基于多目标进化的超限超重货物运输专列路径优化方法

Route Optimization Method of Out-of-Gauge and Overweight Freights Transportation Special Train Based on Multi-Objective Evolution

摘要

针对超限超重货物运输专列路径优化问题，引入限界改造和桥梁加固要素，以铁路运能损失、运输时间和运输费用的最小化为优化目标，构建铁路超限超重货物运输专列路径优化模型；考虑专列同时运送多件超限超重货物的特点，设计货物综合投影算法，并以Pareto支配关系框架下的NSGA-Ⅱ多目标进化算法为基础，结合基于移动不可行解的自适应惩罚函数的约束处理技术及超限超重货物运输专列开行特征，提出一种基于多目标进化的铁路超限超重货物运输专列路径优化算法。实例分析结果表明：该方法能高效合理地处理路径优化任务中的多个目标；与常用的3种约束多目标算法相比，设计的优化算法能使计算耗时降低0.24%~29.94%、超体积指标值提高4.25%~13.11%，并得到一组收敛性和多样性更好的相对最优方案。该方法克服了传统专列路径优化中单纯依靠经验或从备选方案中择优的弊端，可为铁路超限超重货物运输专列路径决策提供技术支持。

Abstract

Aiming at the route optimization problem of out-of-gauge and overweight freights transportation special train (OOFTST), introducing factors of gauge modification and bridge reinforcement, the route optimization model of railway OOFTST is constructed with the optimization objective of minimizing railway capacity loss, transportation time and transportation cost. Considering the characteristics of the special train transporting multiple out-of-gauge and overweight freights at the same time, the freight comprehensive projection algorithm is designed. Based on NSGA-Ⅱ multi-objective evolutionary algorithm in the framework of Pareto domination relation, combined with the constraint-handling technique of adaptive penalty function based on the moving infeasible solution and the running characteristics of OOFTST, a route optimization algorithm based on multi-objective evolution for railway OOFTST is proposed. The results of case study show that the proposed method can deal with multiple objectives of route optimization tasks efficiently and reasonably. Compared with 3 kinds of common constrained multi-objective algorithms, the designed optimization algorithm can reduce computing time by 0.24%-29.94%, improve index of hypervolume by 4.25%-13.11%, and formulate a set of relatively optimal schemes with better convergence and diversity. It overcomes disadvantages of relying on experience or selecting the best from alternative schemes in traditional route optimization of special train, and provides technical support for route decision of railway OOFTST.

Graphical abstract

关键词

铁路货物运输 / 超限超重货物运输专列 / 路径优化 / 多目标进化 / 约束处理技术 / 自适应惩罚函数

Key words

Railway freight transportation / Out-of-gauge and overweight freights transportation special train (OOFTST) / Route optimization / Multi-objective evolution / Constraint-handling technique / Adaptive penalty function

超限超重货物运输专列是在使用钳夹车、标记载重260 t及以上的落下孔车、标记载重300 t及以上的凹底平车装运超限超重货物时，或其他需要采取全程派人监护、运行监测等特殊安全保障措施的重车运输时采取的运输方式^［1］，这也是铁路部门为尽可能减小铁路运能紧张矛盾，集中力量完成重点运输任务，从而将流向径路相同的超限超重摘挂车集中挂运而成的特殊运输方式^［2］。超限超重货运专列的运输决策优化问题对于提高铁路网中货运效率、增强铁路运输市场竞争力都具有极其重要的意义。

路径问题是超限超重货运专列运输决策的核心内容，诸多学者专家对该问题进行了较为系统的研究。韩梅等^［3］基于事故树和模糊贝叶斯网络，明确了运输线路优化对于铁路超限货物运输风险控制的重要作用；陈皓等^［4］提出了将装载方案和运输路线作为超限运输优化目标的综合优化模型；张英贵等^［5］通过挖掘超限超重货物历史运输路径信息，提出了基于关联规则挖掘的运输路径决策算法；雷定猷^［6］在全面论述超限超重货物运输优化问题的基础上，设计开发了运输决策支持系统；LUO等^［7］构建了超限超重货物的运输路径规划重构模型，为其路径决策和风险防控提供了支持；ZHANG等^［8］将限界改造的措施加入超限货物运输路径决策模型，提高了路径决策的可行性。

铁路限界与货物装后轮廓之间能否保持足够的距离是确保超限超重货物运输专列在不同线路上安全通行的重要因素，目前限界检测^［9］以及限界与货物间安全距离的计算方法^［10］已经较为成熟，能够为运输单件超限超重货物的列车提供路径决策依据。近年来，科研实践中以约束多目标优化为框架的科学与工程问题越来越多，基于进化计算的约束多目标优化技术也越来越受到关注，且在交通运输与物流领域的应用越来越广泛。尚春琳等^［11］通过分级多目标决策技术构建了干线公交速度引导模型；刘冰洁^［12］提出了一种基于分解的约束二、三目标差分进化算法，并将其用于船舶操纵性优化设计；鲁玉等^［13］设计了自适应的A-SAGA算法，并根据约束规划理论为铁路冷链物流运输提供规划方案；李嫚嫚等^［14］在考虑客户偏好的基础上，设计了抛弃法约束处理多目标遗传算法，对双目标时间窗指派车辆路径问题进行了研究。

铁路超限超重货物运输专列路径优化问题涉及较多的目标函数及约束条件，属于复杂的组合优化问题。基于进化计算的多目标优化技术虽已在交通运输与物流管理方面广泛应用，但还未应用于铁路超限超重货物运输领域。基于此，结合铁路超限超重货物运输专列运输特征，构建铁路超限超重货物运输专列路径优化模型，设计铁路超限超重货物综合投影算法和专列路径优化算法，提出一种基于多目标进化的超限超重货物运输专列路径优化方法，以期高效合理地解决铁路超限超重货物运输专列路径优化问题。为便于陈述，以下将铁路超限超重货物运输专列简称为专列。

1 专列路径优化模型

针对铁路超限超重货物运输网络，为方便研究，将线路终点站、不同线路交汇处车站、路局分界口、特定专列运输任务的始发站和终到站统称为节点车站，任意相邻节点车站之间的路段称为节点路段。对于特定专列运输任务，定义如下参数和变量：n_{\mathrm{S}}为节点车站数；a，b均为节点车站；\overline{ab}为a和b间的节点路段；S为节点车站集，S=\{a|a=\mathrm{1,2},\dots ,n_{\mathrm{S}}\}；R为节点路段集，R=\{\overline{ab}|a,b=\mathrm{1,2},\dots ,n_{\mathrm{S}},a\ne b,a\in S,b\in S\}；N为该路网网络，N=(S,R)；Sa,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}和S_{a,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}分别为节点车站a的前序和后序节点车站集合，S_{a,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}\in S，S_{a,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}\in S；o和d分别为特定专列运输任务的始发站和终到站，o,d\in S；l_{\overline{ab}}，n_{\overline{ab}}，r_{\overline{ab}}分别为节点路段\overline{ab}的长度、路段包含的桥梁数、路段最小曲线半径；G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{s}}和G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{c}}分别为节点路段\overline{ab}在直线和曲线情况下高度h处的限界半宽；\mathrm{\Delta }{G}_{\overline{ab},h}^{\mathrm{s}}和\mathrm{\Delta }{G}_{\overline{ab},h}^{\mathrm{c}}分别为进行限界改造时限界半宽G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{s}}和G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{c}}的增量；B_{\overline{ab},q}，Q_{\overline{ab},q}和\mathrm{\Delta }{Q}_{\overline{ab},q}分别为节点路段\overline{ab}中第q座桥梁（q=\mathrm{1,2},\dots ,n_{\overline{ab}}，\forall \overline{ab}\in R）的专列运行活载、承载系数和桥梁加固时的承载系数增量；w_{\overline{ab}}为专列在节点路段\overline{ab}造成的铁路运能损失；v_{\overline{ab}}，v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为专列在节点路段\overline{ab}的实际运行速度、最低限制速度和最高限制速度；g_h^{\mathrm{s}}和g_h^{\mathrm{c}}分别为专列货物综合轮廓在直线路段高度h处的实测半宽及曲线路段高度h处的计算半宽（含曲线偏差量和附加偏差量）；c，c^{\text{'}}和c^{\mathrm{Z}}分别为货物运费基价1、货物运费基价2和其他货物运输费用（包括铁路电气化附加费、货车使用费、运价率上浮产生费用等）；c_{\overline{ab}}^{\mathrm{G}}和c_{\overline{ab},q}^{\mathrm{B}}分别为在节点路段\overline{ab}运输超限超重货物所需的限界改造费用和其中第q座桥梁的加固费用；M为货物总质量；\theta为货物与限界间必要的安全裕量；r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为专列通行所需最小曲线半径；t_a为专列在节点车站a的技术作业时间；u_a为0-1变量，表示专列的技术作业情况，若专列需要在节点车站a开展技术作业则取值为1，否则取值为0；{\phi }_{\overline{ab}}为0-1变量，表示节点路段\overline{ab}的限界改造情况，若其中有需要进行限界改造的区间则取值为1，否则取值为0；{\varphi }_{\overline{ab},q}为0-1变量，表示节点路段\overline{ab}的桥梁加固情况，若其中第q座桥梁需要加固则取值为1，否则取值为0；v_{\overline{ab}}^{\mathrm{d}}为0-1变量，表示节点路段\overline{ab}的限速运行情况，若其中有需要进行限速运行的区间则取值为1，否则取值为0；x_{\overline{ab}}为0-1决策变量，表示专列运输路径的选择情况，若专列运输时选择了节点路段\overline{ab}则取值为1，否则取值为0。

专列运行速度一般较低，由此造成的限速、禁会、车站会让与越行等措施会对运行图的整体运输能力产生影响，即造成铁路运能损失。结合专列在路段上的运行速度越低，造成的铁路运能损失越大的特征，采用降半Γ隶属函数^［8］设计铁路运能损失评估函数，则铁路运能损失可通过评估函数进行定量化描述为

\begin{array}{l}{w}_{\overline{ab}}(v_{\overline{ab}})=\\ \left\{\begin{array}{l}p{v}_{\overline{ab}}\le v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \begin{array}{l}p\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\lambda v_{\overline{ab}}+\\ \lambda v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})v_{\overline{ab}}>v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\end{array}\right.\lambda >\mathrm{0},p>\mathrm{0}\end{array}（1）

式中：\lambda，p均为铁路运能损失评估函数常数。

综合考虑开行专列造成的铁路运能损失f_{\mathrm{1}}最小化、专列运输时间f_{\mathrm{2}}最小化以及货物运输、限界改造、桥梁加固造成的各类运输费用f_{\mathrm{3}}最小化，以铁路限界、线路最小曲线半径、桥梁承载能力、车流平衡作为约束条件，构建专列路径优化模型见式（2）—式（10）。

\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{\forall \overline{ab}\in R}{x}_{\overline{ab}}{w}_{\overline{ab}}\\ =\left\{\begin{array}{l}\sum _{\forall \overline{ab}\in R}{x}_{\overline{ab}}p{v}_{\overline{ab}}\le v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\\ \sum _{\forall \overline{ab}\in R}{x}_{\overline{ab}}p\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-\lambda v_{\overline{ab}}+\lambda v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})v_{\overline{ab}}>v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\end{array}\right.\end{array}（2）

f_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{\forall \overline{ab}\in R}{x}_{\overline{ab}}\left(\frac{l_{\overline{ab}}}{v_{\overline{ab}}}+\sum _{\forall a\in S}{u}_a{t}_a\right)（3）

f_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{\forall \overline{ab}\in R}{x}_{\overline{ab}}\left(M(c+l_{\overline{ab}}{c}^{\text{'}})+c^{\mathrm{Z}}+{\phi }_{\overline{ab}}{c}_{\overline{ab}}^{\mathrm{G}}+{\displaystyle \sum _{q=\mathrm{1}}^{n_{\overline{ab}}}}{\varphi }_{\overline{ab},q}{c}_{\overline{ab},q}^{\mathrm{B}}\right)（4）

s.t.

\left\{\begin{array}{c}{x}_{\overline{ab}}{g}_h^{\mathrm{s}}-G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{s}}-{\phi }_{\overline{ab}}\mathrm{\Delta }{G}_{\overline{ab},h}^{\mathrm{s}}+\theta \le \mathrm{0}\\ x_{\overline{ab}}{g}_h^{\mathrm{c}}-G_{\overline{ab},h}^{\mathrm{c}}-{\phi }_{\overline{ab}}\mathrm{\Delta }{G}_{\overline{ab},h}^{\mathrm{c}}+\theta \le \mathrm{0}\end{array}\right.\forall \overline{ab}\in R（5）

x_{\overline{ab}}{r}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}-r_{\overline{ab}}\le \mathrm{0}\forall \overline{ab}\in R（6）

\begin{array}{l}{x}_{\overline{ab}}{B}_{\overline{ab},q}-Q_{\overline{ab},q}-{\varphi }_{\overline{ab},q}\mathrm{\Delta }{Q}_{\overline{ab},q}\le \mathrm{0}\\ q=\mathrm{1,2},\dots ,n_{\overline{ab}},\forall \overline{ab}\in R\end{array}（7）

x_{\overline{ab}}{v}_{\overline{ab}}^{\mathrm{d}}{v}_{\overline{ab}}-v_{\overline{ab}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \mathrm{0}\forall \overline{ab}\in R（8）

\begin{array}{l}\sum _{b\in S_{a,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}}{x}_{\overline{ab}}-\sum _{b\in S_{a,\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}}}{x}_{\overline{ab}}=\\ \left\{\begin{array}{l}-\mathrm{1}a=o\\ \mathrm{0}a\ne o,d\\ \mathrm{1}a=d\end{array}\right.\forall \overline{ab}\in R,\forall a,b\in S\end{array}（9）

x_{\overline{ab}}\in \{\mathrm{0,1}\}\forall \overline{ab}\in R（10）

上述模型中，式（2）和式（3）分别为路径优化需要最小化铁路运能损失、运输时间；式（4）为最小化综合运输费用即客户运费和铁路运输企业的限界改造与桥梁加固费用，追求降低运费的同时尽可能降低企业的运营成本；式（5）—式（9）分别为铁路限界约束、线路最小曲线半径约束、桥梁承载能力约束、限速运行约束、车流平衡约束；式（10）为节点路段是否被选择的0-1决策变量约束。

2 超限超重货物综合投影算法

超限超重货物的外形轮廓复杂各异，需要设计一种可获取多件超限超重货物综合轮廓的投影算法，减少由于人工选取检定点造成的安全隐患，并为其路径优化提供重要依据。

以装载车辆车地板横中心线为x轴、垂直于其向上为y轴、两轴交点为原点o建立坐标系，则货物综合轮廓的投影应当位于oxy平面上，即各件货物的投影轮廓与当前最大综合轮廓的交点可以用坐标的形式表达。先设置初始轮廓，再将各件货物轮廓逐渐叠加，便可形成货物综合轮廓，如图1所示。

按照这一思路，将oxy平面上的货物综合轮廓投影按象限位置分为2部分，对每部分分别进行货物轮廓投影的预处理和轮廓投影的综合叠加。以第Ⅰ象限为例，对应的货物轮廓投影预处理过程如图2所示，算法主要步骤如下。

步骤1：对当前货物轮廓投影进行预处理准备。先输入初始轮廓S_{\mathrm{0}}以及各件超限超重货物投影P_i（i=1，2，3，…，n_{\mathrm{f}}，n_{\mathrm{f}}为超限超重货物件数），再将S_{\mathrm{0}}记为当前货物综合轮廓S_j（j=0，1，2，…，n_f－1），并标定当前货物轮廓投影P_i的最高点和最低点分别为u点和l点，如图2（a）所示。

步骤2：对投影的y轴进行预处理。先以1 cm为执行间隔、以过l点和过u点分别为起点和终点作平行于x轴的扫描线，完成对P_i沿y轴正向的扫描预处理；再记录第m次执行时扫描线与P_i交点中横坐标绝对值最大的点为h_m，分别将u点和l点记为h_{\mathrm{0}}和h_{m_y+\mathrm{1}}，得到点集Y=\{h_m|m=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,m_y+\mathrm{1}\}，m_y为y轴扫描预处理执行次数；然后记录点集Y中的各点坐标，将Y中的点按次序连接得到折线段L，将L与u点和l点纵坐标之间的S_j部分围成的区域记为D，如图2（b）所示。

步骤3：对投影的x轴进行预处理。以1 cm为执行间隔、以y轴为起点作平行于y轴的扫描线，完成对P_i沿x轴正向的扫描预处理；每执行1次扫描，便判断1次扫描线与P_i的交点是否位于D的外部，若否，则执行下1次扫描并继续判断交点位置；若是，则将第m^{\text{'}}次执行时得到的第k个交点记为h_{m^{\text{'}},k}，记录点集X中的各点坐标直至扫描结束，得到点集X=\{h_{m^{\text{'}},k}|m^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\dots ,m_x,k=\mathrm{1,2},\dots ,m_k\}，m_x为x轴扫描预处理执行次数，m_k为第m^{\text{'}}次执行时得到的交点个数。

步骤4：对投影在oxy平面上的轮廓进行预处理。令H=X\bigcup Y=\left\{h_{m^{″}}|m^{″}=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\dots ,m_y+\mathrm{1}+m_k\right\}，将H中的点按照纵坐标由小到大依次连接得到折线段L^{\text{'}}，若存在多个纵坐标相同的点，则将这些点连接，并将其中横坐标最大和最小的点分别与其在oxy平面上纵坐标相邻且距离最近的点连接，如图2（c）所示，即为当前货物轮廓投影曲线，预处理结束。

步骤5：计算货物综合轮廓。先将S_j上u点和l点纵坐标之间的部分记为J，按照纵坐标由小到大的次序对J与L^{\text{'}}的交点进行顺序编号，得到交点集为E=\left\{e_n|n=\mathrm{1,2},\dots ,m_{\mathrm{p}}\right\}，n为交点的编号，m_{\mathrm{p}}为交点个数；再分别记L^{\text{'}}和J上e_n与e_{n+\mathrm{1}}之间的轮廓线为\overline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}和\underline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}，记由过e_{\mathrm{1}}和e_{m_{\mathrm{p}}}、平行于x轴的2条直线、y轴和J围成的区域为T；然后记S^{\mathrm{t}}为轮廓线临时集合并令S^{\mathrm{t}}=\mathrm{\varnothing }，若\overline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}在T的外部，则将\overline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}加入S^{\mathrm{t}}，否则将\underline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}加入S^{\mathrm{t}}；将S^{\mathrm{t}}中的\overline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}和\underline{e_n{e}_{n+\mathrm{1}}}顺次连接并替换J，即可得到更新后的当前货物综合轮廓S_{j+\mathrm{1}}。

步骤6：令j\leftarrow j+\mathrm{1}，i\leftarrow i+\mathrm{1}，若j=n_{\mathrm{f}}，则令超限超重货物综合轮廓S^{\mathrm{c}}=S_j并输出结果，算法结束；否则返回步骤2。

按上述步骤对货物oxy平面第Ⅱ象限的部分进行综合投影，2次综合投影结果的组合即为专列装载的所有货物在直线路段的综合轮廓，曲线路段根据路段曲线半径计算加宽。以第Ⅰ象限为例，更新前后的货物综合轮廓如图3所示。

3 专列路径优化算法

铁路货运线网具有拓扑复杂性，各路段间线路条件又各不相同，致使路径优化时所追求的目标即铁路运能损失、运输时间、运输费用难以同时达到最优，需要统筹考虑各方面约束条件，因此可认为专列路径优化问题属于典型的约束多目标优化问题。进化算法具有直观、易于操作以及基于种群的特性，是求解多目标优化问题的首选方法，可以通过设计适当的约束处理技术，促使种群向可行域中的最优解逼近，从而找到一组具有良好收敛性和分布性的近似Pareto解集。

为了求解专列路径优化问题，以基于Pareto支配关系的NSGA-Ⅱ多目标优化算法为框架，在路径优化方法设计中采用一种基于移动不可行解的自适应惩罚函数的约束处理技术，在计算得到的一组折中可行方案中，铁路部门决策者可根据其实际需求选择相对最优路径。

3.1　约束处理

为便于开展进化算法中的交叉与变异计算，需要对路网图中运输任务的始发终到站间的节点路段进行编号，并将解\mathit{x}的各分量设置为0-1变量，则可将解\mathit{x}的形式表达为\mathit{x}=(\begin{array}{cccc}{x}_{\mathrm{1}}& x_{\mathrm{2}}& \dots & x_{n_{\mathrm{R}}}\end{array})，n_{\mathrm{R}}为节点路段数量。

利用约束违反量修正目标函数，是目前进化算法中约束处理技术惩罚函数的基本思想。由此，将决策变量为0-1变量的专列路径优化问题\mathit{F}\left(\mathit{x}\right)表示为式（11）—式（14）。

\mathit{F}(\mathit{x})=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\left(\begin{array}{ccc}{f}_{\mathrm{1}}(\mathit{x})& f_{\mathrm{2}}(\mathit{x})& f_{\mathrm{3}}(\mathit{x})\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}（11）

s.t.

g_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})\le \mathrm{0}{j}^{\text{'}}=\mathrm{1},\dots ,n_{\mathrm{g}}（12）

h_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})=\mathrm{0}{j}^{\text{'}}=n_{\mathrm{g}}+\mathrm{1},\dots ,n_{\mathrm{g}}+n_{\mathrm{h}}（13）

x_{k^{\text{'}}}=\{\mathrm{0,1}\}{k}^{\text{'}}=\mathrm{1},\dots ,n_{\mathrm{R}}（14）

式中：j^{\text{'}}为第j^{\text{'}}个约束条件；n_{\mathrm{g}}和n_{\mathrm{h}}分别为不等式和等式的约束个数；g_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})为解\mathit{x}需满足的第j^{\text{'}}个不等式约束；h_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})为解\mathit{x}需满足的第j^{\text{'}}个等式约束；k^{\text{'}}为解\mathit{x}中的第k^{\text{'}}个分量。

在分别有n_{\mathrm{g}}个不等式和n_{\mathrm{h}}个等式约束的情况下，解\mathit{x}在第j^{\text{'}}个约束条件的违反量I_{j^{\text{'}}}^{\mathrm{C}\mathrm{V}}为

\begin{array}{l}{I}_{j^{\text{'}}}^{\mathrm{C}\mathrm{V}}(\mathit{x})=\\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\mathrm{0},g_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})\right)j^{\text{'}}=\mathrm{1},\dots ,n_{\mathrm{g}}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\left|\mathrm{0},h_{j^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})\right|\right)j^{\text{'}}=n_{\mathrm{g}}+\mathrm{1},\dots ,n_{\mathrm{g}}+n_{\mathrm{h}}\end{array}\right.\end{array}（15）

则解\mathit{x}的总违反量I^{\mathrm{C}\mathrm{V}}为

I^{\mathrm{C}\mathrm{V}}(\mathit{x})={\displaystyle \sum _{j^{\text{'}}=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{g}}+n_{\mathrm{h}}}}{I}_{j^{\text{'}}}^{\mathrm{C}\mathrm{V}}(\mathit{x})（16）

在本文研究问题的进化计算中，解的分量即参与计算的节点路段数量较多，极易出现不可行解，若采用现有的一些惩罚函数形式^［15-16］，则会存在进化前期在路径选择时过于依赖约束违反量、进化后期在最优路径计算中反复徘徊于可行与不可行路径间等不足。由此，考虑利用由移动量和惩罚量组成的基于移动不可行解的惩罚函数进行求解，旨在更好地识别进化中多样性较好的不可行路径，并进一步引导其向可行路径方案转化。

专列路径优化问题包含铁路运能损失、运输时间、运输费用3个优化目标。对于不可行路径\mathit{u}=\left(f_{\mathrm{1}}(\mathit{u})f_{\mathrm{2}}(\mathit{u})f_{\mathrm{3}}(\mathit{u})\right)，在某一个目标函数值大于\mathit{u}对应的目标函数值的可行路径中，其值最小的可行路径为\mathit{u}的专列临近可行路径。若在\mathit{u}的某个目标函数上不存在该临近可行路径，则可将\mathit{u}自身视为其在该目标函数上的临近可行路径，并将所有\mathit{u}的临近可行路径共同决定的点\mathit{z}=\left(z_{\mathrm{1}},z_{\mathrm{2}},z_{\mathrm{3}}\right)称为\mathit{u}的临近可行参考点。为方便展示，选取3个优化目标中任意2个组成二维目标函数展示临近可行参考点，如图4所示。

不可行路径\mathit{u}的第i^{\text{'}}个目标值f_{i^{\text{'}}}(\mathit{u})（i^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\mathrm{3}）在基于移动不可行解的惩罚函数中的移动量V_{i^{\text{'}}}(\mathit{u})（i^{\text{'}}=\mathrm{1,2},\mathrm{3}）为

V_{i^{\text{'}}}(\mathit{u})=\omega P_{\mathrm{f}}(z_{i^{\text{'}}}-f_{i^{\text{'}}}(\mathit{u}))（17）

式中：P_{\mathrm{f}}为每一代专列路径集（种群）中可行路径所占的比例，能够决定在识别不可行路径多样性的过程中，不可行路径在解空间中的移动程度；\omega为移动量常数；z_{i^{\text{'}}}为\mathit{z}的第i^{\text{'}}维分量的值。

不可行路径\mathit{u}的第i^{\text{'}}个目标值在基于移动不可行解的惩罚函数中的惩罚量W_{i^{\text{'}}}\left(\mathit{u}\right)为

W_{i^{\text{'}}}(\mathit{u})=I^{\mathrm{C}\mathrm{V}}(\mathit{u})（18）

则铁路超限超重货物运输专列路径优化目标函数的第i^{\text{'}}维的修正目标函数f_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})为

f_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}(\mathit{x})=f_{i^{\text{'}}}(\mathit{x})+V_{i^{\text{'}}}(\mathit{x})+W_{i^{\text{'}}}(\mathit{x})（19）

3.2　算法设计

在超限超重货物综合投影算法求得其综合轮廓的基础上，结合上述约束处理技术及专列作业特征，设计专列路径优化算法，步骤如下。

步骤1：参数输入。输入优化模型相关参数，并设置专列路径集规模N_{\mathrm{P}}，最大进化代数G_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，随机联赛选择算子N_{\mathrm{S}}，模拟二进制交叉概率p_{\mathrm{c}}，分布系数{\eta }_{\mathrm{c}}，多项式变异概率p_{\mathrm{m}}，分布系数{\eta }_{\mathrm{m}}，移动量常数\omega。

步骤2：专列路径编码及专列路径集初始化。对铁路网中专列运输任务始发站o和终到站d间所有n_{\mathrm{R}}个节点路段进行编号，将路段\overline{ab}对应的0-1决策变量x_{\overline{ab}}视为解的分量，则专列路径编码形式为\mathit{x}=(\begin{array}{cccc}{x}_{\mathrm{1}}& x_{\mathrm{2}}& \dots & x_{n_{\mathrm{R}}}\end{array})；以式（9）车流平衡约束为前提生成N_{\mathrm{P}}条能够连接o和d的初始路径，作为初始专列路径集（简称为初始集）。

步骤3：初始集的可行性判断、约束处理、适应度计算及非支配排序。依据式（5）—式（8）对专列路径集中的路径进行可行性判断，发现不可行路径后，通过式（17）和式（18）计算其移动量和惩罚量；依据式（19）计算专列路径集中所有路径方案各目标的适应度修正函数；基于Pareto支配关系，对初始集中的路径方案进行非支配排序，分类形成多个非支配层。

步骤4：初始集的选择、交叉、变异操作。对初始集依次进行随机联赛选择、模拟二进制交叉和多项式变异操作生成子代路径集，并记当前进化代数G_{\mathrm{p}}=\mathrm{2}。

（1）随机联赛选择。随机选择专列路径集中的N_{\mathrm{S}}个路径方案，将所属非支配层层级最高的其中1个路径方案作为参与交叉的路径方案，直至专列路径集中所有方案都被选择过。

（2）模拟二进制交叉。对于经过选择的父代路径方案p^{\text{'}}和p^{″}的第i^{\text{'}}个目标值p_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}和p_{i^{\text{'}}}^{″}，以p_{\mathrm{c}}的概率经过以下交叉产生其子代路径方案s^{\text{'}}和s^{″}的第i^{\text{'}}个目标值s_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}和s_{i^{\text{'}}}^{″}分别为

s_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[(\mathrm{1}-{\beta }_{i^{\text{'}}})p_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}+(\mathrm{1}+{\beta }_{i^{\text{'}}})p_{i^{\text{'}}}^{″}\right]（20）

s_{i^{\text{'}}}^{″}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[(\mathrm{1}+{\beta }_{i^{\text{'}}})p_{i^{\text{'}}}^{\text{'}}+(\mathrm{1}-{\beta }_{i^{\text{'}}})p_{i^{\text{'}}}^{″}\right]（21）

其中，

式中：{\beta }_{i^{\text{'}}}为针对第i^{\text{'}}维目标的交叉分布因子；{\alpha }_{i^{\text{'}}}为针对第i^{\text{'}}维目标的服从均匀分布的随机数，{\alpha }_{i^{\text{'}}}\in ［\mathrm{0,1}］。

（3）多项式变异。对于经过交叉产生的子代路径方案s^{\mathrm{p}}的第i^{\text{'}}个目标值s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{p}}，以p_{\mathrm{m}}的概率经过以下变异，得到变异路径方案s^{\mathrm{m}}的第i^{\text{'}}个目标值s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}}为

s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}}=s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{p}}+(s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}){\mu }_{i^{\text{'}}}（22）

其中，

式中：{\mu }_{i^{\text{'}}}为针对第i^{\text{'}}维目标的变异分布因子；s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和s_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为第i^{\text{'}}维目标决策变量的最大值和最小值；{\gamma }_{i^{\text{'}}}为针对第i^{\text{'}}维目标的服从均匀分布的随机数，{\gamma }_{i^{\text{'}}}\in \left[\mathrm{0,1}\right]。

步骤5：子代专列路径集的可行性判断、约束处理及适应度计算。依据式（5）—式（8）对子代专列路径集中的路径进行可行性判断，发现不可行路径后，通过式（17）和式（18）计算其移动量和惩罚量；依据式（19）计算子代专列路径集中所有路径方案各目标的适应度修正函数。

步骤6：合并专列路径集非支配排序。将父代、子代专列路径集合并，对合并专列路径集中的路径方案进行非支配排序，分类形成多个非支配层，若某非支配层刚好使得参与非支配排序的路径方案数量达到专列路径集规模N_{\mathrm{P}}，则执行步骤8；否则，执行步骤7。

步骤7：拥挤距离计算。对于加入专列路径集会使其规模超过N_{\mathrm{P}}的非支配层，计算其包含的路径方案的拥挤距离，淘汰拥挤距离较小的路径方案直至剩余的路径方案数量能够使得专列路径集规模等于N_{\mathrm{P}}。

步骤8：合并专列路径集的选择、交叉、变异操作。将合并专列路径集视为父代专列路径集，对合并专列路径集按步骤4中的方法依次进行随机联赛选择、模拟二进制交叉和多项式变异操作生成子代路径集。

步骤9：进化代数判断。若，则令G_{\mathrm{p}}\leftarrow G_{\mathrm{p}}+\mathrm{1}，执行步骤5；否则，输出第一非支配层中的所有可行方案作为决策者的参考方案，得到专列最优路径集A=\left\{{\mathit{x}}_{\mathrm{1}},{\mathit{x}}_{\mathrm{2}},\dots ,{\mathit{x}}_{n_{\mathrm{j}}}\right\}（n_{\mathrm{j}}为方案数），计算结束。

3.3　算法性能评估方法

在对约束多目标优化类算法进行性能评估时，通常可使用多种性能评价指标，但考虑到本文研究的专列路径优化问题的最优运输路径是未知的，属于最优解信息未知的约束多目标优化问题，因此采用超体积（Hypervolume，HV）指标进行算法的性能评估。

首先，利用对数函数对问题中各目标函数f_{i^{\text{'}}}进行归一化处理，得到归一化结果f_{i^{\text{'}}}^{″}为

（23）

式中：f_{i^{\text{'}}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为目标函数f_{i^{\text{'}}}的最大值。

设置参考点{\mathit{R}}^{\mathrm{p}}=(r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}},r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{p}},r_{\mathrm{3}}^{\mathrm{p}})，其各分量通常设置为专列最优路径集各目标上界的1.2倍，则HV指标计算式^［17］为

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{H}\mathrm{V}}=\delta \left(\underset{\mathit{x}\in A}{\cup }\left(\left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{1}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)\times \right.\right.\\ \left.\begin{array}{c}\\ \end{array}\left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{2}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)\times \left.\left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{3}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{3}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)\right)\right)\end{array}（24）

式中：\delta为Lebesgue测度，用于计算超体积；\left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{1}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{2}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}{f}_{\mathrm{3}}(\mathit{x})& r_{\mathrm{3}}^{\mathrm{p}}\end{array}\right)为受路径\mathit{x}支配但不受参考点{\mathit{R}}^{\mathrm{p}}支配的所有点构成的超立方体。

HV指标值越大，表示计算所得的运输专列最优路径集的收敛性和多样性越好。

4 实例分析

以一次从天津市滨海新区新港站运往四川省乐山市燕岗站的换流变压器专列运输任务为背景，探究本文方法的实际应用效果。采用Matlab编程，运行环境为12th Gen Intel（R）Core（TM）i7-12700H 2.30 GHz处理器、16.0 GB内存的个人计算机。

本次运输对象为14台换流变压器及相关专用工具、备件等附属器件，其中YY型、YD型2种型号各7台。YY型换流变压器基本外形尺寸（长×宽×高）为11 700 mm×3 500 mm×4 850 mm，重300 t；YD型为10 500 mm×3 450 mm×4 780 mm，重262 t。采用DK36型360 t落下孔车（自重200 t）装载、14辆载货落下孔车与隔离车编成专列进行运输。装车后，2种换流变压器在距轨面不同高度处的计算半宽不同，通过铁路超限超重货物综合投影算法得到装车后的最大综合装后轮廓尺寸，见表1。

2种换流变压器装车后的最大综合装后轮廓图如图5所示。

采用本文方法对本次运输任务的路径进行决策优化。模型与算法中用到的各种参数取值分别为：安全裕量\theta =40 mm^［10］；DK36型落下孔车安全通行所需最小曲线半径r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=260 m；货物总质量M=（300+262）×7=3 934 t；运费基价c=26元·t^-1，c^{\text{'}}=0.138元·tkm^-1；铁路运能损失评估函数常数p=100，\lambda =0.01；移动量常数\omega =2；专列路径集规模N_{\mathrm{P}}=50；最大进化代数G_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=500；随机联赛选择算子N_{\mathrm{S}}=2；模拟二进制交叉概率p_{\mathrm{c}}=0.9；模拟二进制交叉分布系数{\eta }_{\mathrm{c}}=2；多项式变异概率p_{\mathrm{m}}=0.02；多项式变异分布系数{\eta }_{\mathrm{m}}=20。

采用专列路径优化算法，经过多代进化计算后，在超限超重货运网中得到始发终到站间4条相对最优路径，如图6所示（部分不在最终决策结果中的节点路段未在图中绘出）。图中：黑色五角星表示始发站和终到站；黑色实心圆点表示路局分界口；灰色实心圆点表示不同线路交汇处车站。

将图6中4条相对最优路径分别命名为R1—R4，以运输任务的始发终到站以及不同线路交汇处车站和路局分界口作为节点车站，可将其描述如下。

R1（绿色线条）：新港—北仓—临清—台前—梁堤头—商丘北—王楼—淮滨—麻城—横店—汉西—襄阳北—鸦雀岭—凉雾—达州—三汇镇—遂宁—成都东—燕岗。

R2（浅蓝色线条）：新港—北仓—临清—台前—梁堤头—商丘北—郑州—孟庙—信阳—小林—南阳—郜营—襄阳北—鸦雀岭—凉雾—达州—三汇镇—遂宁—成都东—燕岗。

R3（橙色线条）：新港—北仓—西道口—石家庄—安阳—郑州北—洛阳东—太要—华山—新丰镇—宝鸡—广元—成都东—燕岗。

R4（红色线条）：新港—北仓—西道口—石家庄—赛鱼—榆次—风陵渡—华山—新丰镇—吕河—安康—达州—三汇镇—遂宁—成都东—燕岗。

4条相对最优路径的相关信息及目标函数计算结果见表2。

从表2可以看出：4条相对最优路径在3个目标上各有优劣，相互之间处于非支配关系；该算法能够在统筹模型中限界改造、桥梁加固、多件超限超重货物同时运送特点等约束的基础上高效合理地处理径路优化任务中的多个目标，寻找到具有良好收敛性和分布性的近似Pareto解集。铁路部门实际在本次运输任务中采用了路径R3，即选取了运输费用略高、但铁路运能损失较低和运输时间较短的路径，表明决策者可通过本文方法并结合实际运输需求及偏好，在直观对比各非支配路径方案的基础上选择最合适的路径方案。

对于本运输任务实例，在采用专列路径优化模型的基础上，进一步对比本文专列路径优化算法（算法①）与约束多目标优化领域常用的3种算法——随机排序多目标进化算法^［18］（算法②）、自适应惩罚函数多目标进化算法^［19］（算法③）、ϵ多目标进化算法^［20］（算法④）的求解效果。4种算法得到的最优路径方案集及目标函数值见表3，计算耗时依次为21.471 9，30.648 6，21.523 0和28.314 1 min，对应的HV指标值依次为0.856 5，0.757 2，0.797 5和0.821 6。与算法②—算法④相比，算法①的计算耗时降低0.24%~29.94%，HV指标值提高4.25%~13.11%。

综上，本文算法求得的非支配路径方案集具有最高的HV指标值（即收敛性和多样性最好），说明该算法在4种算法中求解效果最优，且该算法与专列路径优化模型具有较好的算法适应性；本文算法的计算耗时在4种算法中最低，远低于算法②和算法④，说明该算法具有显著的高效性。本文方法已作为一项关键技术成功应用于“铁路限界管理及超限超重货物运输决策支持系统”研发过程，该系统目前广泛应用于中国国家铁路集团有限公司有关货运部门，能够有效解决我国铁路超限超重货物运输的辅助决策问题。

5 结语

针对传统超限超重货物运输专列路径选择难题，提出基于多目标进化的超限超重货物运输专列路径优化方法，包括专列路径优化模型、超限超重货物综合投影算法以及专列路径优化算法。为缓解专列开行时对运输条件的苛刻要求，建立以铁路运能损失、运输时间和运输费用的最小化为目标的专列路径优化模型，并引入限界改造和桥梁加固要素，增加可选路径集合，能较好刻画专列路径优化决策的现实需要。针对同时运送多件外形轮廓不尽一致的超限超重货物时存在的外廓测量痛点设计一种铁路超限超重货物综合投影算法，将多件货物进行投影获取其综合装后轮廓，能够确保综合装后轮廓测算的准确性，减小安全隐患，并作为铁路超限超重货物运输专列路径优化的决策依据之一。基于移动不可行解惩罚函数的约束处理技术，提出一种基于多目标进化思想的专列路径优化算法，能够在路径选择时有效发掘有决策价值的不可行路径并引导其向可行路径转化，获得在多个目标上互不支配的路径方案集，为调度人员提供更直观的决策参考。以某次专列运输任务为背景，在采用专列路径优化模型的基础上求解路径方案，发现本文所提出的方法能够高效合理地处理路径优化任务中的多个目标，得到在3个目标上各有优劣、相互之间处于非支配关系的4条相对最优路径；相对于约束多目标优化领域内其他常用算法，本文算法的计算耗时普遍降低0.24%~29.94%、HV性能指标提高4.25%~13.11%。本文方法能够求得收敛性和多样性更好的铁路超限超重货物运输专列非支配路径方案集，克服传统专列路径优化时单纯依靠经验或从备选方案中择优的弊端。本文方法未考虑铁路超限超重货物运输专列在枢纽、站内走行径路等要素，这也是下一步要研究和解决的问题。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(71971220)

湖南省自然科学基金资助项目(2023JJ30710)

湖南省自然科学基金资助项目(2022JJ31020)