三维周期有砟轨道结构弹性波传播特性及波叠加法试验验证

Elastic Wave Propagation Characteristics of 3D Periodic Ballasted Track Structure and Experimental Verification Using Wave Superposition Method

摘要

为探究高速铁路有砟轨道结构中的弹性波波动行为，基于周期结构理论，采用广义平面波展开法，建立包含道砟在内的三维周期有砟轨道结构模型。然后，进行波叠加法的推导，从试验的角度反演弹性波的传播规律，验证三维轨道模型的正确性。在此基础上，计算并分析结构的能带分布以及道砟结构参数对轨道结构弹性波传播的影响。结果表明：广义平面波解析法与波叠加试验方法得到的能带分布结果基本吻合，所采用的方法正确可靠；三维有砟轨道低频阶段存在0~62，63~138，160~169和181~224 Hz共4个局域共振带隙；道砟对轨道结构频散特性的影响主要集中在低频阶段，提高道砟剪切刚度会增强结构在带隙频段内的衰减能力，剪切刚度从50 kN · mm^－1增至90 kN · mm^－1，频带隙的总宽度则从180 Hz减至170 Hz，带隙宽度减小率不断提高；道砟参振质量主要影响2阶、4阶带隙的宽度，单个道砟参振质量考虑为500 kg时低频带隙宽度最大，对振动的衰减量也最大，而当它从500 kg增至800 kg时低频带隙总宽度则减小8.9 Hz。

Abstract

To investigate the elastic wave behavior in high-speed railway ballasted track structures, this paper uses the theory of periodic structures and the generalized plane wave expansion method to establish a 3D periodic ballasted track structure model that incorporates ballast. Subsequently, the wave superposition method is derived to inversely analyze the propagation of elastic waves from an experimental perspective, thereby verifying the accuracy of the 3D periodic track structure model. On this basis, this research calculates and analyzes the energy band distribution of the structure and assesses the influence of ballast structural parameters on the propagation of elastic waves within the track structure. The results show that the generalized plane wave analysis method proposed in this paper closely aligns with the band distribution results obtained by the wave superposition experimental method. There are four local resonance bandgaps identified: 0-62 Hz, 63-138 Hz, 160-169 Hz and 181-224 Hz, in the low-frequency range of the 3D periodic ballasted track. The influence of ballast on the dispersion characteristics of the track structure is mainly observed in the low-frequency range. The shear stiffness of the ballast will enhance the attenuation ability of the structure in the bandgap frequency band; the shear stiffness will increase from 50 kN · mm^－1 to 90 kN · mm^－1; the total width of the frequency gap will decrease from 180 Hz to 170 Hz; and the reduction rate of the bandgap width will continue to increase. The participatory mass of ballast significantly affects the width of the second- and fourth-order bandgaps. The total width of the low-frequency bandgap decreases by 8.9 Hz when the participatory mass of a single ballast is considered to be 500 kg, and the maximum attenuation of vibration is obtained; when the mass is increased from 500 kg to 800 kg, the total width of the low-frequency bandgap decreases by 8.9 Hz.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 有砟轨道结构 / 弹性波 / 带隙 / 广义平面波展开法 / 波叠加法

Key words

High-speed railway / Ballasted track structure / Elastic wave / Band gap / Generalized plane wave expansion method / Wave superposition method

随着“四纵四横，八纵八横”发展规划的推进，截至2022年12月31日我国高速铁路营业里程增达至4.2万km，稳居世界第1^［1］。高速铁路的发展有效促进了各区域间经济、社会联系，但与此同时产生的轮轨系统振动噪声对轨道系统正常工作、列车安全平稳运行以及沿线居民生活质量均产生不利影响^［2-4］。为此，国内外学者对轨道结构中弹性波的传播特性开展了广泛研究。

随着周期结构理论的发展，国内外学者采用理论推导、数值模拟等多种方法对周期轨道结构模型建立及其弹性波传播特性开展研究。Mead等^［5］将轨道结构简化为离散支撑的无限长周期Timoshenko梁，提出了传递矩阵法、空间谐波法等计算梁、板结构带隙特性的方法。Heckl等^［6］轨枕考虑为具有独立参振质量的质量块模型，采用弹簧模拟道床，研究了周期性支承Timoshenko梁中波的多项耦合传播特性。Abe等^［7］将铁路轨道简化为离散支撑Timoshenko梁，考虑轨枕在轨道结构振动中产生的影响将其简化为有限长梁模型，结合Floquet变换得到轨道结构弹性波频散曲线。易强等^［8］采用功率流方法分析弯曲波能量在周期性轨道结构中的传播特性。Wang等^［9］采用传递矩阵法计算分析了单层点支撑、双层点支撑轨道模型中的带隙特性，研究了扣件刚度的影响。张鑫浩等^［10］基于无限周期结构弹性波理论，计算分析了周期性浮置板轨道结构带隙特性和波动机制。徐涆文等^［11］基于周期结构原理建立无反射边界的有限元轨道模型，研究弹性短轨枕轨道声振特性。上述研究有效推动了铁路轨道弹性波研究领域的发展，但仍存在不足。现有的周期轨道模型多数为一维、二维模型，受计算效率和准确性的限制鲜有考虑到三维层面，弱化了多向耦合效应对轨道结构振动特性的影响。

高速铁路线路中包含大量有砟轨道线路，碎石道床为有砟轨道重要组成部分，道床的弹性减弱会导致行车品质下降，同时道床板结等病害会加剧轨道结构振动。Zhai等^［12］假设轨枕向道砟的载荷传递近似符合锥分布，建立5参数道床模型，该模型将道床考虑为质量块，相邻道床支承单元之间通过引入道床剪切刚度。高亮等^［13］对散体道床剪切性能进行试验研究，结果表明在轨道振动分析中有必要考虑道砟间的剪切效应。现有的周期轨道结构模型并未将道砟考虑为具有独立参振质量的结构，这在一定程度上弱化了道床结构对轨道振动传递特性的影响。

在周期轨道结构模型验证方面，梁玉雄等^［14］等通过分析试验得到的振动传递系数得到轨道结构中波的传播特性，并与理论计算得到的带隙进行对比。冯青松等^［15］基于能量泛函变分原理进行无砟轨道垂向振动带隙分析，并建立单个周期无砟轨道有限元模型进行验证。常用的验证方法以振动传递测试和有限元仿真为主，这些方法无法通过试验直接得到轨道系统频散曲线。

本文基于广义平面波展开法，利用轨道结构在空间上的周期性，建立包含道砟结构在内的三维周期轨道结构模型；以波叠加法为理论基础，通过钢轨导纳求解轨道结构频散曲线的计算式，结合室内试验来验证模型的正确性。在此基础上，探究道砟结构参数的改变对频散特性及弹性波传播的影响。

1 三维周期有砟轨道结构模型

周期结构是指将元胞按照相同的方式连接，在空间上沿某一方向具有固定周期的结构。将高速铁路轨道表示为以轨枕间距L为周期的结构，可以探究无限周期轨道结构中弹性波的波动行为。

以有砟轨道为例，将轨道结构简化为由钢轨、扣件、轨枕和道床组成的无限周期结构。钢轨和轨枕采用Timoshenko梁模拟，综合考虑剪切变形、截面转动惯量以及三向耦合作用的影响，扣件采用弹簧进行模拟，道砟结构采用质量块模拟。

1.1　轨道元胞模型

图1为三维周期有砟轨道结构元胞模型，x方向为线路纵向，y方向为线路横向，z方向为线路垂向。图1中，钢轨和轨枕之间、轨枕和道砟之间、相邻道砟块之间以及基础对道砟的约束均采用弹簧模拟。

1.2　钢轨波动控制方程

由于钢轨的剪切中心和质心不重合，以钢轨的剪切中心为原点，采用考虑竖向、横向、纵向和弯扭耦合变形的Timoshenko梁来模拟钢轨。以左轨为例，其波动控制方程可表示为式（1）—式（6）。钢轨波动控制方程参数定义见表1。

\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{g}}{A}_{\mathrm{r}}G\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{y\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}-\frac{\partial {\theta }_{z\mathrm{L}}}{\partial x}\right)-\rho A_{\mathrm{r}}(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{y\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-z_{\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{x\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}})-\\ k_y(u_{y\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}y})\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（1）

\begin{array}{l}E{I}_z\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{z\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{g}}{A}_{\mathrm{r}}G\left(\frac{\partial u_{y\mathrm{L}}}{\partial x}-{\theta }_{z\mathrm{L}}\right)-\rho I_z\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{z\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-\\ k_{\mathrm{r}z}({\theta }_{z\mathrm{L}}-{\theta }_{\mathrm{s}z})\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（2）

GJ\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{x\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}-I_{\mathrm{\alpha }}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{x\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-\rho A_{\mathrm{r}}{z}_{\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{y\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-k_{\mathrm{r}x}({\theta }_{x\mathrm{L}}-{\theta }_{\mathrm{s}x})\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}（3）

\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{g}}{A}_{\mathrm{r}}G\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{z\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}-\frac{\partial {\theta }_{y\mathrm{L}}}{\partial x}\right)-\rho A_{\mathrm{r}}\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{z\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-y_{\mathrm{0}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{x\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}\right)-\\ k_z(u_{z\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}z})\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（4）

\begin{array}{l}E{I}_y\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{y\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{g}}{A}_{\mathrm{r}}G\left(\frac{\partial u_{z\mathrm{L}}}{\partial x}-{\theta }_{y\mathrm{L}}\right)-\rho I_y\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{y\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-\\ k_{\mathrm{r}y}{\theta }_{y\mathrm{L}}\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（5）

E{A}_{\mathrm{r}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{x\mathrm{L}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}-\rho A_{\mathrm{r}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{x\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}-k_x(u_{x\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}x})\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)=\mathrm{0}（6）

式中：\mathrm{\delta }为狄拉克函数；t为时间；若无特殊说明，本文参数下标中出现的L和R均用来区分左轨侧和右轨侧。

1.3　轨枕波动控制方程

轨枕的材料及截面特性使其弯扭耦合产生的影响极小，因此不考虑轨枕梁的扭转。计算过程中分别考虑左右2根钢轨和轨枕在扣件作用下的耦合关系，可得轨枕梁波动控制方程为式（7）—式（11），其参数定义见表2。

\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}{G}_{\mathrm{s}}\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}x}}{\partial y^{\mathrm{2}}}-\frac{\partial {\theta }_{\mathrm{s}z}}{\partial y}\right)-{\rho }_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}x}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\\ k_x\left(u_{x\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}x}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)+\\ k_x\left(u_{x\mathrm{R}}-u_{\mathrm{s}x}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}x}{u}_{\mathrm{s}x}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}x}{u}_{\mathrm{s}x}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（7）

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{s}}{I_{\mathrm{s}}}_z\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{s}z}}{\partial y^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}{G}_{\mathrm{s}}\left(\frac{\partial u_{\mathrm{s}x}}{\partial y}-{\theta }_{\mathrm{s}z}\right)-{\rho }_{\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{s}z}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{s}z}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\\ k_{\mathrm{r}z}\left({\theta }_{z\mathrm{L}}-{\theta }_{\mathrm{s}z}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)+\\ k_{\mathrm{r}z}\left({\theta }_{z\mathrm{R}}-{\theta }_{\mathrm{s}z}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}\mathrm{r}z}{\theta }_{\mathrm{s}z}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}\mathrm{r}z}{\theta }_{\mathrm{s}z}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（8）

\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}{G}_{\mathrm{s}}\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}z}}{\partial y^{\mathrm{2}}}-\frac{\partial {\theta }_{\mathrm{s}x}}{\partial y}\right)-{\rho }_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}z}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\\ k_z\left(u_{z\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}z}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)+\\ k_z\left(u_{z\mathrm{R}}-u_{\mathrm{s}z}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}z}(u_{\mathrm{s}z}-u_{\mathrm{b}z\mathrm{L}})\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}z}(u_{\mathrm{s}z}-u_{\mathrm{b}z\mathrm{R}})\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（9）

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{s}}{I_{\mathrm{s}}}_x\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{s}x}}{\partial y^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}{G}_{\mathrm{s}}(\frac{\partial u_{\mathrm{s}z}}{\partial y}-{\theta }_{\mathrm{s}x})-{\rho }_{\mathrm{s}}{I}_{\mathrm{s}x}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{s}x}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+\\ k_{\mathrm{r}x}\left({\theta }_{x\mathrm{L}}-{\theta }_{\mathrm{s}x}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)+\\ k_{\mathrm{r}x}\left({\theta }_{x\mathrm{R}}-{\theta }_{\mathrm{s}x}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}\mathrm{r}x}{\theta }_{\mathrm{s}x}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)-\\ k_{\mathrm{s}\mathrm{r}x}{\theta }_{\mathrm{s}x}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)=\mathrm{0}\end{array}（10）

E_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}y}}{\partial y^{\mathrm{2}}}-{\rho }_{\mathrm{s}}{A}_{\mathrm{s}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{s}y}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+k_y\left(u_{y\mathrm{L}}-u_{\mathrm{s}y}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)+k_y\left(u_{y\mathrm{R}}-u_{\mathrm{s}y}\right)\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)-k_{\mathrm{s}y}{u}_{\mathrm{s}y}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}}\right)-k_{\mathrm{s}y}{u}_{\mathrm{s}y}\mathrm{\delta }\left(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)\mathrm{\delta }\left(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{R}}\right)=\mathrm{0}（11）

1.4　道床垂向振动方程

为分析道床对轨道结构振动特性的影响，将道床视为质量块，仅考虑其垂向振动。假设直线轨道段左右轨同等受力，左右2个道床块之间不发生相对位移，仅考虑前后相邻道床块之间的剪切作用影响，可得道床块的垂向振动方程为

m_{\mathrm{b}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{b}z\mathrm{L}}}{\partial t^{\mathrm{2}}}+k_{\mathrm{s}z}(u_{\mathrm{s}z}-u_{\mathrm{b}z\mathrm{L}})\mathrm{\delta }(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}})\mathrm{\delta }(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}})-u_{\mathrm{b}z\mathrm{L}}(k_{\mathrm{b}z}+\mathrm{2}{k}_{\mathrm{w}})\mathrm{\delta }(x-x_{\mathrm{k}\mathrm{L}})\mathrm{\delta }(y-y_{\mathrm{k}\mathrm{L}})=\mathrm{0}（12）

式中：m_{\mathrm{b}}为道砟块质量；k_{\mathrm{b}z}为基础刚度；k_{\mathrm{w}}为相邻道床块之间的剪切刚度。

1.5　轨道结构频散曲线求解

利用Floquet变换通过构造辅助函数进行傅里叶级数展开，钢轨、道砟在频率波数域内的响应由有限数量弹性波叠加得到，以左侧钢轨的位移、转角为例，可以写为式（13）和式（14）所示形式。

u_{y\mathrm{L}}(x,y_{\mathrm{k}\mathrm{L}},\kappa ,\omega )={\displaystyle \sum _{m=-\frac{M-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{\frac{M-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{A}_{q\mathrm{L}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }m}{L}-\kappa )x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}（13）

{\theta }_{y\mathrm{L}}(x,y_{\mathrm{k}\mathrm{L}},\kappa ,\omega )={\displaystyle \sum _{m=-\frac{M-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}^{\frac{M-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{B}_{q\mathrm{L}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }m}{L}-\kappa )x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}（14）

其中，

q=m+\frac{M+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}

式中：u_{y\mathrm{L}}为左轨横向位移，纵向、垂向位移表达形式与式（13）一致；{\theta }_{y\mathrm{L}}为左轨横向弯曲角，纵向、垂向弯曲角表达形式与式（14）一致；\kappa为波矢；\omega为圆频率；M为计算考虑的钢轨模态数量，即钢轨响应可以由M个平面波叠加而成，M为大于1的正奇数；A_{q\mathrm{L}}，B_{q\mathrm{L}}分别为左轨横向位移和横向弯曲角对应的模态坐标；i为虚数单位。

轨枕梁两端自由，采用自由梁的模态叠加进行描述，其边界条件自动满足。由于Bloch定理给出的周期结构位移响应解能够自动满足元胞边界处的周期性边界条件，因此轨枕频域内响应可以采用自由模态叠加表示。由于轨道结构的周期性，每根轨枕单元形函数相同，模态坐标与元胞所在编号相关。以轨枕横向位移、垂向弯曲角为例，经Floquet变换可得轨枕频域内响应解如式（15）和式（16）所示。

u_{\mathrm{s}y}(\overline{x}+n_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}L,y,\kappa ,\omega )={\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^N}{v}_{py}(y)a_p(\kappa ,\omega )（15）

{\theta }_{\mathrm{s}z}(\overline{x}+n_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}L,y,\kappa ,\omega )={\displaystyle \sum _{p=\mathrm{1}}^N}{\varphi }_{pz}(y)b_p(\kappa ,\omega )（16）

式中：u_{\mathrm{s}y}为轨枕横向位移，轨枕纵向、垂向位移表达形式与式（15）一致；{\theta }_{\mathrm{s}z}为轨枕垂向弯曲角，轨枕横向弯曲角表达形式与式（16）一致；\overline{x}为基础单元内扣件位置；n_cell为所求位置与基础单元相距元胞个数；v_{py}，{\varphi }_{pz}为分别为u_{\mathrm{s}y}，{\theta }_{\mathrm{s}z}对应的自由梁位移、转角正交模态函数；N为考虑的轨枕模态数量，为正整数，当N较小时为刚体模态；a_p(\kappa ,\omega )，b_p(\kappa ,\omega )分别为轨枕横向位移和垂向弯曲角对应的波数域内模态坐标。

对于自由边界条件下的Timoshenko轨枕梁，以横向位移、垂向弯曲角为例，其各阶模态函数如下^［16］。

v_{py}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1}p=\mathrm{1}\\ \sqrt[]{\mathrm{3}}(\mathrm{1}-\mathrm{2}y/L_{\mathrm{s}})p=\mathrm{2}\\ {\overline{c}}_{\mathrm{1}py}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(k_{\mathrm{1}py}y\right)+{\overline{s}}_{\mathrm{1}py}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(k_{\mathrm{1}py}y\right)+\\ {\overline{c}}_{\mathrm{2}py}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(k_{\mathrm{2}py}y\right)+{\overline{s}}_{\mathrm{2}py}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(k_{\mathrm{2}py}y\right)p>\mathrm{2}\end{array}\right.（17）

{\varphi }_{pz}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}p=\mathrm{1}\\ \mathrm{0}p=\mathrm{2}\\ {\overline{c}}_{\mathrm{1}pz}{g}_{\mathrm{1}pz}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(k_{\mathrm{1}pz}y\right)+\\ {\overline{s}}_{\mathrm{1}pz}{g}_{\mathrm{1}pz}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(k_{\mathrm{1}pz}y\right)-{\overline{c}}_{\mathrm{2}pz}{g}_{\mathrm{2}pz}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(k_{\mathrm{2}pz}y\right)+\\ {\overline{s}}_{\mathrm{2}pz}{g}_{\mathrm{2}pz}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(k_{\mathrm{2}pz}y\right)p>\mathrm{2}\end{array}\right.（18）

式中：L_s为轨枕长度；k_{\mathrm{1}py}，k_{\mathrm{2}py}，k_{\mathrm{1}pz}，k_{\mathrm{2}pz}，g_{\mathrm{1}pz}，g_{\mathrm{2}pz}是与各阶自振频率相关的系数；{\overline{c}}_{\mathrm{1}py}，{\overline{c}}_{\mathrm{2}py}，{\overline{s}}_{\mathrm{1}py}，{\overline{s}}_{\mathrm{2}py}，{\overline{c}}_{\mathrm{1}pz}，{\overline{c}}_{\mathrm{2}pz}，{\overline{s}}_{\mathrm{1}pz}，{\overline{s}}_{\mathrm{2}pz}是第p阶模态系数。

计算时，将轨枕梁自由振动的边界条件代入模态函数可求得自由边界条件下Timoshenko梁的固有频率及相应的原始模态系数，将原始模态系数单位化后可得到模态系数，进而可以得到轨枕频域内的响应解表达式。

将轨道结构响应解式（15）—式（18）代入到控制方程式（1）—式（12）中，得到轨道结构波动控制方程展开式。在此基础上，根据钢轨模态特征、自由梁函数正交性以及狄拉克函数的性质对钢轨、轨枕、道砟的控制方程依次进行化简，并对方程沿y方向在轨枕长度[\mathrm{0},L_{\mathrm{s}}]内积分，沿x方向在元胞长度[\mathrm{0},L]内积分，可组建弹性波传播特征方程如下。

\mathit{D}\mathit{U}=\mathrm{0}（19）

式中： D 为12M+5N+2的方阵； U 为波数域内模态坐标向量。

U 可写为

\begin{array}{l}\mathit{U}=({\mathit{A}}_{\mathrm{L}}{\mathit{B}}_{\mathrm{L}}{\mathit{C}}_{\mathrm{L}}{\mathit{D}}_{\mathrm{L}}{\mathit{E}}_{\mathrm{L}}{\mathit{F}}_{\mathrm{L}}{\mathit{H}}_{\mathrm{L}}\mathit{a}\mathit{b}\mathit{c}\mathit{d}\mathit{e}{\mathit{H}}_{\mathrm{R}}{\mathit{A}}_{\mathrm{R}}\\ {\mathit{B}}_{\mathrm{R}}{\mathit{C}}_{\mathrm{R}}{\mathit{D}}_{\mathrm{R}}{\mathit{E}}_{\mathrm{R}}{\mathit{F}}_{\mathrm{R}}{)}^{\mathrm{T}}\end{array}（20）

式中： A， B， C， D， E， F 和 H 分别表示钢轨横向位移、横向弯曲角、扭转角、钢轨垂向位移、钢轨垂向弯曲角、钢轨纵向位移和道砟垂向位移对应的模态坐标向量，以{\mathit{A}}_{\mathrm{L}}为例，{\mathit{A}}_{\mathrm{L}}=(A_{\mathrm{1}\mathrm{L}}{A}_{\mathrm{2}\mathrm{L}}A_{\mathrm{3}\mathrm{L}}\dots A_{M\mathrm{L}}{)}^{\mathrm{T}}； a， b， c， d 和 e 分别表示轨枕横向位移、轨枕垂向弯曲角、轨枕垂向位移、轨枕横向弯曲角、轨枕纵向位移对应的模态坐标向量，以\mathit{a}为例，\mathit{a}=(a_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{3}}\dots a_N{)}^{\mathrm{T}}。

通过求解特征方程式（19），即可得到三维轨道周期结构频散特征。

2 试验验证

2.1　波叠加法

采用现场试验的方式验证本文三维周期轨道模型的可靠性。采用振动传递系数法或有限元仿真得到的带隙范围普遍大于理论结果，并且三维结构中弹性波之间相互耦合，各种弹性波难以区分。考虑到验证方式的缺陷，采用基于波叠加思想的试验方法，该方法只需要使用简单的测量设备（如力锤等）通过现场试验，便可直接确定结构的能带分布，直观的反应轨道结构中弹性波传播的特征。

波叠加法首先将结构考虑为一维无限重复结构，假设其振动响应是1组向前移动的波和1组向后移动的波线性叠加的结果，将各节点处的响应写作W，节点n处的响应W_n可以写为式（21）。

W_n=W_{\mathrm{F}\mathrm{A},n}+W_{\mathrm{F}\mathrm{B},n}+W_{\mathrm{G}\mathrm{A},n}+W_{\mathrm{G}\mathrm{B},n}（21）

式中：n为节点编号；下标F和G分别表示正向波和反向波，A和B代表弹性波的种类^［17］；W_{\mathrm{F}\mathrm{A},n}是无限结构中正向传播的A类波在节点n处对应的响应；W_{\mathrm{F}\mathrm{B},n}是无限结构中正向传播的B类波在节点n处对应的响应；W_{\mathrm{G}\mathrm{A},n}是无限结构中反向传播的A类波在节点n处对应的响应；W_{\mathrm{G}\mathrm{B},n}是无限结构中反向传播的B类波在节点n处对应的响应，即梁的响应是4组波（A类正向波、A类反向波、B类正向波、B类反向波）对应响应的叠加。

结合Bloch定理W_{n+\mathrm{1}}=e^{-\mathrm{i}\kappa L_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}}{W}_n，其中L_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}为元胞长度，可以得到式（22）—式（25）。

W_{\mathrm{F}\mathrm{A},n+\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{F}\mathrm{A},n}（22）

W_{\mathrm{F}\mathrm{B},n+\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{F}\mathrm{B},n}（23）

W_{\mathrm{G}\mathrm{A},n}={\lambda }_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{G}\mathrm{A},n+\mathrm{1}}（24）

W_{\mathrm{G}\mathrm{B},n}={\lambda }_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{G}\mathrm{B},n+\mathrm{1}}（25）

其中，

{\lambda }_{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\kappa }_{\mathrm{1}}{L}_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}}

{\lambda }_{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\kappa }_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}}

式中：{\kappa }_{\mathrm{1}}，{\kappa }_{\mathrm{2}}分别为对应{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}波的波矢。

设求解需要的节点总数为V，则式（21）会产生4V个未知量，提供V个方程。式（22）—式（25）额外产生{\lambda }_{\mathrm{1}}，{\lambda }_{\mathrm{2}}共2个未知量，提供4V-4个方程。易知，当V=6时可以平衡未知数和方程的个数，此时共有26个未知数、26个方程，满足求解条件。对其进行联立求解，消除{\lambda }_{\mathrm{1}}可以得到如式（26）所示的四阶多项式，此处用\lambda代替前文中的{\lambda }_{\mathrm{2}}。

\begin{array}{l}(W_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{5}}+{W_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}-W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}-{W_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{2}}){\lambda }^{\mathrm{4}}+(W_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{5}}+\\ W_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{4}}-W_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{6}}-W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{3}}){\lambda }^{\mathrm{3}}+(W_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{6}}+\\ W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{6}}+W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}+{W_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-W_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{5}}-W_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{5}}-\\ W_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{3}}-{W_{\mathrm{5}}}^{\mathrm{2}}){\lambda }^{\mathrm{2}}+\left(W_{\mathrm{4}}{W}_{\mathrm{5}}+W_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{4}}-W_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{6}}-W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{3}}\right)\lambda +W_{\mathrm{3}}{W}_{\mathrm{5}}-{W_{\mathrm{4}}}^{\mathrm{2}}+\\ {W_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}-W_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{4}}=\mathrm{0}\end{array}（26）

式中：W_{\mathrm{1}}—W_{\mathrm{6}}为相邻6个元胞的节点响应，每个节点的响应数据可以由试验测试获得。

进一步求解可以得到波矢的解为

\kappa =\frac{\mathrm{i}}{L_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\lambda（27）

通过matlab软件计算求解上述方程，可以得到波矢及轨道结构的频散曲线图。本研究采用的波叠加法，不需要关于材料或结构的具体信息（如杨氏模量、阻尼比或除晶格常数外的几何形状）。波叠加法可以被认为是1种逆方法，可以利用试验得到的频响函数来确定能带结构^［18］。该方法的主要优点是可以只需要少量点的频率响应，通过简单的试验设备实现，并且可以用于具有任意边界条件的有限结构。

2.2　现场试验验证

图2为现场试验布置图。由于人力锤击无法保证双边激励的大小、方向、时间等完全一致，试验采取单边激励的形式。选取有砟轨道直线区间上某钢轨跨中位置为参考位点并记为原点，对轨枕间距进行测量，在原点右侧连续6个跨中的轨头中心处设置加速度传感器，共计6个测点。利用力锤对原点进行锤击，采用拥有高精度模数转换器的采集仪采集测量点位的振动响应W₁—W₆。采用1A115E型加速度传感器，灵敏度0.5 mV · g^－1，采样频率设置为5 120 Hz。每组测试进行3次锤击，并计算3次测试的平均值，以减小随机误差对试验结果造成的影响。对采集到的数据进行快速傅里叶变换得到各节点响应频域数据，代入基于波叠加法求解能带结构的式（26）和式（27）中，即可得到轨道系统的频散曲线图。

力锤激励结果的有效性以响应点的相关系数为标准，在分析频段内相关系数须在0.8以上^［19］。测点相关系数如图3所示。由图3可知：部分位置相关系数较低，说明这些频段范围内的力锤输入信号与传感器输出信号相关度低。分析原因为，试验采用力锤激励为钢锤头，有效分析下限频率较高，250 Hz以下低频阶段相关性较差；三维有砟轨道垂向弯曲波250 Hz以下存在较宽的带隙频段，弹性波在轨道结构中难以传播，三维轨道结构中由于轨枕和道砟的影响存在多种波模式的耦合转换，也会对低频段试验的准确性造成影响。此外，900 Hz附近相关性也存在轻微波动，可能是由于单边锤击激励使得轨道结构相应频段产生了反共振峰得到影响。测量中采用人力锤击，无法保证多次锤击效果相同，相关系数缺乏一致性，且随响应点距离激励点越远，振动传递过程中受到的干扰因素增多，相关性逐渐下降。

以垂向力激励试验为例，平面波展开法与波叠加法试验结果如图4所示。由图4可知：模拟结果与波叠加法试验结果整体上具有较好的一致性；受低频带隙、轨枕、道砟对弹性波传播的影响，同时考虑到力锤锤头设置对试验频段有效性的影响，低频段试验数据离散性较大。以上结果表明本文采用的广义平面波展开法正确可靠。

3 三维轨道周期结构频散特性

3.1　三维轨道周期结构频散曲线

求解特征方程式（19），得到的三维轨道周期结构频散曲线如图5所示。图5中，A点和B点为2个特征值对应点。在此基础上，根据求解得到轨道结构特征值对应的特征向量，依据式（13）—式（16）将所有计算模态下的结构响应叠加，进而得到轨道结构频响函数。将垂向弯曲波进行分离，得到与垂向弯曲波相关的轨道结构频散曲线。

由图5可知：在0~300 Hz频率范围内有砟轨道垂向弯曲波存在4个带隙，即图中的①—④粉色区域，分别为0~62，63~138，160~169和181~224 Hz；随着频率的升高，扭转波与弯曲波的耦合作用逐渐降低并发生分离，粉色区域⑤对应的垂向弯曲波带隙为Bragg带隙，存在于1 070~1 114 Hz频率范围内。

求得特征值对应点的模态振型，如图6所示。由图6可知：由于下部基础质量远大于钢轨本身，此时轨道结构振动以局域共振为主，钢轨与轨枕之间存在弹性波的耦合转换。

3.2　道砟结构参数对频散特性的影响

道床振动加剧将会导致道砟颗粒破碎，相互间摩擦力降低等，从而加速道床残余变形积累，引起道床沉陷与板结，产生边坡坍塌等严重后果，对轨道结构的整体工作能力影响甚大。肖源杰等^［20］研究表明轨枕下方道砟颗粒的运动以竖向为主。翟碗明等^［21］对道床振动进行研究，发现道床振动主要表现为中、低频振动。

图7为将道砟考虑为具有独立参振质量的结构（质量块）前后所得到的轨道结构频散曲线对比图。

由图7可知：有砟道床对轨道结构频散特性的影响主要集中在0~500 Hz的低频阶段，尤其是发生弯扭耦合的频段，在500 Hz之上几乎没有影响；考虑道砟结构后低频带隙数量增多且在100~400 Hz范围内，图7（a）中灰色部分频散曲线与考虑道砟为复合刚度时存在10~15 Hz的偏移。

本模型考虑了相邻道床质量块之间道砟颗粒摩擦碰撞而引起的振动衰减，使得到的结果更接近实际。因此可以通过调整道砟参数模拟道床板结等与道砟刚度、质量直接相关的特殊情况对轨道结构频散特性的影响。

图8为道砟剪切刚度对频散特性的影响。由图8可知：当道砟剪切刚度发生变化时，垂向弯曲波1阶、3阶带隙比较稳定无明显变化，低阶发生变化的带隙主要为2阶、4阶带隙；2阶带隙宽度随着剪切刚度的增加而增大，且增长速率逐渐变小，4阶带隙宽度随剪切刚度的增加而减小；总体上道砟剪切刚度从50 kN · mm^－1增长到90 kN · mm^－1时0~300 Hz的低频带隙总宽度从180 Hz减小到170 Hz左右且减小率随刚度的增大而增大，此时相邻道床块之间通过相互摩擦产生的衰减作用增强，在相应带隙频段的衰减能力增强。

图9为道砟参振质量对频散特性的影响。由图9可知：随着道砟质量的增大，钢轨垂向弯曲波1阶、3阶带隙宽度比较稳定；2阶带隙随着道床参振质量的增加而增大，参振质量由400 kg增加到600 kg时增长率由0.671 Hz · MN^－1下降到0.449 Hz · MN^－1，从600 kg增加到800 kg时增长率由0.433 Hz · MN^－1增加到0.523 Hz · MN^－1；4阶带隙宽度随道床参振质量的增大而减小，且增长率随着质量的增大由0.488 Hz · MN^－1增大到1.23 Hz · MN^－1；在道砟参振质量为500 kg左右时，总带隙宽度最大，随着质量的增大，低频带隙总宽度呈现减小的趋势且减小的幅度也在增加。在道床刚度参数没有变化的情况下，道床结构的振动衰减能力较为稳定，带隙宽度的减小会使得结构对振动总体上的衰减量减小，结构振动加剧。

4 结 论

（1）波叠加试验方法可以直观地反映轨道结构中弹性波传播的特征，在波叠加法试验中，由于低频段存在较宽的带隙，且采用钢锤头会使得有效分析频率的下限较高，导致250 Hz以下试验结果相关性较差。后续可通过改进激励方式和锤头类型进一步提高试验精度。在其余有效分析频段，理论计算结果与现场实验结果整体上吻合，可以验证所构建的三维轨道周期模型的正确性。

（2）由于下部基础质量远大于钢轨本身，三维有砟轨道低频阶段存在0~62，63~138，160~169和181~224 Hz共4个局域共振带隙；在1 070~1 114 Hz频段存在1个Bragg带隙。

（3）道砟对轨道结构频散特性的影响主要集中在0~500 Hz的低频频段，对高频部分基本没有影响。总体上道砟剪切刚度从50 kN · mm^－1增长到90 kN · mm^－1时，相邻道床块之间通过相互摩擦产生的衰减作用增强，低频带隙的总宽度从180 Hz减小到170 Hz，带隙宽度减小率从0.06 Hz · MN^－1增加到0.21 Hz · MN^－1；在道砟刚度参数不变，结构衰减能力稳定的情况下，道砟参振质量主要影响低频2阶、4阶带隙的宽度，道砟参振质量500 kg时低频带隙总宽度最大，为184.2 Hz，大于500 kg时提高道砟块的参振质量会使低频带隙总宽度总体上呈减小趋势，800 kg时低频带隙总宽度为175.3 Hz，对振动的总衰减量减小，结构振动加剧。

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基金资助

国家重点研发计划项目(2022YFB2603400)

国家自然科学基金资助项目(52208449)