软硬不均地层盾构隧道荷载模式研究

Study on Load Mode of Shield Tunnel in Soft-Hard Heterogeneous Ground

摘要

系统考虑隧道埋深、滑移面形式、侧压力系数与地层的关联，提出一种适用于软硬不均地层的盾构隧道荷载模式。对于浅埋隧道，基于椭球体理论推导极限状态下滑移面为椭圆的侧压力系数及竖向松动土压力表达式，并构建力学平衡方程推导侧压力计算式；对于深埋隧道，考虑软硬不均地层突变性并对太沙基理论滑移面宽度进行合理修正，推导对应的围岩压力计算式；再结合软硬不均地层分界线位于隧道水平中线上方、下方2类典型工况，推导出隧底反力表达式；最后结合工程实例对所提荷载模式进行验证。结果表明：与修正惯用法荷载体系相比，所提方法得到的软土-硬土隧道顶部、下半拱竖向土压力与实测值的误差分别缩小74%和172%；相较于软土-硬土隧道，该方法应用于土层-岩层隧道时，计算得到的下半拱竖向土压力、隧底侧向土压力与实测值的误差更小，即所提荷载计算模式更符合隧道实际受荷状态，且当隧道埋深与开挖直径之比较大以及下部地层越坚硬时，其适用性越强。

Abstract

A load mode suitable for shield tunnels in soft-hard heterogeneous ground was proposed, which systematically considered the relationship between tunnel depth, the form of slip surface, lateral pressure coefficient and the ground. For shallow tunnels, the lateral pressure coefficient and vertical loose earth pressure expression for the elliptical slip surface at ultimate limit state were deduced based on ellipsoid theory, and the mechanical equilibrium equation was constructed to derive the lateral pressure calculation formula. For deep tunnels, the width of slip surface in Terzaghi's theory was reasonably corrected considering the mutation of soft-hard heterogeneous ground, and the corresponding formulas of surrounding rock pressure were derived. Additionally, combined with two typical working conditions that the boundary of soft-hard heterogeneous ground is located above and below the horizontal middle line of the tunnel, the expression of the reaction force at the tunnel bottom was derived. Finally, the proposed load mode was verified by combining with engineering examples. The results show that compared with the load system of the modified routine method, the error between the vertical earth pressure at the top and lower half arch of soft soil-hard soil tunnels obtained by the proposed method and the measured value is reduced by 74 % and 172 %, respectively. However, compared with soft soil-hard soil tunnels, when this method is applied to soil-rock tunnels, the error between the calculated vertical earth pressure of the lower half arch and the lateral earth pressure at the tunnel bottom and the measured value is smaller. Namely, the proposed load calculation mode aligns better with actual tunnel loading conditions, particularly in scenarios with greater tunnel depth-to-diameter ratios and firmer lower ground, demonstrating its increased suitability.

Graphical abstract

关键词

盾构隧道 / 软硬不均地层 / 围岩压力 / 滑移面 / 荷载模式

Key words

Shield tunnel / Soft-hard heterogeneous ground / Surrounding rock pressure / Slip surface / Load mode

随着我国轨道交通建设步入发展新阶段，各地轨道交通线网不断延展、加密，地铁盾构隧道修建时遭遇软硬不均地层的现象屡见不鲜^［1］。此类地层对隧道建设的要求更加苛刻，而明确荷载模式是进行盾构隧道衬砌结构设计的先决条件。现有盾构隧道围岩压力的计算方法主要有全土柱法、太沙基公式和隧规法^［2］等，诸多学者探讨了其在不同地层或不同埋深盾构隧道中的适用性^［3-4］或进行合理修正^［5-6］，但研究内容多侧重于竖向荷载，且普遍基于均质地层隧道。既有理论计算式在软硬不均地层盾构隧道中的适用性还尚未明确。

国内隧道衬砌结构设计普遍采用修正惯用法荷载体系，但由于其将复合地层简化为均质地层处理，该体系应用于软硬不均地层时往往会产生较大误差^［7-8］。不少学者已针对软硬不均地层下的盾构隧道荷载模式进行了卓有成效的探索。周济民等^［9］通过实测发现，软土-硬岩盾构隧道中硬岩层的荷载明显低于软土层，荷载分布形态与修正惯用法得到的结果不同。王志伟等^［10］、YANG等^［11］分别通过正交试验、物理模型试验分析了上软下硬复合地层隧道松动区形式。晁峰等^［12］提出了不均匀地层盾构隧道拱顶荷载计算的修正方法。雷凯等^［13］提出了上软下硬复合地层荷载-结构模式，竖向土压力按太沙基公式计算，侧压力采用静止侧压力系数计算。黄戡等^［14］提出了一种复合地层修正梁-弹簧法荷载体系，其隧顶土压力的计算方法与文献［13］相同，侧向土压力按朗肯土压力公式计算。肖明清等^［15］提出了复合地层盾构隧道荷载计算模式，其隧顶土压力按全土柱法计算，侧向与隧底主动土压力基于滑移线场法求出。综上可知，修正惯用法荷载体系并不能完全适用于软硬不均地层，虽有少数学者提出了新的复合地层荷载计算模式，但在计算隧顶土压力时均采用传统的荷载计算方法，计算侧向土压力时则考量不一，可以说目前尚未形成统一的软硬不均地层盾构隧道荷载计算体系。

鉴于此，提出一种适用于软硬不均地层的盾构隧道荷载计算方法。对于浅埋隧道，基于椭球体理论推导极限平衡状态下，滑移面为椭圆时侧压力系数及竖向松动土压力的计算式；对于深埋隧道，对传统太沙基松动土压力公式进行改进。选取软土-硬土、土层-岩层2类软硬不均地层盾构隧道实例，验证方法的合理性与适用性。研究成果可为该类地层盾构隧道设计与施工提供参考。

1 传统修正惯用法荷载体系及不足

目前在管片横向设计方面，可按照对盾构隧道管片接头力学特性处理方式的不同，将常见的计算模型划分为均质圆环模型、多铰圆环模型、梁-弹簧模型和梁-接头计算模型4类。其中，均质圆环模型包括惯用法和修正惯用法模型。目前工程设计时广泛采用的修正惯用法荷载体系，如图1所示。图中P₀为地面超载。

在软硬不均地层中采用修正惯用法往往会出现较大误差，这主要是因为该方法在处理以下3个问题时难以较好地反映软硬不均地层下的工程实际。

1）围岩弹性抗力

修正惯用法假定地层抗力分布在与水平直径上下45°范围内，同时地层抗力系数固定不变。但工程实际中，围岩-衬砌可能是局部接触、点面接触，且不同围岩约束衬砌变形的能力有所差异，而修正惯用法将这些复杂情况予以理想化。

2）侧向围岩压力

修正惯用法将多层不同土层加权平均简化为均一地层处理，这虽能大大提高计算效率，但却并不适用于上下部地层参数差异很大的软硬不均地层，按此方法处理会出现较大误差^［7-8］。

3）隧底地基反力

修正惯用法假定隧底反力与地层位移相互独立，直接根据竖向力平衡计算。而实际隧底反力往往是由主动力和被动抗力组成。例如对于软土-硬土地层，隧道开挖产生的主动土压力往往迅速作用于隧底，同时隧道自重和地面超载引起的被动土压力会沿隧道径向作用于隧底，若仍按修正惯用法计算会高估隧底地基抗力响应；对于土层-岩层，隧底岩层坚硬，则可以提供一部分力抵抗竖向荷载。即修正惯用法对隧底反力的处理相对粗糙。

2 软硬不均地层盾构隧道荷载模式及计算

在总结前人研究的基础上结合上述分析，提出1种可系统考虑隧道埋深、滑移面形式、侧压力系数与地层关联的软硬不均地层盾构隧道荷载计算方法。具体推导时，以隧道横断面为上部软弱地层、下部坚硬地层的软硬不均地层类型为例。据地铁设计规范，规定砂性土地层采用水土分算；黏性土地层在施工阶段采用水土合算，使用阶段采用水土分算。

以地层符合水土分算情形为例，软硬不均地层盾构隧道荷载模式如图2所示。图中：P_w1和P_w2分别为隧顶和隧底土压力；P₁为竖向土压力；P₂为隧底主动土压力；q_e1和q_e3分别为地层1和地层2的顶部侧向土压力；q_e2和q_e4分别为地层1和地层2的底部侧向土压力；q_w1和q_w2分别为隧顶和隧底的侧向水压力；H为隧道埋深；H_w为地下水位至隧道拱顶的竖向距离。在图2的基础上，进一步通过滑裂面假设和极限平衡理论等方法推导软硬不均地层盾构隧道竖向土压力（文中考虑松动土压力）、侧向土压力的计算表达式，并结合两类软硬不均地层典型工况推导隧底反力表达式。

2.1　浅埋隧道竖向松动土压力推导

2.1.1　滑移面形式及滑动区宽度

对于深埋隧道，Terzaghi提出的竖直滑移面得到了普遍认可；而对于浅埋隧道，其滑移面形式备受讨论，有诸多学者认为是非垂直面，如斜线、曲线形滑移面^［16-17］。故尝试结合椭球体理论，假定滑移面为细长椭圆形，进一步推导浅埋隧道竖向松动土压力。

1）椭球体理论

Janelid提出的椭球体理论^［18］，核心内容是：颗粒在重力作用下以近似椭球体状流出，每个流出椭球体必有1个极限椭球体与之对应；流出椭球体和极限椭球体的偏心率相同。在平面坐标系OXZ下，以隧底（即椭球体下方顶点）为圆心，分别以X轴、Z轴为椭球体的短半轴和长半轴，得到椭球体理论示意图如图3所示。图中：a_{\mathrm{N}}和b_{\mathrm{N}}分别为流出椭球体的长半轴和短半轴；a_{\mathrm{G}}和b_{\mathrm{G}}分别为极限椭球体长半轴和短半轴；D为隧道直径；2B为滑动土柱宽度。

该理论定义\epsilon为流出椭球体偏心率、松动系数\beta为极限与流出椭球体的体积关系，两者在实际工程中的最常见取值分别为0.90~0.98和1.066~1.100^［18-19］，具体计算表达式为

\epsilon =\frac{\mathrm{1}}{a_N}{\left(a_{\mathrm{N}}^{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{N}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（1）

\beta =\frac{E_{\mathrm{N}}}{E_{\mathrm{G}}-E_{\mathrm{N}}}（2）

式中：E_{\mathrm{N}}为给定的任意流出椭球体体积；E_{\mathrm{G}}为对应的极限椭球体体积。

方焘等通过模型试验对椭球体理论进行修正并验证，发现不同地层损失下，隧道上方土体的破坏模式整体上相同，近似一个立椭圆的形状^［20］。软硬不均地层下，各地层在颗粒粒径、摩擦角等土体性质上存在不同，其椭球体形状与均质地层有所差异。为方便描述，按照上软下硬地层进行推导，即地层1和地层2分别为软弱地层和坚硬地层，上硬下软地层推导思路类似。首先定义地层不均匀比δ，指隧道断面范围内，上部相对软弱地层所占面积与整个隧道面积之比，并假设软硬不均地层的流出椭球体偏心率\epsilon \mathrm{\text{'}}具有如下关系

\epsilon \mathrm{\text{'}}={\epsilon }_{\mathrm{1}}-\frac{{\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\epsilon }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\delta }（3）

其中，

\delta =\frac{\alpha -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha }{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}

式中：\alpha为隧道截面上部软土层弧段对应的圆心角；{\epsilon }_{\mathrm{1}}，{\epsilon }_{\mathrm{2}}分别为隧道开挖断面全部为地层1、地层2对应的流出椭球体偏心率，且{\epsilon }_{\mathrm{1}}>{\epsilon }_{\mathrm{2}}，这是因为坚硬土层的颗粒棱角较多、内摩擦角相对更大，土层流动性较差，因此对应的松动椭圆偏粗胖，其偏心率也比软弱土层更小。

武军等将椭球体理论应用于圆形隧道松动土压力的计算^［21］，假设虚拟流出椭圆的面积和隧道开挖断面面积相等，得出表达式为

a_{\mathrm{G}}=\frac{D}{\mathrm{2}}{\left(\frac{\beta }{\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}-{\epsilon }^{\mathrm{2}}\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}（4）

b_{\mathrm{G}}=\frac{D}{\mathrm{2}}{\left(\frac{\beta }{\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}-{\epsilon }^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}（5）

当支护压力逐渐减小达到某临界值时，土体松动区逐渐扩大形成极限椭圆，即定义该界限支护力为极限松动土压力。

2）分界埋深

为简化计算，文献［21］在推导时始终按垂直面滑动土柱作出假设，且侧压力系数未考虑滑移面倾角的变化，这导致计算出的滑动区宽度偏大。鉴于此，本文推导时进行合理改进。定义隧底深度达到极限椭圆长轴大小时对应的隧道埋深为分界埋深H_L，则结合图3由相似关系可得

\frac{H_{\mathrm{L}}}{D}=\frac{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{G}}-D}{D}={\left(\frac{\beta }{\beta -\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}-\epsilon {\mathrm{\text{'}}}^{{}^{\mathrm{2}}}\right)}^{-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}-\mathrm{1}（6）

为证明其在实际工程中的适用性，将椭球体理论下的分界埋深与隧规法及太沙基理论中的深浅埋分界线对比，并以粉质黏土-砂土复合地层盾构隧道为例进行验证。设置参数取值：隧道直径为6 m，δ为0.5，\beta为1.08~1.09，\epsilon为0.92~0.94；围岩级别为Ⅵ级，土体似摩擦角为35°。

经计算，隧规法中分界埋深H_p=2.5h_q=39.5 m（h_q为自然拱高度）；太沙基理论分界埋深H_T=30.6 m；而H_L=30~35 m，即。这说明对于上述软硬不均地层，分界埋深H_L得到的结果介于太沙基理论和隧规法之间，具有一定的可行性和适用性。因此，当埋深未超过分界埋深H_L时，可采用椭圆形滑移面；而当埋深超过分界埋深H_L后，土体松动区为整个极限椭圆，埋深继续增加，但松动土压力不再改变，这与隧规法中对深埋隧道围岩压力的计算理念较为契合，因而针对深埋隧道可采用竖直滑移面。

3）滑移面形式及倾角

假定的细长椭圆形滑移面形状如图4所示。图中：A点为隧道底部；C点和J点分别为地表与极限椭圆左、右交点；M点为极限椭圆与过隧道顶点水平线的左侧交点；E点为极限椭圆与隧道地层分界线的左侧交点；l为滑移面轨迹线；θ为滑移面倾角。

由图4可知，θ随深度的改变而变化，且与极限椭圆大小、地层性质息息相关。为此，参考隧规法^［2］及文献［22］简化思路，采用岩土体等效滑移面倾角{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}代替θ，其计算式为式（7）。当埋深为H_L时，{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}={\mathrm{90}}^{\circ }。

{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\int }_A^C\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}l}{{\int }_A^C\mathrm{d}l}（7）

4）滑动区宽度

由图4可知滑动区宽度会随深度变化而改变，考虑滑移面为细长椭圆，则滑动土体宽度近似值可计算为

\mathrm{2}B=\mathrm{2}\sqrt[]{\mathrm{2}D{a}_{\mathrm{G}}-D^{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}-\epsilon {\mathrm{\text{'}}}^{{}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（8）

2.1.2　松动土压力修正计算模型及推导

模型推导时基于如下基本假设：①滑移面为细长椭圆形；②滑移面上土体处于极限平衡状态，服从Mohr-Coulomb破坏准则；③滑动土柱竖向应力为抛物线拱形分布。

文献［21—22］虽然用椭球体理论来表征隧道上方的土体破坏范围，但其对于隧道上方竖向应力分布的假设不符合实际^［20-23］；根据文献［23］，可假定竖向应力自地层滑移处向隧道中轴线处逐渐递减，呈抛物线拱形分布。故建立浅埋隧道松动土压力的修正计算模型如图5所示。图中：m为滑移面上竖向应力与中轴线上方竖向应力的比值；{\sigma }_{\mathrm{v}}为隧道中轴线上方竖向有效应力；dz为微元土条厚度。

1）修正侧压力系数

根据Mohr-Coulomb准则绘制莫尔应力圆，滑移面上土体单元应力状态如图6所示。图中：r为莫尔圆半径；{\sigma }_{\mathrm{v}}为竖向有效应力；{\sigma }_{\mathrm{s}}和{\tau }_{\mathrm{s}}分别为滑移面上的正应力和剪应力；K为侧压力系数；φ和c分别为土体内摩擦角和黏聚力，\mathrm{45}°+\frac{\phi }{\mathrm{2}}\le \theta \le \mathrm{90}°。

根据几何关系，可得{\sigma }_{\mathrm{s}}和{\tau }_{\mathrm{s}}的表达式分别为

{\sigma }_{\mathrm{s}}=\left[\frac{\left(\mathrm{1}+K\right)}{\mathrm{2}}-\frac{\left(\mathrm{1}-K\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi }{\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)}\right]{\sigma }_{\mathrm{v}}（9）

{\tau }_{\mathrm{s}}=\frac{\left(\mathrm{1}-K\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi }{\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)}{\sigma }_{\mathrm{v}}（10）

由基本假设②可知，滑移面上土体应满足{\tau }_{\mathrm{s}}={\sigma }_{\mathrm{s}}+c\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi，则可计算出侧压力系数K为

K=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi \left(c+{\sigma }_{\mathrm{v}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)}{{\sigma }_{\mathrm{v}}\left[\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi \right]}（11）

图5中，BD，DE和AE各段对应的侧压力系数不同，即考虑了侧压力系数与地层的关联。

2）松动土压力计算式推导

厚度为dz的微元土条受力示意图如图7所示。图中：B_z为微元土条上部宽度，dσ_v为沿厚度方向产生的竖向应力增量。图7中微元土条受到的力有：自身重力dw；上覆“V”形竖向压应力；下伏土体作用反力；滑移面上正应力{\sigma }_{\mathrm{s}}和剪应力{\tau }_{\mathrm{s}}。

设土体容重为γ，则有

\mathrm{d}w=\left(\mathrm{2}B+\mathrm{d}z\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta \right)\gamma \mathrm{d}z（12）

将侧压力系数K反代回式（9）和式（10），可得

{\sigma }_{\mathrm{s}}=Q{\sigma }_{\mathrm{v}}-Nc（13）

{\tau }_{\mathrm{s}}=Q\left({\sigma }_{\mathrm{v}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi +c\right)（14）

其中，

Q=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\phi }{\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi }

N=\frac{\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi +\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)\right]\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\phi }{\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\theta -\phi \right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi }

式中：Q和N为中间变量。

由微分土条竖向受力平衡可得

\gamma \left(\mathrm{2}B+\mathrm{d}z\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta \right)\mathrm{d}z+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}m+\mathrm{4}\right)\left(B+\mathrm{d}z\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta \right){\sigma }_{\mathrm{v}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}m+\mathrm{4}\right)B\left({\sigma }_{\mathrm{v}}+\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}\right)+\mathrm{2}{\sigma }_{\mathrm{s}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }+\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{s}}\mathrm{d}z（15）

忽略高阶微分，上式可进一步简化为

\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}z}=A_{\mathrm{1}}-A_{\mathrm{2}}{\sigma }_{\mathrm{v}}（16）

其中，

A_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}B\gamma +\mathrm{3}Nc\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\mathrm{3}Qc}{B\left(m+\mathrm{2}\right)}

A_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}Q\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta +\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi \right)-\left(m+\mathrm{2}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta }{B\left(m+\mathrm{2}\right)}

式中：A₁和A₂为中间变量。

将边界条件z=\mathrm{0}、{\sigma }_{\mathrm{v}}=P_{\mathrm{0}}代入，求解一阶线性非齐次微分方程，可得

{\sigma }_{\mathrm{v}}=\frac{A_{\mathrm{1}}}{A_{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-A_{\mathrm{2}}z}\right)+P_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-A_{\mathrm{2}}z}（17）

式（17）中，A₁和A₂均为θ，c，φ和m的函数，而θ，c和φ又可根据上覆土体性质确定，即只有m是未知数。根据文献［21］和离心模型试验结果^［24］，m的取值与隧道埋深与开挖直径之比相关，变化范围在2.281~2.533。

2.2　深埋隧道竖向松动土压力推导

埋深超过分界埋深H_L时采用太沙基理论中竖直滑移面。但推导滑移面宽度时假定其为均质地层，未充分考虑隧道断面位于软硬不均地层时地层的突变性，比如仅开挖上部或下部地层时的影响宽度不同。为此，须对此类地层深埋盾构隧道的滑移面宽度取值进行合理修正。软硬不均地层下的半滑移面松动宽度示意图如图8所示。图中：R为隧道开挖半径；{\phi }_{\mathrm{1}}和{\phi }_{\mathrm{2}}分别为地层1、地层2内摩擦角；B₁和B₂分别为仅开挖地层1、地层2时的理论半滑移面宽度；B_1max为地层1半滑移面宽度理论最大值。

根据几何知识，可得出以下关系

B_{\mathrm{1}}=R\left(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{4}}+\frac{{\phi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\right)+R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}（18）

B_{\mathrm{2}}=R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{8}}+\frac{{\phi }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\right)（19）

由图8（b）可知地层1对应的圆心角存在临界值{\alpha }_{\mathrm{L}}；结合式（3）可知对应存在1个临界地层不均匀比{\delta }_{\mathrm{c}\mathrm{r}}，会使B₁取得最大值{B_{\mathrm{1}}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=R\times\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{8}}+\frac{{\phi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}\right)。在此基础上联立式（3）和式（18），便可反解出{\delta }_{\mathrm{c}\mathrm{r}}。

进一步修正B的取值：当时，B_{\mathrm{r}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[B_{\mathrm{1}},B_{\mathrm{2}}\right]；当\delta \ge {\delta }_{\mathrm{c}\mathrm{r}}时，B_{\mathrm{r}}=B_{\mathrm{1}}。则竖向松动土压力可按太沙基公式修正计算为

{\sigma }_{\mathrm{v}}=\frac{\gamma B_{\mathrm{r}}-c}{K\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi }\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-K\frac{H}{B_{\mathrm{r}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi }\right)+P_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-K\frac{H}{B_{\mathrm{r}}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi }（20）

式中：γ为上覆土体容重；B_r为修正后滑移面半松动宽度。

2.3　软硬不均地层盾构隧道侧向土压力推导

2.3.1　浅埋隧道侧向土压力计算

修正惯用法往往夸大地层2的侧向土压力，为此假定侧向土压力在土层分界线处存在突变，且忽略衬砌管片表面与地层的摩擦力，则浅埋隧道侧向土压力力学分析模型如图9所示。图中：P₃为隧顶竖向荷载；W_{\mathrm{1}}，W_{\mathrm{2}}分别为DEFG区域和AEF区域的土体重力；f为滑动面上摩擦力的合力。

假设侧向土压力从地层分界处以系数λ向隧道底部递增，即q_{\mathrm{e}\mathrm{4}}=q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}+\lambda l_{\mathrm{z}}。根据水平方向和竖向方向受力平衡，则有

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}{l}_{AD}+{\tau }_{\mathrm{s}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +f\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}=\\ \frac{a}{\mathrm{2}}\left(q_{\mathrm{e}\mathrm{1}}+q_{\mathrm{e}\mathrm{2}}\right)+\frac{b}{\mathrm{2}}\left(q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}+q_{\mathrm{e}\mathrm{4}}\right)\end{array}（21）

W_{\mathrm{1}}+W_{\mathrm{2}}+P_{\mathrm{3}}={\sigma }_{\mathrm{s}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}{l}_{AD}+{\tau }_{\mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}+f\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\mathrm{\text{'}}}（22）

W_{\mathrm{1}}={\gamma }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}（23）

W_{\mathrm{2}}={\gamma }_{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{2}}（24）

q_{\mathrm{e}\mathrm{1}}=P_{\mathrm{3}}{K}_{\mathrm{1}}（25）

q_{\mathrm{e}\mathrm{2}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_{\mathrm{1}}（26）

q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_{\mathrm{2}}（27）

P_{\mathrm{3}}={\sigma }_{\mathrm{v}}^{\mathrm{\text{'}}}（28）

式中：γ₁，K₁和a分别为地层1土体的容重、修正侧压力系数和厚度；γ₂，K₂和b分别为地层2土体的容重、修正侧压力系数和厚度；{\eta }_{\mathrm{1}}和{\eta }_{\mathrm{2}}分别为DEFG区域和AEF区域的面积，可由积分求出；l_{AD}为对应滑移线弧长；l_{\mathrm{z}}为下部地层任意位置与地层分界线的竖向距离。

联立式（21）—式（28）可得出下部地层2侧向土压力递增系数λ，即q_{\mathrm{e}\mathrm{1}}，q_{\mathrm{e}\mathrm{2}}，q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}和q_{\mathrm{e}\mathrm{4}}全部得求。

2.3.2　深埋隧道侧向土压力计算

对深埋隧道采用竖直滑移面，即式（11）中\theta =\mathrm{90}°，则q_{\mathrm{e}\mathrm{1}}，q_{\mathrm{e}\mathrm{2}}，q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}和q_{\mathrm{e}\mathrm{4}}分别计算为

q_{\mathrm{e}\mathrm{1}}=P_{\mathrm{3}}{K}_{\mathrm{1}}（29）

q_{\mathrm{e}\mathrm{2}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_{\mathrm{1}}（30）

q_{\mathrm{e}\mathrm{3}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_{\mathrm{2}}（31）

q_{\mathrm{e}\mathrm{4}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a+\gamma {}_{\mathrm{2}}{}^{}b\right)K_{\mathrm{2}}（32）

其中，

K_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{1}}}-\frac{c_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}{\phi }_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{1}}\right)}

K_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}}-\frac{c_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}{\phi }_{\mathrm{2}}}{{\sigma }_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{2}}\right)}

2.4　隧底反力及地层抗力的计算

隧底反力由被动抗力和主动土压力组成。其中被动地层抗力采用梁-弹簧模型求解，采用地基曲面弹簧等效模拟，上下地层设置不同弹簧系数，且设置曲面弹簧仅受压。因此求解随底反力的关键在于确定隧底主动土压力P₂。如图10所示，可按照软硬不均地层分界线位置在隧道水平中线上方、下方2类工况分别讨论。图中：\varphi为直线O′F与隧道水平直径的夹角，\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}。

文献［15］推导了复合地层下部硬土或岩层下部主动土压力，并引用2个案例（均属于工况1）的实测数据，经对比验证比较吻合，其具体计算式为

P_{\mathrm{2}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi（33）

式中：K_{\mathrm{a}}为主动土压力系数，K_{\mathrm{a}}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{45}-\frac{{\phi }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)。

式（33）中，P₂是\varphi的减函数，应用于工况1时，随着硬土层范围逐渐增大（\varphi增大），隧道周围土体稳定性较好，产生的隧底主动土压力减少，符合实际；但应用于工况2时，随着\varphi增大，隧道大部分位于软土层，产生的隧底主动土压力也应增大，而且当隧道全部位于软土层时，即将\varphi =\mathrm{90}°代入式（33），得到P_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，按式（33）的计算结果与工况2的工程实际不符。为此，针对工况2并参考文献［14］，将式（33）修改为

P_{\mathrm{2}}=\left(P_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}a\right)K_a\left(\mathrm{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi \right)（34）

式（34）能更好地表征工况2中，在P₂随着\varphi的增大而增大同时仍有\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi =\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}的现实特点。当\varphi=0时（地层不均匀比为0.5），式（33）和式（34）计算值相同，满足实际情况。综上所述，即对于工况1、工况2，可分情况按式（33）和式（34）分别计算。

3 算例验证

为验证提出的软硬不均地层盾构隧道荷载计算模式的合理性与可行性，选取软土-硬土、土层-岩层两类典型软硬不均地层盾构隧道实例进行计算，将本文方法、太沙基理论、普氏理论三者计算的滑动面宽度进行对比，并将本文方法计算得到的竖向土压力、侧向土压力与现场实测数据、修正惯用法荷载体系的计算结果进行对比分析。

3.1　工程简介

1）软土-硬土层盾构隧道

选取广州狮子洋盾构隧道^［8-9］进出洞段DIK33+900测试断面，隧道穿越淤泥质土层、粗砂砾层、中砂层；埋深约11.5 m，管片外径10.8 m，管片厚0.5 m。地质情况及测点布置如图11所示。图中：B1—B5表示标准块；F表示封顶块；L1和L2表示邻接块。

2）土层-岩层盾构隧道

选取武汉地铁8号线盾构隧道^［15］江中最高水头处DK11+454测试断面。隧道穿越粉砂层、圆砾土、强风化砾岩、弱胶结砾岩；上方覆土厚度约为19.47 m，隧顶距离地面36.23 m，管片外径12.1 m，管片厚0.5 m。地质情况及测点布置如图12所示。

按前文所述方法，对以上2个隧道断面荷载模式进行计算，具体计算参数见表1。

3.2　结果与分析

3.2.1　滑移面宽度

经计算，算例1（软土-硬土）中滑动面宽度为17.20 m；算例2（土层-岩层）中2B₂=21.42 m。算例2的地层条件相对更为坚硬，理论上滑移面宽度会更小；但由于算例2的隧道开挖直径更大，故计算得到的滑移面宽度略大。

为进一步分析结果合理性，将这一计算结果与太沙基理论滑动面宽度B_T、普氏理论滑动面宽度B_P的计算结果进行对比。对于圆形盾构隧道，B_T和B_P计算式分别为

B_{\mathrm{T}}=D\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{8}}+\frac{\phi }{\mathrm{4}}\right)（35）

B_{\mathrm{P}}=D+\mathrm{2}D\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{45}-\frac{{\phi }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\right)（36）

式中：{\phi }_{\mathrm{0}}为围岩似摩擦角。

经计算，算例1中B_T1=17.88 m，B_P1=20.87 m；算例2中B_T2=18.11 m，B_P2=20.90 m。对比不同方法下的计算结果：算例1中，上覆土层埋深浅，隧道穿越土层性质较差，不易形成压力拱，本文方法得到的滑移面宽度与太沙基理论的更为接近，而与普氏理论的相差较大；算例2中，上覆土层埋深较大，隧道穿越的岩土层偏于松散、破碎，本文方法得到的滑移面宽度与普氏理论的更为接近，且案例实际符合普氏理论的适用特点。综上分析，推导得到滑移面宽度计算方法是合理的。

3.2.2　竖向土压力

将得到的软硬不均地层荷载模式计算结果分别与修正惯用法荷载体系、现场实测值进行比较。采用修正惯用法荷载体系时，在计算隧顶竖向荷载时采用传统荷载计算方法（全土柱法、太沙基理论或隧规法等），根据围岩条件和埋深选取，取地基反力等于竖向围岩荷载、隧道自重、地面超载之和。由于现场测试获得的围岩压力均沿径向，为方便对比，将实测径向荷载分解为竖向荷载与水平荷载，算例1采用水土合算，算例2采用水土分算，不同算例下的竖向土压力对比结果如图13所示。图中：竖向土压力以向下为正、向上为负；隧道沿跨度方向位置以隧道水平轴线为中心，向右为正、向左为负。

由图13（a）可知：与修正惯用法荷载体系相比，本文方法得出的隧顶竖向土压力更接近实测数据，与实测间的误差缩小了74%；对于隧道下半拱，本文方法得到的隧底竖向土压力与实测规律相似且数值较为接近，拱底和右拱脚误差较小，整体上与实测间的误差平均相差21%，与修正惯用法荷载体系与实测间的误差值相比，平均降低了172%。

由图13（b）可知：本文方法得到的隧顶竖向土压力值更接近实测数据，两者仅相差13%；对于隧道下半拱，本文方法计算结果仅在右拱脚处误差较大，在其他测点处更贴合实测数据，误差明显小于算例1，这是因为相比算例1，算例2中隧道的H/D值更大，意味着其地层条件相对更好。由此表明，H/D值越大或下部地层越坚硬时，本文方法相对越符合该类地层盾构隧道实际受荷状态。

3.2.3　侧向土压力

修正惯用法荷载体系中侧向荷载呈梯形分布，其荷载大小等于竖向荷载与水平侧压力系数的乘积，本文方法中的侧压力系数与地层息息相关，且考虑到两种方法下的侧向土压力均是对称的，故仅分析隧道右部拱。不同算例下隧道右部拱的侧向土压力对比结果如图14所示。

由图14（a）可知：拱顶到地层分界线区段，两种方法下的计算结果整体比较接近，略大于实测数据；本文方法得到的侧压力增长速度更大，这是因为修正惯用法荷载体系采用的是软土及硬土层侧压力系数的加权平均值，而本文方法分别针对软土和硬土层采用不同的修正侧压力系数，即软土层采用的侧压力系数会偏大（对应图中斜率更大）；本文方法得到的隧底侧向土压力明显更接近实测值，两者相差13%。

由图14（b）可知：随着算例2中隧道H/D值的增大，在拱顶到地层分界线区段，本文方法得到的侧向土压力更小且更接近实测数据；与算例1相比，算例2中地层分界线至隧底区段侧向土压力增长系数由1.39减小至0.85，本文方法得到的隧底侧向土压力与实测值吻合更好，仅相差6%，这表明下部地层越坚硬，隧道下部侧压力增长越缓慢，越趋近于均布荷载，这一结果符合实际情况。

4 结论

（1）针对传统修正惯用法载荷体系的不足，在明确软硬不均地层盾构隧道荷载模式的基础上，推导得到隧道竖向土压力（文中考虑松动土压力）、侧向土压力、随底反力的计算表达式。这种适用于软硬不均地层的盾构隧道荷载计算模式，能够系统考虑隧道埋深、滑移面形式、侧压力系数与地层之间的关联。

（2）推导时，先分浅埋、深埋2种情况讨论。对于浅埋隧道，基于椭球体理论推导极限状态下滑移面为椭圆时侧压力系数及竖向松动土压力的计算式，并构建力学平衡方程推导侧向土压力计算式；对于深埋隧道，在考虑软硬不均地层突变性的基础上合理修正太沙基理论竖向滑移面松动宽度计算式，推导修正的竖向及侧向土压力计算式。再结合软硬不均地层分界线位置位于隧道水平中线上方、下方2类典型工况，推导得到隧底反力表达式。

（3）依托软土-硬土以及土层-岩层2种典型软硬不均地层下的盾构隧道实例，验证所提方法的合理性及适用性。相较于修正惯用法荷载体系，本文方法得到的软土-硬土隧道顶部竖向土压力、下半拱竖向土压力与实测值的误差分别缩小了74%和172%；相较于软土-硬土隧道，本文方法应用于土层-岩层隧道时，计算得到的下半拱竖向土压力、隧底侧向土压力与实测值的误差更小，即本文方法更符合盾构隧道实际受荷状态，且在隧道H/D值较大的情况下，下部地层越坚硬，该方法的适用性越强。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(42177162)

国家自然科学基金资助项目(42267022)

江西省自然科学基金资助项目(20212BAB214009)