多编组地铁列车故障救援下运行图调整优化方法

An Optimization Method of Timetable Rescheduling for Multi-Formation Metro Train under Failure Rescue

摘要

针对多编组模式下地铁列车故障救援方式及运行调整计划的复杂度和精细化要求，考虑各故障场景下可选救援方式的多样性，将预定救援方式的关键要素作为输入参数，构建以列车延误时间和乘客总出行时间最小化为目标的运行图调整优化模型，设计结合变邻域搜索策略的非支配遗传算法Ⅱ，在扣车和加开备车基础上，对比取消车次、提前回段、小交路折返和灵活接续等运行调整策略的效果。结果表明：相较于就近接续策略，灵活接续策略可使编组类型匹配概率提升至少20.04%；采用取消车次、提前回段和小交路折返等运行调整策略且实施对象均为小编组列车时，可在缓解延误传播的同时降低运行调整对乘客出行的影响；在故障列车为小编组且前方停车线长度满足大编组列车停放需求的情况下，采用后序大编组列车解编救援时的运行调整效果优于列车直接救援的；相比前序/对向列车直接救援、后序/前序列车联挂等多种救援方式，后序列车直接救援得到的运行调整效果更优；设计算法中引入的变邻域搜索策略可显著提高帕累托解集的整体质量。

Abstract

Regarding the complexity and precision required for metro train failure rescue schemes and rescheduling under multi-formation modes, the diversity of available rescue schemes across various failure scenarios is considered. Taking key elements of the predetermined rescue scheme as input parameters, an optimization model for timetable rescheduling is constructed with the objectives of minimizing both train delay time and total passenger travel time. The Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ integrated with variable neighborhood search strategies is designed. Furthermore, a comparative analysis is conducted on effects of rescheduling strategies including cancellations, early depot return, minor-route turnback, and flexible connection based on train holding and additional backup trains. The results indicate that compared with the nearest connection strategy, the flexible connection strategy increases the matching probability of formation types by at least 20.04%. Applying rescheduling strategies like cancellations, early depot return, and minor-route turnback specifically to short-formation trains can mitigate delay propagation with less impact of rescheduling on passenger travel. In scenarios where a short-formation train fails and the ahead parking track is sufficiently long to accommodate a long-formation train, decoupling the following long-formation train for rescue yields better rescheduling outcomes than direct rescue. Direct rescue by the following train proves better rescheduling effects than alternative modes such as direct rescue by the preceding/opposite train or rescue via following/preceding coupling. The variable neighborhood search strategies integrated into the designed algorithm significantly enhance the overall quality of the obtained Pareto solution set.

Graphical abstract

关键词

地铁 / 多编组模式 / 列车故障救援 / 列车运行调整 / 灵活接续 / NSGA-Ⅱ算法

Key words

Metro / Multi-formation mode / Failure train rescue / Train rescheduling / Flexible connection / NSGA-Ⅱ algorithm

相较传统的单一编组模式，多编组模式能够更灵活地适应乘客出行需求的时空分布不均衡特征^［1］。然而多编组混跑不仅会增加运行图调整和车底周转的复杂性，一旦列车发生故障，不同编组列车间救援还可能出现动力不足或者运能浪费等问题^［2］。因此有必要针对多种编组运营场景合理选择救援方式和运行调整策略。

由于铁路客运需求变动较大且动车组解编联挂作业技术较为成熟，目前考虑不同编组类型的运行调整研究与应用主要集中在铁路领域。例如，Liu等^［3］发现若运行调整方案考虑动车组接续约束，则将有更多列车偏离计划运行图；Wagenaar等^［4］通过列车空驶合理调度车辆资源，发现线路中断后应上线大编组列车以满足运输需求；Hoogervorst等^［5］发现大编组列车解编后执行不同的运输任务可以减少取消车次数量；针对虚拟耦合技术，Ma等^［6］和Liu等^［7］发现通过调整编组计划及共享到发线资源可有效抑制延误的传播。在城市轨道交通领域，多编组模式的相关研究多聚焦于开行方案编制和运行图优化2个方面，开行方案编制通过协同优化多编组和多交路模式，可有效降低线路最大断面满载率^［8］，实现降低碳排放^［9］和减少运用车辆数^［10］等目标；运行图优化则致力于解决更加复杂的车底周转问题^［11］，以精确匹配乘客需求与列车运力^［12］，从而降低乘客等待时间^［13］和企业运营成本^［14］。然而，多编组模式下城市轨道交通列车解编或联挂后救援对运行调整的影响更加复杂，故障列车退出正线后救援列车需根据停车线长度选择是否返回正常运营。同时，不同编组长度列车的运行调整策略选择具有差异性，取消车次和小交路折返策略都可能改变列车顺序，救援结束后也需要尽快恢复原编组顺序以维持运营秩序。

针对上述问题，本文以多编组模式下列车运行时发生故障为背景，结合列车直接救援、解编或联挂后进行救援等救援方式的实际需要，研究考虑列车故障救援过程的运行图调整优化方法；在扣车和加开备车策略的基础上，对比取消车次、提前回段、小交路折返和灵活接续等运行调整策略对列车延误时间、线路服务水平等的影响，并评估不同救援方式的适用性及运行调整优化效果。

1 问题描述

针对多编组列车故障场景，将救援方式关键要素作为输入参数，以扣车、加开备车、取消车次、提前回段和小交路折返策略为决策变量，构建目标为列车延误时间和乘客总出行时间最小的运行图调整优化模型。通过对比不同救援方式输入参数条件下运行图优化的目标值，进而评估各救援方式的适用性。为便于研究展开，提出以下假设。

（1）列车选择距离救援区段最近的折返站进行小交路折返。

（2）乘客依据历史数据均匀到达各车站^［15］，且出行需求不变。

（3）暂不考虑配合列车救援和运行调整策略所需的车站客流管控措施^［16］。

1.1　列车救援方式

故障列车的具体救援方式主要由救援列车位置、救援编组配置、故障列车停放位置和救援列车返回状态4个关键要素确定，各要素均有若干可能的情况。

（1）救援列车位置。通常可选择故障列车的后序、前序或对向正常运营列车^［17］，即共有3种情况：①若后序列车作为救援列车，此时救援列车通常于故障位置的前一站扣车，接近故障列车用时相对较短；②若前序列车作为救援列车，此时救援列车虽然仍能在故障初步排除期间保持正常运营，但又存在距故障列车较远且反向运行限速较低的弊端；③若对向列车作为救援列车，此时要求故障位置附近存在渡线，适用场景受限。

（2）救援编组配置。根据救援列车、故障列车的编组配置，通常有6种情况：①大编组直接救援大编组列车；②大编组直接救援小编组列车；③小编组直接救援大编组列车；④小编组直接救援小编组列车；⑤大编组解编后救援小编组列车；⑥小编组联挂后救援大编组列车。其中，①—④采用列车直接救援的形式可避免因解编或联挂作业产生的额外操作时间；⑤虽会增加救援用时，但可减少救援列车的清客数量；⑥需要考虑2列小编组接近并联挂的用时，但能有效解决单列小编组牵引力不足的问题^［18］。

（3）故障列车停放位置。通常有前行方向和后行方向2种^［19］情况：①若停放于前行方向车站连接的停车线或场段（停车场和车辆段），列车正向运行对运营的干扰较小；②若停放于后行车站连接的停车线或场段，列车反向运行要求后方多站均需扣车以避免进路冲突。

（4）救援列车返回状态。根据故障列车停放位置的容纳条件，通常有2种情况：①若停车线长度不满足救援车组停放需求，救援列车解钩后必须返回车站恢复正常运营；②若停车线长度满足救援车组停放需求或故障列车停放至场段，为避免列车解钩、换端和返回正线等操作^［20］造成额外的延误时间，救援列车不再返回正常运营。

考虑救援列车位置、救援编组配置、故障列车停放位置和救援列车返回状态分别有3，6，2和2种不同情况，理论上每种救援场景可组合形成至多72种救援方式。然而，受故障位置、线路条件和编组类型等因素的限制，实际中可行的救援方式数量有限。因此可以将预定救援方式的关键要素作为运行图优化模型的输入参数，对比不同救援方式下运行图调整优化后的目标值，筛选得到较优救援方式。

1.2　运行调整策略

为缓解救援过程对正常运营的干扰，通常采用扣车、加开备车、取消车次、提前回段和小交路折返等策略调整优化运行图。以某上行列车发生故障后的救援场景为例，上述策略选择情况如图1所示。图中：S和\left|S\right|分别为车站集合和单向车站数量，即上行始发站至下行终点站可依次编号为1—\mathrm{2}\left|S\right|；i_{\mathrm{1}}—i_{\mathrm{9}}为上下行方向的车次索引；i_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}为在车站或区间发生故障的列车；r为列车救援方式；i_r^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}为救援方式r采用的救援列车；s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}为救援方式r中故障列车退出正线运营的车站。可以看出，列车i_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}发生故障后，由其后序的救援列车i_r^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}将其推行至与车站s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}连接的停车线，且救援列车不再返回运营。为防止列车救援过程中可能产生的进路冲突，锁闭车站\mathrm{2}—s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}的接车进路，造成车次i_{\mathrm{2}}在车站2被长时间扣车；为缓解扣车引发的延误传播，安排下行车次i_{\mathrm{1}}提前回段并取消上行车次i_{\mathrm{4}}，但这又可能导致上行方向乘客滞留；因此对车次i_{\mathrm{3}}实施小交路折返策略，缩减其下行方向服务范围，以提升对上行车站s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}以远的服务频率；同时，为补充线上运营车底数量、快速疏解滞留乘客，分别从车站1和车站\left|S\right|所连接场段双向加开备车执行车次i_{\mathrm{6}}和i_{\mathrm{7}}。

多编组模式下实施上述取消车次、小交路折返等策略会扰乱既定的编组顺序。因此，可在线路两端的双折返线车站采取灵活接续策略，通过折返接续关系的调整，使列车编组顺序恢复至计划状态。假设场景中的接续策略选择如图2所示，计划编组顺序为2列小编组后发出1列大编组列车。图中：N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}为在车站s折返、与之接续的车次序号偏移范围，即第i列折返列车允许接续序号在i-N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}~i+N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}内的任意某车次。结合图2和可选接续策略发现：若上行方向折返列车的编组顺序与原计划一致，宜采用遵循“先进先出”原则的就近接续策略，此时N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{0}，即示例1；若上行方向大编组插入2列小编组列车间运行，宜采用灵活接续策略，通过调整上行方向第2列与第3列列车的接续顺序以恢复下行方向的编组顺序，此时N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{1}，即示例2；若上行方向大编组先于2列小编组列车发出，则3列折返列车的接续关系均需进行调整，仍宜采用灵活接续策略，但此时N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{2}，即示例3；如果N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}的取值继续增大，折返列车允许接续的列车范围虽会随之扩大，但这也将延长列车在折返线的停留时间，反而可能会降低线路的折返效率。

2 模型建立

2.1　符号定义

本文构建面向列车故障救援场景的运行图调整优化模型。为便于描述建模过程，设s，s^{\text{'}}和s^{″}均为车站索引；i，i^{\text{'}}，i^{″}和i^{‴}均为车次索引；I，I_{\mathrm{a}}和I_{\mathrm{b}}分别为全部车次、前段车次和后段车次集合，故障列车退出正线的车站s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}将单向车次“分割”为前段I_{\mathrm{a}}和后段I_{\mathrm{b}}两部分，即I=I_{\mathrm{a}}\bigcup I_{\mathrm{b}}。

定义参数如下：u_r为救援方式r采用的救援编组配置，取值为1—6，分别对应前述现实中列车救援方式的6种可能情况；o_r为救援方式r中救援列车返回运营状态，救援列车返回运营时取值为1，不返回运营时取值为2；t_s^{\mathrm{d}\mathrm{w}}为列车在车站s的最小停站时间；t_s^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}和t_s^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为列车在车站s—车站s+\mathrm{1}的最小和最大区间运行时间；t_s^{\mathrm{b}\mathrm{l}}为列车救援过程导致车站s接车进路的解锁时刻；t_s^{\mathrm{t}\mathrm{u}}为列车在车站s的最小折返时间；t_{\mathrm{r}\mathrm{t}}为进路办理和列车反应所需时间；h_s^{\mathrm{a}\mathrm{a}}，h_s^{\mathrm{d}\mathrm{d}}和h_s^{\mathrm{a}\mathrm{d}}分别为车站s的最小安全到站间隔、发车间隔和到发间隔；N_s^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}为车站s可同时折返的最大列车数量；k为列车编组索引；K为编组类型集合；N_k^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}}为编组类型k的列车容量；N_{s,k}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}为与车站s相连场段中编组类型为k的备车数量；S_{\mathrm{t}}和S_{\mathrm{d}}分别为具备折返能力、并与场段相连的车站集合，S_{\mathrm{t}}\subseteq S，S_{\mathrm{d}}\subseteq S；{\overline{t}}_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}为原时刻表中车次i在车站s的出发时刻；n_{s,s^{\text{'}}}^{\mathrm{a}}为从车站s进站、前往车站s^{\text{'}}的历史乘客的平均到达率；M为极大值。

定义中间变量如下：n_{i,s}^{\mathrm{t}}为车次i离开车站s时的载客数量；n_{i,s}^{\mathrm{d}}为车次i在车站s停靠时的下车乘客数量；n_{i,s,s^{\text{'}}}^{\mathrm{w}}为从车站s进站、想前往车站s^{\text{'}}、等待乘坐车次i的乘客数量；n_{i,s,s^{\text{'}}}^{\mathrm{e}}为从车站s进站及在该站滞留、想要乘坐车次i前往车站s^{\text{'}}的乘客数量；n_{i,s,s^{\text{'}}}^{\mathrm{s}}为车次i从车站s发车后、滞留在站但需前往车站s^{\text{'}}的乘客数量；n_{i,s,s^{\text{'}}}^{\mathrm{b}}为从车站s进站、实际乘坐车次i前往车站s^{\text{'}}的乘客数量；n_{i,s}^{\mathrm{u}}为从车站s进站、实际乘坐车次i的乘客总数量；n_{i,s}^{\mathrm{r}}为考虑列车载客容量限制和乘客需求情况下，车站s允许乘坐车次i的乘客数量；{\zeta }_{i^{\text{'}},i,s}为表示车次i在车站s的前序紧邻车次是否为i^{\text{'}}的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\varphi }_{i,s}为表示车次i是否经过车站s的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\phi }_{i,i^{\text{'}},s}为表示车次i是否早于车次i^{\text{'}}到达车站s的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0。

定义决策变量如下：t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}和t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}为车次i在车站s的到、发时刻；{\beta }_{i,s}和{\sigma }_{i,s}为表示执行车次i的列车在车站s是否采取出段或回段策略的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\rho }_i为表示车次i是否取消的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\alpha }_{i,i^{\text{'}},s}为表示执行车次i的列车在车站s折返后是否继续执行车次i^{\text{'}}的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\delta }_{i,i^{\text{'}}}为表述执行前段车次i的列车是否继续执行后段车次i^{\text{'}}的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0；{\eta }_{i,k}为表示车次i的编组类型是否为k的0-1变量，是则取值为1，否则取值为0。

2.2　目标函数

取消车次、提前回段和小交路折返等决策通过压缩车次服务空间范围的方式，抑制发车时刻的延误累积。然而，车次服务频率下降可能引发乘客滞留，增加其出行时间^［21］。因此，建立双目标优化模型以平衡列车服务和乘客出行的扰动程度，如式（1）和式（2）所示。

Z_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{s\in S}\sum _{i\in I}(t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}-{\overline{t}}_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}})（1）

Z_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(Z_{\mathrm{2}}^{\text{'}}+Z_{\mathrm{2}}^{″})（2）

其中，

Z_{\mathrm{2}}^{\text{'}}=\sum _{s\in S}\sum _{i\in I}{n}_{i,s}^{\mathrm{t}}(t_{i,s+\mathrm{1}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}})+(n_{i,s-\mathrm{1}}^{\mathrm{t}}-n_{i,s}^{\mathrm{d}})(t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}})

式中：Z_{\mathrm{1}}为列车延误时间；Z_{\mathrm{2}}为乘客总出行时间；Z_{\mathrm{2}}^{\text{'}}和Z_{\mathrm{2}}^{″}为乘客出行时的在车时间和等待时间。

2.3　约束条件

2.3.1　列车运行基本约束

从运行时间和编组类型约束2个方面构造列车运行基本约束。

1）运行时间约束

运行图调整须满足停站时间、区间运行时间和安全间隔等基本约束，如式（3）—式（10）所示。

t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}\ge t_s^{\mathrm{d}\mathrm{w}}+M({\varphi }_{i,s}-\mathrm{1})\forall i\in I,s\in S（3）

\begin{array}{l}{t}_{i,s+\mathrm{1}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\ge t_s^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+M({\varphi }_{i,s+\mathrm{1}}+{\varphi }_{i,s}-\mathrm{2})\\ \forall i\in I,s\in S\backslash \left\{s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}\right\}\end{array}（4）

\begin{array}{l}{t}_{i,s+\mathrm{1}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\le t_s^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+M(\mathrm{2}-{\varphi }_{i,s+\mathrm{1}}-{\varphi }_{i,s})\\ \forall i\in I,s\in S\backslash \left\{s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}\right\}\end{array}（5）

t_{i^{\text{'}},s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\ge t_{s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}+M({\delta }_{i,i^{\text{'}}}-\mathrm{1})\forall i\in I_{\mathrm{a}},i^{\text{'}}\in I_{\mathrm{b}}（6）

t_{i^{\text{'}},s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\le t_{s_r^{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}}-\mathrm{1}}^{\mathrm{r}\mathrm{u},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}+M(\mathrm{1}-{\delta }_{i,i^{\text{'}}})\forall i\in I_{\mathrm{a}},i^{\text{'}}\in I_{\mathrm{b}}（7）

\begin{array}{l}{t}_{i^{\text{'}},s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}\ge h_s^{\mathrm{a}\mathrm{a}}+M({\varphi }_{i^{\text{'}},s}+{\varphi }_{i,s}-\mathrm{2})\forall i,i^{\text{'}}\in I,\\ i^{\text{'}}>i,s\in S\end{array}（8）

\begin{array}{l}{t}_{i^{\text{'}},s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\ge h_s^{\mathrm{d}\mathrm{d}}+M({\varphi }_{i^{\text{'}},s}+{\varphi }_{i,s}-\mathrm{2})\forall i,i^{\text{'}}\in I,\\ i^{\text{'}}>i,s\in S\end{array}（9）

\begin{array}{l}{t}_{i^{\text{'}},s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\ge h_s^{\mathrm{a}\mathrm{d}}+M({\varphi }_{i^{\text{'}},s}+{\varphi }_{i,s}-\mathrm{2})\forall i,i^{\text{'}}\in I,\\ i^{\text{'}}>i,s\in S\end{array}（10）

式（3）表示最小停站时间约束。式（4）和式（5）表示最小和最大区间运行时间约束。式（6）和式（7）表示前、后段车次接续约束。式（8）—式（10）表示列车到发时刻满足安全到站间隔、发车间隔和到发间隔。

2）编组类型约束

多编组场景需确定各车次的编组类型，保障车底运用连贯，如式（11）—式（13）所示。

\sum _{k\in K}{\eta }_{i,k}=\mathrm{1}-{\rho }_i\forall i\in I（11）

{\eta }_{i,k}-{\eta }_{i^{\text{'}},k}\le M(\mathrm{1}-{\alpha }_{i,i^{\text{'}},s})\forall i,i^{\text{'}}\in I,s\in S_{\mathrm{t}},k\in K（12）

{\eta }_{i,k}-{\eta }_{i^{\text{'}},k}\ge M({\alpha }_{i,i^{\text{'}},s}-\mathrm{1})\forall i,i^{\text{'}}\in I,s\in S_{\mathrm{t}},k\in K（13）

式（11）表示车次编组类型唯一。式（12）和式（13）表示折返和接续车次的编组类型相同。

2.3.2　救援场景约束

从列车策略选择和折返接续约束2个方面构造救援场景约束。

1）列车策略选择约束

综合考虑进路冲突和备车资源限制，采用扣车、加开备车、取消车次、提前回段和小交路折返策略，降低救援过程对正常运营的干扰，如式（14）— 式（19）所示。

t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}>t_s^{\mathrm{b}\mathrm{l}}\forall i>i_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}},s\in S（14）

\sum _{i^{\text{'}}\in I_{\mathrm{a}}}{\delta }_{i^{\text{'}},i}+\sum _{s\in S_{\mathrm{t}}}\sum _{i^{\text{'}}\in I}{\alpha }_{i^{\text{'}},i,s}+\sum _{s\in S_d}{\beta }_{i,s}+{\rho }_i=\mathrm{1}\forall i\in I（15）

\sum _{i^{\text{'}}\in I_{\mathrm{b}}}{\delta }_{i,i^{\text{'}}}+\sum _{s\in S_{\mathrm{t}}}\sum _{i^{\text{'}}\in I}{\alpha }_{i,i^{\text{'}},s}+\sum _{s\in S_{\mathrm{d}}}{\sigma }_{i,s}+{\rho }_i=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0}(i=i_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}})\vee (i=i_r^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}},o_r=\mathrm{2})\\ \mathrm{1}(i\ne i_{\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{c}})\wedge (i\ne i_r^{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}},o_r\ne \mathrm{2})\end{array}\right.（16）

（17）

t_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}\le M{\phi }_{i,i^{\text{'}},s}\forall i,i^{\text{'}}\in I,s\in S（18）

{\displaystyle \sum _{i^{\text{'}}=\mathrm{1}}^i}{\eta }_{i^{\text{'}},k}({\beta }_{i^{\text{'}},s}-{\sigma }_{i^{\text{'}},s})+\sum _{i^{\text{'}}\in I}{\phi }_{i^{\text{'}},i,s}{\eta }_{i^{\text{'}},k}({\beta }_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s}-{\sigma }_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s})\le N_{s,k}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}\forall i\in I,s\in S_{\mathrm{d}},k\in K（19）

救援过程对轨道资源的持续占用将导致车站接车进路处于锁闭状态，式（14）表示采用扣车策略确保列车到站时刻晚于接车进路的解锁时刻。式（15）表示车次由执行前段车次、折返或出段的列车执行，或者被取消。式（16）表示除故障列车和不再投入运营的救援列车外，列车执行后段车次、折返或回段后结束车次服务，或者被取消。式（17）表示根据运行调整策略判断车次是否经过车站。式（18）表示不同方向车次到达车站的顺序。式（19）表示场段中不同编组类型的备车数量约束。

2）列车折返约束

取消车次和小交路折返策略可能会改变列车顺序，通过列车灵活接续可尽快恢复既定的编组顺序，从而维持运营秩序，如式（20）—式（22）所示。

（20）

t_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}-t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}\ge t_s^{\mathrm{t}\mathrm{u}}+M({\alpha }_{i,i^{\text{'}},s}-\mathrm{1})\forall i,i^{\text{'}}\in I,s\in S_{\mathrm{t}}（21）

（22）

式（20）表示折返车站的折返线容量约束。式（21）表示最小折返时间约束。式（22）表示接续策略约束，若车站布置单折返线则仅能采用就近接续策略，即N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{0}；若车站布置双折返线则允许采用灵活接续策略，即N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}>\mathrm{0}。

2.3.3　客流约束

针对不同编组列车的运输能力，客流约束计算各站点的上车人数、下车人数、载客人数和滞留人数，避免列车超员并保障运营安全，如式（23）— 式（31）所示。

（23）

（24）

（25）

（26）

（27）

（28）

（29）

（30）

n_{i,s}^{\mathrm{t}}=n_{i,s-\mathrm{1}}^{\mathrm{t}}-n_{i,s}^{\mathrm{d}}+n_{i,s}^{\mathrm{u}}\forall i\in I,s\in S（31）

式（23）表示判断车次i^{\text{'}}是否为车次i的前序紧邻车次。式（24）表示从车站s进站、想前往车站s^{\text{'}}、等待乘坐车次i的乘客数量。式（25）表示从车站s进站及在该站滞留、想要乘坐车次i前往车站s^{\text{'}}的乘客数量。式（26）—式（28）表示考虑列车载客容量限制下实际乘坐车次i的乘客数量。式（29）表示车次i从车站s发车后，滞留在该站但需前往车站s^{\text{'}}的乘客数量。式（30）表示车次i在车站s停靠时的下车乘客数量。式（31）表示从车站s出发时，车次i的车内实际载客数量。

3 求解算法设计

所建立的模型为针对列车运行调整的双目标非线性优化模型，由于问题规模较大，商业求解器求解时在时效性方面较难满足需求^［22］。为此，设计了结合变邻域搜索策略的快速非支配遗传算法Ⅱ（即VNS-NSGA-Ⅱ算法），流程核心为染色体编码、列车时刻表推算和变邻域搜索，具体流程如图3所示。图中：N_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}为种群中个体数量；N_{\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}}为算法最大迭代次数。

首先随机生成个体数量为N_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}的初始种群，个体染色体编码仅包括列车运行调整策略选择信息；其次，通过时刻表推算算法，确定所有车次的到发时刻、接续关系和编组类型；然后计算每个个体的列车延误时间和乘客总出行时间2个目标值，并进行快速非支配排序与拥挤度计算，为后续迭代进化奠定适应度评价的初始基础。

在每次迭代过程中，先使用二元锦标赛策略从父代中选择N_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}个较优的个体，通过双点交叉和多点变异操作生成子代种群；随后将父代与子代合并，再次进行快速非支配排序筛选出新的父代。为进一步提高求解质量，设计并引入2种变邻域搜索（VNS）策略，用于优化父代中第1非支配前沿的所有个体。上述迭代过程重复执行，直至达到预设最大迭代次数N_{\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{r}}后终止。

迭代结束后，采用熵权法确定帕累托前沿的最优满意解。首先，将目标进行归一化，以消除量纲及数量级方面的差异；随后，基于信息熵原理确定各目标的权重，目标数据的离散程度越大，表明其信息效用值越高，因此分配权重也相应越大；最后，计算每个个体归一化目标的加权求和值，选择得分最高的个体作为最优满意解。

3.1　染色体编码

个体染色编码采用实数编码方式，示意染色体如图4所示。图中：\left|I\right|为车次总数量，即使用\mathrm{2}\left|I\right|个数字可表示所有车次的运行调整策略；绿色基因表示车次生成的策略选择，\overline{\mathrm{1}}为接续提前折返车次，\overline{\mathrm{2}}为接续终点站折返车次，\overline{\mathrm{3}}为接续前段车次，\overline{\mathrm{4}}为出段，\overline{\mathrm{5}}为取消；蓝色基因表示车次结束的策略选择，\tilde{\mathrm{1}}为提前折返，\tilde{\mathrm{2}}为终点站折返，\tilde{\mathrm{3}}为前段车次继续运营，\tilde{\mathrm{4}}为回段，\tilde{\mathrm{5}}为取消。

3.2　列车时刻表推算

列车时刻表推算算法通过运行时间约束即式（3）—式（10）和车站进路锁闭约束即式（14）确定车次的初始到、发时刻。此时存在双折返线车站折返接续变量{\alpha }_{i,i^{\text{'}},s}未确定、出段车次编组类型{\eta }_{i,k}未确定、折返约束冲突共3种待修复情况。对此依据“时间优先”原则选择到发时刻最早的车次进行修复，具体过程如下。

1）折返接续关系确定

当折返站布置的是单折返线时，列车采用就近接续策略。当布置的是双折返线时，允许列车灵活接续，接续原则为：序号在i-N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}~i+N_s^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}的接续车次中，选择原方案中与折返车次i编组类型相同的第1个车次，在尽快恢复既定编组顺序的同时减少折返时间。

2）出段编组类型确定

计算出段车次i发车时，场段内各编组类型的备车数量。若原方案中该车次编组类型的备车数量不小于1，则上线该编组类型列车；否则上线其他编组类型列车。

3）折返约束冲突修复

折返冲突修复包括折返能力约束式（20）和折返时间约束式（21）修复共2种情况。I_{i,s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}为在车站s与车次i折返时间重叠的前序折返车次集合，i_{\mathrm{1},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}和i_{\mathrm{2},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}分别为集合I_{i,s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}中第1个和第2个车次索引。

修复折返能力时，若I_{i,s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}中车次数量大于折返站的折返线数量，则说明车次i在车站s折返时折返能力不足。当折返站布置单折返线时，记录i_{\mathrm{1},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}的接续车次i^{\text{'}}。当折返站布置双折返线时，若i_{\mathrm{1},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}采用就近接续策略，则记录i_{\mathrm{1},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}的接续车次i^{\text{'}}；若i_{\mathrm{1},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}采用灵活接续策略，则记录i_{\mathrm{2},s}^{\mathrm{c}\mathrm{o}}的接续车次i^{\text{'}}。最终将车次i的发车时刻t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}推迟至t_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}+t_{\mathrm{r}\mathrm{t}}。

修复折返时间时，若列车i在折返站s的折返时间小于要求最小折返时间t_s^{\mathrm{t}\mathrm{u}}，则将接续车次i^{\text{'}}的到站时刻t_{i^{\text{'}},\mathrm{2}\left|S\right|+\mathrm{1}-s}^{\mathrm{a}\mathrm{r}}推迟至t_{i,s}^{\mathrm{d}\mathrm{e}}+t_s^{\mathrm{t}\mathrm{u}}。

折返冲突修复后，根据运行时间约束即式（3）—式（10）依次推迟后续车次的到发时刻，以满足运行时间和安全间隔等参数。

3.3　变邻域搜索

设计2种VNS策略，若所建模型中2个目标的取值均得到优化，则更新父代中第1非支配前沿的运行调整方案。具体过程如下。

1）取消出段决策

运行调整过程中，若车场首先进行出段作业、后序有列车回段，且车场连接车站具备折返能力，则将两车次的出段、回段决策分别调整为折返、接续决策。列车故障将导致线路通过能力下降，若运行调整初期备车上线运营可能进一步增加列车总延误时间。

2）交换车次运行调整决策

遍历上、下行方向的后段车次，若其前序存在接续小交路折返车次，则交换两车次的运行调整决策，如图5所示。若交换上行后段车次i_{\mathrm{2}}和i_{\mathrm{4}}的列车决策，将有助于减少执行车次i_{\mathrm{1}}的列车延误时间和车内乘客总出行时间；然而，该策略将延长车次i_{\mathrm{3}}的折返线占用时间，可能增加下行方向后序折返车次的扣车时间。

4 案例研究

4.1　案例背景

以某城市采用多编组模式的地铁线路为背景展开案例研究。线路配属4编组和8编组列车，配线设置及列车运行情况如图6所示。红色、绿色和黑色列车分别表示故障、救援和正常运营列车。3处停车线长度仅能容纳1列8编组列车，停车场和车辆段各有1列8编组和1列4编组备车。原时刻表中4编组和8编组列车的发车比例为2∶1，4编组和8编组列车与前序列车的发车间隔分别为3和5 min；上、下行方向均有45个车次。救援限速及救援用时计算参考文献［23］，其他重要参数见表1。

设置2种故障场景案例以分析不同救援方式的运行调整效果，救援方式参数设置见表2。

场景1为上行方向列车10（4编组）在站7—站8间发生故障。该场景可行的救援方式包括如下2大类。

（1）后序列车8（8编组）直接救援或解编后进行救援。

（2）前序列车12（4编组）和对向列车11（4编组）直接进行救援。

此时故障列车可停放至与站10连接的停车线2处。由于后序列车解编、前序和对向列车直接救援方式中的停车线长度均满足救援车组停放需求，因此该场景无须考虑救援列车返回运营。

场景2为下行方向列车9（8编组）在站27发生故障，此时4编组列车牵引力满足救援8编组列车的需要。该场景可行的救援方式包括如下3大类。

（1）后序列车7（4编组）直接救援或与列车5（4编组）联挂后进行救援。

（2）前序列车11（4编组）直接救援或与列车13（4编组）联挂后进行救援。

（3）对向列车14（8编组）直接进行救援。

此时故障列车可停放至与站31连接的停车线2处，但由于各救援方式中救援车组长度均超出了停车线的停放限制，因此救援列车必须返回运营。

相应地，2种场景下运行调整方案中单列位停车线1和停车线3作为临时折返线，折返容量N_{\mathrm{6}}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}=N_{\mathrm{26}}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{1}，此时仅允许采用就近接续策略，则N_{\mathrm{6}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=N_{\mathrm{26}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{0}；上行方向始发和终到站分别布置双折返线和交叉渡线，折返容量N_{\mathrm{20}}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}=N_{\mathrm{40}}^{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\mathrm{2}，若此时采用灵活接续策略，则N_{\mathrm{20}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=N_{\mathrm{40}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{1}。

4.2　优化效果对比

为最大化救援效率、最小化运营干扰，调度员凭借经验通常优先选择后序列车直接救援方式。首先以场景1为例，分析该救援方式的运行图优化结果；随后设置对比方案，以评估2种故障场景下采用该救援方式时不同运行调整策略的实施效果。

1）优化结果

场景1采用后序列车直接救援方式时，经熵权法计算目标Z_{\mathrm{1}}和Z_{\mathrm{2}}归一化后的客观权重分别为0.461和0.539，得到其最优满意解的调整运行图如图7所示。由图7可以看出：调整运行后，上行和下行方向分别有2列和1列4编组列车提前折返；下行方向加开了1列4编组和1列8编组备车，用于补充在线运营车底数量；上行方向终点站处的4列列车采用了灵活接续策略，主要原因为下行方向取消了1个车次，折返列车需要通过调整接续关系尽快恢复既定的编组顺序；下行方向终点站列车均采用就近接续策略，主要原因为2列列车回段，可以避免因上行方向取消车次和下行方向连续通过3列4编组列车引发的编组顺序被打乱情况。

2）不同调整策略优化效果

考虑扣车、加开备车、取消车次、提前回段、小交路折返和灵活接续共6种调整策略，通过改变运行调整策略选择，得到3种不同运行调整方案并对比其优化效果。3种方案的具体设置见表3。其中，优化方案考虑了所有调整策略；就近接续方案中折返列车均采用就近接续策略，即N_{\mathrm{20}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=N_{\mathrm{40}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}=\mathrm{0}；基础策略方案仅采用扣车和加开备车策略。

采用后序列车直接救援方式时，2种场景在不同运行调整方案下的求解结果见表4。可以看出：2种场景下优化方案的平均折返时间相比就近接续方案，分别增加了5.51%和17.53%，但列车延误时间分别减少16.52%和13.23%，乘客总出行时间分别减少1.32%和1.64%，编组类型匹配率分别增加20.04%和24.00%，这是因为相比就近接续策略，灵活接续策略能够更快地恢复既定的编组顺序，尽量确保5 min的较大发车间隔后发出8编组列车、3 min的较小发车间隔后发出4编组列车，从而有利于均衡线路运力、提高运输效率；基础策略方案中的列车顺序不会改变，因此2种场景下编组类型匹配率均为100.00%；优化方案通过综合运用取消车次、提前回段和小交路折返的策略，显著提高了运行调整效率，相比基础策略方案，该方案使列车延误时间分别减少了92.36%和94.76%，乘客总出行时间分别减少了3.72%和10.19%；在求解中发现，当优化方案中N_{\mathrm{20}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}和N_{\mathrm{40}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}取值为2时，列车在折返线停留时间显著增加，导致帕累托解集中的所有运行调整方案均未采用图2（c）所示灵活接续策略，因此建议本案例中N_{\mathrm{20}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}和N_{\mathrm{40}}^{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{b}}取值为1。

2种场景下不同运行调整方案的列车调整策略效果见表5。可以看出：优化方案中采用提前回段、取消车次和小交路折返策略的列车均为4编组，原因为上述策略虽然有助于缓解延误传播，但考虑到提前回段和取消车次策略都将削弱线路的运输能力，且小交路折返策略需在中间站进行清客作业，选择载客量较小的4编组列车可尽量降低上述运行调整策略对乘客出行的影响；就近接续方案无法灵活调整车次编组类型，会导致2种场景均取消了1列8编组列车；基础策略方案仅允许临时扣车，因此采用各调整策略的列车数量均为0。综上，相比于就近接续与基础策略方案，优化方案能确保实施上述策略的列车均为4编组类型，从而降低运行调整对线路服务水平的干扰。

4.3　救援方案效果对比

根据运行图调整优化效果分析不同救援方式的优劣。各救援方式下运行图调整优化的最大求解时间为4.08 min，低于5 min的列车故障初步排除时间，从而能够确保在救援实施之前就获得所需的运行调整方案。计算得到的各救援方式下的求解结果见表6。由表6可得到如下结论。

（1）场景1中，相比后序列车直接救援方式，采用后序列车解编救援方式时，因停车线长度满足救援车组的停放需求，救援车组可直接进入停车线而不必返回运营，所以救援时间、列车延误时间、乘客总出行时间和平均候车时间分别减少了14.29%，9.36%，0.72%和2.22%。

（2）场景2中，相比后序列车直接救援方式，采用后序列车联挂救援方式时后序2列4编组列车接近并联挂用时较长，所以救援时间、列车延误时间、乘客总出行时间、晚点列车数量和平均候车时间分别增加了23.82%，81.95%，15.64%，200.00%和50.85%。

（3）考虑到现实情况中前序和对向救援列车牵引故障列车时的限速为40 km · h^-1，明显高于后序列车推行救援时的限速25 km · h^-1，因此前序/对向列车的救援用时往往较短，即“前序/对向列车直接救援”的救援用时短于“后序列车直接救援”，“前序列车联挂救援” 的救援用时短于“后序列车联挂救援”；然而，前序/对向救援列车接近故障列车的用时较长，会引起故障位置上游列车的扣车时间显著增加，导致这种救援方式下的运行调整效果较差。

因此，若前方停车线长度满足后序列车解编救援方式中救援车组的停放需求，则“后序大编组列车解编后救援小编组”的运行调整效果更优；若后序小编组列车牵引力满足救援需要，则“后序列车直接救援”的运行调整效果更优。

4.4　算法质量对比

为验证变邻域搜索策略的有效性，设计不考虑VNS策略的NSGA-Ⅱ算法进行对照。2种场景均采用后序列车直接救援方式，在相同求解时间下，得到VNS-NSGA-Ⅱ算法和NSGA-Ⅱ算法的求解结果见表7。场景1中，2种算法的帕累托前沿如图8所示。由表7可以看出，因单次迭代用时增加，导致2种场景下VNS-NSGA-Ⅱ算法的迭代次数较NSGA-Ⅱ算法平均减少了12次，但通过优化列车运行调整的策略，帕累托前沿中最小列车延误时间分别降低10.51%和14.34%，最小乘客总出行时间分别降低0.72%和0.86%，表明VNS策略可提高单次迭代的搜索能力，实现求解目标的有效优化。由图8可以看出：场景1中VNS-NSGA-Ⅱ算法的帕累托前沿共包含17个解，其中3个解的目标值完全支配NSGA-Ⅱ算法的最优满意解，证明所用的VNS策略能显著提高帕累托前沿的整体质量。

5 结论

（1）多编组模式下，根据列车直接救援、解编或联挂后进行救援对正线运营的影响，可以考虑综合运用扣车、加开备车、取消车次、提前回段、小交路折返和灵活接续等策略调整运行图。其中取消车次、提前回段和小交路折返策略的实施对象均为小编组列车，这样可在缓解延误传播的同时降低运行调整对乘客出行的影响，使列车延误时间和乘客总出行时间分别减少至多94.76%和10.19%；但取消车次和小交路折返策略会改变既定的列车顺序，而灵活接续策略可尽快恢复原编组顺序，使编组类型匹配概率比就近接续策略提高至少20.04%。

（2）对比列车直接救援、解编或联挂后进行救援等不同救援方式的效果发现，“列车直接救援”可避免解编或联挂作业产生的额外操作时间；“列车解编救援”所需停车线长度较短，若其满足救援车组停放需求则救援列车不必返回运营；“列车联挂救援”可解决单列小编组牵引力不足的问题。当停车线长度满足“后序列车解编救援”中救援车组的停放需求时，该救援方式的运行调整优化效果优于“列车直接救援”；“列车联挂救援”的运行调整优化效果明显不如“列车直接救援”；“前序/对向列车直接救援”虽然在用时上短于“后序列车直接救援”，但运行调整优化的整体效果较差。

（3）针对构建的双目标非线性优化模型，所提VNS-NSGA-Ⅱ算法可确保在现场救援实施之前就获得所需的运行调整方案；引入变邻域搜索策略更新第1非支配前沿的算法设计虽然会增加计算中的单次迭代用时，但能通过优化列车运行调整策略选择，有效降低帕累托前沿中列车延误时间和乘客总出行时间的最小值，显著提高帕累托前沿的整体质量。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(U2569203)