基于灵活编组和客流同质化的动车组多日交路优化方法

Optimization Method for the Multi-Day EMU Circulation Based on Flexible Train Composition and Passenger Flow Homogenization

摘要

针对动车组交路中车次编组固定、客座率不均衡导致的低效问题，提出高速铁路列车基本运行图交路计划优化方法。首先，基于多商品流建模思想，建立接续网络以描述动车组的单日运行过程；其次，通过引入动车组接续组合变量并设置多日交路成立的条件约束，提出多日交路描述方法，考虑动车组在站灵活编组的作业条件和重联解编的时效性约束，构建以接续时间最小化和客流同质化为目标的混合整数线性规划模型；最后，根据模型结构设计基于求解器的迭代求解法，通过启发式迭代消除策略提高求解效率。结果表明：该方法优化后的交路计划在保障接续效率的同时，能够兼顾日常运营效果的稳定性；与不考虑在站灵活编组和客流同质化目标的计划相比，优化后的计划可减少5组动车组的使用，且使交路总接续时间缩短5 400 min并显著降低交路中运行线客座率及其波动规律的差异性，为中国高速铁路列车基本运行图的交路计划编制提供有效的技术支撑。

Abstract

To address the inefficiency problems caused by fixed train compositions and unbalanced passenger load factors in Electric Multiple Units (EMUs) circulation, an optimization method for the circulation plan in basic train diagram of high-speed railway is proposed. Firstly, based on the idea of multi-commodity flow modelling, a connection network is constructed to describe the single-day operation process of EMUs. Secondly, by introducing combination variables of EMUs connection and formulating the constraints for the establishment of multi-day circulation, a description method of multi-day circulations is proposed. Considering the operating conditions of flexible train composition and the timing constraints for coupling and decoupling of EMUs at stations, an mixed-integer linear programming model aiming at minimizing connection time and homogenizing passenger flow is constructed. Finally, according to the model structure, a solver-based iterative solution method is designed, and the solution efficiency is improved through heuristic iterative elimination strategy. The results indicate that the optimized circulation plan by the method ensures both connection efficiency and stability of daily operation effect. Compared to the plan without considering the targets of flexible train compositions and passenger flow homogenization at stations, the optimized plan can reduce the use of EMUs by 5 and shorten total connection time by 5,400 min. Besides, it can significantly reduce the differences of passenger load factor and its fluctuation patterns on operation lines in circulation, thus providing effective technical support for the circulation plan compilation in basic train diagram of Chinese high-speed railway.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 交路计划 / 灵活编组 / 客流同质化 / 混合整数线性规划

Key words

High-speed railway / Circulation plan / Flexible train composition / Passenger flow homogenization / Mixed-integer linear programming

铁路旅客列车基本运行图（简称“基本图”）的编制是日常运力资源调配的基础，其中交路计划规定了动车组承担的车次运行任务及其周转接续关系。在我国，基本图交路计划的编制具有以下特点：大量的跨线列车使得交路计划需要在路网层面优化；交路计划需综合考虑各动车段（所）配属的动车组数量及类型；动车组交路周转周期类型复杂多样，为减少异地检修，动车组交路周期通常设置为1~3 d，检修期为2~3 d；此外，编制交路计划时还需考虑车次编组因素。为精准实施“1日一图”战略，基本图中规定的车底交路常需拆分和重组^［1］。然而，固定编组数的动车组交路难以适应客运市场和运力资源的日常变化，且客座率不均衡易导致交路计划频繁调整。因此，提出2种解决思路：在需求侧，通过客流同质化重构优化交路^［2］（例如将客座率优秀且稳定的车次集中接续）；在供给侧，采用动车组在站灵活编组模式^［3-4］，提升不同编组车次任务周转衔接的效率，以增强交路计划的可行性与灵活性。

根据研究场景和建模思路的不同，既有研究对交路计划优化问题可分为以下3类：单日运行图决策单日交路的经典交路计划优化；单日运行图决策多日交路的基本交路计划优化；多日运行图决策多日交路的日常交路计划优化。国内外学者基于这3类问题展开了广泛的研究。赵鹏等^［5］建立了动车组周转的指派问题模型，运用匈牙利算法进行求解。Peeters等^［6］基于已知的时刻表和乘客需求，运用分支定价法求解车底运用计划。此外，基于弧段^［7-8］和基于路径^［9-11］的时空网络方法也广泛应用于建模。单日交路决策完毕后，需要继续勾画多日交路^［12］，或结合使用动车组运用计划模型^［13］。在基本交路计划优化中，研究重点在于描述动车组日内和日间接续，并考虑检修约束，如累计动车组运行里程和时长^［14-15］。李华等^［16］建立了多目标整数规划模型，设计了改进的蚁群算法进行求解。Zhong等^［17］将动车组运用问题分为决策单日交路和多日交路两阶段，设计了启发式算法进行求解。林柏梁等^［18］分别以交路数最少、列车接续时间最短和车底数最少作为优化方向，通过求解器进行求解。杨素鹏^［19］等通过扩展多日图的方式生成1日或多日交路下的动车组周转方案。交路计划优化注重日常运输的适应性，往往需要结合客流水平并联合决策运行线启用状态及其相应的编组方案。Gao等^［20］针对一周的运行线，构建考虑在站重联解编的时空网络，设计结合潜水启发式的分支定价算法进行求解。

现有研究存在以下问题：首先，多数研究未能有效进行多日交路建模，经典交路计划分阶段求解易缩小解空间，而基本交路计划建模难以决策出周期为1 d的交路，可能决策出周期超过3 d且异地检修作业多的交路。日常交路计划建模与基本图交路优化背景不同，存在输入规模大、求解效率低的问题。此外，虽有研究考虑重联解编作业，但较少涉及动车组在站重联解编的时效性约束。考虑该约束时，既有研究往往通过重构网络表示接续类型，这种方式虽有利于模型简洁性，但会显著扩大求解空间。最后，既有研究多局限于接续时间和地点约束，忽略运行线实际运营效果差异，导致交路内运能匹配不均衡，日常补救措施复杂烦琐，影响生产灵活性与运营收益。

本研究针对基本图中交路计划的优化问题，构建多日交路计划优化模型。通过建立接续网络描述动车组的单日运行过程，并综合考虑在站灵活编组和客流同质化等实际约束条件。与现有研究相比，该模型可克服分步决策导致的解空间缩小问题，且能够避免出现检修期或交路周期不合理等可行性问题。根据模型结构设计基于求解器的迭代求解法，可为铁路运输企业提供可行性强、稳定性好且经济效益更优的动车组多日交路计划。

1 问题描述

以高速铁路网为研究对象，车站集合S=\left\{s,s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}}\right\}和图定列车运行线集合R=\left\{r,r_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}\right\}为输入，构建动车组运行和接续网络如图1所示。图中，动车组连续承担北京南至上海虹桥、上海虹桥至宁波2条运行线的运输任务。

该网络由节点集合V和弧段集合A构成，集合V由出发节点集V^{-}、到达节点集V^{+}和源节点集V^{\mathrm{0}}这3个互不相交的子集构成，即V=V^{-}∪V^{+}∪V^{\mathrm{0}}。其中，V^{-}=\left\{v_r^{-},\forall r\in \mathrm{R}\right\}，v_r^{-}为运行线r的始发站节点；V^{+}=\left\{v_r^{+},\forall r\in \mathrm{R}\right\}，v_r^{+}为运行线r的终到站节点（v_r^{+}\in V^{+},r\in R）；V^{\mathrm{0}}=\left\{v_s^{\mathrm{0}},\forall s\in \mathrm{S}\right\}，v_s^{\mathrm{0}}为动车组自s站进入/离开网络的源节点。集合A由行程弧集合A^{\mathrm{r}}、接续弧集合A^{\mathrm{c}}、起始弧集合A^{\mathrm{b}}和终止弧集合A^{\mathrm{e}}构成，即A=A^{\mathrm{r}}∪A^{\mathrm{c}}∪A^{\mathrm{b}}∪A^{\mathrm{e}}。各类弧的定义如下。

（1）行程弧(v_r^{-},v_r^{+})由出发节点和到达节点构成，表示运行线r从其始发站至终到站的行程。根据模型设定，所有图定车次必须被担当，故设置行程弧的费用为0。

（2）接续弧(v_{r_{\mathrm{1}}}^{+},v_{r_{\mathrm{2}}}^{-})由到达节点和出发节点构成，表示运行线r_{\mathrm{1}}和r_{\mathrm{2}}接续的过程，两节点的时刻之差需不小于最短接续时间T。接续弧的费用包括接续时间和所连接2车次预期的非同质费用，以衡量同一交路内两运行线预期运营效果的差异性。

（3）起始弧(v_s^{\mathrm{0}},v_r^{-})由源节点和出发节点构成，表示从车站s始发的动车组进入运行线r的过程，源节点与出发节点所在车站需相同。起始弧的费用为运行线r始发时刻同最早运营时刻6：00的差值，表示多日接续时间，该费用设计的目的是最大化运行线任务担当数量。

（4）终止弧(v_r^{+},v_s^{\mathrm{0}})由到达节点和源节点构成，表示动车组自运行线r终到车站s的过程。既有研究大多将空送行程视作运行线^［7］，但预先生成空送行程备选集是困难的，因此，设计终止弧表示空送行程，当源节点与出发节点为不同车站时，动车组产生空送，但前提为其空送里程不大于最大空送里程D。终止弧的费用包括最晚运营时刻24：00同运行线r终到时刻的差值，以及空送的额外费用。

由于客座率差异导致的接续弧非同质费用g_{(u,v)}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}为

（1）

式中：f_v^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}和f_u^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}分别为节点v和u所在运行线的客座率；{\lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和{\lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为客座率参数的最大值和最小值。

对于客座率波动规律差异导致的接续弧非同质费用g_{(u,v)}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}为

g_{(u,v)}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}{f}_u^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}=f_v^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}\\ \mathrm{1}{f}_u^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}\ne f_v^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}\end{array}\right.\forall (u,v)\in A（2）

式中：f_u^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}和f_v^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}分别为节点u和v所在运行线在一定时期的客座率波动规律等级。

计算客座率的方差衡量其客座率波动规律，若该值小于客座率波动参数{\mu }^{\mathrm{*}}，则运行线视为稳定类型，否则视为波动类型。综上可得动车组运行和接续网络中弧段(u,v)的费用c_{(u,v)}为

c_{(u,v)}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0}(u,v)\in A^{\mathrm{r}}\\ c_{\mathrm{1}}{g}_{(u,v)}^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}+c_{\mathrm{2}}{g}_{(u,v)}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}+c_{\mathrm{3}}{g}_{(u,v)}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}\\ (u,v)\in A^{\mathrm{c}}\\ c_{\mathrm{1}}(f_v^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}-\mathrm{360})(u,v)\in A^{\mathrm{b}}\\ c_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}\mathrm{440}-f_u^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}})+c_{\mathrm{4}}{g}_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}\\ (u,v)\in A^e\end{array}\right.\forall (u,v)\in A（3）

式中：g_{(u,v)}^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}为弧段(u,v)的接续时间；f_v^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}和f_u^{\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}为节点v和u的出发/到达时刻；g_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}为弧段(u,v)的运行里程；c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}}和c_{\mathrm{4}}分别为接续时间、非同质费用g_{(u,v)}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}、非同质费用g_{(u,v)}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}和单组动车空送的单位成本。

为确保动车组在站灵活编组的时效性，通过引入接续弧状态变量并构建相应的约束条件，确定了4种动车组接续类型：直接接续、重联接续、解编接续和重联解编接续，详情如图2所示。图中A和B分别表示北京南站和上海虹桥站。对于直接接续，两运行线编组类型相同，不发生重联和解编操作；对于重联接续，接续左侧运行线编组数小于右侧，发生重联操作；对于解编接续，接续右侧运行线编组数小于左侧，发生解编操作；对于重联解编接续，两运行线编组类型相同，同时发生重联和解编操作。在此基础上，综合考虑动车组在站灵活编组和客流同质化特征，通过构建动车组运行与接续网络，建立混合整数线性规划模型，实现基本图多日交路计划的优化编制。

2 模型建立

2.1　目标函数

在仅考虑单组和重联2种编组类型且不考虑异地检修的合理假设下，定义K为动车组集合，索引为k,k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}和k_{\mathrm{3}}，动车组均为8辆短编组。模型决策完毕后，若2条交路完全相同且未发生站内解编或重联作业，可根据实际运营需求将其视为由16辆长编组动车组承担的交路。为准确描述动车组运行与接续过程，定义在弧段集合A上的0-1变量x_{(u,v),k}(u,v)，k\in K，若动车组k经过弧(u,v)，该变量取值为1，否则取值为0；为确定动车组接续类型，定义在接续弧集合A^c上的0-1变量z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}(u,v)，若存在动车组经过弧段(u,v)，该变量取值为1，否则取值0；定义在集合A^c上的0-1变量z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}(u,v)，若存在动车组从弧段(u,v)以外的弧进入节点v所在的行程弧，该变量取值为1，否则取值为0；定义在集合A^c上的0-1变量z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}(u,v)，若存在动车组从节点u所在的行程弧出发，进入弧段(u,v)以外的弧，该变量取值为1，否则取值为0。不同接续类型的表达如下。

（1）当z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}=\mathrm{1},z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}=z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{0}时，表示接续弧上发生了直接接续。

（2）当z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}=z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}=\mathrm{1},z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{0}时，表示接续弧上发生了重联接续。

（3）当z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}=z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{1},z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}=\mathrm{0}时，表示接续弧上发生了解编接续。

（4）当z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}=z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}=z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{1}时，表示接续弧上发生了重联解编接续。

定义Y为动车组接续组合（后文简称“组合”）集合，每个组合y\in Y可表示为有序三元组(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})，表示由动车组k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}和k_{\mathrm{3}}担当的单日交路按序构成的多日交路方案。其中，k_{\mathrm{1}}，k_{\mathrm{2}}\in K,k_{\mathrm{3}}\in K\cup \{k_{\mathrm{0}}\}，k_{\mathrm{0}}为虚拟动车组索引，且仅允许出现在组合的末位位置，(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{0}})表示由动车组k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}担当的单日交路按序构成检修期为2 d的多日交路方案。组合(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})表达的交路类型如下。

（1）当k_{\mathrm{1}}\ne k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{2}}\ne k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{3}}\ne k_{\mathrm{1}}且k_{\mathrm{3}}\ne k_{\mathrm{0}}时，表示检修期和周期为3 d的交路。

（2）当k_{\mathrm{1}}=k_{\mathrm{2}}=k_{\mathrm{3}}时，表示检修期为3 d、周期为1 d的交路。

（3）当k_{\mathrm{1}}\ne k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{0}}时，表示检修期和周期为2 d的交路。

（4）当k_{\mathrm{1}}=k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}=k_{\mathrm{0}}时，表示检修期为2 d、周期为1 d的交路。

因此，按照如下两个原则构建组合集合Y：（1）除以上情况外的多日接续不构成可行组合，例如(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}})\notin Y，该组合本质上需要3个动车组构成，表示的含义和(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})等价，其中k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}的单日运行径路相同；（2）由于组合(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})，(k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}})和(k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}})表达的多日接续相同，仅保留动车组索引角标单调递增的组合，即(k_{\mathrm{1}}，k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y,(k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}})\notin Y,(k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}})\notin Y。

定义在集合Y上的0-1变量y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}}(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})，用来决策动车组的多日接续，若组合(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})被选择作为多日交路方案时该变量取值为1，否则取值为0。

交路计划编制的目标为最小化总接续时间和接续的非同质费用，体现为最小化动车组在网络中运行和接续的总费用。引入接续弧的非同质费用，可表示单日交路内接续车次预期运营效果差异。综上，目标函数Z为

\begin{array}{l}Z=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left[\sum _{u,v:(u,v)\in A}\sum _{k:k\in K}{c}_{(u,v)}{x}_{(u,v),k}+\right.\\ \left.\sum _{k_{\mathrm{1}}:k_{\mathrm{1}}\in K}\sum _{k_{\mathrm{2}}:k_{\mathrm{2}}\in K}(c_{\mathrm{2}}{\lambda }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}+c_{\mathrm{3}}{\mu }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}})\right]\end{array}（4）

式中：c_{(u,v)}为弧(u,v)的费用；{\lambda }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}为动车组k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}担当单日交路接续时，2 d间的接续车次客座率差值；{\mu }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}为k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}担当单日交路接续时，2 d间的接续车次波动规律差异。

2.2　约束条件

模型的约束条件主要包括2个方面：动车组单日运行接续约束和动车组多日交路相关约束。

1）动车组单日运行接续约束

图定车次需由适当编组数的动车组承担，其编组约束为

\sum _{k:k\in K}{x}_{(u,v),k}=g_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}\forall (u,v)\in A^{\mathrm{r}}（5）

式中：g_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}}为弧段(u,v)对应图定车次的编组类型，其值取为1和2时分别表示单组和重联。

由于所构建的网络为有向图结构，可通过起始弧的唯一性约束和中间节点的流平衡约束描述源节点的流量平衡特性。动车组k最多仅能经过1个起始弧，即最多承担1个交路任务，起始弧的唯一性约束为

\sum _{u,v:(u,v)\in A^{\mathrm{b}}}{x}_{(u,v),k}\le \mathrm{1}\forall k\in K（6）

若动车组k经过以节点v为终点的弧段，则必然经过以该节点为起点的弧段，反之亦然。此约束条件本质上属于网络流问题的流量平衡约束，可表示为

\begin{array}{l}\sum _{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}:(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}})\in A,v_{\mathrm{1}}=v}{x}_{(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}),k}=\sum _{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}:(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}})\in A,u_{\mathrm{2}}=v}{x}_{(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}),k}\\ \forall k\in K,\forall v\in V^{-}\bigcup V^{+}\end{array}（7）

若经过弧段(u,v)的动车组数大于0，则接续弧状态变量z_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}取值为1，该约束为

\sum _{k:k\in K}{x}_{(u,v),k}\le \mathrm{2}{z}_{(u,v)}^{\mathrm{j}\mathrm{x}}\forall (u,v)\in A^{\mathrm{c}}（8）

若经过弧段(u,v)的动车组数小于经过弧段(v,w)的动车组数，则接续弧状态变量z_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}须取值为1，该约束为

\begin{array}{l}\sum _{k:k\in K}{x}_{(u,v),k}-\sum _{k:k\in K}{x}_{(v,w),k}\ge -\mathrm{2}{z}_{(u,v)}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}\forall (u,v)\in \\ A^{\mathrm{c}},w=f_v^{+}\end{array}（9）

式中：f_v^{+}为以节点v为起点的行程弧的终点索引。

若经过弧段(u,v)的动车组数小于经过弧段(w,u)的动车组数，则接续弧状态变量z_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}取值为1，该约束为

\begin{array}{l}\sum _{k:k\in K}{x}_{(u,v),k}-\sum _{k:k\in K}{x}_{(w,u),k}\ge -\mathrm{2}{z}_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\forall (u,v)\in \\ A^{\mathrm{c}},w=f_u^{-}\end{array}（10）

式中：f_u^{-}为以节点u为终点的行程弧的起点索引。

若弧段(u,v)的接续时间小于最小接续时间与重联和解编作业时间之和，则该弧段不能同时进行重联解编接续，其表达式为

（11）

式中：T^{\mathrm{c}\mathrm{o}}和T^{\mathrm{d}\mathrm{e}}分别为在站重联和在站解编需要的作业时间。

若弧段(u,v)的接续时间小于最小接续时间与解编作业时间之和，则该弧段不能进行解编接续，该约束为

（12）

若弧段(u,v)的接续时间小于最小接续时间与重联作业时间之和，则该弧段只能进行直接接续（重联作业时间小于解编作业时间），该约束为

（13）

2）动车组多日交路相关约束

若动车组k_{\mathrm{1}}被使用（即经过了起始弧），则必然存在唯一的动车组组合（k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}），使得k_{\mathrm{1}}，k_{\mathrm{2}}和k_{\mathrm{3}}的单日交路共同组成了多日交路，多日接续的唯一性约束为

\begin{array}{l}\sum _{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}:(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y}{y}_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}}+\sum _{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}:(k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{3}})\in Y}{y}_{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{3}}}+\\ \sum _{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}:(k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}})\in Y}{y}_{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}}}=\sum _{u,v:(u,v)\in A^{\mathrm{b}}}{x}_{(u,v),k_{\mathrm{1}}}\forall k_{\mathrm{1}}\in K\end{array}（14）

动车组k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}担当同一多日交路时，动车组k_{\mathrm{1}}担当的单日交路的终到车站和动车组k_{\mathrm{2}}担当的单日交路的始发车站相同，该约束同样适用于其他组合（k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}）和（k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}}），其表达式为

\begin{array}{l}\left|\sum _{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}:(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}})\in A^{\mathrm{e}}}{f}_{v_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{x}_{(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}),k_{\mathrm{1}}}-\sum _{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}:(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}})\in A^{\mathrm{b}}}{f}_{u_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}{x}_{(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}),k_{\mathrm{2}}}\right|\le \\ M(\mathrm{1}-y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}})\forall (k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y\end{array}（15）

式中：f_{v_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}和f_{u_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}}分别为节点v_{\mathrm{1}}和u_{\mathrm{2}}所在车站的索引；M为指定的极大正数。

动车组k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}和k_{\mathrm{3}}担当的多日交路的总里程（包括担当运行线的里程和空送的里程）需不超过一级修的最大里程，表示为

\sum _{u,v:(u,v)\in A^{\mathrm{r}}\bigcup A^{\mathrm{e}}}\sum _{k:k\in \{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}\}}{g}_{(u,v)}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}}{x}_{(u,v),k}\le L+M(\mathrm{1}-y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}})\forall (k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y（16）

式中：L为一级修的最大检修里程。

动车组k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}和k_{\mathrm{3}}中至少有1个动车组的始发车站与动车段（所）相连，该约束为

\begin{array}{l}\sum _{u,v:(u,v)\in A^{\mathrm{b}},f_u^{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}=\mathrm{1}}\sum _{k:k\in \{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}\}}{x}_{(u,v),k}\ge \mathrm{1}-M(\mathrm{1}-y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}})\\ \forall (k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y\end{array}（17）

式中：f_u^{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}为0-1参数，若节点u所在车站与动车段（所）相连，该变量取1，否则取0。

动车组k_{\mathrm{1}}担当的最后一个运行线和动车组k_{\mathrm{2}}担当的第一个运行线客的{\lambda }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}和{\mu }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}取值范围约束分别为

\begin{array}{l}\left|\sum _{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}:(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}})\in A^{\mathrm{e}}}{f}_{u_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}{x}_{(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}),k_{\mathrm{1}}}-\sum _{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}:(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}})\in A^{\mathrm{b}}}{f}_{v_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}{x}_{(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}),k_{\mathrm{2}}}\right|\le \\ {\lambda }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}+M(\mathrm{1}-y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}})\forall (k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y\end{array}（18）

\begin{array}{l}\left|\sum _{u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}:(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}})\in A^{\mathrm{e}}}{f}_{u_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}{x}_{(u_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{1}}),k_{\mathrm{1}}}-\sum _{u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}:(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}})\in A^{\mathrm{b}}}{f}_{v_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}{x}_{(u_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{2}}),k_{\mathrm{2}}}\right|\le \\ {\mu }_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}}}+M(\mathrm{1}-y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}})\forall (k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}})\in Y\end{array}（19）

动车组组合（k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}）和（k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{1}}）在客座率和客流波动规律差异方面的计算与上述计算类似。遍历所有组合，结合目标函数达到优化2日间接续车次非同质费用的目的。

3 求解方法

所提优化模型中，动车组单日运行接续约束的复杂度主要取决于网络拓扑结构中弧段的数量，其本质和路网内运行线总数密切相关；而动车组多日交路相关约束的复杂度则与集合Y中元素的数量相关，Y集合中的元素数量随动车组数量呈三次方增长，这一特性导致变量y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}}具有严重的对称性，增加了问题的求解难度。选取动车组数量为6的案例进行分析，假设最优解包含2个3日交路，则解y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}}=\mathrm{1},y_{k_{\mathrm{4}},k_{\mathrm{5}},k_{\mathrm{6}}}=\mathrm{1}和解y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{3}},k_{\mathrm{5}}}=\mathrm{1}，y_{k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{4}},k_{\mathrm{6}}}=\mathrm{1}本质上完全等价。通过预先确定各类多日交路的数量，可有效简化集合Y的构成，进而消除变量y_{k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}}的对称性问题，提高模型的求解效率。定义a,b和c为1日、2日和3日交路的数量，\left|K\right|为可用动车组数量，则由枚举式a+\mathrm{2}b+\mathrm{3}c=\left|K\right|的整数解可得给定动车组数量下的所有问题。例如，给定问题P:a=\mathrm{0},b=\mathrm{0},c=\mathrm{2},\left|K\right|=\mathrm{6}，输入Y=\{(k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},k_{\mathrm{3}}),(k_{\mathrm{4}},k_{\mathrm{5}},k_{\mathrm{6}})\}可显著减小多日交路相关约束的数量。

因此，提出1种基于求解器的迭代求解算法，首先通过枚举不同类型交路的数量a,b和c，得到最简集合Y并将其作为参数输入到原问题，生成1个近似动车组单日交路规模的问题P_{\mathrm{1}}，采用求解器精确求解。随后在每次迭代过程中动态更新参数a,b和c，依次生成并求解问题序列P_{\mathrm{2}},P_{\mathrm{3}},\dots，P_n，直至遍历式a+\mathrm{2}b+\mathrm{3}c=\left|K\right|的所有正整数解。随着\left|K\right|的增加，该式正整数解的数量呈渐进二次增长趋势，即该算法需要求解的问题数量和\left|K\right|的二次方成正比。为提高枚举效率，基于大量试验数据，设计了2种启发式迭代消除策略，具体实现过程如下。

1）不可行消除策略1

若问题P（参数为a=a_{\mathrm{1}},b=b_{\mathrm{1}},c=c_{\mathrm{1}},\left|K\right|）无可行解，则符合条件的问题通常也不可行。基于这一特性，在迭代中引入不可行消除策略，通过排除这类问题以提高求解效率。例如，若问题Q_{\mathrm{1}}（参数为a=\mathrm{1},b=\mathrm{1},c=\mathrm{1}，\left|K\right|=\mathrm{6}）无可行解，则不再枚举问题Q_{\mathrm{2}}（参数为a=\mathrm{3},b=\mathrm{0},c=\mathrm{1}，\left|K\right|=\mathrm{6}）。这一策略通过启发式地减少不可行问题的迭代而提高枚举效率。

2）可行性消除策略2

若问题P_{\mathrm{1}}（参数为a=a_{\mathrm{1}},b=b_{\mathrm{1}},c=c_{\mathrm{1}},\left|K\right|）最优目标值为Z_{\mathrm{1}}，问题P_{\mathrm{2}}（参数为a=a_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}，b=b_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}，c=c_{\mathrm{1}},\left|K\right|）最优目标值为Z_{\mathrm{2}}，且Z_{\mathrm{1}}\le Z_{\mathrm{2}}，则符合条件的问题的最优目标值通常不小于Z_{\mathrm{2}}，因而不再迭代这些问题。例如，若问题Q_{\mathrm{1}}（参数为a=\mathrm{2}，b=\mathrm{2},c=\mathrm{0},\left|K\right|=\mathrm{6}）的最优目标值小于等于问题Q_{\mathrm{2}}（参数为a=\mathrm{4},b=\mathrm{1}，c=\mathrm{0},\left|K\right|=\mathrm{6}）的最优目标值，则不再枚举问题Q_{\mathrm{3}}（参数为a=\mathrm{6}，b=\mathrm{0},c=\mathrm{0},\left|K\right|=\mathrm{6}）。这一策略通过启发式地减少弱最优性问题的迭代而提高枚举的效率。

结合以上2种消除策略的迭代求解法的具体求解流程如下。

步骤1：输入可用动车组数量\left|K\right|，生成初始问题P_{\mathrm{0}}:a+\mathrm{2}b+\mathrm{3}c=\left|K\right|，计算初始3 d交路数量c=⌊\left|K\right|/\mathrm{3}⌋（⌊m⌋表示对m向下取整）。

步骤2：若c=-\mathrm{1}，算法结束，输出当前最优解；否则，计算2 d交路数量b=⌊\left(\left|K\right|-\mathrm{3}c\right)/\mathrm{2}⌋，令当前目标值Z^{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}和前一节解的目标值Z^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}初始取值为M（取极大的正整数）。

步骤3：若b=-\mathrm{1}，令c=c-\mathrm{1}，返回步骤2；否则，进入步骤4。

步骤4：计算1 d交路数量a=\left|K\right|-\mathrm{3}c-\mathrm{2}b，生成当前问题P:a,b,c,\left|K\right|，调用求解器求解。若无解，根据策略1消除迭代，令c=c-\mathrm{1}，返回步骤2；否则，计算当前目标值Z^{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}，进入步骤5。

步骤5：若，根据策略2消除迭代，令c=c-\mathrm{1}，返回步骤2；否则，令b=b-\mathrm{1}，Z^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}=Z^{\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}}，返回步骤3。

4 案例分析

4.1　求解分析

为验证模型的有效性，基于2023年某季度上海局集团公司运营数据，选取起讫点为上海虹桥站、北京南站、南京南站及合肥南站的40条典型运行线进行案例分析。基于参考文献［1，11］，设置如下参数：动车组接续时间c_{\mathrm{1}}和c_{\mathrm{4}}空送的单位成本分别为1元/min和15元/km；动车组非同质费用单位成本c_{\mathrm{2}}和c_{\mathrm{3}}通过统一数量级进行估计，分别为60和300元；客座率参数{\lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和{\lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为90%和70%；客座率波动参数为10；最短接续时间T、最短重联作业时间T^{\mathrm{c}\mathrm{o}}和最短解编作业时间T^{\mathrm{d}\mathrm{e}}分别为15，5和10 min；一级修最大里程L和最大空送里程D为8 000 和1 500 km；极大的正数M为100 000；可用动车组数量\left|K\right|为31。

为验证模型求解效率，设计了对比试验进行分析。基于输入运行线数据构建动车组单日运行及接续网络，设定求解器终止条件为最优间隙（gap）低于0.001%。首先，不使用启发式迭代消除策略，采用基于求解器的迭代方法求解，经过96次迭代后得到最优目标函数值为447 148，计算时间为2 849 s。随后，引入启发式迭代消除策略，求解效率显著提升，其迭代求解过程见表1。由表1可知：仅需23次迭代即可收敛至相同最优解，其计算时间缩短至678 s；当参数c取值于\left\{\mathrm{7,6},\mathrm{5}\right.，\left.\mathrm{4,3}\right\}时，模型呈现多重最优解特征，且随着c值减小和b值增大，模型最优性呈现先增强后减弱的非线性变化规律。试验表明，应用可行性消除策略2可有效减少迭代次数，这一改进为大规模动车组调度问题提供了可行的求解方案。

当可用动车组数量减少至30组（即|K|=30）时，采用启发式迭代消除策略进行求解。经过11次迭代后未能得到可行解，且每次迭代均使用不可行消除策略1。为验证结果的可靠性，在不使用消除策略的情况下进行独立验证，经过96次迭代后确认原问题无解。因而保证该案例中问题有解的最小可用动车组数量为31组。在迭代过程中，选取第6次迭代所得b值最小问题作为最优性问题，即P_{\mathrm{6}}:a=\mathrm{0},b=\mathrm{5},c=\mathrm{7},\left|K\right|=\mathrm{31}。对于周期为1 d或3 d的交路，其检修间隔可延长至3 d，而周期为2 d的交路仅支持2 d检修间隔，因此问题P_{\mathrm{6}}的解具有更低的检修成本。

4.2　对比分析

求解最优性问题所得最优交路计划见表2。该计划共使用31组单组动车组，包含7条3 d交路和5条2 d交路，总接续时长为13 016 min，且未产生任何动车组空送行程。其对应的具体实施情况如图3所示，图中：不同颜色的运行线和接续线条表示不同的交路；正方形和圆形分别表示该位置发生了解编或重联作业。各车站仅按地理纬度排列示意，并不反映实际线路中的精确位置关系。

由图3可知：交路1和2、交路3和4以及交路5和6采用了固定重联运行方式（图中以虚线表示），全程未进行任何站内重联或解编作业；交路7和8之间实施了4次站内重联和解编作业；交路9至12之间则进行了3次站内重联和解编作业。

为验证在站灵活编组和客流同质化目标的优化效果，设计了对比试验，结果见表3。其中，“√”表示试验考虑了此种情况。由表3可知：试验1和试验2出现较多的多重最优解，即在不同a,b和c取值的组合下，若单纯考虑接续时间标准和地点的约束或目标，最优交路计划很可能具有相同的目标值；试验3中多重最优解的数量明显减少，说明以接续效率为导向的交路计划存在继续优化的空间；试验1的交路计划需要额外5组动车组，总接续时间增加5 400 min，且产生大量的动车组空送里程以保证交路计划的可行性，这表明在站灵活编组作业能够扩大交路计划的决策空间，优化动车组的使用效率；试验2和试验3的交路计划具有相同的动车组数和总接续时间，而试验3交路计划客座率相关的非同质接续费用1从51 439.2元降低至11 125.2元，客座率波动规律相关的非同质费用2从13 200元降低至12 600元，说明试验3在保持接续效率的同时，实现了运行线按客座率及波动规律更加集中的分布。

5 结论

（1）基于多日交路周期性差异，动车组交路编制问题存在显著的多重最优解现象。在基本图层面优化接续效率目标的同时，协同考虑日图层面的运行稳定性及其他优化目标，可显著提升交路计划的整体质量。

（2）采用在站灵活编组作业优化策略后，可减少动车组的使用数量和总接续时间，同时有效降低动车组空送里程，保证交路计划的可行性并扩大交路计划的决策空间，提高动车组的使用效率。

（3）通过最小化接续车次预期运营效果差异的优化目标，动车组交路计划呈现出更优的运行线分布特征，按照客座率及其波动规律实现运行线的集中分布，有望提升日常运营的灵活性和系统适应性。

参考文献

[1] 占杰，杨励民，鲍薪宇，等.客运需求局部缩减条件下列车开行方案调整研究［J］.铁道运输与经济，2024，46（7）：50-60.

[2] ZHAN Jie， YANG Limin， BAO Xinyu， et al. Adjustment of Train Operation Plan under Partial Reduction of Passenger Transportation Demand ［J］. Railway Transport and Economy， 2024， 46 （7）： 50-60. in Chinese

[3] 周丽萍，赵红森，李艳英，等.考虑客座率偏好的动车组周转计划编制研究［J］.铁道运输与经济，2023，45（8）：8-16.

[4] ZHOU Liping， ZHAO Hongsen， LI Yanying， et al. Circulation Plan for EMUs Considering Load Factors ［J］. Railway Transport and Economy， 2023， 45 （8）： 8-16. in Chinese

[5] 熊亚.基于站内重联解编的动车组交路计划优化方法研究［D］.北京：北京交通大学，2022.

[6] XIONG Ya. Research on Optimization Method of EMU Circulation Plan Based on EMU Combination and Split at the Station ［D］. Beijing： Beijing Jiaotong University， 2022. in Chinese

[7] CACCHIANI V， CAPRARA A， TOTH P. An Effective Peak Period Heuristic for Railway Rolling Stock Planning ［J］. Transportation Science， 2019， 53 （3）： 746-762.

[8] 赵鹏，胡安洲，杨浩.高速铁路动车组不固定区段使用条件下周转优化问题的研究［J］.北方交通大学学报，1997，21（6）：621-624.

[9] ZHAO Peng， HU Anzhou， YANG Hao. Research on the Circulating Optimization in the Condition of Using High-Speed Passenger Trains in Uncertain Railroad Region ［J］. Journal of Northern Jiaotong University， 1997， 21 （6）： 621-624. in Chinese

[10] PEETERS M， KROON L. Circulation of Railway Rolling Stock： a Branch-and-Price Approach ［J］. Computers & Operations Research， 2008， 35 （2）： 538-556.

[11] FRISCH S， HUNGERLÄNDER P， JELLEN A， et al. Solving a Real-World Locomotive Scheduling Problem with Maintenance Constraints ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2021， 150 （C）： 386-409.

[12] HOOGERVORST R， DOLLEVOET T， MARÓTI G， et al. Reducing Passenger Delays by Rolling Stock Rescheduling ［J］. Transportation Science， 2020， 54 （3）： 762-784.

[13] LUSBY R M， HAAHR J T， LARSEN J， et al. A Branch-and-Price Algorithm for Railway Rolling Stock Rescheduling ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2017， 99： 228-250.

[14] LIN Z Y， KWAN R S K. A Branch-and-Price Approach for Solving the Train Unit Scheduling Problem ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2016， 94： 97-120.

[15] WANG D， D’ARIANO A， ZHAO J， et al. Joint Rolling Stock Rotation Planning and Depot Deadhead Scheduling in Complicated Urban Rail Transit Lines ［J］. European Journal of Operational Research， 2024， 314 （2）： 665-684.

[16] 罗强.面向“1日一图”的列车运行图与动车组交路协同优化研究［D］.北京：北京交通大学，2021.

[17] LUO Qiang. Collaborative Optimization of Train Timetable and EMU Circulation Based on Day-New-Diagram ［D］. Beijing： Beijing Jiaotong University， 2021. in Chinese

[18] 王忠凯，史天运，张惟皎，等.动车组运用计划和检修计划一体化编制模型及算法［J］.中国铁道科学，2012，33（3）：102-108.

[19] WANG Zhongkai， SHI Tianyun， ZHANG Weijiao， et al. Model and Algorithm for the Integrative Scheduling of EMU Utilization Plan and Maintenance Plan ［J］. China Railway Science， 2012， 33 （3）： 102-108. in Chinese

[20] 赵鹏.高速铁路动车组运用与日常检修作业效率优化研究［D］.北京：北京交通大学，2022.

[21] ZHAO Peng. Research on the Optimization of EMU Rolling Stock Scheduling and Daily Maintenance Efficiency for High-Speed Railway ［D］. Beijing： Beijing Jiaotong University， 2022. in Chinese

[22] 陈然，周磊山，乐逸祥，等.基于专家系统的网络化动车组运用计划的编制［J］.中国铁道科学，2016，37（1）：108-116.

[23] CHEN Ran， ZHOU Leishan， YUE Yixiang， et al. Network EMU Scheduling Based on Expert System ［J］. China Railway Science， 2016， 37 （1）： 108-116. in Chinese

[24] 李华，韩宝明，张琦，等.动车组交路计划优化模型与算法研究［J］.铁道学报，2013，35（3）：1-8.

[25] LI Hua， HAN Baoming， ZHANG Qi， et al. Research on Optimization Model and Algorithm of EMU Circulation Plan ［J］. Journal of the China Railway Society， 2013， 35 （3）： 1-8. in Chinese

[26] ZHONG Q W， LUSBY M R， LARSEN J， et al. Rolling Stock Scheduling with Maintenance Requirements at the Chinese High-Speed Railway ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2019， 126： 24-44.

[27] 林柏梁，沈姚铭，钟文健，等.车底数最小化的动车组交路计划优化［J］.中国铁道科学，2023，44（5）：210-221.

[28] LIN Boliang， SHEN Yaoming， ZHONG Wenjian， et al. Optimization of the Electric Multiple Units Circulation Plan with the Minimum Number of Train-Set ［J］. China Railway Science， 2023， 44 （5）： 210-221. in Chinese

[29] 杨素鹏，李辉，周丽萍，等.多日交路下动车组周转优化研究［J］.北京交通大学学报，2022，46（6）：1-8.

[30] YANG Supeng， LI Hui， ZHOU Liping， et al. Study on Optimization of Multi-Day EMU Circulation ［J］. Journal of Beijing Jiaotong University， 2022， 46 （6）： 1-8. in Chinese

[31] GAO Y， XIA J， D’ARIANO A， et al. Weekly Rolling Stock Planning in Chinese High-Speed Rail Networks ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2022， 158： 295-322.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52372300)

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题(N2021X028)

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2022JBMC058)