针对高速车辆线性稳定性的等效锥度运用限值确定方法

Determination Method of Application Limits of the Equivalent Conicity for High-Speed Railway Vehicles Aiming at Linear Stability

摘要

为制定合理的轮轨匹配等效锥度运用范围，避免高速车辆出现蛇行失稳现象，提出一种基于模态分析的轮轨匹配等效锥度合理运用限值确定方法。首先，基于车辆系统动力学理论，建立包含21个自由度的高速车辆系统横向动力学模型；其次，采用模态分析计算车辆系统模态参数（模态频率、阻尼比和振型），并提出基于最小模态距离的蛇行频率连续跟踪算法；然后，利用车辆系统模态最小阻尼比判断模态振型，对轮轨匹配等效锥度和速度进行协同变参计算，确定等效锥度运用限值；最后，从模态视角研究车体蛇行失稳的发生机制。结果表明：在广域轮轨匹配关系下，转向架蛇行失稳和车体蛇行失稳区域均具有清晰的边界，且二者不邻接；对于车体蛇行失稳而言，频率耦合不是唯一决定因素，频率耦合速度也是决定因素之一，当频率耦合发生在较高速度下时易发生车体蛇行失稳。采用该方法，确定所构建的高速车辆模型在350 km · h^－1车速下的等效锥度运用限值为0.07~0.41。

Abstract

To establish a reasonable application range of wheel-rail contact equivalent conicity and avoid hunting instability of high-speed railway vehicles, a determination method for reasonable application limits of wheel-rail contact equivalent conicity based on modal analysis is proposed. Firstly, based on the vehicle system dynamics theory, a lateral dynamics model of high-speed vehicle system with 21 degrees of freedom is established. Secondly, modal analysis is used to calculate the modal parameters (modal frequency, damping ratio and modal shape) of the vehicle system, and a continuous tracking algorithm for hunting frequency based on minimum modal distance is proposed. Then, the minimum damping ratio of vehicle system modal is used to judge the modal shape, and the collaborative variable parameter calculation of wheel-rail contact equivalent conicity and speed is carried out to determine the application limits of equivalent conicity. Finally, the occurrence mechanism of carbody hunting instability is studied from the modal perspective. The results show that under the wide-area wheel-rail contact relationship, both the bogie hunting instability region and the carbody hunting instability region have clear boundaries and are not adjacent. For carbody hunting instability, frequency coupling is not the only determinant factor, and the frequency coupling speed is also a determinant factor. Carbody hunting instability is prone to occur when frequency coupling occurs at a higher speed. By using this method, the application limits of equivalent conicity of the high-speed railway vehicle model constructed in this paper at a speed of 350 km · h^－1 are determined to be 0.07-0.41.

Graphical abstract

车辆是轨道交通的重要组成部分，具有快捷便利、舒适准点、安全可靠等优点，逐渐成为出行的理想选择。然而，随着列车运行速度的不断提高、服役环境的不断变化，出现一系列由蛇行运动导致的转向架报警和晃车问题，显著降低旅客乘坐舒适性，并给行车安全带来隐患^［1-4］。

蛇行运动是一个古老又经典的话题，国内外学者在这方面开展了大量的研究工作，积累了丰硕的成果^［5］。Carter^［6］最早建立了铁道车辆横向动力学模型，并首次提出车轮的锥形踏面设计和轮轨间蠕滑效应是导致蛇行运动的根本原因。Matsudaira^［7］基于台架试验和理论计算发现并提出转向架蛇行和车体蛇行的概念，通过悬挂参数的优化设计实现列车的高速稳定运行。Wickens^［8］从能量和模态分析角度分别研究线性2轴车辆的蛇行运动发生机理，指出在轮轨蠕滑力作用下车辆在横向运动中表现为非保守系统，致使能量不断地输入到横向运动中，从而引起蛇行运动。

随着蛇行运动理论认知的进步、试验条件的完善以及计算能力的提升，大量研究表明轨道车辆蛇行运动稳定性与轮轨匹配等效锥度密切相关。Polach^［9］研究了轮轨接触参数对整车系统蛇行稳定性的影响，指出轮对横移量为3 mm处的名义等效锥度对线性临界速度影响显著，而等效锥度斜率则对霍普（Hopf）分岔类型影响显著。罗世辉^［10］基于惯性力与轮对蛇行频率的关系，通过特征值计算研究轨距、轴距、名义滚动圆半径及车轮踏面等效锥度对机车车辆稳定性的影响。Wei等^［11］通过现场试验和仿真模拟，发现车轮踏面凹磨和钢轨轨肩欠打磨引起的轮轨匹配异常高锥度是造成转向架蛇行失稳和车体抖动的主要原因。此外，轨底坡异常^［12］、钢轨廓形不对称^［13］、车轮镟修方法选取不当^［14］引起的轮轨匹配时等效锥度过低也是发生车体蛇行失稳的主要原因。采用根轨迹法绘制根轨迹图，可以掌握车辆系统的模态分布情况，直观地了解车辆系统在参数激励下的稳定性情况以及蛇行频率与车辆不同部件悬挂频率之间的关系^［15-17］。

为预防蛇行失稳的发生，国内学者开展了一些针对性的研究工作。Wang等^［18］通过长期服役跟踪试验，掌握了动车组多个镟修周期内的轮轨接触参数和车辆动力学性能演变规律，并据此给出该动车组镟修周期的合理建议。李国栋等^［19］针对动车组运营过程中出现的低锥度晃车和高锥度失稳报警问题，开展高速列车轮轨匹配关系改进研究，设计了具有较强轨面适应性的新型车轮踏面。陈经纬等^［20］面向高速列车低频晃车问题，研究钢轨廓形演化对车体蛇行稳定性的影响规律，并给出针对某型动车组的钢轨打磨临界廓形。董孝卿等^［21］结合理论分析和实践经验，阐述了等效锥度对动车组构架蛇行失稳和车体共振的影响机制，并提出有必要开展服役动车组等效锥度运用限值研究。曾京等^［22］和干锋等^［23］建议结合车辆运行监测设备和轮轨监测装备进行等效锥度运用管理，实现对车辆晃车、转向架失稳报警和抖车问题的诊断和预防。轮轨匹配关系受诸多因素影响，包括车轮型面、钢轨廓形、轨距、轨底坡及钢轨和车轴的柔性变形等，且这些因素在轮轨磨耗、轮轨冲击及施工质量等影响下具有时变和空间变化特性。

本文全面考虑车辆在广域轮轨匹配关系下的稳定性问题，针对车辆系统线性稳定性，从模态分析角度研究速度-等效锥度协同演变下的车辆系统稳定性全貌，给出车辆轮轨匹配等效锥度的合理运用区间，支撑轨道车辆的智能运维和管理，保障列车的安全运行。

1 高速车辆系统横向动力学模型

现有研究普遍表明^［24］，车辆系统垂向自由度对蛇行稳定性影响较小，而横向自由度和抗蛇行减振器的刚度效应对蛇行稳定性影响显著。因此，仅考虑与横向运动相关的横移、摇头和侧滚自由度，以及与抗蛇行减振器运动状态相关的独立自由度，建立包括21个自由度的高速车辆系统横向动力学模型。该模型为1个4轴的由质量-弹簧-阻尼组成的多刚体系统，包括：1个车体、2个转向架、4个轮对及二系悬挂系统。模型中：下标x，y，z分别代表纵向、横向和垂向；K_px，K_py，K_pz 和C_px，C_py，C_pz 分别为一系悬挂刚度和阻尼；K_sx，K_sy，K_sz 和C_sx，C_sy，C_sz 分别为二系悬挂刚度和阻尼；K为抗蛇行减振器节点刚度；r₀为名义滚动圆半径；b为名义滚动圆跨距之半；b₁为一系悬挂跨距之半；b₂，b₃，b₄分别为二系悬挂中空气弹簧、抗蛇行减振器、垂向减振器主跨距之半；h₁和h₂分别为车体重心至空气弹簧和二系悬挂抗蛇行减振器的垂向距离；h₃和h₅分别为转向架重心至空气弹簧和二系悬挂抗蛇行减振器的垂向距离；h₄为转向架重心至一系悬挂的垂向距离；l为轴距之半；y_wi 和φ_wi （i=1，2，3，4）分别为i位轮对的横移量和摇头角；y_br，φ_br 和ψ_br （r =1，2）分别为前（r =1）、后（r =2）转向架的横移量、摇头角和侧滚角；y_c，φ_c和ψ_c分别为车体的横移量、摇头角和侧滚角；Δs_d （d=1，2，3，4）为抗蛇行减振器等效纵向位移，且Δs_d=s_d2-s_d1，其中s_d2和s_d1分别为第d个抗蛇行减振器两端橡胶节点的位移。高速车辆系统横向动力学模型如图1所示。

针对车辆线性稳定性问题，抗蛇行减振器采用Maxwell模型建模，车轮踏面为锥形，轮轨蠕滑力采用Kalker线性蠕滑理论^［25］描述。轮轨纵向、横向蠕滑力和力矩分别为

F_{\mathrm{c}xi}=-f_{\mathrm{11}}\left(\pm \frac{b\lambda }{r_{\mathrm{0}}}{y}_{\mathrm{w}i}\pm \frac{b^{\mathrm{2}}}{v}{\dot{\phi }}_{\mathrm{w}i}\right)（1）

F_{\mathrm{c}yi}=-f_{\mathrm{22}}\left(\frac{{\dot{y}}_{\mathrm{w}i}}{v}-{\phi }_{\mathrm{w}i}\right)-f_{\mathrm{23}}\left(\frac{\lambda }{r_{\mathrm{0}}}+\frac{{\dot{\phi }}_{\mathrm{w}i}}{v}\right)（2）

M_{\mathrm{c}zi}=f_{\mathrm{23}}\left(\frac{{\dot{y}}_{\mathrm{w}i}}{v}-{\phi }_{\mathrm{w}i}\right)-f_{\mathrm{33}}\left(\frac{\lambda }{r_{\mathrm{0}}}+\frac{{\dot{\phi }}_{\mathrm{w}i}}{v}\right)（3）

式中：F_cx，F_cy 和M_cz 分别为轮轨纵向蠕滑力、横向蠕滑力和自旋蠕滑力矩；f₁₁，f₂₂和f₂₃，f₃₃分别为纵向、横向蠕滑系数和横向自旋、自旋蠕滑系数；λ为等效锥度；v为车辆运行速度。

利用达朗贝尔-拉格朗日原理，推导得到该线性车辆系统横向运动微分方程组^［26］的矩阵形式为

\left\{\begin{array}{l}\mathit{M}\ddot{\mathit{U}}+\mathit{C}\dot{\mathit{U}}+\mathit{K}\left(\begin{array}{l}\mathit{U}\\ \mathrm{\Delta }\mathit{S}\end{array}\right)=\mathrm{0}\\ \mathrm{\Delta }\dot{\mathit{S}}+\mathit{P}\left(\begin{array}{l}{\mathit{U}}_{\mathrm{11}\times \mathrm{17}}\\ \mathrm{\Delta }\mathit{S}\end{array}\right)=\mathrm{0}\end{array}\right.（4）

其中，

\mathit{M}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(m_{\mathrm{w}}{m}_{\mathrm{w}}{m}_{\mathrm{w}}{m}_{\mathrm{w}}{I}_{\mathrm{w}z}{I}_{\mathrm{w}z}{I}_{\mathrm{w}z}{I}_{\mathrm{w}z}{m}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}x}{I}_{\mathrm{b}z}{m}_{\mathrm{b}}{I}_{\mathrm{b}x}{I}_{\mathrm{b}z}{m}_{\mathrm{c}}{I}_{\mathrm{c}x}{I}_{\mathrm{c}z}\right)

\mathit{U}={\left(y_{\mathrm{w}\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{w}\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{w}\mathrm{3}}{y}_{\mathrm{w}\mathrm{4}}{\phi }_{\mathrm{w}\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{w}\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{w}\mathrm{3}}{\phi }_{\mathrm{w}\mathrm{4}}{y}_{\mathrm{b}\mathrm{1}}{\psi }_{\mathrm{b}\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{b}\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{b}\mathrm{2}}{\psi }_{\mathrm{b}\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{b}\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{c}}{\psi }_{\mathrm{c}}{\phi }_{\mathrm{c}}\right)}^{\mathrm{T}}

\mathrm{\Delta }\mathit{S}={\left(\mathrm{\Delta }{s}_{\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }{s}_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }{s}_{\mathrm{3}}\mathrm{\Delta }{s}_{\mathrm{4}}\right)}^{\mathrm{T}}

\mathit{P}=\left(\begin{array}{ccccccccccc}-\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\frac{K{b}_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{C}_{\mathrm{s}x}}\end{array}\right)

式中： M 为系统的质量（转动惯量）矩阵； C 和 K 分别为系统的阻尼和刚度矩阵； U 为系统状态向量；Δ S 为抗蛇行减振器等效纵向位移向量； P 为抗蛇行减振器与构架、车体运动相耦合的关联矩阵；m_w，m_b和m_c分别为轮对、转向架和车体质量；I_wz，I_bz 和I_cz 分别为轮对、转向架和车体绕z轴的转动惯量；I_bx 和I_cx 分别为转向架和车体绕x轴的转动惯量。

2 模态分析与跟踪计算

对于轨道车辆系统而言，主要包含2类模态：非蛇行运动模态与蛇行运动模态，其中非蛇行运动模态为车辆系统中各结构的1阶至高阶的固有模态。对一般的车辆系统而言，非蛇行运动模态都是稳定的，其模态参数基本不随速度和等效锥度变化；蛇行运动模态的频率和阻尼比会随轮轨接触关系和速度变化，是车辆系统中最特殊的模态。

根据运动稳定性理论^［27］，非线性车辆系统的零解稳定性，可以通过一次方程组的近似解即雅克比矩阵的特征值判断。因此，本节将给出上述高速车辆系统模态参数（模态频率、最小阻尼比及振型）的计算方法，并提出参数激励下蛇行频率的跟踪方法。

2.1　模态参数

为计算车辆系统的特征值和特征向量，需要对车辆系统横向运动微分方程组即式（4）进行降阶处理。为此，引入1个新的状态向量 X，为

\mathit{X}=\left(\dot{\mathit{U}}\mathit{U}\mathrm{\Delta }\mathit{S}\right)（5）

于是，式（4）降阶为1阶形式，为

\dot{\mathit{X}}=\mathit{A}\mathit{X}（6）

其中，

\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}-\mathit{C}{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}& -\mathit{K}{\mathit{M}}^{-\mathrm{1}}\\ {\mathit{I}}_{\mathrm{17}\times \mathrm{17}}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{17}\times \mathrm{17}}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{4}\times \mathrm{27}}& \mathit{P}\end{array}\right)

式中： A 为车辆系统横向运动方程的线性化矩阵； I 为单位矩阵。

1阶方程组（6）的特解形式为

\mathit{X}={\mathit{X}}_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{st}（7）

式中：s为特征值； X₀为特征向量；t为时间。

将式（7）代入式（6）得回线性方程组为

\left(\mathit{A}-s\mathit{I}\right){\mathit{X}}_{\mathrm{0}}=\mathrm{0}（8）

根据线性代数和矩阵理论可知，式（8）存在非零解，系数行列式需满足

\left|\mathit{A}-s\mathit{I}\right|=\mathrm{0}（9）

由此得到特征方程，通过数值计算可以得到19组共轭特征值，为

s_k={\alpha }_k\pm \mathrm{j}{\beta }_{k}k=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{19}（10）

式中：k为共轭特征值序号即车辆系统模态的阶次；j为虚数单位。

换算得到相应的模态频率f_k 为

f_k=\frac{\left|{\beta }_k\right|}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}（11）

阻尼比η_k 为

{\eta }_k=-\frac{{\alpha }_k}{\sqrt[]{{{\alpha }_k}^{\mathrm{2}}+{{\beta }_k}^{\mathrm{2}}}}（12）

将共轭特征值代入回线性方程组即式（8），可求得各阶共轭特征向量{\mathit{X}}_{\mathrm{0}\_k}和{\overline{\mathit{X}}}_{\mathrm{0}\_k}分别为

{\mathit{X}}_{\mathrm{0}\_k}={\left({\mathit{X}}_{s\_k}{s}_j{\mathit{X}}_{s\_k}\right)}^{\mathrm{T}}（13）

{\overline{\mathit{X}}}_{\mathrm{0}\_k}={\left({\overline{\mathit{X}}}_{s\_k}{s}_j{\overline{\mathit{X}}}_{s\_k}\right)}^{\mathrm{T}}（14）

式中：{\mathit{X}}_{s\_k}为第k阶特征向量中的位移分量；{\overline{\mathit{X}}}_{s\_k}为{\mathit{X}}_{s\_k}的共轭向量。

特征向量的模和相角对应为车辆系统模态的振型和相位。结合系统质量矩阵和振型向量，计算得到各特征值下不同模态坐标对应的动能，为

{\mathit{E}}_k\left(p\right)=\frac{\mathit{M}\left(p,p\right){\left|s_k\right|}^{\mathrm{2}}{\left|{\mathit{X}}_{s\_k}\left(p\right)\right|}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}p=\mathrm{1,2},\dots ,\mathrm{17}（15）

式中：E_k （p）为车辆系统除减振器外第p个自由度对应的模态坐标下的动能。

可见，车辆系统在模态坐标下的动能由模态振型和系统自身质量共同决定。

2.2　蛇行频率连续跟踪算法

模态阶次的确定是模态分析的关键，是研究模态行为特征的基础。对于固定参数的模态分析，可通过观察模态振型确定模态阶次，然而，该方法在参数激励下的计算效率低且易出错。因此，有必要建立连续模态跟踪方法区分各阶模态。现有研究通过3次样条插值实现车辆系统模态参数的连续跟踪^{［26，28］}，然而，该算法需要构造初始特征值序列，且面向所有模态，有部分参数在下一阶次会被误判。为此，结合蛇行模态演变特性，提出一种基于最小模态距离匹配的蛇行频率跟踪算法，该方法基于模态参数的连续性，通过识别相邻激励参数之间模态坐标的最小欧氏距离实现蛇行频率跟踪。

以速度激励参数为例，蛇行频率跟踪主要跟踪步骤如下，具体流程如图2所示。

（1）设置循环变量m=1、车辆初始速度v₀和速度步长Δv，计算初速度下车辆系统横向运动的模态参数，并通过各模态振型确定2个蛇行模态中模态频率和阻尼比的初始值分别为\left(f_{\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}},{\eta }_{\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}}\right)和\left(f_{\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}},{\eta }_{\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}}\right)，其中h₁和h₂分别为2个蛇行模态在特征矩阵中的位置。

（2）更新循环变量和车辆速度，计算当前速度下车辆系统横向运动的模态参数(f_{m_k},η_{m_k} )，并计算上一速度v-\mathrm{\Delta }v下蛇行模态与当前速度v下各模态参数的模态距离为

\begin{array}{l}{d}_{m\_\mathrm{1}k}=\sqrt[]{{\left(f_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}}-f_{m\_k}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\eta }_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}}-{\eta }_{m\_k}\right)}^{\mathrm{2}}}\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{19}\end{array}（16）

\begin{array}{l}{d}_{m\_\mathrm{2}k}=\sqrt[]{{\left(f_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}}-f_{m\_k}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\eta }_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}}-{\eta }_{m\_k}\right)}^{\mathrm{2}}}\\ k=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{19}\end{array}（17）

式中：k为第m个速度参数下模态参数在特征矩阵中的位置；d_{m_1k} 和d_{m_2k} 为第m-1个速度参数下蛇行模态和第m个速度参数下第k个特征值的模态距离；f_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}}和f_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}}为第m-1个速度参数下的蛇行模态频率；{\eta }_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{1}}}和{\eta }_{m-\mathrm{1}\_h_{\mathrm{2}}}为第m-1个速度参数下的蛇行模态阻尼比；n为特征值的个数。

（3）根据不同位置处模态距离构成2个模态距离向量 D_{m_1}和 D_{m_2}，分别为

{\mathit{D}}_{m\_\mathrm{1}}=\left(d_{m\_\mathrm{11}}{d}_{m\_\mathrm{12}}\cdots d_{m\_\mathrm{1}n}\right)（18）

{\mathit{D}}_{m\_\mathrm{2}}=\left(d_{m\_\mathrm{21}}{d}_{m\_\mathrm{22}}\cdots d_{m\_\mathrm{2}n}\right)（19）

搜索 D_{m_1}和 D_{m_2}中的最小值，分别得到最小值所在的列数为p₁和p₂。

（4）当p₁≠p₂时，即成功确定了第m个速度参数处的2组蛇行模态参数分别为

\left\{\begin{array}{l}{f}_{m\_h_{\mathrm{1}}}=f_{m\_p_{\mathrm{1}}}\\ {\eta }_{m\_h_{\mathrm{1}}}={\eta }_{m\_p_{\mathrm{1}}}\end{array}\right.（20）

\left\{\begin{array}{l}{f}_{m\_h_{\mathrm{2}}}=f_{m\_p_{\mathrm{2}}}\\ {\eta }_{m\_h_{\mathrm{2}}}={\eta }_{m\_p_{\mathrm{2}}}\end{array}\right.（21）

否则，需要引入次小距离进行比较。定义M₁和M₂分别为

M_{\mathrm{1}}=d_{m\_\mathrm{1}{p}_{\mathrm{1}}}+d_{m\_\mathrm{2}{\overline{p}}_{\mathrm{2}}}（22）

M_{\mathrm{2}}=d_{m\_\mathrm{1}{\overline{p}}_{\mathrm{1}}}+d_{m\_\mathrm{2}{p}_{\mathrm{2}}}（23）

式中：{\overline{p}}_{\mathrm{1}}和{\overline{p}}_{\mathrm{2}}分别为向量 D_{m_1}和 D_{m_2}的次小值所在列数。

于是，通过比较M₁和M₂可以确定第m个速度参数处的2组蛇行模态参数分别为

（24）

\left\{\begin{array}{l}{f}_{m\_h_{\mathrm{1}}}=f_{m\_{\overline{p}}_{\mathrm{1}}}\\ {\eta }_{m\_h_{\mathrm{1}}}={\eta }_{m\_{\overline{p}}_{\mathrm{1}}}\\ f_{m\_h_{\mathrm{2}}}=f_{m\_p_{\mathrm{2}}}\\ {\eta }_{m\_h_{\mathrm{2}}}={\eta }_{m\_p_{\mathrm{2}}}\end{array}\right.M_{\mathrm{1}}\ge M_{\mathrm{2}}（25）

（5）通过控制循环变量，重复上述步骤2—步骤4，直至达到退出条件（m=N，N为速度参数的计算个数），得到蛇行频率序列，实现蛇行频率的连续跟踪。

3 基于最小阻尼比的等效锥度限值确定

3.1　最小阻尼比模态振型判断

为掌握车辆在不同轮轨匹配状态下的模态行为特征，计算2种异常轮轨接触几何状态（异常低锥度为0.05、异常高锥度为0.40）和不同速度（10~400 km · h^－1，步长10 km · h^－1）激励下的模态参数演变特性。

车辆系统关键参数的选取见表1。

通过数值计算，得到车辆系统横向运动的根轨迹如图3所示。图中：红色实线对应的阻尼比为5%，这是由于工程上常取5%作为评判车辆系统线性稳定性的阻尼比临界值^［29］。

从图3可以看出：异常低锥度下，车辆在较低速度下就发生蛇行失稳，失稳时的模态频率较低，且不同模态频率存在转向和扭结现象；在异常高锥度下，车辆只在较高速度下才发生蛇行失稳，失稳时的模态频率较高，且不同模态间未发生耦合行为。结合已有研究结果^{［26，28］}可知：车辆在低锥度下车体发生了蛇行失稳，且转向架蛇行模态与车体的上心滚摆和摇头模态易发生耦合，继而出现频率转向和振型切换现象；车辆在高锥度下转向架发生了蛇行失稳，且继续增大速度后系统将始终处于失稳状态。

基于车辆系统横向运动的根轨迹图，分别选取2种异常锥度下最小阻尼比对应的特征向量计算振型及模态坐标下的动能，并进行归一化处理，得到最小阻尼比对应振型和动能分布如图4所示。

由图4可以看出：车体蛇行失稳下，能量集中在车体振动中，且主要表现为车体的横向和侧滚运动（以横向运动为主，耦合形式表现为上心滚摆），构架运动能量很少；在振幅方面，同样以车体横移幅值为主，但转向架的也较大（尤其是1位转向架），此时表现为车体带动转向架发生大幅横向运动，轮对同样具有较大横移幅值，需要关注轮缘贴靠的危险；转向架蛇行失稳下，振幅和能量均由转向架主导，车体占比非常小，且1位转向架大于2位转向架。

基于系统最小阻尼比可有效判断车辆是否发生蛇行失稳现象，且通过归一化动能分布情况可以进一步判断蛇行失稳类型。具体判断标准为：

（1）若系统最大动能分布在车体振型坐标下，可判断车辆发生车体蛇行失稳；

（2）若系统最大动能分布在转向架或轮对振型坐标下，可判断车辆发生转向架蛇行失稳。

3.2　等效锥度限值确定

现有研究普遍表明，轮轨匹配等效锥度对蛇行稳定性影响显著，因此常常通过选取不同轮轨匹配关系（通常为新轮状态与磨耗轮状态）计算车辆系统临界速度并开展参数优化研究。为全面考察高速车辆在广域轮轨匹配关系下的稳定性问题，有必要对等效锥度进行变参分析，掌握速度-等效锥度协同演变下的车辆系统稳定性情况。为此，研究车辆系统最小阻尼比随速度和等效锥度演变的分布规律，从而从线性稳定性角度出发，给出对应的等效锥度运用限值。

首先，对速度和等效锥度进行等间隔变参设置（速度变化范围5~500 km · h^－1、步长5 km · h^－1；等效锥度变化范围0.010~0.505、步长0.005），依次计算各速度-等效锥度组合下的车辆系统最小阻尼比，得到系统最小阻尼比矩阵，并绘制速度-等效锥度-最小阻尼比三维等高线图，如图5（a）所示。

其次，为进一步识别不同速度-等效锥度组合下的系统蛇行稳定性，以阻尼比5%为临界值，并结合该特征值下的系统能量分布特性，判断蛇行失稳类型。基于上述划分逻辑，对最小阻尼比等高线图进行重置，实现车辆蛇行稳定性识别，结果如图5（b）所示。

最后，通过速度线切割分类图，在分类边界上得到蛇行失稳的临界点，其在等效锥度坐标轴上的映射点即为该速度下的等效锥度上下限，如图5（c）所示。

由图5可以看出：稳定状态区域占据大部分空间；车体与转向架的蛇行失稳区域均具有清晰的边界，且二者不邻接、被稳定区域间隔开；车体蛇行失稳主要发生在低锥度区域，且随着速度增大失稳对应的等效锥度区间缩小；转向架蛇行失稳主要发生在高锥度和高速区域，且随着速度增大失稳对应的等效锥度区间扩大；以350 km · h^－1的速度为例，等效锥度适用范围为0.07~0.41。

据此，可以快速得到任意车辆参数下速度指定或速度区间指定的轮轨匹配等效锥度运用限值。该限值对应车辆系统线性稳定性，故可以作为轮轨关系运维的外边界。

4 模态视角下车体蛇行失稳机理

蛇行频率作为蛇行模态的关键特征参数，是车辆系统动力学研究的重要指标^{［4，15，21-22，26，30］}。现有研究普遍指出^{［10，31-32］}，车体蛇行失稳为转向架蛇行频率与车体悬挂频率在运行速度下的耦合共振行为，即蛇行频率与车体蛇行失稳关系密切。因此，这里对这种内在关联做一些分析和探讨。

基于提出的蛇行频率连续跟踪算法，计算得到高速车辆系统横向动力学模型在所有速度-等效锥度协同演化下的蛇行频率，并取模态振型中2个蛇行频率中的较大值进行统计分析。用密度图刻画车辆在3种状态下“蛇行频率-最小阻尼比”“蛇行频率-速度”的映射关系，如图6和图7所示。由图6和图7可以看出：对于车辆稳定状态而言，蛇行频率较为均匀地分布在0~5 Hz范围内，且较低蛇行频率（<1 Hz）对应的速度基本分布在100 km · h^－1以下；对于车体蛇行失稳而言，蛇行频率均分布在3 Hz以下，且主要集中在1.0~1.5 Hz范围内，由图3的根轨迹和图4的振型可知车体上心滚摆和摇头模态的频率分布在该区间内，此外，失稳速度分布在100 km · h^－1以上，且主要集中于100~200 km · h^－1范围内；对于转向架蛇行失稳而言，蛇行频率主要分布在3~6 Hz范围内，且主要集中在5 Hz附近，此外，失稳速度分布在350 km · h^－1以上，且速度越大失稳频段越宽。

由上述结果，可以得到以下有用信息。

（1）对于转向架蛇行稳定性而言，速度的影响较大，且当车辆超过临界速度后将无法再恢复稳定状态。

（2）对于车体蛇行稳定性而言，蛇行频率与车体模态频率的耦合不是唯一决定因素，频率耦合速度也是决定因素；当蛇行频率与车体模态频率耦合发生在较高的速度下时易发生车体蛇行失稳。

基于上述发现，初步给出车体蛇行运动的发生机理，其形象化表达如图8所示。图中：点A和点B分别为低锥度和高锥度下蛇行频率与车体悬挂模态频率耦合点。

从图8可以看出：轮轨匹配等效锥度通过影响蛇行频率演变规律对频率耦合速度产生关键影响，致使在低锥度下频率耦合发生在较高速度下，此时系统阻尼比不足以提供振动衰减能力，从而发生车体蛇行失稳；然而，当等效锥度较大时，蛇行频率随速度增长速度较快，频率耦合发生在较低速度下，此时系统阻尼足以消耗蠕滑力输入的能量，故不会发生失稳现象。因此，为有效遏制晃车现象的发生，有效的措施之一是合理提高车辆系统蛇行频率，使频率耦合发生在较低速度下，此时系统阻尼比仍可以保证足够的振动衰减能力。

5 结论

（1）通过模态坐标下的归一化动能可有效识别蛇行失稳类型，车体蛇行运动时能量集中在车体振动中，转向架蛇行运动时则相反。

（2）在广域轮轨匹配环境下，车体蛇行失稳区域与转向架蛇行失稳区域存在清晰边界，且二者被稳定状态区域隔开；基于最小模态阻尼分布可快速得到任意车辆参数下指定速度区间的轮轨匹配等效锥度运用限值，该限值对应的车辆系统线性稳定性边界可作为轮轨关系运维的外边界。采用本文方法，所构建的高速车辆模型在350 km · h^－1车速下的等效锥度运用限值为0.07~0.41。

（3）对于车体蛇行运动而言，频率耦合不是唯一决定因素，频率耦合速度具有很大影响，当频率耦合发生在较高速度下易发生车体蛇行失稳；通过提高蛇行频率可有效遏制晃车现象的发生。

（4）从线性稳定性视角初步给出了高速车辆轮轨匹配等效锥度运用限值计算方法，该限值仅供车辆设计及轮轨关系运维参考，更精细的运用限值需开展进一步的非线性稳定性研究与试验验证，这些工作将在今后陆续展开。

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