考虑宏观缺陷的混凝土本构模型及含裂缝隧道衬砌动力损伤特性研究

Constitutive Modeling of Concrete with Macro Defects and Dynamic Damage Analysis of Cracked Tunnel Lining

摘要

目前对隧道衬砌动力响应的研究多聚焦于完好隧道，较少涉及初始宏观裂缝存在时对隧道衬砌结构弱化作用下的动力响应。为研究含裂缝隧道衬砌动力损伤特性，首先，基于塑性损伤本构，理论推导考虑材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤本构模型；其次，将宏观损伤度为0，0.2，0.3和0.4时混凝土试件抗拉强度的计算结果与试验结果进行对比，验证本构模型的合理性；然后，采用地层-结构法对土体-隧道-列车相互作用关系进行模拟，引入无限单元边界吸收模型边界处的应力波；最后，通过在完整衬砌结构上预制深度为3.5，7.0和10.5 cm裂缝，并调整模型中的损伤参数，系统地研究衬砌结构在不同裂缝深度下考虑材料弱化作用的动力损伤特性。结果表明：推导得到的本构模型理论计算结果与试验结果最大误差仅为7.3%，模型合理；在不同裂缝深度下，竖向振动加速度和竖向振动速度均呈现出拱顶>边墙>仰拱的规律，且与行车道距离成正相关；裂缝深度由0 cm增加到10.5 cm，衬砌结构拱顶、边墙和仰拱的竖向振动加速度分别增大8.4%，2.7%和5.3%，竖向振动速度分别增大15.1%，17.1%和16.7%；裂缝深度从0 cm增加到10.5 cm，拱顶、边墙和仰拱的最大主应力峰值分别增加22.3%，15.5%和减小9.12%，拱顶的最大主应力峰值在裂缝深度为3.5 cm时超过了仰拱，说明动应力响应受行车道距离和初始宏观裂缝引起的应力集中共同影响；在3种不同裂缝深度下，考虑材料弱化作用下的衬砌损伤度较不考虑时分别增大0.039，0.130和0.165。

Abstract

Most of the current research focuses on the dynamic response of intact tunnel linings with less attention paid to the dynamic response under the weakening effect on the tunnel lining structure in the presence of initial macroscopic cracks. To study the dynamic damage characteristics of tunnel lining with cracks, firstly, based on the plastic damage constitutive model, a macro-defect-external load coupled damage constitutive model considering material weakening is derived theoretically. The calculated tensile strength of concrete specimens at macroscopic damage degrees of 0, 0.2, 0.3 and 0.4 are compared with the test results to validate the constitutive model. The soil-tunnel-train interaction relationship is modeled using the stratigraphic-structural method, and an infinite element boundary is introduced to absorb the stress wave at the model boundary. By prefabricating cracks with depths of 3.5, 7.0 and 10.5 cm on the intact lining structure and adjusting the damage parameters in the model, the dynamic damage characteristics of the lining structure at different crack depths considering the weakening effect of the material are systematically studied. The results show that the maximum error between the theoretical calculations and experimental results of the derived intrinsic model is only 7.3 %, indicating the rationality of the model. At different crack depths, both vertical vibration acceleration and velocity show the pattern of arch top > side wall > inverted arch, which is positively correlated with the distance to the traveled way. Increasing the crack depth from 0 cm to 10.5 cm, the vertical vibration accelerations of the lining structure at the arch top, side wall and inverted arch increase by 8.4%, 2.7% and 5.3%, respectively; and the vertical vibration velocities increase by 15.1%, 17.1% and 16.7%, respectively. Increasing the crack depth from 0 cm to 10.5 cm, the peak maximum principal stresses increase by 22.3% and 15.5 % in the arch top and side wall, respectively, and decreases by 9.12% in the inverted arch. The peak maximum principal stresses at the arch top exceed that of the inverted arch at the crack depth of 3.5 cm, indicating that the dynamic stress response is affected by both the distance to the traveled way and the stress concentration due to initial macroscopic cracks. At three different crack depths, the degree of lining damage, considering material weakening, increases by 0.039, 0.130, and 0.165, respectively, compared to when it is not considered.

Graphical abstract

关键词

地铁隧道 / 动力响应 / 初始裂缝 / 宏观缺陷-外荷载耦合损伤 / 本构模型 / 混凝土材料弱化

Key words

Subway tunnel / Dynamic response / Initial fracture / Macro defect-external load coupling damage / Constitutive model / Concrete material weakening

地铁依靠高效、快捷、准时的优势，已成为我国城市轨道交通领域的主流交通方式。虽然地铁给人们的出行带来了极大的便利，但是由于地质条件的复杂性以及人为施工因素的影响，再加上运营年限的增加，诸多已经通车运营的隧道衬砌处于带裂缝工作状态。例如，北京地铁管理单位对北京的15条地铁线路进行全面的病害监测统计，最终发现大多数隧道病害均以衬砌结构开裂为主，且贯通裂缝居多^［1］。王盛^［2］对青岛地铁隧道病害问题进行了调研，发现衬砌结构开裂为主要病害形式。其中，隧道拱顶为裂缝分布的主要位置，且裂缝宽度基本在2 mm以下。裂缝的存在会降低隧道结构的承载能力和安全性，增加结构整体失稳坍塌的风险。不仅如此，运营中的含有初始裂缝的隧道结构在列车振动荷载的作用下存在更大的安全隐患，因此，研究含有初始裂缝的隧道衬砌在列车荷载作用下的动力响应与损伤破坏规律问题具有极其重要的意义。在此背景之下，国内外相关学者针对隧道衬砌结构的动力损伤特性及隧道裂缝方面做了大量的研究，取得了不少成果。

关于隧道衬砌结构在列车振动荷载作用下的动力损伤研究方面：徐利辉等^［3］基于混凝土拉压本构关系理论推导出了复杂应力条件下的增量型本构关系，将此本构方程应用于ANSYS软件中建立数值模型，研究得出了列车长期作用下的隧道结构动力损伤规律；晏启祥等^［4］通过拟合得到列车振动荷载，采用数值模拟方法研究了交叠盾构隧道的动力响应特性及损伤分布规律；黄希^［5］提出了一种适用于列车高周振动疲劳分析的混凝土本构模型，并根据第1次列车运行引起的结构动力损伤，采用混凝土累积损伤方程计算出盾构隧道的疲劳寿命；高宇宇^［6］采用现场监测结合ABAQUS平台数值模拟的方法，研究了脱空对衬砌结构动力响应的影响以及循环荷载下列车的疲劳寿命；加武荣^［7］依托实际工程，采用激励函数法模拟列车振动荷载，系统研究了隧道结构在不同的轨道质量、列车运行速度以及车体质量下的动力响应特性；徐宁^［8］基于开发的混凝土本构模型对动力荷载作用下衬砌的动力损伤特性进行研究，量化了衬砌结构的损伤度；Guo等^［9］等以厦门地铁6号线为例，采用三维有限差分的方法进行分析，研究了多种因素影响下的隧道结构的动力响应规律；Gharehdash等^［10］对地铁列车振动荷载作用下盾构隧道衬砌及软基的力学响应进行了研究；Yan等^［11］通过数值模拟和模型试验相结合的方式，系统分析了不同行车速度和不同净距下隧道衬砌结构的动力响应；Yang等^［12］采用模型试验的方法，研究了隧道衬砌及土体在列车长期荷载作用下的动力响应。

关于隧道裂缝方面：张春海等^［13］基于扩展有限元方法，模拟了衬砌结构裂纹的萌生以及发展的全过程，系统研究了混凝土开裂对衬砌结构承载性能的影响；李翔宇等^［14］基于现场实测分析了衬砌病害主要发生位置、病害类型以及裂纹密度，利用FLAC3D软件建立三维模型，探讨了初始地应力、衬砌厚度等因素对衬砌工作性态的影响；胡方小^［15］以扩展有限元和内聚力模型（Cohesive）为理论基础，利用ABAQUS有限元软件对不同角度、不同位置的裂纹在蠕变作用下的扩展过程进行了分析；刘璇^［16］通过模型试验和数值模拟研究了梯度加载过程中完整衬砌结构裂纹产生、发展及最终破坏的全过程以及不同裂缝指标影响下的衬砌结构承载能力；Yu等^［17］依托实际工程，采用隧道衬砌全景图像方法对隧道衬砌裂缝图像进行特征点处理，建立了隧道表面衬砌裂缝识别评估系统；Su等^［18］通过三维模型试验研究了预制裂缝衬砌不同位置处的变形、内力和劣化规律。刘勇等^［19］、袁红运等^［20］和代高飞^［21］通过研究发现，拱顶位置的纵向贯通裂缝相比于其他位置和类型的裂缝最为常见，且对隧道结构安全的影响最大，而且裂缝深度相比于宽度、长度等其他裂缝特征对于隧道结构的安全影响程度更大。因此，研究拱顶位置处不同深度的纵向贯通裂缝对衬砌结构的影响更具意义。目前针对初始宏观裂缝存在对地铁隧道衬砌结构弱化作用下的动力与损伤问题，国内外还鲜有人研究。

本文基于混凝土塑性损伤（Concrete Damaged Plasticity，CDP）本构模型，理论推导出了考虑材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型并应用到ABAQUS平台：采用地层结构法建立含初始裂缝的隧道结构三维模型，着重分析隧道拱顶位置不同深度纵向裂缝对地铁隧道衬砌结构动力损伤的影响，揭示不同纵向裂缝深度下地铁隧道衬砌结构动力损伤的变化规律，以期为隧道衬砌结构病害的预防及加固提供科学参考和理论依据。

1 考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型

我国制定的GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》^［22］（简称“规范”）中尽管已经采用了比较完善的混凝土损伤本构方程，但该模型没有考虑初始宏观裂缝引起的材料弱化影响。而实际工程中混凝土常常在未受力前就因施工和其他外部原因，产生初始的宏观裂缝，导致材料弱化。因此，推导考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型。

1.1　损伤的定义和组成

原始的混凝土塑性损伤模型仅考虑了无损结构在外荷载作用下的损伤。但是在实际工程中，结构存在初始的裂纹等宏观缺陷时，结构在外荷载作用下的总损伤包含宏观损伤和外荷载作用在无损结构上的损伤。

1.2　损伤的耦合方式

损伤耦合的理论依据是应力作用下的应变等于各损伤状态在该应力作用下的应变之和，假设宏观缺陷和外荷载耦合作用后的弹性模量为E_{\mathrm{12}}，仅考虑宏观缺陷作用后的弹性模量为E_{\mathrm{1}}，仅考虑外荷载作用后的弹性模量为E_{\mathrm{2}}，无损状态下的弹性模量为E_{\mathrm{0}}，几种情况下对应的应变分别为{\epsilon }_{\mathrm{12}}，{\epsilon }_{\mathrm{1}}，{\epsilon }_{\mathrm{2}}和{\epsilon }_{\mathrm{0}}，则由拉梅特（Lemaitre）应变等效假设可得

{\epsilon }_{\mathrm{12}}={\epsilon }_{\mathrm{1}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}-{\epsilon }_{\mathrm{0}}（1）

\frac{\sigma }{E_{\mathrm{12}}}=\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\sigma }{E_{\mathrm{2}}}-\frac{\sigma }{E_{\mathrm{0}}}（2）

式中：\sigma为材料的应力。

消去式（2）中相同的应力项\sigma，可得到

\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{12}}}=\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{0}}}（3）

假设宏观损伤变量和外荷载引起的损伤变量分别为D_{\mathrm{2}}和D_{\mathrm{1}}，耦合损伤变量为D_{\mathrm{12}}，则由Lemaitre假设可知

\left\{\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{12}}=E_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-D_{\mathrm{12}})\\ E_{\mathrm{1}}=E_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-D_{\mathrm{1}})\\ E_{\mathrm{2}}=E_{\mathrm{0}}(\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}})\end{array}\right.（4）

将式（4）代入式（3），整理后可得

D_{\mathrm{12}}=\mathrm{1}-\frac{(\mathrm{1}-D_{\mathrm{1}})(\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}})}{\mathrm{1}-D_{\mathrm{1}}{D}_{\mathrm{2}}}（5）

由式（5）可知：若仅考虑外荷载引起的损伤，即D_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，D_{\mathrm{12}}=D_{\mathrm{1}}，耦合损伤变量和外荷载引起的损伤变量一致，符合实际情况；若仅考虑宏观损伤变量，即D_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}时，D_{\mathrm{12}}=D_{\mathrm{2}}，耦合损伤变量和宏观损伤变量一致，符合实际情况。由此说明建立的宏观缺陷-外荷载耦合损伤变量是合理的。

1.3　耦合损伤模型的建立

将推导出的宏观缺陷-外荷载耦合损伤变量与规范^［22］中混凝土损伤模型结合即可得到考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型。

由于ABAQUS软件里默认受压刚度恢复系数为1，故可以认定裂缝对单轴受压状态没有影响，所以只将推导出的耦合损伤变量与规范中的受拉损伤演化方程结合。

将规范^［22］中的拉伸损伤变量表达式代入式（5）可得宏观缺陷-外荷载耦合损伤变量D_{\mathrm{12}}为

D_{\mathrm{12}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1}-(\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}}){\rho }_{\mathrm{t}}(\mathrm{1.2}-\mathrm{0.2}{x}^{\mathrm{5}})x\le \mathrm{1} \\ \mathrm{1}-(\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}})\frac{{\rho }_{\mathrm{t}}}{{\alpha }_{\mathrm{t}}{(x-\mathrm{1})}^{\mathrm{1.7}}+x}x>\mathrm{1}\end{array}\right.（6）

其中，

{\rho }_{\mathrm{t}}=\frac{f_{\mathrm{t}\mathrm{k}}}{E_{\mathrm{0}}{\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{k}}}

x=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_{\mathrm{t}\mathrm{k}}}

式中：{\rho }_{\mathrm{t}}为与混凝土抗拉强度相关的系数；f_tk为混凝土抗拉强度标准值；ε_tk为f_tk对应的拉应变；α_t为拉伸应力-应变曲线的下降段特征参数^［23］。

将规范^［22］中的受拉损伤演化方程代入式（6）可以得到考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合的损伤模型，即

\sigma =\left\{\begin{array}{c}(\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}}){\rho }_{\mathrm{t}}(\mathrm{1.2}-\mathrm{0.2}{x}^{\mathrm{5}})E_{\mathrm{0}}\epsilon x\le \mathrm{1} \\ (\mathrm{1}-D_{\mathrm{2}})\frac{{\rho }_{\mathrm{t}}}{{\alpha }_{\mathrm{t}}{(x-\mathrm{1})}^{\mathrm{1.7}}+x}{E}_{\mathrm{0}}\epsilon x>\mathrm{1}\end{array}\right.（7）

将不考虑宏观损伤变量和不同宏观损伤度下的应力-应变和损伤-应变关系曲线进行对比，按照C50混凝土进行计算，f_tk，ε_tk和α_t分别取2.64 MPa，1.1×10^－4和2.29，结果如图1所示。

从图1可以看出：随着宏观损伤度增大（材料弱化效应增强），混凝土刚度逐渐退化，峰值应力逐渐减小；另外，随着宏观损伤度增大，损伤-应变曲线初始点逐渐上升，但最终的损伤均趋近于1.0。

1.4　模型验证

为验证推导出的考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型的准确性，将理论计算结果与文献［24］中不同裂缝深度下混凝土试块抗拉强度试验结果进行对比。损伤变量通常可以表示为已损伤面积与总承载面积的比值，宏观裂缝示意图如图2所示。图中：x，y，z为直角坐标系的3个方向；l_y1为裂缝长度；l_z1为裂缝深度；l_y 为试件长度；l_z 为试件厚度。

考虑到混凝土构件开裂后，沿裂纹深度的截面为危险截面，试件的宏观损伤变量可以采用损伤区域面积与总面积的比值表示，即

D_{\mathrm{2}}=\frac{S_{\mathrm{1}}}{S}（8）

其中，

S_{\mathrm{1}}=l_{y\mathrm{1}}{l}_{z\mathrm{1}}

S=l_y{l}_z

式中：S为试件总面积。

整理可得

D_{\mathrm{2}}=\frac{l_{y\mathrm{1}}{l}_{z\mathrm{1}}}{l_y{l}_z}（9）

由于文献［24］中的预制裂缝为贯通裂缝，裂缝长度l_y1与试件长度l_y 相等，宏观损伤变量可以表示为裂缝的深度l_z1与试件厚度l_z 的比值，即

D_{\mathrm{2}}=\frac{l_{z\mathrm{1}}}{l_z}（10）

由此可知，当无初始裂纹时，宏观损伤变量D₂=0；当预制的贯通裂纹深度与试样的厚度相等时，表明试样已经完全断裂，无法作为整体承担外荷载作用，此时的宏观损伤变量D₂=1.0。

采用推导出的考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型计算得到的不同初始损伤度下的试件抗拉强度与试验的对比结果如图3所示。从图3可以看出：不同宏观损伤度下的混凝土抗拉强度的理论计算结果与试验结果基本一致，最大误差仅为7.3%。验证了模型的准确性以及宏观损伤变量D₂表示方式的合理性，可将其应用于下文含初始裂缝的隧道衬砌结构在外荷载作用下的动力与损伤特性的计算研究中。

2 含宏观裂缝隧道衬砌结构的动力响应分析

大多数正在运营的隧道都处于带裂缝工作状态。因此，在对运营隧道进行动力分析时，应考虑衬砌裂缝对衬砌结构的影响。正如文献调研部分所阐述的，隧道拱顶部位的纵向贯通裂缝最为常见，危害性也最大，其中裂缝深度指标对结构承载力的影响最为明显，所以含有不同深度的纵向贯通裂缝下隧道衬砌动力响应及损伤特性具有很高的研究价值。基于此，含有不同深度的纵向贯通裂缝的衬砌结构的宏观损伤变量同样可以采用与1.4节类似的表示方法，即将宏观损伤变量表示为裂缝深度与衬砌厚度的比值。

2.1　有限元模型

基于地层-结构法，采用ABAQUS有限元软件建立不含裂缝与拱顶部位含不同深度纵向宏观裂缝的隧道结构数值计算模型，隧道埋深20 m，外半径3.1 m，壁厚0.35 m。模型建立3环隧道管片，每环管片沿隧道纵向长度为1.2 m。隧道管片与土体之间采用黏结接触，轨道下方混凝土直接与管片绑定在一起，以模拟隧道内部的行车道。钢筋简化为壳单元分别布置在混凝土衬砌的内外侧嵌在混凝土内^［25］，保护层厚度为50 mm，螺栓采用梁单元与壳单元绑定的形式并嵌在衬砌内。通过ABAQUS软件中的切分功能在隧道第1环衬砌结构的拱顶处预切3.5，7.0和10.5 cm这3种不同深度的裂缝，即宏观损伤变量D₂分别为0.1，0.2和0.3。并通过围道积分（Contour integral）的方式设置裂缝线和裂缝扩展方向等裂缝相关参数，含宏观裂缝隧道衬砌结构精细化计算模型如图4所示。为了提高计算精度，裂缝附近衬砌结构网格进行加密处理。

模型的计算设置为2步，即地应力分析步和动力分析步。对于静力边界，在模型的下表面约束3个方向，在模型的前后表面和侧面约束其法向。由于列车振动属于内源激励作用下的地层-隧道动力响应问题，需要考虑边界的吸收作用，但模型尺寸过大会极大地降低计算效率。为合理地消除边界应力波的反射并尽可能提高计算效率，在除上表面以外的其余5个边界上建立三维无限边界^［26］，通过生死单元法（Model Change）实现无限单元在地应力分析步的杀死及在动力分析步的激活，将内部不需要设置无限单元部分的单元类型定义为六面体单元（C3D8）。为方便区分和修改单元类型，将外部需要设置为无限单元部分定义为六面体线性减缩积分单元（C3D8R）。最后，在原始模型的INP文件中将C3D8R修改为无限单元（CIN3D8），实现无限单元边界的添加。模型无限边界设置示意图如图5所示。

2.2　材料参数

隧道衬砌管片及轨道下方混凝土均采用C50混凝土，螺栓等级为5.8级，主筋采用HRB400钢筋，隧道衬砌管片、螺栓、主筋及轨道下方混凝土等结构的物理力学参数见表1。除封顶块受拉材料参数外，其他混凝土材料参数根据规范中的混凝土损伤演化方程得到。封顶块混凝土受拉材料参数根据推导出的考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型计算得到，即由式（7）得到。

2.3　列车荷载

进行衬砌结构动力响应分析之前，要先确定列车荷载，现场实测或经验公式模拟是确定列车振动荷载的常用方法。根据英国铁路技术中心多年来的理论研究和试验测试^［27］，得到了列车振动荷载模拟的经验公式。采用这种函数模型用以模拟列车的振动荷载，具体表达式为

p(t)=k_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}[p_{\mathrm{0}}+p_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{\mathrm{1}}t)+p_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{\mathrm{2}}t)+p_{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\omega }_{\mathrm{3}}t)]（11）

其中，

p_i=m_{\mathrm{0}}{a}_i{\omega }_i^{\mathrm{2}}\begin{array}{cc}& \end{array}i=\mathrm{1,2},\mathrm{3}

{\omega }_i=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }v}{L_i}

式中：t为运行时间；p(t)为振动荷载；p₀为车辆静载；p₁，p₂和p₃为几何不平顺振动荷载；k₁为相邻轮轨力叠加系数，一般在1.2~1.7，本文取1.5；k₂为钢轨分散系数，一般在0.6~0.9，本文取0.8；m₀为列车簧下质量；v为列车运行速度；a_i 为3种几何不平顺条件的典型矢高；L_i 为3种几何不平顺条件的典型波长。

根据表2，3种几何不平顺的典型波长及典型矢高：L₁=10.00 m，a₁=3.50 mm；L₂=2.00 m，a₂=0.40 mm；L₃=0.50 m，a₃=0.080 mm。列车的轴重一般为17~21 t。本文轴重取20 t，单边静荷载p₀为100 kN，簧下质量m₀取为750 kg。经调查分析可知，普通地铁列车最高时速可达80 km · h^-1，但是随着我国城市化发展的不断深化，最高时速可达160 km · h^-1的高速地铁列车已逐渐投入使用^［28］。金峤等^［29］将地铁列车车速定义为60，80和100 km · h^-1，对不同行车速度下的地面动力响应进行了研究。由式（11）可知，行车速度增大会导致振动荷载峰值增加，进而会对衬砌结构产生更加严重的影响。定义列车运行速度为108 km · h^-1，得到该运行速度下的列车振动荷载曲线，如图6所示。

2.4　数值模型验证

为了校核数值模型的准确性，与文献［30］中无脱空隧道3个观测点的竖向振动加速度进行对比，文中以实测工况埋深22.57 m、列车车速350 km · h^-1、轴重17 t为例，对隧道结构动力响应进行了数值模拟分析。参照该文献中的工况并且基于本次模拟的方法进行建模，对3个观测点的竖向振动加速度峰值进行对比，结果如图7所示。从图7可以看出：采用提出的宏观缺陷-外荷载耦合损伤本构模型结合地层结构法建立的模型的数值计算结果与文献中的结果在数值和规律上都基本相符，说明本文建立的数值模型和列车荷载模型都具有良好的可靠性和合理性。

2.5　模拟结果分析

为分析拱顶纵向宏观裂缝深度对地铁隧道衬砌结构的动力响应及损伤特性的影响规律，计算模型只改变拱顶纵向裂缝的深度，其他参数均保持不变。裂缝深度分别为3.5，7.0和10.5 cm，计算时长为4.66 s。由于隧道断面是对称结构，为便于分析，在第1环管片的最高点拱顶、最低点仰拱及最左侧边墙设置隧道周边观测点，由于篇幅原因，只列出3个观测点（A，B，C）在不同裂缝深度下的竖向振动加速度、竖向振动速度以及最大主应力响应。3个观测点位置示意图如图8所示。

2.5.1　振动加速度响应特征

提取隧道衬砌结构各观测点在裂缝深度为3.5 cm时的竖向振动加速度时程曲线，由于列车荷载施加的瞬时性，为便于分析，剔除了初始0.4 s内突变较大的数据，结果如图9所示。从图9可以看出：不同裂缝深度下，列车振动荷载对衬砌结构各部位竖向振动加速度的影响规律基本相同，竖向振动加速度时程曲线的整体变化趋势基本一致；但不同观测点的竖向振动加速度峰值大小不同，其中拱顶<边墙<仰拱。

绘制衬砌结构各观测点竖向振动加速度峰值随裂缝深度的变化趋势，结果如图10所示。从图10可以看出：当裂缝深度从0 cm增加到10.5 cm时，拱顶、边墙和仰拱的竖向振动加速度峰值分别增加了8.4%，2.7%和5.3%。虽然仰拱的增长幅度最大，但是由于拱顶无裂缝时竖向振动加速度峰值很小，故其增加百分比最大。

2.5.2　振动速度响应特征

提取隧道衬砌结构各观测点在裂缝深度为0，3.5，7.0和10.5 cm下的竖向振动速度时程曲线，结果如图11所示。从图11可以看出：列车荷载施加后，衬砌结构的竖向振动速度迅速增大，且不同裂缝深度下3个观测点的竖向峰值振动速度为仰拱>边墙>拱顶，3个观测点的竖向振动速度幅度规律亦为仰拱>边墙>拱顶，即与行车道距离有关，距列车行车道距离越近振动速度响应越强烈；在3~4 s之间，即振动速度稳定后的变化规律与整体一致。

提取衬砌结构各观测点竖向振动速度峰值随裂缝深度的变化曲线，结果如图12所示。从图12可以看出：裂缝深度由0 cm增加到10.5 cm，拱顶、边墙和仰拱的竖向振动速度峰值分别增加了15.1%，17.1%和16.7%，各观测点增加幅度接近一致，均为线性增加。

2.5.3　动应力响应特征

为分析含裂缝衬砌结构在地铁列车作用下的动应力响应特征，提取各观测点在裂缝深度为0，3.5，7.0和10.5 cm下的最大主应力时程曲线，结果如图13所示。从图13可以看由：由于模拟考虑了土体的地应力平衡，所以在0~1 s内管片的应力变化很小；在1 s时刻施加列车荷载后，衬砌结构最大主应力呈现出迅速增大后逐渐趋于稳定的波动形式；拱顶和边墙位置处最大主应力随着裂缝深度的增加而增大，与之相反，仰拱位置最大主应力则随裂缝深度增加而减小。

为更加清晰地表示最大主应力随裂缝深度的变化规律，绘制不同观测点的最大主应力峰值随裂缝深度变化曲线，结果如图14所示。从图14可以看出：边墙位置处最大主应力值较小，而拱顶和仰拱位置处较大；无裂缝时，最大主应力大小规律为仰拱>拱顶>边墙；裂缝深度从0 cm增加到10.5 cm，拱顶最大主应力峰值增加22.3%，边墙增加15.5%，仰拱减小9.12%，最终为拱顶>仰拱>边墙。这种规律形成的主要原因可能是：模拟主要考虑的是封顶块位置处的宏观裂缝对整体结构的影响，故裂缝施加位置为拱顶。随着裂缝深度的增加，拱顶位置出现应力集中的现象，体现为应力随裂缝深度增加而增大；仰拱位置距离裂缝最远，所以受到拱顶应力集中影响较大，体现为应力随裂缝深度增加而减小；边墙位置相对于仰拱距离裂缝较近，故其应力也随裂缝深度增加而增大。

3 隧道衬砌结构损伤特征

3.1　不考虑混凝土材料弱化的损伤特征

由于模拟时主要考虑隧道的运营阶段，土体作用经过自重下的地应力平衡后对隧道管片的影响很小，管片损伤几乎全部由列车荷载作用产生。基于规范^［22］中的混凝土损伤演化方程得到无初始裂缝及3.5，7.0和10.5 cm这3种不同裂缝深度下列车荷载作用后的整体损伤云图，结果如图15所示。

从图15可以看出：无初始裂缝时由于应力集中效应，损伤主要集中在行车道两侧的管片结构上；随着拱顶裂缝深度增加，损伤主要集中在含裂缝的管片位置处，并且损伤度逐渐变大，这也是和最大主应力变化规律相对应的。

3.2　考虑混凝土材料弱化的损伤特征

基于规范^［22］推荐的混凝土损伤演化方程得到的无初始裂缝云图以及基于混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型得到3.5，7.0和10.5 cm这3种不同裂缝深度下隧道衬砌结构在列车荷载作用后的整体损伤云图，结果如图16所示。从图16可以看出：随裂缝深度增加，考虑宏观裂缝对衬砌的劣化作用时衬砌损伤由仰拱转化至拱顶裂缝位置现象更加明显；行车道两侧衬砌损伤更加不明显。

提取上述2种情况下衬砌损伤最严重位置的损伤度，绘制损伤度随裂缝深度变化曲线，结果如图17所示。从图17可以看出：随着裂缝深度增加，衬砌损伤度均增大；裂缝深度从0 cm增加到10.5 cm，不考虑材料弱化时损伤度增大2.52倍，考虑材料弱化时损伤度增大4.32倍；当裂缝深度分别为3.5，7.0和10.5 cm时，2种情况损伤度差值分别为0.039，0.130和0.165，可见不考虑初始宏观裂缝对材料的弱化作用会严重低估其损伤度并高估材料性能，且初始损伤越严重，其误差越大。

4 结论

（1）采用推导出的考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤模型进行计算时，随着宏观损伤度的增加，混凝土刚度逐渐下降，峰值拉应力逐渐减小。随着宏观损伤变量从0增加到0.5，混凝土峰值拉应力由2.64 MPa下降至1.32 MPa。另外，随着宏观损伤度的增加，损伤曲线初始点逐渐上升，但最终损伤度均趋近于1.0。将宏观损伤度为0，0.2，0.3和0.4时计算得到的混凝土试件抗拉强度与试验结果进行对比，2者最大误差仅为7.3 %，验证了本构模型的正确性。

（2）在同一裂缝深度下，竖向加速度和速度均呈现仰拱>边墙>拱顶的规律，即与行车道距离成正比。裂缝深度由0 cm增加到10.5 cm，衬砌结构拱顶、边墙和仰拱位置的竖向加速度分别增大了8.4%，2.7%和5.3%，3个位置的竖向速度分别增大了15.1%，17.1%和16.7%。

（3）裂缝深度由0 cm增加到10.5 cm，拱顶、边墙和仰拱的最大主应力峰值分别增加22.3%，15.5%和减小9.12%。当裂缝深度超过3.5 cm时，拱顶最大主应力峰值超过仰拱位置，3个位置的应力大小规律由最初的仰拱>拱顶>边墙，变为拱顶>仰拱>边墙。可见，动应力响应除与行车道距离有关之外，还受到初始宏观裂缝引起的应力集中的影响。

（4）含有初始宏观裂缝时，主要损伤区域由行车道两侧转化至含裂缝管片位置处。在列车荷载作用下，裂缝深度越深，损伤度越大。初始裂缝深度为3.5，7.0和10.5 cm时，考虑材料弱化作用下的损伤度较不考虑材料弱化时分别增大了0.039，0.130和0.165。说明不考虑初始宏观裂缝对材料的弱化作用会严重低估其损伤度并高估材料性能，且初始损伤越严重，其误差越大。

（5）推导得出的考虑混凝土材料弱化的宏观缺陷-外荷载耦合损伤本构模型适用于分析含有初始损伤结构的动力与损伤特性，研究成果对于运营期间隧道管片结构病害的预防及加固具有一定的指导意义。

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基金资助

国家重点基础研究发展计划（973计划）(2015CB057801)

浙江交工协同创新联合研究中心项目(ZDJG2021004)