基于可靠指标负偏调控的路基边坡分项系数标定

Partial Factor Calibration of Subgrade Slopes Considering the Adverse Deviation of Reliability Index

摘要

针对铁路路基土质边坡稳定性分析问题，提出一种改进的分项系数标定方法，以克服传统方法难以控制边坡实际可靠指标与目标可靠指标之间不利负偏差的难题。首先，采用传统方法标定路基边坡分项系数，分析极限状态下边坡实际可靠指标与目标可靠指标之间负偏差的分布特征，提出以负偏设限与残差趋低为原则的分项系数标定改进方法；然后，针对路基边坡，运用校准法确定目标可靠指标，采用改进方法开展路堤与路堑边坡分项系数标定；最后，针对路堤、路堑分项系数不一致导致分项系数法工程易用性低的局限性，提出边坡分项系数统一化取值方法。研究表明：按传统方法标定所得分项系数进行边坡设计，在构造的路堤和路堑边坡算例空间中，边坡实际可靠指标低于目标可靠指标0.5及以上的危险状况占比高达20%~33%，提出的负偏设限、残差趋低原则可准确控制边坡实际可靠指标与目标值之间负偏差不超过指定的容许范围；对土性参数呈小至中变异的铁路工程常遇情形，以边坡安全系数1.15~1.25为限定域校准得到的目标可靠指标约为2.2，路基边坡极限状态表达式中黏聚力、内摩擦角、列车荷载3个抗力分量的分项系数分别为1.25，1.20和1.05，土体重力与列车荷载2个下滑力分量的分项系数分别为1.03和1.05。

Abstract

Aiming at the issues regarding stability analysis of railway subgrade soil slopes, an improved partial factor calibration method is proposed, which overcomes the difficulty of the traditional method in controlling adverse negative deviations between the actual reliability index and the target reliability index of slopes. First, the partial factors for subgrade slopes are calibrated by the traditional method. Distribution characteristics of negative deviations between the actual reliability index and the target reliability index of slopes under the limit state are analyzed, and an improved partial factor calibration method is proposed based on negative deviation limitation and residual reduction principles. Second, for subgrade slopes, calibration method is used to determine the target reliability index, applying the improved method to calibrate the partial factors of embankment and cutting slopes. Finally, aiming at the limitation of low engineering usability of the partial factor method caused by the inconsistency of partial factors between embankment and cutting slopes, a unified partial factor determination method is proposed. The research shows that: using traditionally calibrated factors, 20% - 33% of slopes exhibit hazardous reliability deficits by 0.5 or more relative to the target index. The proposed principle of negative deviation limitation can effectively control the negative deviation between the actual reliability index of the slope and the target value within the allowable range. For common railway scenarios with small-to-medium soil variability, target reliability index of the slope calibrated is approximately 2.2 when the limit state of the slope stability coefficient is between 1.15 to 1.25. Correspondingly, in the limit state expression of the subgrade slope, the partial factors of the cohesion, internal friction angle, and the resistance component of the train load are 1.25, 1.20, and 1.05, respectively; and the partial factors of the soil weight and the downslope force component of the train load are 1.03 and 1.05, respectively.

Graphical abstract

安全系数法（Safety Factor Method，SFM）广泛应用于国内外路基土质边坡的稳定性检算，通常采用单一安全系数F_{\mathrm{s}}量化土性参数变异性对边坡稳定性的影响^［1］。由于土体黏聚力c、内摩擦角\phi和重度\gamma的变异系数通常不相等^［2-3］，边坡稳定性对土性参数及其变异性的敏感程度存在差异^［4］，使用本质为多源物理不确定性等幅安全储备的单一F_{\mathrm{s}}控制边坡稳定性不尽合理。可靠性分析法（Reliability Analysis Method，RAM）以失效概率P_{\mathrm{f}}或可靠指标\beta量化边坡稳定性，可充分考虑土性参数变异性对边坡稳定的影响^［5］，然而RAM需采用高阶Hermite多项式^［6］、一次二阶矩近似^［7］或Monte Carlo模拟^［8-9］等方法计算P_{\mathrm{f}}和\beta，依赖于需花费巨大人力和物力获取的大样本岩土参数数据，复杂性与计算量相较于SFM均大幅增加，导致RAM在铁路、公路等路基边坡工程实践中推广缓慢。

结构设计领域中较为成熟的分项系数法（Partial Factor Method，PFM）被引入岩土边坡工程领域^［10］，PFM根据多源参数的差异化变异水平赋予下滑力与抗滑力分量不同的分项系数，以获得预期的边坡稳定可靠性水平。PFM采用与SFM类似的定值计算策略，工程师使用分项系数直接进行边坡稳定性设计，无须开展全概率可靠性分析^［11］，这使得PFM在岩土工程领域被广泛接受，如欧洲岩土规范^［12］、日本土构造物规范^［13］，以及其他工程领域的现行规范^［14］。从形式上，SFM可视为PFM在抗滑力分量与下滑力分量分项系数分别相等情况下的一种特例，分项系数的取值体现了工程师在边坡稳定性分析中对土性参数变异性导致结果不确定性的权衡。由于分项系数标定以全概率分析理论为基础^［15-16］，PFM也被称为半概率法或简化概率法^{［11，17］}。PFM的关键在于通过标定程序得到1组具有代表性的抗力与下滑力分项系数，使得工程实践中几何、土性与列车荷载参数迥异的边坡\beta与目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}之间的偏差处于可控制的范围。在结构工程中，由于人工材料性质较为稳定，结构\beta可较好聚集在{\beta }_{\mathrm{T}}附近，然而在路基边坡等岩土工程中，由于土性参数变异性大、变异系数分布区间宽，边坡\beta围绕{\beta }_{\mathrm{T}}波动剧烈。

针对岩土工程分项系数标定面临的挑战，国内外学者开展了丰富研究。假设边坡安全系数服从正态或对数正态分布，陈祖煜^［7］提出了安全系数、可靠指标与分项系数的相对安全率概念，改变边坡参数若3种相对安全率保持相近，则认为分项系数具有较好代表性，李典庆等^［18］将相对安全率适用范围扩展到任意分布情形。Chen等^［19］提出了边坡\beta的0.5分位值等于{\beta }_{\mathrm{T}}，且\beta的0.1分位值尽可能靠近{\beta }_{\mathrm{T}}的分项系数代表性判别原则。李昂等^［20］采用算例\beta与{\beta }_{\mathrm{T}}差值统计量\omega最低准则对土性参数小、中、大3种变异水平分别开展了分项系数标定。王仲锦等^［21］与闫静昌^［22］采用\omega最低原则标定了列车荷载作用下路堤边坡分项系数。综上，传统分项系数标定的原则主要包括相对安全率不变、边坡\beta的低分位值靠近中位值、残差统计量\omega最低，其中残差最低被ISO 2394^［23］、Eurocode^［24］和我国工程结构可靠性设计标准^［25-26］采用。由于路基边坡土性参数变异系数分布范围宽，相对安全率接近或低分位值靠近中位值原则较为苛刻，通常难以满足。残差统计量原则可较好约束边坡\beta分布在{\beta }_{\mathrm{T}}附近，然而，仅依据残差最低原则开展分项系数标定难以准确控制边坡\beta与{\beta }_{\mathrm{T}}之间负偏差范围，可能导致过于危险的边坡稳定可靠性设计结果。为此，开展分项系数标定方法研究具有明确的理论意义和实用价值。

本文提出了一种改进的分项系数标定方法，并针对铁路土质路堤与路堑边坡开展了分项系数标定。首先，收集铁路路基边坡几何、土性、列车荷载取值及变异系数数据，根据校准法计算{\beta }_{\mathrm{T}}。然后，采用残差最低原则开展分项系数标定，并分析承载能力极限状态（Ultimate Limit State，ULS）下边坡\beta与目标值{\beta }_{\mathrm{T}}之间偏差分布规律。最后，针对路堤与路堑最优分项系数存在差异影响工程应用便捷性的问题，研究分项系数统一化取值方法。

1 边坡分项系数标定方法

1.1　极限状态表达式

根据铁路路基规范^［26］，采用Fellenius法作为边坡极限平衡分析方法，此时边坡稳定承载能力极限状态ULS检算见式（1）。总抗力设计值R_{\mathrm{d}}和总下滑力设计值S_{\mathrm{d}}分别见式（2）和式（3）。

R_{\mathrm{d}}\ge S_{\mathrm{d}}（1）

R_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{\Sigma }{c}_i{l}_i}{{\gamma }_c}+\frac{\mathrm{\Sigma }{W}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_i}{{\gamma }_{\phi W}}+\frac{\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_i}{{\gamma }_{\phi Q}}（2）

S_{\mathrm{d}}={\gamma }_W\mathrm{\Sigma }{W}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i+{\gamma }_Q\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i（3）

式中：i为土条编号；c_i为土条i滑面处土体黏聚力；l_i为土条i底部弧长；W_i为土条i重度；{\alpha }_i为土条i底面中点处切线与水平方向夹角；{\phi }_i为土条i滑面处土体内摩擦角；Q_i为土条i承受的列车荷载；{\gamma }_c，{\gamma }_{\phi W}和{\gamma }_{\phi Q}分别为黏聚力、重力和列车荷载引起的抗力分量分项系数；{\gamma }_W和{\gamma }_Q分别为重力和列车荷载引起的下滑力分量分项系数。

其中，作为随机变量的黏聚力、内摩擦角、土体重度和土条承受的列车荷载取标准值。土体重度和土条承受列车荷载分别属于永久作用和可变作用。

将R_{\mathrm{d}}与S_{\mathrm{d}}之比定义为超额设计系数\Gamma，计算式如下。

\Gamma =\frac{R_d}{S_d}（4）

\Gamma =\mathrm{1}表示边坡处于极限状态，\Gamma >\mathrm{1}表示边坡稳定可靠性高于设计目标值，表示低于设计目标值。边坡稳定可靠性检算时要求\Gamma \ge \mathrm{1}，\mathrm{\Delta }\Gamma =\Gamma -\mathrm{1}称为安全裕幅。

1.2　目标可靠指标

目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}（或容许失效概率P_{\mathrm{f}\mathrm{T}}）用于定量描述工程师和社会大众对路基边坡工程安全程度的宏观期望，{\beta }_{\mathrm{T}}的选择与国家经济状况和构筑物预设功能相关，可采用校准法或风险分析法确定。校准法^［20］认为依据传统SFM所建造边坡具有足够稳定性，通过计算与分析典型边坡\beta值而确定{\beta }_{\mathrm{T}}。风险分析法^{［14，25］}则从社会需求、经济考量、风险控制等方面分析结构应该具有的安全储备，如荷兰防洪规范^［17］根据失效风险与失效后果计算得到P_{\mathrm{f}\mathrm{T}}为10^-5~10^-2，换算可得目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}为2.3~4.3。

当前，我国铁路路基边坡稳定设计处于由确定性方法向概率方法转型的关键过渡阶段，路基规范^［26］选择使用校准法确定{\beta }_{\mathrm{T}}。校准法要求合理选取路基边坡稳定可靠性分析中几何参数、土性参数、列车荷载，以对既有边坡实际安全程度进行真实模拟，使得基于PFM的新规范对边坡稳定可靠性要求与基于SFM的传统规范具有一致性。

1.3　分项系数标定

采用一般分离法^{［20，27］}计算边坡抗力与下滑力分量分项系数。设边坡总抗力设计值R_{\mathrm{d}}与总下滑力设计值S_{\mathrm{d}}为相互独立的随机变量，均值分别为{\mu }_R和{\mu }_S，标准差为{\sigma }_R和{\sigma }_S，变异系数为{\delta }_R={\sigma }_R/{\mu }_R和{\delta }_S={\sigma }_S/{\mu }_S。边坡稳定可靠性极限状态校核式如下。

G=R_{\mathrm{d}}-S_{\mathrm{d}}=\mathrm{0}（5）

式中：G为功能函数。

式（1）与式（5）等价，其中功能函数G的均值和标准差分别为{\mu }_G={\mu }_R-{\mu }_S和{\sigma }_G=\sqrt[]{{\sigma }_R^{\mathrm{2}}+{\sigma }_S^{\mathrm{2}}}。G\ge \mathrm{0}代表边坡稳定可靠性满足设计目标，代表低于设计目标。

边坡稳定可靠指标\beta定义为{\mu }_G与{\sigma }_G之比，计算式如下。

\beta =\frac{{\mu }_G}{{\sigma }_G}=\frac{{\mu }_R-{\mu }_S}{\sqrt[]{{\sigma }_R^{\mathrm{2}}+{\sigma }_S^{\mathrm{2}}}}（6）

式（6）可改写为

{\mu }_R-{\mu }_S=\beta {\Phi }_R{\sigma }_R+\beta {\Phi }_S{\sigma }_S（7）

其中，

{\Phi }_R=\frac{{\sigma }_R}{\sqrt[]{{\sigma }_R^{\mathrm{2}}+{\sigma }_S^{\mathrm{2}}}}

{\Phi }_S=\frac{{\sigma }_S}{\sqrt[]{{\sigma }_R^{\mathrm{2}}+{\sigma }_S^{\mathrm{2}}}}

式中：{\Phi }_R和{\Phi }_S分别为总抗力和总下滑力分离函数。

分离函数{\Phi }_R和{\Phi }_S分别表征抗力和下滑力不确定性在总不确定性中的占比，即抗力和下滑力不确定性对总体不确定性的贡献度。{\Phi }_R和{\Phi }_S在数学上是R_{\mathrm{d}}和S_{\mathrm{d}}二维标准空间中原点与极限状态面上设计验算点构成的向量与R_{\mathrm{d}}和S_{\mathrm{d}}轴夹角的方向余弦。对式（7）进行移项变换，可得式（8）。

\frac{{\mu }_R}{{\gamma }_R}-{\mu }_S{\gamma }_S=\mathrm{0}（8）

{\gamma }_R=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-\beta {\Phi }_R{\delta }_R}（9）

{\gamma }_S=\mathrm{1}+\beta {\Phi }_S{\delta }_S（10）

式中：{\gamma }_R和{\gamma }_S分别为总抗力分项系数和总下滑力分项系数，取值均不小于1。

分项系数的物理力学本质是针对各个随机变量对目标安全程度贡献性设定的分项安全系数，在数学上是以分量变异性在功能函数总变异性中占比为权重对目标可靠指标的分配，因此分项系数计算中取\beta ={\beta }_{\mathrm{T}}。采用Fellenius法作开展路基边坡极限平衡分析，R_{\mathrm{d}}包括3项抗力分量，S_{\mathrm{d}}包括2项下滑力分量，设抗力分量与下滑力分量互相独立，根据式（5）—式（10）所示一般分离法原理，式（2）和式（3）中5项分项系数{\gamma }_c，{\gamma }_{\phi W}，{\gamma }_{\phi Q}，{\gamma }_W和{\gamma }_Q的计算式如下。

{\gamma }_c=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\beta }_T{\Phi }_{Rc}{\delta }_{Rc}}（11）

{\gamma }_{\phi W}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\beta }_T{\Phi }_{R\phi W}{\delta }_{R\phi W}}（12）

{\gamma }_{\phi Q}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-{\beta }_T{\Phi }_{R\phi Q}{\delta }_{R\phi Q}}（13）

{\gamma }_W=\mathrm{1}+{\beta }_{\mathrm{T}}{\Phi }_{SW}{\delta }_{SW}（14）

{\gamma }_Q=\mathrm{1}+{\beta }_{\mathrm{T}}{\Phi }_{SQ}{\delta }_{SQ}（15）

式中：{\delta }_{Rc}，{\delta }_{R\phi W}，{\delta }_{R\phi Q}，{\delta }_{SW}和{\delta }_{SQ}分别为\mathrm{\Sigma }{c}_i{l}_i，\mathrm{\Sigma }{W}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_i，\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_i，\mathrm{\Sigma }{W}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i和\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i的分量变异系数；{\Phi }_{Rc}，{\Phi }_{R\phi W}，{\Phi }_{R\phi Q}，{\Phi }_{SW}和{\Phi }_{SQ}为相应分量的分离函数。

采用校准法得到{\beta }_{\mathrm{T}}后，根据式（11）—式（15），对各边坡工况开展分项系数计算，每种工况代表1种边坡几何参数、土性参数和列车荷载及变异系数的组合。统计全部边坡工况分项系数数据空间的四分位值，其中0.50分位值反映了分项系数散点值的平均水平，最优分项系数位于中位值附近。为此，选取0.25和0.75分位值作为分项系数备选值下限和上限，得到抗力和下滑力分量分项系数的取值区间。在传统分项系数标定过程中，认为残差统计量\omega最小对应的分项系数为最优，即残差最低原则。然而，\omega最小仅可实现分项系数在平均意义上的最优，无法准确控制边坡\beta与{\beta }_{\mathrm{T}}负偏差分布范围，标定所得分项系数组合可能造成特定边坡\beta远低于{\beta }_{\mathrm{T}}的危险后果。

对此，提出考虑负偏设限的残差趋低分项系数标定改进方法，即可靠指标负偏调控，边坡分项系数标定流程如图1所示。包括：①将分项系数取值区间等距离散，得到分项系数备选值的集合{\Omega }_{PF}；②选择1组抗力与下滑力分项系数，将分项系数代入式（2）和式（3），根据土性参数、列车荷载与几何参数取值范围，试算得到满足式（1）所示ULS的边坡稳定算例集合{\Omega }_{S\mathrm{1}}，即多种边坡工况；③考虑土性参数与列车荷载变异系数，构造边坡算例的集合{\Omega }_{S\mathrm{2}}，通过可靠性分析得到边坡实际可靠指标\beta的集合{\Omega }_{\beta }；④计算{\Omega }_{\beta }中\beta散点与{\beta }_{\mathrm{T}}之间负偏差最小值{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，以及\beta散点围绕{\beta }_{\mathrm{T}}残差统计量\omega，分别见式（16）和式（17）；⑤重复步骤②至步骤④，得到与分项系数集合{\Omega }_{PF}对应的{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}集合{\Omega }_{\Delta }和\omega集合{\Omega }_{\omega }；⑥根据负偏设限和残差趋低原则，筛选集合{\Omega }_{PF}中的最优分项系数组合值，完成分项系数标定。

{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和\omega的计算式如下。

{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\Delta }_{\beta ,j}\right)（16）

\omega =\frac{\mathrm{1}}{\lambda }{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^M}{\left(\frac{{\beta }_j-{\beta }_{\mathrm{T}}}{{\beta }_{\mathrm{T}}}\right)}^{\mathrm{2}}（17）

其中，

{\Delta }_{\beta ,j}={\beta }_j-{\beta }_{\mathrm{T}}

\lambda =\frac{\mathrm{1}}{M}

式中：M为边坡算例集合{\Omega }_{S\mathrm{2}}中元素数量；j为{\Omega }_{S\mathrm{2}}中边坡算例的序号，j=\mathrm{1,2},\dots ,M；{\Delta }_{\beta ,j}为边坡算例j实际可靠指标与目标可靠指标之间的偏差值。

在分项系数标定过程中，式（16）用于保障安全，式（17）用于控制成本、避免浪费，这与传统方法一致。为避免出现边坡实际可靠指标远高于目标可靠指标的过于保守情况，在步骤④中允许边坡实际可靠指标稍低于目标值，即{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}可小于零。改进方法与传统方法的关键区别在于增加了可靠指标负偏调控，改进方法要求任意边坡算例可靠指标低于目标可靠指标不超过1个安全等级0.5，即负偏设限，然后，在满足负偏设限原则的基础上，边坡算例可靠指标与目标可靠指标残差平方和越低越优，即残差趋低。换言之，传统方法认为统计量ω全集最低值对应分项系数最优，即全集最低；改进方法按照负偏限值排除限外点，然后取ω余集最小值对应分项系数为标定结果，即余集最低。

2 目标可靠指标校准

2.1　边坡参数与列车荷载

根据路基规范^［26］选取典型边坡断面，如图2所示。路基边坡稳定可靠性分析中基本参数包括坡高h，坡率\mathrm{1}:m，黏聚力均值{\mu }_c与变异系数{\delta }_c，内摩擦角均值{\mu }_{\phi }与变异系数{\delta }_{\phi }，重度均值{\mu }_{\gamma }与变异系数{\delta }_{\gamma }，列车荷载均值{\mu }_q与变异系数{\delta }_q，列车荷载沿路基面分布宽度b，列车荷载边缘距离顶肩宽度b^{\text{'}}。作为随机变量，黏聚力c、内摩擦角\phi、重度\gamma以及列车荷载q服从特定概率分布类型。

根据规范^{［26，28］}和文献^{［20，29］}确定基本参数取值，其中铁路路基边坡土性参数与列车荷载来源于文献［26］和文献［28］，土性参数与列车荷载变异性数据分别取自文献［20］和文献［29］。c，\phi和\gamma服从正态分布；q服从极值Ⅰ型分布；q，b和b^{\text{'}}按铁路类型成组取值。

为考虑土性参数变异性对边坡稳定可靠性影响，将c，\phi和\gamma变异性划分为小、中、大3类水平，见表1。对土性参数变异系数进行插值处理，最终c，\phi和\gamma分别具有5个变异系数取值，边坡稳定性分析参数取值见表1。安全系数F_{\mathrm{s}}采用Fellenius方法计算，可靠指标\beta计算采用Monte Carlo模拟方法得到，模拟次数取10⁶。

2.2　路堑边坡目标可靠指标

对表2所示边坡几何参数h和m与土性参数{\mu }_c，{\delta }_c，{\mu }_{\phi }，{\delta }_{\phi }，{\mu }_{\gamma }和{\delta }_{\gamma }进行随机组合，共计46 875种路堑边坡算例，开展边坡稳定可靠性分析，得到\beta与F_{\mathrm{s}}散点分布如图3所示。图中，{\beta }_{\mathrm{05}}，{\beta }_{\mathrm{50}}和{\beta }_{\mathrm{95}}分别为可靠指标0.05，0.50和0.95分位值。由图3可知，\beta与F_{\mathrm{s}}呈非线性正相关性，两者之间的Kendall秩相关系数为0.62，且相关程度随F_{\mathrm{s}}增大逐渐降低。在F_{\mathrm{s}}≥1.15的边坡算例中，\beta最小值仅0.88，对应失效概率P_{\mathrm{f}}=18.9%，表明边坡在满足安全系数设计值情况下仍可能存在较大失稳风险，印证了由SFM边坡稳定设计向PFM转变的必要性。

根据路基规范^［30］，一般永久边坡工程最小稳定安全系数为F_{\mathrm{s}}=1.15~1.25，因此确定边坡{\beta }_{\mathrm{T}}时安全系数限定域取1.15~1.25。筛选图3中满足F_{\mathrm{s}}=1.15~1.25的边坡算例，当土性参数分别为小、中、大3类变异情况时，计算可靠指标的0.05，0.50和0.95分位值{\beta }_{\mathrm{05}}，{\beta }_{\mathrm{50}}和{\beta }_{\mathrm{95}}，见表3。另外，计算土性参数小至中变异与小至大变异水平两种叠加情景下边坡可靠指标分位值，汇总于表3。{\beta }_{\mathrm{50}}反映了边坡平均稳定可靠性水平，是确定目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}的直接依据，即取{\beta }_{\mathrm{T}}={\beta }_{\mathrm{50}}。由表3可知，土性参数变异水平对{\beta }_{\mathrm{T}}校准结果影响显著，小至大变异条件下{\beta }_{\mathrm{T}}仅为1.56，对应失效概率高达5.94%，与工程经验中边坡失稳情况不符。出现这一现象的原因在于，大变异条件下边坡可靠指标的小值显著拉低了{\beta }_{\mathrm{50}}，而实际路基边坡工程中岩土参数多处于小、中变异水平。

针对土性参数小至中变异水平情形共276例边坡样本，可靠指标中位值为{\beta }_{\mathrm{50}}=2.14，对应失效概率为1.62%。基于此，取路堑边坡目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}=2.2，与铁路统一标准^［25］中推荐的目标可靠指标期望值2.7相差1个安全等级，即0.5。根据表3，土性参数大变异下90%的边坡算例可靠指标分布于0.88~1.29窄区间内，失效概率高达18.9%~90.2%，因此，对于岩土参数大变异边坡工点应进行特殊设计。

2.3　路堤边坡目标可靠指标

对客货共线、高速铁路、城际铁路和重载铁路4种荷载类型路堤边坡，根据表1所列参数取值，可得4×140 625种边坡算例。土性参数小至中变异水平下，以安全系数F_{\mathrm{s}}=1.15~1.25为控制域，4种路堤边坡可靠指标分位值见表4。可知，{\beta }_{\mathrm{50}}较为稳定地分布在2.11~2.22之间，与路堑边坡基本一致，因此亦取路堤边坡目标可靠指标{\beta }_{\mathrm{T}}=2.2。

3 分项系数标定及统一取值

3.1　路堑边坡分项系数

根据式（11）—式（15），计算图3所示276组路堑边坡对应的分项系数{\gamma }_c，{\gamma }_{\phi W}和{\gamma }_W，统计分项系数四分位值，结果如图4所示。{\gamma }_c的四分位值分别是1.14，1.27和1.39，{\gamma }_{\phi W}的四分位值分别是1.1，1.16和1.22，{\gamma }_W的四分位值分别是1.01，1.03和1.04。据此，{\gamma }_c备选值下限取为1.10，上限为1.40；{\gamma }_{\phi W}备选值下限取为1.10，上限为1.25；{\gamma }_W备选值下限取为1.01，上限为1.05。

工程结构可靠性设计统一标准^［14］建议分项系数试算值可取0.05或0.1为间隔，此处{\gamma }_c，{\gamma }_{\phi W}和{\gamma }_W分别设置为0.05，0.05和0.02，得到满足{\gamma }_c>{\gamma }_{\phi W}>{\gamma }_W的57组分项系数，构成了分项系数备选值集合{\Omega }_{PF}。选取1组分项系数备选值，采用试算法获取满足ULS的边坡算例集合{\Omega }_{S\mathrm{1}}，超额设计系数\Gamma精度取0.01，即\Gamma =\mathrm{1}\pm \mathrm{0.01}。纳入小至中变异水平条件下土性参数变异系数{\delta }_c，{\delta }_{\phi }和{\delta }_{\gamma }，得到包括M=48个路堑边坡的集合{\Omega }_{S\mathrm{2}}。采用Monte Carlo法对集合{\Omega }_{S\mathrm{2}}中边坡算例开展稳定可分析，得到可靠指标集合{\Omega }_{\beta }，根据式（17）计算各分项系数备选值下边坡\beta与{\beta }_{\mathrm{T}}之间负偏差最小值{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和残差统计量\omega。循环选取其他分项系数备选值，最终得到\beta负偏差最小值集合{\Omega }_{\Delta }与残差统计量\omega集合{\Omega }_{\omega }。

按照传统残差最低分项系数标定原则，{\Omega }_{\omega }集合中最小值为{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=0.27，对应分项系数为{\gamma }_c= 1.25，{\gamma }_{\phi W}=1.10，{\gamma }_W=1.03，可靠指标偏差{\Delta }_{\beta }=\beta -{\beta }_{\mathrm{T}}的最小值{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、平均值{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}}和最大值{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为-0.75，-0.14和0.90。绘制{\Delta }_{\beta }分布直方图如图5所示。

由图5可知，满足{\Delta }_{\beta }\ge \mathrm{0}的无风险边坡算例占比{\eta }_{\mathrm{1}}=29%，的低风险边坡算例占比{\eta }_{\mathrm{2}}=38%，的高风险边坡算例占比{\eta }_{\mathrm{3}}=33%。根据统一标准^［14］，取0.5为可靠指标相邻等级之差，低于目标值超过1个安全等级将使边坡稳定性设计结果过于危险。{\eta }_{\mathrm{3}}>\mathrm{0}证明了传统标定方法未控制边坡实际\beta与目标值{\beta }_{\mathrm{T}}之间不利负偏差的局限性。

为保障边坡稳定性设计结果的安全性，应限制高风险边坡占比{\eta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，即负偏设限原则。在57组分项系数构成的备选值集合{\Omega }_{PF}中，共32组满足{\eta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，对应{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}}和{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}随\omega变化如图6所示。

由图6可知，{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}}和{\Delta }_{\beta ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}均与\omega呈正相关性，\omega表征了分项系数隐含的边坡安全程度，\omega越大设计所得边坡安全储备越高。按照\omega由低至高对32组分项系数备选值进行排序，前6组见表5。根据残差趋低原则最优分项系数为第1组，即{\gamma }_c=1.20，{\gamma }_{\phi W}=1.15，{\gamma }_W=1.05。

3.2　路堤边坡分项系数

根据图1所示流程，对客货共线、高速铁路、城际铁路、重载铁路4类路堤边坡开展分项系数标定。路堤与路堑分项系数标定的区别在于，路堤稳定极限状态表达式中需考虑列车荷载导致的抗力分量\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_i\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\phi }_i与下滑力分量\mathrm{\Sigma }{Q}_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_i。根据计算结果，传统残差最低原则下可靠指标负偏超限算例{\eta }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}占比分别为0.23，0.24，0.33和0.20。基于负偏设限和残差趋低原则，得到满足{\eta }_{\mathrm{3}}=0的分项系数分别为第32，第52，第43，第37和第48组，按\omega增序排列得到最优分项系数，见表6。由表6可知，相较于路堑边坡，路堤边坡承受列车荷载导致抗力与下滑力分量不确定性占比重新分配，导致4种类型铁路的路堤边坡分项系数标定结果存在差异。

3.3　分项系数统一取值

路堑与路堤分项系数的差异一定程度上为路基边坡稳定可靠性设计带来了不便，开展路堤与路堑边坡分项系数统一取值研究有助于提高PFM在工程实践中的易用性。针对符合负偏设限原则的第32，第52，第43，第37和第48组分项系数计算结果，筛选分项系数取值彼此接近且\omega较低的分项系数，即低残差区域综合寻优方法，筛选结果分别是第2，第6，第4，第4和第3组，见表7。可知，筛选结果中{\gamma }_c，{\gamma }_{\phi W}，{\gamma }_{\phi Q}和{\gamma }_Q这4项均相等，仅{\gamma }_W项存在差异。秉承安全首位的设计理念，分项系数的归一化建议值分别为{\gamma }_c=\mathrm{1.25}，{\gamma }_{\phi W}=\mathrm{1.20}，{\gamma }_{\phi Q}=\mathrm{1.05}，{\gamma }_W=\mathrm{1.03}，{\gamma }_Q=\mathrm{1.05}。建议值兼顾了路堑和各类型路堤边坡对稳定性的需求。

4 结论

（1）采用传统方法进行路基土质边坡分项系数标定时，设计所得边坡实际可靠指标低于目标可靠指标超过0.5的负偏不可接受情况占比达20%~33%。提出的以负偏设限和残差趋低为原则的改进标定方法可准确调控可靠指标不利负偏差的分布区间，实现对风险边坡的有效管控。

（2）基于校准法确定的边坡目标可靠指标受设计安全系数与土性参数变异性共同影响。计算表明，土性参数处于常遇小至中变异水平下的铁路路基边坡，以安全系数1.15~1.25为限定域得到的目标可靠指标为2.2，体现了按照传统安全系数法设计的既有路基边坡的平均稳定可靠性程度。

（3）列车荷载项导致抗力和下滑力分量不确定性的占比发生变化，导致路堑与路堤边坡分项系数标定结果存在一定差异。对此，提出了低残差区域综合寻优方法，得到了路堤与路堑边坡分项系数的统一取值，其中黏聚力、内摩擦角、列车荷载3个抗力分量的分项系数分别为1.25，1.20和1.05，土体重力与列车荷载2个下滑力分量的分项系数分别为1.03和1.05。

（4）对于公路、建筑、水利等工程边坡和其他岩土结构，本文提出的改进方法的分项系数标定具有通用性。然而，文中标定所得边坡分项系数建立在常遇土性参数、几何参数与列车荷载常遇取值范围之上，对于特殊条件下的边坡，宜进行特殊设计。

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