高速铁路网列车运行图接续方案优化方法

Optimization Method for Train Connection Plan in Timetable of High-Speed Railway Network

摘要

我国高速铁路网中多列车之间在多车站进行接续时的关系灵活且复杂，为有效提升旅客中转服务质量，先构建列车运行图接续方案优化的整数规划模型，调整既有运行图中列车的停站方案和运行时刻，优化列车接续的时间、频率和方式；再根据问题特点，在线性化模型的基础上设计遗传算法，将列车停站和运行时刻的循环迭代决策纳入遗传算法框架，提高模型求解效率；最后依托“二横二纵”主干路网构建大规模计算案例，验证方法的有效性。结果表明：与实际列车接续方案相比，优化后列车之间的接续时间平均缩短11 min，接续频率总计提高1 109次，共53组列车接续由异站改善为同站，74.94%的客流OD中转服务质量得到不同程度提升；客流OD中的换乘需求越多，中转服务质量提升幅度越大，列车接续服务资源对不同OD间客流需求的匹配度更好。该方法能够在较小幅度调整既有运行图的前提下，获得列车接续方案较大幅度的质量提升。

Abstract

As the connection relationship between multiple trains at multiple stations is flexible and complex in China's high-speed railway network, in order to effectively improve the service quality for transfer passengers, an integer programming model is first established to optimize the train connection plan in timetable, then the stop plan and arrival/departure time of trains in the existing timetable are rescheduled, and the connection time, frequency and mode between trains are optimized. Then, according to the characteristics of the problem, a genetic algorithm is designed based on the linearized model, and the sequential and iterative decision-making of train stop and arrival/departure time is incorporated in the framework of the genetic algorithm to improve the solving efficiency of the model. Finally, relying on the "Two Horizontals and Two Verticals" trunk high-speed railway network, a large-scale calculation case is constructed to verify the effectiveness of the proposed method. The results show that compared with the actual train connection plan, after optimization, the average connection time between trains is shortened by 11 min, the connection frequency is increased by a total of 1 109 times, 53 sets of train connections are improved from different stations to the same station, and transfer service quality of 74.94% of passenger OD_s is improved to varying degrees. The more transfer demand in a passenger OD, the greater the enhancement of transfer service quality, and the better matching degree of train connection service resources to passenger demand between different OD_s. The proposed method can achieve a significant improvement in the quality of train connection plan under the premise of a slight adjustment of the existing timetable.

Graphical abstract

关键词

高速铁路网 / 列车接续方案 / 列车运行图 / 整数规划 / 遗传算法

Key words

HSR network / Train connection plan / Train timetable / Integer programming / Genetic algorithm

我国高速铁路里程长、车站多、网络规模大。尽管铁路部门在编制旅客运输计划时以尽可能直达输送旅客为目标，开行了较多距离长、停站多的旅客列车，但客流起点站与终点站（Origin and Destination，OD）的组合数远超直达连通的列车停站组合数，仍有约96%的OD之间无直达列车服务（2023年7月全路时刻表数据），产生较多旅客换乘需求。编制列车运行计划时，从路网全局合理规划大量OD间列车接续的难度较高，难免出现部分OD列车接续时间长、接续频率低、接续方式差等情况，给旅客换乘带来不便。随着路网规模不断扩大、具备“便捷换乘”条件的车站数量不断增多，中转客流还将持续增长，亟须对高速铁路网列车接续方案进行高质量决策。

针对网络化列车接续方案优化问题，多数研究聚焦协同运行图优化列车接续方案，并基于备选列车接续关系，在运行图编制模型中增加接续关系约束和提升接续质量的目标函数^［1］。例如，Niu等^［2］以缩短换乘等候时间和降低换乘等候人数为目标，铺画得到双线互联的需求驱动型列车运行图；Tian等^［3］构建了最大化接续频率和最小化接续时间的运行图编制模型；Liebchen^［4-5］以增加高等级列车接续数量和缩短旅客换乘时间为目标，优化了列车运行图；Xu等^［6］协调接续列车股道运用方案，实现了旅客站台换乘；Peeters^［7］、Kroon等^［8］将列车接续关系约束嵌入周期事件规划问题（Periodic Event Scheduling Problem），Lorenz等^［9］在此基础上依据客流需求灵活选择备选列车接续，以最小化接续时间为目标构建了单线铁路运行图编制模型；Tsang等^［10］以缩短旅客换乘时间和降低旅客出行费用为目标优化跨区域列车接续方案；Vansteenwegen等^［11］基于给定列车接续关系研究列车晚点对旅客换乘时间的影响；李庆华等^［12］构建多列车接续模型，界定各方向列车的合理开车时刻；郭根材等^［13-14］将多次换乘纳入优化范围，为基于圈周期规划（Cycle Periodicity Formulation）的周期运行图规划模型引入二次列车接续变量，李天琦等^［15］在此基础上增加了客流OD接续频率约束和最小化接续频率欠缺值目标。也有研究通过适当变动既有运行图结构，灵活决策接续列车、接续地点和接续时间。例如，Nachtigall等^［16-17］通过调整列车运行时刻缩短旅客换乘等候时间；徐涵等^［18］通过增加非周期列车运行线提高列车接续频率；刘旭等^［19］通过调整列车到发时刻和顺序改变列车接续关系，最小化接续时间并最大化接续频率，但模型假设列车停站方案固定，且列车沿途各站的到发时刻调整量相同；张璞等^［20］以减少晚点情况下换乘失败的旅客数量为目标调整列车运行计划。

上述研究在决策列车时刻或时刻调整量时，大多固定列车停站且较少考虑异站接续的可能性。但列车停站是列车接续关系的重要成因，增加1次停靠班次就可能创造多个与其他班次列车接续的机会。为进一步结合停站调整提升列车接续方案质量，本文构建列车运行图接续方案优化模型，灵活调整列车在沿途各站的停站方案和运行时刻，并设计启发式求解算法，从接续时间、接续频率、接续方式等方面，实现大规模路网中多列车之间在多车站复杂接续关系的优化。

1 问题描述

列车接续方案是输送中转客流的旅客运输计划，决策内容包括接续列车、接续地点和接续时间。列车接续时间过长可能导致旅客主动选择其他出行方案替代，接续时间过短又可能导致旅客无法完成换乘。当服务目标客流OD的前序列车和后序列车在接续地点先后停站，且到发时刻间隔满足接续时间要求时，才可构成有效列车接续。

在高速铁路网中，多列车之间在多车站存在复杂的接续关系。基于郑州枢纽（包括郑州站与郑州东站）和石家庄站间的实际路网构造一个列车接续关系示意图如图1所示。图1中：多列车之间可以形成一对一（如石家庄站内列车2和列车3）、一对多（如郑州枢纽内列车4和列车3、列车4和列车1）、多对一（如郑州枢纽内列车5和列车3、列车4和列车3）等多种同站或异站接续关系；同一列车可以在多个接续地点与多列车接续；部分径路重合的2列车可能在多个接续地点构成有效接续（如列车3和列车1，可在郑州东站或石家庄站接续）。

在既有列车运行图的基础上，改变列车的停站方案和到发时刻，列车的接续时间、接续频率和接续方式（异站接续或同站接续）可能会发生变化。由图1可以看出：若列车2在石家庄站的到达时间推迟10 min，则其与列车3的接续时间从42 min减小至32 min；若列车5在郑州东站增设停站，则其与列车3从异站接续变为同站接续，与列车1和列车4也可能形成有效接续；合理调整列车停站与到发时刻，能够优化接续时间、接续频率和接续方式，进而优化列车运行图接续方案，提高旅客中转服务质量。

2 模型构建

针对高速铁路网双向客流OD，从宏观层面（车站和区间粒度）考虑多列车之间在多车站的复杂接续关系，基于既有运行图综合调整列车停站和运行时刻，优化列车接续方案。由于高速铁路旅客对出行便捷性有较高要求，对于中小城市的便捷换乘站，仅考虑同站换乘；对于在铁路枢纽城市内且周边交通便利的便捷换乘站，可安排旅客进行同站或异站换乘。

假设路网结构和客流需求已知，定义集合和索引：C为城市集合；c为城市索引，c\in C；E为区间集合；e为区间索引，e\in E；S为车站集合；s为车站索引，s\in S；S^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}为“便捷换乘”车站集合，S^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}\in S；S_c^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}为城市c内“便捷换乘”车站集合，S_c^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}\in S^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}；L为列车集合；l为列车索引，l\in L；L_e和L_s分别为途经区间e、途经车站s的列车集合，L_e\in L，L_s\in L；S_l为列车l途经车站集合，S_l\in S；s_l^{\mathrm{o}}和s_l^{\mathrm{d}}分别为列车l的起点站和终点站，s_l^{\mathrm{o}}\in S，s_l^{\mathrm{d}}\in S；K为存在换乘需求的客流OD集合；k为OD索引，k\in K；C_k为下标对应客流OD间较短列车径路上的城市集合，C_k\in C；s_k^{\mathrm{o}}和s_k^{\mathrm{d}}分别为下标对应客流OD的起点站和终点站，s_k^{\mathrm{o}}\in S，s_k^{\mathrm{d}}\in S；基本元组h=(k,l,l\mathrm{\text{'}},s,s\mathrm{\text{'}})为服务对应客流OD的前序列车l和后序列车l\text{'}在前序换乘站s和后序换乘站s\text{'}（同一车站或同一城市内的不同车站）构成的备选列车接续关系；H为列车接续备选集（含实际列车接续方案），即在可接受的变动范围内经过列车停站或时刻调整后可能构成有效接续的备选列车接续关系集合，H=\left\{h=(k,l,l\text{'},s,s\text{'})\left|k\in K,\right.\right.\left.c\in C_k,s,s\mathrm{\text{'}}\in S_c^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}},l\in L_{s_k^{\mathrm{o}}}\bigcap L_s,l\text{'}\in L_{s\text{'}}\bigcap L_{s_k^{\mathrm{d}}},l\ne l\text{'}\right\}。

为使模型能够同时决策列车的停站方案、到发时刻和接续关系，定义决策变量：m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}为二元决策变量，表示调整后列车l在车站s是否停站，若停站则取值为1，否则取值为0；t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}和t_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}为整型决策变量，表示列车l在车站s的到达时刻和列车l\text{'}在车站s\text{'}的出发时刻；x_h为二元决策变量，当备选列车接续关系h被选入列车接续方案时取值为1，否则取值为0。

2.1　目标函数

一个客流OD之间列车接续频率越高，换乘旅客的出行选择越多，中转服务质量越好。考虑旅客换乘需求量差异，可区别提升各OD之间的列车接续频率，尽可能实现列车接续服务资源对客流需求的合理匹配。将列车接续频率Z_{\mathrm{1}}最大化表示为

Z_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{h\in H}{x}_h{\delta }_k（1）

其中，

{\delta }_k=\frac{q_k^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}+q_k^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}+R}{f_k^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}+R}\forall k\in K（2）

式中：{\delta }_k为下标对应客流OD的优化权重，旨在提高客流较多而直达服务频率较低的OD之间的列车接续频率；q_k^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}和q_k^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}分别为下标对应客流OD的直达和中转客流量；f_k^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}}为下标对应客流OD的直达服务频率；R为一个较小的正实数。

列车接续时间决定旅客换乘时间，进而影响中转旅客的全程旅行时间。为优化中转服务质量，将列车接续时间Z_{\mathrm{2}}表示为

Z_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{h\in H}(t_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}})x_h（3）

引入辅助整型决策变量T_h^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}为列车接续关系h的接续时间，M为较大的正实数，将式（3）线性化为

Z_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{h\in H}{T}_h^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}（4）

\left\{\begin{array}{l}{t}_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le T_h^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}+M(\mathrm{1}-x_h)\\ T_h^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}+M{x}_h\ge \mathrm{0}\end{array}\right.\forall h\in H（5）

调整既有运行图中列车停站方案和运行时刻，可能影响直达旅客的旅行时间。为尽可能维持直达客流输送效益，增加列车旅行时间的最小化目标 Z_{\mathrm{3}}，即

Z_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{l\in L}(t_l^{arr}-t_l^{dep})（6）

式中：t_l^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}和t_l^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}分别为列车l的终到时刻和始发时刻。

为兼顾直达与中转旅客输送效益，引入权重系数{\eta }_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}，{\eta }_{\mathrm{2}}\ge \mathrm{0}和{\eta }_{\mathrm{3}}\ge \mathrm{0}，将上述3个目标函数统一量纲后做差合并，将总目标函数Z表示为

Z=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left({\eta }_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}-{\eta }_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{2}}-{\eta }_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{3}}\right)（7）

2.2　约束条件

2.2.1　列车停站调整约束

停站调整会对旅行时间和停站结构造成影响。为降低这一影响，构造如下约束。

限制单列车的停站调整次数，有

\sum _{s\in S_l}\left|m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-m_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\right|\le N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}\forall l\in L（8）

式中：m_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}和m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}均为0-1变量，分别表示调整前、调整后列车l在车站s是否停站，若停站则取值为1，否则取值为0；N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}为单列车停站调整次数上限。

固定列车l的始发车站s_l^{\mathrm{o}}和终到车站s_l^{\mathrm{d}}，有

\left\{\begin{array}{l}{m}_{l{s}_l^{\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=m_{l{\mathrm{s}}_l^{\mathrm{o}}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\\ m_{l{s}_l^{\mathrm{d}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}=m_{l{s}_l^{\mathrm{d}}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\end{array}\right.\forall l\in L（9）

对于有特殊开行要求的列车，例如仅停大站的“标杆”列车，可基于式（9）规定不允许调整其停站。

禁止降低既有运行图中各OD（包括路网中只被直达服务的OD）的直达服务频率，有

\sum _{l\in L_s\bigcap L_{s\mathrm{\text{'}}},{\theta }_{lss\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{1}}{m}_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}{m}_{ls\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\ge \sum _{l\in L_s\bigcap L_{s\mathrm{\text{'}}},{\theta }_{lss\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{1}}{m}_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}{m}_{ls\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\forall k\in K,s=s_k^{\mathrm{o}},s\mathrm{\text{'}}=s_k^{\mathrm{d}}（10）

式中：{\theta }_{lss\mathrm{\text{'}}}为列车l经过车站s和s\mathrm{\text{'}}的先后顺序，取值为1表示累加的列车l必须满足先经过车站s、后经过车站s\mathrm{\text{'}}的运行方向要求。

为确保调整后的列车停站方案在各个车站的经停列车数均不超过设定值，有

\sum _{l\in L_s}{m}_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\le N_s^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}}\forall s\in S（11）

式中：N_s^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}}为车站s的经停列车数上限，可参考实际高峰日方案中车站s的列车经停次数进行取值。

为便于求解，需要将式（8）和式（10）分别线性化。

引入辅助二元决策变量m_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}表示列车停站是否调整，若调整则取值为1，否则取值为0，即

m_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}=\left\{\begin{array}{l}{m}_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}-m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}} m_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=\mathrm{1} \\ m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-m_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}} m_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}=\mathrm{0}\end{array}\right.\forall l\in L, s\in S_l(12)

根据式（12），将式（8）转化为

\sum _{s\in S_l}{m}_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}\le N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}\forall l\in L(13)

引入辅助二元决策变量m_{lss\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}表示调整之后列车l是否能够实现k的直达服务，若能实现则取值为1，否则取值为0，即

\sum _{l\in L_s\bigcup L_{s\text{'}},{\theta }_{lss\text{'}}=\mathrm{1}}{m}_{lss\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\ge \sum _{l\in L_s\bigcup L_{s\text{'}},{\theta }_{lss\text{'}}=\mathrm{1}}{m}_{ls}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}{m}_{ls\text{'}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}

\forall k\in K,s=s_k^{\mathrm{o}},s\mathrm{\text{'}}=s_k^{\mathrm{d}}（14）

根据式（14），将式（10）转化为

\left\{\begin{array}{l}{m}_{lss\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\le m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ m_{lss\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\le m_{ls\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ m_{lss\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\ge m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}+m_{ls\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-\mathrm{1}\end{array}\right.\forall l\in L_s\bigcup L_{s\text{'}},{\theta }_{lss\text{'}}=\mathrm{1},

k\in K,s=s_k^{\mathrm{o}},s\mathrm{\text{'}}=s_k^{\mathrm{d}}（15）

2.2.2　列车时刻调整约束

时刻调整会对既有运行图结构造成影响。为降低这一影响，构造如下约束。

限制列车时刻调整范围，有

\left\{\begin{array}{l}{\tau }_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}} -T\le t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le {\tau }_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}} +T\\ {\tau }_{ls}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}} -T\le t_{ls}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}} \le {\tau }_{ls}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}} +T\end{array}\right.\forall l\in L, s\in S_l(16)

式中：{\tau }_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}和{\tau }_{ls}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}分别为既有运行图中列车l在车站s的到、发时刻；T为列车时刻调整量上限，min（对于有特殊开行要求的列车，例如要求整点发车的“标杆”列车，可指定其时刻调整量）。

确保列车运行时间不进入施工维修天窗，有

\left\{\begin{array}{l}{\underline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\le t_l^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\le {\overline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\\ {\underline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\le t_l^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le {\overline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\end{array}\right.\forall l\in L(17)

式中：{\overline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}和{\underline{T}}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}分别为允许的列车最晚终到时刻和最早始发时刻。

为确保列车停站作业时间、区间运行时间和安全间隔时间均符合运行图可行性要求，有

{\underline{T}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{m}_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\le t_{ls}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le {\overline{T}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{m}_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\forall l\in L, s\in S_l（18）

t_{l{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}-t_{l{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-T^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}{m}_{l{e}^{-}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-T^{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}}{m}_{l{e}^{+}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}={\tau }_{l{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}-{\tau }_{l{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-T^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}{m}_{l{e}^{-}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}-T^{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}}{m}_{l{e}^{+}}^{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}\forall e\in E, l\in L_e（19）

\left|t_{l\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{l{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\right|\ge T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}\forall e\in E, l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}（20）

\left|t_{l\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}-t_{l{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\right|\ge T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}\forall e\in E, l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}（21）

式中：{\overline{T}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}和{\underline{T}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}分别为列车停站作业时间上、下限，T^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}和T^{\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}}分别为列车起、停车附加时分，T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}为列车运行安全间隔时间，均参照既有运行图取值；整型决策变量t_{l{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}和t_{l{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}分别为列车l在区间起点e^{-}的出发时刻和区间终点e^{+}的到达时刻。

为禁止多速差列车发生区间越行，有

{\phi }_{ll\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}= {\phi }_{ll\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\forall e\in E, l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}（22）

其中，

\begin{array}{l}{\phi }_{ll\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1}& t_{l\text{'}{e}^{-}}^{dep}-t_{l{e}^{-}}^{dep}\ge T^{inter}\\ \mathrm{0}& t_{l\text{'}{e}^{-}}^{dep}-t_{l{e}^{-}}^{dep}\le -T^{inter}\end{array}\right.\forall e\in E, \\ l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}\end{array}（23）

\begin{array}{l}{\phi }_{ll\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1}& t_{l\text{'}{e}^{+}}^{arr}-t_{l{e}^{+}}^{arr} \ge T^{inter}\\ \mathrm{0}& t_{l\text{'}{e}^{+}}^{arr}-t_{l{e}^{+}}^{arr} \le -T^{inter}\end{array}\right.\forall e\in E, \\ l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}\end{array}（24）

式中：二元决策变量{\phi }_{ll\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}和{\phi }_{ll\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}分别为前序列车l和后序列车l\text{'}在区间起点e^{-}的出发顺序和区间终点e^{+}的到达顺序，若列车l在前则取值为1，否则取值为0。

为便于求解，将式（20）和式（21）线性化为

T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}} -M(\mathrm{1}-{\phi }_{ll\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}})\le t_{l\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{l{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\le -T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}+M{\phi }_{ll\text{'}{e}^{-}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\forall e\in E, l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}（25）

T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}-M(\mathrm{1}-{\phi }_{ll\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}})\le t_{l\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}-t_{l{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le -T^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}+M{\phi }_{ll\text{'}{e}^{+}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\forall e\in E, l,l\text{'}\in L_e, l\ne l\text{'}（26）

2.2.3　列车接续关系约束

为确保接续列车在接续地点的到发时刻间隔符合合理接续时间要求，引入二元决策变量z_h，当备选列车接续关系h符合合理接续时间要求时取值为1，否则取值为0，则有

z_h=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1} {\underline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\le t_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\le {\overline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\\ \mathrm{0} \mathrm{其他}\end{array}\right.\forall h\in H（27）

式中：{\overline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}和{\underline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}为列车合理接续时间上、下限，可依据铁路12306平台当前的列车接续时间建议和社会调查取值，建议同站接续取20和60 min，异站接续取60和120 min。

为确保接续列车满足在前序换乘站、后序换乘站、客流起点站和客流终点站的停站要求，有

y_h=z_h{m}_{l{s}_k^{\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}{m}_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}{m}_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}{m}_{l\text{'}{s}_k^{\mathrm{d}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\forall h\in H（28）

引入二元决策变量y_h，当备选列车接续关系h构成有效接续时取值为1，否则取值为0，由此设置决策变量取值约束为

x_h \le y_h\forall h\in H（29）

\sum _{h\in H}{x}_h\le \mathrm{1}（30）

为便于求解，需要将式（27）和式（28）分别线性化。

引入由式（31）定义的辅助二元决策变量u_h，表示后序列车出发时刻与前序列车到达时刻的间隔时间是否不小于合理接续时间下限，若是则取值为1，否则取值为0，即

\forall h\in H（31）

引入由式（32）定义的辅助二元决策变量v_h，表示后序列车出发时刻与前序列车到达时刻的间隔时间是否不大于合理接续时间上限，若是则取值为1，否则取值为0，即

v_h=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0} t_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}} >{\overline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\\ \mathrm{1} t_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{ls}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}} \le {\overline{T}}^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\end{array}\right.　 \forall h\in H（32）

将式（27）转化为

\forall h\in H（33）

z_h= u_h+ v_h-\mathrm{1}\forall h\in H（34）

将式（28）转化为

\left\{\begin{array}{l}{y}_h\le z_h\\ y_h\le m_{l{s}_k^{\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ y_h\le m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ y_h\le m_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ y_h\le m_{l\text{'}{s}_k^{\mathrm{d}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}\\ y_h\ge z_h+m_{l{s}_k^{\mathrm{o}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}+m_{ls}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}+\\ m_{l\text{'}s\text{'}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}+m_{l\text{'}{s}_k^{\mathrm{d}}}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}-\mathrm{4}\end{array}\right.\forall h\in H（35）

3 算法设计

上述整数规划模型可同时决策列车停站调整、列车到发时刻以及列车接续关系，具有变量和约束数量多、耦合关系强的特点。线性化处理后，经测算，虽然小规模案例可借助商业求解器（如CPLEX、GUROBI等）计算，但较大规模路网的列车接续方案仍难以求解；而采用基于随机搜索的元启发式算法（如遗传算法、蚁群算法等）直接求解非线性模型时，获得初始可行解十分困难。因此，在线性化模型基础上设计遗传算法，将列车停站和到发时刻的循环迭代决策纳入遗传算法框架，经过不断进化和比选，快速寻找大规模问题的较优可行解。

计算时需要输入以下基础信息：①路网信息，包含线路等级、车站分布和通过能力以及换乘站的路网属性；②客流OD信息，包含OD之间的直达服务频率、直达和中转客流量以及据此计算的列车接续优化权重；③既有列车时刻表；④列车接续备选集（内含实际列车接续方案）。

算法流程如图2所示，包括以下3个步骤重点。

1）编码染色体

引入0-1变量m_{ls}，用于记录高速铁路网中接续列车l在途经车站s的停站，若停站则取值为1，否则取值为0。假设路网中有I列接续列车，第i列接续列车途经J_i个车站，染色体编码表示如图3所示。

2）生成初始种群

随机产生初始种群，先按式（36）计算任意列车l\text{'}\text{'}在其运行径路上任意车站s\text{'}\text{'}的停站权重{\zeta }_{l\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}}，再依据权重顺序先后增加和减少停站，在这一过程中同时遵循以下种群规则：①禁止“标杆”列车调整停站；②不变更列车的始发终到车站；③限制单列车的停站调整次数；④不降低各OD的直达服务频率；⑤限制单位时间内的各站到发列车数量。经测试并权衡模型求解时长与解的质量，设置种群规模N=\mathrm{50}，初始种群规模取\mathrm{2}N。种群初始化流程如图4所示。

{\zeta }_{l\text{'}\text{'}s\text{'}\text{'}}=\sum _{h\in H,l\text{'}\text{'}=l,s\text{'}\text{'}=s_k^{\mathrm{o}}}{\delta }_k+\sum _{h\in H,l\text{'}\text{'}=l,s\text{'}\text{'}=s}{\delta }_k+\sum _{h\in H,l\text{'}\text{'}=l\text{'},s\text{'}\text{'}=s_k^{\mathrm{d}}}{\delta }_k+\sum _{h\in H,l\text{'}\text{'}=l\text{'},s\text{'}\text{'}=s\text{'}}{\delta }_k

\forall l\text{'}\text{'}\in L, s\text{'}\text{'}\in S_{l\text{'}\text{'}}（36）

3）设置遗传算子

选择、交叉、变异操作对应的算子取值方法说明如下。

（1）选择算子。采用轮盘赌选择策略，依据适应度选出优良染色体进入交配池。

（2）交叉算子。采用多点交叉策略，设置全局交叉和局部交叉2种交叉方式，交叉概率P_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{s}}取0.8，交叉交配池中的染色体并依据交叉方式偏好概率（全局交叉概率P_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}}和局部交叉概率P_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{s}}^{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}均取0.5）均匀选择交叉方式。全局交叉使相同列车在不同可行解中的停站方案被完整交换；局部交叉使相同列车在不同可行解中的停站方案被局部交叉。若新生子代染色体不符合种群规则，则拒绝交叉并复原上一步操作。

（3）变异算子。采用基本位变异策略，设置变异概率P_{\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{t}}为0.2并对染色体进行变异操作，改变部分基因内部的部分编码元素，使部分列车在沿途部分车站的停站方案发生改变。若新生子代染色体不符合种群规则，则拒绝变异并复原上一步操作。由于种群规则④和⑤约束严格且验证困难，为提高变异效率，分2阶段先后增加和减少停站。

4 案例分析

以我国京沪、京港、徐兰、沪汉蓉4条高速铁路相互衔接构成的“二横二纵”主干路网为实例优化列车接续方案，验证方法的有效性。该路网如图5所示。基于既有列车时刻表和客票数据，选取存在换乘需求的447对客流OD，共涉及1 168列接续列车和36 506个备选列车接续关系。由于模型以优化列车接续方案为主，针对控制旅客中转服务质量的列车接续频率目标Z_{\mathrm{1}}最大化和列车接续时间目标Z_{\mathrm{2}}最小化，权重系数{\eta }_{\mathrm{1}}与{\eta }_{\mathrm{2}}均取0.4；针对兼顾旅客直达服务质量的列车旅行时间目标Z_{\mathrm{3}}最小化，{\eta }_{\mathrm{3}}取0.2。

使用C#编译遗传算法，调用CPLEX求解线性化后的优化模型。图6展示了总目标函数值Z随算法迭代次数的变化情况，可以看出迭代54次后基本收敛（后续迭代目标函数值不再发生变化），表明该算法能够实现路网接续方案的有效求解。

对比优化前后部分客流OD的列车接续方案见表1。表中：接续地点加括号表示接续列车通过接续地点不停站；接续时间加括号表示接续时间低于或超过同站接续20~60 min、异站接续60~120 min的建议范围。全部客流OD的接续方案质量评价指标统计结果见表2。由表1和表2可知：与实际列车接续方案相比，优化后列车之间的接续时间大幅缩短，接续频率显著提高，其中，同站接续频率增长1 234次，异站接续频率减少125次（其中53次转变为同站接续），总体上接续方式得以改善。按表2中指标统计可得，74.94%的目标客流OD中转服务质量得到不同程度的提升。

优化前后存在不同换乘需求的447对客流OD的中转服务质量对比如图7所示。由图7可知：对于权重{\delta }_k设置较高（大于200）的客流OD，列车接续时间和接续频率的优化幅度较大，因此，优化后换乘需求较大的客流OD中转服务质量提升显著，不同OD之间列车接续服务资源的配置更加合理。需要指出的是，虽然本文方法能够实现提高客流较多而直达服务频率较低的OD之间的列车接续频率，但受既有运行图结构和列车时刻与停站调整范围的限制，完全实现接续方案质量对客流需求的精准匹配仍较为困难。

以京沪高速铁路为例，优化后得到的列车运行图如图8所示；列车停站次数和旅行时间的变化具体记录见表3。由图8和表3可知：模型的约束条件限制了列车时刻和停站调整范围，且目标函数导向列车总旅行时间的最小化，因此本实例能够以较小幅度的列车停站次数和旅行时间增加，获得列车接续方案较大幅度的质量提升。

选取时刻调整量上限和停站调整次数上限2个参数，测试参数灵敏度对列车接续方案的影响，得到不同场景下的列车接续方案的质量指标变化见表4。表中：加粗参数为表1接续方案优化时使用的参数。由表4可知：固定停站调整次数N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}为1，当时刻调整量T由5 min增加到10 min时，接续频率和异站变同站接续的数量显著增加，由10 min增加到15 min时，2个指标的增幅减小，说明受停站组合灵活度的限制，仅靠变动列车运行时刻难以持续和全面提高接续方案质量；固定T为10 min，当N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}由0次变为1次，再由1次变为2次，接续频率的增幅仍然先高后低，而接续方式随停站可调次数的增加获得了更大改善，说明其对停站变化更为敏感；列车停站次数和运行时刻的调整范围越大（即对既有运行图的调整越灵活），接续时间缩减越多、列车接续频率增长越快、接续方式改善越大，列车接续方案总体优化效果越好。

进一步分析表4发现：当较小幅度变化列车停站和时刻时，相比调整时刻5 min和调整停站1次，仅允许调整时刻10 min而不调整停站的接续频率增加更快，但平均接续时间和接续方式改善程度相当；当基于加粗参数组合（T=\mathrm{10} min，N^{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}}=\mathrm{1}次）分别增、减其中之一参数取值时，停站次数调整对“缩短平均接续时间”指标的影响更大。据此可比较更多参数（不限于表4中参数取值）组合下的优化效果。铁路部门需结合调图时列车开行方案、车站作业安排、动车组及乘务交路等一系列计划随之调整与实施的难易程度，确定合理的列车停站次数和运行时刻调整范围。

5 结语

在路网规模不断扩大、便捷换乘站不断增加的背景下，以提升接续方案质量为目的研究高速铁路网列车运行图接续方案优化方法，先基于列车停站与运行时刻综合调整建立接续方案优化模型，再根据问题特点，在线性化模型的基础上设计遗传算法。选取我国4条高速铁路相互衔接构成的“二横二纵”主干路网中存在换乘需求的447对客流OD，共涉及1 168列接续列车和36 506个备选列车接续，以大规模计算案例验证方法的有效性。与实际列车接续方案相比，优化后列车之间的接续时间平均缩短11 min，接续频率总计提高1 109次，共有53组列车接续由异站接续优化为同站接续，74.94%的客流OD中转服务质量得到不同程度的提升；优化后，换乘需求越多的客流OD得到的中转服务质量提升幅度越大，列车接续服务资源对不同OD间客流需求的匹配度更好。本文方法小幅度调整运行图便可显著提升中转服务质量，使列车接续服务资源得到更加合理的配置，可在结合灵敏度测试的基础上作为铁路部门调整列车运行图的参考依据。

优化列车接续方案时，在仅变动既有运行图中列车停站与运行时刻的基础上，将其与列车始发终到站、运行径路等协同调整，可能产生更好的列车接续方案优化效果；基于服务水平规划列车接续方案时，进一步考虑旅客行为因素、客票分配等约束，在模拟旅客对列车服务选择变化反馈的基础上调整运行图，也将获得更满意的方案。这些问题有待深入研究。

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基金资助

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2022JBQY005)

国家自然科学基金高铁联合基金资助项目(U1934216)

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(K2022X029)