侧限作用下土工格栅蠕变特性及分数阶时效损伤本构模型

Study on Creep Characteristics and Fractional-Order Damage Constitutive Model of Geogrid under Lateral Confinement

摘要

为研究土工格栅在铁路路基工程中交通荷载作用下的变形机制和力学响应，分别开展不同侧限作用下高密度聚乙烯（HDPE）土工格栅室内蠕变试验和有限元模拟；基于损伤力学原理和BFGS算法，构建分数阶时效损伤本构模型，对模型参数取值进行敏感性分析。结果表明：土工格栅的蠕变与应力比密切相关，当侧限作用相同时，应力和应变随着应力比的提高呈现递增趋势；侧限作用可有效限制土工格栅水平方向的变形，并提高土工格栅抗蠕变能力；试验初期，应力比是影响土工格栅应变增长速率的主要因素，会导致应变迅速累积，而随着时间的推移，侧限作用起主导作用，应变最终趋于稳定；侧限作用由50 kPa增至200 kPa时，纵肋中间部分应变降幅为38.6%，纵肋相邻横肋部分应变降幅为56%，横肋几乎不发生变形；侧限作用与损伤呈负相关，土工格栅应变速率随着泊松比的增加急剧增长，随黏滞系数的增大而减小。

Abstract

To study the deformation mechanism and mechanical response of geogrid under traffic loading in railway subgrade engineering, experimental indoor creep tests and finite element simulations of high-density polyethylene (HDPE) geogrid under different lateral restraints were carried out. Based on the principle of damage mechanics and BFGS algorithm, a fractional-order damage constitutive model was constructed to analyze the sensitivity of model parameters. The results show that the creep of geogrid is closely related to the stress ratio. When the confining effect is the same, the stress and strain show an increasing trend with the increase of stress ratio. The lateral confinement can effectively limit the horizontal deformation of geogrid and improve the creep resistance of geogrid. At the beginning of the test, the stress ratio is the main factor affecting the strain growth rate of geogrid, which leads to the rapid accumulation of strain. With the passage of time, the lateral confinement effect plays a leading role, and the strain eventually tends to be stable. When the lateral confining pressure increases from 50 kPa to 200 kPa, the strain of the middle part of the longitudinal ribs decreases by 38.6%, the strain of the adjacent transverse ribs of the longitudinal ribs decreases by 56%, and the transverse ribs are almost not deformed. The lateral confinement effect is negatively correlated with the damage. The strain rate of geogrid increases sharply with the increase of Poisson'‍s ratio, and decreases with the increase of viscosity coefficient.

Graphical abstract

关键词

路基 / 土工格栅 / 侧限作用 / 蠕变 / 分数阶本构模型 / BFGS算法

Key words

Subgrade / Geogrid / Lateral confinement / Creep / Fractional-order constitutive model / BFGS algorithm

土工格栅作为一种重要的土工合成材料，已经广泛应用于路基加固、边坡防护、隧道衬砌与支护等铁路工程中，其独特的结构使其能够有效增强土体的承载能力，可以解决铁路工程中路基沉降和变形大的问题^［1-5］。然而在实际工程中，土工格栅在拉伸状态下表现出随时间变化的蠕变行为和应力松弛现象，导致应力重分布，影响加筋土结构整体稳定性^［6］。TB 10118—2006《铁路路基土工合成材料应用设计规范》^［7］中提到，拉筋材料的性能对铁路加筋土挡墙的设计有重大影响，拉筋不能有过大的变形，特别是蠕变易使筋材产生应力松弛现象，从而对结构稳定性产生影响。在铁路工程中，轨道和列车荷载通过基床传递给土工格栅，从而形成侧限作用。为保证结构的安全性和耐久性，开展侧限作用下土工格栅蠕变特性研究具有一定的现实意义。

近年来，国内外学者针对土工格栅侧限作用条件下开展了一系列室内蠕变试验研究。丁金华等^［8］进行了土工格栅无约束拉伸蠕变试验和侧限约束蠕变试验研究，结果表明土工格栅在有约束的条件下，其蠕变变形明显减少，不会发展到失效应变10%的情况。张震等^［9-10］通过室内蠕变试验得出土工格栅的蠕变应变随着侧限作用的提高而减小，侧限作用条件下106 h长期蠕变强度比无侧限作用下的长期蠕变强度低37%的结论。Ren等^［11］的数值模拟结果表明，土工格栅的蠕变效应会导致涵洞侧壁的竖向土压力显著增长。Yang等^［12］利用时间叠加原理，预测侧限作用下100年后土工格栅蠕变特性。为揭示格栅蠕变的微观机理，Marx等^［13］利用图像分割对土工格栅侧向约束进行量化，发现在给定的施加载荷下，填料可能的运动区域随着侧向约束的增加而减小。王家全等^［14］对砂土侧限下土工合成材料拉伸试验进行了离散元模拟，发现上覆荷载的侧限约束作用对拉伸强度的发挥起着积极的影响。Zou等^［15］利用有限元分析土工格栅蠕变对加筋土挡墙长期性能影响的研究表明，当工作应力小于极限抗拉强度的40%时，挡土墙稳定性较好。Li等^［16］提出了一种模拟土工格栅加筋砂土在加载过程中黏弹性的非线性有限元分析方法，研究表明，其可以较好地描述蠕变变形和应力松弛。可见，已有侧限作用下土工格栅蠕变特性的试验研究未考虑应力比及时效损伤的影响，对蠕变过程中土工格栅受力状态缺乏量化。

在试验的基础上，研究者考虑不同因素建立了本构模型方程并分析其适用性。杨广庆等^［17］考虑温度作用，在三参数经验模型基础上加入塑性元件，建立土工格栅蠕变损伤本构模型，并对各个蠕变参数进行分析。Du等^［18］、易富等^［19］基于土工格栅蠕变特性均对黏弹塑性本构关系模型进行了修正，建立了低应力水平下衰减蠕变的黏弹性-塑性模型。Ma等^［20］研究发现幂函数蠕变模型能较准确地描述土工格栅蠕变曲线。Yuan等^［21］研究了法向压力、干密度和含水量对压实黄土与高密度聚乙烯土工格栅界面蠕变行为的影响，并建立3参数经验模型和Merchant模型，研究表明3参数经验模型适用于长期行为，Merchant模型适用于蠕变早期阶段。目前的研究侧重于建立土工格栅蠕变黏弹性本构关系模型，对于长期蠕变行为的预测存在不足，考虑高应力水平下的土工格栅蠕变损伤本构模型较少。

为深入理解土工格栅在长期交通荷载作用下的变形机制和蠕变效应，本文通过对单向拉伸塑料土工格栅进行上覆荷载侧限约束（简称侧限作用）下蠕变特性的研究，得到不同应力比和不同侧限作用下的应变时程曲线，并利用COMSOL进行数值模拟，对其进行等效蠕变应变分析，建立损伤分数阶本构模型并分析其适用性。

1 室内蠕变试验

1.1　试验仪器

蠕变试验采用的土工合成材料电子式蠕变测试仪，如图1所示。蠕变测试仪由竖向加载系统、水平加载系统、模型试验箱、数据采集系统4部分构成，可以进行侧限作用下土工合成材料的蠕变试验。蠕变测试仪的竖向加载系统通过气囊液压施加恒定荷载，竖向荷载加载范围为0~50 kN，蠕变负荷水平方向荷载范围为0~100 kN，剪切盒尺寸为400 mm×300 mm×400 mm，数据采集系统测量精度在\pm1%，当试样标距设定为600 mm时，系统可实现水平方向最大位移为350 mm。

1.2　填料

填料采用粗砂，经过筛分得到的颗粒级配如图2所示。图中：d₁₀为有效粒径；d₃₀为中值粒径；d₆₀为限值粒径。不均系数C_u=6.785，曲率系数C_c=1.36，满足GB/T 50145—2007《土的工程分类标准》^［22］规定，级配良好。

1.3　土工格栅

本试验选用青岛旭域土工材料股份有限公司生产的高密度聚乙烯（以下简称HDPE）单向土工格栅EG90R，如图3所示。

土工格栅的力学性能和几何尺寸由电子强力试验机测定，具体见表1和表2。

1.4　试验方案

为研究不同应力比和侧限作用下土工格栅蠕变特性，在不同应力比（35%，40%，45%和50%）分别施加不同侧限作用（50，100，150和200 kPa），分析其蠕变变化规律，加载速率为20 mm · min^－1，具体试验方案见表3。

应力比表示荷载水平占极限抗拉强度的百分数，即

R=\frac{Pn}{{\sigma }_{\mathrm{1}}N}（1）

式中：R为应力比；P为荷载水平；n为每米土工格栅纵向肋条数；{\sigma }_{\mathrm{1}}为极限抗拉强度；N为试样肋条数。蠕变试验过程中土工格栅试样始终采用3根纵向肋条。

2 试验结果与分析

2.1　侧限作用对土工格栅蠕变的影响

土工格栅作为一种高分子聚合物材料，具有明显的蠕变特性。土工格栅的蠕变受不同因素的影响，主要分为瞬时蠕变、稳态蠕变、加速蠕变3个阶段。图4为试验得到的不同侧限作用下土工格栅的应变时程曲线。

从图4可以看出：土工格栅的蠕变应变随着时间的推移先迅速增加，后趋于平缓。在低应力比作用下，其蠕变行为主要集中在前2个阶段，即应变速率呈指数缓慢增长的趋势；在高应力比作用下，蠕变应变扩展到加速蠕变阶段，这是由于土工格栅微观结构发生了损伤，分子链出现断裂和滑移，且土体发生塑性流动，以及土工格栅之间的摩擦增加，材料内部应力重分布，加速了蠕变变形。当应力比为50%时，曲线的斜率由1.2增至2.97，增幅为147.5%。蠕变系数和应变速率随着侧限作用的增加而减小；当应力比为40%、侧限作用分别为50，100，150和200 kPa时，曲线总体斜率分别为1.19，1.02，0.92和0.83。增加侧限作用会显著减少蠕变应变，当侧限作用从50 kPa增至200 kPa时，最终蠕变应变降幅为38.9%。

2.2　应力比对土工格栅蠕变的影响

图5为不同应力比下土工格栅应变时程曲线。从图5可以看出：当应力比相同时，应变随着侧限作用的增加而减小，其主要原因在于侧限作用可以有效地限制土工格栅水平方向的变形，提高土工格栅抗蠕变性能，降低土工格栅与土体之间的滑动和变形，改变荷载传递的路径，使得土体与土工格栅间的应力更均匀地分布；土工格栅的应变随着应力比的增加而增加，当侧限作用为100 kPa，应力比从35%增至45%时，曲线总体斜率增长124.2%，最终应变增大84.4%；侧限作用下土工格栅分子链沿蠕变方向伸长既要克服蠕变方向分子链间的黏结力，也要克服侧向约束力产生的垂直蠕变方向格栅分子链的黏结和约束作用，当筋材强度薄弱地带不足以克服这2个力时，分子链易发生断裂破坏。

3 数值模拟

3.1　土工格栅有限元模型

利用COMSOL建立HDPE土工格栅的有限元模型，分析其在侧限作用下应力和应变变化规律。土工格栅是由横肋与纵肋组成的网状结构，为了简化建模过程并提高计算效率，把横肋和纵肋建为规则的长方体，整个模型共包含10 041个域单元，1 328个边单元和3 694个边界单元，如图6所示。

表4和表5分别为砂土和土工格栅的材料参数。在模拟实际受力工况时，在纵肋两端分别设置边界载荷和固定约束，剪切盒上方具有垂直压力系统，其他面均设置固定约束以限制位移，土工格栅与砂土之间设置接触关系，考虑滑动、摩擦等因素。接触方法采用增广拉格朗日法，可以通过“罚因子”控制迭代过程中界面表面的“坚硬”程度。接触类型为滑动接触，采用静库仑摩擦和指数型动态摩擦相结合模拟土工格栅与砂土间的摩擦行为，设置相应的摩擦系数，变形采用错动模式。

3.2　等效蠕变应变分析

表6给出了土工格栅在不同侧限作用和不同应力比下蠕变变形过程中的最大应力和应变。

由表6可见：当侧限作用相同时，最大应力和最大应变随着应力比的增大而增大，在50，100，150和200 kPa侧限作用下，最大应力降幅分别为14.1%，15.0%，15.0%和32.4%，最大应变降幅分别为77.5%，93.8%，86.2%和216.7%。当荷载水平相同时，最大应力和应变随着侧限作用的增加会有所降低。

图7为应力比为40%时，不同侧限作用下的等效蠕变应变，即在多轴应力状态下的综合蠕变变形，将各向异性材料的3个主应变（或主变形量）统一转化为相同的应变（或变形量）。

从图7中可以看出：在侧限作用下，土工格栅在砂土中的蠕变表现为横肋区域形态稳定性较高，而纵肋呈现出非均匀的受力状态，中间部分的应变较大，横肋周边的部分变形较小；不同侧限作用下土工格栅横肋附近的纵肋应变分别为2.5%，2.2%，1.6%和1.1%，纵肋中间部分的应变分别为5.7%，4.9%，4.2%和3.5%。这是因为纵肋在侧限作用下会出现应力集中现象，且各项异性的材料性质使得其中间部分发生较大的蠕变变形。在蠕变过程中，HDPE土工格栅的微观形变机制主要表现为分子链的重新排列、拉伸、断裂及局部结晶。纵肋中间部分分子运动更活跃，纵肋和横肋交界处承受较大的剪切力和扭转力。在恒定的应力比下，随着侧限作用的增大，土工格栅在砂土中的最终蠕变应变呈现出逐渐减小的趋势。在应力比为40%、侧限作用由50 kPa增至200 kPa时，纵肋中间部分的应变降幅为38.6%，纵肋相邻横肋部分的应变降幅为56.0%。

4 分数阶损伤本构模型

4.1　土工格栅蠕变损伤模型建立

土工格栅在蠕变过程中微观结构发展与蠕变应变、荷载水平、蠕变时间等因素有关，因此需要建立合理的损伤变量描述土工格栅材料内部的劣化作用。图8为不同侧限作用下土工格栅蠕变过程中电镜扫描图像。

从图8不同侧限作用下的微观形貌对比可以看出：土工格栅材料内部出现孔洞和裂纹，纤维进行重新排列，纵肋间距略微扩张。

卡恰诺夫引入了材料在蠕变过程的损伤变量^［23］，即

\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=M{\left(\frac{\sigma }{\mathrm{1}-D}\right)}^{\nu }（2）

式中：D为损伤变量；M和\nu均为与材料性质有关的参数。

通过对式（2）进行积分运算，可推导出蠕变损伤达到临界破坏状态所需的时间t_e为

t_{\mathrm{e}}={\left[M\left(\nu +\mathrm{1}\right){\sigma }^{\nu }\right]}^{-\mathrm{1}}（3）

结合式（2）和式（3）可推导出描述损伤变化的损伤变量表达式

D=\mathrm{1}-{\left(\mathrm{1}-\frac{t}{t_{\mathrm{e}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\nu +\mathrm{1}}}（4）

考虑时效损伤的分数阶模型将软体元件代替Maxwell模型中的牛顿体，再串联非线性阻尼器，如图9所示。图中：\sigma为模型应力；E_{\mathrm{1}}为弹簧元件的弹性模量；\lambda为软体元件黏滞系数；{\eta }_{\mathrm{s}}为非线性阻尼器黏滞系数。

在荷载作用下土工格栅变形涵盖了多种形态，包括瞬时弹性、瞬时塑性、黏弹性和黏塑性变形等。瞬时弹性变形在卸荷后会立即恢复，黏弹性变形在卸荷后可以恢复，但速度较慢，而瞬时塑性和黏塑性变形具有不可逆的特性，这些变形模式共同构成了土工格栅在荷载作用下的复杂力学响应。Maxwell模型中弹簧元件满足Hooke定律，其本构方程为

{\epsilon }_{\mathrm{1}}=\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}}（5）

式中：{\epsilon }_{\mathrm{1}}为弹簧元件应变。

分数阶微积分是微积分的一个分支，其对传统的整数阶微积分进行了扩展，使之能够涵盖非整数阶的微分和积分运算。在分数阶微积分中，导数和积分的次数可以是任意实数，而不仅限于整数。

当f:\left.\left[\mathrm{0},+\mathrm{\infty }\right.\right)\to {\mathrm{R}}^d（R为实数集）是一个d维向量值函数时，\alpha \left(\alpha \ge \mathrm{0}\right)阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为^［24］

I^{\alpha }f\left(t\right)=\frac{\mathrm{1}}{\Gamma \left(\alpha \right)}{{\int }_{\mathrm{0}}^t\left(t-\tau \right)}^{\alpha -\mathrm{1}}f\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau（6）

其中，

\Gamma \left(\alpha \right)={\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{\alpha -\mathrm{1}}\mathrm{d}t

当分数阶积分阶数\alpha =\mathrm{0}时，满足I^{\mathrm{0}}f\left(t\right)=f\left(t\right)。

软体元件可以反映不同的应力状态，当应力处于恒定水平时，根据R-L微积分算子理论，可得本构方程

{\epsilon }_{\mathrm{2}}=\frac{\sigma }{\lambda }\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(\mathrm{1}+\alpha \right)}\mathrm{0}\le \alpha \le \mathrm{1}（7）

式中：{\epsilon }_{\mathrm{2}}为软件元件应变。

非线性黏滞阻尼器是控制振动和减震的装置，其阻尼力与振动速度非线性相关，与传统线性阻尼器不同。非线性阻尼器应力与蠕变加速度成正比，其本构方程为

{\epsilon }_{\mathrm{3}}=\frac{\sigma t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\eta }_{\mathrm{s}}}-At（8）

式中：{\epsilon }_{\mathrm{3}}为黏塑性应变；A为与黏滞特性有关的参数。

由图9及式（5）、式（7）和式（8）联合可得总应变为

\epsilon ={\epsilon }_{\mathrm{1}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}=\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\sigma }{\lambda }\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(\mathrm{1}+\alpha \right)}+\frac{\sigma t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\eta }_{\mathrm{s}}}-At（9）

依据Lemaitre等效应变原理，考虑损伤效应，模型应力可等效为有效应力{\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{f}}=\sigma /(\mathrm{1}-D)，At是常数项，可忽略损伤效应，得到方程

\epsilon =\frac{\sigma }{E_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-D\right)}+\frac{\sigma }{\lambda \left(\mathrm{1}-D\right)}\frac{t^{\alpha }}{\Gamma \left(\mathrm{1}+\alpha \right)}+\frac{\sigma t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\eta }_s\left(\mathrm{1}-D\right)}（10）

4.2　本构模型参数确定及验证

通过拉伸试验机得到应力-应变曲线，如图10所示。E₁根据胡克定律通过曲线线性拟合得到。

\lambda ,{\eta }_{\mathrm{s}},\nu ,\alpha ,A均采用数学软件MATLAB基于BFGS算法求解，BFGS法相较于梯度下降法，具有较好的全局收敛性和迭代效率，主要用于求解无约束优化问题，对于非光滑的函数也具有较好的稳定性。BFGS算法的目标是在每一步迭代中，通过逐步改进的拟合二阶导数信息（即Hessian矩阵的逆的近似）寻找函数的局部极小点。模型参数见表7。

将不同侧限作用下泊松比代入式（4）中可得损伤变量D随着时间发展的曲线，如图11所示。

从图11可以看出：不同侧限作用下土工格栅损伤发展在前期较快，呈指数增长，后期损伤变量趋近于1。总体而言，土工格栅在侧限作用下蠕变累积损伤存在1个极限值，在时间超过某一阈值后损伤发展稳定，土工格栅内部微缺陷大量发育乃至部分贯通。随着侧限作用的增大，损伤有所增大，当侧限作用从50 kPa增大至200 kPa时，趋于稳定时间增加，损伤变量降幅43.3%。

4.3　参数敏感性分析

由模型参数求解结果可以得到不同侧限作用下各个参数均发生变化，现对分数阶模型方程中影响土工格栅蠕变的主要参数泊松比\nu、非线性阻尼器中黏滞系数{\eta }_{\mathrm{s}}和软体元件黏滞系数\lambda进行分析，得到参数变化规律。不同泊松比和黏滞系数的变化对蠕变特性的影响如图12—图14所示。

从图12可以看出：在50，100，150和200 kPa侧限作用下，应变随着泊松比增加急剧增长，速率由小变大。这是因为泊松比是反映材料横向变形的弹性常数，描述了材料在加载时的体积变化情况，较高的泊松比意味着材料在受力时更容易发生侧向膨胀而纵向收缩。由于HDPE土工格栅是一种具有高分子链状结构的塑料材料，其分子结构决定了其具有较高的弹性模量，当泊松比增加时，分子链之间柔性和移动性也随之增加。在蠕变过程中，材料泊松比为0.3~0.5附近时与试验结果拟合度最高，在316 h以后，试验应变趋于稳定，反映出格栅在衰减及稳态蠕变阶段损伤发展较为平稳。侧限作用下后期损伤D趋于稳定，当应力比较高时，应变速率增加，出现加速蠕变阶段。

从图13可以看出：在50，100，150和200 kPa侧限作用下，当黏滞系数小于1 000时，应变-时间曲线变化较明显，且随着黏滞系数的增大，曲线斜率减小。其原因在于HDPE土工格栅是由碳原子组成的长链子分子，分子间通过共价键连接，并在其侧链上具有相互作用。在黏滞系数较低时，分子间相互作用较弱，分子链可以更自由地滑动和变形。随着黏滞系数的增大，分子链结晶度有序增加，刚度有所提高。当侧限作用较小时，更贴近拟合结果，模型方程适用于瞬时蠕变和稳态蠕变2个阶段。

由图14可以得到：随着软体元件黏滞系数的增大，应变-时间曲线斜率逐渐减小；随着侧限作用的增大，黏滞系数\lambda呈现出非线性降低的趋势，且敏感性降低。其原因在于侧限作用会增大土体与土工格栅之间的摩擦力，分子链的运动受到限制，分子间作用力如范德华健、氢健等减弱。能量耗散机制逐渐转变为通过分子链的局部变形、键角和键长的微小变化以及分子链之间的局部摩擦实现。

5 结论

（1）不同侧限作用下的土工格栅蠕变应变-时间曲线趋势基本相同。在相同应力比下，随着侧限作用的增大，土工格栅的最终蠕变应变随之减小，应变-时间曲线斜率也有所减小。当侧限作用从50 kPa增至200 kPa时，曲线最终斜率由1.19降至0.83，降幅为30.2%。

（2）土工格栅蠕变过程中横肋应变较小，纵肋中间部位应变较大，纵肋靠近横肋的部分应变较小。当侧限作用由50 kPa增至200 kPa时，最大应力降幅为2.29%，最大应变降幅为38.6%。

（3）考虑时效损伤的分数阶本构模型具有较高的实用性，当侧限作用从50 kPa增加至200 kPa时，损伤与侧限作用呈负相关，参数η_s对瞬时变形无影响，主要影响稳态阶段和加速蠕变阶段的应变及速率。方程在蠕变瞬时和稳态2个阶段拟合度高，侧限作用下土工格栅损伤变量前期指数增长后期趋于平缓，当侧限作用从50 kPa增大至200 kPa时，损伤变量降幅43.3%。

参考文献

[1] 牛笑笛，杨广庆，周诗广，等.铁路新型整体刚性面板加筋土挡墙现场试验研究［J］.中国铁道科学，2020，41（5）：1-10.

[2] NIU Xiaodi， YANG Guangqing， ZHOU Shiguang， et al. Field Test Study on a New Type of Reinforced Retaining Wall with Full-Height Rigid Facing for Railway ［J］. China Railway Science， 2020， 41 （5）： 1-10. in Chinese

[3] 刘夏冰，贺少辉，汪大海，等.浅埋超大跨四线高铁隧道施工期初期支护体系的力学特性［J］.中国铁道科学，2021，42（6）：90-102.

[4] LIU Xiabing， HE Shaohui， WANG Dahai， et al. Mechanical Characteristics of Primary Support System at Construction Phase in Shallow-Buried Super-Large-Span Four-Line High-Speed Railway Tunnel ［J］. China Railway Science， 2021， 42 （6）： 90-102. in Chinese

[5] 余文颖，徐旸，张景昱，等.基于离散元-有限差分耦合方法的格栅加筋道砟力学性能分析［J］.中国铁道科学，2024，45（4）：40-47.

[6] YU Wenying， XU Yang， ZHANG Jingyu， et al. Study on the Mechanical Properties of Geogrid-Reinforced Ballast Based on DEM-FDM Coupling Method ［J］. China Railway Science， 2024， 45 （4）： 40-47. in Chinese

[7] 邓友生，李文杰，张克钦，等.刚度差异桩组合桩网结构路基承载特性［J］.中国铁道科学，2024，45（1）：26-35.

[8] DENG Yousheng， LI Wenjie， ZHANG Keqin， et al. Bearing Characteristics of Composite Pile-Net Structure Subgrade with Varied Pile Stiffness ［J］. China Railway Science， 2024， 45 （1）： 26-35. in Chinese

[9] YANG C， XU X， YUE M， et al. Dynamic Response and Damage of Pile-Geogrid Composite Reinforced High-Speed Railway Subgrade under Seismic Actions ［J］. Geotextiles and Geomembranes， 2024， 52 （6）： 1207-1221.

[10] 周志刚，李雨舟.土工格栅蠕变特性及其黏弹塑性损伤本构模型研究［J］.岩土工程学报，2011，33（12）：1943-1949.

[11] ZHOU Zhigang， LI Yuzhou. Creep Properties and Viscoelastic-Plastic-Damaged Constitutive Model of Geogrid ［J］. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2011， 33 （12）： 1943-1949. in Chinese

[12] 中华人民共和国铁道部. TB 10118—2006 铁路路基土工合成材料应用设计规范 ［S］.北京：中国铁道出版社，2006.

[13] Ministry of Railways of the People’s Republic of China. TB 10118—2006 Code for Design for Applications of Geosynthetics on Subgrade of Railway ［S］. Beijing： China Railway Press， 2006. in Chinese ）

[14] 丁金华，周武华.HDPE土工格栅在有约束条件下的蠕变特性试验［J］.长江科学院院报，2012，29（4）：49-51，56.

[15] DING Jinhua， ZHOU Wuhua. Creep Property of HDPE Geogrid with Sand Confinement ［J］. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute， 2012， 29 （4）： 49-51， 56. in Chinese

[16] 张震，朱铎义，薛炳春.侧限荷载和温度对PE-HD土工格栅蠕变特性的影响［J］.工程塑料应用，2014，42（6）：83-87.

[17] ZHANG Zhen， ZHU Duoyi， XUE Bingchun. Influence of Confined Load and Temperature on Creep Characteristics of PE-HD Geogrids ［J］. Engineering Plastics Application， 2014， 42 （6）： 83-87. in Chinese

[18] 张震，魏红卫.确定蠕变折减系数的侧限时温叠加蠕变试验研究［J］.岩石力学与工程学报，2015，34（增1）：2715-2720.

[19] ZHANG Zhen， WEI Hongwei. Time-Temperature Superposition Creep Tests on Geogrids Considered with Confined Load to Determine Creep Reduction Factor ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2015， 34 （）： 2715-2720. in Chinese

[20] REN Guoqing， CHEN Baoguo， SONG Dingbao， et al. Long-Term Stress Characteristics of a Box Culvert with a Load Reduction System Using Geogrids and EPS under High Fill ［J］. Computers and Geotechnics， 2024， 172： 106486.

[21] YANG G， LI Q， WANG Z， et al. Evaluation of in-Soil Creep Characteristics of HDPE Geogrid Using the Time-Stress Superposition Method ［J］. International Journal of Materials and Product Technology， 2022， 65 （3）： 224-234.

[22] MARX D H， KUMAR K， ZORNBERG J G. Quantification of Geogrid Lateral Restraint Using Transparent Sand and Deep Learning-Based Image Segmentation ［J］. Geotextiles and Geomembranes， 2023， 51 （5）： 53-69.

[23] 王家全，黄文勤，张亮亮，等.砂土侧限下土工合成材料拉伸试验离散元模拟［J］.广西大学学报（自然科学版），2018，43（4）：1482-1489.

[24] WANG Jiaquan， HUANG Wenqin， ZHANG Liangliang， et al. Discrete Element Simulation of Tensile Test of Geosynthetics Subjected to Lateral Confinement ［J］. Journal of Guangxi University （Natural Science Edition）， 2018， 43 （4）：1482-1489. in Chinese

[25] ZOU C， WANG Y， LIN J， et al. Creep Behaviors and Constitutive Model for High Density Polyethylene Geogrid and Its Application to Reinforced Soil Retaining Wall on Soft Soil Foundation ［J］. Construction and Building Materials， 2016， 114： 763-771.

[26] LI F， PENG F， TAN Y， et al. FE Simulation of Viscous Behavior of Geogrid-Reinforced Sand under Laboratory-Scale Plane-Strain-Compression Testing ［J］. Geotextiles and Geomembranes， 2012， 31： 72-80.

[27] 杨广庆，靳静，周诗广，等.高速铁路加筋土挡墙土工格栅蠕变损伤本构模型研究［J］.铁道学报，2019，41（3）：155-162.

[28] YANG Guangqing， JIN Jing， ZHOU Shiguang， et al. Study on Constitutive Model of Creep Damage of Geogrids for Reinforced Retaining Wall for High-Speed Railway ［J］. Journal of the China Railway Society， 2019， 41 （3）： 155-162. in Chinese

[29] DU C B， NIU B， YI F， et al. Viscoelastic-Plastic Constitutive Model for the Creep and Stress Relaxation Characteristics of a Geogrid ［J］. Arabian Journal of Geosciences， 2022， 15 （3）： 1-10.

[30] 易富，杜常博，李军，等.黏弹塑性土工格栅加筋尾矿流变模型研究［J］.土木与环境工程学报：中英文，2019，41（6）：52-60.

[31] YI Fu， DU Changbo， LI Jun， et al. Research on Rheological Model of Tailings Reinforced by Viscoelasto-Plastic Geogrids ［J］. Journal of Civil and Environmental Engineering， 2019， 41 （6）： 52-60. in Chinese

[32] MA Q， SHU H， XIAO H L， et al. Effect of Concrete Particles Confinement on the Creep Behaviour of Scrap Tire Strips and Geogrid ［J］. Construction and Building Materials， 2021， 291 （2）： 123331.

[33] YUAN L Y， HU M C， XU J， et al. Experimental Research on the Creep Behavior of the Interface of Compacted Loess and High-Density Polyethylene Geogrid ［J］. Buildings， 2023， 13 （5）： 1353.

[34] 中华人民共和国建设部. GB/T 50145—2007 土的工程分类标准 ［S］.北京：中国计划出版社，2008.

[35] Ministry of Construction of the People’s Republic of China. GB/T 50145—2007 Standard for Engineering Classification of Soil ［S］. Beijing： China Planning Press， 2008. in Chinese ）

[36] LEMAITRE J. A Continuous Damage Mechanics Model for Ductile Fracture ［J］. Journal of Engineering Materials and Technology， 1985， 107 （1）： 83-89.

[37] DIETHELM K， FORD J N. Analysis of Fractional Differential Equations ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2002， 265 （2）： 229-248.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(52079078)

河北省高等学校科学研究基金资助项目(QN2020413)

河北科技大学博士基金资助项目(1181482)