突发大客流情况下的城轨列车加开运行调整方法

Timetable Rescheduling Method of Additional Urban Rail Trains under Sudden Large Passenger Flow

摘要

针对城市轨道交通突发大客流场景下的列车加开运行调整问题，基于事件-活动网络理论，构建以最小化滞留乘客数和车底运用数量为目标的列车加开运行调整优化模型，并综合考虑列车运行安全间隔、折返接续和满载率等实际运营约束。在模型线性化的基础上，先采用鲁棒优化方法处理客流不确定性，再采用基于模型预测控制的滚动时域优化算法，实现模型的快速迭代求解。依托深圳地铁11号线实际运营数据设置算例，开展仿真实证研究。结果表明：在客流波动较大的条件下，所提方法在保障求解精度的同时可显著提升计算效率，其中鲁棒控制参数取值为4~6时模型表现最优，相对误差控制在3%以内，计算时间平均缩短49.77%；所用滚动时域算法在持续时间不确定的场景下仍具良好适应性与求解稳定性。该方法可为城市轨道交通突发大客流下的列车加开调度提供决策支持，并为未来智能化调度系统的构建提供理论与方法支撑。

Abstract

To address the problem of timetable rescheduling for additional trains under scenes of sudden large passenger flow in urban rail transit, an optimization model of timetable rescheduling for additional trains based on the event-activity network theory is constructed, aiming at minimizing both the number of stranded passengers and the number of rolling stock in operation. Moreover, the model gives overall consideration on the practical operational constraints such as safety running intervals, turn-back connections, and vehicle load limits. On the basis of model linearization, a robust optimization approach is employed to handle passenger flow uncertainty, and a rolling horizon optimization algorithm based on model predictive control is designed to enable efficient iterative solution of the model. Taking field operation data from Shenzhen Metro Line 11 as an example, simulation experiments are conducted to validate the proposed approach. The results show that under the condition of large fluctuations of passenger flow, the proposed method can guarantee the solution accuracy while significantly improving computational efficiency. In particular, the model performs optimally when the robustness control parameter is set between 4-6, controlling relative errors within 3% and reducing average computation time by 49.77%. Furthermore, the rolling horizon algorithm demonstrates good adaptability and solution stability under uncertain durations. The method provides decision-making support for additional trains rescheduling under sudden large passenger flow in urban rail transit and offers theoretical and methodological foundations for the establishment of intelligent dispatching systems in the future.

Graphical abstract

关键词

城市轨道交通 / 突发大客流 / 列车加开 / 鲁棒优化 / 滚动时域优化

Key words

Urban rail transit / Sudden large passenger flow / Additional trains / Robust optimization / Rolling horizon optimization

我国多个城市的轨道交通系统正逐步迈进网络化运营阶段^［1］，受多重因素的交织影响，其运输组织工作所呈现出的动态复杂性特征正在愈加显著^［2］。特别是线网规模的持续扩张，会造成突发大客流事件发生频率的明显提升，对运营组织提出更加严峻的挑战。当列车在运行过程中发生事故、设备故障等不可预见的突发事件时，极易引发网络运力短时短缺与客流异常聚集等连锁反应，此时运营部门需立即启动运行调整预案，通过动态实施列车加开、交路安排优化等组合调度策略提升系统应急运力，以保障路网运行秩序和乘客出行服务质量。需要特别指出的是，临时加开列车将不可避免地对既定运行图及车辆周转计划^［3］形成干扰。因此，在有限运输资源约束下，如何基于既有运行图构建科学的列车加开决策机制，实现运输能力与大客流需求的动态匹配，已成为我国城市轨道交通应急管理领域亟待解决的关键问题。该问题具有重要的理论价值与实践意义。

现有列车运行调整研究主要可分为2类：一类是针对突发事件的实时运行调整，侧重于通过调度策略减少干扰，确保列车尽快恢复按图运行^［4］；另一类是针对突发事件引发的突发大客流，通过加开列车等运力增强措施满足客流需求变化^［5］。这2类调整均存在明确的因果关系，即突发事件可能导致客流时空分布异常，进而需要采取差异化的应对策略。列车加开是运力调整的重要手段，其理论研究始于Burdett等^［6］提出的在既有运行图中新增运行线的方法，之后这一研究方法逐渐受到国内外学者的关注^［7］。后续研究主要沿两个方向展开：一是针对突发事件本身，从影响程度^［8］、信息确定性^［9］等角度研究运行调整问题；二是聚焦于列车加开问题，在基本计划编制^［10］和日班计划编制^［11］等问题的不同阶段展开研究。

列车加开已成为我国铁路部门实施“一日一图”精细化管理的重要手段，以有效应对可预知的客流需求变化^［12］。学者们针对不同场景开展了深入研究：针对轨道交通可预知大客流，建立了相应的加开决策模型^［13］；面向节假日客流特征，构建了以最大化列车加开数量为目标的整数规划模型^［14］。然而，当前对于列车加开运行调整的研究主要集中在铁路计划编制阶段^［15］和中断情况下^［16-17］的列车运行调整，针对城市轨道交通突发大客流情况下的列车加开运行调整问题的研究相对较少。

在既有研究基础上，学者们进一步发展了多种调度调整策略来应对突发情况。文献［18］提出了一种综合考虑取消列车和加开列车的集成优化模型；文献［19］探讨了包括取消、延迟、改变列车交路以及加开列车等多种调度措施。为处理突发事件持续时间的不确定性，文献［9］将其转化为确定性等价形式的滚动水平2阶段随机规划问题；文献［20］针对单线铁路中断情况，构建了具有补偿机制的随机规划模型；文献［21］针对双线铁路中断情况，构建了3种列车调度策略的混合整数线性规划模型，并采用滚动时域算法处理中断持续时间的不确定性；文献［22］则提出了包含中断时长、临时折返和乘客分配的中断影响模型，同时采用悲观策略和乐观策略对中断时长进行预测。

本文在已有研究基础上，提出了一种应对突发大客流的城轨列车加开运行调整方法。首先采用事件-活动网络对列车运行过程进行形式化描述，并建立相应的列车加开运行调整模型；其次结合运营实际，分析突发大客流事件下客流量的不确定性，利用鲁棒优化方法将其转化为鲁棒对等问题；然后考虑到突发大客流事件持续时间的不确定性，采用滚动时域算法将问题分解为多个阶段以满足实时调整需求；最后通过实际地铁线路数据，设计算例场景并对模型进行验证。

1 问题描述及假设

应对突发大客流事件时，为临时加强线路的运输能力，调度员通常会选择合适的时机加开列车，并对已有的日计划进行相应调整；在大客流事件结束后，还需要将加开的列车下线退出运营，恢复正常运行计划。

应对突发大客流事件的难点在于，此类事件的发生具有不确定性，不仅需要根据实时数据进行合理预测，而且加开列车时必须考虑可用运输资源的客观限制和各类列车运行安全约束条件；此类事件的持续时间也存在不确定性，需要对其进行合理预判，以便在事件结束后尽快恢复原日计划。

为此，将问题描述为：针对突发大客流事件及其表现出的不确定性，在给定线路条件和日计划的基础上，综合考虑列车的实际运行情况和运输资源限制，以最小化乘客滞留人数和加开列车所需车底运用数为优化目标，优化单条线路的列车加开运行调整，从而在确保列车安全运行的前提下，以尽可能低的成本实现运输能力供给与客流需求的匹配，提升突发大客流事件下的应对能力。

结合我国城市轨道交通实际情况，做如下假设。

（1）线路基础设施、车站站场股道布置均已知，不考虑列车在任意车站越行。

（2）上下行列车分线运行且互相不产生影响，不考虑反向行车。

（3）不考虑中途换乘，即乘客均选择可以直达目的地的列车。

（4）不考虑列车检修时间，即所有可用列车均可完成当天任务计划。

（5）不考虑大客流事件造成的列车延误。

2 模型构建

2.1　符号定义

定义如下参数与变量：s_i为第i个车站；S为车站集合，S=\left\{s_{\mathrm{1}},s_{\mathrm{2}},\dots ,s_i\right\}；l_m为第m列列车；L为列车集合，L=\left\{l_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{2}},\dots ,l_m\right\}；L_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}为加开列车集合，L_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}\subset L；e为列车运行事件，包括列车到达和出发这2类基本类型；e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{2}}，e_{\mathrm{3}}和e_{\mathrm{4}}分别为第1，2，3和4个列车运行事件，为事件e的实例；s_e为事件e发生的车站，s_e\in S；l_e为事件e所对应的列车，l_e\in L；E为列车运行事件集合，e\in E；E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}和E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}分别为列车到达和出发事件集合，E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}\subseteq E；E^{\mathrm{o}}为初始运行图中列车到达事件和出发事件集合，E^{\mathrm{o}}\subseteq E；E^{\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{l}}为列车取消事件集合，E^{\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{l}}\subset E；E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}和E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}}分别为列车终到站到达事件和始发站出发事件集合，E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}}\bigcup E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}}\subset E；E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{o}}为从停车场出发上线在车站的列车到达事件集合，E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{o}}\subset E；E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{D}}为下线退出运营进入停车场的列车出发事件集合，E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{D}}\subset E；E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}和E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}分别为列车l_m在车站s_i的列车到达事件和出发事件集合，E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\subseteq E；a为各种列车活动；a_{\mathrm{1}}，a_{\mathrm{2}}分别为第1和第2个活动，为活动a的实例；A为列车运行图中所有列车活动a的集合，a\in A；A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}为区间运行活动集合，A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\subseteq A；A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}，A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}和A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}分别为停站活动、接续活动和通过活动集合，A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\subseteq A；A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{r}}，A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{d}\mathrm{e}}和A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{a}\mathrm{r},\mathrm{a}\mathrm{r}}分别为发到活动、发发活动和到到活动集合，A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{d}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{a}\mathrm{r},\mathrm{a}\mathrm{r}}\subseteq A；A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}和A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}分别为与出发事件和到达事件相关的车底接续活动集合，A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}\subseteq A；A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}为车底退出运营进入停车场的活动集合，A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\subseteq A；A_{\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}}为临时折返活动备选集合，A_{\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}}\subseteq A；A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{s}\mathrm{o}}为从停车场出发上线运营的车底接续活动集合，A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{s}\mathrm{o}}\subseteq A；{\tau }_a^{\mathrm{h}\mathrm{d}}为组成发到、发发和到到活动a的最小间隔时间；{\tau }_a^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}}为区间运行活动a的最小运行时间；{\tau }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}为停站活动a的最小停站时间；{\tau }_a^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}为接续活动a的最小接续时间；n_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}^{\mathrm{o}}和n_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为停车场初始存放车辆和最大可存放车辆的数量；p为大小交路开行比例；{\chi }_{m,i}为列车l_m到达车站s_i时乘客下车比例；n_{m,i}^{\mathrm{上}}和n_{m,i}^{\mathrm{下}}分别为列车l_m在车站s_i上车、下车的乘客数量；n_{m,i}^{\mathrm{未}}为列车l_m离开车站s_i时车站未上车乘客的数量；n_{m,i}^{\mathrm{车}}为列车l_m在车站s_i车上乘客数量；{\lambda }_i为车站s_i的乘客到达率；t_e^{\mathrm{o}}为调整前既有运行图中事件e的发生时刻；t_a^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}为出站时出站活动a加速到巡航速度的加速附加时间；t_a^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}}为进站时进站活动a减速到停车的减速附加时间；M_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}}为单个事件最大允许调整偏移时间；M_{\mathrm{1}}和M_{\mathrm{2}}均为足够大的正整数，取M_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{440}^［8］，M_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{M}_{\mathrm{1}}；t_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}}和t_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}分别为允许插入加开列车的最早和最晚时刻；t_{\mathrm{1}}为控制时域的开始时刻；t_e^{\mathrm{r}}为调整后事件e的发生时刻；\pi为线路的车辆段/停车场/车站存车线；\Phi为线路的车辆段/停车场/车站存车线集合，\pi \in \Phi；s_{\pi }为停车场\pi的连接车站；T_{m-\mathrm{1},m}为从前序列车l_{m-\mathrm{1}}离开车站到后序列车l_m到达车站的时间；t_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}和t_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}分别为列车l_m在车站s_i的到达、出发时刻；C为列车定员人数；f为列车允许的最大满载率。

定义如下0-1变量：{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}为停站活动a是否停站，停站时取值为1，否则取值为0；{\sigma }_e为事件e是否取消，取消时取值为1，否则取值为0；o_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}为事件e_{\mathrm{1}}和事件e_{\mathrm{2}}的发生顺序，事件e_{\mathrm{1}}先于事件e_{\mathrm{2}}发生时取值为1，否则取值为0；c_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}为事件e_{\mathrm{2}}与事件e_{\mathrm{1}}是否产生股道占用冲突，产生占用冲突时取值为1，否则取值为0；{\delta }_m为列车l_m的交路开行情况，开行小交路时取值为0，否则取值为1；{\sigma }_e^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}为列车l_e是否选择在车站s_e进行临时折返，临时折返时取值为1，否则取值为0；{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}为是否选择在接续折返活动a所对应的车站执行接续折返作业，执行接续折返时取值为1，否则取值为0；d_e为事件e所对应列车的运行方向，上行时取值为0，下行时取值为1；d_{l_{\mathrm{m}}}为列车l_{\mathrm{m}}的运行方向，上行时取值为0，下行时取值为1。

2.2　模型描述

为了便于研究，采用事件-活动网络（Event-Activity Network，EAN）描述城轨列车运行过程。事件-活动网络N=（E，A）是由事件集E和活动集A构成的有向无环图。其中，事件集E对应于列车运行图中所有列车事件的集合，活动集A对应于列车运行图中所有列车活动a集合。一个典型的列车运行的事件-活动网络如图1所示。首先，列车运行事件包括两类基本类型：当列车l_{\mathrm{1}}从s_{\mathrm{1}}站出发时，记为出发事件e\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}；当该列车l_{\mathrm{1}}运行到s_{\mathrm{2}}站时，则产生到达事件e\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}。这两类基本事件通过运行活动相互关联，并将s_{\mathrm{1}}站至s_{\mathrm{2}}站间的列车运行过程定义为区间运行活动a\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}。其次，列车在车站的作业体现为不同的活动类型：列车l_{\mathrm{1}}在s_{\mathrm{2}}站的停站构成停站活动a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}；当列车l_{\mathrm{1}}到达终点站s_{\mathrm{3}}完成折返作业后，与后续列车l_{\mathrm{4}}的衔接形成接续活动a\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}。特别地，对于通过车站s_{\mathrm{2}}的列车l_{\mathrm{4}}，其运行过程可分解为到达事件e\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}、出发事件e\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}以及通过活动a\in A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}。

由图1可以看出，在事件-活动网络中，各种列车活动通过有向弧的连接关系，能够清晰地表达不同列车事件之间的时序逻辑关系。为此以\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}(a)为活动a的起始事件，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}(a)为活动a所指向的终止事件。

2.3　目标函数

针对突发大客流事件引发的客流量和持续时间不确定性，采用鲁棒优化方法进行列车加开调整，以实现运力与客流需求的匹配。构建目标函数时，首先考虑客流事件的不确定性，由于乘客到达随机，以最小化滞留乘客人数作为第1个优化子目标z_{\mathrm{1}}，即

z_{\mathrm{1}}=\sum _{s_i\in S}\sum _{l_m\in L}{n}_{m,i}^{\mathrm{未}}（1）

式（1）直接体现了列车加开调整对客流随机性的响应，并通过对客流不确定性的分析和预测，使模型更好地适应实际运营中的客流变化，减少突发事件对城轨体系的影响。

在运营阶段，受限于可用车底的数量，从企业运营成本角度出发，以最小化加开列车所需的车底运用数量作为第2个优化子目标z_{\mathrm{2}}，即

z_{\mathrm{2}}=\sum _{\pi \in \Phi }\sum _{a\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{s}\mathrm{o}}}{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}（2）

通过式（2），模型不仅考虑了运力提升的必要性，还平衡了资源使用和运营成本。这一子目标能够确保系统鲁棒性的同时，提高运营效率，降低不确定条件下的运营风险。

同时考虑上述2个优化目标，采用线性加权法将其综合表示为1个优化目标z，即

z={\omega }_{\mathrm{1}}\frac{{\overline{z}}_{\mathrm{1}}-{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\frac{z_{\mathrm{2}}-z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}（3）

其中，

{\omega }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}

式中：{\omega }_{\mathrm{1}}和{\omega }_{\mathrm{2}}分别为2个优化目标的权重系数，取值取决于模型实际运用时各子目标的相对重要程度；{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}，z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}和z_{\mathrm{2}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别为子目标z_{\mathrm{1}}和z_{\mathrm{2}}的最大和最小值，可通过对单目标函数进行多次求解后取最优值。

2.4　约束条件

为保证列车运行安全，建模时须考虑运营时间限制、列车运行时间及间隔、站停时间、列车延误、列车到发时间、车站能力、折返时间间隔、可用车底数量和列车满载率等方面的约束。

1）列车运行安全约束

为保证乘客安全乘降，列车停站须满足最小停站时间约束，有

t_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\forall a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（4）

当列车取消停站时，通过式（4）和式（5）共同确保停站时间为0。

t_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}}\le M_{\mathrm{1}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\forall a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（5）

为保证列车区间运行时间不能小于考虑起停附加时分后的区间最小运行时间，有

\begin{array}{l}{t}_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_{a_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}}+{\sigma }_{a_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{s}\mathrm{p}}{t}_{a_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}+{\sigma }_{a_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{s}\mathrm{p}}{t}_{a_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{c}}\\ \forall a_{\mathrm{1}}\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}},a_{\mathrm{2}}\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}},a_{\mathrm{3}}\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（6）

对于在同一方向运行的追踪列车，其到站间隔时间和出发间隔时间也必须满足最小到达间隔时间和最小出发间隔时间约束，即

t_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_a^{\mathrm{h}\mathrm{d}}\forall a\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{d}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{a}\mathrm{r},\mathrm{a}\mathrm{r}}（7）

目前我国城市轨道交通体系大多采用单向双线形式，正常情况下，列车只能在折返区进行折返，无法在区间越行。为确保列车在区间不会越行，有

\begin{array}{l}{o}_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=o_{e_{\mathrm{3}},e_{\mathrm{4}}}\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{d}\mathrm{e}},\left(e_{\mathrm{3}},e_{\mathrm{4}}\right)\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{a}\mathrm{r},\mathrm{a}\mathrm{r}},\\ \left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{3}}\right)\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}},\left(e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{4}}\right)\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\end{array}（8）

同样地，在同一车站相同方向运行的任意2列列车，从车站出发和到达车站必然存在先后顺序，即

o_{e_{\mathrm{2}},e_{\mathrm{1}}}+o_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{a}\mathrm{r},\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{d}\mathrm{e}}（9）

式（8）和式（9）共同保证了列车在区间和车站均不会越行。

2）列车加开对已有运行图影响约束

通常，我国城市轨道交通采用公交化运营方式，因此乘客更加关注站台等候时间，而对列车是否按图定时间运行不太敏感。在早晚高峰时间段，若加开列车无法满足到发间隔约束，则应根据需要，调整加开列车前、后序列车的到发时间。为尽量避免加开列车对既有运行图中单一列车到发时间进行大范围调整，插入加开列车时应对既有运行图的调整范围进行约束，即

-M_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}}\le t_e^{\mathrm{r}}-t_e^{\mathrm{o}}\le M_{\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}}\forall e\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}\bigcup E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}（10）

3）车站容量约束

我国城市轨道交通线路的车站股道配置数量较少，一般情况下，只在始发站、终到站以及少量中间车站会设置折返股道。列车到达车站停车或通过不停车都需要占用车站的股道。因此，必须为每一列到站列车分配一个股道，确保各列列车到达车站时，其运行方向至少有一个股道是空闲可用的，即当加开列车在车站的到达事件发生在已有列车到达事件之前，不会产生股道占用冲突，有

c_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=\mathrm{0}{o}_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=\mathrm{0},e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}},s_{e_{\mathrm{1}}}=s_{e_{\mathrm{2}}},l_{e_{\mathrm{1}}}\ne l_{e_{\mathrm{2}}}（11）

当加开列车在车站的到达事件发生在列车到达事件之后，加开列车必须满足列车最小出发到达间隔约束，有

\begin{array}{l}{t}_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_a^{\mathrm{h}\mathrm{d}}-M_{\mathrm{1}}{c}_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}{e}_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}},e_{\mathrm{3}}\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}},\\ o_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{1}}\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{r}},a_{\mathrm{2}}\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\end{array}（12）

\begin{array}{l}{t}_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{r}}\le {\tau }_a^{\mathrm{h}\mathrm{d}}+M_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-c_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}\right)e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}},e_{\mathrm{3}}\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}},\\ o_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{1}}\in A_{\mathrm{h}\mathrm{d}}^{\mathrm{d}\mathrm{e},\mathrm{a}\mathrm{r}},a_{\mathrm{2}}\in A_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\end{array}（13）

城市轨道交通车站每个运行方向只有1个站台股道，为确保各列列车到达车站时至少有1条可用股道，有

\sum _e{c}_{e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}}\le \mathrm{0}{e}_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}},s_{e_{\mathrm{1}}}=s_{e_{\mathrm{2}}},l_{e_{\mathrm{1}}}\ne l_{e_{\mathrm{2}}}（14）

4）加开列车时间窗口约束

加开的列车须安排在客流波动发生之前或发生波动后的一段时间内。因此，应保证加开的列车在指定的时间窗口插入，即

t_e^{\mathrm{r}}\ge t_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}}-M_{\mathrm{1}}{\sigma }_e\forall e\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}},l_e\in L_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}（15）

t_e^{\mathrm{r}}\le t_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}+M_{\mathrm{1}}{\sigma }_e\forall e\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}},l_e\in L_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}}（16）

5）折返接续约束

如果列车在始发站未被取消，那么必须为该列车分配车底，则该列车在始发站必须有且只有1个接续活动；如果列车被取消，那么该列车在始发站不会存在接续活动，即

\sum _a{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}+{\sigma }_e=\mathrm{1}e\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}},a\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}},\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\left(a\right)=e（17）

当列车到达终到站后，如果列车未被取消，那么到终到站后车底会存在2种可能，一是继续出发，担当其他列车的运输任务，二是结束运行，下线并进入车辆段/停车场或停在临时存车线上，这意味着该列车在终到站必须有且只有1个接续活动；如果列车被取消，那么在终到站则不会存在接续活动，即

\sum _a{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}+{\sigma }_e=\mathrm{1}e\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}},a\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}},\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(a\right)=e（18）

式（17）和式（18）定义了具有列车接续关系的2列列车的车辆配备约束。

除了接续列车条件，2列列车接续时还需要保证所在接续车站具备折返条件，满足接续站的最小接续时间要求，即

t_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_a^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-M_{\mathrm{1}}{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}a\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}（19）

6）可用车底数量限制约束

车底资源通常是有限的。加开列车时需要分配合适的车底担当列车任务，满足停车场配备车辆数量限制。任一停车场/车站存车线出发上线的车辆数不能超过可用车辆数量，即

\begin{array}{l}\sum _{a_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{a_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-\sum _{a_{\mathrm{2}}}{\sigma }_{a_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}\le n_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}^{\mathrm{o}}\forall \pi \in \Phi |e_{\mathrm{1}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{o}},\\ a_{\mathrm{1}}\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{s}\mathrm{o}},s_{e_{\mathrm{1}}}=s_{\pi },\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(a_{\mathrm{1}}\right)=e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{D}},\\ a_{\mathrm{2}}\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}},s_{e_{\mathrm{2}}}=s_{\pi },\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\left(a_{\mathrm{2}}\right)=e_{\mathrm{2}}\end{array}（20）

同样地，由于停车场特别是车站存车线的容量限制，当需要下线部分列车进入停车场或者车站的临时存车线时，停车场/车站存车线的停放数量不能超过容量限制。为确保当停车场/车站无空余可用存车线时，列车无法再进入，有

\begin{array}{l}\sum _{a_{\mathrm{2}}}{\sigma }_{a_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-\sum _{a_{\mathrm{1}}}{\sigma }_{a_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}\le N_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-n_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}}^{\mathrm{o}}\forall \pi \in \Phi |e_{\mathrm{1}}\in E_{\mathrm{a}\mathrm{r}}^{\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{o}},\\ a_{\mathrm{1}}\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{s}\mathrm{o}},s_{e_{\mathrm{1}}}=s_{\pi },\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(a_{\mathrm{1}}\right)=e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\in E_{\mathrm{d}\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{D}},\\ a_{\mathrm{2}}\in A_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p},\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}},s_{e_{\mathrm{2}}}=s_{\pi },\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\left(a_{\mathrm{2}}\right)=e_{\mathrm{2}}\end{array}（21）

7）大小交路开行比例约束

受到高峰时段开行密度高、加开列车数量少等实际情况的限制，若目标线路采用大小交路方式加开列车，则很难确保所有大小交路列车都能在加开列车的时间窗口内成比例运行。因此，从加开列车采用小交路形式，并从小交路加开列车与其相邻的前后序大交路列车之间的比例关系入手，对加开时间窗口内的开行比例进行约束，有

\sum _{j-p\le m\le j}{\delta }_m=p\forall l_j\in L_{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{d}},d_{l_m}=d_{l_j},l_m\in L,j>p（22）

若目标线路采用单一交路运营方式，则不需要考虑式（22）的约束条件。

8）列车满载率约束

突发大客流事件的引发原因多种多样，乘客到达车站的时间及车站的客流数量通常缺乏普遍规律，难以用概率分布的方法进行描述。实际运营中，一般根据运营经验和实时客流状态等信息，人为判定乘客到达率变化的大致范围，即相邻2列列车的出发到达时间内，车站s_i的乘客到达数量n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}为

n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}={\displaystyle \underset{t_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}}{\overset{t_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}}{\int }}}{\lambda }_i\mathrm{d}t\forall s_i\in S,l_m\in L（23）

乘客到达车站后在站台排队候车，在正常情况时遵循“先下后上”“先到先上”的排队上车原则，因此在始发站上车的乘客数量n_{m,i}^{\mathrm{上}}为

\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{上}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n_{t,m,\mathrm{1}}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1,1}}^{\mathrm{未}},Cf+n_{m,i}^{\mathrm{下}}\right){\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ \forall l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（24）

列车自始发站，到达其他所有车站后上车的乘客数量n_{m,i}^{\mathrm{上}}为

\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{上}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}},Cf+n_{m,i}^{\mathrm{下}}-{n_{m,i}^{\mathrm{车}}}_{-\mathrm{1}}\right){\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ \forall s_i\in S/\left\{s_{\mathrm{1}}\right\},l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（25）

突发大客流情况下的运输能力供给难以及时满足客流量需求，会有部分乘客因车辆容量限制无法上车滞留在车站列车在车站停站上客后重新出发时，车站的滞留乘客数量n_{m,i}^{\mathrm{未}}为

\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{未}}=\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right){\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\forall s_i\in S,l_m\in L,\\ a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（26）

列车从始发站出发时的车上乘客数量n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}为

n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}=n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\forall l_m\in L（27）

列车从始发站出发后，在其他所有车站停站再出发时车上的乘客数量n_{m,i}^{\mathrm{车}}为

n_{m,i}^{\mathrm{车}}=n_{m,i}^{\mathrm{上}}+n_{m,i-\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}-n_{m,i}^{\mathrm{下}}\forall s_i\in S/\left\{s_{\mathrm{1}}\right\},l_m\in L（28）

列车从始发站出发后，到达其他所有车站下车的乘客数量n_{m,i}^{\mathrm{下}}为

\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{下}}=n_{m,i-\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}{\chi }_{m,i}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\forall s_i\in S/\left\{s_{\mathrm{1}}\right\},l_m\in L,\\ a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（29）

在始发站时下车的乘客数量为0，即

n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}=\mathrm{0}\forall l_m\in L（30）

9）列车临时折返约束

突发大客流事件的发生时间和地点均难以提前预知，无法保证备用车底停放位置能够即时满足加开列车的车底使用需求。因此，需要对既有日计划中的部分列车运行交路进行调整，以获得列车加开运行调整的最优解。

若列车在车站不进行临时折返，为确保列车在车站的到达事件和出发事件同时取消或保留，有

{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}\le \mathrm{0}{e}_{\mathrm{1}}\in E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（31）

{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}+{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}\ge \mathrm{0}{e}_{\mathrm{1}}\in E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（32）

若列车在车站进行临时折返，为确保出发事件被取消，有

{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}\le \mathrm{0}{e}_{\mathrm{1}}\in E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（33）

若列车在车站进行临时折返，则必然在临时折返活动备选集合中选择且仅选择一个临时折返活动，即

\begin{array}{l}\sum _a{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}={\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}{e}_{\mathrm{1}}\in E_{m,i}^{\mathrm{a}\mathrm{r}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}},\\ a\in A_{\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}},\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}(a)=e_{\mathrm{1}}\end{array}（34）

式（31）—（34）共同对列车在车站的到达事件和出发事件的一致性进行约束。

同样地，还需对接续列车在车站的到发事件的一致性以及临时折返活动选择的唯一性进行约束，见式（35）—式（38）。

{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}\ge \mathrm{0}{e}_{\mathrm{2}}\in E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（35）

\begin{array}{l}{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}+{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}\ge \mathrm{0}{e}_{\mathrm{2}}\in E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}},\\ \left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（36）

{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}\le \mathrm{0}{e}_{\mathrm{2}}\in E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}（37）

\begin{array}{l}\sum _a{\sigma }_a^{\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}}={\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}-{\sigma }_{e_{\mathrm{2}}}{e}_{\mathrm{2}}\in E_{m,i}^{\mathrm{d}\mathrm{e}},\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right)\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}},\\ a\in A_{\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}},\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{i}(a)=e_{\mathrm{2}}\end{array}（38）

列车进行临时折返时，也必须满足最小折返间隔时间约束，即

t_{e_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{r}}-t_{e_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{r}}\ge {\tau }_a^{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}}-M_{\mathrm{1}}{\sigma }_{e_{\mathrm{1}}}a=\left(e_{\mathrm{1}},e_{\mathrm{2}}\right),a\in A_{\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}}（39）

10）列车取消约束

为确保正常运行的列车满足所有时间约束，将取消的列车行程事件时间安排到运营结束之后，有

t_e^{\mathrm{r}}=t_e^{\mathrm{o}}+{\sigma }_e{M}_{\mathrm{2}}\forall e\in E^{\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{l}}（40）

然而，在列车加开运行调整时，只能对调整控制时段内的列车进行取消和调整。对于已经在调整控制时段之前出发的列车，不能取消其行程；对于调整控制时段之前的列车到发事件，也不可调整，均需按原计划执行，即

（41）

（42）

3 求解算法

突发大客流事件发生时，客流量及其持续时间均不确定；随着时间的推移，事件相关信息不断更新，对客流量及其持续时间的预估也会相应更新。对于客流量的不确定性，可以基于实时客流监测数据，采用鲁棒优化方法构造不确定集，从而将客流扰动转化并描述为乘客到达率在某一区间范围的波动，同时通过设置鲁棒控制系数调整解的鲁棒保护水平。对于事件持续时间的不确定性，可以采用滚动时域优化算法，将持续时间的不确定问题转化为确定问题，并根据信息更新设置控制步长逐步进行迭代调整。

3.1　模型的线性化

上述模型中存在2类非线性项：一类是含有0-1变量与连续变量的乘积形式非线性等式项，如式（26）和式（29）；另一类是除包含0-1变量与连续变量的乘积形式的非线性项外，还包含最小化函数的非线性项，如式（24）和式（25）。

为了有效地求解模型，采用大M法将式（26）和式（29）分别进行线性化处理，有

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{未}}\le \left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)-\\ {\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\end{array}\\ \begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{未}}\ge \left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)-\\ {\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\end{array}\\ n_{m,i}^{\mathrm{未}}\le {\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ n_{m,i}^{\mathrm{未}}\ge {\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}-n_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\end{array}\right.\\ \forall s_i\in S,l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（43）

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{n}_{m,i}^{\mathrm{下}}\le {\phi }_{m,i-\mathrm{1}}{\chi }_{m,i}-{\left({\phi }_{m,i-\mathrm{1}}{\chi }_{m,i}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,i}^{\mathrm{下}}\ge {\chi }_{m,i}{n_{m,i}^{\mathrm{车}}}_{-\mathrm{1}}-{\left({\chi }_{m,i}{n_{m,i}^{\mathrm{车}}}_{-\mathrm{1}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,i}^{\mathrm{下}}\le {\left({\chi }_{m,i}{n_{m,i}^{\mathrm{车}}}_{-\mathrm{1}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ n_{m,i}^{\mathrm{下}}\ge {\left({\chi }_{m,i}{n_{m,i}^{\mathrm{车}}}_{-\mathrm{1}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\end{array}\right.\\ \forall s_i\in S/\left\{s_{\mathrm{1}}\right\},l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（44）

引入0-1变量u和v，对式（24）和式（25）分别进行线性化，即

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\le n_{t,m,\mathrm{1}}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1,1}}^{\mathrm{未}}\\ {\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\le Cf+n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}\end{array}\\ n_{t,m,\mathrm{1}}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1,1}}^{\mathrm{未}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}-M(\mathrm{1}-u)\\ Cf+n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}-M(\mathrm{1}-v)\\ u+v\ge \mathrm{1}\\ u,v\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\\ n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}-{\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\ge {\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}-{\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\le {\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\ge {\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\end{array}\right.\\ \forall l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（45）

\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\le n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}\\ {\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\le Cf+n_{m,i}^{\mathrm{下}}-n_{m,i-\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}\\ {\kappa }_{t,m,i}^{}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}-M(\mathrm{1}-u)\\ Cf+n_{m,i}^{\mathrm{下}}-n_{m,i-\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}-M(\mathrm{1}-v)\\ u+v\ge \mathrm{1}\\ u,v\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\\ n_{m,i}^{\mathrm{上}}\le {\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}-{\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,i}^{\mathrm{上}}\ge {\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}-{\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathrm{1}-{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}})\\ n_{m,i}^{\mathrm{上}}\le {\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\\ n_{m,i}^{\mathrm{上}}\ge {\left({\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\sigma }_a^{\mathrm{s}\mathrm{p}}\end{array}\right.\\ \forall s_i\in S/\left\{s_{\mathrm{1}}\right\},l_m\in L,a\in A_{\mathrm{d}\mathrm{w}\mathrm{e}}\bigcup A_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{s}}\end{array}（46）

其中，

{\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n_{t,m,i}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1},i}^{\mathrm{未}},Cf+n_{m,i}^{\mathrm{下}}-n_{m,i-\mathrm{1}}^{\mathrm{车}}\right)

{\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(n_{t,m,\mathrm{1}}^{\mathrm{到}}+n_{m-\mathrm{1,1}}^{\mathrm{未}},Cf+n_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{下}}\right)

式中：{\stackrel{̑}{n}}_{m,i}^{\mathrm{上}}和{\stackrel{̑}{n}}_{m,\mathrm{1}}^{\mathrm{上}}均为辅助变量；{\left(·\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和{\left(·\right)}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为变量的下界和上界。

3.2　鲁棒对等转化

鲁棒优化是解决含不确定因素问题的1种常用方法。Bertsimas等^［23］通过强对偶理论将不确定问题转化为鲁棒对等问题，引入鲁棒控制参数控制鲁棒解的保守程度，实现了解的保守性和最优解之间的均衡。模型中乘客到达率{\lambda }_{i,t}为不确定变量，为便于求解，参考该文献提出的鲁棒对等转换方法，将所建模型转化为鲁棒对等模型。

定义T为控制时段t的集合，N_t为控制时段的总数，有T=\left\{\mathrm{1,2},\mathrm{3},\dots ,N_t\right\}。引入鲁棒控制系数{\Gamma }_i，每个车站、每个控制时段内都需要满足

\sum _{t\in N_t}\frac{{\lambda }_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t}}{{\overline{\lambda }}_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t}}\le {\Gamma }_i\forall s_i\in S（47）

由式（47）可以看出：当{\Gamma }_i取值为0时，{\lambda }_{i,t}={\underline{\lambda }}_{i,t}，此时模型等价于乘客到达率为{\underline{\lambda }}_{i,t}的确定性问题；当{\Gamma }_i取值为N_t时，{\lambda }_{i,t}={\overline{\lambda }}_{i,t}，此时模型等价于乘客到达率为{\overline{\lambda }}_{i,t}的绝对鲁棒模型；当{\Gamma }_i\in \left[\mathrm{0},N_t\right]时，可通过调整{\Gamma }_i来调整解的鲁棒保护水平，其中{\Gamma }_i的取值越大，则模型的解的鲁棒保护水平越高。也就是说，在不确定情景下乘客到达率发生较大波动时，通过式（47）依然可以得到性能较好的鲁棒解。

对于车站s_i，控制时段内的所有客流需求为

\sum _{t\in N_{\mathrm{t}}}{n}_{t,m,i}^{\mathrm{到}}=\sum _{t\in N_{\mathrm{t}}}{\underline{\lambda }}_{i,t}{T}_{m-\mathrm{1},m}+\sum _{t\in N_{\mathrm{t}}}({\overline{\lambda }}_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t})n_{i,t}^{\mathrm{车}}{T}_{m-\mathrm{1},m}\forall s_i\in S,l_m\in L（48）

式（48）中的n_{i,t}^{\mathrm{车}}由式（49）所示的线性规划目标函数z_{\mathrm{L}\mathrm{P}}获得。

z_{\mathrm{L}\mathrm{P}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{t\in N_{\mathrm{t}}}({\overline{\lambda }}_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t}){\phi }_{i,t}{T}_{m-\mathrm{1},m}（49）

\begin{array}{l}\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ \sum _{t\in J_i}{n}_{i,t}^{\mathrm{车}}\le {\Gamma }_i\mathrm{0}\le n_{i,t}^{\mathrm{车}}\le \mathrm{1}\end{array}（50）

式中：({\overline{\lambda }}_i-{\underline{\lambda }}_i)n_{i,t}^{\mathrm{车}}为不确定乘客到达率的鲁棒保护水平。

式（49）的线性规划模型可转化为如下以目标函数z_{\mathrm{D}\mathrm{P}}表达的对偶模型。

z_{\mathrm{D}\mathrm{P}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(m_s{\Gamma }_i)+\sum _{t\in N_t}{n}_{s,t}（51）

\begin{array}{l}\mathrm{s}.\mathrm{t}.\\ m_s+n_{s,t}\ge ({\overline{\lambda }}_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t})T_{m-\mathrm{1},m}{m}_s\ge \mathrm{0},n_{s,t}\ge \mathrm{0}\end{array}（52）

式中：m_s和n_{s,t}分别为对式（50）所示的对偶问题引入的变量。

将对偶问题式（51）和式（52）代入式（48），有

\begin{array}{l}{n}_{t,m,i}^{\mathrm{到}}={\underline{\lambda }}_{i,t}{T}_{m-\mathrm{1},m}+\frac{m_s{\Gamma }_i}{N_t}+n_{s,t}\forall s_i\in S,\\ t\in T,l_m\in L\end{array}（53）

\begin{array}{l}{m}_s+n_{s,t}\ge ({\overline{\lambda }}_{i,t}-{\underline{\lambda }}_{i,t})T_{m-\mathrm{1},m}\forall s_i\in S,\\ t\in T,l_m\in L\end{array}（54）

m_s\ge \mathrm{0}\forall s_i\in S,l_m\in L（55）

n_{s,t}\ge \mathrm{0}\forall s_i\in S,t\in T,l_m\in L（56）

通过以上转换，可将客流量不确定问题转化为鲁棒对等问题，同时将所建模型式（1）—式（22）、式（27）、式（28）、式（30）—式（46）和式（53）—式（56）转化为混合整数规划模型。

3.3　滚动时域优化算法

在完成模型线性化并通过鲁棒对等转化解决客流量不确定难以求解的问题后，便可采用基于模型预测控制的滚动时域优化算法进行求解，算法示意图如图2所示。

模型预测控制在状态预测过程时，不仅将最新的实时状态信息作为输入，同时考虑了上一阶段基于当时状态预测得到的调整方案。虽然已经执行的阶段计划不可更改，但这一机制能够更准确地描述系统状态的动态演化。滚动时域优化算法通过控制时域、展望时域和优化时域3个参数的协同作用，将突发大客流事件持续时间分解为连续的优化阶段。在每个阶段内，将感知到的系统实时状态信息作为输入，依据输入信息和系统状态等对客流进行预测，当预测值超过设定阈值时，即对优化时域内的列车运行方案进行优化调整，但仅下发执行控制时域范围内的调整控制指令。在下一阶段，将最新的实时状态和上一阶段的调整方案作为输入继续优化调整，这种迭代过程持续进行直至事件结束，从而实现对突发大客流事件的动态闭环优化控制。

4 算例分析

4.1　基本情况

选取深圳地铁11号线相关数据作为算例场景进行计算分析，线路示意图如图3所示。图中字母缩写表示不同车站。该线路采用单一交路运营组织方式，配置标准B型地铁列车。高峰时段（7：00—10：00和17：00—20：00）列车最小行车间隔为5 min，平峰时段为7 min 50 s。最小停站时间30 s，最小到到、发发、发到间隔和最小折返时间均为180 s。

算例验证实验环境使用Intel Core i7 1.80 GHz CPU和16 GB内存的计算机，Windows 10操作系统，采用Microsoft visual C# 2019编程软件调用商业优化软件CPLEX 12.6.3完成。

4.2　确定持续时间下的运行调整结果

在17：00—20：00晚高峰时段构建突发大客流算例场景，设定各站乘客到达率区间为正常值的135%~140%。基于地铁B型车140%的最大满载率限制，将区间断面满载率上限设置为138%。目标函数权重系数{\omega }_{\mathrm{1}}和{\omega }_{\mathrm{2}}分别取0.8和0.2，经过仿真计算得到，该时段发生突发大客流时需要增开9对列车。为评估不同鲁棒性水平的影响，设置鲁棒控制参数{\Gamma }_i\in \left\{\mathrm{0,2},\mathrm{4,6},\mathrm{8,10}\right\}，构建不同鲁棒策略下的列车加开运行调整模型。

先根据乘客到达率的不同，随机生成10组客流场景，并按到达率降序排列；再将模型中的客流视为确定需求并构建确定性优化模型，对各场景进行仿真求解获得基准最优解；继而对比分析不同鲁棒策略下的优化结果，如图4所示。由图4可以得出以下结论。

（1）当鲁棒控制参数为0时，随着乘客到达率的提升，模型目标函数值呈现单调递增趋势，表明该策略对客流波动具有较高的敏感性；当鲁棒控制参数为2时，模型在乘客到达率较小的情况下表现稳定，但随着乘客到达率的提高，目标函数值与最优解的偏差显著增大；当鲁棒控制参数为4，6，8和10时，目标函数值整体保持平稳，仅在乘客到达率较高时出现轻微波动。这一现象说明增大鲁棒控制参数可有效降低模型对客流波动的敏感度，显著提升系统的鲁棒性。

（2）当鲁棒控制参数为2，4和6时，10组随机客流场景下目标函数值的平均相对误差均控制在8%以内，体现出所提模型及算法的良好综合性能。其中鲁棒控制参数为4时表现最优，此时最大相对误差13.85%、最小相对误差0.90%、平均相对误差5.20%。说明该参数设置在不同客流场景下均保持较高精度，尤其在乘客到达率较高的情况下优势更为显著。

（3）鲁棒控制参数为2时的模型表现与鲁棒控制参数为时4的较为接近，但在乘客到达率较高场景下的误差增幅明显；当鲁棒控制参数为0时模型整体相对误差较大，表明其抗干扰能力不足。这是由于鲁棒控制参数较小会导致优化策略过于激进，当面临显著客流波动时，其适应性会显著下降。

（4）乘客到达率较高的场景（场景8—10）下，鲁棒控制参数为4，6和8时的策略均保持较高精度，相对误差分别为2.81%，0.89%和2.14%，全部控制在3%以内，且其中鲁棒控制参数为6时的表现最优，验证了适当增大鲁棒控制参数可显著提升模型应对大客流扰动的能力。

总体而言，所提出的鲁棒优化模型能有效处理客流不确定性，即使在客流需求出现较大波动时仍能保持较高精度。虽然增大鲁棒控制参数可能导致一定程度的保守性，但模型在最优性与鲁棒性之间实现了良好平衡。这表明该方法可以作为支持调度人员科学决策的工具，根据实际风险偏好和客流特征选择合适的鲁棒控制参数后，便可制定出既安全又高效的列车加开运行调整方案。

4.3　不确定持续时间下的模型适应性验证

为验证所构建模型对突发大客流持续时间不确定性的适应能力，在前述确定持续时间算例的基础上，设置鲁棒控制参数为4，优化时域为60 min，控制时域为30 min，构建10组不确定持续时间场景进行求解分析，各场景下目标函数计算结果及对应各滚动时域优化阶段计算时间及见表1。由表1可以得出以下结论。

（1）在相同客流场景下，不确定持续时间条件下的目标函数值普遍高于确定持续时间条件下的。这是由于确定持续时间时模型能够综合考虑事件全过程影响，实现全局优化；而不确定持续时间时模型采用分阶段迭代优化策略，每个控制时域仅执行当前阶段的调整方案，随着时间的推移和信息更新，模型会基于最新预测的持续时间对后续方案进行动态调整。虽然滚动时域算法只能获得局部最优解或近似最优解，但仿真结果表明所提方法可将目标函数值偏差控制在较小范围内，最大和最小相对误差分别为1.42%和0.58%，10组场景的平均偏离为1.05%，验证了该方法对持续时间不确定的良好适应性。

（2）持续时间不确定时，模型的求解效率得到显著提升。相较于持续时间确定时，模型的计算时间最大减少59.34%，平均减少49.77%，且各阶段计算时间均控制在25 s以内，满足运营调整的实时性要求。这表明基于模型预测控制的滚动时域算法能有效提升不确定场景下的求解效率。

4.4　滚动时域参数灵敏度分析

为分析控制时域和优化时域对模型性能的影响，基于4.2节中随机客流场景及参数设置，将优化时域的长度分别设置为30，60，90，120，150和180 min，用所建模型进行仿真试验，得到的计算时间和目标函数值如图5和图6所示。由图5和图6可以得出以下结论。

（1）模型求解计算时间与优化时域长度呈显著正相关。当优化时域为30 min时，所有场景的求解计算时间均在20 s以内；60 min时的计算时间略有增加但仍能控制在25 s以内；超过60 min后，计算时间显著增加，150 min时多数场景的计算时间都超过140 s，难以满足实时调度需求。

（2）随着优化时域长度的增加，大部分客流场景的目标函数值呈下降趋势，表明更长的优化时域能提升解的全局性。但由于滚动时域算法的启发式特性，目标函数值并不会严格随优化时域增加而单调递减，部分场景甚至出现了目标函数值略微上升的情况。

（3）优化时域长度的增加会带来计算时间的增加，因此在实际应用中需权衡计算效率与求解质量，合理选择优化时域长度。

为进一步研究控制时域步长的影响，将控制时域的步长分别设置为10，20，30，40和50 min，用所建模型进行仿真试验，结果如图7所示。

由图7可以看出：控制时域步长对模型性能具有显著影响；具体而言，较短的步长会增加滚动优化迭代次数，每个控制时域仅执行当前阶段的调整方案，通过多阶段优化逐步改进解决方案质量；当控制时域步长从10 min增至30 min时，目标函数值分别提升1.65%和1.86%；而步长从30 min增至40 min时，目标函数值出现1.05%的反常下降，这验证了滚动优化算法的启发式特性，表明目标函数值并非随步长单调变化。

在实际应用中，过小的控制时域步长将导致运行计划频繁调整，特别是在突发大客流场景下，会增加调度系统的操作复杂度。基于城市轨道交通高密度运营和短发车间隔特点，以及现场实时调整的需要，建议将优化时域长度设置在60~120 min，控制时域步长设置在30~60 min。在实际应用过程中，调度人员可根据突发大客流事件的具体特征，在上述参数范围内进行适应性调整，以平衡求解质量与调度可行性。

5 结语

本文基于事件-活动网络理论，对突发大客流条件下城市轨道交通列车加开运行调整问题进行了研究。首先，构建事件-活动网络以形式化描述列车运行过程；其次，综合考虑运行安全间隔、折返接续、满载率等实际运营约束，构建了应对突发大客流的城轨列车加开运行调整优化模型；然后，设计了基于模型预测控制的滚动时域优化算法，并引入鲁棒优化方法将客流不确定性问题转化为确定性问题以便于求解；最后，结合实际运营数据构建算例场景，通过量化结果验证了所提方法在应对突发大客流情境下的有效性和实用性。仿真结果表明：在乘客到达率波动范围为135%~140%的大客流场景中，所提方法表现出良好的鲁棒性和求解精度，当鲁棒控制参数为6时，目标函数值的相对误差稳定控制在3%以内。与确定性模型相比，该方法在计算效率方面具有明显优势，能够满足实际运营对实时性和响应性的要求；模型在大客流持续时间不确定的情形下同样具有良好的适应性，滚动时域算法在保证求解质量的前提下显著缩短了计算时间，平均缩短幅度达49.77%，各阶段求解时间均控制在25 s以内；参数灵敏度分析进一步表明，通过优化时域与控制时域参数的协同设置，可在求解质量（目标值提升1.65%~1.86%）与计算效率（计算时间缩短59.34%）之间实现较优平衡。

综上所述，所提出的方法能够为城轨调度员在面对突发不确定客流时提供量化的、可行的决策支持。未来研究可进一步探索调度行为与优化参数之间的映射关系，构建调度人员风险偏好建模框架，推动智能化调度决策机制的深入发展。

参考文献

[1] 黄攀.城市轨道交通网络化运营带来的问题及应对措施［J］.城市轨道交通研究，2023，26（6）：247-250.

[2] HUANG Pan. Problems Brought by Urban Rail Transit Networking Operation and Countermeasures ［J］. Urban Mass Transit， 2023， 26 （6）： 247-250. in Chinese

[3] 易志刚.网络化运营条件下轨道交通线网综合运营调度系统的研究［J］.铁道运输与经济，2016，38（12）：91-97.

[4] YI Zhigang. Study on the Integrated Operation and Dispatching System of Rail Transit under Network Operation ［J］. Railway Transport and Economy， 2016， 38 （12）： 91-97. in Chinese

[5] 薛锋，范千里，周琳，等.考虑列车加开的技术站车流接续模型［J］.交通运输工程与信息学报，2022，20（4）：123-135.

[6] XUE Feng， FAN Qianli， ZHOU Lin， et al. Marshalling Station Car-Flow Model Considering Additional Trains ［J］. Journal of Transportation Engineering and Information， 2022， 20 （4）： 123-135. in Chinese

[7] 徐培娟，牛瑜巍，秦阳，等.地铁列车运行与车底周转计划同步实时调整方法［J］.铁道科学与工程学报，2023，20（12）：4517-4528.

[8] XU Peijuan， NIU Yuwei， QIN Yang， et al. Metro Trains Rescheduling Method Involving the Rescheduling Problem of Rolling Stocks ［J］. Journal of Railway Science and Engineering， 2023， 20 （12）： 4517-4528. in Chinese

[9] 黄柒光，李建全.基于实时客流的城市轨道交通列车自动调整方法［J］.铁道运输与经济，2021，43（5）：130-134.

[10] HUANG Qiguang， LI Jianquan. Design and Implementation of Automatic Train Adjustment Based on Real-Time Passenger Flow in Urban Rail Transit ［J］. Railway Transport and Economy， 2021， 43 （5）： 130-134. in Chinese

[11] BURDETT R L， KOZAN E. Techniques for Inserting Additional Trains into Existing Timetables ［J］. Transportation Research， Part B： Methodological， 2009， 43 （8/9）： 821-836.

[12] LI S K， LIU R H， GAO Z Y， et al. Integrated Train Dwell Time Regulation and Train Speed Profile Generation for Automatic Train Operations on High-Density Metro Lines： a Distributed Optimal Control Method ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2021， 148： 82-105.

[13] 占曙光，赵军，彭其渊.高速铁路区间能力部分失效情况下列车运行实时调整研究［J］.铁道学报，2016，38（10）：1-13.

[14] ZHAN Shuguang， ZHAO Jun， PENG Qiyuan. Real-Time Train Rescheduling on High-Speed Railway under Partial Segment Blockages ［J］. Journal of the China Railway Society， 2016， 38 （10）： 1-13. in Chinese

[15] ZHU Y Q， GOVERDE R M P. Dynamic and Robust Timetable Rescheduling for Uncertain Railway Disruptions ［J］. Journal of Rail Transport Planning & Management， 2020， 15： 100196.

[16] 易志刚，戴贤春.城市轨道交通列车加开计划编制模型研究［J］.应用科技，2024，51（3）：150-160.

[17] YI Zhigang， DAI Xianchun. A Study on the Model for Inserting Additional Trains into Existing Timetables in Urban Rail Transit ［J］. Applied Science and Technology， 2024， 51 （3）： 150-160. in Chinese

[18] 易志刚.基于可预知大客流的城市轨道交通列车加开计划调整模型与算法［J］.城市轨道交通研究，2024，27（9）：18-24.

[19] YI Zhigang. Plan Adjustment Model and Algorithm for Inserting Extra Trains in Urban Rail Transit Based on Predictable Large Passenger Flow ［J］. Urban Mass Transit， 2024， 27 （9）： 18-24. in Chinese

[20] 赵翔，武晋飞，单杏花.“一日一图”模式下高速列车开行方案与票额分配协同优化方法［J］.铁道学报，2023，45（8）：10-17.

[21] ZHAO Xiang， WU Jinfei， SHAN Xinghua. Collaborative Optimization of High-Speed Train Line Planning and Seat Allocation under “Daily Train Timetabling” ［J］. Journal of the China Railway Society， 2023， 45 （8）： 10-17. in Chinese

[22] 张皓翔.城市轨道交通可预知大客流场景下临客开行优化研究［D］.北京：北京交通大学，2022.

[23] ZHANG Haoxiang. Study on the Optimization of Temporary Passenger Train Operation for Urban Rail Transit under Predictable Mass Passenger Flow ［D］. Beijing： Beijing Jiaotong University， 2022. in Chinese

[24] 毛万华，陈亚茹.高速铁路列车运行图新增列车运行线优化方法研究［J］.铁道运输与经济，2021，43（11）：1-6，26.

[25] MAO Wanhua， CHEN Yaru. Research on Optimization Method of Newly-Added Train Paths Based on Train Running Diagram of High Speed Railways ［J］. Railway Transport and Economy， 2021， 43 （11）： 1-6， 26. in Chinese

[26] CACCHIANI V， CAPRARA A， TOTH P. Scheduling Extra Freight Trains on Railway Networks ［J］. Transportation Research Part B： Methodological， 2010， 44 （2）： 215-231.

[27] 王义惠，赵康祺，王航宇，等.地铁线路双向中断时长不确定下的列车运行调整［J］.中国铁道科学，2023，44（4）：230-240.

[28] WANG Yihui， ZHAO Kangqi， WANG Hangyu， et al. Train Rescheduling under Bi-Directional Interruption with Uncertain Duration of a Metro Line ［J］. China Railway Science， 2023， 44 （4）： 230-240. in Chinese

[29] 周玮腾，钱蕾，韩宝明，等.运营区间双向中断下城市轨道交通列车运行调整［J］.东南大学学报（自然科学版），2022，52（4）：770-779.

[30] ZHOU Weiteng， QIAN Lei， HAN Baoming， et al. Train Rescheduling of Urban Rail Transit under Bi-Directional Interruption in Operation Section ［J］. Journal of Southeast University （Natural Science Edition）， 2022， 52 （4）： 770-779. in Chinese

[31] CADARSO L， MARÍN Á， MARÓTI G. Recovery of Disruptions in Rapid Transit Networks ［J］. Transportation Research Part E： Logistics and Transportation Review， 2013， 53： 15-33.

[32] BINDER S， MAKNOON Y， BIERLAIRE M. The Multi-Objective Railway Timetable Rescheduling Problem ［J］. Transportation Research Part C： Emerging Technologies， 2017， 78： 78-94.

[33] MENG L Y， ZHOU X S. Robust Single-Track Train Dispatching Model under a Dynamic and Stochastic Environment： a Scenario-Based Rolling Horizon Solution Approach ［J］. Transportation Research， Part B： Methodological， 2011， 45 （7）： 1080-1102.

[34] ZHAN S G， KROON L G， ZHAO J， et al. A Rolling Horizon Approach to the High Speed Train Rescheduling Problem in Case of a Partial Segment Blockage ［J］. Transportation Research， Part E： Logistics and Transportation Review， 2016， 95： 32-61.

[35] GHAEMI N， ZILKO A A， YAN F， et al. Impact of Railway Disruption Predictions and Rescheduling on Passenger Delays ［J］. Journal of Rail Transport Planning & Management， 2018， 8 （2）： 103-122.

[36] BERTSIMAS D， SIM M. The Price of Robustness ［J］. Operations Research， 2004， 52 （1）： 35-53.

基金资助

国家自然科学基金资助项目(72288101)

国家自然科学基金资助项目(72091513)

中国铁道科学研究院集团有限公司科研开发计划项目(2021YJ100)