多交路和快慢车协同运营的市域（郊）铁路通过能力评估方法

Carrying Capacity Assessment Method for Coordinated Operation of Multi-Routing and Express/Local Trains in Urban (Suburban) Railways

摘要

随着我国城市客运需求日趋复杂，为实现市域（郊）铁路多交路和快慢车协同运营下的通过能力快速评估，提出1种基于运行图结构推理和关键控制点分析的评估方法。首先，基于已知的越行站与折返线配置，通过运行图的结构推理识别铁路通道的关键控制点，并推导运行图最小周期的通用式；其次，引入小交路慢车数量的计算方法，提出多交路快慢车组合下的最小周期评估方法，并设计基于控制点的搜索算法，以组合搜索策略求解最大运输能力；最后，通过多类型线路的实例分析验证模型的有效性。结果表明：单交路模式下快慢车1∶1组合的通过能力最低，为13列 · h^-1；多交路模式下，快慢车1∶1组合的通过能力最低，但随着慢车或小交路列车数量增加，通过能力显著提升；当大交路慢车、快车和小交路慢车开行数量之比为1∶2∶0至1∶2∶3时，通过能力从14列 · h^-1增至19列 · h^-1。该方法构建了市域（郊）铁路多交路快慢车协同运营能力评估的理论框架，可服务于线路规划与运输组织决策。

Abstract

With the growing complexity of urban passenger transport demand in China, in order to facilitate the rapid assessment on the carrying capacity for coordinated operation of multi-routing and express/local trains in urban (suburban) railways, an assessment method based on timetable structure reasoning and key control point analysis is proposed. First, based on known overtaking stations and turnback track settings, key control points of the railway corridor are identified through structural reasoning of the timetable, and a general formula for the minimum cycle of the timetable is derived. Second, a calculation method for the number of local trains on minor routes is introduced to propose a minimum cycle assessment method under the combination of multi-routing and express/local trains. Then, a control point-based search algorithm is designed to solve the maximum transport capacity using a combined search strategy. Finally, the model's effectiveness is verified through field case analysis of multi-type lines. The results indicate that in the single-routing mode, when the ratio of express/local trains combination is 1∶1, it has the lowest carrying capacity of 13 trains · h^-1. In the multi-routing mode, when the ratio of express/local trains combination is 1∶1, it also has the lowest carrying capacity, but as the number of local trains or minor-route trains increases, the carrying capacity significantly improves. When the ratio of the operation number between major-route local trains, major-route express trains, and minor-route local trains ranges from 1∶2∶0 to 1∶2∶3, the carrying capacity increases from 14 trains · h^-1 to 19 trains · h^-1. This method establishes a theoretical framework for evaluating the coordinated operation capacity of multi-routing express/local trains in urban (suburban) railways, which can serve the route planning and transport organization decision.

Graphical abstract

关键词

快慢车 / 全线大交路 / 区域小交路 / 通过能力评估 / 模拟仿真验证

Key words

Express/local trains / Mainline major-route / Regional minor-route / Carrying capacity assessment / Simulation and verification

市域（郊）铁路相较于城市地铁，具有更大的服务距离和跨度，承担着城市核心区与郊区的快速联系功能。随着其运营模式从单区域向多区域扩展，客流分布呈现显著的非匀质性，亟须差异化的运输组织策略。同时，旅客长距离出行带来的时间消耗问题也亟待解决。因此，多交路与快慢车协同运营成为必然选择，但其能力评估面临独特挑战。与地铁不同，市域铁路需兼顾城市中心与外围区段的客流密度差异和复杂OD结构，通常采用多交路和快慢车混合运行模式。传统地铁能力评估聚焦折返能力，而铁路一般采用非周期性的扣除系数法。当前，如何在给定开行方案（快慢车比例、交路组合）下精准计算市域（郊）铁路的通过能力，仍需深入研究。

当前一些国内外学者对轨道交通通过能力展开研究。高国飞^［1］系统分析了快慢车比例和快车间隔，确定了快慢车能力计算的基本框架。徐瑞华^［2］研究了大小交路的3种运输组织模式（衔接、嵌套和综合），重点对其嵌套形式的通过能力影响因素和计算方法进行研究。刘茜^［3］通过归纳法分析了快慢车比例对停站方案和通过能力的影响，证实快慢车交替发车时通过能力最小。陈富贵^［4］基于平行运行图建立了快车不停站的时间节约算法，研究了不同开行模式下的通过能力扣除情况。单杏花^［5］运用运行图压缩原理，通过压缩区间占用的间隔时间计算区段通过能力。王宇强等^［6］提出虚拟区间法，将车站能力转化为虚拟区间能力进行测算。Jensen等^［7］构建了基于优化理论的非固定运行图能力计算框架，综合考虑列车速度、开行方案等因素的影响。Navarro等^［8］引入模糊理论，通过定义“模糊最大能力”和“模糊占用时间率”，提出了一种考虑不确定性的城市轨道线路通过能力评估方法。黄辉林等^［9］基于扣除系数法，对不同运行图铺画方式下的扣除系数进行研究，提出了基于扣除系数法的高速铁路通过能力计算方法。徐瑞华^［10］通过仿真分析了共线运营下不同开行比例的能力损失情况。Assis^［11］综合考虑运营限制和客流需求，提出了最优运行图设计方法。Casteilli等^［12］提出了1种基于拉格朗日松弛的运行图编制方法，改进了求解效率。Szymula等^［13］基于Petri网和宏观基本图，提出了1种周期性网络能力评估方法。Sameni等^［14］开发了多方案组合的能力计算策略，可适应不同规划与运营阶段的需求。一些学者针对不同运营场景下的能力提升进行研究。陈翠利^［15］详细分析了线路通过能力损失情况，并提出延长运行周期的通过能力优化方法；胡兴丽等^［16］从客流特征出发研究了多交路跨线组织策略。此外，相关学者还对能力计算方法进行了系统性综述^［17-20］。

当前关于快慢车能力评估或计算的研究仍存在若干待解决的问题。首先，现有能力解析计算方法适用场景有限，且计算式较为复杂，特别是在多越行站条件下，计算式项数呈现非线性增长特征；其次，现有方法尚不能有效整合快慢车通过能力与多交路折返能力的综合评估，难以适应复杂运营条件下的线路能力评估需求；最后，当前市域（郊）铁路的能力评估方法多沿袭传统大铁路的评估方法，但由于市域铁路车站侧线数量较少，具备越行条件的车站数量有限，这种移植性的评估方法往往导致能力评估结果偏大。

为解决上述问题，基于控制节点传播函数，提出1种考虑快慢车越行及小交路折返的市域（郊）铁路能力的评估方法。根据列车越行站和折返站布局，考虑大交路快慢车的数量比和发车间隔的基础上，通过运行图推理及归纳寻找通过能力控制点，并推导控制点的最小周期计算函数通式。进一步基于周期瓶颈原理，结合小交路慢车数量，提出多交路和快慢车运营模式下的线路最小周期计算方法，并通过仿真试验进行验证。

1 基于控制点多交路结合快慢车运营模式下能力评估框架

市域（郊）铁路作为服务通勤、通学等规律性客流的运输系统，其运营组织对服务便捷性和运行准点性具有较高要求。基于这一特性，采用周期性运行图作为研究框架。为明确研究边界设定以下基本假设：①能力评估基于市域（郊）铁路的周期运行图进行；②大小交路混合运行模式下，小交路仅开行慢车；③快车服务保持直达特性，不存在计划外停车和额外停站时间；④每个运行周期内仅考虑慢车数量超过快车，且大交路列车占比高于小交路；⑤各类运行参数（包括列车间隔时间、停站时间和区间运行时间差等）采用标准化取值；⑥列车折返作业统一采用站前单渡线直进侧出方式，并按标准折返时间计算。

1.1　市域（郊）铁路通过能力计算控制点

与纯慢车运行模式相比，快慢车混合运行模式因列车速度差异和停站方案不同，导致运行图结构更为复杂。这种复杂性直接增加了运行图的周期计算难度。纯慢车与快慢车2种运行模式的示意图如图1所示。图中：s_{\mathrm{o}}为始发站；n_x为越行站处于线路中的编号；s_{\mathrm{d}}为终到站；t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}为慢车在始发站的发车间隔时间；t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}为慢车和后行快车在始发站的发车间隔时间；t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}为快车和后行慢车在始发站的发车间隔时间；{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}为列车停站时间；{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}为慢车在中间站的发到间隔时间；{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}为列车在终到站的到达间隔时间；{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}为列车在中间站的最小到通间隔时间；T为运行图周期。在纯慢车运行模式下，慢车的发车间隔仅受最小发车间隔、最小发到间隔和最小到达间隔的影响；而在快慢车混合运行模式下，列车在始发站的发车间隔还受到前方越行站或终到站的间隔约束。因此，提出“控制点”概念，即对列车运行图周期产生关键影响的车站，并将由控制点向始发站传递的间隔时间函数称为控制点传播函数。

在纯慢车运行模式下，列车运行图最小周期由t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}，{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}和{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}共同决定，其中控制点的位置取决于对周期产生影响的车站；在快慢车混合运行模式中，以始发站为周期计算基准点，可得运行图周期T为

T=q\left(t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}\right)+\sum _{k,k+\mathrm{1}\in K_{\mathrm{s}\mathrm{l}}}{t}_{k,k+\mathrm{1}}（1）

式中：q为大交路快车开行数量；K_{\mathrm{s}\mathrm{l}}为大交路慢车集合；t_{k,k+\mathrm{1}}为两车的发车间隔时间。

该模式中快车发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}受前方越行站n_{\mathrm{1}}控制点的传播函数影响，而当快车的越行站增加时，t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}和t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}则均可能受到前方越行站或终到站等控制点的影响。具体而言，快慢车运行过程中其控制点主要由4类关键站点构成：始发站、越行站、终到站和折返站。由于始发站作为周期计算的基准点，其周期影响已直接纳入计算模型，因此控制点传播函数主要分为越行站传播函数和终到站传播函数2类核心函数。

1）越行站传播函数

越行站传播函数指列车在越行站发生越行行为时，对后方车站间隔时间影响的解析表达。控制点传播间隔示意图如图2所示。图中：{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}为列车在中间站的最小通发间隔时间；f\left(s_{\mathrm{c}}\right)为越行站控制点前向传播间隔函数，f^{\text{'}}\left(n_x\right)为越行站控制点后向传播间隔函数，g\left(s_{\mathrm{d}}\right)为终到站控制点前向传播间隔函数，g\left(s_{\mathrm{r}}\right)为折返站控制点前向传播间隔函数；n_x和n_y为越行站编号。当列车在前方越行站发生越行时，后续慢车间的发车间隔将受到越行站前向和后向传播间隔函数的影响。其前向传播间隔函数f\left(s_{\mathrm{c}}\right)和后向传播间隔函数f^{\text{'}}\left(s_{\mathrm{c}}\right)的表达式为

f\left(s_{\mathrm{c}}\right)=f\left(n_x\right)=\left\{\begin{array}{c}\left(n_x-n_{x-\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=n_{x-\mathrm{1}}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_{j}x>\mathrm{1}\\ {\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+\left(n_x-\mathrm{2}\right){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_{j}x=\mathrm{1}\end{array}\right.（2）

\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(s_{\mathrm{c}}\right)=f^{\text{'}}\left(n_x\right)=\\ \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}-\left((n_x-n_{x-\mathrm{1}}-\mathrm{1}){\tau }_{st}+{\displaystyle \sum _{j=n_{x-\mathrm{1}}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j\right)\\ x>\mathrm{1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}-\left((n_x-\mathrm{2}){\tau }_{st}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j\right)\\ x=\mathrm{1}\end{array}\end{array}\right.\end{array}（3）

式中：f\left(n_x\right)为越行站前向传播间隔函数；f^{\text{'}}\left(n_x\right)为越行站n_x后向传播间隔函数；s_{\mathrm{c}}为控制点所在车站编号；x为越行站在越行站编号集合S_{\mathrm{n}}中的顺序；j为各区间编号；∆t_j为快慢车在j区间的运行时间差；

前向、后向传播间隔的特点具有一致性。当第一越行站作为前行控制点时（x=\mathrm{1}），列车越行间隔将直接影响始发站的最小发车间隔；当其他越行站作为前行控制点时（x>\mathrm{1}），列车越行间隔则通过制约列车发到间隔，间接决定后续列车的发车间隔要求；越行作业完成后，被越行慢车与后行慢车间的发到间隔将进一步作用于始发站的快慢车发车间隔分配。

2）终到站与折返站传播函数

终到站与折返站传播函数指相邻列车在终到站或折返站相继到达时，对前方车站间隔时间影响的解析表达。折返站控制点的前向传播间隔函数为

g\left(s_{\mathrm{c}}\right)={\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}-{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+\left(s_{\mathrm{c}}-n_y\right){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=n_y}^{s_c-\mathrm{1}}}∆t_j（4）

式中：n_y为离控制点最近的越行站编号。

需要特别说明，当快慢车在折返站实施越行作业时，其控制点传播间隔按越行站传播间隔计算。

1.2　市域（郊）铁路快慢车多交路周期化混合运行模式及通过能力计算

在快慢车混合运营时，越行关系直接影响运行图周期计算。若快车对慢车采用追踪不越行模式，通过能力会随着行车间隔增大而减小。因此，越行站位置与越行关系是能力计算的核心要素。此时需改进计算方法：一是以快慢车组合周期替代最小行车间隔，二是计入快慢车开行比例。单一交路区段线路通过能力N_S为

N_S=\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{T}\left(p+q\right)（5）

式中：p为慢车开行数量；q为快车开行数量。

类似地，当在快慢车混合开行模式下加开小交路列车时，大交路最小行车间隔将被小交路快慢车组合周期替代，同时还需要将小交路慢车开行数量r纳入计算式中。因此，在式（5）的基础上，考虑了多交路组合的运营组织方式，提出多交路结合快慢车组合运营下的线路通过能力计算式为：在快慢车多交路混合运营时，需将大交路最小行车间隔替换为小交路快慢车组合周期，并引入小交路慢车开行数量参数。在式（5）的基础上，考虑多交路组合的快慢车混合运营模式下区段线路通过能力N_M为

N_M=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{T}\left(p+q+r\right)& s\in S_{\mathrm{M}}\\ \frac{\mathrm{3}\mathrm{600}}{T}\left(p+q\right)& s\in S_{\mathrm{N}}\end{array}\right.（6）

式中：p为大交路慢车开行数量；q为快车开行数量；r为小交路慢车开行数量；s表示区间；S_{\mathrm{M}}为混合交路区间集合；S_{\mathrm{N}}为单一交路区间集合。

当区间s为混合交路区间时，即s\in S_{\mathrm{M}}，其区间通过能力相比单一交路区间（s\in S_{\mathrm{N}}）需要额外考虑周期内小交路列车开行对数对能力的影响。

2 基于控制点分析的多交路快慢车混合运营最小周期计算

2.1　单一交路快慢车控制点最小周期函数

基于始发站周期计算基准点，运行图周期T可分解为3个关键组成部分，即慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}，快车和后行慢车的发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}和慢车在始发站的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}。T与快慢车开行数量的关系可表示为

T=\left\{\begin{array}{c}q\left(t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}\right)p=\mathrm{1}\\ q\left(t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}\right)+\left(p-\mathrm{2}\right)t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}^{\mathrm{\text{'}}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}p\ge \mathrm{2}\end{array}\right.（7）

式中：t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}^{\mathrm{\text{'}}}为未被越行慢车间的发车间隔时间。

1）慢车和后行快车的发车间隔时间

快慢车混合运行发车间隔时空关系如图3所示，图中：k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}为慢车编号；k_{\mathrm{h}}为快车编号。在计算该时间间隔时，由于慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在n_{\mathrm{1}}站被前行快车k_{\mathrm{h}}越行，需考虑k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在始发站的发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}受车站发车最小间隔时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}和控制点瓶颈传播间隔函数f\left(n_{\mathrm{1}}\right)的影响。因此，慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}为

t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\left(n_{\mathrm{1}}\right)\right\}（8）

其中，

f\left(n_{\mathrm{1}}\right)={\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+\left(n_x-\mathrm{2}\right){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j

当{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}>f\left(n_{\mathrm{1}}\right)时，始发站为间隔时间控制点；当{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}\le f\left(n_{\mathrm{1}}\right)时，控制点转移至第一越行站n_{\mathrm{1}}，此时，始发站至n_{\mathrm{1}}站的距离与快慢车区间旅行时分差{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j呈正相关，进而导致发车间隔增大。

2）快车和后行慢车的发车间隔时间

根据周期中快慢车越行关系的不同，t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}存在以下2种情况。

（1）当慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}的前行列车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{p}}在第一越行站被快车k_{\mathrm{h}}越行，且慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在后续越行站被后行快车k_{\mathrm{h}\mathrm{n}}越行时，k_{\mathrm{h}}与k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在始发站的发车间隔t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}受到车站发车最小间隔时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}、越行站后向传播间隔函数f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right)、终到站前向传播间隔函数g\left(s_{\mathrm{d}}\right)的影响。快车和后行慢车的发车间隔时空关系如图4所示，二者的发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}为

t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right),\mathrm{g}\left(s_{\mathrm{d}}\right)\right\}（9）

式中：f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right)为第一越行站n_{\mathrm{1}}作为控制点对始发站的后向传播间隔函数；g\left(s_{\mathrm{d}}\right)为终到站s_{\mathrm{d}}作为控制点对相邻越行站的前向传播间隔函数。

（2）当运行图结构改变时，越行快车k_{\mathrm{h}}与后行未被越行慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{n}}在始发站追踪发车，二者的发车间隔时空关系如图5所示。其发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}为

t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right),{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}-{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}\right\}（10）

3）慢车在始发站的发车间隔时间

根据周期中快慢车越行关系的不同，t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}存在以下3种情况。

（1）当慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在越行站n_x被快车k_{\mathrm{h}}越行时，k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在始发站的发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}不仅取决于{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}和{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}，还受到2个关键因素的影响，即越行站n_x作为控制点对其相邻越行站控制点n_{x-\mathrm{1}}的前向传播时间f\left(n_x\right)以及k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在控制点n_{x-\mathrm{1}}的停站时间{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}。慢车在始发站的发车间隔时空关系如图6所示。其发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}为

t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},f\left(n_x\right)+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}（11）

（2）慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}未被快车越行时，其与后行被越行慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{n}}的发车间隔时空关系如图7所示。二者的发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}为

t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},g\left(s_{\mathrm{d}}\right)\right\}（12）

（3）相邻慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}与k_{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{n}}均未被越行的发车间隔时空关系如图8所示，二者的发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}^{\mathrm{\text{'}}}为

t{\text{'}}_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\right\}（13）

2.2　多交路混合运行模式下控制点最小周期函数

在多交路快慢车混合运营模式下，折返站间增开的小交路列车使该区段行车密度高于大交路区段，因此全线通过能力由大小交路重合区间的列车周期决定。根据折返站位置差异，主要可分为2种类型。类型1：其中一个折返站位于始发站，另一个位于中间越行站；类型2：2个小交路折返站均为中间越行站。2种类型的多交路快慢车越行模式控制点如图9所示，图中：s_{\mathrm{r}}^{\text{'}}表示另一折返站。

对于类型1，周期的计算依旧以始发站为基准点，在计算各发车间隔时，除了考虑原有的控制点传播间隔的影响，还需考虑折返站s_{\mathrm{r}}^{\text{'}}产生的控制点影响。对于类型2，周期的计算以折返站s_{\mathrm{r}}为基准点，除了考虑前方越行站、折返站以及终到站控制点的影响，还需考虑本站列车越行时产生的最小间隔约束。与单交路快慢车运行周期划分方式类似，多交路快慢车周期也包括t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}、t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}和t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}这3个部分。多交路快慢车协同运行时，运行图周期与开行数量的关系为

T=q_{\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{1}}+q_{\mathrm{2}}{t}_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{2}}+\left(q-q_{\mathrm{1}}-q_{\mathrm{2}}\right)t_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{3}}+\left(p+r-q-p_{\mathrm{1}}-p_{\mathrm{2}}\right)t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{3}}+p_{\mathrm{1}}{t}_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{1}}+p_{\mathrm{2}}{t}_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{2}}+q{t}_{\mathrm{l},\mathrm{h}}（14）

式中：q_{\mathrm{1}}，q_{\mathrm{2}}和(q-q_{\mathrm{1}}-q_{\mathrm{2}})分别为后续章节描述的情况①、情况②、情况③的快车数量；p_{\mathrm{1}}，p_{\mathrm{2}}和\left(p+r-q-p_{\mathrm{1}}-p_{\mathrm{2}}\right)分别为3种情况的慢车数量；p为大交路慢车数量；r为小交路慢车数量；t_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{1}}，t_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{2}}和t_{\mathrm{h},\mathrm{l},\mathrm{3}}分别为3种情况的快车和未被越行慢车的发车间隔时间；t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{1}}，t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{2}}和t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{3}}分别为3种情况下慢车间的发车间隔时间；t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}为慢车和后行快车的发车间隔时间。

2.2.1　折返站位于始发站

本节中，慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}，快车和后行慢车的发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}以及慢车在始发站的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}在单一交路和多交路模式下的定义与2.1节一致，具体应用差异仅在于运行图结构造成的计算方法差异。

1）慢车和后行快车的发车间隔时间

在计算该间隔时间时，由于前行慢车被快车在n_{\mathrm{1}}站越行，需考虑慢车k_{\mathrm{s}\mathrm{l}}在始发站与后行快车的发车间隔t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}受到车站发车最小间隔时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}和控制点前向传播间隔函数f\left(n_{\mathrm{1}}\right)的影响。因此，慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}的计算式为

t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\left(n_{\mathrm{1}}\right)\right\}（15）

由此可见，当{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}>{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+(n_x-\mathrm{2}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j时，该间隔时间的控制点位于始发站；反之，当{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}\le {\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+(n_x-\mathrm{2}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j时，该间隔时间的控制点位于越行站n_{\mathrm{1}}，且越行站位置越远则快慢车区间旅行时分差{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j、慢车停站时间{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}和式（8）的关键项(n_x-\mathrm{2}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}也越大，从而导致该发车间隔增大。

2）快车和后行慢车的发车间隔时间

在计算该间隔时间时，存在3种情况：①后行慢车被其他快车越行；②后行慢车未被快车越行，且为小交路慢车；③后行慢车未被快车越行且为大交路慢车。快车和未被越行慢车的发车间隔时空关系如图10所示。

由于前行快车在n_{\mathrm{1}}站越行慢车，因此在上述3种情况中均需要考虑快车越行后在n_{\mathrm{1}}站与后续慢车发车的间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}为

t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right),g\left(s_{\mathrm{d}}\right)\right\}\mathrm{情况}\mathrm{①}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{②}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{③}\end{array}\right.（16）

当后行列车为小交路慢车时，n_x\le s_{\mathrm{r}}^{\mathrm{\text{'}}}，使得g\left(s_{\mathrm{d}}\right)\ge {\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}-{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+(s_{\mathrm{d}}-s_{\mathrm{r}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=s_{\mathrm{r}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{s_{\mathrm{d}}-\mathrm{1}}}∆t_j。该判断条件中，一般而言小交路折返站距终到站仍有一定的距离，快慢车区间旅行时分差{\displaystyle \sum _{j=s_{\mathrm{r}}^{\mathrm{\text{'}}}}^{s_{\mathrm{d}}-\mathrm{1}}}∆t_j、慢车停站时间{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}或判断关键项(s_{\mathrm{d}}-s_{\mathrm{r}}^{\mathrm{\text{'}}}-\mathrm{1}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}越大，则越行站越易成为控制点。在情况2和情况3中，{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\}时，2种情况的结果均为t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right)\right\}，此时，f\text{'}\left(n_{\mathrm{1}}\right)取值随第一越行站和始发站间距的增大而减小。当{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}+\left((n_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}∆t_j\right)\ge {\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}时，快车和后行慢车的发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}由最小发车间隔决定，即t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}={\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}。

3）慢车在始发站的发车间隔时间

当前行列车为小交路列车，后行列车为大交路列车时，该间隔存在以下3种情况：①前行列车被越行；②前行列车不被越行，但后行列车被越行；③相邻两列车均未被越行。慢车在始发站的发车间隔时空关系如图11所示。

在情况1中，当前行列车被越行时，列车发车间隔需考虑以越行站为控制点的传播函数的影响；情况2中，当前行列车不被越行但后行列车被越行时，需考虑以折返站为控制点的传播函数的影响；情况3中，当前后两列车均不被越行时，列车间隔时间不受控制点传播函数的影响。因此，当前行慢车为小交路慢车，后行慢车为大交路慢车的情况下，t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}可表示为

t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\left(n_x\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{①}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},g\left(s_{\mathrm{r}}^{\text{'}}\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{②}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{③}\end{array}\right.（17）

2.2.2　折返站均位于中间越行站

折返站均位于中间越行站时，运行图周期计算以越行站为基准点，并将所在越行站的位置记为n_y=s_{\mathrm{r}}，于是在计算时依旧分为以下4种间隔。

1）慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}

由于该站为快车越行站，因此，在计算慢快发车间隔时，需要考虑在该站越行慢车产生的到通间隔时间{\tau }_{at}，同时，与其他情况类似，还需考虑前行慢车在前方越行站n_x控制点传播间隔函数f\left(n_x\right)的影响。因此，慢车和后行快车的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}为

t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}},f\left(n_x\right)\right\}+{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}（18）

由于计算基准站既是折返站又是越行站，因此，前行慢车被越行位置n_x=n_{y+\mathrm{1}},n_x>s_{\mathrm{r}}，x\ge \mathrm{2}。根据控制点传播函数计算可得f\left(n_x\right)=f\left(n_{y+\mathrm{1}}\right)=(n_{y+\mathrm{1}}-n_y-\mathrm{1}){\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=n_y}^{n_{y+\mathrm{1}}-\mathrm{1}}}∆t_j。

2）快车和后行慢车的发车间隔时间t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}

由于该站为快车越行站，快车越行后，慢车应满足最小通发间隔约束，因此，在该情形下，快车和后行慢车的发车间隔时间为t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}={\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}。

3）慢车在始发站的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}

当前行为小交路列车，后行为大交路列车时，与折返站处于始发站的情形类似，该间隔也存在3种情况：①前行列车被越行；②前行列车不被越行，但后行列车被越行；③相邻两列车均未被越行。但不同的是，此时由于后行慢车为停站列车而非始发列车，在基准站需要考虑发到间隔{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}和停站时间{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}的影响，但由于区间运行过程中已考虑过这2个因素，因此t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}可表示为

t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{f\left(n_x\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{①}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{g\left(s_{\mathrm{r}}^{\text{'}}\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{②}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{③}\end{array}\right.（19）

对于情况1而言，由于前行列车为小交路慢车，根据控制点传播函数计算，。当\left(n_x-n_{x-\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)t_{\mathrm{s}\mathrm{t}}+{\displaystyle \sum _{j=n_{x-\mathrm{1}}}^{n_x-\mathrm{1}}}∆t_j\ge {\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}时，列车发车间隔受前车越行站控制点的影响。

4）慢车在始发站的发车间隔时间t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}

当前行列车为大交路慢车，后行列车为大、小交路慢车时，该间隔也存在3种情况：①前行列车被越行；②前行列车不被越行，但后行列车被越行；③相邻两列车均未被越行。在情况1中，当前行列车被越行时，列车的发车间隔需要考虑以越行站为控制点的传播函数的影响；情况2中，当前行列车不被越行但后行列车被越行时，需要考虑以终到站为控制点的传播函数的影响；情况3中，当前后两列车均不被越行时，列车的间隔时间不受控制点传播函数的影响。因此，t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}可表示为

t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n}}=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},f\left(n_x\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{①}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},g\left(s_{\mathrm{d}}\right),{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{②}\\ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}},{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}},{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}\right\}\mathrm{情况}\mathrm{③}\end{array}\right.（20）

由于前行列车为大交路慢车，当后行列车为小交路慢车时，在折返站s_{\mathrm{r}}需要考虑慢车间的最小发车间隔{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}，而当后行列车为大交路慢车时，则需考虑始发站的最小发车间隔{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}和在该站的发到间隔和停站时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}。由此可见，当前行列车为大交路慢车时，慢车之间的发车间隔计算与折返站位于始发站的情况一致。

3 基于多控制点的线路通过能力算法设计

多控制点的快慢车多交路混合运行模式下，线路通过能力算法的具体步骤如下。

步骤1：输入参数，具体包括车站个数m；快慢车和小交路开行数量比q:p:r；快车越行站位置n_x；折返站位置s_{\mathrm{r}}和s_{\mathrm{r}}^{\text{'}}；快车在各车站的停站方案；最小到通间隔时间{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}；最小通发间隔时间{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}；最小发到间隔时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}；最小到达间隔时间{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}；最小发车间隔时间{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}；快慢车在各区间的运行时间差\Delta t_i；快慢车在越行站n_x研究方向（如下行）区间的运行时间差\Delta t_{n_x}；快慢车在越行站n_x研究方向（如下行）前一个区间的运行时间差\Delta t_{n_x-\mathrm{1}}；慢车停站时间{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}。

步骤2：判断运行模式，若为单一交路则进入步骤3，若为多交路混合运行则进入步骤4。

步骤3：单一交路模式下，周期计算式为式（7）。先确定列车开行顺序和越行关系，然后计算控制点传播函数值，再由式（8）—式（13）计算列车间隔时间，完成后进入步骤5进行周期修正。

步骤4：多交路混合模式下，先判断2个小交路折返站的位置分布情况，根据折返站位于中间越行站或始发站的不同组合，选择对应的式组计算列车间隔时间。若二者均为中间越行站，选择式（15）—（17）进行计算；若其中一个折返站位于始发站，另一个越行站位于中间站，选择式（18）—式（20）进行计算，计算完成后进入步骤5。

步骤5：遍历快车的停站位置并初始化遍历编号i=\mathrm{2}，在判断快车的停站位置和停站方案的基础上，根据列车的停站情况对周期进行修正。首先，判断列车在i站是否停车，若停车，则按式（21）计算修正后的周期T\text{'}；若不停车，则根据车站位置情况修正周期（修正方法可参考文献［1］）。其次，判断i站是否为终到站，若不是则对i增一，继续判断列车是否在该站停车并计算或修正周期；若站为终到站，则进入步骤6。

T^{\text{'}}=\left\{\begin{array}{l}T-\left({\tau }_{da}-{\tau }_{dd}-\Delta t_{\mathrm{1}}\right)i=\mathrm{2}\mathrm{或}i=m-\mathrm{1}\\ T-{\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}-\Delta t_{n_x-\mathrm{1}}+{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}i=n_x-\mathrm{1}\\ T-{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}-\Delta t_{n_x}+{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}i=n_x+\mathrm{1}\\ T-\left({\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}+{\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{d}}\right)+\left({\tau }_{\mathrm{a}\mathrm{a}}+{\tau }_{\mathrm{d}\mathrm{d}}+t_{n_x}\right)i=n_x\end{array}\right.（21）

步骤6：在计算运行周期时间基础上，根据式N_M=\frac{\mathrm{3}\mathrm{600}(p+q+r)}{T^{\text{'}}}计算快慢车多交路混合运行模式下的线路通过能力。

步骤7：输出线路通过能力N并结束。

4 实例验证

4.1　数据来源

试验线路采用“外围+中心”的复合型布局，全长99 km，其中城市外围区段73 km，中心区段26 km。为适应差异化客流需求，线路采用“多交路+快慢车”的周期化运营模式，提供差异化运营服务。市域客流采用长交路通勤快车和站站停慢车组合，城区高密度客流段则补充小交路站站停慢车以增强运力。该线路及具体越行站配置如图12所示。

该试验线路共设18个车站，采用下行方向从左至右依次编号为A—R的排序方式，其中车站D，H和M设置为越行站，H和R为折返站。运营列车采用4节编组的市域D型列车，城市外围区段设计速度为200 km · h^-1，中心区段设计速度为120 km · h^-1，列车控制系统采用CBTC系统，线路站间距与区间运行时分等具体参数见表1。

由表1可知：在无越行情况下，慢车停站时间为30 s，列车最小发车间隔为120 s，发到间隔为90 s，到通间隔为90 s，通发间隔为60 s；由快慢车停站位置可推算越行车站数量为2，n_{\mathrm{1}}取值为8，n_{\mathrm{2}}取值为13。

4.2　线路通过能力计算与仿真验证

根据越行站位置及快慢车停站，采用前文给出的计算方法求解线路通过能力。根据现有客流情况，设置慢车p=\mathrm{1}、快车q=\mathrm{1}和小交路列车r=\mathrm{2}。依据上述基于控制点的多交路快慢车混合运行图能力计算方法，运行图周期T=t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{1}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{2}}+t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}。由式（16）可得t_{\mathrm{h},\mathrm{l}}=\mathrm{120}，由式（17）可得t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{1}}=\mathrm{120}、t_{\mathrm{l},\mathrm{l}\mathrm{n},\mathrm{2}}=\mathrm{281}，由式（15）可得t_{\mathrm{l},\mathrm{h}}=\mathrm{363}。因此，T=\mathrm{854}。

该案例线路的最大通过能力为16列 · h^-1，具体列车开行方案为：小交路列车为8列 · h^-1，大交路列车为8列 · h^-1（其中快车和慢车各为4列 · h^-1）。将上述列车运行间隔参数输入OpenTrack仿真平台进行验证，结果表明：在无扰动情况下，列车无延误；当减少列车间隔时，列车延误急剧增加。

4.3　不同列车结构的线路通过能力

分析周期内不同列车结构下的通过能力，结果如图13所示。

由图13可知：不同运行模式下的线路通过能力呈现显著差异，在单一交路运行模式下（r=\mathrm{0}），当快慢车数量相等时线路通过能力达到最小值13列 · h^-1，此时快车数量增加会导致通过能力下降；转入多交路混合运行模式后（r\ge \mathrm{1}），通过能力展现出相似的增长趋势，在快慢车比例持平的条件下通过能力最低，但随着慢车比例提升，系统运能同样呈现上升态势；多交路混合运行模式中当大交路快慢车比例相同时，通过能力随小交路列车开行数量的增加而持续提升。

5 结语

本研究提出1种面向多交路快慢车混合运营模式下的市域郊铁路线路通过能力计算方法，基于控制点理论，综合考虑越行站位置、快慢车越行关系和小交路列车折返等关键因素，构建不同场景的控制点解析函数，进而计算不同列车的间隔时间和运行图周期时间。该方法可适用于多种开行方案与列车开行比例的多交路快慢车混合运行组织下的线路通过能力计算，通过在我国某市域快速轨道交通线路的实例验证，表明该方法具有较好的实用性。

为简化计算过程，案例研究中部分参数进行了理想化处理，可能导致计算结果与实际运营存在一定偏差。此外，假设越行站位置已预先确定（基于线路设计和客流需求），而未考虑越行站选址对通过能力的影响机制，这将是后续研究的重点方向。

在多样化客流结构和差异化服务需求的驱动下，市域（郊）铁路将逐步发展形成更为复杂的多交路快慢车协同运营体系。未来可从动态调度优化、越行站选址策略、智能仿真耦合、以及AI辅助能力评估等方向深入拓展，实现更加精细化、实时化的铁路运行组织与能力管理。

参考文献

[1] 高国飞，张星臣，罗强，等.市域快速轨道交通快慢车混合运行时线路通过能力计算方法［J］.中国铁道科学，2021，42（1）：156-165.

[2] GAO Guofei， ZHANG Xingchen， LUO Qiang， et al. Calculation Method of Line Carrying Capacity of Regional Rapid Rail Transit under Mixed Operation of Express/Local Trains ［J］. China Railway Science， 2021，42 （1）：156-165. in Chinese

[3] 徐瑞华，陈菁菁，杜世敏.城轨交通多种列车交路模式下的通过能力和车底运用研究［J］.铁道学报，2005，27（4）：6-10.

[4] XU Ruihua， CHEN Jingjing， DU Shimin. Study on Carrying Capacity and Use of Rolling Stock with Multi-Routing in Urban Rail Transit ［J］. Journal of the China Railway Society， 2005， 27 （4）： 6-10. in Chinese

[5] 刘茜.开行快慢车条件下城市轨道交通列车运行组织研究［D］.成都：西南交通大学，2016.

[6] LIU Xi. Research on Operation Organization of Urban Rail Transit of Express/Local Train ［D］. Chengdu： Southwest Jiaotong University， 2016. in Chinese

[7] 陈福贵，汤珏.地铁快慢车模式系统能力损失原则研究［J］.铁道工程学报，2014，31（12）：96-100.

[8] CHEN Fugui， TANG Jue. Research on the Principle of System Capacity Loss in the Mode of Express/Slow Urban Rail Transit ［J］. Journal of Railway Engineering Society， 2014， 31 （12）： 96-100. in Chinese

[9] 单杏花.基于运行图压缩的高速铁路区段通过能力研究［J］.铁道运输与经济，2020，42（增1）：15-20.

[10] SHAN Xinghua. Study of District Carrying Capacity for High-Speed Railway Based on Train Working Diagram Compression ［J］. Railway Transport and Economy， 2020， 42 （）： 15-20. in Chinese

[11] 王宇强，方波，魏玉光，等.基于点线一体化的高速铁路通过能力计算研究［J］.铁道学报，2020，42（9）：1-9.

[12] WANG Yuqiang， Fang Bo， WEI Yuguang， et al. Capacity Calculation of High-Speed Railway Based on Station-Section Integration ［J］. Journal of the China Railway Society， 2020， 42 （9）： 1-9. in Chinese

[13] JENSEN L W， SCHMIDT M， NIELSEN O A. Determination of Infrastructure Capacity in Railway Networks without the Need for a Fixed Timetable ［J］. Transportation Research， Part C： Emerging Technologies， 2020， 119： 102751.

[14] NAVARRO L M， FERNANDEZ-CARDADOR A， CUCALA A P. Fuzzy Maximum Capacity and Occupancy Time Rate Measurements in Urban Railway Lines ［J］. European Transport Research Review， 2018， 10 （2）： 61.

[15] 黄辉林，周心怡，崔衍渠.400 km/h高速铁路通过能力计算方法研究［J］.高速铁路技术，2024，15（1）：23-28.

[16] HUANG Huilin， ZHOU Xinyi， CUI Yanqu. Study on Calculation Method for Carrying Capacity of 400 km/h High-Speed Railways ［J］. High Speed Railway Technology， 2024， 15 （1）： 23-28. in Chinese

[17] 徐瑞华，徐浩，宋键.城市交通列车共线运营的通过能力和延误［J］.同济大学学报（自然科学版），2005，33（3）：301-305.

[18] XU Ruihua， XU Hao， SONG Jian. Capacity and Train Running Delay under Condition of Operation Plan of Urban Transit System Network ［J］. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2005， 33 （3）： 301-305. in Chinese

[19] ASSIS W O， MILANI B L E A. Generation of Optimal Schedules for Metro Lines Using Model Predictive Control ［J］. Automatica， 2004， 40 （8）： 1397-1404.

[20] CASTELLI L， PESENTI R， UKOVICH W. Scheduling Multimodal Transportation Systems ［J］. European Journal of Operational Research， 2004， 155 （3）： 603-615.

[21] SZYMULA C， BEŠINOVIĆ N， NACHTIGALL K. Quantifying Periodic Railway Network Capacity Using Petri Nets and Macroscopic Fundamental Diagram ［J］. Transportation Research， Part C： Emerging Technologies， 2024， 158： 104436.

[22] KHADEM SAMENI M， MORADI A. Railway Capacity： a Review of Analysis Methods ［J］. Journal of Rail Transport Planning & Management， 2022， 24： 100357.

[23] 陈翠利.城市轨道交通多交路运营线路通过能力损失及优化［J］.都市快轨交通，2016，29（1）：14-17.

[24] CHEN Cuili. Capacity Losses and Optimization for Multi-Routing Operation Line in Urban Rail Transit ［J］. Urban Rapid Rail Transit， 2016， 29 （1）： 14-17. in Chinese

[25] 胡兴丽，熊慧茹，邹雄.基于多交路运行的同种制式轨道交通跨线组织研究［J］.铁道运输与经济，2019，41（1）： 111-115.

[26] HU Xingli， XIONG Huiru， ZOU Xiong. A Study on the Cross-Line Traffic Organization of the Same-Type Rail Transit Based on Multi-Route Operation ［J］. Railway Transport and Economy， 2019， 41 （1）： 111-115. in Chinese

[27] ABRIL M， BARBER F， INGOLOTTI L， et al. An Assessment of Railway Capacity ［J］. Transportation Research Part E： Logistics and Transportation Review， 2008， 44 （5）： 774-806.

[28] KONTAXI E， RICCIA S. Railway Capacity Handbook： a Systematic Approach to Methodologies ［J］. Procedia - Social and Behavioral Sciences， 2012， 48： 2689-2696.

[29] ZHANG J. Analysis on Line Capacity Usage for China High Speed Railway with Optimization Approach ［J］. Transportation Research Part A： Policy and Practice， 2015， 77： 336-349.

[30] 于海鹏，郝宾.城市轨道交通线路运行能力计算标准化方案研究［J］.控制与信息技术，2022（2）：92-101.

[31] YU Haipeng， HAO Bin. Research on Standardization Scheme of Operation Capacity Calculation for Urban Rail Transit Lines ［J］. Control and Information Technology， 2022 （2）： 92-101. in Chinese

基金资助

北京交通大学人才基金资助项目(2024XKRC055)