冻融循环作用下灰岩和石英岩力学特性及损伤本构模型试验研究

Experimental Study on the Mechanical Properties and Damage Constitutive Models of Limestone and Quartzite under Freeze-Thaw Cycles

摘要

针对季冻区岩体工程中岩石的冻融劣化问题，选取具有代表性的灰岩和石英岩为试验对象，通过冻融循环试验、单轴压缩试验以及SEM扫描电镜试验对岩石的孔隙率、宏-细观破坏特征、力学特性以及能量演化规律进行研究。根据典型岩石的应力-应变曲线，基于Lemaitre平面应变理论和统计理论，将冻融循环作用产生的损伤效应耦合到损伤本构模型中，考虑压密段的影响，根据岩石的损伤本构方程和试验曲线特点分2段拟合本构方程。结果表明：冻融循环作用更易加剧高孔隙率灰岩的风化；随着冻融次数的增加，灰岩和石英岩的抗压强度均服从指数衰减；模型曲线的峰值点与试验曲线的峰值点较为接近，分段损伤本构模型与试验得到的曲线吻合较好，该损伤本构模型以及参数选取是正确可靠的。

Abstract

To address the issue of freeze-thaw deterioration of rocks in seasonal frozen regions, representative limestone and quartzite were selected as test subjects. The study involved freeze-thaw cycle tests, uniaxial compression tests, and SEM (scanning electron microscope) tests to investigate the porosity, macro-mesoscopic failure characteristics, mechanical properties, and energy evolution laws of the rocks. Based on the characteristics of the stress-strain curves of typical rocks, the damage effects induced by freeze-thaw cycles were coupled into the damage constitutive model using Lemaitre’‍s plane strain theory and statistical theory. Considering the compaction stage, the constitutive equation was fitted in two segments according to the characteristics of the rock’‍s damage constitutive equation and experimental curves. The study showed that freeze-thaw cycles more easily exacerbate the weathering of high-porosity limestone. As the number of freeze-thaw cycles increases, the compressive strength of both limestone and quartzite follows an exponential decay. The peak points of the model curve are in close agreement with those of the experimental curve, and the segmented damage constitutive model fits the experimental curve well. This indicates that the proposed damage constitutive model and the selection of parameters are correct and reliable.

Graphical abstract

关键词

岩石工程 / 冻融循环 / 力学特性 / 能量演化 / 损伤本构模型

Key words

Rock engineering / Freeze-thaw cycles / Mechanical properties / Energy evolution / Damage constitutive model

随着我国西部大开发战略“一带一路”建设等的不断推进，铁路工程不断向艰险山区推进^［1］。由于艰险山区海拔高、地形起伏较大（垂直落差超过4 000 m），地势陡峭，昼夜温差大（-30~50 ℃），气候环境恶劣，因此在艰险山区修建铁路的过程中遇到了大量复杂的岩石工程问题^［2］。岩石的风化作用是一种复杂的地质作用，尤其是昼夜循环、季节更替等引起的冻融循环更容易使岩石风化^［3］。风化作用使岩石不断损伤劣化，导致斜坡崩塌、路基变形、桥梁失稳、隧道塌陷等工程灾害频发，严重影响铁路建设的高效推进^［4-7］。所以，通过冻融循环试验模拟岩石受到的剧烈风化作用，研究不同风化作用下典型岩石的力学特性以及劣化损伤演化规律，对艰险山区铁路建设具有重大工程意义。

目前，国内外已有大量学者基于理论解析、冻融循环试验等手段对岩石冻融劣化损伤机制开展了大量研究，并取得了丰富成果^［8-9］。Bayram^［10］对土耳其寒区的灰岩试样进行了冻融循环试验，并通过单轴压缩试验建立了抗压强度损失值的统计模型，该模型能有效预测灰岩单轴压缩强度的百分比损失值。Tan等^［11］选取西藏黑云母花岗岩为试样，对其开展了冻融循环试验（-40~40 ℃），分析并讨论了冻融、围压共同作用对岩石的强度、弹性模量、黏聚力和内摩擦角等力学参数的影响。张树明等^［12］通过动三轴试验对冻结细粉砂土本构模型进行了研究，建立了破损参数简化的二元介质模型。陈有亮等^［13］研究了在化学溶液和冻融循环耦合作用下花岗岩的力学性能及劣化损伤机制。张慧梅等^［14-15］提出了冻融-荷载共同作用下总损伤概念，建立了冻融-荷载耦合作用下岩石的损伤本构模型，并进一步研究了岩石冻融损伤的机理以及损伤演化过程。贾蓬等^［16］通过饱水裂隙岩石的冻融循环试验，研究了裂隙岩体裂隙的几何参数对岩石冻融变形规律的影响。王中文等^［17］基于颗粒流法研究了砂岩在冻融损伤作用下细观特征的变化规律。肖鹏等^［18］对砂岩进行了不同温度下的冻融循环试验（最低温度-30，-40和-50 ℃），并结合扫描电镜对砂岩的细观损伤机制进行了研究。此外，谭皓等^［19］、俞缙等^［20］、宋勇军等^［21］也从细观角度对冻融条件下岩石的劣化损伤进行了研究。综上可知，虽然在宏、细观角度对岩石冻融劣化的研究已取得了不少成果，但对于冻融循环作用下典型岩石的力学性能变化规律以及劣化损伤机制仍存在诸多不明之处，特别是对艰险山区铁路沿线区域典型岩石在冻融循环后的力学特性变化规律以及冻融损伤本构模型有待进一步深入研究。

基于此，选取艰险山区铁路沿线某工点处2种典型岩石，即高孔隙率灰岩和低孔隙率石英岩作为主要研究对象，通过单轴压缩试验对冻融劣化后岩石的力学特性变化规律进行研究，揭示岩石在冻融损伤后的力学参数变化规律和破坏模式。基于Lemaitre平面应变理论和统计理论，将冻融循环作用产生的损伤效应耦合到损伤本构模型中，并考虑压密段的影响，根据岩石的损伤本构方程和试验曲线分2段拟合损伤本构方程。

1 冻融循环试验概况

灰岩取自昌都市八宿县某隧道进口边坡工程，石英岩取自林芝市波密县某隧道进口边坡工程。根据国际岩石力学学会试验规程（ISRM）对现场取回的原状岩石样品进行加工，制作成用于单轴压缩试验的试样。试样为标准的圆柱体，直径\varphi为50 mm，高h为100 mm，如图1所示。加工完成的试样需满足GB/T 50266—2013《工程岩体试验方法标准》的要求，对于符合标准的试样，进行声波速测试，选取波速相近的试样进行后续试验。

通过XRD衍射对矿物成分进行分析，结果如图2所示。由图2可见：灰岩主要由方解石、石英、白云母、正长石等矿物组成；石英岩主要石英、白云母、黑云母等矿物组成。灰岩和石英岩的矿物组成百分比如图3所示。经过测定灰岩、石英岩的主要物理性质指标见表1。

试验主要设备仪器有高低温恒温恒湿试验箱（TMS9015，温度控制精度±1.0 ℃）、微机控制电液伺服万能试验机（CTS600）、电子天平（精度±0.01 g）、电子数显游标卡尺、电热鼓风烘干试验箱、真空饱和试验缸、X射线衍射仪（Empyrean）、场发射扫描电子显微镜（Sigma 500）等。

灰岩和石英岩采用相同的试验方法，每种岩样分成5组进行试验，每组3个试样。首先将烘干后的灰岩和石英岩试样进行饱水处理，具体为：将试样放入真空饱和缸中进行抽真空，然后原位浸水48 h后取出进行冻融循环试验。冻结温度为-20 ℃，冻结时间为4 h，解冻温度为20 ℃，解冻时间为4 h，单次冻融循环的周期为8 h。每种岩样的5组试样分别进行0，20，40，60和80次冻融循环，具体试样分组及编号见表2。冻融循环试验完成后，将对应的岩石试样取出进行单轴压缩试验，加载速率控制为0.06 mm · min^-1［22］。为增加试验数据的可靠性和代表性，后续对岩石物理力学性能指标分析时，均采用3个平行试样试验结果的平均值作为最终结果。

2 试验结果与分析

2.1　孔隙率

依据试样真空饱和后质量与经历不同次数冻融循环干燥后质量计算孔隙率。图4给出了经历不同次数冻融循环灰岩和石英岩的孔隙率。由图4可知：不同冻融循环次数下灰岩的孔隙率明显高于石英岩，2种岩石的孔隙率均随冻融次数的增加呈现非线性增长的趋势；灰岩未经历冻融循环的初始孔隙率5.57%，而冻融循环达到80次以后的孔隙率增大到11.78%；石英岩的初始孔隙率为1.8%，冻融循环80次后，孔隙率变为3.88%。这是因为高孔隙率灰岩的初始饱和含水率高，岩石孔隙在水冰相变的作用下大量发展孕育出新的裂隙，导致孔隙率变化明显；低孔隙率的石英岩由于饱和含水率较低，导致水冰相变作用产生的冻胀力对岩石损伤效应影响较小，进而孔隙率变化不明显。试验结果表明，冻融循环对高孔隙率岩石的影响更加明显。

2.2　力学特性

经历不同次数冻融循环后灰岩和石英岩试件的应力应变曲线如图5所示。从图5可以看出：冻融循环次数对灰岩和石英岩单轴压缩强度和变形影响明显，其应力应变曲线均可分为初始压密、弹性变形、塑性变形和峰后破坏4个阶段；冻融循环对灰岩的影响主要体现在峰后破坏阶段，加载至峰值应力后，随着冻融循环次数的增加，灰岩逐渐由脆性破坏向延性破坏发展，其应力应变曲线在峰后出现平台，并且冻融循环次数越多平台越长，说明灰岩在经历冻融循环后脆性降低，塑性增加；冻融循环对石英岩的影响主要表现为峰值应力降低和压密阶段增长，强度超过峰值应力后，应力迅速降低，表现出强烈的脆性破坏特征，表明冻融循环对石英岩脆性破坏的影响较低。造成这种差异的原因主要与岩石的岩性和初始状态有关，灰岩初始孔隙较多，在冻融循环作用下，灰岩在冻胀应力的作用下发生胀缩变形，导致裂隙逐渐发展，并且裂隙拓展方向与岩石内部原生裂隙方向有关；灰岩超过峰值应变后，裂隙会沿着原生裂隙方向发生一定程度的剪切变形，导致峰后应力会逐步释放，进而表现出一定的延性破坏。而石英岩质地坚硬，强度较高，且初始孔隙率较低，冻融作用对其影响有限，一旦发生破坏表现为脆性破坏。

2.3　宏-细观破坏特征

图6—图15分别给出了不同次数冻融循环后高孔隙率灰岩和低孔隙率石英岩试样的宏观破坏模式与细观形貌。

由图6—图10可知：随着冻融次数的逐渐增加，灰岩表观裂纹数量逐渐增加；当冻融循环次数少于20次时，灰岩发生明显的脆性破坏，裂纹形态较为单一，主要表现为剪切破坏；当冻融循环次数超过40次以后，试样风化程度明显增加，受荷后破坏逐渐由脆性向延性发展，并且伴随着明显的鼓胀变形，说明冻融循环增加了灰岩的塑性，促进了灰岩破坏过程中裂纹的发展。由图11—图15可知：石英岩主要呈脆性破坏，破坏时声音清脆；随着冻融次数的增加，表观裂纹的变化不明显，但受荷后石英岩破坏得更为破碎。可见，冻融循环对灰岩的影响明显高于石英岩。

由扫描电镜结果可知：高孔隙率灰岩在自然条件下，破坏后表面凸凹不平，棱角较为明显；随着冻融循环次数的增加，棱角逐渐变得圆润；当冻融次数增大到60次后，荷载作用下灰岩颗粒发生破碎；当冻融循环次数达到80次后，可以明显观察到蜂窝状孔隙大量增多；石英岩在冻融次数小于40次时，结构面形态较为平整，但随着冻融次数的增加，结构面越来越破碎；当冻融循环次数超过60次后，可以明显观察到裂隙、颗粒碎屑和穿晶裂纹增多。

综上所述，冻融循环对高孔隙率灰岩的孔隙发展有重要影响，随着冻融循环次数的增加，灰岩孔隙率逐渐增加，表面裂纹越来越明显，裂隙水变成裂隙冰形成的冻胀力使得裂纹不断发展，导致矿物颗粒间胶结力减弱，灰岩的承载力逐渐降低，最终发生破坏；而冻融循环对低孔隙率石英岩的孔隙发展影响有限，主要影响结构面的碎裂程度。

2.4　力学参数演化

图16给出了经历不同次数冻融循环后单轴压缩作用下灰岩、石英岩的抗压强度和弹性模量。从图16可知：灰岩和石英岩的这2种力学参数均随着冻融次数的增加而不断减小，这是因为冻融循环作用会导致岩石内部的水分不断迁移，水冰相变和矿物颗粒的胀缩不协调导致岩石试样不断发生损伤，进而力学参数发生劣化；冻融前期（40次前）灰岩的单轴抗压强度降幅尤为明显，而后降幅逐渐趋于稳定；石英岩在冻融前期（40次前）的单轴抗压强度降幅较小，冻融40次后石英岩强度相较于初始抗压强度仅降低约8%。

对灰岩和石英岩的单轴抗压强度进行拟合，结果如图16所示。图中：N为冻融循环次数；σ _N 为抗压强度；E_N 为弹性模量。由图16可见，灰岩和石英岩的单轴抗压强度均呈指数衰减关系。为进一步评价冻融循环次数对岩石风化程度的影响，引入岩石风化程度系数K_y进行评价^［23］，其计算式为

K_{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(K_{\mathrm{n}}+K_{\mathrm{r}}+K_{\mathrm{w}})（1）

式中：K_{\mathrm{n}}，K_{\mathrm{r}}和K_{\mathrm{w}}分别为岩石的孔隙率系数、强度系数和吸水率系数。

文中岩石孔隙率系数K_{\mathrm{n}}和吸水率系数K_{\mathrm{w}}近似取1，主要考虑强度系数的影响。根据相关规范规定，当K_y小于0.9后岩石便进入微风化状态，并且随着K_y的降低，岩石的风化程度越来越剧烈^［3］。

以未经冻融作为初始状态，20次冻融循环后，灰岩便开始进入微风化阶段（K_y<0.9），而石英岩在冻融循环次数接近80次后，才处于微风化阶段（K_y<0.9）。该试验结果表明冻融循环更易加剧灰岩的风化。灰岩和石英岩2种岩石的对比试验表明：灰岩由于孔隙率大、岩性差，导致饱和含水量高，在初始冻融阶段受冻融的影响较为明显，初期冻融对灰岩造成了较大损伤，而冻融后期岩样的损伤相对减缓；石英岩的岩性相对较好，在冻融初期所受影响较小，抗压强度下降较少，但随着冻融次数的增加，石英岩内部损伤不断积累，孔隙水不断在岩石内部微孔裂隙中迁移，进而加速了冻融损伤，岩石内部微裂隙逐渐扩展，当冻融达到60次后，石英岩单轴抗压强度骤降。

2.5　能量演化

岩石的破坏从宏观上来看是力与变形综合作用的结果。从能量本质上来看是岩石内部弹性能与耗散能演化的过程^［24］。假设岩石的压缩过程在1个密闭空间中进行，与外界不存在热量交换，根据热力学第一定律，受荷破坏过程中岩石单元吸收的总能量U等于岩石单元的弹性应变能U_{{}^{\mathrm{e}}}和耗散应变能（简称耗散能）U_{{}^{\mathrm{d}}}之和，即

U=U_{{}^{\mathrm{d}}}+U_{{}^{\mathrm{e}}}（2）

单轴压缩作用下岩石单元吸收的总能量、弹性应变能和耗散能的计算式分别为

U=\int {\sigma }_i\mathrm{d}{\epsilon }_i（3）

U_{{}^{\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\epsilon }_{\mathrm{e}i}{\sigma }_i=\frac{{{\sigma }_i}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{u}}}（4）

U_{{}^{\mathrm{d}}}=U-U_{\mathrm{e}}（5）

式中：{\sigma }_i为应力应变曲线上任意一点的应力，MPa；{\epsilon }_{\mathrm{e}i}为岩石的弹性应变；E_{\mathrm{u}}为卸荷弹性模量，本文取卸荷弹性模量等于弹性模量，MPa。

以未经冻融循环作用下灰岩为例，其能量计算的原理示意图如图17所示。

选取冻融循环20次的灰岩和石英岩的能量演化曲线为例进行分析，结果如图18所示。由图18可见：在初始压密阶段（P-Ⅰ），灰岩和石英岩的能量曲线发展规律大致相同，均呈现出非线性增长的变化趋势，此时，弹性应变能较小，而耗散能较大，这是因为加载初期，岩石初始缺陷的压密闭合需要消耗能量；在弹性变形阶段（P-Ⅱ），总能量和弹性应变能均迅速增加，耗散能在一个较低水平保持稳定，这是由于岩石在弹性变形阶段，吸收的能量均转化为弹性应变能，储存在岩石内部；在塑性变形阶段（P-Ⅲ），岩石的弹性应变能和耗散能波动变化，耗散能增加主要是因为在外力作用下岩石试样内部产生了新的微裂纹，导致部分能量以微裂纹表面能的形式耗散；在变形破坏阶段（P-Ⅳ），弹性应变能迅速降低而耗散能迅速增加，对于灰岩试样微裂纹迅速扩展，造成试样局部裂缝贯通，耗散了大量能量，但此时灰岩并未立即失去承载力，而是在外荷载作用下继续累积能量，导致弹性应变能呈现阶梯下降趋势，而耗散能则呈现阶梯上升趋势，而石英岩的弹性应变能呈骤降趋势，而耗散能呈现骤增趋势，这与灰岩存在很大不同，这是因为石英岩受冻融影响较小，变形破坏阶段呈现脆性破坏，灰岩受冻融循环次数影响较大，在冻融循环的作用下，灰岩的破坏向延性破坏发展，导致其变形破坏阶段较长。

为进一步对比研究冻融作用对灰岩和石英岩能量演化规律的影响，提取不同冻融次数下岩石峰值应力所对应的应变能，结果如图19所示。由图19可知：冻融循环前40次，灰岩的总能量、弹性能应变能以及耗散应变能均随着冻融次数的增加而逐渐降低，分别下降了61%，58.9%和54.1%；当冻融循环次数超过40次后，灰岩的耗散应变能逐渐增加，当冻融次数达到60次时弹性应变能和耗散能呈现小幅增加，而后又迅速降低；石英岩的总能量与弹性应变能随着冻融次数的增加呈现先增大再减小的特性，当冻融循环次数达到80次时，其总能量、弹性应变能以及耗散应变能分别下降了27.7%，31.3%和12.7%。

从能量的角度来看，虽然灰岩和石英岩的力学参数有所下降，但是其发生变形的能力有所提升，进而导致岩石能量并非随着冻融次数的增加一直下降，而是需要综合考虑强度和变形等多种因素。能量变化结果进一步证明了冻融循环对灰岩的影响远高于石英岩^［24］。

3 冻融循环作用下岩石损伤本构模型

3.1　本构模型建立

根据Lemaitre教授提出的应变等价原理^［25］，建立的岩石损伤本构关系满足下式。

(\sigma )=({\sigma }^{\mathrm{*}})(\mathrm{1}-D)=(E)(\epsilon )(\mathrm{1}-D)（6）

式中：(\sigma )为应力矩阵；({\sigma }^{\mathrm{*}})为有效应力矩阵；(E)为岩石材料的弹性矩阵；(\epsilon )为应变矩阵；(D)为岩石的损伤矩阵。

在本次试验过程中，岩石共经历了冻融循环和单轴压缩2个损伤过程。根据文献［14］冻融-荷载共同作用下岩石的总损伤D定义为

D=D_{\mathrm{C}}+D_N-D_{\mathrm{C}}{D}_N（7）

其中，

D_{\mathrm{C}}=\mathrm{1}-\frac{E_N}{E_{\mathrm{0}}}

式中：D_{\mathrm{C}}为冻融损伤；D_N为受荷损伤；E_{\mathrm{0}}为未经冻融岩石的弹性模量；E_N为经历N次冻融循环后岩石的弹性模量。

受荷损伤D_N定义为在某一应力水平下岩石已发生破坏的微元数与总微元数的比值^［18］。由于岩石材料可以视为有无穷多个非均质微元体组成，微元体的集成效应可以表征岩石材料的宏观现象。岩石微元体损伤统计分布函数与其损伤关系为

\mathrm{d}{D}_N=P(F)\mathrm{d}F（8）

式中：F为岩石微元体强度分布变量；P(F)为岩石微元体强度分布密度函数。

已有研究表明使用Weibull分布函数可以合理描述岩石微元体强度的统计分布，基于Weibull分布的岩石微元体强度分布密度函数为

P(F)=\frac{m}{F_{\mathrm{0}}}{\left(\frac{F}{F_{\mathrm{0}}}\right)}^{m-\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{\left(\frac{F}{F_{\mathrm{0}}}\right)}^m\right]（9）

式中：m和F_{\mathrm{0}}为Weibull分布函数的2个参数。

由式（9）和式（8）可得

D_N=\int P(F)\mathrm{d}F=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(\frac{F}{F_{\mathrm{0}}})}^m]（10）

将式（10）代入式（7），简化后得到冻融-荷载共同作用下岩石的总损伤为

D=\mathrm{1}-\frac{E_N}{E_{\mathrm{0}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{\left(\frac{F}{F_{\mathrm{0}}}\right)}^m\right]（11）

确定冻融-荷载共同作用下岩石的微元强度时，多是基于Mohr-Coulomb，Drucker-Prager和Hoek-Brown破坏准则建立微元体强度的表达式^［26-27］。由于Drucker-Prager强度准则具备参数形式简单、被广泛应用于岩石介质等特点，这里基于Drucker-Prager强度准则作为岩石微元破坏依据，强度准则关系表达式为

F=f\left({\sigma }^{\mathrm{*}}\right)=\alpha I_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+\sqrt[]{J_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}}（12）

其中，

\alpha =\frac{\sqrt[]{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\phi }{\mathrm{3}\sqrt[]{\mathrm{3}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\phi }}

I_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}+{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}

J_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[{\left({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]

式中：\phi为岩石内摩擦角，（°）。I_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}为有效应力张量的第一不变量；J_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}为有效应力偏张量的第二不变量；{\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}，{\sigma }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}和{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}分别为最大、中间和最小主应力；{\sigma }_{\mathrm{1}}，{\sigma }_{\mathrm{2}}和{\sigma }_{\mathrm{3}}分别为相应的名义应力。

根据常规三轴压缩试验条件可知{\sigma }_{\mathrm{2}}={\sigma }_{\mathrm{3}}，则

{I_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}={\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}+\mathrm{2}{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}（13）

{J_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}({\sigma }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}（14）

根据广义胡克定律可知

{{\sigma }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}=E{\epsilon }_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}}^{\mathrm{*}}（15）

式中：{\epsilon }_{\mathrm{1}}为岩石轴向应变；\mu为泊松比。

此处需要将有效应力转变为名义应力，根据名义应力与有效应力的转换关系式可知

{{\sigma }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}-D}（16）

{{\sigma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{*}}=\frac{{\sigma }_{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}-D}（17）

代入式（12），即得到分布变量F为

F=\frac{E{\epsilon }_{\mathrm{1}}[\sqrt[]{\mathrm{3}}\alpha ({\sigma }_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{\sigma }_{\mathrm{3}})+{\sigma }_{\mathrm{1}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}]}{\sqrt[]{\mathrm{3}}({\sigma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}})}（18）

式中：E为岩石的弹性模量，MPa。

将式（18）带入式（11），即可得到冻融-荷载共同作用下岩石的损伤计算式

\begin{array}{l}D=\mathrm{1}-\frac{E_N}{E_{\mathrm{0}}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\left(\frac{E_N{\epsilon }_{\mathrm{1}}[\sqrt[]{\mathrm{3}}\alpha ({\sigma }_{\mathrm{1}}+}{\sqrt[]{\mathrm{3}}({\sigma }_{\mathrm{1}}-}\to \right.\right.\\ \leftarrow \left.{\left.\frac{\mathrm{2}{\sigma }_{\mathrm{3}})+{\sigma }_{\mathrm{1}}-{\sigma }_{\mathrm{3}}]}{\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}})F_{\mathrm{0}}}\right)}^m\right]\end{array}（19）

将式（19）代入式（6），得到岩石的损伤本构方程为

\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{1}}=E_{\mathrm{0}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-D)+\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}}=\\ E_N{\epsilon }_{\mathrm{1}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{(\frac{F}{F_{\mathrm{0}}})}^m\right]+\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}}\end{array}(20)

从上述方程可以看出，该方程中需要确定的参数有E_N，m和F_{\mathrm{0}}。本文通过弹性模量的变化，即E_N的变化表征岩石在不同冻融循环次数作用下的劣化损伤程度。对于参数m和F_{\mathrm{0}}的确定，一种是通过岩石单轴压缩的应力应变曲线的峰值点（{\epsilon }_{\mathrm{p}},{\sigma }_{\mathrm{p}}）确定，即通过极值法进行求解；另一种是采取数据拟合方法求解。极值法求解具有严密的物理逻辑和意义，但是求解过程较为复杂。数据拟合的方法虽然无法严格满足各项求解的物理条件，但是拟合效果较好，因此本文求解本构方程参数时使用拟合法进行求解^［28］。

由图5可知，灰岩和石英岩在加载初期存在明显的压密阶段，尤其是在冻融循环后，岩石的压密段呈现的更为显著。压密阶段的应力应变曲线呈现出“下凹”特性，仅用式（20）难以准确描述应力应变曲线特征，因此，需要对式（20）进行修正。根据Weibull函数的分布特点，应力应变曲线的形状主要受参数m控制，因此，考虑以压密段结束点为分段点，建立分段本构方程。建立压密段本构方程时需要确定压密段结束点，本文通过岩石的能量演化规律对压密点进行求解，并根据文献［24］的方法确定压密点。将式（20）本构方程分段表达为

{\sigma }_{\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{l}{E}_N{\epsilon }_{\mathrm{1}}\left\{\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-{(\frac{F_{\mathrm{c}}}{F_{\mathrm{0}N\mathrm{1}}})}^{m_{N\mathrm{1}}}\right]\right\}+\mathrm{2}\mu {\sigma }_{\mathrm{3}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}\le {\epsilon }_{\mathrm{1}\mathrm{c}}\\ E_N({\epsilon }_{\mathrm{1}}-{\epsilon }_{\mathrm{1}\mathrm{c}})\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left\{-{(\frac{F}{F_{\mathrm{0}N\mathrm{2}}})}^{m_{N\mathrm{2}}}\right\}+{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{c}}{\epsilon }_{\mathrm{1}}>{\epsilon }_{\mathrm{1}\mathrm{c}}\end{array}\right.（21）

式中：{\epsilon }_{\mathrm{1}\mathrm{c}}和{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{c}}分别为岩石经历冻融后应力应变曲线压密段结束点处的应变和应力；m_{N\mathrm{1}}和F_{\mathrm{0}N\mathrm{1}}分别为经历N次冻融循环后岩石在压密段的尺度参数和形状参数；m_{N\mathrm{2}}和F_{\mathrm{0}N\mathrm{2}}分别为经历N次冻融循环后岩石在压密段结束点以后阶段的形状参数和尺度参数。

3.2　本构模型验证

将灰岩和石英岩在不同次数冻融循环作用下的应力应变曲线按照上述过程进行分段拟合，得到各段曲线对应的m和F_{\mathrm{0}}。限于篇幅，仅给出冻融循环20次灰岩和石英岩由试验和分段本构方程得到的应力应变曲线，如图20所示。表3和表4给出了其余冻融循环次数下的岩石损伤分段本构模型参数。表中，{\sigma }_{\mathrm{1}\mathrm{p}}和{\epsilon }_{\mathrm{1}\mathrm{p}}分别为非压密段峰值应力和应变。由图20可知：压密阶段和弹性变形阶段的试验曲线和分段本构模型曲线趋势基本一致，说明分段损伤本构模型能够较好地反映出岩石的非线性行为。此外，灰岩分段本构模型曲线的峰值应变和峰值应力分别为\mathrm{0.56}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{2}}和33.82 MPa，与实测曲线的峰值应变和峰值应力误差分别为3.4%和0.98%；石英岩分段本构模型曲线的峰值应变和峰值应力分别为\mathrm{1.16}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{2}}和105.67 MPa，与实测曲线的峰值应变和峰值应力误差分别为4.7%和1.1%。表明冻融-荷载共同作用下岩石的损伤本构模型合理。

在Weibull分布中，参数m可以表征岩石的脆性程度，m值越大表明岩石的脆性程度越高^［28］。通过分析表3和表4的分段函数参数取值可知：灰岩压密段的形状参数m的取值范围为1.2~2.7，而非压密段m的取值范围为2.5~9.5；石英岩压密段的形状参数m的取值范围为1.4~2.0，非压密段m的取值范围为7.5~8.8。该试验结果表明冻融循环对岩石非压密段的形状影响更加明显，这与文献［24］所得结论较为一致。此外，随着冻融循环次数的增加，灰岩的形状参数m的取值明显减小，且参数m的变化范围较大，表明冻融循环对高孔隙率灰岩的脆性影响程度明显。石英岩的形状参数m的取值也随着冻融循环次数的增加而减小，但取值范围变化较小，表明冻融循环对低孔隙率石英岩的脆性影响程度有限。

图21和图22分别给出了不同次数冻融循环下灰岩和石英岩应力应变曲线和本构模型曲线的峰值点应力和应变。由图21和图22可知：灰岩和石英岩的应力应变曲线和模型曲线峰值点应力和应变吻合度较高，表明推导的冻融-受荷损伤本构模型能够较好地反映灰岩和石英岩单轴压缩过程中的应力应变曲线峰值特性。

3.3　冻融循环次数对损伤特性的影响

结合灰岩和石英岩的单轴压缩试验结果，根据式（19）计算不同冻融循环次数下灰岩和石英岩的总损伤D，结果如图23所示。从图23可以看出不同冻融循环次数下灰岩和石英岩的总损伤演化曲线总体呈“S”型变化；无论是灰岩还是石英岩，随着冻融循环次数的增加总损伤的变化逐渐减小；随着冻融循环次数的增加，灰岩的损伤达到1时的应变点逐渐向右平移，表明灰岩在经历更多的冻融循环后，其初始损伤增加，需要更大的应变才能达到同样的损伤程度；损伤上升的应变范围也逐渐变宽，这说明冻融循环对灰岩的损伤影响逐渐加剧，灰岩的延性增加，表现出更明显的塑性特征；与灰岩相比，冻融循环作用下石英岩损伤上升的应变范围也变宽，但变化幅度较小，说明石英岩在冻融循环后的损伤增加不如灰岩明显，其延性变化较小，仍保持较高的脆性。

4 结论

（1）经历冻融循环后，高孔隙率灰岩和低孔隙率石英岩的孔隙率均呈非线性增长趋势。特别是灰岩的孔隙率变化更为显著，表明冻融循环对高孔隙率岩石的影响更大，主要是由于水冰相变和冻胀力的作用导致岩石内部裂隙的发展与扩展。

（2）冻融循环作用对低孔隙率石英岩的破坏模式影响有限，但改变了灰岩的破坏模式，使其由脆性破坏逐渐向延性破坏转变。冻融循环对灰岩的影响明显，20次冻融循环后高孔隙率灰岩开始进入微风化阶段，而冻融次数达到80次以后，低孔隙率石英岩才开始进入微风化阶段。

（3）在变形破坏阶段高孔隙率灰岩与低孔隙率石英岩的能量演化规律存在很大不同，灰岩的弹性应变能呈现阶梯状下降趋势，耗散能呈现阶梯状上升趋势，而石英岩的弹性应变能成骤降趋势，耗散能成骤增趋势。

（4）本文基于Lemaitre平面应变理论和统计理论，建立冻融循环作用下岩石的损伤本构模型。采用分段拟合的方法，考虑压密段的影响，得到灰岩和石英岩的分段损伤本构方程，与传统的单一方程相比，能够更准确地反映岩石的非线性行为。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52078432)

国家自然科学基金资助项目(52168066)

新疆维吾尔自治区自然科学基金青年基金资助项目(2022D01B134)

中央引导地方科技发展专项资金资助项目(ZYYD2023B02)

中铁第一勘察设计院集团有限公司科研项目（院科 20-06）