基于惯性的轨道平顺性动态弦测法研究

Study on Dynamic Chord Measurement Method for Track Regularity Based on Inertia

摘要

高速铁路轨道平顺性直接影响列车运行安全性及舒适性，而弦测法则是指导轨道高低、轨向不平顺养护维修的直接方法，其结果可直观指导轨道精调。针对静态弦测法效率低、工作量大及动态惯性基准法难以在现场直观找到测量基准的问题，提出基于惯性的轨道平顺性动态弦测法。首先，基于惯性测量方法构建轨道平顺性动态短弦弦测值，通过矩阵推演动态长弦弦测值，并在国内主流GJ-6型轨道检测系统上实现应用；然后，分析动态弦测法误差来源，提出误差标准差计算式，得出动态弦测法误差标准差随基本弦长倍数成1.5次方增加；最后，通过轨道检测综合试验标定台模拟轨道不平顺激励验证10和20 m动态弦测值的稳定性。结果表明：10和20 m动态弦测值与等波长空间曲线幅值的平均倍比关系分别为2.007和2.045，符合中点弦测特性，可为轨道动静态检测关联分析提供理论及试验基础。

Abstract

The high-speed railway track regularity directly impacts the safety and comfort of train operations. The chord measurement method serves as a direct means to guide the maintenance and repair of track profile and alignment irregularities, with its results providing direct guidance for precise track adjustment. A dynamic chord measurement method based on inertial is proposed to address the issues of low efficiency and heavy workload using static chord measurement method, as well as difficulty in visually identifying measurement benchmarks on-site using dynamic inertial reference methods. Firstly, a dynamic short chord measurement value is established based on the inertia measurement approach. The dynamic long chord measurement value is derived through matrix deduction. This dynamic chord measurement method has been applied on the domestically preeminent GJ-6 track inspection system. Secondly, the sources of errors in the dynamic chord measurement method is analyzed and a formula for calculating the standard deviation of errors is proposed; the results indicate that the standard deviation of errors in the dynamic chord measurement method increases to the power of 1.5 with the increase of the basic chord length multiple. Finally, the stability of 10 m and 20 m dynamic chord measurement values is verified through a comprehensive track inspection test calibration platform simulating track irregularity excitations. The results show that the average multiple ratio of 10 m and 20 m chord measurement values to the spatial curve amplitude of equal wavelengths are 2.007 and 2.045, respectively. The result is consistent with the characteristics of midpoint chord measurement principle. This provides a theoretical and experimental basis for the correlation analysis of dynamic and static track inspection.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 轨道平顺性 / 动态弦测法 / 惯性测量 / 中点弦测 / 轨道检测

Key words

High-speed railway / Track regularity / Dynamic chord measurement method / Inertial measurement / Midpoint chord measurement / Track inspection

在高速铁路基础设施中，轨道平顺性影响列车运行安全性和乘坐舒适性。轨道低平顺性将加剧轨道与车辆之间的相互作用，缩短车辆-轨道耦合系统关键部件的维修周期和使用寿命。因此，轨道平顺性是高速铁路线路服役状态研究的核心内容之一^［1-8］。随着我国高速铁路技术发展重心由结构功能设计转为运营安全保障、运营品质与维护效率提升，如何保持高速铁路线路轨道服役的高平顺性，也成为当前高速铁路技术健康发展的关键科学问题之一。

轨道平顺性调控技术核心内容包括轨道检测、评估和管理^［9］，其中轨道检测是调控技术的基础。我国高速铁路坚持“动态检测为主，静态检测结合”的养护维修方针^［10］，以高速综合检测列车等速有载动态检测数据为主要依据，结合现场静态超限复核，科学制定作业指导策略^［11］。

静态检测主要采用弦测法和矢距差法得到轨道高低、轨向不平顺相对弦基准的偏差量^［12-15］。杨飞等^［16-17］运用弦长传递函数，结合动力学仿真，提出了10，20和60 m轨道几何不平顺静态弦测标准体系，并在某新建高速铁路和运营高速铁路区段试用，结果表明该标准体系能够准确评价轨道几何不平顺。田新宇等^［18］提出5 m弦测法有效检测波段为3~10 m，可覆盖周期性不平顺波长范围，并仿真分析5 m弦测正矢幅值对车辆动力学性能的影响规律，结果表明随着幅值增大，轮重减载率将率先达到安全限值。赵文博等^［19］对从德国引进的矢距差法及实际中常采用的简化矢距差法进行了探讨，并以实际运营线路为例进行对比计算，当新线或者轨道结构出现均匀变形时可以对矢距差法进行简化指导养护维修。由上可知，中点弦测法较之于轨道动态检测空间曲线，可直观评价对行车安全和舒适性影响突出的轨道不平顺波段。然而，静态检测在实际运用中受到天窗时间和效率因素制约。

动态检测基于惯性基准法^［20-25］得到轨道高低、轨向不平顺相对惯性基准的偏差量，现阶段惯性基准法是国内外主流的轨道动态检测方法。我国自主开发研制的GJ-6型轨道检测系统^［26-28］，采用惯性测量组件和结构光非接触式测量方式，最高检测速度达到400 km · h^-1，广泛应用于高速综合检测列车、轨道检查车等，在新建线路开通联调联试和日常线路运营检测中发挥重要作用。然而，动态检测空间曲线的惯性基准比较抽象，在实际运用中测量基准不能够在波形图或实际工况中直接观察到。综上，静态检测中常采用的弦测值评价方法与行车舒适性匹配关系明确，可直接指导线路维修，但实际运用中效率低、工作量大。动态检测基于惯性基准法得到空间曲线，惯性基准比较抽象，实际运用中难以直观找到测量基准，但其检测效率高、不受天窗时间限制。

本文基于惯性测量构建轨道平顺性动态弦测值方法，将动态不平顺转化为“动态弦测值”输出，可有效发挥弦测法在维修中的优势，克服静态检测效率低、工作量大的缺点，提高动静态检测功能融合度^［29-30］。

1 轨道平顺性检测原理

设p(x)为轨道高低（或轨向）不平顺空间曲线函数，x为空间曲线任意位置；c(x)为x位置处对应弦长为L的中点弦测值函数；ε为弦长L的一半。由几何关系可得，中点弦测值函数与轨道不平顺空间曲线函数的映射关系如下。

c(x)=p(x)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(p(x-\epsilon )+p(x+\epsilon )\right)（1）

因此，不同的弦长取值通常可以代表p(x)一定范围内的轨道不平顺值。

对中点弦测值函数进行幅频特性分析，对式（1）进行傅里叶变换可得

C(\mathrm{j}\omega )=P(\mathrm{j}\omega )\left(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }L}{\lambda }\right)（2）

其中，

L=\mathrm{2}\epsilon

\omega =\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }

式中：C(\mathrm{j}\omega )为c(x)对应的傅里叶变换；P(\mathrm{j}\omega )为p(x)对应的傅里叶变换；\mathrm{j}为虚数；ω为空间角频率，rad · m^-1；λ为轨道不平顺波长，m。

定义H(\mathrm{j}\omega )为p(x)变换到对应弦长L的弦测值函数c(x)的系统传递函数，由式（2）可得弦测系统传递函数为

H(\mathrm{j}\omega )=\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathrm{\pi }L}{\lambda }（3）

由弦测系统传递函数可知，当\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{\pi }L/\lambda )=-\mathrm{1}时，弦测系统传递函数为2，即弦长等于空间曲线波长时，同一位置处弦测值是空间曲线幅值的2倍。

基于以上原理，利用弦长L的弦测系统传递函数，轨道不平顺空间曲线函数经中点弦测系统传递函数滤波处理，即可得到中点弦测值函数，并可基于弦测系统传递函数在某种条件下为2的特性来验证该方法的有效性。

2 动态弦测法构建与实现

将惯性传感器^［31］安装于车体、转向架构架或轴箱，形成惯性测量系统，基于惯性传感器测得的垂向（或横向）加速度可计算出轨道高低（或轨向）不平顺值。在我国，轨道平顺性惯性测量通常采用0.25 m等间距空间采样。首先，基于0.25 m等间距空间采样，由某一离散点处的惯性传感器测量值和采样时间直接计算出前一采样点的0.5 m弦长的弦测值，定义其为短弦动态弦测值。然后，以0.5 m弦长为基本弦长，由中点弦几何关系，推演出轨道不平顺长弦动态弦测值，通常为10和20 m弦测值。最后，基于惯性传感器垂向（横向）加速度测量数据，在GJ-6型轨道检测系统上实现应用。

2.1　构建短弦动态弦测值

轨道不平顺p(x)在时间域上进行离散化采样，采样点数量为Q，则第i个采样点的垂向振动速度v_i和加速度a_i分别为

v_i=\frac{p(x_i)-p(x_{i-\mathrm{1}})}{t_i-t_{i-\mathrm{1}}}i=\mathrm{3},\mathrm{4},\cdots ,Q（4）

a_i=\frac{v_i-v_{i-\mathrm{1}}}{t_i-t_{i-\mathrm{1}}}（5）

式中：t_i为采样时刻。

进一步可得

a_i=\left(\frac{p\left(x_i\right)-p\left(x_{i-\mathrm{1}}\right)}{t_i-t_{i-\mathrm{1}}}-\frac{p\left(x_{i-\mathrm{1}}\right)-p\left(x_{i-\mathrm{2}}\right)}{t_{i-\mathrm{1}}-t_{i-\mathrm{2}}}\right)\frac{\mathrm{1}}{t_i-t_{i-\mathrm{1}}}（6）

由于采用足够高的采样频率，相邻采样时间间隔∆t_i与∆t_{i-\mathrm{1}}近似相等，式（6）近似为

a_i\approx \frac{p\left(x_i\right)-\mathrm{2}p\left(x_{i-\mathrm{1}}\right)+p\left(x_{i-\mathrm{2}}\right)}{∆t_i^{\mathrm{2}}}（7）

其中，

∆t_i=t_i-t_{i-\mathrm{1}}

由式（1）和式（7）可得

c\left(x_i\right)\approx -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}_{i+\mathrm{1}}∆t_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}（8）

综上，空间等距采样距离取0.25 m，基于某一离散点处的惯性传感器测量值和采样时间可以计算出前一采样点的0.5 m弦测值，即由惯性传感器测量值和采样时间构建出弦长为0.5 m的短弦动态弦测值。

2.2　推演长弦动态弦测值

以0.5 m短弦为基本弦长，基于中点弦测法原理，设长弦L为基本弦长的n倍，则L=\mathrm{0.5}n。其中，n为基本弦长倍数，通常n为正整数，n=1，2，…，50。

设c_n(k)为对应弦长L的中点弦测值，k为弦长L中点处对应轨道不平顺函数的采样点位置，且满足Q-n+\mathrm{1}>k>n+\mathrm{1}。

当n=\mathrm{1}时，L=\mathrm{0.5}，即c_{\mathrm{1}}\left(k\right)为0.5 m短弦动态弦测值，式（8）可改写为

c_{\mathrm{1}}\left(k\right)\approx -\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}_{k+\mathrm{1}}∆t_{k+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}（9）

当n=\mathrm{2}时，L=\mathrm{1}，由0.5 m短弦动态弦测值推算1 m长弦动态弦测值的弦测值，推算示意图如图1所示。

由中点弦几何关系可得

c_{\mathrm{2}}(k)=c_{\mathrm{1}}(k-\mathrm{1})+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{1}}(k)+c_{\mathrm{1}}(k+\mathrm{1})（10）

将式（10）变换为矩阵形式，可得

c_{\mathrm{2}}\left(k\right)=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{1}}\left(k-\mathrm{1}\right)& c_{\mathrm{1}}\left(k\right)& c_{\mathrm{1}}\left(k+\mathrm{1}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{2}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)（11）

由数学归纳法，当n>\mathrm{1}时可得

c_n\left(k\right)=\mathit{s}\mathit{\Lambda }（12）

其中，

\mathit{s}=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{1}}\left(k-n+\mathrm{1}\right)& c_{\mathrm{1}}\left(k-n+\mathrm{2}\right)& \cdots \end{array}\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1}}\left(k\right)& \cdots \end{array}\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1}}\left(k+n-\mathrm{2}\right)& c_{\mathrm{1}}\left(k+n-\mathrm{1}\right)\end{array}\right)

\mathit{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{1}& & & & & & & & \\ & \mathrm{2}& & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & \\ & & & n-\mathrm{1}& & & & & \\ & & & & n& & & & \\ & & & & & n-\mathrm{1}& & & \\ & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & \mathrm{2}& \\ & & & & & & & & \mathrm{1}\end{array}\right)

式中： s 为短弦动态弦测值序列矩阵；\mathit{\Lambda }为测量推广矩阵（对角矩阵），通过测量推广矩阵可推演出轨道不平顺长弦动态弦测值。

综上，结合式（9）和式（12）构建出基于惯性的动态弦测法。实际应用中，通常弦长L取10和20 m。

2.3　动态弦测法应用实现

动态弦测法基于惯性传感器对轨道垂向（和横向）的加速度测量数据，因此在车辆适当位置，或车体或转向架构架或轴箱，安装惯性传感器，形成惯性测量系统，测量出所需要的轨道垂向（和横向）加速度值即可。GJ-6型轨道检测系统部分硬件结构如图2所示，检测梁与转向架刚性连接，惯性组件内置于检测梁，且无相对位移，转向架的惯性特性可由惯性组件反映。惯性组件内部包含3轴高精度石英挠性加速度计，可以为动态弦测法提供轨道垂向（和横向）加速度数据，进而实现该方法的应用，同时也丰富了GJ-6型轨道检测系统功能。

3 动态弦测法误差分析

由式（8）可以看出，基于惯性测量的轨道平顺性动态弦测值构建方法，主要依赖惯性传感器的测量值。实际检测过程中，惯性传感器受制造工艺和电路元器件性能影响，将间隙值转换为数字信号的过程中会叠加电路噪声，进而带来测量误差影响降低测量结果精度。在考虑误差的情况下，实际动态弦测值c_n^{\text{'}}(k)可表示为

c_n^{\text{'}}(k)=(\mathit{s}+\mathit{e})\mathit{\Lambda }（13）

式中：\mathit{e}为惯性传感器测量产生的随机误差矩阵。

式（13）可改写为

c_n^{\text{'}}(k)=c_n(k)+e_n(k)（14）

其中，

e_n(k)=\mathit{e}\mathit{\Lambda }

式中：e_n(k)为对应弦长L的弦测值随机误差项。

如果e_n(k)无限接近于0，则c_n^{\text{'}}(k)约等于c_n(k)，因而可以从减小惯性传感器测量产生的随机误差和优化测量推广矩阵减小检测过程中的误差累积2个方面来控制检测精度。测量推广矩阵是三角矩阵，其唯一影响因素是矩阵大小。假设惯性传感器测量产生的随机误差e服从均值为0、标准差为\sigma的正态分布，则e_n(k)的标准差E_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}为

E_{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}=D\sigma（15）

其中，

D=\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{n}^{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}n}

式中：D为放大系数，近似为\mathrm{0.272}\mathrm{2}{n}^{\mathrm{1.5}}。

随着矩阵维度增加，误差标准差放大系数呈1.5次方增加。动态弦测值误差标准差放大系数随基本弦长倍数的变化曲线如图3所示。由图3可知，当弦长L分别取0.5，10和20 m时，放大系数分别为1.00，73.08和206.59。

4 试验及分析

为防止高速列车发生“1 Hz现象”，需要控制\sqrt[]{\mathrm{2}}/\mathrm{2}~\sqrt[]{\mathrm{2}} Hz的轨道不顺平激励^［32］。为此，假设轨道高低（或轨向）不平顺激励为正弦波，频率有0.5，1和2 Hz共3种情况，位移幅值均为12.5 mm。根据波长、速度、频率的数学关系，当GJ-6型轨道检测系统对应3种频率的检测速度分别为18,36和72 km · h^-1时，轨道高低（或轨向）空间曲线的波长为10 m；当检测速度分别为36,72和144 km · h^-1时，波长为20 m。

中国铁道科学研究院集团有限公司基础设施检测研究所的轨道检测综合试验标定台是目前国内最先进的轨道检测设备整系统试验与标定平台，通过自动或人工控制可产生多种振动运动状态模拟复杂的轨道不平顺工况，重现轨道线路的实际状态^［33］。试验采用轨道检测综合试验标定台，搭载国内主流GJ-6型轨道检测系统，通过模拟上述假设的轨道激励来验证动态弦测值的稳定性。轨道检测综合试验标定台如图4所示。设置综合试验标定台垂向（或横向）振动频率分别为0.5，1和2 Hz，振动位移幅值均为12.5 mm，进行垂向（或横向）正弦往复运动，并对应设置GJ-6型轨道检测系统速度参数，可获得检测系统输出的10和20 m动态弦测值和等波长的空间曲线幅值。

待系统预热稳定后，以轨道左高低不平顺为例，空间曲线波形和随机连续采集0.2 km的动态弦测波形，如图5所示。

选取图5中曲线相同波峰、波谷位置共20个采集点（10个周期），分析10和20 m波长时动态弦测值和等波长空间曲线幅值的比值关系，结果分别见表1和表2。由表1和表2可知，10和20 m波长时的动态弦测值与等波长空间曲线幅值平均比值分别为2.007和2.045。

综上，10和20 m动态弦测值和等波长空间曲线幅值比值近似等于式（3）的理论计算值2，符合中点弦测特性，因此构建的方法有效。

5 结论

（1）提出基于惯性的轨道平顺性动态弦测法。该方法基于惯性测量构建轨道平顺性动态短弦弦测值，通过矩阵推演动态长弦弦测值，并在国内主流GJ-6型轨道检测系统实现应用。

（2）分析动态弦测法误差来源，发现可从减小惯性传感器测量产生的随机误差和优化测量推广矩阵减小检测过程中的误差累积2个方面来考虑控制检测精度。

（3）给出动态弦测法误差标准差计算式，动态弦测法误差标准差随基本弦长倍数成1.5次方增加。

（4）通过轨道检测综合试验标定台模拟轨道不平顺激励验证10和20 m动态弦测值的稳定性。结果表明10和20 m动态弦测值与等波长空间曲线幅值平均倍比关系分别为2.007和2.045，符合中点弦测特性，可为轨道动静态检测关联分析提供理论及试验基础。

参考文献

[1] 牛留斌，刘金朝，肖炳环，等.高铁线路轨道高低不平顺激励下的钢轨挠曲特性研究［J］.中国铁道科学，2022，43（2）：28-39.

[2] NIU Liubin， LIU Jinzhao， XIAO Binghuan， et al. Study on the Rail Deflection Characteristics Excited by the Track Profile Irregularity of High Speed Railway Lines ［J］. China Railway Science， 2022， 43 （2）： 28-39. in Chinese

[3] 何彬彬，冯磊，冯玉林，等.不同轨道不平顺谱激励下高铁列车走行性分析［J］.铁道工程学报，2022，39（7）：36-43.

[4] HE Binbin， FENG Lei， FENG Yulin， et al. Running Performance Analysis of High-Speed Railway Trains under Different Track Irregularity Spectrum Excitation ［J］. Journal of Railway Engineering Society， 2022， 39 （7）： 36-43. in Chinese

[5] 吴鹏飞，李再帏，刘晓舟，等.考虑波长因素的高铁无砟轨道不平顺分形分析［J］.铁道科学与工程学报，2021，18（9）：2217-2224.

[6] WU Pengfei， LI Zaiwei， LIU Xiaozhou， et al. Fractal Analysis of Irregularity of Ballastless Track of High-Speed Railway Considering the Factor of Wavelength ［J］. Journal of Railway Science and Engineering， 2021， 18 （9）： 2217-2224. in Chinese

[7] 辛莉峰，李小珍，肖林，等.轨道不平顺随机性对高速铁路桥梁动力响应的影响［J］.铁道学报，2021，43（4）：150-157.

[8] XIN Lifeng， LI Xiaozhen， XIAO Lin， et al. Effect of Stochastic Track Irregularity on Dynamic Response of High-Speed Railway Bridges ［J］. Journal of the China Railway Society， 2021， 43 （4）： 150-157. in Chinese

[9] 李东昇，杨飞，马慧君.高铁常用跨度简支梁桥上轨道周期性不平顺影响分析［J］.中国铁道科学，2020，41（3）：59-67.

[10] LI Dongsheng， YANG Fei， MA Huijun. Effect of Periodic Track Irregularities on Simply Supported Beam Bridge with Common Span for High-Speed Railway ［J］. China Railway Science， 2020， 41 （3）： 59-67. in Chinese

[11] 徐磊，翟婉明.轨道不平顺概率模型［J］.交通运输工程学报，2018，18（3）：56-63.

[12] XU Lei， ZHAI Wanming. Track Irregularity Probabilistic Model ［J］. Journal of Traffic and Transportation Engineering， 2018， 18 （3）： 56-63. in Chinese

[13] 陈宪麦，徐磊，徐伟昌，等.高速铁路（京沪、沪宁、沪杭线）轨道不平顺谱分析［J］.铁道科学与工程学报，2013， 10（4）：1-6.

[14] CHEN Xianmai， XU Lei， XU Weichang， et al. Analysis of Track Irregularity Spectrum for High-Speed Railway （Beijing-Shanghai， Shanghai-Nanjing and Shanghai-Hangzhou Railway） ［J］. Journal of Railway Science and Engineering， 2013， 10 （4）： 1-6. in Chinese

[15] 张曙光，康熊，刘秀波.京津城际铁路轨道不平顺谱特征分析［J］.中国铁道科学，2008，29（5）：25-30.

[16] ZHANG Shuguang， KANG Xiong， LIU Xiubo. Characteristic Analysis of the Power Spectral Density （PSD） of Track Irregularity on Beijing-Tianjin Inter-City Railway ［J］. China Railway Science， 2008， 29 （5）： 25-30. in Chinese

[17] 田国英，高建敏，翟婉明.高速铁路轨道不平顺管理标准的对比分析［J］.铁道学报，2015，37（3）：64-71.

[18] TIAN Guoying， GAO Jianmin， ZHAI Wanming. Comparative Analysis of Track Irregularity Management Standards for High-Speed Railways ［J］. Journal of the China Railway Society， 2015， 37 （3）： 64-71. in Chinese

[19] 国家铁路局. TG/GW 115—2012 高速铁路无砟轨道线路维修规则（试行） ［S］.北京：中国铁道出版社，2012.

[20] National Railway Administration of the People's Republic of China. TG/GW 115—2012 Maintenance Rules for Ballastless Track of High-Speed Railway （for Trial Implementation） ［S］. Beijing： China Railway Publishing House Co. Ltd.， 2012. in Chinese ）

[21] 刘学文，杨怀志，杨飞，等.基于动静态检测数据的轨道精测精调评价技术［J］.铁道建筑，2019，59（9）：111-115.

[22] LIU Xuewen， YANG Huaizhi， YANG Fei， et al. Evaluation Technology of Track Precision Measurement and Fine Adjustment Based on Dynamic and Static Detection Data ［J］. Railway Engineering， 2019， 59 （9）： 111-115. in Chinese

[23] 秦哲.轨道检测系统测量原理与算法影响因素研究［D］.北京：中国铁道科学研究院，2022.

[24] QIN Zhe. Research on Measurement Principle and Algorithm Influencing Factors of Track Detection System ［D］. Beijing： China Academy of Railway Sciences， 2022. in Chinese

[25] HAIGERMOSER A， LUBER B， RAUH J， et al. Road and Track Irregularities： Measurement， Assessment and Simulation ［J］. Vehicle System Dynamics， 2015， 53 （7）： 878-957.

[26] FURUKAWA A， YOSHIMURA A. A Method to Predict Track Geometry-Induced Vertical Vehicle Motion ［J］. Quarterly Report of RTRI， 2004， 45 （3）： 142-148.

[27] TSUNASHIMA H， NAGANUMA Y， KOBAYASHI T. Track Geometry Estimation from Car-Body Vibration ［J］. Vehicle System Dynamics， 2014， 52 （）： 207-219.

[28] 杨飞，赵文博，高芒芒，等.运营期高速铁路轨道长波不平顺静态测量方法及控制标准［J］.中国铁道科学，2020，41（3）：41-49.

[29] YANG Fei， ZHAO Wenbo， GAO Mangmang， et al. Static Measurement Method and Control Standard for Long-Wave Irregularity of High-Speed Railway Track during Operation Period ［J］. China Railway Science， 2020， 41 （3）： 41-49. in Chinese

[30] 杨飞，刘丙强，谭社会，等.高速铁路轨道静态几何不平顺弦测评价标准体系研究［J］.铁道建筑，2021，61（6）：107-111，120.

[31] YANG Fei， LIU Bingqiang， TAN Shehui， et al. Research on Evaluation Standard System of Chord Measurement for Track Static Geometric Irregularity of High Speed Railway ［J］. Railway Engineering， 2021， 61 （6）： 107-111， 120. in Chinese

[32] 田新宇，高亮，杨飞，等.基于动态短弦的无砟轨道板周期性不平顺管理标准［J］.中国铁道科学，2020，41（6）：30-38.

[33] TIAN Xinyu， GAO Liang， YANG Fei， et al. Management Standard for Cyclic Irregularity of Ballastless Track Slab Based on Dynamic Short Chord ［J］. China Railway Science， 2020， 41 （6）： 30-38. in Chinese

[34] 赵文博，杨飞，李国龙，等.高速铁路轨道平顺性静态长弦测量矢距差法数学模型推导及特性分析［J］.铁道建筑，2020，60（2）：105-109.

[35] ZHAO Wenbo， YANG Fei， LI Guolong， et al. Mathematical Model Derivation and Characteristics Analysis of Vector Distance Difference Method for Static Long Chord Measurement of High Speed Railway ［J］. Railway Engineering， 2020， 60 （2）： 105-109. in Chinese

[36] 余宁.数字式轨道检测系统检测算法优化设计研究［D］.北京：中国铁道科学研究院，2021.

[37] YU Ning. Research and Optimal Design of Detection Algorithm for Digital Track Detection System ［D］. Beijing： China Academy of Railway Sciences， 2021. in Chinese

[38] ESWELD C. Modern Railway Track ［M］. 2nd ed. Duisburg： MRT-Productions， 2001.

[39] REAL J， SALVADOR P， MONTALBÁN L， et al. Determination of Rail Vertical Profile through Inertial Methods ［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part F： Journal of Rail and Rapid Transit， 2011， 225 （1）： 14-23.

[40] CHUDZIKIEWICZ A， BOGACZ R， KOSTRZEWSKI M， et al. Condition Monitoring of Railway Track Systems by Using Acceleration Signals on Wheelset Axle-Boxes ［J］. Transport， 2017， 33 （2）： 555-566.

[41] WESTEON P F， LING C S， ROBERTS C， et al. Monitoring Vertical Track Irregularity from In-Service Railway Vehicles ［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part F： Journal of Rail and Rapid Transit， 2007， 221 （1）： 75-88.

[42] BOCCIOLONE M， CAPRIOLI A， CIGADA A， et al. A Measurement System for Quick Rail Inspection and Effective Track Maintenance Strategy ［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2007， 21 （3）： 1242-1254.

[43] 魏世斌，李颖，赵延峰，等.GJ-6型轨道检测系统的设计与研制［J］.铁道建筑，2012，52（2）：97-100.

[44] WEI Shibin， LI Ying， ZHAO Yanfeng， et al. Design and Manufacture of GJ-6 Track Inspection System ［J］. Railway Engineering， 2012， 52 （2）： 97-100. in Chinese

[45] 王琰.GJ-6型轨道检测系统激光摄像同步触发设计［J］.中国铁道科学，2018，39（4）：139-144.

[46] WANG Yan. Design of Laser Camera Synchronization Trigger for GJ-6 Track Inspection System ［J］. China Railway Science， 2018， 39 （4）： 139-144. in Chinese

[47] 王琰.GJ-6型轨道检测系统几何测量不确定度及准确度研究［J］.铁道建筑，2017，57（11）：110-113.

[48] WANG Yan. Study on Uncertainty and Accuracy of Track Geometry Measuring Based on GJ-6 Track Inspection System ［J］. Railway Engineering， 2017， 57 （11）： 110-113. in Chinese

[49] 杨飞，孙宪夫，谭社会，等.动静态轨道不平顺评价差异及动态弦测法特性［J］.西南交通大学学报，2022，57（6）：1239-1249.

[50] YANG Fei， SUN Xianfu， TAN Shehui， et al.Evaluation Difference of Dynamic and Static Track Irregularity and Characteristics of Dynamic Chord Measurement Method ［J］. Journal of Southwest Jiaotong University， 2022， 57 （6）： 1239-1249. in Chinese

[51] 魏晖，杨飞，朱洪涛，等.基于DTW的轨道动静态检查数据的匹配方法［J］.铁道科学与工程学报，2022，19（1）：78-86.

[52] WEI Hui， YANG Fei， ZHU Hongtao， et al. A Matching Method for Dynamic and Static Inspection Data of Track Based on Dynamic Time Warping ［J］. Journal of Railway Science and Engineering， 2022， 19 （1）： 78-86. in Chinese

[53] 淦述荣，刘志强，宋丽君，等.2021年国外惯性技术发展与回顾［J］.导航定位与授时，2022，9（3）：23-30.

[54] GAN Shurong， LIU Zhiqiang， SONG Lijun， et al. Development and Review of Foreign Inertial Technology in 2021 ［J］. Navigation Positioning and Timing Navigation Positioning and Timing， 2022， 9 （3）： 23-30. in Chinese

[55] 王平，肖杰灵.高速铁路轨道平顺性检测关键理论与技术［M］.第1版.上海：上海科学技术出版社，2019.

[56] WANG Ping， XIAO Jieling. The Key Theory and Technology of High Speed Railway Track Ride Inspection ［M］. 1st ed. Shanghai： Shanghai Scientific and Technical Publishers， 2019. in Chinese

[57] 王琰.轨道检测综合试验标定台准确度试验研究［J］.铁道建筑，2018，58（8）：114-117.

[58] WANG Yan. Experimental Study on Accuracy of Comprehensive Test and Calibration Platform for Track Inspection System ［J］. Railway Engineering， 2018， 58 （8）： 114-117. in Chinese

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52278465)

国家重点研发计划项目(2022YFB2602900)

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(N2022G051)