地铁隧道并行下穿影响下既有管线纵向变形响应研究

Research on the Longitudinal Deformation Response of Existing Pipelines under the Influence of Parallel Underpasses of Subway Tunnels

摘要

为评估盾构隧道下穿对既有管线的影响并制定保护方案，基于半无限空间Mindlin解及统一土体移动模型，建立考虑盾构推力、刀盘摩擦力、盾壳摩擦力、注浆压力和地层损失的土体位移计算模型并得到解析解；将既有管线简化为Euler-Bernoulli梁，建立3参数Kerr地基模型下的管线纵向受力平衡微分方程并计算；通过依托工程进行验证并开展参数分析。结果表明：较有限元法和Pasternak地基模型，所提计算方法得到的管线纵向变形与监测数据吻合更好，管线纵向弯曲应变结果偏于保守；增大盾构隧道与并行管线的水平净距和纵向净距会使既有管线变形与弯矩减小，当水平净距小于1倍盾构隧道直径、竖向净距小于2.5倍盾构隧道直径时，既有管线的变形与弯矩均显著增大；两者间水平夹角增加会导致既有管线的纵向变形减小，但相比垂直下穿，盾构隧道并行下穿将导致管线竖向变形增大6倍，弯矩最值增大4倍；管线的竖向倾角对其纵向受力变形影响较小，可以最小竖向净距为基本条件简化计算。

Abstract

To evaluate the impact of shield tunnel underpass on the existing pipeline and formulate a protection scheme, based on the semi-infinite-space Mindlin solution and the unified soil movement model, a soil displacement calculation model considering shield thrust, cutterhead friction, shield shell friction, grouting pressure and stratum loss is established and an analytical solution is obtained. The existing pipeline is simplified as an Euler-Bernoulli beam, and the longitudinal force equilibrium differential equation of the pipeline under the 3-parameter Kerr foundation model is established and calculated. Then, verification is conducted relying on project, and parameter analysis is carried out. The results show that compared with the finite element method and Pasternak foundation model, the longitudinal deformation of the pipeline obtained by the proposed method tallies better with the monitoring data, and the results of the longitudinal bending strain of the pipeline are conservative. The deformation and bending moment of the existing pipeline are reduced by increasing the horizontal and longitudinal clear distance between the shield tunnel and the parallel pipeline. When the horizontal clear distance between the two is less than 1 times shield tunnel diameter, and the vertical clear distance is less than 2.5 times shield tunnel diameter, the deformation and bending moment of the existing pipeline increase significantly. The increase of the horizontal angle between the two will lead to the decrease of the longitudinal deformation of the existing pipeline, but compared with the vertical underpass, parallel underpass of shield tunnels will lead to an increase of 6 times in vertical deformation of pipeline and 4 times in maximum bending moment. The vertical inclination angle of pipeline has less influence on its longitudinal force and deformation, so the minimum vertical clear distance can be used as the basic condition for simplifying the calculation.

Graphical abstract

关键词

地铁隧道 / 并行下穿 / 既有管线 / 解析解 / Mindlin解 / Kerr地基模型

Key words

Subway tunnels / Parallel underpass / Existing pipeline / Analytical solution / Mindlin solution / Kerr foundation model

随着城市地铁工程的大规模建设和地下空间的不断拓展，新建地铁隧道临近既有管线施工的情况日益增多。盾构法掘进过程中，周围土体受到挤压和扰动发生位移，会造成邻近管线变形、破裂，这不仅可能影响管线的正常使用，严重时甚至还会导致一系列安全事故。在盾构隧道下穿既有管线的工程中，并行下穿形式相较于交叉下穿形式存在管线改迁的成本高、难度大等特点，因此分析地下管线的力学响应与变形特征，合理预估盾构开挖对邻近并行管线的影响，对新建地下工程的安全施工及既有管线的安全运营都具有重要意义。

隧道施工影响下的既有管线的变形研究主要分为2类。在试验监测方面，史江伟等^［1］和Marshall等^［2］通过离心模型试验研究了管线的变形特性及土壤-管道相互作用机制；孙宇坤等^［3］和沈俊等^［4］通过现场实测分析了盾构施工过程中管线沉降的规律。模型试验与现场实测可以较为真实地反应施工扰动下既有管线的变形规律，但其精度依赖于操作者对仪器操作的熟练程度，且费用往往相对较高。在计算分析方面，高丙丽等^［5］和张学进等^［6］通过数值模拟方法分析了隧道邻近下穿对既有管线的影响规律。数值模拟法可以较为合理地反映隧道下穿时土体与既有管线的相互作用，但建模较为复杂且计算量大，相比之下，理论解析法虽然受限于简单边界条件和均质材料假设，因其概念明确、运算简单、易于工程等优点而被广泛适用于岩土工程领域。张治国等^［7］基于Winkler地基模型及两阶段分析法，提出了邻近开挖引起既有隧道纵向受力变形理论解；张陈蓉等^［8］基于改进的Winkler地基模型，考虑管线接口刚度非连续的力学特性，提出了隧道开挖影响下管线响应的理论分析方法；Zhang等^［9］基于两阶段法求得基坑开挖引起邻近管线附加应力，并采用Pasternak地基模型得到隧道纵向位移；张恒等^［10］基于双参数Pasternak地基模型，考虑了侧向土体的作用，推导得出了更符合实际的管片变形。

工程实践中，盾构隧道并行下穿既有管线比交叉下穿更为常见，但目前相关理论研究多针对垂直或斜交下穿，且其解析方法大多数是将管线搁置在单参数或者双参数地基模型上，同时未能考虑盾构掘进过程中地层变形的多因素影响效应，求解精度并不理想。本文综合考虑盾构机施工因素、地基弹性抗力的连续性以及管土相互作用，首先，基于半无限空间Mindlin解及统一土体移动模型，建立考虑盾构推力、刀盘摩擦力、盾壳摩擦力、注浆压力和地层损失5方面因素的土体位移计算模型并得到的解析解；其次，将既有管线简化成Euler-Bernoulli梁并搁置在3参数Kerr地基模型上，建立Kerr地基模型下管线纵向受力平衡微分方程，计算得到多影响因素下盾构并行下穿既有管线纵向变形；然后，通过与依托工程的监测数据，将所提方法计算结果与有限元模型和Pasternak地基模型的计算结果进行比较，验证其合理性和优越性；最后，在依托工程的基础上，进一步分析既有管线与隧道间不同水平净距、竖向净距、水平夹角及竖向夹角对并行既有管线竖向变形的影响。

1 盾构掘进引起的地层沉降解析解

在盾构施工阶段，盾构机与土体之间存在相互作用，按作用的产生机理可将其大致分为5个部分：①为保证开挖面土体稳定性而产生的顶推力；②切削渣土时，刀盘沿旋转方向受到的摩擦力；③盾构掘进时，盾壳与周围土体之间的摩擦力；④管片脱离盾尾后，回填开挖间隙而产生的注浆压力；⑤由于盾构锥度、土体侵蚀等原因而导致的土体损失。以O为刀盘旋转中心在地平面上的映射位置，x轴为盾构机行进轨迹（取掘进方向为正），y轴为水平垂直于盾构机行进轨迹的轴线，在Oxy平面为地平面的基础上建立笛卡尔坐标系Oxyz，得到盾构掘进Mindlin解的力学计算简图如图1所示。图中：z_{\mathrm{0}}为既有管线至地面距离，m；h为隧道轴线至地面距离，m；z轴为正表示地表向下。

以向下发生沉降为正、向上隆起为负，设u₁，u₂，u₃，u₄和u₅依次为半无限空间中任意点(x，y,z)在附加推力、刀盘摩擦力、盾壳摩擦力、附加注浆压力和土体损失作用下的地层竖向位移，则盾构施工阶段，由盾构机掘进所引起的地层竖向总位移u建立的土体位移计算模型可表示为

u=u_{\mathrm{1}}+u_{\mathrm{2}}+u_{\mathrm{3}}+u_{\mathrm{4}}+u_{\mathrm{5}}（1）

1.1　附加推力引起的地层竖向位移

盾构施工过程中，为保证开挖面有足够的支撑力以及盾构机正常掘进，盾构机推力略大于前方土体侧向压力，对其挤压而产生“挤土效应”，超出部分的盾构机推力即为附加推力。附加推力引起的地层竖向位移计算如图2所示。图中：r为到隧道轴线的径向距离，m；\theta为圆心角，（°）；R为盾构计算半径，m；\mathrm{d}S为圆形区域内任一微元，\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta。

设P_{\mathrm{1}}为地层盾构开挖面处单位面积上的附加推力，在其圆形区域内，任一微元\mathrm{d}S所受的水平集中力为\mathrm{d}{P}_{\mathrm{1}}=P_{\mathrm{1}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta，积分得到附加推力引起地表竖层位移u₁的计算式为

u_{\mathrm{1}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^R\frac{P_{\mathrm{1}}x(A_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{12}}+A_{\mathrm{13}}+A_{\mathrm{14}})r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta }{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-\mu )}（2）

其中，

A_{\mathrm{11}}=\frac{\mathrm{4}(\mathrm{1}-\mu )(\mathrm{1}-\mathrm{2}\mu )}{R_{\mathrm{2}}\left(R_{\mathrm{2}}+z+c\right)}

A_{\mathrm{12}}=-\frac{\mathrm{6}cz(z+c)}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}

A_{\mathrm{13}}=\frac{z-c}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{14}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu )(z-c)}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}

式中：A_{\mathrm{11}}，A_{\mathrm{12}}，A_{\mathrm{13}}和A_{\mathrm{14}}均为中间变量；G为地层土体剪切弹性模量，MPa；\mu为地层土体泊松比；c为计算附加推力对地层竖向位移时任一微元\mathrm{d}S的埋深距离，c=h-r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta，m；R_{\mathrm{1}}为计算附加推力对地层竖向位移时荷载计算点（如盾构机刀盘）到计算点的实际距离，R_{\mathrm{1}}={\left(x^{\mathrm{2}}+{(y-r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z-c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m；R_{\mathrm{2}}为计算附加推力对地层竖向位移时考虑半无限空间自由表面反射效应的镜像距离，R_{\mathrm{2}}={\left(x^{\mathrm{2}}+{(y-r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z+c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m。

1.2　刀盘摩擦力引起的地层竖向位移

设P_{\mathrm{2}}为刀盘与单位面积土体之间的摩擦力，则任一微元\mathrm{d}S=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta所受的刀盘摩擦力为\mathrm{d}{P}_{\mathrm{2}}=P_{\mathrm{2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta。将沿圆周方向的刀盘摩擦力分解为水平摩擦力\mathrm{d}{P}_{\mathrm{2}\mathrm{h}}=P_{\mathrm{2}}r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta和竖直摩擦力\mathrm{d}{P}_{\mathrm{2}\mathrm{h}}=P_{\mathrm{2}}r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta，刀盘摩擦力引起的地层竖向位移u₂可按式（3）—式（5）计算。

u_{\mathrm{2}}=u_{\mathrm{2}\mathrm{h}}+u_{\mathrm{2}\mathrm{v}}（3）

u_{\mathrm{2}\mathrm{h}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^R\frac{P_{\mathrm{2}}(y-r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )(A_{\mathrm{21}}+A_{\mathrm{22}}+A_{\mathrm{23}}+A_{\mathrm{24}})}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-\mu )/(r\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta )}（4）

u_{\mathrm{2}\mathrm{v}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^R\frac{P_{\mathrm{2}}(B_{\mathrm{21}}+B_{\mathrm{22}}+B_{\mathrm{23}}+B_{\mathrm{24}}+B_{\mathrm{25}})}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-\mu )/(r\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta )}（5）

其中，

A_{\mathrm{21}}=\frac{z-c}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{22}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu )(z-c)}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{23}}=\frac{\mathrm{6}cz(z+c)}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}

A_{\mathrm{24}}=\frac{\mathrm{4}(\mathrm{1}-\mu )(\mathrm{1}-\mathrm{2}\mu )}{R_{\mathrm{2}}(R_{\mathrm{2}}+z+c)}

B_{\mathrm{21}}=\frac{\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu }{R_{\mathrm{1}}}

B_{\mathrm{22}}=\frac{\mathrm{8}{(\mathrm{1}-\mu )}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu )}{R_{\mathrm{2}}}

B_{\mathrm{23}}=\frac{{(z-c)}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}

B_{\mathrm{24}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu ){(z+c)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}cz}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}

B_{\mathrm{25}}=\frac{\mathrm{6}cz{(z+c)}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{5}}}

式中：u_{\mathrm{2}\mathrm{h}}和u_{\mathrm{2}\mathrm{v}}分别为刀盘摩擦力水平分量、垂直分量引起的地层竖向位移，m；A_{\mathrm{21}}，A_{\mathrm{22}}，A_{\mathrm{23}}，A_{\mathrm{24}}，B_{\mathrm{21}}，B_{\mathrm{22}}，B_{\mathrm{23}}，B_{\mathrm{24}}和B_{\mathrm{25}}均为中间变量。

1.3　盾壳摩擦力引起的地层竖向位移

盾构盾壳与土体的摩擦力引起的地层竖向位移计算简图如图3所示。图中：L_{\mathrm{s}}为盾构机长度，m；\mathrm{d}l为计算微元的长度；\mathrm{d}A为盾壳表面区域内任一微元，\mathrm{d}A=R\mathrm{d}l\mathrm{d}\theta。

设P_{\mathrm{3}}为盾壳与单位面积土体之间的摩擦力，则盾构外表面任一微元\mathrm{d}A所受盾壳摩擦力为\mathrm{d}{P}_{\mathrm{3}}=P_{\mathrm{3}}R\mathrm{d}l\mathrm{d}\theta，积分得到盾壳摩擦力引起的地层竖向位移u₃的计算式为

u_{\mathrm{3}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^{L_{\mathrm{s}}}\frac{P_{\mathrm{3}}R(x+l_{\mathrm{0}})(A_{\mathrm{31}}+A_{\mathrm{32}}+A_{\mathrm{33}}+A_{\mathrm{34}})}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-v)/(\mathrm{d}l\mathrm{d}\theta )}（6）

其中，

A_{\mathrm{31}}=-\frac{\mathrm{6}c\mathrm{\text{'}}z(z+c\mathrm{\text{'}})}{{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{5}}}

A_{\mathrm{32}}=\frac{\mathrm{4}(\mathrm{1}-v)(\mathrm{1}-\mathrm{2}v)}{{R_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}\left({R_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}+z+c\mathrm{\text{'}}\right)}

A_{\mathrm{33}}=\frac{z-c\mathrm{\text{'}}}{{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{34}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}v)(z-c\mathrm{\text{'}})}{{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{\mathrm{3}}}

式中：l_{\mathrm{0}}为计算微元与开挖面的距离，m；A_{\mathrm{31}}，A_{\mathrm{32}}，A_{\mathrm{33}}和A_{\mathrm{34}}均为中间变量；c\mathrm{\text{'}}为计算盾壳摩擦力引起的地层竖向位移时任一微元\mathrm{d}A的埋深距离，c\mathrm{\text{'}}=h-R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta，m；{R_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}为计算盾壳摩擦力引起的地层竖向位移时荷载计算点（如盾构机刀盘）到计算点的实际距离，{R_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left((x+l_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}+(y-\right.{\left.{R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z-c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m；{R_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}为计算盾壳摩擦力引起的地层竖向位移时考虑半无限空间自由表面反射效应的镜像距离，{R_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}=\left((x+l_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}+(y-\right.{\left.{R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z+c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m。

1.4　盾尾附加注浆压力引起的地层竖向位移

盾构施工中，盾构机掘进直径与混凝土管片外径之间存在尺寸差，盾尾脱离后管片与地层之间通常存在160~370 mm的环形空隙，且空隙在一段时间内处于无支撑状态。为及时充分地填补空隙，减少体积损失，需将一定压力的浆液注入孔隙内，而此压力往往大于相应位置的水土压力。注浆压力与水土压力的差值即为附加注浆压力值，其引起的地层竖向位移计算简图如图4所示。图中：W为管片宽度。

盾尾附加注浆压力P_{\mathrm{4}}沿管片径向均匀分布，取任一微元\mathrm{d}{S}^{\text{'}}=R\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta，其所受附加注浆压力为\mathrm{d}{P}_{\mathrm{4}}=P_{\mathrm{4}}R\mathrm{d}s\mathrm{d}\theta，水平分量\mathrm{d}{P}_{\mathrm{4}\mathrm{h}}=P_{\mathrm{4}}R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{d}s\mathrm{d}\theta，竖向分量\mathrm{d}{P}_{\mathrm{4}\mathrm{v}}=-P_{\mathrm{4}}R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}s\mathrm{d}\theta，附加注浆压力引起的地层竖向位移u₄可按式（7）—式（9）计算。

u_{\mathrm{4}}=u_{\mathrm{4}\mathrm{h}}+u_{\mathrm{4}\mathrm{v}}（7）

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{4}\mathrm{h}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^W\frac{P_{\mathrm{4}}R(y-R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )\times }{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-\mu )/}\to \\ \leftarrow \frac{(A_{\mathrm{41}}+A_{\mathrm{42}}+A_{\mathrm{43}}+A_{\mathrm{44}})}{(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{d}s\mathrm{d}\theta )}\end{array}（8）

u_{\mathrm{4}\mathrm{v}}={\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\int }_{\mathrm{0}}^W\frac{-P_{\mathrm{4}}R(B_{\mathrm{41}}+B_{\mathrm{42}}+B_{\mathrm{43}}+B_{\mathrm{44}}+B_{\mathrm{45}})}{\mathrm{16}\mathrm{\pi }G(\mathrm{1}-\mu )/(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \mathrm{d}s\mathrm{d}\theta )}（9）

其中，

A_{\mathrm{41}}=\frac{z-c}{{R_{\mathrm{1}}^{″}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{42}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu )(z-c)}{{R_{\mathrm{2}}^{″}}^{\mathrm{3}}}

A_{\mathrm{43}}=-\frac{\mathrm{6}cz(z+c)}{{R_{\mathrm{2}}^{″}}^{\mathrm{5}}}

A_{\mathrm{44}}=\frac{\mathrm{4}(\mathrm{1}-\mu )(\mathrm{1}-\mathrm{2}\mu )}{R_{\mathrm{2}}^{″}\left(R_{\mathrm{2}}^{″}+z+c\right)}

B_{\mathrm{41}}=\frac{\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu }{R_{\mathrm{1}}^{″}}

B_{\mathrm{42}}=\frac{\mathrm{8}{(\mathrm{1}-\mu )}^{\mathrm{2}}-(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu )}{R_{\mathrm{2}}^{″}}

B_{\mathrm{43}}=\frac{{(z-c)}^{\mathrm{2}}}{{R_{\mathrm{1}}^{″}}^{\mathrm{3}}}

B_{\mathrm{44}}=\frac{(\mathrm{3}-\mathrm{4}\mu ){(z+c)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}cz}{{R_{\mathrm{2}}^{″}}^{\mathrm{3}}}

B_{\mathrm{45}}=\frac{\mathrm{6}cz{(z+c)}^{\mathrm{2}}}{{R_{\mathrm{2}}^{″}}^{\mathrm{5}}}

式中：u_{\mathrm{4}\mathrm{h}}和u_{\mathrm{4}\mathrm{v}}分别为附加注浆压力水平分力、竖向分力引起的地层竖向位移，m；A_{\mathrm{41}}，A_{\mathrm{42}}，A_{\mathrm{43}}，A_{\mathrm{44}}，B_{\mathrm{41}}，B_{\mathrm{42}}，B_{\mathrm{23}}，B_{\mathrm{24}}和B_{\mathrm{25}}均为中间变量；{R_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}为计算附加注浆压力引起的地层竖向位移时任一微元的埋深距离，R_{\mathrm{1}}^{″}{=\left((x+L_s+\right.s)}^{\mathrm{2}}+{\left.{(y-R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z-c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m；R_{\mathrm{2}}^{″}为计算附加注浆压力引起的地层竖向位移时考虑半无限空间自由表面反射效应的镜像距离，R_{\mathrm{2}}^{″}=\left((x+L_s{+s)}^{\mathrm{2}}+\right.{\left.{(y-R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}+{(z+c)}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}，m。

1.5　地层损失引起的地层竖向位移

在盾构法推进过程中，尽管采取了同步注浆等措施，但由于盾构锥度以及管片与地层之间的空隙，仍会不可避免导致地层发生沉降。魏纲等^［11-13］建立了统一土体移动模型，能够反映出土质的软硬程度及土体损失率沿盾构开挖方向的变化，较为准确地计算得到盾构掘进引起的地层竖向位移。按照魏纲方法，地层损失引起的地层竖向位移u₅的计算式为

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{5}}=\frac{B_s\eta R^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{h-z}{y^{\mathrm{2}}+{(h-z)}^{\mathrm{2}}}+\frac{h+z}{y^{\mathrm{2}}+{(h+z)}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{2}z\left[y^{\mathrm{2}}-{(h+z)}^{\mathrm{2}}\right]}{{\left[y^{\mathrm{2}}+{(h+z)}^{\mathrm{2}}\right]}^{\mathrm{2}}}\right\}\left(\mathrm{1}-\frac{x}{\sqrt[]{x^{\mathrm{2}}+h^{\mathrm{2}}}}\right)\times \\ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{y^{\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}\lambda }{{(h+R)}^{\mathrm{2}}}+\frac{z^{\mathrm{2}}(\mathrm{l}\mathrm{n}\lambda -\mathrm{l}\mathrm{n}\delta )}{(h+d_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}}\right)\end{array}（10）

其中，

\begin{array}{l}\lambda =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}-\frac{\mathrm{2}(\mathrm{1}-\sqrt[]{\mathrm{1}-\eta (x)})}{\mathrm{\pi }\eta (x)}\times \\ \left[\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{d_{\mathrm{0}}}{R\sqrt[]{\mathrm{1}-\eta (x)}}\right)+\right.\\ \left.\sqrt[]{\mathrm{1}-{\left(\frac{d_{\mathrm{0}}}{R\sqrt[]{\mathrm{1}-\eta (x)}}\right)}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}\right]\end{array}

\delta =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{2}{d}_{\mathrm{0}}}{R\left(\mathrm{1}+\sqrt[]{\mathrm{1}-\eta (x)}\right)}\right]

B_s=\frac{\mathrm{4}h\left[h+d_{\mathrm{0}}-\sqrt[]{(h+d_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}-\eta (x)(R+d_{\mathrm{0}}{)}^{\mathrm{2}}}\right]}{R\eta (x)(R+d_{\mathrm{0}})}

式中：\eta（x）为地层损失变化；\eta为最大土体损失率，%；d_{\mathrm{0}}为土体移动焦点到隧道中心点距离，m；B_s为中间变量，可参考文献［11］取值。

2 既有管线变形计算

2.1　理论推导

3参数Kerr地基模型在Pasternak模型的基础上进一步考虑土介质的连续性特征，对于地层变形预测更为精确，因此引入3参数Kerr地基模型计算既有管线的纵向受力平衡微分方程。基于现实情况及该模型适用条件，进行如下假设。

（1）管线与土体之间作用满足Kerr地基模型要求。

（2）管线为Euler-Bernoulli梁，且直径为D_{\mathrm{e}}、抗弯刚度为EI。

（3）隧道底面和地基土体变形协调一致。

既有管线与隧道之间存在多种空间位置关系，其Kerr地基模型如图5所示。图中：△H和△L分别为既有管线与下穿隧道之间的竖直距离和水平距离；w_{\mathrm{1}} （x）和w_{\mathrm{2}} （x）分别为上、下层弹簧的变形量；\alpha和\beta分别为管线与隧道的水平夹角和竖向夹角；p （x）为既有管线上方的附加应力；k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}分别为上、下层弹簧刚度；G_s为地基剪切层刚度。

假设盾构开挖后的扰动地层对管线产生的荷载为q （x），荷载作用下管线的竖向挠度w （x）为

w(x)=w_{\mathrm{1}}(x)+w_{\mathrm{2}}(x)（11）

根据弹簧的受力特性可得

\left\{\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{1}}(x)=k_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{1}}(x)=k_{\mathrm{1}}\left(w(x)-w_{\mathrm{2}}(x)\right)\\ q_{\mathrm{2}}(x)=k_{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}(x)\end{array}\right.（12）

式中：q_{\mathrm{1}}（x）和q_{\mathrm{2}}（x）分别为上、下层弹簧反力。

根据地基剪切层特性，有

q_{\mathrm{1}}(x)=k_{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}(x)-G_s\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}（13）

通过式（12）和式（14）可得

w=\left(\mathrm{1}+\frac{k_{\mathrm{2}}}{k_{\mathrm{1}}}\right)w_{\mathrm{2}}(x)-\frac{G_s}{k_{\mathrm{1}}}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}（14）

既有管线受荷载作用下的平衡微分方程为

EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}w(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}+q_{\mathrm{1}}(x)D_{\mathrm{e}}=p(x)D_{\mathrm{e}}（15）

将式（14）和式（15）代入式（16），可得

\begin{array}{l}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{6}}{w}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{6}}}-\frac{k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}}}{G_s}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{w}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{4}}}+\frac{D_{\mathrm{e}}{k}_{\mathrm{1}}}{EI}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}(x)}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}-\\ \frac{D_{\mathrm{e}}{k}_{\mathrm{1}}{k}_{\mathrm{2}}}{EI{G}_s}{w}_{\mathrm{2}}(x)=-\frac{D_{\mathrm{e}}{k}_{\mathrm{1}}}{EI{G}_s}p(x)\end{array}（16）

利用差分法将式（17）简化为

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i-\mathrm{3}}+B_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i-\mathrm{2}}+C_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i-\mathrm{1}}+D_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i}+\\ C_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i+\mathrm{1}}+B_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i+\mathrm{2}}+A_{\mathrm{1}}{w}_{\mathrm{2},i+\mathrm{3}}=-p_i\\ i=\mathrm{1,2},\cdots ,n-\mathrm{1},n\end{array}（17）

其中，

\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{1}}\\ B_{\mathrm{1}}\\ C_{\mathrm{1}}\\ D_{\mathrm{1}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{6}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{15}& \mathrm{4}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{20}& -\mathrm{6}& -\mathrm{2}& \mathrm{1}\end{array}\right)\times \\ \left(\begin{array}{c}EI{G}_s/D_{\mathrm{e}}{l}^{\mathrm{6}}\\ EI(k_{\mathrm{1}}+k_{\mathrm{2}})/D_{\mathrm{e}}{l}^{\mathrm{4}}\\ G/l^{\mathrm{2}}\\ k_{\mathrm{2}}\end{array}\right)\end{array}（18）

p_i=k_{\mathrm{2}}{\xi }_i-G_s({\xi }_{\mathrm{2},i+\mathrm{1}}-\mathrm{2}{\xi }_{\mathrm{2},i}+{\xi }_{\mathrm{2},i-\mathrm{1}})/l^{\mathrm{2}}（19）

式中：A_{\mathrm{1}}，B_{\mathrm{1}}，C_{\mathrm{1}}和D_{\mathrm{1}}均为式（17）简化后的系数；w_{\mathrm{2},i}为既有管线第i个节点处地基剪切层位移；l为差分节点单元长度，l=L/n；L为既有管线轴线长度；p_i 为隧道开挖引起管线第i个节点处的附加应力；\xi为土体自由场位移。

设定边界条件时，假定隧道两端自由，则有

\left\{\begin{array}{c}{\left.M_{S\mathrm{0}}=M_{Sn}=-EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\right|}_{i=\mathrm{0}/n}=\mathrm{0}\\ {\left.M_{\mathrm{0}}=M_n=-EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}w}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{2}}}\right|}_{i=\mathrm{0}/n}=\mathrm{0}\\ {\left.Q_{\mathrm{0}}=Q_n=-EI\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}w}{\mathrm{d}{x}^{\mathrm{3}}}\right|}_{i=\mathrm{0}/n}=\mathrm{0}\end{array}\right.（20）

式中：M_{\mathrm{0}}和M_n分别为管线两端弯矩；Q_{\mathrm{0}}和Q_n分别为管线两端剪力；M_{S\mathrm{0}}和M_{Sn}分别为管线两端剪切层的弯矩。

根据边界条件可求得

w_{\mathrm{2}}=-{\mathit{K}}^{-\mathrm{1}}{p}_i（21）

其中，

\begin{array}{l}\mathit{K}=\\ {\left(\begin{array}{ccccccccc}\begin{array}{l}{D}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{C}_{\mathrm{1}}+\\ \mathrm{4}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{8}{A}_{\mathrm{1}}\end{array}& -\mathrm{4}{B}_{\mathrm{1}}-\mathrm{10}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{2}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}-B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}-A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& A_{\mathrm{1}}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}-A_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& A_{\mathrm{1}}& \cdots & \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& A_{\mathrm{1}}& \cdots & \mathrm{0}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ \mathrm{0}& \cdots & A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& A_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}-A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & A_{\mathrm{1}}& B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}-A_{\mathrm{1}}& D_{\mathrm{1}}-B_{\mathrm{1}}& C_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \cdots & \mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& \mathrm{2}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{A}_{\mathrm{1}}& -\mathrm{4}{B}_{\mathrm{1}}-\mathrm{10}{A}_{\mathrm{1}}& \begin{array}{l}{D}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{C}_{\mathrm{1}}+\\ \mathrm{4}{B}_{\mathrm{1}}+\mathrm{8}{A}_{\mathrm{1}}\end{array}\end{array}\right)}_{\begin{array}{l}\left(n+\mathrm{1}\right)\times \\ \left(n+\mathrm{1}\right)\end{array}}\end{array}

式中：\mathit{K}为求解式（21）的矩阵表达。

通过以上求解可得到w_{\mathrm{2}}位移的解析解，将其带入式（14），即可得到既有管线的竖向位移w。

2.2　参数确定

根据简化弹性空间法^［14］，对于深度为z_{\mathrm{0}}、弹性模量为E_{\mathrm{s}}、泊松比为\nu的地基，Kerr地基参数可表示为

\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{1}}=\mathrm{3}{k}_{\mathrm{2}}\\ k=\frac{\mathrm{4}{E}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{3}{z}_{\mathrm{0}}}\\ G_s=\frac{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{s}}{z}_{\mathrm{0}}}{\mathrm{9}(\mathrm{1}+\nu )}\end{array}\right.（22）

实际应用中发现，式（22）缺乏考虑实际工程，计算结果与实际存在较大偏差。部分已有研究^［15-17］使用PLAXIS 3D数值模拟结合实际工况，采用控制变量法对该式进行优化，证实将实际工程下的Kerr地基模型参数中的c_{\mathrm{0}}调整为c_{\mathrm{0}}=\mathrm{7}k，可提高解析解的计算精度。

2.3　计算流程

综上所述，基于统一土体移动模型，输入新建隧道、既有管线及土层参数并考虑附加推力、刀盘摩擦力、盾壳摩擦力和附加注浆压力的影响，在此基础上，通过3参数Kerr地基模型即可计算得到既有管线的纵向变形。具体计算流程如图6所示。

3 算例验证

3.1　工程概况

依托工程为并行下穿既有管线的郑州地铁3号线某区间盾构隧道工程，其起点里程为DK13+793.286（左）、DK13+793.178（右），终点里程为DK14+504.217。该区段存在1条既有燃气管线，埋深6.1 m；直径为0.426 m，厚度为7.0 mm，材质为钢制Q235B；每节长度为12 m，接头处采用焊接方法连接。盾构施工主要穿越黏质粉土、细砂和粉质黏土地层，土性参数选取各层土的加权平均值，γ=20 kN · m^－3，c=20.9 kPa，φ=22.9°，压缩模量E_{\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}=8.21 MPa，v=0.3。隧道施工过程中，土压平衡盾构机并行下穿既有燃气管道。盾构隧道直径为6.34 m、长度为9 m，与既有管线间水平距离为9.6 m；隧道衬砌采用C55混凝土，外径为6.2 m、内径为5.5 m，环宽为1.5 m。隧道并行下穿既有管线有限元计算模型如图7所示，模型尺寸为70 m×100 m×40 m（长×宽×高）；根据区间实际施工参数，盾构掘进参数取值如图8所示；模型地层参数见文献［4］。

3.2　现场监测方案及变形控制标准

在盾构下穿既有管线时，在探孔中插入钢筋作为深孔监测点，监测点直接位于既有管线上方，监测点布置如图9所示。图中：ϕ为直径；DL1—DL10为管线监测点埋设位置。以高程已知的基准点为起点，采用电子水准仪和配套水准尺沿水准路线测得监测点的高程变化值，即为沉降监测值。

基于盾构施工对燃气管线变形的实时监测数据，依据盾构施工下燃气管线的位移控制标准进行分级响应措施^［18］，当燃气管的变形值达到7 mm时，应进行预警控制；当燃气管变形达到8 mm时，应停止施工并采取加固措施；燃气管变形值不允许超过10 mm。

3.3　计算参数取值

在盾构隧道施工过程中，盾构刀盘处附加推力P₁、刀盘摩擦力P₂、盾壳摩擦力P₃及盾尾附加注浆压力P₄均随盾构掘进变化。盾构前方附加推力P₁一般控制在±20 kPa之间^［19］；根据相关研究，确定刀盘摩擦力P₂为10 kPa^［20-21］；盾壳与周围土体之间的摩擦力按式（23）计算。

P_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}+K_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}{\mu }_s{\gamma }_{s}H（23）

式中：{\mu }_s为盾壳与周围土体间摩擦产生的摩擦力系数，黏土取0.2~0.3，砂土取0.3~0.4；K_{\mathrm{0}}为静止土压力系数；{\gamma }_s为土体容重；H为隧道埋深。

盾构开挖后盾尾管片与土体存在一定的间隙，盾尾后方的土层会应力释放，进而产生变形，需注入一定压力的浆液以减小地层沉降，则盾尾附加注浆压力可按式（24）取值。

P_{\mathrm{4}}=p_{\mathrm{g}}-\mathrm{0.3}{\sigma }_{\mathrm{0}}（24）

式中：p_{\mathrm{g}}为同步注浆压力；{\sigma }_{\mathrm{0}}为注浆位置土层初始水土压力。

最终确定盾构掘进参数见表1。

3.4　验证与分析

为系统评估盾构施工对既有管线的影响机制，将所建模型与Pasternak地基模型、有限元法和实测数据进行对比，讨论各影响因素对既有管线沉降的影响，分析管线的位移响应特征及弯曲应变的分布规律，并在此基础上验证所建模型的合理性。

各因素影响下的既有管线竖向位移计算结果如图10所示。由图10可知：盾壳与周围土体的摩擦力与附加推力引起管线的竖向位移分布规律类似，但盾壳与土体间摩擦力的影响远大于正面推力的，盾壳与土体之间的摩擦力为盾构前方土体隆起的主要影响因素；各影响因素中，地层损失是引起既有管线变形的主要因素，其所引起的管线最大沉降量为3.61 mm，满足燃气管线位移控制标准。从总位移曲线可以看出，其可以反映出盾构开挖面前方管线的隆起变形，相比于仅考虑地层损失的管线变形更符合实际情况。

图11展示了基于Kerr地基模型、Pasternak地基模型、有限元法盾构并行下穿既有管线竖向变形计算结果与实测数据的对比情况。由图11可知：对于盾构开挖面前方既有管线的竖向变形，所提Kerr地基模型与Pasternak地基模型的计算结果均略大于实测数据的，且两者计算结果基本相同，但有限元的计算结果略小于实测数据的，且并未反映出既有管线发生的隆起变形；对于盾构开挖面后方既有管线变形，基于3参数Kerr地基模型得到的既有管线纵向最大位移为3.84 mm，相比于Pasternak地基模型，在计算结果上更贴近于实测数据，与有限元法的计算结果也更为接近。

图12展示了基于Kerr地基模型、Pasternak地基模型和有限元法盾构并下穿既有管线纵向完全应变与实测数据拟合结果的对比情况。由图12可知：Kerr地基模型得到的管线纵向弯曲应变更大，且更接近于实测结果拟合计算出的管线应变，计算出既有管线的安全评估结果更具安全性，因此所建基于3参数的Kerr地基模型更具合理性与优越性。

4 参数分析

在依托工程的基础上，为进一步研究并行下穿工程中不同水平净距、竖向净距、水平夹角和竖向夹角对既有管线竖向变形的影响，基于所建的3参数Kerr地基模型，以依托工程的实际工况为基本参数开展参数研究。依托工程管线埋深6.1 m，隧道埋深22.0 m。

4.1　水平净距

为探究既有管线与盾构隧道水平净距对管线受力变形的影响，以D为隧道直径，依次取两结构间水平间距ΔL为0，0.5D，1.0D，1.5D和2.0D，计算并分析不同水平净距下的隧道受力变形曲线，如图13和图14所示。图中：竖向位移为正表示既有管线下沉，为负表示隆起；弯矩为正表示既有管线“下凹”，为负表示“反拱”。

由图13和图14可知：随管线与隧道的水平净距的减小，管线竖向沉降由2.93 mm增至6.71 mm，随着与开挖面距离的增加，当该距离超过25.0 m后，沉降发展速率逐渐降低，盾构开挖面前方管线的竖向沉降变化幅度很小；随着管线与隧道间水平净距的减小，既有管线的不均匀沉降逐渐增加，因此盾构隧道并行下穿既有管线时，应尽量拉长两结构轴线间的水平距离；当管线与隧道轴线水平距离小于1D时，管线弯矩在开挖面附近的变化较大，表明该区域土体应力重分布较为剧烈，管线受盾壳摩擦力及附加推力影响较大，因此盾构隧道下穿既有管线时，两者的水平间距应大于1.0D，且小水平净距下穿既有管线时应注意对盾构及土仓压力的控制。

4.2　竖向净距

为探究既有管线与盾构隧道竖向净距对管线受力变形的影响，依次取两结构间竖向间距ΔH为2.00D，2.25D，2.50D，2.75D和3.00D，计算并分析不同水平净距下的隧道受力变形曲线，如图15和图16所示。

由图15和图16可知：管线与隧道的竖向净距从3.00D减小到2.00D时，管线竖向沉降量在－10 m位置处（即同步注浆位置附近）发生较大变化，这主要因为随管线与隧道间竖向净距的缩小，既有管线受盾构附加注浆压力的影响较大，导致管线由注浆压力引起的地层隆起增大；当管线与隧道开挖位置竖向距离小于2.50D时，管线竖向不均匀沉降与弯矩急剧增大，因此当管线与隧道的竖向净距应控制在2.50D以上，且当盾构近距离下穿既有管线时，应略微降低注浆压力，以减小对既有管线的影响。

4.3　水平夹角

为探究既有管线与隧道水平夹角对管线受力变形的影响，依次取两结构间水平夹角\alpha为0°，15°，30°，45°和60°，计算并分析不同水平夹角下的隧道受力变形曲线，如图17和图18所示。

由图17和图18可知：随既有管线与隧道的夹角逐渐增大，既有管线的变形由“S”型分布逐渐向“抛物线”型变化，管线沉降最大值逐渐向盾构开挖面处移动；在既有管线与隧道夹角逐渐减小的过程中，管线的沉降量及弯矩最值均逐渐增大，盾构并行下穿对管线的影响要远大于隧道垂直下穿，其竖向变形增加了6倍，弯矩最值增加了4倍；在盾构隧道并行下穿既有管线时，应加强对管线的监测与加固，特别是应注重盾构机施工面后方20 m左右处管线的应力和位移变化。当\alpha =\mathrm{0}°和\mathrm{90}°时，既有管线和盾构隧道分别处于并行下穿和垂直下穿状态；并行下穿的影响范围远大于垂直下穿，当管线改迁的难度较大时，采用注浆方式对管线周围土体进行加固较为方便。

4.4　竖向倾角

为探究既有管线与盾构隧道之间的竖向夹角对管线内力及位移的影响，取管线与隧道水平间距为9.7 m，并依次取既有管线竖向夹角\beta为-1.6°，-0.8°，0°，0.8°和1.6°，计算并分析不同竖向夹角下的隧道受力变形曲线，如图19和图20所示。

由图19和图20可知，盾构掘进过程中，管线竖向夹角对其竖向沉降及弯矩的影响较小；两结构竖向夹角在-1.6°~1.6°范围内变化时，盾构开挖面后方20 m范围内的既有管线竖向沉降逐渐减小，-50~-20 m范围内的既有管线的竖向沉降逐渐增大，但变化范围均较小；相比于结构并行竖向净距的影响，管线竖向夹角的影响可忽略不计。在并行下穿有竖向倾角的管线计算中，可以以盾构开挖面处与既有管线的竖向净距为基本条件进行计算，并以此来评估管线的位移、内力变化。

5 结论

（1）将既有管线简化为Euler-Bernoulli梁，基于半无限空间Mindlin解和统一土体移动模型，在考虑附加推力、刀盘摩擦力、盾壳摩擦力、附加注浆压力和地层损失等施工影响因素的基础上，推导得到盾构并行下穿既有管线过程中管线的纵向变形的解析解；通过Kerr地基模型建立既有管线的纵向受力平衡微分方程并求解。在计算依托工程中并行既有管线的纵向受力变形时，相比与Pasternak地基模型，所提方法得到的解析解更为准确，计算结果更偏于安全。

（2）新建隧道并行下穿既有管线时，盾壳与土体之间的摩擦力所引起管线纵向变形远大于正面推力的影响，且地层损失是引起既有管线变形的主要因素；当新建隧道与管线轴线水平净距小于1D、竖向净距小于2.5D时，盾壳摩擦力和注浆压力对既有管线的位移有较大影响；考虑各种因素影响的总位移曲线能够反映出盾构前方管线的隆起变形，更加准确地评估隧道并行下穿既有管线的影响。

（3）相比于新建隧道交叉下穿既有管线，并行下穿既有管线对其位移及内力的影响较大，其竖向位移增大6倍，弯矩最值增大4倍；但并行下穿有竖向倾角的既有管线时，竖向倾角对管线的位移内力影响较小，可以以盾构机开挖面处与管线最小竖向净距为计算条件对管线的位移和内力变化进行评估计算。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52378423)

国家自然科学基金资助项目(52078496)

湖南省自然科学基金资助项目(2023JJ30672)