级配对道砟集料性能影响的灰色系统分析

Influence of Gradation on Ballast Aggregate Performance Based on Grey System Analysis

摘要

为研究级配对铁路道砟集料物理力学性能的影响，提出一种级配曲线量化方法，将级配曲线参数转换为具有确定性的函数表达式。在此基础上采用离散元仿真分析与灰色系统理论相结合的方法，研究级配对道砟集料性能的影响规律，并提出基于道砟集料性能的级配评价方法。结果表明：采用Logistic函数能准确地拟合各类级配曲线，相比于既有级配参数，用函数表征更具确定性；利用灰色关联分析法对比6种级配试样，发现最大粒径较小的级配，其孔隙率、轴向应力、横向变形等道床性能较优；减小最大公称粒径，并适当减少小粒径颗粒占比，有利于增大道床的密实度，提高道床承载力，增强道床的抗变形能力。

Abstract

To study the influence of ballast gradation on the physical and mechanical properties of railway ballast aggregates, this paper proposes a quantitative method for gradation curves, converting gradation curve parameters into deterministic function expressions. Furthermore, a method combining discrete element simulation with grey system theory is used to analyze the influence of gradation on the performance of ballast aggregate; and a gradation evaluation method based on aggregate performance is proposed. The results show that the Logistic function accurately fits various gradation curves. Compared with the existing gradation parameters, the function provides higher determinacy. Six ballast samples with different gradations were compared using grey relational analysis. The result reveals that the ballast with smaller maximum particle size has better performance in porosity, axial stress, and transverse displacement. Reducing maximum nominal particle size while appropriately decreasing small-size particle proportion enhances ballast bed compactness, increases bearing capacity, and improves deformation resistance.

Graphical abstract

关键词

道砟 / 级配参数 / 孔隙率 / 力学性能 / 灰色关联分析法

Key words

Ballast / Gradation parameters / Porosity / Mechanical property / Grey relational analysis

由道砟集料组成的碎石道床是铁路有砟轨道的重要组成部分，为轨道结构提供承载基础。颗粒级配是碎石道床的基本参数，直接影响道床的强度、排水性及结构稳定性^［1］。级配良好的道床可使结构稳定性与排水性能之间达到平衡。因此探究道砟级配对道床性能的影响规律，一直是铁路有砟道床领域研究的热点。

国内外学者采用试验或仿真方法对级配碎石的力学特性开展了大量的研究^［2-6］。Tutumluer等^［2］在美国交通技术中心试验线开展了4个试验段的对比试验，试验段的道砟级配和颗粒形状有所差异，结果表明在相同通过总重时，4个试验段的道床沉降、最大横向力均不同。徐旸等^［3］采用三维激光扫描技术扫描真实道砟颗粒外形并建立了精细化离散元模型，研究了不同道砟级配的散体道床在高速、重载运营条件下的力学性能，结果表明轨枕沉降及弹性位移幅值、道砟切向运动速度及旋转角速度等均有所差异。Jia等^［4］利用三维离散元仿真模型研究了单级配、双级配及高斯级配3种级配对集料配位数及孔隙率的影响。以上研究均表明不同级配道砟的物理、力学性能有所差异，但是在研究时仅针对特定的级配曲线，缺乏对级配过筛百分比这一特征的参数量化，因而难以建立级配特征与道床力学性能的映射关系。

传统的土工材料常采用最大粒径、最小粒径或中值粒径作为级配的数学表征量，开展定量分析^［7-8］。常用的级配参数还有控制筛孔过筛率等。但由于铁路有砟道床的受力特征与传统土工材料具有显著差异，其级配具有显著的粒径大、级配窄特点，因而道砟集料的空间结构很难通过级配的单一特征参数表征，而且窄级配曲线的细微变动就可能引起集料空间排布的显著差异。因此，合理地量化铁路道砟级配特征是建立道砟级配与力学性能映射关系的基础，也一直是本领域有待解决的难题，研究该问题具有重要的理论和工程意义。

由于碎石集料的粒径往往是复杂的非线性分布，级配曲线难以形成统一的、标准化的数学表达式。专家学者往往根据试验数据拟合出级配曲线，目前常见的级配曲线数学表达式有概率密度函数^［9］、幂函数^［10］等，但其曲线形状较为单一，对于较为复杂的级配曲线拟合误差较大。Logistic函数是单调递增的非线性函数，图像形如S曲线，这恰恰与采用最大密实度理论设计得到的级配曲线形状相吻合。且Logistic函数值域在0~1之间，与颗粒过筛质量百分比的取值范围相符合。此外，Logistic函数的数学表达式和计算过程较简单，通过调整参数可以拟合不同级配曲线的特征，因此非常适用于拟合连续级配曲线。

本文采用Logistic函数拟合级配曲线，将级配曲线表达式转换为具有确定性的函数表达式，便于量化分析。为研究级配对道砟集料性能的影响，建立了6种不同道砟集料级配的离散元仿真压缩试验模型，并开展室内试验标定模型的关键参数，基于灰色系统理论开展了因素分析，揭示了关键级配参数对道砟集料性能的影响规律，可为级配设计提供理论指导，并提出了综合考虑道床性能的级配评价方法，以期为铁路工程道砟级配设计提供理论支撑。

1 道砟级配及其参数

1.1　现行级配及其参数

各国铁路现行道砟级配曲线各不相同，针对不同线路等级采用不同的道砟级配。以我国和美国为例，我国新建铁路干线用道砟级配有2种，即行业规范TB/T 2140—2008《铁路碎石道砟》^［11］中规定的特级级配及一级级配，颗粒粒径范围为16~63 mm。美国铁路建设与维护协会（简称AREMA）^［12］的铁路工程手册中则规定了5种铁路干线用道砟级配，颗粒粒径范围为4.75~75 mm。

既有研究中，道砟级配与道床力学性能的映射关系尚不明确。要探明二者的关系，首先要找出道砟级配特征的量化指标。对于道床力学性能，目前铁路领域已形成共识的力学指标主要有道床刚度，纵、横向阻力等，在室内试验时常用道砟集料刚度、应力、累积变形等指标衡量。而对于道砟级配，工程实践中常根据不均匀系数C_{\mathrm{u}}和曲率系数C_{\mathrm{c}}确定碎石集料的级配特征。

C_{\mathrm{u}}=\frac{d_{\mathrm{60}}}{d_{\mathrm{10}}}（1）

C_{\mathrm{c}}=\frac{d_{\mathrm{30}}^{\mathrm{2}}}{d_{\mathrm{10}}{d}_{\mathrm{60}}}（2）

式中：d_A（A=60，10，30）为满足后面要求的粒径，即小于该粒径的颗粒含量占总质量的A%；d_{\mathrm{60}}为限制粒径；d_{\mathrm{10}}为有效粒径。

但C_{\mathrm{u}}和C_{\mathrm{c}}仅能描述级配分布的宽度和连续性，难以表征颗粒组分之间的细观配比^［13］。既有研究^［14］采用最大粒径d_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}、最小粒径d_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、最大公称粒径d_{\mathrm{90}}、中值粒径d_{\mathrm{50}}等单一粒径参数表征道砟集料的级配特征，但存在表征级配的连续性、确定性不强的问题。因此，如何将道砟级配的图像表达式转换为确定性的量化指标，是尚待解决的难题。

1.2　级配曲线的拟合函数

Logistic函数是Sigmoid函数的一种，其图像形如S曲线，值域为0~1，正好与概率值的分布相同，因此常用于解决分类问题。表达式为

f(d)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{-({\beta }_{\mathrm{1}}d+{\beta }_{\mathrm{2}})}}（3）

式中：d为颗粒粒径，mm；f(d)为过筛率；{\beta }_{\mathrm{1}}为过筛系数，是控制曲线斜率的关键参数；{\beta }_{\mathrm{2}}为位置参数，控制着S曲线的对称点位置。

该函数具有唯一性和确定性，近年来也常用作深度学习中的激活函数^［15］。各国现行规范中的级配曲线多数依据最大密度理论设计得到，其形状接近于S形，因此本文提出采用Logistic函数表征铁路道砟级配曲线。

采用Logistic函数对现行中美铁路道砟级配分别进行拟合，部分级配拟合结果如图1所示。可以看出采用Logistic函数的拟合效果良好。

计算各模型修正自由度的决定系数R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}，其数值越接近1，表明模型的选择和拟合越优。各拟合参数见表1，R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}均接近于1，说明采用Logistic函数能准确表征符合最大密度理论的连续级配曲线。

2 道砟试样的构建及道砟集料压缩试验

2.1　道砟试样及级配参数

本文设计了6种道砟级配曲线，如图2所示，其中级配A、级配C分别为我国现行的特级级配、一级级配。根据前文提出的级配模型进行拟合，结果如图3所示。各拟合曲线R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}均接近1，拟合效果好。

本文将常用级配参数及级配拟合模型参数纳入研究，见表2。

2.2　道砟集料压缩试验

既有研究表明^［16-17］，道砟颗粒的几何外形会对颗粒间的空间排布及接触行为产生较大的影响。参考既有研究^［2］，采用多面体模拟道砟颗粒的复杂外形，并建立直径为300 mm、高度为350 mm的圆柱体试样模型。

由于有砟道床散体道砟所形成的围压通常较小^［18］，且该边界条件具有在荷载作用下可变性较强的特点，若采用传统的刚性边界会导致围压被过大估计，导致较大的计算误差。因此，本研究中的模型边界采用基于有限差分法的连续体模拟。在压缩试验过程中，离散元模型的墙体与基于有限差分算法的连续体进行双向耦合，离散元模型中的墙从属于连续介质区域面，模型边界可对道砟运动的产生变形跟随，能更加准确地模拟道砟在铁路现场的受力情况，且可定量分析集料的横向变形特性。6种级配的道砟集料仿真模型如图4所示。

为了对仿真模型的关键力学参数进行标定，开展了道砟压缩试验，采用柔性的橡胶套筒代替传统的钢板作为道砟集料的侧向边界，以模拟周围道床的围压作用。试验具体步骤如下。

（1）按照级配D配制道砟试样，试验时将级配道砟装入橡胶套筒内，形成与仿真模型尺寸一致的圆柱体试件。

（2）在上板和支承底板中设置3个均布的导向杆，确保加载时不偏心，试验装置参考文献［19］。

（3）试验时加载板以0.5 mm · s^-1的速率匀速加载至发生5%的轴向应变，记录其轴向加载力及位移。

对比仿真模型与室内试验的轴向应力-应变曲线，当二者基本吻合时，即完成仿真模型的标定。室内试验方法及仿真模型关键参数的取值详见文献［19］。

2.3　道砟集料性能

道砟的级配决定了集料的空间分布，是孔隙率最关键的影响参数之一。此外，级配对有砟轨道的力学性能也有显著的影响^［20-21］。利用验证后的模型，分别对6种级配的道砟集料进行压缩试验，得到轴向应力-应变曲线如图5所示。可以看出，级配对道砟集料的轴向应力有所影响，其中级配F的轴向应力最大。

在相同轴向变形时，较大的轴向应力意味着更高的承载力，道床具有更强的稳定性。选用5%轴向应变下的轴向应力\sigma表征不同级配道砟集料的承载力。道床在列车荷载作用下的横向变形反映了道床的横向稳定性，横向变形越小则道床具有越好的几何形位保持能力，有利于列车安全平稳的运行。本文采用轴向应力为30 kPa时，模型的最大横向变形a评估道床的横向稳定性。孔隙率决定了道砟集料的排水性能，对集料的承载力、弹性等也有重要的影响。合适的孔隙率能够保持道床的弹性和稳定性，减少列车运行时的振动和冲击，提高乘客的乘坐舒适度。采用式（4）计算模型中道砟集料的孔隙率\rho。道砟集料性能参数统计结果见表3。

\rho =\frac{V_{\mathrm{v}}-V_{\mathrm{b}}}{V_{\mathrm{v}}}\times \mathrm{100}\mathrm{\%}（4）

式中：V_{\mathrm{v}}为圆柱体体积；V_{\mathrm{b}}为模型中所有道砟颗粒的体积总和。

3 灰色关联分析法

灰色关联分析法是由著名学者邓聚龙创立的灰色系统理论的重要组成部分，是一种定量与定性相结合的多因素统计分析方法，可用于分析和确定系统诸因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献程度^［22］。该方法在样本数量较少或信息不完全的情况下仍然适用，且具有量化结果基本与定性分析相符合的特点。

灰色关联分析法的应用主要包括因素分析和方案决策。其中因素分析可用于确定各相关因素对系统特征行为的影响主次排序，适用于本文研究各级配参数对道砟集料性能参数的影响。其中方案决策可以实现对各级配曲线的优次排序，为工程实践中选择最优级配曲线提供建议。

灰色关联分析法根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间的关联程度，因此尤其适用于分析因素之间存在线性相关关系的问题。但对于具有强非线性特征的问题，存在一定的局限性。其基本思想是将评价指标原始观测数据进行无量纲化处理，计算关联系数及灰色关联度。灰色关联度描述了系统发展过程中，因素间相对变化的情况，也就是变化大小、方向和速度的相对性。相对变化基本一致，则认为两者关联度大；反之，两者关联度就小^［22］。采用灰色关联分析法开展关联度分析主要分为如下4步。

3.1　确定参考向量和比较矩阵

设参考向量 Y 和比较矩阵 X 分别为

\mathit{Y}=(y_i)={\left(\begin{array}{cccc}{y}_{\mathrm{1}}& y_{\mathrm{2}}& ...& y_k\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}（5）

\mathit{X}=(x_{ij})=\left(\begin{array}{cccc}{x}_{\mathrm{11}}& x_{\mathrm{12}}& ...& x_{\mathrm{1}m}\\ x_{\mathrm{21}}& x_{\mathrm{22}}& ...& x_{\mathrm{2}m}\\ ...& ...& ...& ...\\ x_{k\mathrm{1}}& x_{k\mathrm{2}}& ...& x_{km}\end{array}\right)（6）

式中：k为参考向量元素的个数，本文分析了6种级配碎石工况，即k=6；m为比较矩阵的列数。

在本文开展因素分析时，研究11种级配参数对某一道砟集料性能的影响程度，则m=11。参考向量第i个元素对应第i种级配的道砟集料性能参数（即表3中的\rho，\sigma或a）。比较矩阵每一列对应表2中一种级配参数，分别为d_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，d_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，…，{\beta }_{\mathrm{2}}。举例来说，在分析哪些级配参数对道砟集料孔隙率\rho的影响较大时，参考向量元素为不同级配的\rho，比较矩阵中的元素x_{ij}表示第i种级配碎石工况的第j种级配参数。

在本文进行方案决策时，对比6种级配方案的综合表现，推荐出最理想的级配方案。各级配方案的综合表现采用\rho，\sigma和a这3项性能参数进行评价，则m=3。参考向量中每个元素取值均为1，作为理想基准，用于衡量不同级配试件的性能优劣。比较矩阵每一列对应表3中1种道砟集料性能参数，分别为\rho，\sigma和a。此时，比较矩阵中的元素x_{ij}表示第i种级配方案的第j种性能参数。

3.2　归一化

由于各因素的计量单位不同，为了比较的便利性和准确性，通常先对各因素进行归一化处理，常用的方法包括均值化变换、极差变换等。为了减小潜在误差，需要根据参数的特点选择合适的归一化方法。

由于级配参数对道床性能的影响是相互协同的，其数值大小没有明显的优劣，采用常用的均值变换进行归一化处理。归一化值\overline{x_{ij}}计算式如下。

\overline{x_{ij}}=\frac{x_{ij}}{\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^k}{x}_{lj}}（7）

对于道砟集料性能参数，按指标的特性分类进行归一化。

（1）道床孔隙率。通常要求孔隙率不宜过大也不宜过小，属于越接近某个固定值（理想值）越好的指标，归一化值\overline{y_i}计算式如下。

\overline{y_i}=\mathrm{1}-\frac{|y_i-P|}{b_{\mathrm{1}}}（8）

其中，

b_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\left|y_l-P|\right.\right) 　　 l=1，2，…，k

式中：P为孔隙率的理想值。

（2）轴向应力。轴向应力越大则道床的承载能力越强，属于越大越优型指标，归一化值\overline{y_i}计算式如下。

\overline{y_i}=\frac{y_i-b_{\mathrm{3}}}{b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{3}}}（9）

其中，

b_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(y_l\right)

b_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(y_l\right)

（3）横向变形。横向变形越小则道床的稳定性越优，属于越小越优型指标，归一化值\overline{y_i}计算式如下。

\overline{y_i}=\frac{b_{\mathrm{2}}-y_i}{b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{3}}}（10）

3.3　计算灰色关联系数矩阵

灰色关联系数矩阵\mathit{\gamma }=({\gamma }_{ij})反映了参考向量与比较矩阵在不同级配碎石工况中的关联程度，矩阵中每个元素按下式进行计算。

{\gamma }_{ij}=\frac{{\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\lambda {\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\Delta }_{ij}+\lambda {\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}（11）

其中，

{\Delta }_{ij}=\left|y_i-x_{ij}\right|

{\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}|y_l-x_{sl}|　　 s=1，2，…，m

{\Delta }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}|y_l-x_{sl}|

式中：\lambda为分辨系数，\lambda \in [\mathrm{0,1}]。

分辨系数作用在于提高关联度的分辨率。采用较小的分辨系数时，关联系数之间的差异会相对较大，此时关联度计算对数据的微小变化更加敏感，可揭示各因素间的细微差别，但容易受噪声数据的影响。采用较大的分辨系数，有助于减少噪声对分析结果的影响，提高分析的稳定性，但可能会导致原本相关的变量在分析中表现为不相关。分辨系数的取值需要结合实际问题和数据特性确定，通常取0.5可以较好地平衡关联系数的敏感度和区分能力，使得关联度的计算结果既不过于敏感也不过于粗糙^［22］。

3.4　计算灰色关联度

灰色关联度反映了参考向量与比较矩阵整体上的关联程度。

在进行因素分析时，按式（12）计算每种级配参数与集料性能参数的灰色关联度{\gamma }_j。{\gamma }_j越大，表示该级配参数对此集料性能参数的影响程度越大，反之则影响程度越小。

{\gamma }_j=\frac{\mathrm{1}}{k}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{\gamma }_{ij}（12）

在进行方案决策时，按式（13）计算每种级配方案与理想方案的灰色关联度{\gamma }_i。根据实际工程需求对道砟集料性能参数\rho，\sigma和a分别赋予权重系数，计算得到的{\gamma }_i越大，表示该方案更贴近理想方案，推荐为优选方案。

{\gamma }_i={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\omega }_j{\gamma }_{ij}（13）

式中：{\omega }_j为权重系数，满足{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\omega }_j=\mathrm{1}。

4 级配对道砟集料性能的影响

根据灰色关联分析法的因素分析结果，得到级配参数对道砟集料性能的影响程度排序，再应用向前逐步回归算法拟合出道砟关键性能的预测模型，为铁路道砟的级配设计提供建议。

4.1　因素分析

利用灰色关联分析法求得集料性能与各项道砟级配参数之间的灰色关联度，结果见表4。可以看出，相比于轴向应力及横向变形，道砟集料孔隙率与级配参数的关联度更大。说明道砟级配的细微变化会对孔隙率造成显著的影响。这是由于道砟的级配直接影响颗粒的空间排布，决定了孔隙的体积，这与既有认知相符。孔隙率与道砟级配参数的灰色关联度从大到小排序前3名分别为C_{\mathrm{c}}，d_{\mathrm{90}}和d_{\mathrm{60}}。轴向应力与道砟级配参数的灰色关联度从大到小排序前3名分别为C_{\mathrm{u}}，{\beta }_{\mathrm{1}}和C_{\mathrm{c}}。横向变形与道砟级配参数的灰色关联度从大到小排序前3名分别为C_{\mathrm{c}}，C_{\mathrm{u}}和d_{\mathrm{90}}。

4.2　级配与集料性能的回归分析

应用向前逐步回归算法拟合级配参数与各项集料性能的关系式。具体步骤为：①以表4中灰色关联度最高的道砟级配参数为基础，逐步引入其余级配参数；②计算得到回归计算式的R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}，通常R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}越接近1，回归效果越好。据此确定最终回归计算式，见式（14）—式（16）。

\rho =-\mathrm{15.375}{C}_{\mathrm{c}}+\mathrm{0.984}{d}_{\mathrm{90}}-\mathrm{1.742}{d}_{\mathrm{60}}-\mathrm{21.298}{C}_{\mathrm{u}}+\mathrm{119.907}（14）

\sigma =\mathrm{156.219}{C}_{\mathrm{u}}-\mathrm{179.915}{\beta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{70.534}{C}_{\mathrm{c}}-\mathrm{17.276}{\beta }_{\mathrm{2}}-\mathrm{377.131}（15）

a=-\mathrm{5.641}{C}_{\mathrm{c}}-\mathrm{25.044}{C}_{\mathrm{u}}+\mathrm{0.815}{d}_{\mathrm{90}}-\mathrm{1.360}{d}_{\mathrm{60}}+\mathrm{66.672}（16）

3个回归计算式的R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}分别为0.852 0，0.997 9和0.999 8，拟合效果良好。

由式（14）可知，级配参数C_{\mathrm{c}}和C_{\mathrm{u}}与道砟集料孔隙率负相关，即在一定范围内增大C_{\mathrm{c}}和C_{\mathrm{u}}，会增大颗粒密实度，这与既有研究^［23］得到的规律一致。同时，根据式（15）和式（16），集料的轴向应力也会增大，而横向变形减小。有利于道床保持几何形位，提高道床稳定性，保障列车的安全运营和乘客舒适度。

由式（14）和式（16）可知，\rho和a与级配参数d_{\mathrm{90}}成正比、与d_{\mathrm{60}}成反比。

根据式（15），轴向应力与级配参数{\beta }_{\mathrm{1}}和{\beta }_{\mathrm{2}}负相关，则在级配设计时，在确定粒径范围后可适当减少小粒径颗粒的占比。

综上所述，在道床级配设计时，减小最大公称粒径，并适当减少小粒径颗粒占比，有利于增大道床的密实度，提高道床承载力，增强道床的抗变形能力。

5 基于灰色关联分析法的级配方案评价

在铁路工程领域进行级配设计时，可利用灰色关联分析法进行方案评价。在分析过程中，结合实际工程需求确定参考序列、归一化方法及权重系数等。

对于路基段有砟道床，要求有砟道床的孔隙率适中以保证良好的排水性能且具有较高的承载力。设本文中模型的孔隙率理想值为38%，采用式（8）进行归一化处理。轴向应力及横向变形则分别采用式（9）和式（10）进行归一化处理。得到的归一化后的比较矩阵\overline{\mathit{X}}为

\overline{\mathit{X}}=\left(\begin{array}{rrr}\mathrm{0.000}& \mathrm{0.041}& \mathrm{0.407}\\ \mathrm{0.088}& \mathrm{0.120}& \mathrm{0.580}\\ \mathrm{0.147}& \mathrm{0.000}& \mathrm{0.485}\\ \mathrm{0.233}& \mathrm{0.287}& \mathrm{0.448}\\ \mathrm{0.270}& \mathrm{0.463}& \mathrm{0.000}\\ \mathrm{0.654}& \mathrm{1.000}& \mathrm{1.000}\end{array}\right)（17）

其中，第1至6行分别对应级配A至级配F，第1至3列分别表示孔隙率、轴向应力、横向变形。

利用式（11）计算得到灰色关联系数矩阵\mathit{\gamma }为

\mathit{\gamma }=\left(\begin{array}{rrr}\mathrm{0.333}& \mathrm{0.343}& \mathrm{0.457}\\ \mathrm{0.354}& \mathrm{0.362}& \mathrm{0.543}\\ \mathrm{0.370}& \mathrm{0.333}& \mathrm{0.492}\\ \mathrm{0.395}& \mathrm{0.412}& \mathrm{0.475}\\ \mathrm{0.406}& \mathrm{0.482}& \mathrm{0.333}\\ \mathrm{0.591}& \mathrm{1.000}& \mathrm{1.000}\end{array}\right)（18）

计算灰色关联度时，假定3种工况进行考虑。

工况①：针对普通有砟道床，3项集料性能指标同等权重，即{\omega }_{\mathrm{1}}={\omega }_{\mathrm{2}}={\omega }_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}。

工况②：针对道床脏污严重区段，需要提升道床孔隙率以增进排水性能，故权重取为0.6，其余2项性能指标权重分别取为0.2。

工况③：针对下部基础较薄弱区段，亟须提升道床承载力，轴向应力权重取为0.6，其余2项指标权重分别取为0.2。

3种工况分别按式（13）计算得到各级配的灰色关联度，见表5。关联度数值越大，表示级配性能越优。最大粒径较小的级配，如级配F、D，其孔隙率、轴向应力、横向变形等道床性能较优。本案例中3种工况下均推荐级配F，但不同工况下级配的优次排序有所差异，如在工况①及②下级配D优于级配E，而在工况③下级配E优于级配D。

需要特别说明的是，上述案例仅用作说明，所得到的结论未考虑道砟颗粒破碎等指标，实际工程中应结合具体情况选择合适的权重开展分析。

6 结论

（1）采用Logistic函数能准确地拟合各类级配曲线，尤其适用于符合最大密度理论的连续级配曲线；相比于常用级配参数，用函数表征更具确定性。

（2）利用灰色关联分析法得到各项道砟级配参数对道砟集料性能的影响程度排序，其中C_{\mathrm{c}}，d_{\mathrm{90}}和d_{\mathrm{60}}对孔隙率的影响最显著，C_{\mathrm{u}}，{\beta }_{\mathrm{1}}和C_{\mathrm{c}}对轴向应力的影响最显著，C_{\mathrm{c}}，C_{\mathrm{u}}和d_{\mathrm{90}}对横向变形的影响最显著。

（3）基于灰色关联度，应用回归算法分析得到级配参数与孔隙率、轴向应力、横向变形的回归模型，3个模型的R_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}}^{\mathrm{2}}分别为0.852 0，0.997 9和0.999 8，模型的拟合效果好。

（4）本文分析的6种级配中，最大粒径较小的级配，其孔隙率、轴向应力、横向变形等道床性能较优。在道床级配设计时，减小最大公称粒径，并适当减少小粒径颗粒占比，有利于增大道床的密实度，提高道床承载力，增强道床的抗变形能力。同时为保障道床的排水性，最大公称粒径不宜过小。

（5）在铁路工程领域进行级配设计时，通过调整关键级配参数得到不同的级配设计方案后，可利用灰色关联分析法进行方案对比，在应用时结合具体工程中道床性能指标控制需求确定权重系数，最终比选出更为科学合理的道砟级配。

参考文献

[1] BAYAT H， RASTGO M， MANSOURI ZADEH M， et al. Particle Size Distribution Models， Their Characteristics and Fitting Capability ［J］. Journal of Hydrology， 2015， 529 （3）： 872-889.

[2] TUTUMLUER E， HUANG H， HASHASH Y， et al. AREMA Gradations Affecting Ballast Performance Using Discrete Element Modeling （DEM） Approach ［C］// AREMA 2009 Annual Conference. Chicago IL， USA. Urbana， USA： University of Illinois at Urbana-Champaign， 2009.

[3] 徐旸，高亮，蔡小培，等.基于激光扫描法的铁路道砟级配对道床动力特性影响的离散元研究［J］.振动与冲击，2017，36（5）：127-133，156.

[4] XU Yang， GAO Liang， CAI Xiaopei， et al. Influences of Ballast Gradation on Railway Ballast Bed Dynamic Characteristics Based on Laser Scanning and Discrete Element Method ［J］. Journal of Vibration and Shock， 2017， 36 （5）： 127-133， 156. in Chinese

[5] JIA T， ZHANG Y W， CHEN J K. Simulation of Granular Packing of Particles with Different Size Distributions ［J］. Computational Materials Science， 2012， 51 （1）： 172-180.

[6] 王鹏程，刘建坤，叶阳升，等.基于离散单元法的碎石集料动力变形特性研究［J］.铁道学报，2020，42（11）：161-166.

[7] WANG Pengcheng， LIU Jiankun， YE Yangsheng， et al. Study on Deformation Characteristics of Crushed Aggregate Subjected to Cyclic Loading Based on Discrete Element Method ［J］. Journal of the China Railway Society， 2020， 42 （11）： 161-166. in Chinese

[8] 杨志浩，岳祖润，冯怀平，等.循环荷载下级配碎石填料累积塑性应变及破坏规律研究［J］.铁道学报，2020，42（7）：133-140.

[9] YANG Zhihao， YUE Zurun， FENG Huaiping， et al. Research on Accumulative Plastic Strain Behavior and Failure Properties of Graded Macadam Filling under Cyclic Loading ［J］. Journal of the China Railway Society， 2020， 42 （7）： 133-140. in Chinese

[10] KWAN C C J. Geogrid Reinforcement of Railway Ballast ［D］. Nottingham： University of Nottingham， 2006.

[11] 贾亚飞.格栅加筋散体道砟界面特性的离散元研究［D］.太原：太原理工大学，2021.

[12] JIA Yafei. DEM Study on the Interface Characters of Geogrid Reinforced Granular Ballast ［D］. Taiyuan： Taiyuan University of Technology， 2021. in Chinese

[13] 沈超敏，刘斯宏，张燎军，等.一种基于概率密度函数的DEM试样生成法［J］.河海大学学报（自然科学版），2015，43（2）： 167-171.

[14] SHEN Chaomin， LIU Sihong， ZHANG Liaojun， et al. A Specimen Generation Method for Discrete Element Method Based on Probability Density Function ［J］. Journal of Hohai University （Natural Sciences）， 2015， 43 （2）： 167-171. in Chinese

[15] 常宇捷.沥青混合料级配曲线模型的分形特征与应用［J］.黑龙江工程学院学报，2018，32（6）：6-10.

[16] CHANG Yujie. Fractal Characteristics and the Application for Asphalt Mixture Grading with the Curve Models ［J］. Journal of Heilongjiang Institute of Technology， 2018， 32 （6）： 6-10. in Chinese

[17] 中华人民共和国铁道部. TB/T 2140—2008 铁路碎石道砟 ［S］.北京：中国铁道出版社，2008.

[18] Ministry of Railways of the People's Republic of China. TB/T 2140—2008 Railway Ballast ［S］. Beijing： China Railway Publishing House， 2008. in Chinese ）

[19] AREMA. American Railway Engineering and Maintenance-of-Way Association. Manual for Railway Engineering， Part 2 ［S］. Lanham： AREMA， 2012.

[20] 朱晟，王永明，翁厚洋.粗粒筑坝材料密实度的缩尺效应研究［J］.岩石力学与工程学报，2011，30（2）：348-357.

[21] ZHU Sheng， WANG Yongming， WENG Houyang. Study of Scale Effect of Density of Coarse-Grained Dam Materials ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2011， 30 （2）： 348-357. in Chinese

[22] SUN Y F， CHEN C， NIMBALKAR S. Identification of Ballast Grading for Rail Track ［J］. Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering， 2017， 9 （5）： 945-954.

[23] 李施豪，应三丛.基于FPGA的卷积神经网络浮点激励函数实现［J］.微电子学与计算机，2017，34（10）：105-109.

[24] LI Shihao， YING Sancong. The Implementation of Activation Function of CNN Based on FPGA Using Single Precision Floating-Point-Unit ［J］. Microelectronics & Computer， 2017， 34 （10）： 105-109. in Chinese

[25] 张徐，赵春发，翟婉明.循环荷载频率对高速铁路有砟道床累积变形行为的影响［J］.中国铁道科学，2017，38（1）：1-8.

[26] ZHANG Xu， ZHAO Chunfa， ZHAI Wanming. Influence of Cyclic Loading Frequency on Accumulated Deformation Behavior of High-Speed Railway Ballast Bed ［J］. China Railway Science， 2017， 38 （1）： 1-8. in Chinese

[27] 王威，张田爽，汪佳豪，等.基于真实几何特征的碎石道砟颗粒形态重构［J］.铁道学报，2023，45（12）：165-173.

[28] WANG Wei， ZHANG Tianshuang， WANG Jiahao， et al. Reconstruction of Particle Shape of Railway Ballast Based on Real Geometric Characteristics ［J］. Journal of the China Railway Society， 2023， 45 （12）： 165-173. in Chinese

[29] 井国庆，王子杰，施晓毅.多围压下三轴压缩试验与不可破裂颗粒离散元法分析［J］.工程力学，2015，32（10）： 82-88.

[30] JING Guoqing， WANG Zijie， SHI Xiaoyi. Ballast Triaxial Tests and Non-Breakable Particle Discrete Element Method Analysis under Different Confining Pressures ［J］. Engineering Mechanics， 2015， 32 （10）： 82-88. in Chinese

[31] 余文颖，徐旸，张景昱，等.基于离散元-有限差分耦合方法的格栅加筋道砟力学性能分析［J］.中国铁道科学，2024，45（4）：40-47.

[32] YU Wenying， XU Yang， ZHANG Jingyu， et al. Study on the Mechanical Properties of Geogrid-Reinforced Ballast Based on DEM-FDM Coupling Method ［J］. China Railway Science， 2024， 45 （4）： 40-47. in Chinese

[33] 吴莹，马刚，周伟，等.基于分形理论的堆石料级配优化研究［J］. 岩土力学，2016，37（7）：1977-1985.

[34] WU Ying， MA Gang， ZHOU Wei. Optimization of Gradation of Rockfill Materials based on the Fractal Theory ［J］. Rock and Soil Mechanics， 2016， 37 （7）： 1977-1985. in Chinese

[35] TUTUMLUER E， QIAN Y， HASHASH Y M A，et al. Discrete Element Modelling of Ballasted Track Deformation Behavior ［J］. International Journal of Rail Transportation， 2013， 1 （1/2）： 57-73.

[36] 孙玉刚.灰色关联分析及其应用的研究［D］.南京：南京航空航天大学，2007.

[37] SUN Yugang. Grey Incidence Analysis Theory and its Application ［D］. Nanjing： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2007. in Chinese

[38] THOM N， BROWN S. The Effect of Grading and Density on the Mechanical Properties of a Crushed Dolomitic Limestone ［C］// 14th Australian Road Research Board （ARRB） Conference. Canberra， Australia. Queensland： Australian Road Research Board， 1988： 94-101.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52278467)