地铁车站矩形顶管壳-接头理论模型及纵向变形

Shell-Joint Theoretical Model and Longitudinal Deformation of Rectangular Pipe Jacking in Subway Station

摘要

针对矩形顶管隧道易受影响产生纵向变形、进而引发接头破坏的问题，提出一种矩形顶管隧道壳-接头理论模型，并以此研究隧道在不均匀沉降作用下的纵向变形。首先，通过室内模型试验，探究矩形顶管隧道接头力学特性；其次，建立壳-接头理论模型，给出接头力学元件的刚度矩阵及其计算方法；然后，建立数值模型，并与室内模型试验结果进行对比；最后，依托20环管节的矩形顶管隧道工程实例，研究不均匀沉降作用下的隧道纵向变形。结果表明：接头破坏表现为闭合间隙、钢套环受力和变形破坏3个阶段，接头的抗剪和抗弯均由钢套环承担；壳-接头理论模型的模拟计算结果与模型试验结果较吻合，验证了模型的实用性和准确性；矩形顶管隧道的纵向变形受地基刚度影响显著，砾砂、粉砂和黏土3种地层对应的隧道最大附加沉降分别为3.72，7.66和12.14 mm，随着地基刚度的减小，隧道接头受不均匀沉降的影响将会增大。

Abstract

In response to the problem that rectangular pipe jacking tunnels are prone to produce longitudinal deformation, which can result in joint failure, a shell-joint theoretical model for rectangular pipe jacking tunnels is proposed, and the longitudinal deformation of tunnels under uneven settlement is examined. Firstly, indoor model tests are carried out to explore the mechanical properties of the joints in rectangular pipe jacking tunnels. Subsequently, the shell-joint theoretical model is established, and the stiffness matrix and computational methods for the mechanical elements of the joints are offered. Then, a numerical model is developed and compared with the results of the indoor model tests. Finally, relying on a case study of a rectangular pipe jacking tunnel with 20 segments, the tunnel's longitudinal deformation under uneven settlement is investigated. The results show that joint failure appears in three stages: closure of the gap, force and deformation failure of the steel sleeve ring, with the shear and bending resistance of the joints mainly borne by the steel sleeve ring. The simulation results of the shell-joint theoretical model are in line with the model test results, verifying the practicality and accuracy of the model. The longitudinal deformation of the rectangular pipe jacking tunnel is greatly affected by the stiffness of the foundation. The maximum additional settlements corresponding to the three soil types (gravel, silt, and clay) are 3.72 mm, 7.66 mm, and 12.14 mm respectively. As the foundation stiffness decreases, the influence of uneven settlement on the tunnel joints will increase.

Graphical abstract

关键词

地铁车站 / 矩形顶管 / 壳-接头理论模型 / 地基刚度 / 隧道纵向变形

Key words

Subway station / Rectangular pipe jacking / Shell-joint theoretical model / Foundation stiffness / Tunnel longitudinal deformation

矩形顶管隧道具有断面利用率大、覆土浅、对周围环境影响小等优点，在城市地铁车站、地铁出入口过街通道、综合管廊、下穿城市隧道、行人过街地下通道等工程中得到了广泛的应用^［1-3］。矩形顶管隧道通常采用F型承插接头，但该种接头部位刚度远小于管节自身刚度，属于薄弱环节^［4］。一些城市地下工程活动往往会给矩形顶管隧道接头带来防水失效和结构破坏的安全风险，甚至会导致隧道纵向产生过度的不均匀变形，危及隧道运营安全^［5-6］。

国内外学者主要采用理论解析、数值模拟、室内接头试验等方法开展隧道接头力学特性研究。朱合华等^［7］通过三维力学模型模拟曲线顶管在软土地层中的施工力学性态，给出曲线顶管纵向和法向位移的理论解并与实测值进行对比，证明理论结果的合理性。丁文其等^［8］通过建立管节-接头力学模型和使用弹性地基梁法，计算得到顶管施工的顶力及管节接头张开量等。厉扬戈^［9］利用理论分析的方法，导出了顶管的纵向等效抗拉、抗压和弯曲刚度计算式，并利用1∶1的足尺试验，对顶管接头的力学性能和破坏形态进行了研究。陈楠^［10］采用数值模拟方法研究了F型承插接头钢顶管的木垫片厚度、内外壁间隙和接头长度对最大转角的影响。许学昭等^［11］对大直径盾构隧道扩挖地铁车站进行数值模拟研究，发现扩挖施工对管片纵缝的张开和错台影响显著，但对管片环间错台影响不明显。黄大维等^［12］通过理论解析与模型试验相结合的手段发现管片增加厚度可增加管片纵缝接头的抗弯刚度，从而明显减小管片环的变形。张子新等^［13］通过实测环缝张开量建立了适用于异形盾构的纵向等效刚度和纵向刚度有效率简化解析模型。张厚美等^［14］建立了接头受力和变形的非线性方程式，推导得到接头刚度的简化计算式。彭益成等^［15］提出一种新型的盾构隧道衬砌结构计算模型——壳-接头模型并验证其适用性和准确性。Wang^［16］、翟五洲等^［17］分别建立了盾构隧道管片三维数值分析模型，分析了管片接缝错台变形的发展规律，揭示了管节结构的内力或变形情况。苏宗贤等^［18］采用数值模拟方法建立一种纵向壳-弹簧-接触模型，研究盾构隧道在纵向变形时附加内力及变形。黄亮等^［19］在等效连续化理论的基础上，建立类矩形盾构隧道纵向等效连续化模型，并得到其类等效抗弯刚度解析解。张冬梅等^［20］根据盾构隧道衬砌结构接头特点建立了接头剪切受力模型，并提出组合弹簧分析法。

研究矩形顶管隧道F型承插接头时，虽可借鉴传统的圆形顶管隧道接头与盾构隧道环间接头的研究思路，但2种接头在形式上差异显著，相关环缝接头与纵向变形理论无法直接照搬。此外，矩形顶管与圆形顶管同样采用F型承插接头，但在管节材质、管节形状、接头构造、断面大小、使用功能以及防水等级等方面均存在较大差异，圆形顶管隧道的研究成果亦很难直接应用于矩形顶管。

为此，本文考虑管节与地基相互作用，开展室内管节接头剪切试验和接头弯曲试验，研究F型承插接头的剪切刚度及转动刚度特性；结合矩形顶管隧道管节和F型承插接头构造特点，提出三维壳-接头模型并采用壳单元模拟管节，在管节之间设置接头力学元件模拟实际中接头中绕隧道径向的弯曲和沿切向的剪切错动，并建立接头力学元件的刚度矩阵及其计算方法；利用壳-接头理论模型模拟矩形顶管隧道室内接头试验，建立20节矩形顶管隧道，研究不均匀沉降下的隧道纵向变形。预期研究成果对矩形顶管隧道接头设计具有一定的重要的理论意义与工程实用价值。

1 矩形顶管隧道接头室内模型试验

1.1　试验概况

本试验以采用矩形顶管隧道的呼和浩特市某车站地下人行通道工程为依托。根据文献［22-25］和现场调研结果可知，矩形顶管隧道接头形式与盾构隧道环向接头相似，尽管二者在力学性能方面存在显著差异，但盾构隧道环向接头的相关试验方法仍可为研究矩形顶管隧道接头提供借鉴。结合盾构隧道环向接头力学性能试验方法，设计确定试验试件的结构形式、尺寸和材料等。试验试件采用F型承插接头，其细部尺寸如图1所示。图中：R₁，R₂为止水橡胶圈不同位置处的半径。设计试验管节横断面尺寸长×高为1 625 mm×1 075 mm，管节纵向宽度按实际工程取为1 500 mm，如图2所示。管节所用混凝土强度等级为C50。

为体现地层与管节之间的相互作用，设置由弹簧、盖板及弹簧支座组成的支撑系统，如图3所示。

图3支撑系统采用在管节底部均匀布置等效地基弹簧的方式，实现地层对管节的竖向支撑^［26］。等效地基弹簧k_v的数量与等效基床系数K_v取值之间存在关联，因此根据地基发生单位位移所产生的地基反力相等这一原则，将等效基床系数K_v表示为

K_{\mathrm{v}}=\frac{k_{\mathrm{v}}}{S}（1）

式中：k_v为管节底部等效地基弹簧的地基刚度之和，单个等效地基弹簧的刚度取1 734 kN · m^-1；S为顶管底板面积。

按照文献［21］，室内模型试验时分别开展接头剪切试验和接头弯曲试验，研究接头的剪力-相对剪切变形关系、弯矩-相对转角关系、剪切刚度以及转动刚度。试验场景如图4所示。

开展剪切试验时，先将3个管节纵向拼接，再进行预紧，模拟顶管顶进过程；为保证得到纯剪条件下的试验结果，两端管节底部设置固定端、中间管节底部设置支撑系统。试验中承、插接头处共布置8个位移传感器，分别测量加载过程中管节的接头竖向变形、径向变形及错台量。开展弯曲试验时，管件的拼装过程与剪切试验的类似，先将2个管节纵向拼接，再进行预紧；2个管节底部分别设置支撑系统，在管节上部放置分配梁，进行竖向加载。试验中承、插接头处共布置16个位移传感器，分别测量加载过程中管件的接头挠度和接头的张开量。2组试验中的位移传感器位置如图5所示。图中：D1—D4为竖向位移计；H1和H2为纵向位移计；V1和V2为张开位移计。

为研究不同类型地层对矩形顶管隧道接头的影响，针对接头剪切试验和弯曲试验，按照相对刚度组和绝对刚度组设计思路，共设计8种工况，各工况详细信息见表1。相对刚度组主要研究砾砂地层、粉砂地层以及黏土地层对2种试验下接头刚度的影响；绝对刚度组着重探讨接头自身参数对2种试验下接头刚度的影响。

采用位移控制试验加载，加载共分为14级。考虑到加载初期接头受力及变形较小而后期较大，故前4级每级增加5 mm，从第5级开始每级增加3 mm，加载至接头产生较大破坏时停止试验。试验加载所用伺服液压千斤顶上端具有荷载传感器，采用位移加载的同时也可得到其施加反力的大小，以便计算得到接头剪力和弯矩。

1.2　试验结果

提取剪切试验中的接头剪力值和管节错台量，获得剪切试验中不同工况下接头的剪力-相对剪切变形曲线，如图6所示。鉴于在相对刚度1工况下出现了钢套环开裂的突发状况，故排除该工况以确保试验结果与实际情况更为贴近。由图6可知：不同工况下，随着剪切位移的增加，接头表现出不同特性，这主要是因为不同工况试件的拼装等存在一定误差，并且试件的破坏点和失效时间并不完全相同；总体来说，各接头的剪切变形可按试件变形分为3个阶段。阶段1为线弹性变化阶段，钢套环与鹰嘴橡胶逐渐压紧，承插口各个部位刚刚接触压紧，此过程产生的斜率最大，剪切刚度最大；阶段2为钢套环屈服阶段，此时钢套环倒角发生“翘曲”现象；阶段3时，钢套环倒角处屈服，位移变化变慢，接头进入塑性阶段，最终钢套环发生剪切破坏。

图7为弯曲试验中不同工况下的接头弯矩-相对转角曲线。由图7可知：该曲线同样可按试件弯曲变形分为3个阶段；阶段1由于张开角度较小，钢套环与管节插口的间隙逐渐变小，之后钢套环与插口管节开始接触，产生微弱的变形；阶段2为弯矩从零开始随张开角度线性增加，当相对转角达到某一定值时，钢套环与插口管节混凝土在相互挤压作用下，从管节中部逐渐滑移到倒角上边缘，此时钢套环底部与插口管节底部发生脱开；阶段3最终因变形过大，导致结构失效。

室内接头试验结果表明，接头破坏主要表现为闭合间隙—钢套环受力—变形破坏3个阶段。2种试验下的最终破坏发生在钢套环的倒角部位，这表明接头的抗剪和抗弯均由钢套环承担，同时说明矩形顶管隧道接头具有显著的非连续性和非线性。结合类似的矩形顶管隧道工程^［27-30］，可以发现矩形顶管隧道接头主要承受绕隧道径向的弯矩、沿隧道切向的剪力以及沿隧道轴向的轴力，如图8所示。图中：Y为沿管节切向；X为沿隧道径向；Z为沿隧道轴向；M为接头绕隧道径向的弯矩；F为沿隧道轴向Z的轴力；Q为沿隧道竖向Y的剪力。

从图8可以看出：当接头承受绕隧道径向弯矩时，受压侧混凝土被挤压，受拉侧的钢套环、止水橡胶圈与管节发生分离；当接头受到剪切力作用时，起到抵抗作用的是管节接头混凝土之间的摩擦力、止水橡胶圈以及钢套环（止水橡胶圈因自身刚度较小，主要起防水作用，可忽略不计）；当接头受到隧道轴向的轴力时，管节接头处的混凝土相互挤压或管节插口与钢套环发生分离。因此，可将矩形顶管隧道接头的力学性能主要概括为：绕隧道径向的弯曲和沿切向的剪切错动。

2 壳-接头理论模型及计算方法

2.1　壳-接头理论模型

结合对矩形顶管隧道接头力学特性的分析，建立矩形顶管隧道壳-接头理论模型。该模型将矩形顶管管节简化为壳结构，管节与管节之间采用新的组合力学元件模拟接头的力学特性，组合力学元件包括转动力学元件与剪切力学元件，如图9所示。图中：实心三角表示转动力学元件；空心三角表示剪切力学元件。

通过对矩形顶管隧道壳-接头理论模型中的转动力学元件与剪切力学元件进行分解，可以得到5种基本力学元件，分别是摩擦限位、摩擦片、压缩限位、转动弹簧和拉压弹簧。对这5种基本力学元件进行相互组合，即可模拟矩形顶管隧道接头的力学特性。5种基本力学元件如图10所示。图中：i和j均为基本力学元件分析所需的计算点。各基本力学元件对应的接头力学特性见表2。

组合基本力学元件，得到2类模拟隧道接头的接头力学元件如图11所示。

转动力学元件由压缩限位、转动弹簧和拉压弹簧元件组成。压缩限位和拉压弹簧组成单向拉伸弹簧，可模拟管节接头在受拉时的张开和压缩，但混凝土刚度较大，基本不会产生压缩变形；转动弹簧可模拟管节接头在弯矩作用下的转角。剪切力学元件由摩擦限位、压缩限位和双向摩擦片组成，摩擦限位可控制管节接头在切向剪切力的作用下产生的最大剪切错动量，压缩限位可限制管节沿隧道纵向的压缩变形，而双向摩擦片管节接头则模拟在切向剪切力的作用下产生的剪切错动。

2.2　接头力学元件

为表述方便，对图10中的5种基本力学元件的属性进行定义。若θ_i 和θ_j 分别为节点i和j的转角，u_i 和u_j 分别为节点i和j的位移，∆θ和∆u分别为节点i和j之间的相对转角和相对变形，则有∆θ=θ_i -θ_j，∆u=u_i -u_j。

1）摩擦限位

摩擦限位用于模拟管节接头处的错动量。假定摩擦限位联接的2个节点之间发生拉伸时变形量为正、压缩时为负，则相对变形可表示为

\mathrm{\Delta }u=u_i-u_j（2）

根据矩形顶管管节的构造工艺以及成型情况，判断其剪切错动量处于一定范围内，即其本构方程为

-\delta \le \mathrm{\Delta }u\le \delta（3）

式中：δ为接头可发生的剪切变形量，由矩形顶管管节的构造工艺以及成型情况决定。

2）摩擦片

摩擦片元件用于模拟管节接头接触面之间的摩擦特性。当管节接头受到剪切力影响时，在其位置处的接触面上形成摩擦，当剪切力超过临界摩擦时，接头接触面即发生相对错动。管节接头发生剪切错动的临界剪力一般由管节间相互的摩擦力决定，表示为

Q_{\mathrm{0}}=\mu F（4）

式中：Q₀为临界剪切力；μ为混凝土之间的摩擦系数。

摩擦片元件用于模拟管节接头接触面之间的摩擦特性，即

\mathrm{\Delta }u=u_i-u_j=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{\infty }\end{array}\right.\begin{array}{c}Q\le Q_{\mathrm{0}}\\ Q>Q_{\mathrm{0}}\end{array}（5）

3）压缩限位

当接头混凝土受压后压缩量极小，可认为接头处压缩量为0。通过压缩限位控制接头两侧管节间对应节点之间的相向运动，可以模拟接头的不可压缩性能。设压缩限位联接的2个节点之间发生拉伸时变形量为正、压缩时为负，则相对变形可表示为

u_i-u_j\ge \mathrm{0}（6）

4）转动弹簧

矩形顶管隧道接头主要考虑管节间的转动行为。转动弹簧的旋转刚度为管节接头承受弯矩下的转动刚度K_θ，因此可将管节接头在弯矩M作用下的变形表示为K_θ 与管节接头承受弯矩下相对转角Δθ间的关系，即

M=K_{\theta }\mathrm{\Delta }\theta（7）

5）拉压弹簧

拉压弹簧单元描述了钢套环对接头产生的拉伸作用，钢套环的拉力N可通过钢套环的拉伸刚度和变形量得到

N=K_{\mathrm{s}}\mathrm{\Delta }u（8）

式中：K_s为钢套环刚度，通过钢套环的材料与尺寸计算得到；∆u为钢套环受到拉伸时的伸长量。

2.3　地基弹簧单元

模型中引入的地基弹簧单元，用于模拟土层和结构间的相互作用。采用全周布置的径向弹簧单元和切向弹簧单元，用于模拟作用在顶管隧道上的径向力和切向力，地基弹簧单元刚度k为

k=\frac{\mathrm{3}E}{\left(\mathrm{1}+\nu \right)\left(\mathrm{5}-\mathrm{6}\nu \right)\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+b^{\mathrm{2}}}}（9）

式中：E为不同地层的地基弹性模量；\nu为泊松比；a和b分别为沿隧道径向和切向的外半径。

2.4　接头力学元件刚度矩阵及其计算方法

为定义矩形顶管隧道接头单元的刚度矩阵，先对接头单元定义局部坐标系。局部坐标系OX'Y'Z'如图12所示。图中：X'为沿管节切向；Y'为沿隧道径向；Z'为沿隧道轴向。

在局部坐标系中，相邻管节接头的不连续性由管节接头处的任意2个节点m，n在局部坐标系OX'Y'Z'中的相对位移来表示，其中m和n均为接头联接单元分析所需的计算点。每个接头联接单元均由2个节点（节点m和n）组成， w 表示接头连接单元计算点的向量集合，则每个节点在该接头联接单元的局部坐标系中的位移向量 D 可表示为

\mathit{D}={\left(X_w^{\text{'}}{Y}_w^{\text{'}}{Z}_w^{\text{'}}{\theta }_{X_w^{\text{'}}}{\theta }_{Y_w^{\text{'}}}{\theta }_{Z_w^{\text{'}}}\right)}^{\mathrm{T}}w=m,n（10）

则节点之间的相对位移Δ d 可表示为

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\mathit{d}={\left(\mathrm{\Delta }X\mathrm{\text{'}}\mathrm{\Delta }Y\mathrm{\text{'}}\mathrm{\Delta }Z\mathrm{\text{'}}\mathrm{\Delta }{\theta }_{X\mathrm{\text{'}}}\mathrm{\Delta }{\theta }_{Y\mathrm{\text{'}}}\mathrm{\Delta }{\theta }_{Z\mathrm{\text{'}}}\right)}^{\mathrm{T}}\\ ={\left(X_m^{\text{'}}-X_n^{\text{'}}{Y}_m^{\text{'}}-Y_n^{\text{'}}{Z}_m^{\text{'}}-Z_n^{\text{'}}{\theta }_{X_m^{\text{'}}}-{\theta }_{X_n^{\text{'}}}{\theta }_{Y_m^{\text{'}}}-{\theta }_{Y_n^{\text{'}}}{\theta }_{Z_m^{\text{'}}}-{\theta }_{Z_n^{\text{'}}}\right)}^{\mathrm{T}}\end{array}（11）

式中：X{}_m^{\text{'}}，Y{}_m^{\text{'}}和Z{}_m^{\text{'}}，X{}_n^{\text{'}}，Y{}_n^{\text{'}}和Z{}_n^{\text{'}}分别为下标对应节点沿X'，Y'，Z'轴方向的位移分量；{\theta }_{X_m^{\text{'}}}，{\theta }_{Y_m^{\text{'}}}和{\theta }_{Z_m^{\text{'}}}分别为m节点沿X'，Y'，Z'轴方向的位移分量；{\theta }_{X_n^{\text{'}}}，{\theta }_{Y_n^{\text{'}}}和{\theta }_{Z_n^{\text{'}}}分别为n节点的3个转角分量。

同理，接头单元承担的外力 F'可表示为

\mathit{F}\mathrm{\text{'}}={\left(F_r^{\text{'}}{F}_t^{\text{'}}{F}_s^{\text{'}}{M}_r{M}_t{M}_s\right)}^{\mathrm{T}}（12）

根据矩形顶管隧道结构的特点，管节接头处转动力学元件的单元刚度矩阵 K^Ⅰ表示为

{\mathit{K}}^{\mathrm{I}}=\left(\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& K_s^{\mathrm{I}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& K_{\theta r}^{}\end{array}\right)（13）

式中：K_s^{\mathrm{I}}为单向拉伸弹簧的刚度，按式（8）计算；K_{\theta r}^{}为管节接头绕局部坐标中r轴的转动刚度，按式（7）计算。

管节接头处剪切力学元件的单元刚度矩阵{\mathit{K}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}表示为

{\mathit{K}}^{\mathrm{I}\mathrm{I}}=\left(\begin{array}{cccccc}{K}_r^{\mathrm{I}\mathrm{I}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& K_t^{\mathrm{I}\mathrm{I}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& K_s^{\mathrm{I}\mathrm{I}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& K_{\theta r}^{}\end{array}\right)（14）

其中，

式中：K_{\theta r}^{}为管节接头绕局部坐标中r轴的转动刚度，按式（7）计算；K_s^{\mathrm{I}\mathrm{I}}为压缩限位的刚度。

K_r^{\mathrm{I}\mathrm{I}}和K_t^{\mathrm{I}\mathrm{I}}分别为管节接头处沿r轴和t轴的剪切刚度，可表示为

（15）

其中，

Q_{r(t)}={\mu }_{r(t)}{F}_x

式中：F_{r(t)}为接头沿r轴和t轴的最大剪切力；δ_r（t）为管节接头沿r轴和t轴允许的最大剪切错动量；Q_r（t）为节点处沿r轴和t轴的极限滑动摩阻力；μ_r（t）为管节接头沿r轴和t轴接触面上的摩擦系数；F_x 为管节轴向压力，当管节接头处的混凝土相互挤压时取正值，当管节插口与钢套环发生分离时取负值。

通过计算每个接头联接单元沿各个方向的刚度形成其刚度矩阵，可将接头单元的节点力和变形之间的关系表示为

\mathit{F}=\mathit{K}\mathrm{\Delta }\mathit{d}（16）

式中：\mathit{K}为局部坐标下接头单元的刚度矩阵。

将 K 转换到整体坐标系下的刚度矩阵\mathit{K}\mathrm{\text{'}}，可表示为

\mathit{K}\text{'}={\mathit{L}}^{\mathrm{T}}\mathit{K}\mathit{L}（17）

其中，

\mathit{L}=\left(\begin{array}{cc}\mathit{\lambda }& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathit{\lambda }\end{array}\right)

\mathit{\lambda }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_{nx}& {\lambda }_{ny}& {\lambda }_{nz}\\ {\lambda }_{tx}& {\lambda }_{ty}& {\lambda }_{tz}\\ {\lambda }_{sx}& {\lambda }_{sy}& {\lambda }_{sz}\end{array}\right)

式中：\mathit{L}为转换矩阵；{\lambda }_{nx}为n轴和x轴的夹角余弦值，其他以此类推。

3 壳-接头理论模型数值模拟

3.1　有限元模型建立

按照室内模型试验中的试件尺寸和荷载边界条件建立壳-接头数值计算模型。管节采用三维壳单元，横断面尺寸长×高为1 625 mm×1 075 mm，取纵向宽度为1 500 mm；采用的混凝土强度等级为C50，取弹性模量为3.45×107 kPa。模型中各部件主要设置表面与表面接触和绑定约束。切向行为设置罚摩擦，摩擦系数为0.3^［29］，法向行为设置“硬”接触，允许接触后分离；管节与管节之间设置衬套连接器（Bushing）进行连接，刚度取值通过室内接头试验加载段当中进行选取；模型建立法向弹簧模拟地基约束，在管节接头处施加与室内模型试验一致的荷载以产生内力和变形，分别建立管节弯曲试验模型和剪切试验模型，如图13所示。

3.2　数值模拟与模型试验结果对比

图14为壳-接头弯曲模型位移云图。从图14可以发现：矩形顶管接头处发生弯曲变形时，两侧管节在荷载的作用下分别沿顺时针和逆时针转动，整个结构呈现管顶压密、管底分离的趋势；当管节水平张开（即两侧管节沿隧道纵向有脱离行为，视为张开）达到44.0 mm时，接头竖向沉降（即两侧管节沿隧道切向发生位移，视为沉降）为27.9 mm，接头因变形过大发生钢套环与管节间的脱开破坏，计算终止；此时接头的水平张开较大，接头处的应力远低于屈服强度。

提取壳-接头模型模拟过程中的弯矩-转角曲线变化，并与室内接头试验的变形结果进行对比，如图15所示。可以发现基于壳-接头理论数值模型和试验结果得出的接头弯矩-相对转角曲线的变化规律基本相同，证明采用壳-接头理论数值模型进行的模拟计算能较好地模拟管片接头的弯曲特性。

图16为壳-接头剪切模型位移云图。由图16可知：剪切试验中，随着剪切错台量的不断增加，左右两接头处剪力呈正向增加；当错台量达到22.0 mm时，钢套环进入弹塑性状态，此时钢套环倒角处出现翘曲鼓包现象；当加载至48.0 mm时，钢套环倒角处发生破坏，试验终止。

提取壳-接头剪切模型计算出的剪力-错台量曲线，并与室内接头试验的结果进行对比，如图17所示。从图17的曲线变化规律上可以看出：壳-接头模型的计算结果与试验结果较为一致，而最大剪切错动量存在一定差别，主要原因是在接头剪切试验中，试件的拼装误差引起了一定的反向错动量，因此试验中得到的剪切量大于实际可允许的剪切错动量。

综上所述，针对矩形顶管隧道接头力学元件建立的刚度矩阵及其计算方法，能够计算得到壳-接头弯曲模型和剪切模型的数值结果；将其与对应的室内接头试验结果进行对比，发现两者较为吻合，这验证了壳-接头理论模型的实用性和准确性。

3.3　基于壳-接头理论模型的隧道纵向变形

由于F型承插接头的存在，矩形顶管隧道纵向变形研究较为复杂。将建立的壳-接头理论模型内置到ABAQUS有限元软件中，依托前述工程背景，建立20环管节的隧道模型，进一步研究矩形顶管隧道的纵向变形。考虑不同工程活动诱发的不均匀沉降作用可近似等效为作用在隧道上方的附加荷载，在顶管隧道中部5环管节施加倒三角形式荷载p，以模拟纵向不均匀沉降作用，如图18所示。按照以上方法建立的矩形顶管隧道纵向三维数值模型如图19所示。

根据普氏理论，计算得出依托工程案例的竖向荷载为300 kPa，结合地勘报告及各种地基土的竖向基床系数区间范围值，分别给出各土层的竖向地基基床系数及对应地基刚度见表3。

设竖向荷载沿着局部坐标系中Y'轴的正方向施加时为正值，反之为负值；管节沉降沿局部坐标系中Y'轴的正方向变形时为负值，反之为正值。当竖向荷载为300 kPa时，不均匀沉降作用下的矩形顶管隧道变形曲线如图20所示。从图20可以发现：当地基刚度分别取15 601，10 405和6 934 N · mm^-1时，隧道最大附加沉降值依次为3.72，7.66和12.14 mm，最大附加沉降几乎呈线性增长；沉降最大处位于整段隧道中部，且沉降会随着地基刚度的逐渐减小而逐渐增加，这说明地基刚度与隧道沉降呈负相关性，若隧道位于地基刚度大的地层（砾砂地层和卵石地层）中，发生不均匀沉降时隧道接头受到的影响较小；反之，若隧道位于地基刚度小的地层（粉质黏土地层和黏土地层）中，发生不均匀沉降时，隧道接头受到的影响较大。

4 结论

（1）对矩形顶管隧道接头开展剪切试验和弯曲试验，发现2种试验下，接头破坏均表现为闭合间隙、钢套环受力和变形破坏3个阶段；接头的最终破坏均发生在钢套环的倒角部位，即接头的抗剪和抗弯均由钢套环承担，矩形顶管隧道接头具有显著的非连续性和非线性。

（2）提出了一种新型的矩形顶管隧道理论模型——三维壳-接头模型，并建立接头力学元件的刚度矩阵及其计算方法。该模型利用壳单元与接头单元，模拟了矩形顶管隧道管节和管节间的F型承插接头；利用接头单元的力学特性，模拟了实际矩形顶管隧道接头中绕隧道径向的弯曲和沿切向的剪切错动2种力学行为。

（3）采用壳-接头理论模型，分别对管节接头弯曲和剪切试验进行数值模拟。弯曲变形时，接头水平张开至44.0 mm时模拟得到的管节竖向沉降达到27.9 mm，进而引发接头破坏；剪切变形时，数值模型精确预测了钢套环在22.0 mm错台量下进入弹塑性状态，并在48.0 mm错台量时发生破坏。壳-接头理论模型的模拟计算结果与模型试验结果较为吻合，验证了该模型在模拟矩形顶管隧道接头力学行为方面的实用性和准确性。

（4）为探究不均匀沉降下的隧道纵向变形，利用Abaqus软件建立20节矩形顶管隧道的壳-接头数值模型，发现矩形顶管隧道的纵向变形受地基刚度影响显著，隧道最大附加沉降随地基刚度减小而增加，砾砂、粉砂和黏土3种地层对应的隧道最大附加沉降分别为3.72，7.66和12.14 mm，地基刚度越小，隧道接头受不均匀沉降影响越大。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(51868062)