基于ISSA-VMD的地铁构架应力谱门槛值自适应确定方法

Adaptive Method for Determining the Threshold Value of Metro Frame Stress Spectrum Based on ISSA-VMD

摘要

针对地铁构架应力谱编制过程中小应力循环舍弃缺乏标准可依的问题，提出基于改进麻雀搜索算法（ISSA）和应力-时间历程信号变分模态分解（VMD）的应力谱门槛值自适应确定方法。首先，通过融合Tent混沌映射、鱼鹰优化算法和柯西变异策略改进麻雀搜索算法，从而避免陷入局部最优，提高分析效率；其次，采用ISSA优化VMD的分解个数和惩罚因子，实现关键参数确定；最后，根据最优参数组合，对应力信号进行VMD分解，并结合疲劳损伤占比、均方根和均方误差等参数对分解得到不同分量信号的中心频率进行综合分析，提取损伤占比较大的信号频率作为截止频率，从频域层面实现小应力门槛值的确定。结果表明：采用此方法确定的小应力门槛值使得应力雨流循环总数降低17.1%，实际损伤较传统方法所得结果减少7.8%，在有效反映应力所造成疲劳效应的同时保留了应力循环特性，提高了应力谱编制效率，从而为地铁构架应力谱编制过程中小应力门槛值的合理确定提供了参考。

Abstract

To address the absence of standardized criteria for discarding small stress thresholds in the compilation of metro framework stress spectrum, an adaptive threshold determination method applied to stress-time history signal optimized for Variational Mode Decomposition (VMD) is proposed based on Improved Sparrow Search Algorithm (ISSA). Firstly, the Sparrow Search Algorithm is improved by integrating Tent chaotic mapping, Osprey Optimization Algorithm, and Cauchy mutation strategy to avoid local optima and enhance analysis efficiency. Secondly, ISSA is employed to optimize the decomposition number and penalty factor for determining key parameters. Finally, based on the optimal parameter combination, the stress signal undergoes VMD decomposition, followed by a comprehensive analysis of central frequencies of different component signals, incorporating metrics such as fatigue damage proportion, Root Mean Square, and Root Mean Square Error. The signal frequency accounting for a significant proportion of damage is identified as the cutoff frequency, facilitating the determination of the small stress threshold from a frequency domain perspective. The results demonstrate that the proposed method reduces the total number of stress rain-flow cycles by 17.1% and the actual damage by 7.8% compared to traditional approaches. This not only effectively captures the fatigue effects induced by stress but also preserves the characteristics of stress cycles, thereby enhancing the efficiency of stress spectrum compilation. This study provides a reference for the rational determination of small stress thresholds during the compilation of metro framework stress spectrum.

Graphical abstract

关键词

地铁构架 / 应力谱 / 小应力门槛值 / 疲劳损伤 / ISSA-VMD

Key words

Metro framework / Stress spectrum / Small stress threshold value / Fatigue damage / ISSA-VMD

基于线路实测的广义载荷-时间历程信号编制的地铁构架应力谱综合反映了地铁在各种运行工况下的受载状态，通过计算其所造成的疲劳损伤，可为构架结构设计、安全评估和疲劳试验奠定基础。由于线路不平顺、车轮缺陷和轮轨接触状态等因素的影响，不同运营工况下车轮传递到构架的时变载荷中存在大量高频低幅信号，其特征为信号雨流循环次数占总循环次数的90%以上，但所造成的结构损伤占比较小，基本可忽略不计^［1］。

为提高应力谱编制效率、准确性及工程适用性，相关学者从结构材料的疲劳损伤性能、载荷极值、载荷循环分组和概率统计推断等方面确定小载荷门槛值，以去除高频低幅载荷信号。张强等^［2］基于结构S-N曲线确定疲劳截止极限为门槛值，采用同步剪切方法删除应力范围小于门槛值的应力信号。Heuler等^［3］通过材料疲劳试验，证明小载荷门槛与材料的疲劳极限相关，并取材料疲劳极限的50%为门槛值过滤幅值。赵方伟等^［4］通过设置不同的门槛值取舍应力循环，采用Miner线性累积损伤法计算各测点在不同门槛值下的疲劳损伤，并选取最大应力范围的5%作为门槛值。Xiong等^［5］通过删除小载荷循环，提出加速试验载荷谱的编制方法。谢飞等^［6］采用概率距离定量描述小载荷删除前后疲劳寿命分布的差异程度，实现以删除谱与原始谱疲劳寿命同分布为标准的小载荷删除。薛海等^［7］通过将信号中高频低幅部分依据疲劳损伤理论折算为趋势部分，实现小载荷的等效替换。邢广鹏^［8］依据测试信号的循环波形特征建立变程阀值模型，实现不同小载荷阈值下的应力谱编制。总体而言，现有针对小应力门槛值确定方法的研究以载荷-时间信息开展时域分析，但仍存在不足，缺乏综合考虑，忽视了载荷-时间信号的频域特征，对小应力门槛值的确定存在一定的片面性，缺乏严密的科学依据，导致不同处理方法所编制的应力谱用于结构疲劳分析的差异较大。

本研究提出1种门槛值自适应确定方法，该方法利用改进的麻雀搜索算法（Improved Sparrow Search Algorithm，ISSA）对变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）过程进行优化，通过分析实测应力-时间历程信号的特征，利用ISSA算法获取关键参数，并结合VMD技术对应力信号进行有效分解，在频域内识别并剔除小应力循环，进而采用雨流计数法对应力谱进行编制。该方法可完善传统小应力门槛值确定的不足，提升小应力门槛值确定方法的适用性，提高载荷谱编制效率。

1 改进的麻雀搜索算法

1.1　VMD关键参数

VMD将初始的时域信号分解成若干个具有不同中心频率的本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF），将信号构造为变分约束问题，具有避免端点效应和抑制模态混叠的优点^［9］。

在VMD中，分解个数K和惩罚因子α是影响信号分解质量与准确性的关键参数。参数K决定了原始信号分解的数量，若K值过大，易导致过度分解引入虚假信号分量；K值过小可能引起信号欠分解，产生模态混叠，影响门槛值的准确判断。参数α决定各分量的带宽，较高的α值有助于实现模态的平滑分解，但也可能引起过度平滑和模态间的混合；相反，过低的α值会增加分解模态的局部调谐性，从而放大噪声并引入虚假模态，这不利于区分各信号分量^［10］。因此，确定K和α的合适取值对于实现有效的信号分解至关重要。

1.2　ISSA算法结构

经典的麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm，SSA）模仿麻雀觅食中的位置更新过程，即每只麻雀遵守相应规则，通过不断迭代自身位置完成目标任务^［11］。在搜索过程中麻雀扮演3类不同的角色。

（1）探索者，在一定的范围内搜索食物，为整个种群指明觅食方向，其更新后的位置{\mathit{X}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}为

（1）

式中：{\mathit{X}}_{i,j}^t为第t次迭代时第i个探索者在第j维的位置；\beta为（0，1］之间的随机数；t_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大迭代次数；Q为服从正态分布的随机数；\mathit{L}为全部元素为1的1×j矩阵；预警值R∈（0，1］；安全阈值S_{\mathrm{T}}∈（0.5，1］。

当R<S_{\mathrm{T}}时，探索者正常搜寻食物，向着更适合的K和\alpha值移动；当R≥S_{\mathrm{T}}时，探索者察觉到附近有危险，会向整个种群预警，转移到其他安全地方觅食。

（2）跟随者，跟随探索者发现食物，若跟随者获知探索者位置的食物更好，则与其抢夺食物；更新位置较差的跟随者很难获得食物，需要寻找更优的位置觅食，其更新后的位置{\mathit{Y}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}为

{\mathit{Y}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{l}Q\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{{\mathit{P}}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t-{\mathit{Y}}_{i,j}^t}{i^{\mathrm{2}}})i>N/\mathrm{2}\\ {\mathit{X}}_p^{t+\mathrm{1}}+|{\mathit{Y}}_{i,j}^t-{\mathit{X}}_p^{t+\mathrm{1}}|{\mathit{A}}^{+}\mathit{L}i\le N/\mathrm{2}\end{array}\right.（2）

式中：{\mathit{Y}}_{i,j}^t为第t次迭代时第i个跟随者第j维的位置；{\mathit{P}}_{\mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t为当前全局最差位置；{\mathit{X}}_p^{t+\mathrm{1}}为当前探索者所处的最好位置；\mathit{A}为1×j的值是1或-1的矩阵；{\mathit{A}}^{+}为\mathit{A}的广义逆矩阵；N为跟随者总数。

（3）侦查者，侦查者初始位置为随机生成，在寻找食物时会时刻警惕周围危险，察觉危险时发出警告并向安全位置移动，其更新后的位置{\mathit{Z}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}为

（3）

式中：{\mathit{Z}}_{i,j}^t为第t次迭代时第i个侦查者在第j维的位置；{\mathit{P}}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^t为当前全局最优位置；\mu为［-1，1］之间的随机数；f_i为侦查者适应度值；f_{\mathrm{b}}和f_{\mathrm{w}}分别为当前全局最优适应度值和最差适应度值；\epsilon为一极小常数，通常取值为10^-6。

采用上述麻雀位置更新策略，通过连续迭代过程逐步优化适应度值。该过程持续进行，直至满足既定的终止条件，从而确保获得全局最优解及其对应的最优适应度值。

与其它优化算法相比，SSA具有操作简便、收敛速度快和计算精度高等优势，但其仍然存在寻优结果受初始值的影响较大，对上一次迭代所得麻雀位置的更新结果依赖性较强，且其在搜索过程中虽能快速收敛获得优化解，但易陷入局部区域寻优，导致不能得到全局最优解的问题。因此，基于初始值选取、探索者更新方式和跟随者更新方式提出改进方法。首先，在初始值选取中引入Tent混沌映射，使麻雀均匀分散于初始区间，提升种群多样性；其次，融合鱼鹰优化算法（Osprey Optimization Algorithm，OOA），改进探索者更新方法，提高探索者收敛速度；最后，结合柯西变异，通过增强跟随者在迭代后期的扰动，扩大算法的搜索空间，提高算法精度。ISSA流程如图1所示。

1.3　初始值选取

SSA初始值的选择对算法的结果至关重要，初始值的多样性可以显著提高算法探索全局最优解的能力。如果初始值过于分散，可能会导致选定的起始解与全局最优解相距甚远，这不仅增加了达到最优解所需的迭代次数，而且降低了整体的求解效率。由于Tent混沌映射具有较强的随机性、遍历性和规律性，相较于其它初始值选取方法，其映射结果展现出更为均匀的分布密度^［12］。因此，采用Tent混沌映射弥补使用SSA以随机数作为初始点的弊端，提高种群初始位置的随机性，进而增强种群的多样性。根据混沌理论，Tent混沌映射计算式为

（4）

式中：x_p和x_{p+\mathrm{1}}为混沌映射前、后初始值的位置；a_{\mathrm{0}}为（0，1）之间的随机数。

在（0，1）区间内生成100个初始点，与传统随机生成数进行均匀性对比，结果如图2所示。由图2可知：选择Tent混沌映射生成的初始值在每个区间的个数约为10，相较SSA随机生成值的波动小，使麻雀均匀分布在搜索空间内，有效提高全局搜索能力。

1.4　参数优化

优化麻雀算法中探索者与跟随者的更新方式，采用OOA算法替换经典SSA中探索者参数，并采用柯西变异替换跟随者参数，实现迭代速率和结果准确性的提升。

OOA算法受自然界鱼鹰捕鱼行为启发，根据鱼鹰的捕食习性模拟鱼鹰识别鱼群位置、捕食鱼群和将食物运送至安全位置的行为，通过建模实现各阶段鱼鹰及鱼群的位置更新，以此求解待优化问题^［13］。

根据OOA的捕食策略替换SSA的探索者位置，可有效提高算法收敛速度，更快搜寻获得最优解。OOA基于鱼鹰捕食过程模拟SSA中探索者的位置更新，通过随机检测其中一个食物的位置进行攻击。融合OOA的探索者更新后的位置{\mathit{T}}_{i,j}^P为

（5）

式中：{\mathit{T}}_{i,j}为位置更新前第i个探索者在第j维的位置；u{\mathit{B}}_j和l{\mathit{B}}_j分别为鱼鹰寻优区间的上、下限；随机数r ∈ ［0，1］；{\mathit{F}}_{i,j}为第i个探索者在第j维搜寻到的食物位置；随机数k ∈ ［1，2］。

在SSA迭代后期麻雀易陷入局部最优位置，此时跟随者会大量聚集在该位置寻找食物，使探索者搜寻停止，整个种群流动性大幅降低。柯西变异策略可增强麻雀局部发掘水平，其分布算子在原点处概率值较小，两端较为扁长，逼近零的速率较慢，有效提高算法摆脱局部极值的能力^［14］。通过对当前最优跟随者产生更大扰动，有效扩大SSA的搜索规模，增强全局搜索能力。

采用柯西变异策略替换原始麻雀搜索算法的跟随者位置，在每次迭代结束之前将柯西变异算子扰动策略加入麻雀算法中，有助于避免算法在迭代后期陷入局部最优。根据柯西变异原理，更新后的跟随者位置{\mathit{G}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}为

{\mathit{G}}_{i,j}^{t+\mathrm{1}}={\mathit{Y}}_p^t+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }[({\mathit{Y}}_p^t{)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}]}（6）

式中：{\mathit{Y}}_p^t为当前跟随者最优位置。

1.5　算法执行步骤

基于上述改进，ISSA-VMD具体步骤如下。

（1）设置优化参数范围、迭代次数和种群数量，基于Tent混沌映射初始化种群；

（2）选取适当的适应度函数，计算初始状态下麻雀种群适应度值，获取最优与最差位置及其对应的适应度值；

（3）结合OOA与柯西变异，更新探索者位置与跟随者位置，并按原始麻雀算法更新侦察者位置；

（4）计算适应度值，与前值相比选择更优值以决定是否更新位置；

（5）不断迭代至最大迭代次数，输出最优适应度值对应的分解个数K和惩罚因子\alpha。

2 ISSA-VMD小门槛值确定

2.1　门槛值确定模型

应力谱是开展结构疲劳损伤评估的基础，因此，选用疲劳损伤评估应力谱编制效果。根据Miner线性累积损伤表达式和材料S-N曲线，得到评估部位在一次采集信号期间总损伤D为

D=\frac{\mathrm{1}}{C}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^s}{\sigma }_i^m{n}_i（7）

式中：s为应力谱分级数；n_i为应力{\sigma }_i对应的循环次数；m和C为材料参数。

计算应力-时间历程作用下评估部位的实际疲劳损伤D_{\mathrm{1}}和去除小应力循环后的疲劳损伤D_{\mathrm{2}}，使其差值最小，说明经门槛值去除后的时域信号能较好反映损伤特征。构建目标函数F(x)为

F(x)=\left|D_{\mathrm{1}}-D_{\mathrm{2}}\right|=\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^s}{\sigma }_i^m{n}_i-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^s}{\sigma }_j^m{n}_j\right|（8）

式中：{\sigma }_i和{\sigma }_j为门槛值去除前后各级应力值；n_j为{\sigma }_j对应的循环次数。

2.2　评价指标

为确保信号分量相互间的明显区分性，同时较好反映地铁实时服役状态信号特征，引入均方根（Root Mean Square，RMS）和均方误差（Root Mean Square Error，RMSE）作为评判参数。信号均方根值{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}和均方误差值{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}表达式分别为

{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}=\frac{\mathrm{1}}{n}\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{u=\mathrm{1}}^n}{\sigma }_u^{\mathrm{2}}}（9）

{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{1}}{n}\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{u,v=\mathrm{1}}^n}{\left({\sigma }_u-{\sigma }_v\right)}^{\mathrm{2}}}（10）

式中：n为信号分量中应力数，{\sigma }_u为信号分解后第u个时刻的应力值；{\sigma }_v为与{\sigma }_u同时刻下原始服役状态下应力值。

{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}体现了车辆启动、减速、过道岔等不同运行状态下的构架应力瞬时特征；{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}体现分解信号与原始信号的相似性，{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}越小，则分解信号在各时刻对应的应力大小越接近实测信号，较好地保留了原始信号的细节和结构，从而减少分解过程中信息损失。

通过ISSA-VMD算法得到各IMF分量，计算各信号分量损伤D_k及其损伤占比{\theta }_k为

{\theta }_k=\frac{D_k}{D}（11）

提取损伤占比较大的信号分量，获取其参数信息，选取合适的参数作为门槛值的确定标准。因通过VMD得到的每个IMF的中心频率不同，故选择中心频率作为门槛值评判参数，通过结合各IMF损伤占比，确定小门槛值信号对应的中心频率{\omega }_k为

{\omega }_k=\frac{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\omega |U_k(\omega ){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\omega }{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|U_k(\omega ){|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\omega }（12）

式中：U_k(\omega )为IMF分量的傅里叶变换；\omega为角频率。

3 试验结果与分析

3.1　信号采集与预处理

根据构架结构特点和受载特性，建立其有限元模型。依据TB/T 3549.1—2019标准进行超载工况和模拟运营工况的应力仿真分析，获得不同工况下各载荷组合的应力云图，其中超常工况和运营工况对应的某一载荷组合的应力云图如图3所示。由图3可知：空气弹簧安装座处所受应力较大，且该位置处应力幅大于其余部位，确定为构架的疲劳薄弱位置。

采用IMC数字式动态信号采集系统采集应力-时间信号，设置采样频率为1 000 Hz。通过未调平衡处理、异常尖峰信号去除和零漂处理等操作，获得反映构架实际应力状态的应力-时间历程信号，如图4所示。由图4可知：采集信号具有一定周期性，应力呈对称分布；最大拉应力为34.01 MPa，最大压应力为31.88 MPa，测试信号约85%的应力小于10 MPa。

采用雨流计数法编制128级应力谱^［15］，如图5所示。由图5可知：因地铁频繁牵引启动，应力谱呈现幅值低且次数多的特点，应力幅值为0～3 MPa的应力循环次数总和达到9.9×10⁶ 次，占循环总次数的93.9%，但所造成的损伤占比约9%；5～20 MPa的循环次数占总次数的6%，而损伤占比约为85.8%；高幅值应力在各循环次数区间出现次数均小于10 次。故需要合适的确定小应力门槛值方法，以便在反映疲劳特性的前提下提升编谱效率。

3.2　参数确定

基于ISSA-VMD方法分解应力信号，综合考虑信号复杂性以及算法的计算效率和计算精度，设置K和\alpha区间分别为［2 000，10 000］和［4，12］，迭代次数为20 次，种群规模为30 个。

截取与原始信号趋势相同的部分信号作为待分解信号，基于Matlab软件编程执行ISSA，取信号排列熵与互信息的比值为适应度函数^［16-17］，在最小值处获得全局最优解，结果见表1，并在同等条件下将SSA、融合OOA的SSA和融合柯西变异的SSA的结果进行对照，得到如图6所示的迭代曲线。

由表1和图6可知：基于Tent混沌映射融合鱼鹰和柯西变异的麻雀搜索算法得到的最优参数组合K和\alpha的值分别为10和4 859，对应的适应度值为0.655 50，小于SSA的3.0%，说明其收敛精度较高；相较于传统麻雀算法使用随机数作为初始点位置，Tent混沌映射能使初始值相较于其它算法更接近最优解约2.3%，提升了30%的运算速率；在迭代初期，基于OOA的适应度值对应的初始迭代次数比SSA方法少2次，表明探索者以更快的速度发现更优解；与SSA相比，ISSA可以在迭代中期避免局部最优以寻找其它更优的值；采用柯西变异对迭代后期探索者摆脱稳定具有良好作用，适应度值在最优值附近小幅波动后终止迭代，保证迭代过程收敛性，使结果具有较好的鲁棒性。

3.3　信号分解

将改进麻雀搜索算法得到的K和\alpha代入VMD进行信号分解，得到如图7所示的信号分量的频谱图。由图7可知：信号分解效果较好，各分量之间不存在模态混叠。

各信号分量参数见表2。由表2可知：低频信号幅值较大，损伤占比达到84.14%，与原始信号特征最为接近；除分量1外，其余各信号损伤占比较小；损伤占比最大的信号中心频率接近0 Hz，其余分量中心频率依次增大，且未出现模态混叠；与其余信号相比，分量1的{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}}较大，说明该分量所占能量较大，疲劳损伤占比偏大，但其{\sigma }_{\mathrm{R}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}}远小于其它信号分量，表明其对原始信号有较好的拟合性。因分量2—10评判参数较接近，故选择分量2的中心频率作为滤波下限，确定滤波频率为26.55 Hz。

3.4　小门槛值确定

以26.55 Hz对原始信号进行滤波处理，得到如图8所示的雨流矩阵。由图8可知：对原始信号以小应力门槛值频率进行低通滤波，经雨流计数统计得到原始应力循环总循环次数为10 535 234次，低于门槛值的应力循环次数为1 773 641次，去除门槛值后应力循环减少了17.1%。

依据确定的小应力门槛值，编制应力谱，分级数选择16级，编制应力谱见表3。由表3可知：通过信号滤波合理舍弃了小幅值应力，计算疲劳损伤，得到其损伤值占原损伤的91.3%，说明采用滤波方式去除小应力可以在保证疲劳损伤前提下大幅减少循环数。

3.5　验证对比

以应力幅值的5%和材料疲劳极限的50%作为门槛值编制应力谱进行疲劳损伤计算，与本文方法进行比较，分析结果见表4。

由表4可知：采用所提方法获得的门槛值差值较5%幅值作门槛值的结果小7.8%，较50%疲劳极限作门槛值的结果小31.0%，说明采用该方法得到的损伤值与原损伤值更为接近，通过滤波确定小应力值的结果更为精确，与原始谱造成的疲劳损伤最接近，该方法效果更好，更易运用于实际工程。

4 结论

（1）采用变分模态分解法分解信号，有效提取具有关键信息的信号分量，较好体现了地铁运营工况下的构架受载特征。

（2）融合混沌映射、鱼鹰算法和柯西变异的麻雀搜索算法，极大提高初始解的准确性，减少了1/3的迭代次数，使优化参数有效摆脱陷入局部最优解，并且最优适应度值较传统麻雀搜索算法精确提高3%。

（3）相较于传统时域方法，从频域提取损伤占比较大的信号频率作为截止频率，以此确定小应力门槛值，在确保构架损伤差值较小的情况下实现了雨流矩阵循环次数的显著减少，以此提高编谱效率和工程适用性。

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基金资助

甘肃省教育厅高校教师创新基金资助项目(2023A-043)

甘肃省自然科学基金资助项目(23JRRA909)

兰州交通大学青年科学基金资助项目(2022048)