基于旅客多维出行需求的列车开行方案与票价联合优化方法

Joint Optimization Method of Train Line Planning and Ticket Pricing Based on Multi-Dimensional Travel Demand of Passengers

摘要

为在客运服务产品设计时更好地满足旅客多样化的出行需求，定义旅客多维出行需求为“在OD需求基础上，进一步融合旅客对时间与经济性方面的个性化需求”；在高铁企业客票收入不减少的前提下，以旅客的票价成本、旅行时间成本和出发时间偏差成本构成的广义出行成本最小化为目标，构建基于旅客多维出行需求的列车开行方案与票价联合优化模型；基于自适应大邻域搜索（ALNS）算法设计求解算法，并以徐兰高铁兰州西—西安北段为背景进行案例分析。结果表明：优化后旅客的旅行时间成本略有增加，但其票价成本、出发时间偏差成本和广义出行成本分别降低18.58%，48.10%和19.17%；相比变邻域搜索（VNS）算法和模拟退火（SA）算法，设计的ALNS算法虽然收敛速度最慢，但迭代解质量最好，求解质量分别比前2种算法提升16.62%和23.87%。该方法能满足实际生产中不同规模线路的开行方案与票价联合优化工作的需要，并为客运产品优化提供决策参考。

Abstract

In order to better meet diverse travel demands of passengers in designing passenger service products, the multi-dimensional demands of passengers are defined as "further integrating personalized requirements of passengers in terms of time and cost based on OD demands". With the objective of minimizing the generalized travel cost consisting of ticket price cost, travel time cost and departure time deviation cost, a joint optimization model for train line planning and ticket pricing based on multi-dimensional travel demands of passengers is constructed with the premise of maintaining the ticket revenue for high-speed rail enterprises. A solution algorithm based on the Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) algorithm is designed, followed by a case study carried out on the section from Lanzhouxi Railway Station to Xi'anbei Railway Station of the Xuzhou-Lanzhou High-Speed Railway. The results indicate that, after optimization, the travel time cost increases slightly, while the ticket price cost, departure time deviation cost and generalized travel cost decrease by 18.58%, 48.10% and 19.17%, respectively. Compared with the Variable Neighborhood Search (VNS) and Simulated Annealing (SA) algorithms, the designed ALNS algorithm shows the slowest convergence speed, but the highest iterative solution quality, improving by 16.62% and 23.87%, respectively. This approach can satisfy the requirement of joint optimization work of line planning and ticket pricing across various route scales in actual production, and provide decision-making reference for optimizing passenger transport products.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 出行需求 / 列车开行方案 / 票价 / 自适应大邻域搜索算法

Key words

High-speed railway / Travel demand / Train line planning / Ticket pricing / Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) algorithm

随着我国高铁运输能力不断提升，旅客的基本位移需求已得到了充分满足，与此同时，客运服务产品的多元化发展趋势，促使旅客在经济水平、出行目的、出行时间及时间价值等方面展现出更加多维化的需求特征。在空间维度上，旅客对列车服务产品的位移功能有着基本需求；在时间维度上，旅客对出发时间、到达时间和旅行时间有着多样化的偏好；在经济性维度上，旅客对票价及与票价相关的列车等级、车次、席别等的接受程度存在个性化的差异。为进一步提升高铁客运服务水平，统筹考虑旅客需求的不同维度并设计能够匹配旅客多维度出行需求的客运服务产品，已成为高铁运营管理部门关注的重点。具体来看，要实现空间和时间维度上的合理匹配，其关键是制定列车开行方案，即对列车起讫点、开行数量、停站方案和列车发车时刻等内容进行决策；要实现经济性维度上的合理匹配，其关键是开展票价优化，即对列车在各OD上的价格进行决策。

为简化客运服务产品设计的复杂性，我国高铁运营管理部门在计划层面制定列车开行方案和运行图，在运营层面制定票价，两者共同构成最终的客运服务产品，即现阶段我国列车开行方案和票价优化是在运输组织的不同阶段分别进行决策的。在列车开行方案优化方面，文献［1］以客流OD需求为输入条件，建立决策列车开行频率和开行区段的开行方案优化模型；文献［2］基于网络中客流OD需求，构建列车开行方案混合整数非线性模型，决策列车开行频率；文献［3］以列车开行方案优化为上层模型、以客流分配为下层模型，构建列车开行方案双层规划模型，决策列车开行数量、类别、运行区段和停站方案；文献［4—5］也以旅客时变客流为输入条件，优化列车开行方案，满足了旅客在空间维度和时间维度的需求。在票价优化方面，文献［6］提出基于马尔可夫随机过程的列车多维特征差别定价方法，研究了不同运行特征下的非平行列车在OD相同和席别相同时的定价问题；文献［7］考虑客流在高峰和低谷时段的差别，构建列车差异化定价模型，并根据案例分析得出低谷时段的降价策略更利于提升经济效益的结论；文献［8］按照价格敏感性对旅客群体分类，以收益最大化为目标，提出一种基于离散价格的差异化定价优化模型；文献［9］构建了客票定价和票额分配的非线性混合整数规划模型，基于分段线性近似线性化技术将模型转化为线性混合整数规划模型，并运用Gurobi求解器求解。

上述研究或在未考虑票价的基础上优化列车开行方案，或在开行方案既定的条件下优化票价，未将开行方案优化和票价优化两个问题结合考虑，可能存在以下不足。一是在开行方案优化阶段未考虑列车定价就进行客流分配、直到票价优化阶段再根据价格重新调整客流分配的话，会使开行方案无法达到预设的最优目标；二是在票价优化阶段直接从旅客经济性需求角度优化票价的话，无法使旅客多维出行需求达到综合最优；三是在票价优化阶段直接从企业收益角度优化票价的话，可能会因票价调整而导致潜在客流向其他交通方式转移。

因此，许多学者认识到需要将运输组织中计划层面的开行方案与运营层面的票价相关问题进行联合优化。文献［10］将列车开行方案与票价联合优化问题定义为动态列车开行方案优化问题，构建了动态列车开行方案优化模型，设计模拟退火求解算法；文献［11］构建客运专线网络的开行方案优化与动态收益综合优化模型，并提出列生成算法和启发式算法；文献［12］在考虑社会公平性的前提下，构建了列车时刻表与票价联合优化的混合整数线性规划模型；文献［13］研究了“一日一图”运输模式下，高铁列车开行方案与票额分配联合优化问题；文献［14］对高铁动态票价与停站方案进行联合优化，构建动态票价、票额分配和停站方案联合优化非线性混合整数规划模型。但相关文献较少在考虑旅客类型条件下，以旅客出行广义成本最小为目标构建模型，得出的开行方案难以匹配旅客多维出行需求。

综上，在定义旅客多维出行需求的基础上，以采用浮动票价机制的高铁客运系统为研究对象，研究高铁列车开行方案与票价联合优化问题。在高铁运营企业客票收入不减少的条件下，以旅客广义出行成本最小为目标，构建基于旅客多维出行需求的开行方案与票价联合优化模型，并基于ALNS算法设计求解算法。

1 问题描述

如前所述，在空间维度上，旅客的需求是实现位移，即OD需求，这也是旅客出行的核心需求；在时间维度上，旅客主要是对出发时间、到达时间和旅行时间等进行权衡；在经济性维度上，旅客主要是对车票价格及与之相关的列车等级、车次、席别等进行权衡。旅客在空间维度和时间维度上的需求实现主要受到列车起讫站点、停站方案、列车数量及列车发到时刻等多重因素的共同制约。

不同旅客的个性化出行需求源于其对不同维度下不同因素的取舍选择。因此，定义旅客多维出行需求为“在OD需求基础上，进一步融合旅客对时间（出发时间、旅行时间和到达时间）与经济性（票价）方面的个性化需求”，并用敏感度描述旅客出行决策时对某项因素变动的反应程度。

旅客多维出行需求是列车开行方案和票价联合优化的关键因素。结合实际分析发现，票价是影响旅客出行敏感度的关键因素之一。旅客对票价的敏感度往往与其收入水平密切相关，根据收入水平不同，可将旅客分为低收入、中收入和高收入3种类型^［12］。设a为旅客类型，a\in \{\mathrm{0,1},\mathrm{2}\}，其中0，1和2分别表示低、中、高收入旅客类型。一般情况下，a=\mathrm{0}时旅客对票价的敏感度相对较高，但对出发时间、旅行时间和到达时间的敏感度最低。

旅客多维出行需求包含OD需求、旅客类型和期望出发时间，将其形式化地表示为p=(l,a,t_{\mathrm{P}})，其中l,a和t_P分别为旅客的OD需求、旅客类型和旅客期望出发时间，用于体现旅客在空间维度、经济性维度和时间维度的需求；旅客的OD需求l又可以表示为l=\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}}\right)，其中s_{\mathrm{o}}，s_{\mathrm{d}}分别为旅客的出发车站和终到车站。值得注意的是，当列车停站方案确定后，在旅客的期望出发时间中也会隐含旅客对到达时间的需求，因此无须额外考虑到达时间这一指标。

进一步地，基于旅客多维出行需求的列车开行方案与票价联合优化问题可表述为：输入高铁线路条件、备选列车信息和旅客多维出行需求等信息；在确保高铁企业客票收入不降低条件下，以旅客票价成本、旅客旅行时间成本和旅客出发时间偏差成本组成的广义出行成本最小为目标；以列车开行数量、停站方案、列车发车时间、客流分配方案和列车票价等为决策变量；输出列车起讫站、停站方案、开行数量、发车时间和票价，实现开行方案和票价与旅客多维出行需求的耦合。

在高铁实际运营过程中，依托铁路客运大数据平台中历史客流OD数据，可以预测高铁线路各OD间的客流量；采用问卷调查或对旅客实名制数据和历史出发时间等数据聚类分析，可以获得旅客类型和期望出发时间等需求^［16-17］。因此，假设旅客多维出行需求均已知^［12］。

2 模型构建

针对高铁旅客多维出行需求，考虑列车开行方案约束、票价约束、客流分配约束和变量耦合约束等，以高铁企业客票收入不减少条件下的旅客广义出行成本最小为目标，构建列车开行方案与票价联合优化模型（简称为“联合优化模型”），该模型属于非线性混合整数规划模型。

构建模型时，需要重点围绕旅客多维出行需求与各决策要素的关系进行优化，因此对高铁运输服务过程中的影响因素进行假设：

（1）仅考虑二等座的定价策略^［6］；

（2）列车采用固定编组的形式^［10］；

（3）旅客中途不进行换乘，即旅客只能乘坐在其始发站和终到站同时停站的列车^［18］；

（4）各车站的候车能力和到发线能力充足。

2.2　符号说明

假设高铁线路车站、旅客多维出行需求和备选开行列车均已知，S为车站集合；s为车站索引，s\in S；P为旅客集合；p为旅客索引，p\in P；L为旅客OD集合；l为旅客OD索引，l\in L；A为旅客类型集合，a\in A；T_{\mathrm{P}}为旅客期望出发时间集合；t_{\mathrm{P}}为旅客期望出发时间索引，t_{\mathrm{P}}\in T_{\mathrm{P}}；I为列车集合；i为列车索引，i\in I；S_i为列车i经过的车站集合，S_i ⊆S；o_i 和d_i 分别为列车i的始发站和终到站索引，o_i ∈S_i，d_i ∈S_i；s_o和s_d分别为旅客的出发站和终到站索引，s_o∈S，s_d∈S；\epsilon为研究时段内允许最大开行列车数量。

对于任意列车i\in I，T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}为列车i的始发时间范围下限；∆T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}为列车i的始发时间波动范围；N_i为列车i的最大停站次数；R_i为列车i的定员；C_i^{\mathrm{t}\mathrm{p}}为选择列车i时旅客的票价成本；C_i^{\mathrm{t}\mathrm{t}}为选择列车i时旅客的旅行时间成本；C_i^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}为选择列车i时旅客的出发时间偏差成本；t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}为列车i在s站的允许最小停站时间；t_{i,s}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}为列车i在车站s和s+\mathrm{1}间的运行时间。

对于任意旅客类型a，{\alpha }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}为旅行时间成本转换系数，表示其旅行时间价值；{\alpha }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}为期望出发时间偏差成本转换系数，表示\mathrm{其}期望出发时间偏差价值；{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}}为票价敏感系数；{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}为旅行时间敏感系数；{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}为期望出发时间偏差敏感系数。

对于任意区间s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}，Q_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}为s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间的旅客数量；y_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}为s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间的基础票价；y_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和y_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间允许的最小和最大票价。

w_i为0-1决策变量，表示列车i是否开行，若开行则取值为1，否则取值为0；x_{i,s}^{}为0-1决策变量，表示列车i在车站s是否停站，若停站则取值为1，否则取值为0；t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}和t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}为整数变量，表示列车i在车站s的出发和到达时间；y_{i,s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{}为实数变量，表示列车i在s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间的票价；q_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i为整数变量，表示需求为\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)的旅客中选择列车i出行的人数。

2.3　目标函数

从需求侧考虑，联合优化模型的目标是在不减少高铁企业客票收入的条件下，最小化旅客广义出行成本。对于选择列车i的旅客，其广义出行成本一般包括票价成本C_i^{\mathrm{t}\mathrm{p}}、旅行时间成本C_i^{\mathrm{t}\mathrm{t}}和出发时间偏差成本C_i^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}，即目标函数Z可表示为

Z=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{i\in I}\left(C_i^{\mathrm{t}\mathrm{p}}+C_i^{\mathrm{t}\mathrm{t}}+C_i^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}\right)（1）

在计算不同类型旅客的广义出行成本时，不同类型旅客对票价、旅行时间和出发时间偏差的敏感程度不同，需要分别考虑不同类型旅客对票价、旅行时间和出发时间偏差的敏感系数，也需要充分考虑不同类型旅客的旅行时间价值和出发时间偏差价值^［12］。

票价成本C_i^{\mathrm{t}\mathrm{p}}为各OD间不同类型旅客数量与其票价支出的乘积，即

C_i^{\mathrm{t}\mathrm{p}}=\sum _{a\in A}\sum _{s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}}\in l}{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}}{q}_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i{y}_{i,s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{}\forall i\in I（2）

旅客旅行时间成本C_i^{\mathrm{t}\mathrm{t}}为各OD间不同类型旅客数量与其旅行时间成本的乘积，即

（3）

出发时间偏差成本C_i^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}为各OD间不同类型旅客数量与其出发时间偏差成本的乘积，即

\begin{array}{l}{C}_i^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}=\sum _{a\in A}\sum _{l\in L:s_{\mathrm{o}}\in l}\sum _{t_{\mathrm{P}}\in T_{\mathrm{P}}}{\alpha }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}{q}_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i\left|t_{i,s_{\mathrm{o}}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{\mathrm{P}}\right|\\ \forall i\in I\end{array}（4）

2.4　约束条件

1）始发终到站约束

对于备选列车i\in I，其始发站o_i 和终到站d_i 是固定的，即

x_{i,o_i}^{}=x_{i,d_i}^{}=\mathrm{1}\forall i\in I,o_{\mathrm{i}},d_{\mathrm{i}}\in S_{\mathrm{i}}（5）

2）列车能力约束

对于任意列车i\in I，在任意区间s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}上，列车实际载客人数应满足列车定员约束，即

\begin{array}{l}\sum _{s_{\mathrm{o}}\in S_i,s_{\mathrm{o}}\le s}\sum _{s_{\mathrm{d}}\in S_i,s_{\mathrm{d}}>s}{q}_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i\le R_i\forall i\in I,s\in S_i\backslash \{d_i\},\\ a\in A,t_{\mathrm{P}}\in T_{\mathrm{P}}\end{array}（6）

3）客流总量需求约束

所有OD对之间的客流需求都应得到响应，即

（7）

4）任意OD客流需求约束

如果列车i在车站s不停车，则乘客不能乘坐列车i从s站出发；相反，如果i在s站停车，则列车i从s站出发的最大旅客数量受从s车站到其余车站的总旅客需求限制

\begin{array}{l}\sum _{s_{\mathrm{d}}\in S_i,s_{\mathrm{d}}>s_{\mathrm{o}}}{q}_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i\le \sum _{s_{\mathrm{d}}\in S_i,s_{\mathrm{d}}>s_{\mathrm{o}}}{Q}_{s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}}}{x}_{i,s}^{}\\ \forall i\in I,s\in S_i\backslash \left\{d_i\right\},a\in A,t_{\mathrm{P}}\in T_{\mathrm{P}}\end{array}（8）

5）客流分配变量与列车开行变量耦合约束

在客流分配过程中，仅当备选列车i开行即w_i=\mathrm{1}时，可以给列车i分配客流；当w_i=\mathrm{0}时，则不能给列车i分配客流。

（9）

6）列车开行变量与停站变量耦合约束

列车i在各站是否停站应受列车开行变量w_i的约束，当w_i=\mathrm{1}时，x_{i,s}^{}=\mathrm{1}或x_{i,s}^{}=\mathrm{0}；当w_i=\mathrm{0}时，x_{i,s}^{}=\mathrm{0}。

x_{i,s}^{}\le w_i\forall i\in I,s\in S_i（10）

7）列车停站次数约束

为了保证服务质量，列车i的停站次数不能超过允许的最大停站次数限制，即

\sum _{s\in S_i}{x}_{i,s}^{}\le N_i\forall i\in I（11）

8）列车始发站发车时间范围约束

列车i在始发站的发车时间应在既定的时间范围内，即

T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\le t_{i,o_i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\le T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}+∆T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\forall i\in I（12）

9）列车开行数量约束

联合优化模型的目标函数是旅客广义出行成本最小，这可能会造成列车开行数量越大、目标函数越好的情况，因此在满足高质量服务的同时，从企业运营成本角度考虑，应对列车开行数量进行限制^［10］。

\sum _{i\in I}{w}_i\le \epsilon（13）

10）列车停站时间约束

列车i在各站的停站时间应满足最小停站时间约束，即

t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\ge t_s^{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}{x}_{i,s}^{}\forall i\in I,s\in S_i\backslash \{o_i,d_i\}（14）

11）区间运行时分约束

列车i在某一区间上的运行时间应符合列车运行的连续性要求，即

t_{i,s+\mathrm{1}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}=t_{i,s}^{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\forall i\in I,s\in S_i\backslash \{d_i\}（15）

12）列车票价约束

为保证旅客和企业双方的利益，列车i在s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间票价需满足

（16）

13）企业收入约束

为确保企业效益，保障旅客广义出行成本的降低不以企业客票收入的损失为代价，则优化后的企业收入不应小于优化前的，即

\begin{array}{l}\sum _{s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}}\in l}{y}_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}{Q}_{s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}\ge \sum _{i\in I}\sum _{s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}}\in l}{y}_{i,s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{}{q}_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i\\ \forall a\in A,t_{\mathrm{P}}\in T_{\mathrm{P}}\end{array}（17）

14）变量约束

决策变量中，列车开行变量w_i和列车停站变量x_{i,s}^{}均为0-1整数变量，列车出发时间变量t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}、到达时间变量t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}和客流分配变量q_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i均为整数变量，票价变量y_{i,s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}}^{}为实数变量，即

w_i\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall i\in I（18）

x_{i,s}^{}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall i\in I,s\in S_i（19）

t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}\in {\mathbb{Z}}_{\mathrm{0}}^{+}\forall i\in I,s\in S_i\backslash \left\{d_i\right\}（20）

t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}\in {\mathbb{Z}}_{\mathrm{0}}^{+}\forall i\in I,s\in S_i\backslash \left\{o_i\right\}（21）

（22）

（23）

3 算法设计

联合优化模型中涉及3种类型的决策变量，第1类为列车开行方案相关变量，包括备选列车是否开行变量w_i、停站方案变量x_{i,s}^{}、列车发到时间变量t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}和t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{r}}；第2类为客流分配变量q_{\left(s_{\mathrm{o}},s_{\mathrm{d}},a,t_{\mathrm{P}}\right)}^i；第3类为票价变量y_{i,s_{\mathrm{o}}—s_{\mathrm{d}}}^{}。不同类型变量及对应的基数见表1。

由于列车发车时间和客流分配变量的存在，联合优化模型具有非线性、决策变量维度高等特点，导致难以被精准求解。启发式算法在解决该类复杂组合优化问题时具有非常高的求解效率，已在列车开行方案优化和票价优化问题中得到广泛应用，考虑到自适应大邻域搜索（Adaptive Large Neighborhood Search，ALNS）算法在求解过程中，可以根据执行算子的历史表现与使用次数选择下一次迭代的执行算子，通过执行算子之间的竞争生成当前解的邻域解，具有很大概率能够搜索更好的解^［19-21］，因此，提出基于ALNS设计的求解算法（简称为ALNS算法）并据此求解模型。

3.1　算法框架设计

结合问题和模型特征，ALNS算法的总体框架如下。

步骤1：初始化算法参数和初始解H^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}；调用初始解生成算法，生成开行方案初始解H_{\gamma }^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}和票价初始解H_{\delta }^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}；调用基于旅客广义出行成本最小的客流分配算法，生成客流分配初始解H_{\eta }^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}；计算初始解对应的目标函数值Z^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}。

步骤2：调用执行算子操作方法，根据算子权重{\rho }_j，用轮盘赌随机选择执行算子j，得到新解H_{\gamma }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}和H_{\delta }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}；调用基于旅客广义出行成本最小的客流分配算法，得到新解H_{\eta }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}；计算新解对应的目标函数值Z^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}。

步骤3：基于模拟退火机制判断新解是否被接受，如果被接受则转入步骤4；否则转入步骤5。

步骤4：将新解H_{\gamma }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}，H_{\delta }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}和H_{\eta }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}分别赋值给H_{\gamma }，H_{\delta }和H_{\eta }，将Z^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}赋值给Z，转入步骤5。

步骤5：调用执行算子操作方法，更新本代使用的执行算子j的评价分数{\pi }_j，更新模拟退火温度\Gamma和迭代次数\tau。

步骤6：以最小模拟退火温度{\Gamma }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和最大迭代次数{\tau }^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为算法终止条件，判断算法是否达到终止条件，若达到，算法结束；否则，转到步骤2。其中，{\Gamma }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=ϵ{\Gamma }_{\mathrm{o}}，ϵ为降温系数，{\Gamma }_{\mathrm{o}}为初始温度。

3.2　初始解生成算法

联合优化模型的解包括开行方案解H_{\gamma }、票价解H_{\delta }和客流分配解H_{\eta }。即模型的解H为

H=\{H_{\gamma },H_{\delta },H_{\eta }\}（21）

其中，

H_{\gamma }=\{H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}},H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}\}

式中：H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}为列车始发时间解；H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}为停站方案解。

初始解生成步骤如下。

步骤1：初始化H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}，H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}，H_{\delta },H_{\eta }（均为0元素）。

步骤2：随机生成所有列车始发时间初始解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}。

步骤3：根据始发时间初始解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}判断是否满足列车开行数量约束，若满足，转步骤5；若不满足，转步骤 4。

步骤4：随机选择开行列车，使其发车时间解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}由1变为0，直至满足列车开行数量约束。

步骤5：在满足列车停站次数约束的条件下，基于各站上下车客流比例大小生成停站方案解H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}。

步骤6：在满足列车票价约束和企业收入约束的条件下，随机生成票价解H_{\delta }。

步骤7：调用基于旅客广义出行成本最小的客流分配算法，生成客流分配解H_{\eta }并终止。

3.3　基于旅客广义出行成本最小的客流分配算法

已知列车停站方案解H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}条件下，对于出发车站为s_{\mathrm{o}}，到达车站为s_{\mathrm{d}}的旅客p，须选择在s_{\mathrm{o}}和s_{\mathrm{d}}均停站的列车，才可完成出行。因此，首先，根据停站方案解H_{\gamma }^{\mathrm{S}\mathrm{P}}判断满足旅客p乘降的列车i_p；其次，考虑列车能力约束，以旅客广义出行成本最小化为目标进行客流分配。基于此方法得到的解，能够满足本文的优化目标。具体步骤如下。

步骤1：初始化客流分配初始解H_{\eta }^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}}。

步骤2：依次判断满足旅客p乘降的列车i_p，添加到集合I_p中。

步骤3：计算旅客p选择满足旅客p乘降列车i_p的广义出行成本，形成旅客p选择满足乘降列车的出行成本集合U_p。

步骤4：计算列车i在各区间的客座率。

步骤5：分配客流。对于旅客p，选择广义出行成本最小的列车，判断将旅客p分配给列车i_p后，列车在各区间的客座率是否会超过客座率最大阈值；若不超过客座率最大阈值，则分配旅客p至列车i_p，若超过客座率最大阈值，则判断广义出行成本次小值对应的列车是否满足客座率约束，将旅客p分配至满足客座率约束的次优列车i_p；重复该过程，直至将所有旅客分配完毕后终止。

3.4　执行算子操作方法

为产生列车开行方案与票价优化解的邻域解，设计包含移除算子、插入算子和调整算子的执行算子操作方法，生成新解H_{\gamma }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}和H_{\delta }^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}。3类执行算子操作方法如下。

1）移除算子

设计随机移除算子和客座率最小移除算子。随机移除算子是随机选择列车，将列车始发时间解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}由1变为0；客座率最小移除算子是选择当前解中客座率最小的列车，将列车始发时间解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}由1变为0。

2）插入算子

设计随机插入算子和客座率最大插入算子。随机插入算子是随机选择列车，将列车始发时间解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}由0变为1；客座率最大插入算子是在客座率最大的列车前选择未开行列车，将始发时间解H_{\gamma }^{\mathrm{D}\mathrm{T}}由0变为1。

3）停站方案调整算子

对当前未被分配的旅客p，随机选择列车i，若i在旅客p的出发车站s_{\mathrm{o}}和到达车站s_{\mathrm{d}}未停车，将列车i在该站的停站方案解由0变为1。

4）票价调整算子

设计随机票价调整算子和客座率调整算子。随机票价调整算子是随机选择列车i，调整票价解H_{\delta }；客座率调整算子是对客座率最大的列车增大票价，对客座率最小的列车减少票价。

定义{\pi }_j和{\rho }_j为执行算子j的评价分数和权重，初始化{\pi }_j=\mathrm{0}，{\rho }_j=\mathrm{1}；在每次迭代后，若新可行解优于当前解，为算子j增加分数{\phi }_{\mathrm{1}}；若新可行解劣于当前解但以一定概率接受新可行解，为算子j增加分数{\phi }_{\mathrm{2}}。

4 案例分析

为验证所提方法的有效性和实用性，以徐兰高铁兰州西—西安北段线路为背景，设置多组算例进行测算。所有算例均在Visual Studio 2019平台使用C#编程语言实现，均执行在配置为Intel（R） Core（TM）i5-8250U CPU @1.60 GHz 1.80 GHz，内存为8 G的计算机。

4.1　基础数据

徐兰高铁兰州西—西安北段线路运营里程为568 km，沿线共设客运站12座，将车站依次编号为1—12，线路、车站及区间运行时分信息如图1所示。

按照2022年某日客流数据优化列车开行方案和票价。该日总客流为15 689人，根据兰州西—西安北间客流结构特点，假设低收入、中收入和高收入旅客占比情况为50%，30%和20%；按实际出发站点的实际发车时间，在前后1 h范围内随机生成各OD旅客期望出发时间。基于旅客期望出发时间的客流需求如图2所示，可以看出时段6：00—10：00间的客流需求较小，其他时段下客流需求相对较大。

模型中参数取值分别为：运营时段为6：00—24：00，以5 min为最小列车追踪间隔；结合区段客流占比情况，生成兰州西—西安北备选列车115列，允许最大停站次数N_i取10；生成宝鸡南—西安北备选列车65列，允许最大停站次数N_i取5；查询12306官方售票网站，得到区段s_{\mathrm{o}}-s_{\mathrm{d}}间基础票价y_{s_{\mathrm{o}}—s_{\mathrm{d}}}的取值见表2。

由于旅客对旅行时间和出发时间偏差的偏好信息较难精准量化，参考文献［22］，设定旅行时间价值{\alpha }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}等于期望出发时间偏差价值{\alpha }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}，旅行时间敏感系数{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}等于期望出发时间偏差敏感系数{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}；参考文献［5］，设定不同类型旅客对票价、旅行时间和出发时间偏差的敏感系数见表3。基于历史实际列车开行方案，R_i=\mathrm{622}人，∆T_i^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}=5 min，M=99 999，取允许最大开行列车数\epsilon =\mathrm{21}列。算法中参数取值分别为：初始温度{\Gamma }_{\mathrm{o}}=1 000，最小模拟退火温度{\Gamma }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0.01，降温系数ϵ=\mathrm{0.989}，增加分数{\phi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{10}，{\phi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}。

4.2　优化结果

以基础数据为输入进行优化。优化过程中，模型目标函数及组成部分随迭代次数的变化趋势如图3所示。由图3可知：随着迭代次数的增加，目标函数、旅客票价成本、旅客旅行时间成本、旅客出发时间偏差成本均整体下降；当迭代至第408代时达到收敛，此时广义出行成本为2 784 836.50元。

优化后列车开行方案如图4所示。该方案下，列车开行数量达到允许的最大开行列车数，即21列，其中兰州西—西安北17列，宝鸡南—西安北4列；列车总停站次数为154次；各列车的始发时间、停站次数和客座率等信息见表4；各列车在兰州西与其余车站组成区段的票价结果如图5所示。

由图5可以发现：在客流需求较小的时段6：00—10：00，各列车的票价均较低，而在其他客流需求较大的时段，开行列车的票价较高，这样有利于通过票价调节旅客出行的需求分布；各时段各列车票价能够较好地吻合旅客出行需求的时空分布，验证了所提方法的有效性。

优化前后，列车开行数均为21列。在列车开行数不变的情况下，列车开行方案、票价各项指标及目标函数值变化情况见表5，表中变化率取负值表示优化后数值降低，取正值表示优化后数值增加。由表5可知：优化前开行列车均为长程车，优化后开行了部分短程车，减少了列车运行里程，有效降低了高铁运营成本；在高铁运营企业总客票收入增加0.98%的基础上，优化后旅客票价成本减少了18.58%，实现了将低收入旅客分配至平均票价较低列车、将高收入旅客分配至平均票价较高列车的目标；虽然优化后旅客旅行时间成本略有增加，但旅客出发时间偏差成本和旅客广义出行成本分别降低48.10%和19.17%，优化效果明显。

4.3　灵敏度分析

参数{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}},{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}\mathrm{和}{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}反映了低、中和高不同收入类型的旅客对票价、旅行时间、出发时间偏差的敏感程度。为研究不同敏感系数对优化目标的影响，设计两个测试组（以表3为对照组，在表3的基础上，分别对a=\mathrm{0}和a=\mathrm{2}增减0.3）进行计算与对比，参数取值见表6。

不同参数测试优化结果见表7。由表7可知：对于同一测试组下的不同类型旅客，随着旅客收入水平的增加，票价平均成本降低，旅客旅行时间平均成本和旅客出发时间偏差平均成本均增加，如测试组1中，低、中和高3种收入类型旅客的票价平均成本分别为118.75，77.66和17.64元 · 人^－1，旅客旅行时间平均成本分别为3.00，54.22和275.35元 · 人^－1，旅客出发时间偏差平均成本分别为4.53，27.87和50.64元 · 人^－1；对于不同测试组下的同一类型旅客，旅客票价平均成本随票价敏感系数{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}}的降低而降低，如{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}}分别取值1.8（测试组1）、1.5（对照组）和1.2（测试组2）时，低收入旅客的票价平均成本分别为118.75，105.06和84.91元 · 人^－1，旅客旅行时间成本和出发时间偏差平均成本均随旅行时间敏感系数{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}（期望出发时间偏差敏感系数{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}）的降低而降低，如{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}}（{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}）分别取值0.8（测试组2）、0.5（对照组）和0.2（测试组1）时，旅客旅行时间平均成本分别为12.03，7.44和3.00元 · 人^－1，旅客出发时间偏差平均成本分别为8.90，7.09和4.53元 · 人^－1；参数{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{p}},{\beta }_a^{\mathrm{t}\mathrm{t}},{\beta }_a^{\mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{d}}取值不同时，模型均能满足优化目标。

4.4　算法求解效果

1）求解质量

为了验证ALNS算法的求解质量，将其与变邻域搜索算法（VNS算法）、模拟退火算法（SA算法）的求解质量进行比较。对于所建联合优化模型，基于相同案例和参数条件进行计算。

3种算法的求解质量见表8。表中：“Gap”为相比于ALNS算法，VNS算法和SA算法的目标函数值增长率。由表8可知：VNS算法的计算效率最高，ALNS算法次之，SA算法最低；ALNS算法的求解质量明显优于VNS算法和SA算法，分别比后两者提高了16.62%和23.87%。

3种算法的收敛曲线如图6所示。由图6可知：SA算法和VNS算法在迭代过程中较早陷入局部最优解，ALNS算法虽然收敛速度最慢，但最终迭代解的质量最好，这可能是由于其运用自适应机制，搜索解的历史信息的缘故。

2）计算效率

为验证ALNS算法在实际应用场景下的计算效率，测试其在不同线路规模下的计算时间，见表9。由表9可知：ALNS算法可用于求解徐兰高铁兰州西—西安北段、京广高铁武汉—广州南段、京沪高铁等繁忙干线的列车开行方案与票价联合优化问题，求解时间虽随着求解规模有所增加，但能够满足实际生产中不同线路的方案优化工作。

5 结语

基于旅客多维出行需求优化列车开行方案与票价，是提升高铁运输服务水平的关键。在我国高铁客运产品呈现多元发展的背景下，结合实际将高铁旅客多样化的出行需求划分为空间、时间、经济性3个不同维度，构建基于旅客多维出行需求的高铁列车开行方案与票价联合优化模型；模型的优化目标是在不减少高铁企业客票收入的条件下，令旅客广义出行成本最小化，并决策列车始发终到站、开行数量、停站方案、发车时间、票价等信息。考虑到模型非线性化及决策变量维度高等特点，基于ALNS算法设计求解算法。徐兰高铁兰州西—西安北段案例的优化结果表明，优化后，得到的列车开行方案和票价能够响应旅客多维出行需求，旅客广义出行成本降低19.17%，旅客票价成本降低18.58%，旅客出发时间偏差成本降低48.10%，形成的方案可以有效降低旅客广义出行成本；设计的ALNS算法虽然收敛较慢但迭代解质量较好，相同算例下，求解质量比VNS算法和SA算法提高16.62%和23.87%。所提方法同样适用于京广高铁武汉—广州南段、京沪高铁等不同规模线路，可有效联合优化开行方案和票价，为高铁客运产品优化提供参考依据。

在后续研究中，将基于旅客的历史购票信息，运用机器学习方法精准标定不同类型旅客对票价、旅行时间和出发时间偏差的敏感系数，并研究列车开行方案和票价联合优化模型的精确求解算法。

参考文献

[1] BORNDÖRFER R， GRÖTSCHEL M， PFETSCH M E. A Column-Generation Approach to Line Planning in Public Transport ［J］. Transportation Science， 2007， 41 （1）： 123-132.

[2] CANCA D， BARRENA E， DE-LOS-SANTOS A， et al. Setting Lines Frequency and Capacity in Dense Railway Rapid Transit Networks with Simultaneous Passenger Assignment ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2016， 93： 251-267.

[3] 史峰，邓连波，霍亮.旅客列车开行方案的双层规划模型和算法［J］.中国铁道科学，2007，28（3）：110-116.

[4] SHI Feng， DENG Lianbo， HUO Liang. Bi-Level Programming Model and Algorithm of Passenger Train Operation Plan ［J］. China Railway Science， 2007， 28 （3）： 110-116. in Chinese

[5] 史峰，李彦霖，胡心磊，等.面向服务水平的高速铁路列车开行方案优化［J］.中国铁道科学，2018，39（5）：127-136.

[6] SHI Feng， LI Yanlin， HU Xinlei， et al. Service Level Oriented Optimization of Train Operation Plan for High Speed Railway ［J］. China Railway Science， 2018， 39 （5）： 127-136. in Chinese

[7] ZHAO S， WU R F， SHI F. A Line Planning Approach for High-Speed Railway Network with Time-Varying Demand ［J］. Computers & Industrial Engineering， 2021， 160： 107547.

[8] JING Y， GUO S Y， CHEN F Q， et al. Dynamic Differential Pricing of High-Speed Railway Based on Improved GBDT Train Classification and Bootstrap Time Node Determination ［J］. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems， 2022， 23 （9）： 16854-16866.

[9] VAN VUUREN D. Optimal Pricing in Railway Passenger Transport： Theory and Practice in the Netherlands ［J］. Transport Policy， 2002， 9 （2）： 95-106.

[10] 王煜，苗蕾.基于离散价格的高铁差异化定价优化研究［J］.交通运输系统工程与信息，2022，22（3）：7-14.

[11] WANG Yu， MIAO Lei. Differential Pricing Optimization of High-Speed Railways Based on Discrete Price ［J］. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology， 2022， 22 （3）： 7-14. in Chinese

[12] XU G M， ZHONG L H， HU X L， et al. Optimal Pricing and Seat Allocation Schemes in Passenger Railway Systems ［J］. Transportation Research Part E： Logistics and Transportation Review， 2022， 157 （C）： 102580.

[13] 孙国锋，景云，马亚雯.考虑旅客多维出行需求的动态列车开行方案优化［J］.铁道学报，2022，44（11）：10-18.

[14] SUN Guofeng， JING Yun， MA Yawen. Optimization of Dynamic Train Line Planning Considering Multi-Dimensional Travel Demand of Passengers ［J］. Journal of the China Railway Society， 2022， 44 （11）： 10-18. in Chinese

[15] 蓝伯雄，王童姝.大规模客运专线网络运营优化模型与求解算法［J］.中国管理科学，2016，24（6）：159-170.

[16] LAN Boxiong， WANG Tongshu. Optimization Model and Algorithms for Large-Scale Rail Passenger Transport Network Operation ［J］. Chinese Journal of Management Science， 2016， 24 （6）： 159-170. in Chinese

[17] ZHAN S， WONG S C， LO S M. Social Equity-Based Timetabling and Ticket Pricing for High-Speed Railways ［J］. Transportation Research Part A： Policy and Practice， 2020， 137： 165-186.

[18] 赵翔，武晋飞，单杏花.“一日一图”模式下高速列车开行方案与票额分配协同优化方法［J］.铁道学报，2023，45（8）：10-17.

[19] ZHAO Xiang， WU Jinfei， SHAN Xinghua. Collaborative Optimization of High-Speed Train Line Planning and Seat Allocation under “Daily Train Timetabling” ［J］. Journal of the China Railway Society， 2023， 45 （8）： 10-17. in Chinese

[20] 秦进，张子璇，黎熙琼，等.高铁动态票价与停站方案联合优化方法［J］.铁道科学与工程学报，2023，20（3）：812-823.

[21] QIN Jin， ZHANG Zixuan， LI Xiqiong， et al. Joint Optimization of Ticket Pricing and Stop Plan for High-Speed Railway ［J］. Journal of Railway Science and Engineering， 2023， 20 （3）： 812-823. in Chinese

[22] 史峰，周文梁，陈彦，等.基于弹性需求的旅客列车开行方案优化研究［J］.铁道学报，2008，30（3）：1-6.

[23] SHI Feng， ZHOU Wenliang， CHEN Yan， et al. Optimization Study on Passenger Train Plans with Elastic Demands ［J］. Journal of the China Railway Society， 2008， 30 （3）： 1-6. in Chinese

[24] 单杏花，王富章，朱建生，等.铁路客运大数据平台架构及技术应用研究［J］.铁路计算机应用，2016，25（9）：14-16，30.

[25] SHAN Xinghua， WANG Fuzhang， ZHU Jiansheng， et al. Architecture and Technology Application of Big Data Platform for Railway Passenger Transport ［J］. Railway Computer Application， 2016， 25 （9）： 14-16， 30. in Chinese

[26] 卫铮铮，单杏花，王洪业，等.基于客运大数据平台的铁路客流预测系统［J］.铁路计算机应用，2022，31（1）：37-42.

[27] WEI Zhengzheng， SHAN Xinghua， WANG Hongye， et al. Railway Passenger Flow Forecast System Based on Passenger Transport Big Data Platform ［J］. Railway Computer Application， 2022， 31 （1）： 37-42. in Chinese

[28] 张春田，戚建国，杨立兴，等.基于不确定旅客需求的高速铁路鲁棒列车开行方案研究［J］.交通运输系统工程与信息，2022，22（1）：115-123.

[29] ZHANG Chuntian， QI Jianguo， YANG Lixing， et al. Robust Train Operation Plan Based on Uncertain Passenger Demands for High-Speed Railway Corridors ［J］. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology， 2022， 22 （1）： 115-123. in Chinese

[30] DONG X L， LI D W， YIN Y H， et al. Integrated Optimization of Train Stop Planning and Timetabling for Commuter Railways with an Extended Adaptive Large Neighborhood Search Metaheuristic Approach ［J］. Transportation Research Part C： Emerging Technologies， 2020， 117： 102681.

[31] ROPKE S， PISINGER D. An Adaptive Large Neighborhood Search Heuristic for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows ［J］. Transportation Science， 2006， 40 （4）： 455-472.

[32] WINDRAS MARA S T， NORCAHYO R， JODIAWAN P， et al. A Survey of Adaptive Large Neighborhood Search Algorithms and Applications ［J］. Computers & Operations Research， 2022， 146： 105903.

[33] ROBENEK T， AZADEH S S， MAKNOON Y， et al. Train Timetable Design under Elastic Passenger Demand ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2018， 111： 19-38.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52372300)

国家自然科学基金资助项目(72161023)

高原铁路运输智慧管控铁路行业重点实验室开放课题(GYYSHZ2302)