于铣削轨迹平面与Y轴垂直，机器人末端位置的Y坐标值始终不变。机器人末端速度和加速度变化如图23（d）—（e）所示，总规划时间为80.556 s，铣削轨迹的速度在5~10 mm · s^—1之间变化，且速度能够平稳过渡。机器人末端在曲线段上以5 mm · s^—1匀速运动，在直线段上进行加速、减速运动，规划结果符合S型曲线的特性。机器人各关节角度变化曲线如图23（f）所示，在整个规划过程中，机器人运动连续，机器人末端速度和加速度无突变，验证了本文规划方法的有效性。

3.2　试验

试验装置如图24所示，主要由珞石XB-25工业机器人、机器人示教器、机器人控制柜、盈连科技RCD-E800D电主轴、工作台等部件组成。铣削对象为12#尖轨端面廓形；尖轨通过永磁吸盘固定，永磁吸盘通过压铁固定在工作台上；刀具类型为1.5 mm的四刃圆角铣刀，主轴转速为21 000 r · min^—1。分别使用机器人示教方法和本文提出的铣削轨迹规划方法进行加工，观察加工后的尖轨端面。

铣削后尖轨端面如图25所示。由图25可知：使用机器人示教方法进行加工后尖轨端面存在明显刀痕和漏打磨位置，特别是外凸夹角区域，不满足尖轨加工要求。而使用本文提出的机器人铣削轨迹规划方法加工后，尖轨端面廓形呈现出光顺的圆弧形状，能够有效地控制机器人的运动轨迹，通过插入的过渡曲线有效地解决了外凸夹角区域的“过切”和“跳刀”问题，满足尖轨的制造要求。

4 结 论

（1）建立了机器人MD-H运动学模型，使用改进的等弦高误差法调控轨迹点步长，以法向刚度性能指标为优化目标提出了轨迹点姿态规划方法，规划后的机器人各关节运动连续，姿态平缓。

（2）以轨迹连续性为优化目标建立了机器人铣削速度规划方法。仿真和试验结果均表明该方法能有效控制机器人的运动轨迹，解决了外凸夹角区域的“过切”和“跳刀”问题，加工后尖轨端面廓形更为平滑，满足尖轨的制造要求。

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基金资助

中央高校基本科研业务费重点资助项目(2023JBZY020)

北京交通大学科技成果转化培育项目(M21ZZ200010)