基于非线性黏弹性-塑性模型的扣件弹性垫板力学性能表征

Mechanical Property Characterization of Fastener Elastic Pads Based on Nonlinear Viscoelastic-Plastic Model

摘要

为准确表征扣件弹性垫板的非线性动力学性能，将超弹性本构和线性黏弹性本构相结合，同时考虑垫板塑性，建立扣件弹性垫板非线性黏弹性-塑性本构模型；以中国高速铁路WJ-8B型扣件弹性垫板为研究对象，根据垫板的材料特性，结合各种本构模型的优缺点，分别采用Yeoh模型、Berg摩擦模型和高阶分数阶导数模型（Fraction Voigt and Maxwell model in Parallel，FVMP）对垫板的超弹性、黏弹性和塑性特性进行表征；利用配有高低温试验箱的MFT-250加载系统分别对垫板进行变温静载试验、低频大振幅试验和定频变温试验，求取各本构模型中的参数；通过前述3种试验探究温度对垫板超弹性、黏弹性和塑性的影响。结果表明：当温度高于-40 ℃时，垫板非线性性质较显著，且垫板所受荷载越大，位移非线性增大趋势越明显；各温度下垫板动态塑性力-位移滞回曲线主刚度与静态力学试验结果变化趋势一致；垫板储能刚度随温度降低逐渐增大，而耗能刚度则随温度降低先增后减，峰值处温度为-46 ℃；损耗因子在-42 ℃时达到峰值，约为玻璃化转变温度；非线性黏弹性-塑性模型相较于线性黏弹性-塑性模型拟合效果更好，能全面反映垫板非线性动力学特性；该组合模型可进一步嵌入车辆-轨道耦合动力学仿真平台，为车辆-轨道系统动力学性能优化、减振降噪技术研发提供模型支撑。

Abstract

To accurately characterize the nonlinear dynamic behavior of fastener elastic pads, a nonlinear viscoelastic-plastic constitutive model for fastener elastic pads was developed by combining hyperelastic and linear viscoelastic constitutions, while also considering pad plasticity. Taking the elastic pad of the WJ-8B fastening system for China’s high-speed railways as the research subject, based on the material properties of the pad and considering the advantages and disadvantages of various constitutive models, the Yeoh model, the Berg friction model, and the higher-order fractional derivative model, FVMP (Fraction Voigt and Maxwell model in Parallel), were respectively employed to characterize the hyperelastic, viscoelastic, and plastic properties of the pad. Using an MFT-250 loading system equipped with a high/low-temperature test chamber, the pads underwent variable-temperature static loading tests, low-frequency large-amplitude tests, and constant-frequency variable-temperature tests to determine parameters for each constitutive model. These three tests investigated the effects of temperature on the pads’ hyperelasticity, viscoelasticity, and plasticity. Results indicate that when temperature exceeds -40℃, the nonlinear properties of the pad become more pronounced, and the larger the load applied to the pad, the more obvious the nonlinear increase in displacement. At each temperature, the main stiffness of the dynamic plastic force-displacement hysteresis curve of the pad followed the same trend as the static mechanical test results. The energy storage stiffness of the pad gradually increased with decreasing temperature, while the energy dissipation stiffness first increased and then decreased with decreasing temperature, peaking at -46℃. The loss factor reached its peak at -42℃, approximately the glass transition temperature. The nonlinear viscoelastic-plastic model provides better fitting performance compared with the linear viscoelastic-plastic model, comprehensively reflecting the nonlinear dynamic characteristics of the pad. This combined model can be further integrated into vehicle-track coupled dynamics simulation platforms, providing foundational support for optimizing vehicle-track system dynamics and developing vibration and noise reduction technologies.

Graphical abstract

关键词

本构模型 / 扣件弹性垫板 / 超弹性 / 黏弹性 / 塑性

Key words

Constitutive model / Fastener elastic pad / Hyperelastic / Viscoelasticity / Plasticity

扣件系统是高速铁路无砟轨道不可或缺的组成部件，特别是扣件中的弹性垫板，提供了减隔振需要的弹性和阻尼，其动态力学性能对车辆-轨道系统振动和轮轨相互作用都有重要影响^［1］。扣件弹性垫板作为高分子复合材料，其力学响应具有典型的多维度非线性特征，在动态荷载激励下表现出幅值与频率相关、应变滞后等特性^［2］，属于橡胶黏弹特性；另外，扣件弹性垫板在制作过程中添加炭黑将导致橡胶内部存在摩擦损耗，导致塑性形变；同时橡胶属于链状高分子聚合物，在弹性变形下存在非线性应力-应变关系^［3］，因此橡胶除了具有黏弹性和塑性，也常作为超弹性材料处理。构建能够精确表征弹性垫板多性质力学行为的本构模型，是揭示其复杂非线性特性的关键，同时也是实现其性能优化设计和高铁长期运维的核心基础。

关于扣件弹性垫板的性能表征，目前大多数学者采用的是黏弹性本构模型。现有的黏弹性本构模型主要有2大类：一类是早期出现的标准机械模型，孙旭等^［4］将高速铁路无砟轨道W300-1型扣件弹性垫板表征为8参数K-V模型和3个Maxwell模型并联组成的机械模型，考虑弹性垫板黏弹性材料的频率依赖性；另一类是目前较为常用的分数阶导数模型，相比标准机械模型，分数阶导数模型提供了一种更为简洁、准确的方法描述黏弹性材料的力学性能。文献［5-8］采用不同种类分数阶导数模型研究了扣件弹性垫板的温频变动力学特性。为研究垫板的幅变特性，也有部分学者同时考虑扣件弹性垫板的黏弹性和塑性。文献［9-11］将黏弹性模型与塑性摩擦模型进行并联对弹性垫板进行表征，可以同时研究弹性垫板的温变、频变和幅变特性。上述学者采用的标准机械模型和分数阶导数模型均属于线性黏弹性模型，而在实际工程应用中扣件弹性垫板长期承受高频冲击、复杂温湿环境及动、静荷载耦合重复作用，线性条件会受到破坏，橡胶材料表现出明显的非线性黏弹特性。

目前，构建非线性黏弹性本构方程常用的是将超弹本构和线性黏弹本构相结合以描述橡胶材料的非线性黏弹性特征^［12］，即同时考虑橡胶材料的超弹性和黏弹性。周梦雨等^［13］基于超弹性模型和并行流变模型描述了轮胎的非线性黏弹性特征。王遥遥等^［14］建立隔振器冲击性能仿真分析有限元模型，选择Mooney-Rivlin-Maxwell模型作为橡胶黏超弹性本构模型。Jiang等^［15］组建了一个修正的朱王唐（ZWT）非线性黏超弹性本构模型描述了三元乙丙橡胶在不同应变率下的材料响应。Gong等^［16］建立了黏超弹性本构模型表征橡胶材料在不同载荷速率下的力学行为。Khajehsaeid等^［17］采用应变能函数描述超弹性特性、遗传积分算法描述黏弹性特性，构建了橡胶材料三维黏超弹性本构模型。为了更全面描述橡胶多方面性质，文献［18-20］在非线性黏弹性模型的基础上叠加了塑性摩擦模型，即同时考虑橡胶材料的超弹性、黏弹性和塑性。Chen等^［21］建立了介电高弹体的黏弹性-超弹性-塑性本构模型，描述介电高弹体在循环变形过程中体现出的超弹性、黏弹性和塑性特性。

上述研究表明，关于橡胶材料的非线性黏弹性性质研究已涉及较多领域，而针对扣件弹性垫板的非线性黏弹性特性却鲜有研究，目前大多学者采用的线性黏弹性模型显然不能准确描述垫板的非线性力学响应。

本文为准确表征扣件弹性垫板的非线性动力学性能，耦合超弹性与线性黏弹性本构并引入塑性，建立扣件弹性垫板非线性黏弹性-塑性本构模型；以WJ-8B型垫板为研究对象，结合材料特性与各模型优劣，采用Yeoh模型、Berg摩擦模型与FVMP模型分别对垫板的超弹性、塑性与黏弹性进行表征，通过配有高低温试验箱的MFT-250加载系统对垫板进行动、静力学性能试验，拟合确定各模型参数并探究温度对垫板超弹性、塑性及黏弹性特性的影响。

1 钢轨扣件弹性垫板的非线性黏弹性-塑性本构模型

钢轨扣件弹性垫板非线性黏弹性-塑性本构模型由表征超弹性的Yeoh模型、表征塑性的Berg摩擦模型和表征黏弹性的FVMP模型并联组成，示意图如图1所示。图中：F为垫板所受合力；x为垫板压缩量。

从图1可以看出：垫板受到的合力F为超弹性力F_{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}、塑性摩擦力F_{\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}和黏弹性力F_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}}之和，即

F=F_{\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}}+F_{\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}+F_{\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}}（1）

1.1　Yeoh模型

描述超弹性材料本构模型的方法之一是从试验数据角度分析的连续介质唯象论方法。连续介质力学认为，高分子材料未变形时是各向同性，模型可以用应变能函数表达，其中Yeoh模型^［22］常被用于表征添加有炭黑橡胶材料的力学性能，因此选择Yeoh模型对垫板超弹性特性进行表征，表达式为

W=C_{\mathrm{10}}\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)+C_{\mathrm{20}}{\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{30}}{\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{3}}（2）

式中：W为应变能；C_{\mathrm{10}}，C_{\mathrm{20}}和C_{\mathrm{30}}为材料常数，由静态加载试验的结果确定；I_{\mathrm{1}}，I_{\mathrm{2}}和I_{\mathrm{3}}均为主应变不变量。

将其进一步改写可得到以荷载-位移关系表示的本构模型，即

\begin{array}{l}{F}_{\mathrm{l}}=\mathrm{2}A\left[{\left(\frac{h}{h+\mathrm{\Delta }x}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}-\frac{\mathrm{\Delta }x}{h}\right]\\ \left\{C_{\mathrm{10}}+\mathrm{2}{C}_{\mathrm{20}}\left[\frac{\mathrm{2}h}{h+\mathrm{\Delta }x}+{\left(\frac{h+\mathrm{\Delta }x}{h}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\right]+\mathrm{3}{C}_{\mathrm{30}}{\left[\frac{\mathrm{2}h}{h+\mathrm{\Delta }x}+{\left(\frac{h+\mathrm{\Delta }x}{h}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\right]}^{\mathrm{2}}\right\}\end{array}（3）

式中：F_{\mathrm{l}}为作用在垫板上的荷载；A为垫板受压面积；h为垫板厚度；\mathrm{\Delta }x为垫板变形量。

在条件允许的情况下，要精确描述可以表征扣件材料特性的完整超弹应变能密度曲面，至少要进行扣件材料的单轴拉伸、双轴拉伸和平面拉伸3种应力应变状态试验。若要完全描述类橡胶超弹性材料的非线性力学特征，就要求对超弹性材料进行拉伸、压缩、剪切以及体积试验等全部基础力学试验。但因扣件弹性垫板的实际工作状态以受压为主，所以理论上只需进行单轴压缩试验对超弹性本构模型进行拟合即可。

1.2　Berg摩擦模型

常用的摩擦力模型为Berg摩擦模型，该模型的摩擦单元能够实现幅变影响分析，且参数识别工况适中，其具体形式^［23］为

（4）

其中，

\mu =\frac{F_{\mathrm{f}\mathrm{s}}}{F_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}

式中：F_{\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}为塑性摩擦力；F_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大摩擦力；x_{\mathrm{2}}为\mathrm{0.5}{F}_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}时对应的位移；F_{\mathrm{f}\mathrm{s}}和x_{\mathrm{s}}分别为垫板每次位移方向发生改变时参考点的摩擦力和位移。

为确定垫板的摩擦单元参数，此处采用大幅值低频率加载下的试验数据进行参数识别，较低的加载频率可以消除振动过程中由速度过快引起的黏弹性力，且较大的加载幅值可以凸显模型中摩擦单元的作用效果，使摩擦单元的Berg摩擦模型达到屈服极限，便于后续的参数识别。

1.3　FVMP模型

FVMP模型是一种描述橡胶材料黏弹本构关系的高阶分数阶导数模型，适用性广泛，能够在较宽频率范围内描述橡胶材料的动力学性能，其时域本构方程^［24］为

\begin{array}{l}\frac{c_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}\sigma \left(t\right)+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{D}^{\alpha }\sigma \left(t\right)=D^{\alpha +\gamma }\epsilon \left(t\right)+c_{\mathrm{1}}{D}^{\alpha }\epsilon \left(t\right)+\\ \frac{{\mu }_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{D}^{\beta }\epsilon \left(t\right)+c_{\mathrm{2}}{D}^{\gamma }\epsilon \left(t\right)+c_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}}\epsilon \left(t\right)\end{array}（5）

其中，

c_{\mathrm{1}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}

c_{\mathrm{2}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}

式中：{\mu }_{\mathrm{1}}和{\mu }_{\mathrm{2}}均为FVMP模型的弹性系数；{\eta }_{\mathrm{1}}和{\eta }_{\mathrm{2}}均为FVMP模型的黏性系数；\alpha，\beta和\gamma均为分数阶导数阶数；D为分数阶微分算子；t为时间；\sigma \left(t\right)为弹性垫板应力；\epsilon \left(t\right)为弹性垫板应变。

橡胶这类材料的力学响应具有显著的温度-频率等效性，即在低温-高频条件下，材料表现为玻璃态，黏弹性变形占比低；高温-低频条件下，材料表现为黏流态，黏弹性变形占比显著提升。FVMP模型的弹性系数、黏性系数、分数阶导数阶数这些核心参数均与温度、加载频率强相关，因此需通过试验分离温度对参数的独立影响，而定频变温试验可精准剥离温度对FVMP模型各参数的影响。

对式（5）进行傅里叶变换，再进行实部和虚部的分离即可得到FVMP模型的储能刚度E_{\mathrm{s}}、耗能刚度E_{\mathrm{l}}和损耗因子\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\delta，为

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{s}}\left(\omega \right)={\mu }_{\mathrm{1}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{\omega }^{\gamma }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\gamma \mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+\\ {\mu }_{\mathrm{2}}\frac{{\omega }^{\alpha +\beta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\beta -\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)+c_{\mathrm{2}}{\omega }^{\beta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\beta }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}\alpha }+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{\omega }^{\alpha }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}\end{array}（6）

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{l}}\left(\omega \right)={\eta }_{\mathrm{1}}{\omega }^{\gamma }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\gamma \mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+\\ {\mu }_{\mathrm{2}}\frac{{\omega }^{\alpha +\beta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\beta -\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)+c_{\mathrm{2}}{\omega }^{\beta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\beta }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}\alpha }+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{\omega }^{\alpha }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}\end{array}（7）

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\delta =\frac{E_{\mathrm{l}}}{E_{\mathrm{s}}}=\frac{{\eta }_{\mathrm{1}}{\omega }^{\gamma }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\gamma \mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+}{{\mu }_{\mathrm{1}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{\omega }^{\gamma }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\gamma \mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}+}\to\leftarrow \frac{{\mu }_{\mathrm{2}}\frac{{\omega }^{\alpha +\beta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\beta -\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)+c_{\mathrm{2}}{\omega }^{\beta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\frac{\beta }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}\alpha }+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{\omega }^{\alpha }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}}{{\mu }_{\mathrm{2}}\frac{{\omega }^{\alpha +\beta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\beta -\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)+c_{\mathrm{2}}{\omega }^{\beta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\beta }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}{c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}\alpha }+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{\omega }^{\alpha }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\mathrm{\pi }\right)}}（8）

式中：\omega为垫板所受荷载频率。

利用扣件弹性垫板定频变温试验结果，结合温频等效原理，将垫板动参数随温度的变化曲线转化为不同参考温度下垫板动参数随加载频率的变化曲线，由此即可确定该模型中的{\mu }_{\mathrm{1}}，{\mu }_{\mathrm{2}}，{\eta }_{\mathrm{1}}，{\eta }_{\mathrm{2}}，\alpha，\beta和\gamma这7个待定系数。

2 钢轨扣件弹性垫板的静态与动态力学试验

以WJ-8B型扣件弹性垫板为试验对象，利用配有高低温试验箱的MFT-250加载系统对垫板动、静力学性能进行测试，试验仪器及对试验对象的组装情况如图2所示。

2.1　试验工况

根据橡胶材料和扣件弹性垫板的力学性质，结合文献［25］中弹性垫层静、动刚度试验方法设计试验工况，详见表1。表中：工况1为变温静载试验，模拟了橡胶材料的静态单轴压缩试验，但标准单轴压缩试验需要的标准试样难以获得，这里进行相似处理，即利用垫板加载过程与单轴压缩试验的相似性，将垫板静态加载试验测得的荷载-位移曲线进行等效处理；工况2为低频大幅循环荷载试验，为拟合塑性模型参数提供试验数据；工况3为较高频率下的定频变温试验，根据温度箱所能达到的最低温度，将温度范围设置为-50~40 ℃，为保证3种模型的参数为同一温度下所得，将工况1和工况2设置为与工况3相同的温度范围。

因扣件弹性垫板具有低温敏感性和高温稳定性，为了更好地体现垫板的低温性质，在-50~-30 ℃范围内，以2 ℃为间隔；在-30~40 ℃范围内，以5 ℃为间隔。

2.2　试验步骤

3种工况均为升温试验，在完成仪器装配后将温度箱降至-50 ℃，从-50 ℃开始按上述温度间隔进行升温。

为了保证加载过程中温度的稳定，每个温度点保温约1 h，为了减小试验误差，每个温度点重复进行3次测量，取平均值作为该温度点测量结果。保温结束后，为了消除高聚物的Mullins效应，以5 kN · s^-1的加载速率进行0~100 kN的2个循环的预加载。

工况1为静态压缩试验，以10 kN为间隔，从0 kN开始以1 kN · s^-1的速率进行加载，待每级加载位移稳定后进行记录，加载至100 kN结束，每个温度点如此反复进行。待全部完成后，可得到各个温度下的超弹性力-位移曲线。

工况2和工况3为动态加载试验，首先以1 kN · s^-1的速率加载至45 kN作为起点，再对垫板施加相应频率的循环荷载，待循环荷载稳定后开始进行测量。待所有温度点测量完成后，可得到各个温度下的动态塑性和黏弹性曲线。

3 钢轨扣件弹性垫板的本构模型参数拟合及表征

3.1 模型表征

3.1.1　超弹性力学性能表征

试验工况1得到的不同温度下的超弹性力-位移曲线如图3所示。从图3可以看出：垫板所受荷载越大，位移非线性增大的趋势越明显，垫板的超弹性性质也就越明显；温度对垫板的超弹性性质也有所影响，当温度低于-40 ℃时，其超弹性性质体现不显著，垫板位移增量总体呈线性趋势增大；当温度高于-40 ℃时，垫板的非线性性质较为显著。

以20 ℃为例，将20 ℃时的超弹性力-位移数据点代入式（3），并利用最小二乘法求得参数值见表2。拟合结果与实测结果的对比如图4所示。从图4可以看出：采用Yeoh模型能够较好地表征垫板的超弹性特性。

3.1.2　塑性力学性能表征

Berg摩擦模型参数识别采用图解法^［26］，图解法示意图如图5所示。图中：K_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为最大刚度，近似为曲线开始回转时的斜率；K_{\mathrm{e}}为超弹性模型刚度，近似为位移接近极限位置的曲线斜率。

在位移变化区间中心处，曲线的上、下值之差近似为\mathrm{2}{F}_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，由此可计算出F_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}。

x_{\mathrm{2}}采用式（9）计算。

x_{\mathrm{2}}=\frac{F_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{K_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-K_{\mathrm{e}}}（9）

试验工况2得到的不同温度下的动态塑性力-位移曲线如图6所示。从图6可以看出：不同温度下滞回曲线的主刚度与工况1静态力学试验结果的变化趋势一致，这是因为加载速率较慢，在滞回曲线中有相当大一部分的超弹性力存在。

以20 ℃为例，将20 ℃时的滞回曲线利用图解法进行求解，即可得出Berg摩擦模型系数F_{\mathrm{f}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{5.029}\mathrm{k}\mathrm{N}，x_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.055}\mathrm{m}\mathrm{m}。拟合结果与实测结果的对比如图7所示。从图7可以看出：采用Berg摩擦模型能够较好表征垫板的塑性特性。

3.1.3　黏弹性力学性能表征

由试验工况3得到的-50~40 ℃温度范围内垫板储能刚度、耗能刚度、损耗因子随温度变化情况如图8所示。从图8可以看出：垫板的储能刚度随温度的降低而增大，尤其在低于-20 ℃后储能刚度显著增大；垫板的耗能刚度随着温度的降低先增大后减小，峰值处的温度为-46 ℃；垫板的损耗因子在温度高于-42 ℃时随着温度的降低而升高，且升速渐渐增大，并在-42 ℃达到峰值，在温度低于-42 ℃时随着温度的降低而降低。

为了将垫板储能刚度、耗能刚度、损耗因子随温度变化情况转换为随频率变化情况，在定频变温扫描试验的基础之上，结合温度-频率等效原理与Williams-Landel-Ferry方程将数据扩展至宽频域^［27］，再结合最小二乘法识别FVMP模型参数。由温频等效原理可知，对于密度为\rho的橡胶材料，在试验频率{\omega }_{\mathrm{0}}、试验温度T下的储能刚度E_{\mathrm{s}}\left({\omega }_{\mathrm{0}},T\right)和耗能刚度E_{\mathrm{l}}\left({\omega }_{\mathrm{0}},T\right)可以转化为参考温度T_{\mathrm{0}}、密度{\rho }_{\mathrm{0}}下的储能刚度E_{\mathrm{s}}({\omega }_{\mathrm{0}}\alpha (T),T_{\mathrm{0}})和耗能刚度E_{\mathrm{l}}({\omega }_{\mathrm{0}}\alpha (T),T_{\mathrm{0}})分别为

E_{\mathrm{s}}\left({\omega }_{\mathrm{0}},T\right)=\frac{\rho T}{{\rho }_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{0}}}{E}_{\mathrm{s}}\left({\omega }_{\mathrm{0}}\alpha \left(T\right),T_{\mathrm{0}}\right)（10）

E_{\mathrm{l}}\left({\omega }_{\mathrm{0}},T\right)=\frac{\rho T}{{\rho }_{\mathrm{0}}{T}_{\mathrm{0}}}{E}_{\mathrm{l}}\left({\omega }_{\mathrm{0}}\alpha \left(T\right),T_{\mathrm{0}}\right)（11）

其中，

\mathrm{l}\mathrm{g}(\alpha (T))=\frac{-C_{\mathrm{1}}\left(T-T_{\mathrm{0}}\right)}{C_{\mathrm{2}}+\left(T-T_{\mathrm{0}}\right)}

式中：\alpha \left(T\right)为温度转化因子；{\omega }_{\mathrm{0}}\alpha \left(T\right)为折算频率；C_{\mathrm{1}}和C_{\mathrm{2}}分别为与橡胶垫板种类和参考温度T_{\mathrm{0}}有关的常数。

以参考温度20 ℃为例，结合上述温频等效原理和WLF方程，将垫板各个动参数随温度的变化曲线转换为参考温度20 ℃时垫板动参数随频率的变化曲线如图9和图10所示。从图9和图10可以看出：垫板的储能刚度、耗能刚度、损耗因子均随着频率的增大而升高。

再结合式（6）—式（8），通过最小二乘法对FVMP模型参数进行求解，结果见表3。拟合结果与实测结果的对比如图11所示。从图11可以看出，采用FVMP模型能够较好表征垫板的黏弹性特性。

3.2　模型验证

将上述非线性黏弹性-塑性模型的预测值与20 ℃下的试验值对比，同时将非线性黏弹性-塑性模型与线性黏弹性-塑性的计算结果进行对比，结果如图12所示。从图12可以看出：考虑了橡胶材料超弹性的非线性黏弹性-塑性模型的拟合效果更好，能较好描述扣件弹性垫板的非线性动力学特性。

同时将不同温度下各模型拟合优度R^{\mathrm{2}}进行对比，结果见表4。由表4可知：随着温度逐渐降低，线性模型的拟合优度逐渐提升，非线性模型的拟合优度则始终保持较好，这是因为随着温度的降低，垫板的超弹性性质逐渐不明显，当温度低于-40 ℃时垫板几乎无超弹性性质，因此-40 ℃时的线性黏弹性-塑性模型与非线性黏弹性-塑性模型的拟合优度相距甚小，此时采用2种模型均可对垫板进行力学性能表征；当垫板的超弹性性质越显著时，采用非线性黏弹性-塑性模型进行表征的优势也就越显著。

4 结论

（1）温度低于-40 ℃时，扣件弹性垫板超弹性性质体现不明显，垫板位移增量总体呈线性趋势增大，垫板静刚度随着温度的降低急剧增大；当温度高于-40 ℃时，垫板的非线性性质较显著，且垫板所受荷载越大，位移非线性增大的趋势越明显，垫板静刚度变化则不显著。

（2）各温度下的动态塑性力-位移滞回曲线的主刚度与静态力学试验结果的变化趋势一致，这是因为在滞回曲线中有相当大一部分的超弹性力存在。

（3）垫板的储能刚度随温度的降低逐渐增大，尤其在低于-20 ℃后储能刚度显著增大；垫板的耗能刚度随着温度的降低先增大后减小，峰值处的温度为-46 ℃；垫板的损耗因子在温度高于-42℃时随着温度的降低而升高，且升速渐渐增大，温度低于-42 ℃时随着温度的降低而降低，由此可得垫板玻璃化转变温度约为-42 ℃，对应的损耗因子为0.81。

（4）相较于线性黏弹性-塑性本构模型，非线性黏弹性-塑性本构模型同时考虑了垫板的超弹性、黏弹性和塑性，理论表征效果更好，能够更准确地描述扣件弹性垫板的真实动力学性能。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(52272348)

江西省研究生创新专项资金项目(YC2024-B201)

江西省自然科学基金资助项目(20252BAC200339)