自动确定边角混合网独立闭合差的增量算法

Incremental Algorithm for Automatically Determining Independent Misclosures in Hybrid Triangulation Networks

摘要

为评定外业观测数据质量和发现粗差，提出了一种闭合差搜索的通用算法。首先，针对高速铁路隧道中的各类边角混合网，基于平差理论，计算由边角混合网中测站数、非测站数和观测数确定其独立闭合差的数目，给出最简闭合差构成原则，求出余弦和正弦闭合差，推导闭合差限差计算模型，建立由闭合差探测观测值粗差的方法；进而导出闭合差增量与测站递增产生的重叠观测点数之间的数学关系式，设计数据结构实现测站与结点间双向多对多的拓扑映射关系，并基于分治思想，提出队列-测站双循环的增量算法来自动搜索最简且独立的闭合差；最后，以西南某高速铁路隧道构建的边角混合网为例进行算法验证。结果表明：增量算法能够在混合网中自动确定100%数量的最简独立闭合差，对观测值中存在的粗差100%予以探测，验证了采用该算法搜索闭合差及检核粗差的有效性。

Abstract

To assess the quality of field observation data and detect gross errors, a generalized algorithm for searching misclosures is proposed. First, based on adjustment theory, the number of independent misclosures in all sorts of triangulations for high-speed railway tunnels is determined, considering the numbers of survey stations, non-station points and observations. The principle for constituting the simplest misclosure is established, based on which the cosine and sine misclosures are proposed. A computation model for the misclosure tolerance is derived, and a method for detecting gross errors in observations using misclosures is established. Next, the mathematical relationship is derived between the misclosure increment and the number of overlapping observation points resulting from a station increment. The bi-directional many-to-many topological relations are established between stations and nodes using a data structure, and based on a divide-and-conquer approach, an increment algorithm with dual loops for queue-station relations is proposed to automatically search for the simplest and independent misclosures. Finally, the algorithm is tested by an example of hybrid triangulation network constructed in a high-speed railway tunnel in southwest China. The results indicate that the incremental algorithm can automatically determine 100% of the simplest independent misclosures and detect 100% of the gross errors existed in observations, which validates the effectiveness in searching for misclosures and detecting gross errors by the proposed algorithm.

Graphical abstract

关键词

高速铁路长大隧道 / 闭合差 / 边角混合网 / 增量算法 / 粗差探测

Key words

High-speed railway long tunnels / Misclosures / Hybrid triangulation networks / Incremental algorithm / Gross error detection

平面控制测量中，单一形式的边角网有导线、三角形网和自由测站边角交会网。其中，高速铁路轨道控制网采用的就是自由测站边角交会网，最初由德国引进，具有网形强度高、测站设置灵活等优点。刘成龙等^［1］研究论证了自由测站边角交会网在高铁长大隧道洞内平面控制中，相比传统的导线环网更具优势。近年来，长大隧道洞内平面控制出现了交叉导线网与自由测站边角交会网混合构网的情况^［2-3］。隧道洞内复杂的观测条件极易导致观测数据中出现粗差，从而影响边角控制网的精度和可靠性，因此必须对方向和边长观测值进行粗差探测及剔除。

观测数据的粗差探测研究集中于2个阶段：①平差前，利用网中的闭合差或粗差判断方程^［4］探测粗差；②平差中，利用观测值残差进行粗差探测和剔除，如均值漂移模型^［5-7］和方差膨胀模型^［8］。在平差之前，利用闭合差进行粗差检核的方法不仅结果可靠，且简便易行，因而在工程测量实践中被广泛应用。

闭合差实质是观测值不满足几何条件所产生的不符值。通常的做法是搜索闭合环，利用闭合环中的观测数据来计算闭合差。严格意义上讲，闭合差中的观测数据所构成的几何图形就是所谓的闭合环。传统边角网中有边长闭合差、角度闭合差和坐标增量闭合差。由间接平差的误差方程通过矩阵运算可以获得条件方程，从而获得独立闭合差向量^［4］。但该方法得到的条件方程是线性化后的，不具备明显的几何意义。

同类观测值控制网的闭合环搜索方法主要有邻接矩阵变换法^［9］、生成树法^［10-12］和深度优先法^［13］，这些方法主要实现以高差为观测值的水准网及以坐标差为观测值的GNSS网的闭合环搜索。对于同构的边角控制网，冯琰等^［14］提出了组合法实现了导线网闭合差计算及检核；胡琦佳等^［15］基于图论搜索闭合环实现闭合差的计算检核；王国昌等^［16］针对自由测站边角交会网提出了纵横向闭合差检核粗差；宋占峰等^［17］基于闭合差的观测值构成提出了自由测站边角交会网的独立闭合环，并提出了适合于自由测站边角交会网闭合环自动搜索的测站增量算法。但是，对于高速铁路隧道中的非同构的边角混合网，没有通用的闭合差搜索方法。

本文针对边角混合网提出了余弦和正弦闭合差，并提出队列-测站双循环增量算法，实现了各类边角混合网闭合差的自动搜索。最后，采用西南某高速铁路隧道构建的边角混合网进行了实例验证。

1 边角混合网闭合差

1.1　独立闭合差数目

基于平差理论，含有起算数据的控制网中多余观测数r为

r=n-t（1）

式中：n为观测数；t为必要观测数。多余观测数r确定了条件方程的数目，即独立闭合差的个数。

设边角混合网中有j个结点，其中c个测站点，j-c个非测站点，每个结点对应2个平面坐标参数，每个测站对应1个定向角参数，则t=2j+c；边数为b条，每条边对应1个方向观测值和1个距离观测值。按自由网检核控制网观测值粗差，边角网对应的必要起算数据的个数为3，分别是1个已知点的2个坐标和1个起始坐标方位角。起算数据纳入观测数中，则n=2b+3。此时混合网中独立闭合差数目为

r=(\mathrm{2}b+\mathrm{3})-(\mathrm{2}j+c)（2）

图1为边角交会网和交叉导线构成的边角混合网，左部为交叉导线，右部为边角交会网，两者交汇处形成了更复杂的网形，ε₁，ε₂，ε₃和ε₄为4个角度。可以确定图1测站点数为12个（包括CP点），非测站点数为6个，边数为54条（14条往返边和26条单向边），则独立的闭合差数目为60个。

在边角混合网中自动确定最简、足数且独立的闭合差是本文的创新点。最简是指组成闭合差的观测值最少，在闭合差超限时，涉及的观测值最少；足数是指要找到式（2）所确定数目的闭合差；独立是指计算闭合差之间没有函数关系。

1.2　闭合差类型

闭合差是观测值不满足几何条件所产生的不符值。基于观测值类型，将闭合差分成边长闭合差、角度闭合差和边角闭合差3类。边角闭合差进一步分为：余弦闭合差，正弦闭合差，X和Y坐标增量闭合差，交会闭合差。其中，余弦闭合差和正弦闭合差只存在于三角形环中，而四边形及以上的多边形环中则为X和Y坐标增量闭合差。

1）边长闭合差

仅由距离观测值所计算的闭合差称为边长闭合差。交叉导线测站点间存在往返距离观测，几何条件是距离s相等，边长闭合差{\Delta }_{\mathrm{b}}为

{\Delta }_{\mathrm{b}}=s_{\mathrm{往}}-s_{\mathrm{返}}（3）

式中：s_{\mathrm{往}}为往测距离；s_{\mathrm{返}}为返测距离。

2）角度闭合差

仅由方向观测值所计算的闭合差称为角度闭合差。在边角混合网中，角度闭合差仅存在于交叉导线中。要满足的几何条件可以是内角和条件，如图1中四边形ACFD内角和等于360º或六边形ACEHFD内角和等于720º；或角度相等条件，如四边形ACBD中角度ε₁与ε₂之和等于角度ε₃与ε₄之和。按最简要求，角度闭合差应由4个角度即8个方向观测值构成。

3）余弦闭合差

图2为余弦和正弦闭合差示意图。图2中三角形EGv，按满足余弦定理条件得到余弦闭合差{\Delta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}为

{\Delta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}=s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}-\sqrt[]{s_{\mathrm{E}\mathrm{G}}^{\mathrm{2}}+s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{E}\mathrm{G}}{s}_{\mathrm{E}\mathrm{v}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{v}}-{\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{G}})}（4）

式中：\alpha为方向观测值；下标表示起、终点，例如s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}为G到v的距离。

组成余弦闭合差的观测数为5个，3个距离观测值和2个方向观测值，是观测数最少的边角闭合差。

4）正弦闭合差

如图2中三角形EGv，根据按满足正弦定理条件得到正弦闭合差{\Delta }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}为

{\Delta }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}=s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{v}}-{\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{G}})-s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\alpha }_{\mathrm{G}\mathrm{E}}-{\alpha }_{\mathrm{G}\mathrm{v}})（5）

组成正弦闭合差的观测数为6个，2个距离观测值和4个方向观测值。

5）坐标增量闭合差

对于一个m边形，观测了m条边长和m-1个角度，第m点未测角度，如图3所示。{\beta }_i为闭合环中的观测内角，i=1，2，…，m-1。

设图3中1m边为X方向，由此定义局部坐标系。由观测内角可推出任一条边的坐标方位角为

{\lambda }_{(i-\mathrm{1})i}=i\times \mathrm{180}°-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{i-\mathrm{1}}}{\beta }_k（6）

式中：{\lambda }_{(i-\mathrm{1})i}为（i-1）到i的坐标方位角。

任一条边（i-1）i的X和Y坐标增量为

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{\delta }{x}_{(i-\mathrm{1})i}=s_{(i-\mathrm{1})i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\lambda }_{(i-\mathrm{1})i}\\ \mathrm{\delta }{y}_{(i-\mathrm{1})i}=s_{(i-\mathrm{1})i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\lambda }_{(i-\mathrm{1})i}\end{array}\right.（7）

则闭合环的X和Y坐标增量闭合差为

\left\{\begin{array}{l}{\Delta }_{\mathrm{b}x}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{1}}}{s}_{k(k+\mathrm{1})}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\lambda }_{k(k+\mathrm{1})}-s_{m\mathrm{1}}\\ {\Delta }_{\mathrm{b}y}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{m-\mathrm{1}}}{s}_{k(k+\mathrm{1})}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\lambda }_{k(k+\mathrm{1})}\end{array}\right.（8）

如果闭合环为三角形，则单维坐标增量闭合差的观测数为7个，3个距离观测值和4个方向观测值，比余弦和正弦闭合差的观测数多，不满足闭合差的最简原则。所以在三角形中，边角闭合差应选择余弦和正弦闭合差。当闭合多边形边数大于等于4条时，则为X和Y坐标增量闭合差。

6）交会闭合差

交会闭合差存在于自由测站边角交会网中，其构成如图4所示，几何条件是三角形Npo和Qpo对应的po边长相等。

该交会网有1个交会闭合差{\Delta }_{\mathrm{j}\mathrm{h}}，可计算为

{\Delta }_{\mathrm{j}\mathrm{h}}=\sqrt[]{s_{\mathrm{N}\mathrm{o}}^{\mathrm{2}}+s_{\mathrm{N}\mathrm{p}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{N}\mathrm{o}}{s}_{\mathrm{N}\mathrm{p}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_{\mathrm{1}}}-\sqrt[]{s_{\mathrm{Q}\mathrm{o}}^{\mathrm{2}}+s_{\mathrm{Q}\mathrm{p}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{Q}\mathrm{o}}{s}_{\mathrm{Q}\mathrm{p}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_{\mathrm{2}}}（9）

组成交会闭合差的观测数为8个，分别是4个距离观测值和4个方向观测值。称四边形NpoQ为交会环，4条边长度之和称为交会环长度。若观测了距离s_{\mathrm{p}\mathrm{o}}，则交会闭合差变为2个余弦闭合差。

2 闭合差限差及粗差探测

2.1　闭合差限差

由于闭合差的绝对值超过2倍其中误差的概率是4.5%，工程实际将中误差的2倍作为闭合差限差，以评定组成闭合差的观测值中是否含有粗差。由于篇幅所限，只推导提出的余弦和正弦闭合差的限差。

设方向中误差为{\sigma }_{\alpha }，水平角度β为2方向的差值，则基于误差传播定理，角度中误差为{\sigma }_{\beta }=\sqrt[]{\mathrm{2}}{\sigma }_{\alpha }。

1）余弦闭合差限差计算

如图2所示，余弦定理计算得到Gv边的长度s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}为

s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}=\sqrt[]{s_{\mathrm{E}\mathrm{G}}^{\mathrm{2}}+s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{E}\mathrm{G}}{s}_{\mathrm{E}\mathrm{v}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }（10）

由误差传播定律有

{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}={\left(\frac{\partial s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}{\partial s_{\mathrm{E}\mathrm{G}}}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{s_{\mathrm{E}\mathrm{G}}}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}{\partial s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}}\right)}^{\mathrm{2}}{\sigma }_{s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}}^{\mathrm{2}}+{\left(\frac{\partial s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}{\partial \beta }\frac{{\sigma }_{\beta }}{\rho }\right)}^{\mathrm{2}}（11）

式中：{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}为计算边长s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}的方差；{\sigma }_{s_{\mathrm{E}\mathrm{G}}}和{\sigma }_{s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}}分别为EG和Ev边长中误差，可由全站仪的标称精度推算；\rho为弧度和角度的转换常数，\rho=\mathrm{206}{\mathrm{265}}^{″} · rad^-1。

由式（4）按误差传播定理可得闭合差的中误差{\sigma }_{{\Delta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}}为

{\sigma }_{{\Delta }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}}=\pm \sqrt[]{{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}（12）

则余弦闭合差的限差{\Omega }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}为

{\Omega }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}=\mathrm{2}\sqrt[]{{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}}^{\mathrm{2}}+{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}（13）

2）正弦闭合差限差计算

对式（5）全微分可得

\mathrm{d}{\Delta }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{E}\mathrm{v}}+s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{1}}\mathrm{d}{\theta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{d}{s}_{\mathrm{G}\mathrm{v}}-s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{d}{\theta }_{\mathrm{2}}（14）

其中，

{\theta }_{\mathrm{1}}={\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{v}}-{\alpha }_{\mathrm{E}\mathrm{G}}

{\theta }_{\mathrm{2}}={\alpha }_{\mathrm{G}\mathrm{E}}-{\alpha }_{\mathrm{G}\mathrm{v}}

按误差传播定理可得闭合差的中误差为

\begin{array}{l}{\sigma }_{{\Delta }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}}=\pm \sqrt[]{\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}{\sigma }_{s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}}^{\mathrm{2}}+}\to \\ \leftarrow \sqrt[]{(s_{\mathrm{E}\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}+s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{2}})\frac{{\sigma }_{\beta }^{\mathrm{2}}}{{\rho }^{\mathrm{2}}}}\end{array}（15）

式中：{\sigma }_{s_{\mathrm{G}\mathrm{v}}}为Gv边长中误差，可由全站仪的标称精度推算。

正弦闭合差的限差{\Omega }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}为

{\Omega }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{2}{\sigma }_{{\Delta }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（16）

2.2　观测值粗差探测

对于构成闭合差的所有观测值，观测值中的粗差是可发现的，而观测值中粗差的定位则需要多个闭合差来判别。闭合差超限时，至少1个观测值含有粗差，但不可定位。观测值粗差标识初值设为0。当闭合差合限时，则组成该闭合差的所有观测值都不含粗差，用1标识这些观测值。先对合限闭合差的观测值标记1，再对超限闭合差中非1标记的观测值标识为-1，则标识为-1的观测值中可能含有粗差。而标识为0的观测值不在任何一个闭合环中，不能发现粗差。

3 增量法自动搜索闭合差

边角混合网中存在大量闭合差，为了自动搜索出最简、足数且独立的闭合差，基于分而治之思想，提出增量算法实现闭合差的自动搜索。

3.1　增量法原理

混合网是由测站数据组成的。如图5所示，以测站的递增来构建动态网络，确定新增访问测站所产生的闭合差增量，搜索当前新增访问测站相关联的闭合差。

设当前动态网络中有j个结点，其中已访问测站数是c个，边数为b，由式（2）可知当前网络的闭合差数r₀为

r_{\mathrm{0}}=(\mathrm{2}b+\mathrm{3})-(\mathrm{2}j+c)（17）

按新增访问测站是否在动态构建的网络中，分2种情况确定闭合差增量。

1）测站在动态网络中

新增访问测站在动态网络中，其观测的结点数为L+R（新增边数则为L+R），其中L个已在动态网络中的结点（称为重叠观测点），R个测点要加入动态网络中。新增1个测站后，网络中结点数为j+R，测站数为c+1，必要观测数则为2（j+R）+c+1。基于式（2），此时网络中的闭合差数r₁为

r_{\mathrm{1}}=\left[\mathrm{2}(b+L+R)+\mathrm{3}\right]-\left[\mathrm{2}(j+R)+c+\mathrm{1}\right]（18）

则闭合差增量为

\mathrm{\delta }r=r_{\mathrm{1}}-r_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}L-\mathrm{1}（19）

对于交叉导线，重叠观测点数L为1或2，对应闭合差增量为1或3。当闭合差增量为1时，则新增的闭合差为1个边长闭合差。当闭合差增量为3时：①最小环为三角形且有1个测站未访问时，则新增的闭合差为边长闭合差、余弦及正弦闭合差；②最小环为三角形且测站均已访问时，则新增的闭合差为2个边长闭合差和1个角度闭合差；③最小环为四边形且有1个测站未访问时，则新增的闭合差为X和Y坐标增量闭合差和边长闭合差；④最小环为四边形且测站均已访问时，则新增的闭合差为2个边长闭合差和1个角度闭合差。

2）测站不在动态网络中

当动态网络中的测站访问完毕后，混合网中还有未访问的测站，则访问该测站。

新增访问测站不在动态网络中，其观测的结点数为L+R。基于式（2），此时网络中的闭合差数r₂为

\begin{array}{l}{r}_{\mathrm{2}}=\left[\mathrm{2}(b+L+R)+\mathrm{3}\right]-\\ \left[\mathrm{2}(j+R+\mathrm{1})+c+\mathrm{1}\right]\end{array}（20）

则闭合差增量为

\mathrm{\delta }r=r_{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}L-\mathrm{3}（21）

新增访问测站不在动态网络中产生的新增闭合差均为交会闭合差。

3.2　数据结构及算法流程

混合网是多对多的关系：每一个结点被多个测站所观测，而每个测站也观测多个结点。要实现增量法自动搜索闭合差，必须设计合适的数据结构实现以下2点：①由测站点能确定其所观测的结点（称为出度结点）和相应数据；②由结点能确定其被那些测站（称为入度测站）所观测。

图6给出了图5（f）中混合网对应的数据结构及拓扑关系。数据结构包括非测站数组、测站数组和观测数组，数组的下标号确定了数据在内存中的存贮位置；图中的中括号表示动态数组，记录了索引数据，通过索引建立了数据间的拓扑关系，如由测站数组中测站A记录的观测数组下标号1和2，可获得测站A到观测点B和C的方向观测值和距离观测值。

采用队列-测站双循环实现各类边角控制网闭合差增量搜索。队列也是一种动态数组，遵循“先入先出”原则。当只有队列循环时，说明控制网为单一的交叉导线；当队列长度总是不超过1时，说明控制网为单一的自由测站边角交会网；其他情况为交叉导线和自由测站边角交会网组成的混合网。

当测站出队列时，在测站数组中将其访问标识设为“是”。该测站搜索完成后，将该测站观测目标数组中的测站入队列（若为访问过的测站或已在队列中则不再入队列），同时将该测站及其观测的目标结点加入动态网络（若已在网络中则不再加入）。

以图5为例说明测站递增动态构建混合网过程中实现闭合差的增量搜索，数据变化见表1。

队列-测站双循环增量算法流程图如图7所示，增量法搜索过程如下。

（1）构建队列及动态网络，测站点A入队列。

（2）A出队列，在动态网络中无重复观测点，因此无闭合差增量。更新队列及动态网络后如图5（a），相应数据见表1中步骤2。

（3）B出队列，B在动态网络中的观测点有A和C，即L=2，则闭合差增量为3。基于拓扑关系搜索最小环为三角形BCA且C未被访问，可求BA边长闭合差及三角形BCA中余弦和正弦闭合差。此时动态网络如图5（b），数据见表1中步骤3。

（4）C出队列，C在动态网络中的观测点有A和B，即L=2，闭合差增量为3。基于拓扑关系搜索最小环为三角形BCA且测站均已访问，可求CA和CB边长闭合差及三角形BCA的角度闭合差。此时动态网络如图5（c），数据见表1中步骤4。

（5）D出队列，D在动态网络中的观测点有B和E，即L=2，闭合差增量为3。基于拓扑关系搜索最小环为四边形DBCE且E未被访问，以DE为X方向可求X和Y坐标增量闭合差，还有DB边长闭合差。此时动态网络如图5（d），数据见表1中步骤5。

（6）E出队列，E在动态网络中的观测点有C和D，即L=2，闭合差增量为3，基于拓扑关系搜索最小环为四边形DBCE且测站均已访问，可求EC和ED边长闭合差及四边形DBCE的角度闭合差。此时动态网络如图5（e），数据见表1中步骤6。

（7）当前队列为空，取未访问过的测站F入队列。

（8）F出队列，F在动态网络中的观测点有B、E、w和h，即L=4。由于F不在动态网络中，闭合差增量为2L-3，即5个。观测点集合\left\{B,E\right.，\left.w,h\right\}共有C_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{6}条交会边，从中选择交会环长度最小的5条交会边作为交会闭合差，这样可以保证选择的唯一性^［17］；此时队列为空，且测站均已访问，搜索结束。表1闭合差增量之和为17，与采用式（2）计算图5（f）的独立闭合差数目一致。

4 工程实例

本文选用西南地区某12.7 km铁路隧道洞内平面控制网，该铁路隧道为双洞隧道，正洞内采用自由测站边角交会网，斜井与正洞间和左右正洞间的联系测量采用的是交叉导线。共有测站点190个，非测站点227个，边数为1 267条。闭合差数为2 534+3-417×2-190=1 513个。应用增量法确定的边长闭合差、角度闭合差以及边角闭合差的数目见表2。

测量采用的TPS1200型全站仪，方向精度为2″，测距精度为（1+1.5×10^—6d） mm，d为距离，以m为单位。测站上均观测6测回，则先验方向中误差{\sigma }_{\alpha }=\mathrm{0}.{\mathrm{8}}^{″}，角度中误差为{\sigma }_{\beta }=\mathrm{1}.{\mathrm{3}}^{″}；距离中误差{\sigma }_i=(\mathrm{0.4}+\mathrm{0.6}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}{d}_i)\mathrm{m}\mathrm{m}。据此进行闭合差限差计算，闭合差检核结果表明，共有15处闭合差超限。表3列出了部分超限闭合差和检核数据，对应的局部网形如图8所示，测量数据见表4。选择表3中闭合差的原因在于不仅能由超限的闭合差探测出粗差的存在，还能由合限的闭合差定位超限闭合差中唯一含有粗差的观测值。

从表3可知，第550号闭合差合格，说明方向观测值{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{3}}}和{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}}及距离观测值s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{3}}}，s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}}和s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{3}}}合格，在表4相应处赋标识1；第551号闭合差合格，可确定方向观测值{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{3}}}合格。同样，第552和553号闭合差合格，说明方向观测值{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{1}}}和{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{1}}}及长度观测值s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{1}}}和s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{1}}}均合格，在表4中相应处赋标识1；第554号余弦闭合差合格，说明方向观测值{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}}和{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{2}}}及距离观测值s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}}，s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{2}}}和s_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{2}}}合格。第555号闭合差超限，说明组成正弦闭合差的6个观测值中含有粗差，但其中5个观测值已赋标识1，表明无粗差，则第6个观测值即方向观测值{\alpha }_{{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{o}}_{\mathrm{2}}}含有粗差，赋标识-1。

5 结论

（1）针对高速铁路隧道中各类边角混合网，基于平差理论，提出了由边角混合网中测站数、非测站数和观测数确定其独立闭合差的数目，给出了最简闭合差构成原则，基于此在三角形中提出了余弦和正弦闭合差，建立了由闭合差探测观测值粗差的方法。

（2）导出了在测站递增过程中的闭合差增量，设计了数据结构实现测站与结点间双向多对多的拓扑映射关系，提出的队列-测站双循环增量算法能够自动搜索出各类边角混合网中最简且独立的闭合差。

（3）工程实例表明该方法可以有效地确定边角混合网的闭合差及其限差，进行边角混合网外业观测数据的粗差探测和定位，可以提高边角混合网的可靠性。

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基金资助

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