基于节点强度的煤炭铁水联运网络关键节点识别方法研究

Research on Key Node Identification Method Based on Node Strength for Coal Rail-Water Intermodal Transportation Network

摘要

为提升煤炭铁水联运网络的安全性与运行效率，提出1种基于节点强度的灰色关联分析关键节点识别方法（KNI-GRA-NS）。首先，以煤炭周转量最小化为目标，构建运力优化模型，计算运输量；其次，融合节点度、节点强度和节点效率，建立关键节点识别体系；最后，基于我国煤炭铁水联运网络中的92个实际运营节点构建复杂网络模型，通过案例分析对比不同指标权重下识别的关键节点在蓄意攻击与随机攻击下的网络性能差异。结果表明：蓄意攻击导致网络效率、连通度、最大连通子图规模和总运输强度剩余比例分别下降52.08%，40.40%，89.13%和46.86%，均显著高于随机攻击造成的影响，其对应指标分别下降28.58%，30.18%，58.63%和16.24%，验证了关键节点识别方法的有效性。该方法通过系统性剖析煤炭铁水联运网络的复杂结构与抗毁性，揭示了网络运行的关键脆弱点，为提升网络鲁棒性提供了理论支撑和实践方向。

Abstract

To improve the safety and operation efficiency of the coal rail-water intermodal transportation network, a Key Node Identification method based on Grey Relational Analysis considering Node Strength (KNI-GRA-NS) is proposed. First, a transport capacity optimization model is constructed with the goal of minimizing coal turnover volume to calculate transportation volumes. Second, a key node identification system is established by integrating node degree, node strength, and node efficiency. Finally, a complex network model is built using 92 actual operational nodes from China's coal rail-water intermodal transportation network. The differences in network performance under intentional and random attacks for key nodes identified with different index weights are compared through case analysis. The results show that intentional attacks cause the network efficiency, connectivity, size of the largest connected subgraph, and remaining proportion of total transport strength to decrease by 52.08%, 40.40%, 89.13%, and 46.86% respectively, which are significantly higher than the impacts of random attacks, whose corresponding indicators decrease by 28.58%, 30.18%, 58.63%, and 16.24% respectively, verifying the effectiveness of the key node identification method. By systematically analyzing the complex structure and invulnerability of the coal rail-water intermodal transportation network, this method reveals critical vulnerabilities in network operation, providing theoretical support and practical directions for enhancing network robustness.

Graphical abstract

关键词

煤炭运输 / 铁水联运网络 / 关键节点识别 / 节点强度

Key words

Coal transportation / Rail-water intermodal transportation network / Key node identification / Node strength

我国煤炭资源呈现“西煤东运、北煤南运”的产销区域分离格局^［1］，铁水联运作为连接煤炭产地与消费市场的重要运输方式，在保障国家能源供应安全方面发挥着关键作用。这种融合铁路运输时效性优势和水路运输大运量优势的联运模式，不仅能显著降低运输成本和能耗，还可减少碳排放。特别是在《推进多式联运发展优化调整运输结构工作方案（2021—2025年）》政策推动下，大宗物资“公转铁、公转水”的运输结构调整成效显著。李大海等^［2］分析我国煤炭铁水联运现状和发展趋势后指出铁水联运在降低成本、提高运输资源利用率、满足客户需求等方面展现出独特优势。然而，这种高度集约化的运输网络也面临着节点失效引发的系统性风险，一旦煤炭铁水联运网络受损，我国煤炭运输格局将受到显著冲击。因此，运用科学方法精准识别并有效保护该网络中的关键节点，对于构建安全、高效、绿色的国家煤炭运输通道具有重大战略价值。

关键节点指在网络中具有重要影响力或对网络的功能和结构有重要贡献的节点。其作为网络中的核心要素，一旦失效可能导致整个网络瘫痪。因此，许多学者致力于研究关键节点的识别方法。传统识别方法主要依赖于网络的拓扑结构^［3-5］，通过计算节点的中心性指标来评估其重要性，这些指标包括度中心性、介数中心性、接近中心性和PageRank算法等。然而，传统方法在面对煤炭铁水联运网络这种具有特殊复杂性的网络时，存在明显局限。近年来，学者们提出了多种改进方法。Li等^［6］提出了1种融合局部结构熵和聚类系数的关键节点识别方法，旨在解决传统单一指标方法在节点重要性评估中的局限性。Tian等^［7］提出了1种基于非负矩阵分解（NMF）的重叠社区关键链接节点识别方法，通过节点距离度量构建网络表示矩阵，利用NMF分解实现重叠社区检测，并基于节点在不同子空间中的投影范数定位关键节点。Zhong等^［8］融合节点的位置和传播属性，结合信息熵加权策略，实现了对节点影响力的综合评估。Zhang等^［9］将网络表示学习与回归模型相结合，提出了1种关键节点识别算法。Ren等^［10］提出了1种基于局部引力模型的算法，用于挖掘复杂网络中的关键传播者。An等^［11］针对多层网络的节点异质性、层间关联及动态社区结构，提出了1种融合局部与全局信息的关键节点识别方法，显著提升了识别性能。冯芬玲等^［12］提出1种基于改进TOPSIS法及灰色关联分析的多层网络节点重要性评价方法。Liu等^［13］提出了1种基于混合进化算法的多阶段局部搜索算法，结合局部搜索策略和遗传算法框架，通过最小化节点删除后剩余子图的最大连通分量，高效识别关键节点。

现有方法虽有一定成效，但将其应用于煤炭铁水联运网络时仍存在显著局限：首先，该网络具有典型的跨模态特征（铁路-水路协同），要求识别方法必须考虑运输方式转换带来的特殊约束；其次，作为国家能源战略通道，其节点重要性评估需综合考量运输强度、网络连通性和应急保障能力等多维指标；最后，现有算法对复杂失效场景的适应性不足，难以满足国家能源安全对关键基础设施防护的精准化需求。这些特殊性使得传统网络分析方法在运输效率优化、抗毁性评估等方面面临理论适配性挑战。

为提升煤炭铁水联运网络的安全性与运行效率，本研究基于国家能源安全保障需求，结合我国煤炭铁水联运网络特性，提出1种基于节点强度的灰色关联分析关键节点识别方法（Key Node Identification method based on Grey Relational Analysis considering Node Strength，KNI-GRA-NS）。通过构建优化模型，以最小化煤炭周转量为目标计算运输量，结合节点度、节点强度及节点效率等局部与全局指标，全面识别关键节点并评估其对网络性能的影响。通过保护关键节点来增强煤炭运输网络的抗毁性，对保障国家能源运输安全具有重要实践意义。

1 基于Space L的煤炭铁水联运网络建模

在铁路运输中，煤炭主要依赖“三西”外运、出关和蒙东外运等通道。沿海港口依据功能定位可分为装船港和卸船港，北方七港（如秦皇岛、天津、黄骅港等）作为装船港承担煤炭发运量的主体份额。卸船港则主要分布在长三角、珠三角等经济发达区域，形成了以上海、宁波舟山、广州等港口为代表的大型公用码头与电力企业专用码头相结合的复合型接卸体系。此外，内河运输网络作为海运系统的延伸，通过构建“铁路/公路-内河”多式联运通道，将晋冀豫皖鲁苏及海进江（河）的煤炭经过长江、运河等黄金水道，转运至华东及沿江（河）经济带终端用户。

煤炭铁水联运网络的核心功能是运输，因此选择Space L模型来构建此网络。该模型能反映节点在网络中的位置、节点之间的直接连接状态以及网络的拓扑结构。描述煤炭铁水联运基础设施的无向无权网络G和刻画煤炭铁水联运实际运营的有向加权网络G^{\mathrm{\text{'}}}分别为

G=(V,{\mathit{A}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}})（1）

G^{\mathrm{\text{'}}}=(V^{\mathrm{\text{'}}},\mathit{A},\mathit{W})（2）

其中，

V=\{v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},\dots ,v_n\}

V^{\mathrm{\text{'}}}=\{v_{{}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}},v_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}},\dots ,v_{{}_m}^{\mathrm{\text{'}}}\}

{\mathit{A}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}=(a_{ij}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}{)}_{n\times n}

\mathit{A}=(a_{ij}{)}_{m\times m}

\mathit{W}=(w_{ij}{)}_{m\times m}

式中：V和V^{\mathrm{\text{'}}}分别为不同网络中煤炭铁水联运站点集合；{\mathit{A}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}为基础设施线路邻接矩阵，当节点v_i与v_j存在运输线路时，a_{ij}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}=\mathrm{1}；\mathit{A}为实际运输线路有向邻接矩阵，当节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}到v_j^{\mathrm{\text{'}}}的运输线路上存在煤炭运输时，a_{ij}=\mathrm{1}；\mathit{W}为权重矩阵；w_{ij}为节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}到v_j^{\mathrm{\text{'}}}的运输线路上的煤炭运输量。

对国内主要的运煤通道进行梳理，构建煤炭铁水联运基础设施网络，其拓扑结构如图1所示。该拓扑结构不仅完整呈现核心铁路和水路运输通道的空间走向及布局，还通过节点密度与线路连通性表征了网络的空间集聚特征。

2 考虑节点强度的煤炭铁水联运网络关键节点识别方法

2.1　节点综合重要度评价体系构建

在复杂网络理论中，节点具有双重功能属性。在局部范围内承担着传输自身“信息”并接收邻居节点“信息”的作用，同时通过拓扑结构影响网络全局效率。针对煤炭铁水联运网络的特性，构建“双维度三指标”关键节点识别体系，通过局部属性与全局影响的双重视角综合评价节点重要性。在局部维度，选取节点度与节点强度作为核心指标：节点度定义为与该节点相连的铁路线或航线的数量，用来反映节点的拓扑连接规模，揭示其在网络中的结构中心性；节点强度定义为流经各节点的煤炭运输量，用来整合连接数量与实际运输流量，表征节点的实体交互能力。在全局维度，采用节点效率指标，表示该节点向网络中其他节点传输信息的难易程度^［14］。通过融合局部与全局指标构建的综合评价模型，最终生成的节点综合重要度指标能够全面反映节点在网络中的功能地位及其对整体运行效率的影响程度，且该指标值与节点重要性呈严格正相关关系。该体系的具体评价模型结构如图2所示。

在关键节点识别过程中，首先运用灰色关联分析法对节点度与节点效率进行权重赋值，通过线性组合生成初始节点重要度，接着将初始重要度与节点强度分别进行最小-最大归一化处理，最后采用加权合成方法优化二者在综合重要度中的权重配比，得到节点综合重要度。节点度k_i，节点强度S_i，节点效率I_i，初始重要度N_i和节点综合重要度D_i分别为

k_i=k_i^{\mathrm{i}\mathrm{n}}+k_i^{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^m}{a}_{ji}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^m}{a}_{ij}（3）

S_i=S_i^{\mathrm{i}\mathrm{n}}+S_i^{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^m}{w}_{ji}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^m}{w}_{ij}（4）

I_i=\frac{\mathrm{1}}{m-\mathrm{1}}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1},j\ne i}^m}\frac{\mathrm{1}}{d_{ij}}（5）

N_i=\alpha k_i+\beta I_i（6）

D_i=\eta N_i\mathrm{\text{'}}+\gamma S_i\mathrm{\text{'}}（7）

\eta +\gamma =\mathrm{1}（8）

式中：k_i^{\mathrm{i}\mathrm{n}}和k_i^{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}分别为节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}的入度和出度；S_i^{\mathrm{i}\mathrm{n}}和S_i^{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}分别为节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}的入强度和出强度；d_{ij}为节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}和v_j^{\mathrm{\text{'}}}之间的最短路径长度（不考虑边权重）；\alpha和\beta分别为节点度和节点效率的权重；N_i\mathrm{\text{'}}和S_i\mathrm{\text{'}}分别为N_i和S_i经过最小-最大归一化处理后的值；\eta和\gamma分别为N_i\mathrm{\text{'}}和S_i\mathrm{\text{'}}的权重。

2.2　基于煤炭周转量的网络运输量求解算法

在节点综合重要度评价体系中，明确了节点度、节点效率和节点强度3个核心指标的作用机制。其中，节点度和节点效率可直接通过复杂网络拓扑结构计算获得，节点强度通过流经节点的运输量求得。鉴于煤炭铁水联运网络运输数据获取受限的特殊性，从国家能源安全角度出发构建运输量求解算法。

在煤炭产业中，高效安全的运输是保障国家能源供应稳定的关键。煤炭运输的核心在于实现资源从产地到需求地的及时稳定供应，而煤炭周转量（货运量与运输距离的乘积之和）是衡量运输规模的关键指标。在特定条件下，煤炭运输成本与周转量存在正相关趋势。因此，以最小化煤炭周转量为目标求解运输量，在满足供需平衡和运力约束的前提下提升运输效率。该算法基于以下假设。

（1）同质性假设：忽略区域间煤炭品种需求的差异性，假设各地区的煤炭需求在种类和品质上具有一致性。

（2）运力无限假设：针对专用煤炭运输线路（即需求地与最近城市间的专线运输系统），假设其运输能力不受限制。

煤炭运输量目标函数Z_{\mathrm{1}}和约束条件为

Z_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\sum _{i\in N}\sum _{j\in N}{d}_{ij}{x}_{ij}\right)（9）

s.t.

\sum _{j\in N,j\ne o}{x}_{oj}-\sum _{i\in N,i\ne o}{x}_{io}\le P_{o}o\in O（10）

\sum _{i\in N,i\ne d}{x}_{id}-\sum _{j\in N,j\ne d}{x}_{dj}=M_{d}d\in D（11）

x_{ij}\le C_{ij}i\in N_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}},j\in N_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}（12）

\sum _{i\in N,i\ne j}{x}_{ij}+\sum _{k\in N,k\ne j}{x}_{jk}\le C_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{j}j\in N_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}（13）

x_{ij}\ge \mathrm{0}（14）

式中：d_{ij}和x_{ij}分别为节点v_i和v_j之间的运输距离和煤炭运输量；O为煤炭产地集合，o为索引；D为煤炭需求地集合，d为索引；P_o为产地o的煤炭生产量；M_d为需求地d的煤炭消费量；N为所有节点集合；C_{ij}为节点v_i和v_j间铁路线的负载能力；N_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}为港口节点集合；N_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为铁路站点集合；C_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}}^j为港口j的煤炭吞吐量。

通过求解该优化问题，可获得各线路的实际煤炭运输量x_{ij}，进而计算节点强度，具体求解流程如图3所示。首先，采集并整合包括铁路线运能、港口吞吐量、铁路站点距离、港口水路距离、产地产量和需求地消费量等基础数据；接着，构建目标函数并设置产能约束、需求约束、铁路运力约束、港口吞吐量约束及非负性约束条件；最终，借助 Gurobi求解器计算节点间运输量，在此基础上计算得出节点强度，形成完整的分析逻辑链条，获取最优运输方案。

3 案例研究

3.1　数据采集

为确保数据的准确性和可靠性，采集的数据均来源于权威渠道。鉴于煤炭数据的波动性及获取的复杂性，处理数据时对个别缺失的数据点采取谨慎的数据赋值法，以维护数据的连续性和分析的完整性。数据显示，受政策调控和地质条件影响，山西、陕西和内蒙古3省区原煤产量占比从2010年的58%显著提升至2023年的71%，体现了明显的生产集中化趋势。此外，据统计我国电力与钢铁行业占据煤炭消费总量的70%以上。因此，选取晋陕蒙3省煤炭生产量排名靠前的城市作为煤炭生产地；钢铁产量和电力产量排名靠前的城市作为煤炭需求地；连接生产地和需求地的线路途径及到达的主要城市、铁路枢纽以及港口作为中间地。2022年原煤产地的产量和需求地的消费量数据见表1，铁路线煤炭运能和港口煤炭及其制品吞吐量数据见表2。

3.2　煤炭铁水联运网络节点综合重要度分析

基于上述运输量求解算法的计算结果，提取实际运量大于零的运输线路，构建有向加权煤炭铁水联运运营网络，其网络结构如图4所示，图中数字为节点编号。

基于前文构建的关键节点识别理论框架，采用灰色关联分析法确定节点度和节点效率在节点初始重要度中的权重，其具体步骤如下。

（1）参考数列确定。以节点度和节点效率的最大值构造参考序列Y_i，体现“越大越优”的评价准则。其计算式为

Y_i=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(X_i)i=\mathrm{1,2}（15）

式中：X_i为节点度或节点效率的原始序列。

（2）无量纲化处理。对节点度和节点效率进行初值化处理得到无量纲序列X_i^{\mathrm{\text{'}}}(k)。其计算式为

X_i^{\mathrm{\text{'}}}(k)=\frac{X_i(k)}{X{}_i{}^{}(\mathrm{1})}i=\mathrm{1,2},k=\mathrm{1,2},\cdots ,m（16）

（3）差值序列计算。节点度和节点效率的差值序列{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(k)和{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(k)的计算式为

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}(k)=\left|X_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}(k)-\frac{Y_{\mathrm{1}}}{X_{\mathrm{1}}(\mathrm{1})}\right|（17）

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}(k)=\left|X_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\text{'}}}(k)-\frac{Y_{\mathrm{2}}}{X_{\mathrm{2}}(\mathrm{1})}\right|（18）

（4）关联系数计算。使用灰色关联分析公式计算可得关联系数{\xi }_i(k)为

{\xi }_i(k)=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\rho {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{\mathrm{\Delta }}_i(k)+\rho {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}（19）

式中：{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为差值序列的最大、最小值；\rho为分辨系数，取值为0.5。

（5）关联度计算。对关联系数求平均，得到节点度和效率的关联度r_i为

r_i=\frac{\mathrm{1}}{n}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}\xi {}_i{}^{}(k)（20）

（6）权重确定。将关联度进行归一化处理，计算节点度和效率的权重{\omega }_{\mathrm{1}}和{\omega }_{\mathrm{2}}。其计算式为

{\omega }_{\mathrm{1}}=\frac{r_{\mathrm{1}}}{r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}}（21）

{\omega }_{\mathrm{2}}=\frac{r_{\mathrm{2}}}{r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}}（22）

通过上述步骤，计算得出节点度和节点效率的权重分别为0.456和0.544，并据此得出节点的初始重要度。进一步，结合运输需求约束，建立优化模型求解网络的运输量，进而得出节点强度。在此基础上，提出煤炭铁水联运网络的差异化管控策略，使网络拓扑结构权重\eta能够随需求强度、季节因素和突发事件等灵活变化。在冬季采暖季等高需求时期，降低拓扑权重至，重点识别关键运输节点，并制定针对性的维护策略与应急预案，以确保重点区域煤炭运输网络的稳定运行；在日常运营中，保持\eta =\mathrm{0.5}以平衡网络效率与运输需求，确保在一般需求状态下联运网络的高效、安全运行；在极端天气或突发事件（如暴雨、大雪和电力供应紧张）等复杂场景下，提高拓扑权重至\eta >\mathrm{0.5}，确保网络的整体连通性和抗灾能力。\eta =\mathrm{0.5}，\gamma =\mathrm{0.5}时部分节点的综合重要度结果见表3，其可视化结果如图5所示。图中，节点的尺寸越大、颜色越深则表明该节点越重要。

由表3和图5可知，当\eta =\mathrm{0.5},\gamma =\mathrm{0.5}时，排名前15的节点依次是北京、张家口、天津、苏州港、廊坊、郑州、信阳、黄骅港、沧州、天津港、焦作、保定、洛阳、南京港和商丘。这些枢纽节点具有3个共性特征：首先，均位于关键的地理通道位置，多为重要的铁路枢纽或港口；其次，具备多式联运功能，可有效整合不同运输方式的干线网络资源；最后，承担着大量的煤炭运输、装卸和转运任务。将其分为3类典型枢纽：①京津冀交通枢纽群（北京、张家口、天津等），作为晋陕蒙煤炭产区与华东/华南消费区的中转核心；②北方煤炭下水港群（黄骅港、天津港等），构成“西煤东运”的海运枢纽；③中原铁路枢纽群（郑州、洛阳、商丘等），依托密集的铁路网络支撑跨区域煤炭调运。基于上述分析，这些关键节点应纳入网络管理的优先管控体系进一步关注其运行能力的提升、应急预案的制定和维护保障，以确保整个煤炭联运网络的稳定性和效率。

3.3　抗毁性分析

抗毁性作为网络可靠性的重要维度，其概念可分为广义和狭义2个层面。广义抗毁性关注网络在组件失效情况下的功能持续性，而狭义抗毁性则特指拓扑连通性的保持能力^［15］。王伟等^［16］将铁路网的抗毁性定义为网络在遭受内外扰动时维持基本服务水平的动态恢复能力。针对煤炭运输网络的特殊性，对其抗毁性进行针对性界定：在网络遭受攻击或故障时，仍能满足拓扑连通性和运输功能需求的双重保障能力。基于此理论框架，选取网络效率、连通度、最大连通子图规模和总运输强度剩余比例作为抗毁性测度指标，其定义和计算式如下。

1）网络效率

网络效率E^［17］是表征网络传输性能的重要拓扑指标，当网络效率值较大时，表明节点间的平均传输路径更优，整体网络的运输效能更强。其定义式为

E=\frac{\mathrm{1}}{m(m-\mathrm{1})}\sum _{i\ne j}\frac{\mathrm{1}}{d_{ij}}（23）

式中：m为网络中的节点数；d_{ij}为节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}和v_j^{\mathrm{\text{'}}}之间的最短路径长度（不考虑边权重）。

2）连通度

连通度\lambda^［18］是评估网络结构鲁棒性的核心指标，表示网络中部分节点失效场景下，剩余节点间保持连通的能力。该指标通过量化受损网络与原始网络的边数比率，客观反映网络的结构完整性损失程度。比率趋于1时，表明网络在遭受攻击后仍能维持近乎完整的连接结构；反之，比率降低则预示网络出现结构性退化。其定义式为

\lambda =\frac{e_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}}}{e_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}（24）

式中：e_{\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}}为网络受损状态下的边数；e_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为网络完好状态下的边数。

3）最大连通子图规模

最大连通子图^［19］是所有极大连通子图中包含节点数最多的子图，其规模J常用其所含节点数量来衡量。该指标值越大，说明网络在遭受攻击后仍能维持较大规模的连通区域。其定义式为

J=\underset{i=\mathrm{1,2},\dots ,k}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left|V_{C_i}\right|（25）

式中：\left|V_{C_i}\right|为极大连通子图中节点的数量。

4）总运输强度剩余比例

总运输强度剩余比例\sigma指网络受攻击后保留的节点强度总和与原始总强度的比值，反映了网络运输能力的剩余水平。其定义式为

\sigma ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^k}{S}_i^{\mathrm{\text{'}}}/{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{S}_i（26）

式中：S_i^{\mathrm{\text{'}}}为网络受攻击后保留节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}的强度；S_i为原始网络中存在的节点v_i^{\mathrm{\text{'}}}的强度；m为初始网络中节点个数；k为攻击后网络中的节点个数。

为全面评估网络的抗毁性和验证KNI-GRA-NS方法的有效性，设计了包含随机攻击和基于KNI-GRA-NS综合重要度D_i的蓄意攻击2类策略，分析不同攻击策略对上述4个指标的影响。该设计遵循以下假设。

（1）每次攻击仅针对单一节点实施。

（2）受攻击节点将立即失效且无法恢复。

（3）攻击后该节点及其关联边立即从网络中移除。

在随机攻击策略中，随机选择网络中的15个节点进行攻击，并通过多次模拟试验计算平均值，以此作为最终结果。不同算法下网络性能变化情况如图6所示。其中，蓄意攻击1—4分别对应KNI-GRA-NS方法中的参数组合（\eta ,\gamma）为（\mathrm{0.2}，0.8），（\mathrm{0.4}，0.6），（\mathrm{0.6}，0.4）和（\mathrm{0.8}，0.2）。

由图6可知：在相同攻击规模（15个节点）条件下，随机攻击和基于KNI-GRA-NS方法的蓄意攻击均导致4种网络性能指标显著下降，网络效率经随机攻击后降至0.024 77（降幅28.58%），在蓄意攻击下则降至0.016 62（降幅52.08%）；连通度经随机攻击后降至0.698 18（降幅30.18%），蓄意攻击下则降至0.595 96（降幅40.40%）；最大连通子图规模经随机攻击后减少至38.06个（损失58.63%），而蓄意攻击导致其剧烈收缩至10个（损失89.13%）；总运输强度剩余比例经随机攻击后降至83.761%（衰减16.24%），蓄意攻击下则降至53.139 2%（衰减46.86%）。网络性能的退化主要由于节点或边的移除导致拓扑连通性受损，其中关键节点的失效会造成更严重的影响。上述数据表明基于KNI-GRA-NS方法的蓄意攻击策略在网络性能破坏方面具有显著优势。

随着\eta值的增大，关键节点失效对网络效率、连通度及最大连通子图规模的负面影响呈显著增强趋势；而总运输强度剩余比例则表现出相反的规律性变化。此外，在特定网络结构下网络效率会出现异常上升现象，这主要归因于“瓶颈节点”的移除。该案例涉及的煤炭实际运营线路是依据产销地的实际需求规划的，并非涵盖整个基础设施网络。当移除某些“瓶颈节点”（如保定、石家庄等）时，由于这些节点位于单向线路的端点，与其他节点连接较少且距离较远，其移除反而缩短了网络平均路径距离，导致效率异常上升。相比之下，建设较为完备的网络通常不会出现如此大幅度的波动^［20］。

3.4　煤炭铁水联运网络抗毁性优化建议

煤炭铁水联运网络作为国家能源运输体系的关键骨干网络，其抗毁性优化对保障能源安全具有重要意义。针对该网络的特点，提出新的抗毁性优化方法，设计了关键节点分级防护措施。依据KNI-GRA-NS方法所得节点综合重要度D_i，将实际运营网络中的92个节点分为特级保护节点（）、重点保护节点（）以及一般保护节点（\mathrm{0}\le D_i\le \mathrm{0.4}）。

在具体防护措施方面，针对不同级别节点实施差异化策略：特级节点配备双冗余系统并实施每日巡检，建立响应时间小于2 h的专项应急机制；重点节点采用智能监测系统和周检制度，制定区域联动预案；一般节点执行标准化维护和月检制度。同时构建了包含实时监测、分级响应和多部门季度联合演练的三维应急体系。

4 结语

本研究创新性地提出基于KNI-GRA-NS方法的关键节点识别方法，将节点强度作为核心指标并构建以最小化货运周转量为目标的优化模型。在相同攻击规模下，蓄意攻击对网络效率、连通度、最大连通子图规模和总运输强度剩余比例的破坏效应分别是随机攻击的1.82，1.34，1.52和2.89倍，验证了该方法在识别关键节点方面的有效性。节点初始重要度权重\eta对网络性能指标具有显著而差异化的调控作用：随着其值的提升，网络效率、连通性和最大连通子图规模对关键节点失效的敏感度呈正相关响应；与之形成鲜明对比的是，总运输强度剩余比例与\eta值呈现稳定的负相关性。这一结果为网络管理者提供了重要决策依据，可根据具体防护目标（如维持运输能力或保障网络连通性）灵活调整权重，实现精准防护。

未来可从以下维度进行深入拓展研究：首先，扩大网络覆盖范围，纳入更多代表性生产消费枢纽和交易市场节点；其次，考虑地方铁路专线、水运支流等多式联运通道；最后，细化煤炭种类（如动力煤、炼焦煤）的运输特性及产业需求差异，同时考量国际市场波动对网络的影响，构建分品类运输模型以优化资源配置与运输策略。

参考文献

[1] 胡亚东.我国铁路重载运输技术体系的现状与发展［J］.中国铁道科学，2015，36（2）：1-10.

[2] HU Yadong. Current Status and Development Trend of Technology System for Railway Heavy Haul Transport in China ［J］. China Railway Science， 2015， 36 （2）： 1-10. in Chinese

[3] 李大海，赵鹏飞.我国煤炭铁水联运现状和发展趋势分析［J］.物流工程与管理，2015，37（4）：3-4.

[4] LI Dahai， ZHAO Pengfei. The Analysis of Coal Water-Rail Combined Transportation Development Trend in China ［J］. Logistics Engineering and Management， 2015， 37 （4）： 3-4. in Chinese

[5] SUN Z J， SUN Y N， CHANG X F， et al. Finding Critical Nodes in a Complex Network from Information Diffusion and Matthew Effect Aggregation ［J］. Expert Systems with Applications， 2023， 233： 120927.

[6] YIN R R， LI L H， WANG Y M， et al. Identifying Critical Nodes in Complex Networks Based on Distance Laplacian Energy ［J］. Chaos， Solitons & Fractals， 2024， 180： 114487.

[7] YU E Y， WANG Y P， FU Y， et al. Identifying Critical Nodes in Complex Networks via Graph Convolutional Networks ［J］. Knowledge-Based Systems， 2020， 198： 105893.

[8] LI P， WANG S L， CHEN G W， et al. Identifying Key Nodes in Complex Networks Based on Local Structural Entropy and Clustering Coefficient ［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2022， 2022： 8928765.

[9] TIAN B， HU X. Identification of Key Nodes between Overlapping Communities by Using Nonnegative Matrix Factorization ［J］. SSRN Electronic Journal， 2024： 4868870.

[10] ZHONG L F， GAO X Y， ZHAO L， et al. A Hybrid Influence Method Based on Information Entropy to Identify the Key Nodes ［J］. Frontiers in Physics， 2023， 11： 1280537.

[11] ZHANG H P， ZHANG S C， XIE X Y， et al. Identification of Key Nodes in Complex Networks Based on Network Representation Learning ［J］. IEEE Access， 2023， 11： 128175-128186.

[12] REN T， SUN S X， XU Y J， et al. Key Nodes Mining for Complex Networks Based on Local Gravity Model ［J］. Journal of Control and Decision， 2024， 11 （3）： 409-416.

[13] AN Z Y， HU X H， JIANG R X， et al. A Novel Method for Identifying Key Nodes in Multi-Layer Networks Based on Dynamic Influence Range and Community Importance ［J］. Knowledge-Based Systems， 2024， 305： 112639.

[14] 冯芬玲，蔡明旭，贾俊杰.基于多层复杂网络的中欧班列运输网络关键节点识别研究［J］.交通运输系统工程与信息，2022，22（6）：191-200.

[15] FENG Fenling， CAI Mingxu， JIA Junjie. Key Node Identification of China Railway Express Transportation Network Based on Multi-Layer Complex Network ［J］. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology， 2022， 22 （6）： 191-200. in Chinese

[16] LIU C J， GE S K， ZHANG Y K. Identifying the Cardinality-Constrained Critical Nodes with a Hybrid Evolutionary Algorithm ［J］. Information Sciences， 2023， 642： 119140.

[17] 王亭，张永，周明妮，等.融合网络拓扑结构特征与客流量的城市轨道交通关键节点识别研究［J］.交通运输系统工程与信息，2022，22（6）：201-211.

[18] WANG Ting， ZHANG Yong， ZHOU Mingni， et al. Identification of Key Nodes of Urban Rail Transit Integrating Network Topology Characteristics and Passenger Flow ［J］. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology， 2022， 22 （6）： 201-211. in Chinese

[19] 史春辉.复杂网络拓扑结构抗毁性研究［D］.成都：电子科技大学，2012.

[20] SHI Chunhui. Research on Invulnerability of Complex Network Topology ［D］. Chengdu： University of Electronic Science and Technology of China， 2012. in Chinese

[21] 王伟，刘军，李海鹰，等.铁路网抗毁性分析［J］.铁道学报，2010，32（4）：18-22.

[22] WANG Wei， LIU Jun， LI Haiying， et al. Survivability Analysis of Railway Network ［J］. Journal of the China Railway Society， 2010， 32 （4）： 18-22. in Chinese

[23] CAO Y， BU X Z， ZHANG J L. Robustness Evaluation of Bus-Subway Composite Network Considering Accessibility ［J］. Scientific Reports， 2025， 15 （1）： 10770.

[24] 薛锋，何传磊，黄倩.成都地铁网络的关键节点识别方法及性能分析［J］.中国安全科学学报， 2019，29（1）：93-99.

[25] XUE Feng， HE Chuanlei， HUANG Qian. Identification of Key Nodes in Chengdu Metro Network and Analysis of Network Performance ［J］. China Safety Science Journal， 2019， 29 （1）： 93-99. in Chinese

[26] 彭景新.南京市区公交、地铁加权复合网络建模与实证分析［D］.南京：南京邮电大学，2017.

[27] PENG Jingxin. Modeling and Empirical Analysis of Bus and Subway Weighted Composite Network in Nanjing ［D］. Nanjing： Nanjing University of Posts and Telecommunications， 2017. in Chinese

[28] 高占一，朱成娟，韩凌辉.南京市轨道交通网络抗毁性及韧性研究［J］.山东科学， 2024，37（4）：105-111.

[29] GAO Zhanyi， ZHU Chengjuan， HAN Linghui. Durability and Resilience of Nanjing Rail Transit Network ［J］. Shandong Science， 2024， 37 （4）： 105-111. in Chinese

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52472336)