区段内多类型货物列车开行方案优化模型

An Optimization Model of the Operation Plan for Multi-Type Freight Trains within the Railway District

摘要

为实现区段管内复杂车流的合理输送，首先，结合区段内车流构成，分析多类型列车的协同组织关系及相互影响；其次，结合区段内列车与车流的搭配关系和重空车流的特点，构建0-1整数非线性规划模型，以列车开行成本、停站次数、停站费用和集结费用最小和运输效益最大为目标，并考虑区段内列车牵引重量和换长等约束条件；然后，利用线性化技术处理模型中的非线性项，以便借助商业优化软件直接求解；最后，以某双线铁路区段下行方向为背景构造案例，对比模型优化后的开行方案与既有开行方案，验证模型的优化效果。结果表明：优化方案少停站3次，降低停留消耗67.2车小时；在不编开区段列车的情况下，该模型能够通过合理组织摘挂列车与重点摘挂列车的开行，有效减少停站作业并降低总停留消耗，为区段内车流组织方案的优化提供参考。

Abstract

To achieve the rational transportation of complex car flows within the railway district, the cooperative organization relationships and mutual influences among multi-type trains are first analyzed combining with the composition of car flows within the district. Second, a 0-1 integer nonlinear programming model is constructed by considering the matching relationship between trains and car flows within the district and the characteristics of loaded and empty car flows. Aiming at minimizing train operation cost, number of stops, stopping cost, and car accumulation cost while maximizing transportation benefits, constraints such as train traction weight and converted length within the district are considered. Then, linearization techniques are used to handle the nonlinear terms in the model, so that the solution can be directly obtained by commercial optimization software. Finally, a case study is constructed based on the downward direction of a double-track railway district, and the optimization effect of the model is verified by comparing the optimized operation plan with the existing plan. The results show that the optimized plan reduces the number of stops by 3 and decreases stop consumption by 67.2 car-hours. Without operating district trains, the model can effectively reduce stopping operations and car-hour consumption through reasonably organizing the operation of pick-up and drop trains and key pick-up and drop trains, providing a reference for optimizing car flow organization plans within the railway district.

Graphical abstract

关键词

铁路运输 / 车流组织 / 摘挂列车 / 开行方案 / 整数规划

Key words

Railway transportation / Car flow organization / Pick-up and drop train / Operation plan / Integer programming

在铁路车流组织理论中，1个亟须解决的关键问题就是如何高效地将车流组织成列流并向装卸点输送。对于大股长程车流，通常会组织点到点的大宗直达运输；对于部分准大宗车流，通常会与其他车流合并，编开到达远方编组站的直达列车；剩余的小股车流一般送至前方技术站集结^［1］，此部分车流即区段管内车流。尽管在所有车流中的占比并不大，但区段管内车流对于保障技术站的车流来源和维持中间站的作业秩序都十分重要，而且此类车流组织方案的合理性也会直接影响铁路运输组织的成本和效率。

为完成区段管内车流的输送，目前最常用的方法就是开行摘挂列车。摘挂列车往往采用“站站停”的组织模式，以确保每一站的货物作业车都能顺利挂运，但这也会导致列车停站频繁、中间站调车作业强度高、货车周时增加等弊端。当区段管内车流量较大时，通常可在该区段内采用摘挂列车与重点摘挂列车结合的组织方式，然而如何协调优化两者的停站方案就成为摘挂列车开行方案编制的1个主要难题。

区段管内车流组织优化是铁路车流理论的1个重要研究领域，相关问题引发了很多学者和现场技术人员的持续关注。在铁路车流组织方面，国内外既有研究主要聚焦列车编组计划的优化，考察形成列车去向的集结消耗以及车流在途中技术站的改编作业对运输总成本的影响。文献［2］研究了路网中技术直达列车编组计划的优化问题并构建了该问题的二次0-1规划模型；文献［3］聚焦装车地直达列车编组计划的优化问题，分析了直达列车开行的必要条件及参数。此类早期研究虽在模型构建和求解算法设计上有独到之处，但受限于当时的计算水平，较少涉及实际铁路网规模案例优化。文献［4］以所有开行去向的总集结费用与车流的改编费用之和最小化为目标，先构建列车编组计划优化的双层规划模型，上层规划确定列车最优的编组计划，下层规划确定车流的改编方案，然后利用模拟退火算法，基于我国大规模铁路网进行了案例研究。文献［5］和文献［6］假定两相邻技术站间不一定开行区段列车，对区段列车与直达列车编组计划进行了综合优化。文献［7］提出1种树分解算法以解决单组列车的编组计划优化问题，其优化结果的质量较商业求解器有较大提高。对于存在分组列车的情况，文献［8］提出了针对单组列车和双组列车的协同优化模型；文献［9］不仅详细探讨了分组列车的编组计划优化，还对区段车流和摘挂车流合并的技术效益进行分析，并针对单个区段建立了区段列车和摘挂列车编组计划协同优化模型。也有不少文献研究了列车编组计划与车流径路的协同优化问题^［10-12］，以期获得整体性更好的车流组织方案。

在区段管内车流组织优化方面，文献［13］较早采用综合编制方法，研究了相邻编组站间直通、区段及摘挂列车等的编组计划优化问题。文献［14］提出编开直通摘挂列车用于组织区段内车流的方法，并针对韶关—江村区段进行了案例分析。文献［15］以集结车小时、停留车小时和停站次数的最小化为目标，研究了区段管内车流组织优化方法，并分层设计了求解算法。文献［16］对区段进一步细化分段，根据各区段内通过列车总重的差异，采用聚类的方法确定列车的开行方案。文献［17］以车小时消耗最少为目标，构建了摘挂列车与区段列车编组计划优化的模型，并利用Lingo求解器求解；进一步地，文献［18］在考虑车流波动的基础上，提出了上述两类列车编组计划的调整机制。文献［19］基于摘挂列车数量增加与否的不同情况，研究了小运转列车、摘挂列车以及区段列车的组织优化方法。

考虑到旅客列车的停站方案与摘挂列车的停站方案存在着相同之处，故研究摘挂列车开行方案时可以借鉴旅客列车开行方案的优化思路。文献［20］在考虑客流动态分配的基础上，建立了以铁路效益最大化、旅客成本最小化为目标的旅客列车开行方案多目标优化模型。文献［21］以提升旅客出行效率为主要目标，研究了高速铁路列车的停站方案，聚焦服务于大站停车的快车与服务于中小站的一般列车间的平衡关系。文献［22］从运行图层面，优化了高速铁路运输通道内的旅客列车停站方案。文献［23］引入双层规划的思想，对列车停站方案与运行图进行了协同优化，目标主要是减少旅客的旅行时间。此外，还有一些文献从动车组运用与开行方案相结合的角度进行优化^［24-25］，以提高动车组的运用效率。

从现有文献的内容来看，区段管内车流组织研究方面的不足主要是：未充分考虑普通摘挂列车、重点摘挂列车和区段列车间的协同组织关系和相互影响；未考虑重空车流的差异，导致优化结果在一定程度上欠缺合理性。

列车编组计划优化属于组合优化问题，方案的数量会随着支点站数量的增加而呈现爆炸式增长^［26］，若将中间站纳入计划，车流组织问题的求解将更加复杂。实践层面，目前现场组织开行摘挂列车通常仅根据区段内车流量的大小，在上下行方向开行相同数量的摘挂列车，而未充分考虑其开行方案上的优化，因此容易导致成本的增加，不利于区段内车流组织效率的提升。为此，本文以1个区段为研究对象，通过构建0-1整数非线性规划模型描述区段内车流输送以及与列车搭配的组合问题，以期通过较低成本形成效益更高的区段内列车开行方案。

1 多类型列车停站下的区段内车流组织

1.1　区段内车流构成

区段内输送的车流构成较为复杂，可以分为接入重车流、接入空车流、交出重车流、交出空车流，同时还可能会有少量自装自卸车流以及空车调配等其他情况。图1为区段内各种车流分布的示例。图中：A和B分别为区段两端的技术站；a，b，c和d为区段内的不同中间站；①表示接入的重空车流；②表示交出的重空车流；③表示自装自卸车流（因目前公路运输便捷而基本消失）或区段内的空车调配；④表示区段车流，简称区段流，指A站及其后方站产生的、到达B站及其以远的车流，即在A站与B站均有改编作业的长程车流。

1.2　区段内列车种类及车流搭配

区段内车流一般通过摘挂列车和重点摘挂列车进行集散。前者一般在每个（或大部分）货运作业站都有停靠，后者是选择少数几个车站开展停靠作业。摘挂列车的开行数量和停站方案主要取决于区段内各站的车流结构，合理制定摘挂列车开行方案，可以在满足货运需求的前提下避免列车运能虚糜，降低铁路运输成本。此外，若区段流很大则会开行区段列车，以减少总车小时消耗；若区段流小到难以组织区段列车，也可能将其编入摘挂列车。

区段管内车流组织优化问题就是在已知区段车流量和区段内各中间站装卸量的情况下，确定摘挂列车（含重摘）的开行数量、停站方案以及编组内容。摘挂列车开行方案优化的基本要求是以“按流开车”为首要原则、以满足区段内车流的集疏需求为首要目标，并在此基础上尽可能减少列车开行所产生的费用。

图2为区段内开行多种列车下的列车开行方案示例。由图2可知：摘挂列车在区段内的每一站都有停靠，理论上可以输送区段内的任意一股车流；2列重点摘挂列车在区段内分别仅停靠b站和c站，输送对应车站的接入或交出流；区段列车不在中间站进行停靠作业，故其仅能输送区段流。图2开行方案仅为1种理论方案，在现场作业中，开行列车的种类、频次及停站方案往往是需要经过优化的，通过合理的统筹安排寻找到1种尽可能降低成本、尽可能提高区段内车流运输效率的车流组织模式。

结合上述分析，可将区段内多类型列车开行方案优化问题描述为：给定潜在列车开行集合，在区段内车流（包括区段流）已知的情况下，决策区段内需要开行的列车种类及数量，确定各股车流所需要搭乘的列车，并确定各趟列车需要停靠作业的车站。

2 区段内多类型货物列车开行方案优化模型

2.1　基本假设

（1）不考虑区段小运转列车。大部分小运转列车是为枢纽内车流集散服务的，虽然部分区段内也会开行小运转列车，但此种情况不够典型，故不再将其纳入考虑。

（2）区段内车流的到发量数据已知，是某个列车编组计划覆盖周期内的车流平均值。

（3）每股车流不可拆分。即一股车流（考虑重空差异）只能被编入某1类属性的列车中。

（4）1次仅优化区段内1个方向的列车开行方案。由于区段内上下行列车开行方案的优化原理可以认为是相同的，因此相反方向的开行方案可以通过再次调用模型获得。

（5）不限制各车站的改编作业能力。在中间站需要进行摘挂调车的列车数较少，且根据车流信息可以大致推算出各站的有调作业车数，故无须进行专门的能力限制。

（6）不考虑因行车组织产生的列车会让、待避等导致的停车消耗，仅考虑列车在站进行改编作业、列检等作业产生的停站费用。

2.2　模型符号定义

模型涉及的集合和索引定义如下。K为潜在的列车集合，包括区段列车和摘挂列车，k为索引；Q为所有车流集合；Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}和Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}分别为重车流、空车流集合，Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}\subseteq Q，Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}\subseteq Q；P为区段所有区间的集合；S为区段内中间站的集合，i，j和s均为索引；有序对（i,j）为区间与车流的联合索引，当（i,j）\in P时，表示从i站到j站的区间，当（i,j）用于车流相关参数或变量时，表示以i为发站、j为到站的1股车流。

模型参数定义如下。W^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}为区段规定的列车最大牵引重量，t；L^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}为区段规定的列车最大允许换长；f_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}和f_{ij}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}分别为从i站发往j站的重车数和空车数，辆；w^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}和w^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}分别为重车和空车的平均总重，t；g_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为编开列车k的固定成本，包括司乘工资和检查作业费用等，元·列^-1；r_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}为不计重空差异下列车k的单位吨公里换算收益，元·（tkm）^-1；r_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}为不计重空差异下列车k的单位车小时换算收益，元·（车小时）^-1；H_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}为列车k开行产生的吨公里效益，用于定量表示每列列车开行后完成的运输工作量，tkm；g_s^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}为列车在s站停站的固定成本，元·列^-1；m^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}为区段列车的编成辆数，辆；c^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}为区段列车的货车集结系数；{\tau }_s为列车在s站的停车时间，h；d_{ij}为i站到j站之间的距离，km；l_{}^{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}}为货车的平均换长；l^{\mathrm{L}\mathrm{c}\mathrm{m}}为本务机车的换长；W_{s,s+\mathrm{1},k}为列车k途经车站s与其前方邻站s+\mathrm{1}之间的区间（s,s+\mathrm{1}）时的重量，t；L_{s,s+\mathrm{1},k}为列车k途经区间（s,s+\mathrm{1}）时的换长。

模型的决策变量均为0-1变量，定义如下。{\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为列车k是否开行，是则取值为1，否则取值为0。对{\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}进一步细化，{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}为开行的列车k是否为区段列车，是则取值为1，否则取值为0；{\eta }_{sk}为列车k是否在s站停车作业，是则取值为1，否则取值为0。x_{ij,k}和y_{ij,k}分别为重车流f_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}、空车流f_{ij}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}是否搭乘列车k，是则取值为1，否则取值为0。

需要说明的是，在设置列车开行变量{\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}的基础上，为进一步区分区段列车和其他列车，针对区段列车额外设计变量{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}，并将其与列车开行约束联系起来。区段内列车在某个中间站停站作业，可能是挂重车离开、挂空车离开、摘重车送卸、摘空车送装，或是几种情况的组合；考虑到列车中重空车的比例会影响到列车的重量及长度，故需要针对重空车流编入列车的不同情况分别设计变量。此外，列车挂运的车流虽然可以反映出列车的停站信息，但为了更加直观地表达停车情况，故单独设计了列车停站变量{\eta }_{sk}。

2.3　模型的0-1整数非线性规划表达

所建模型考虑的列车种类包括：摘挂列车、重点摘挂列车以及区段列车。基于前文设计的数学符号，区段内多类型列车开行方案优化问题可表述为1个0-1整数非线性规划模型，并记为MTOP。

在构造模型之前，需要预先确定潜在的列车集合K。采取的思路为：先确定最多需要开行多少列车能够满足车流的输送任务，再通过模型优化决定开行的列车种类及对应数量。考虑到开行的列车会将全部车流输送至目的地，且应满足车流量最大区间的运输需求，因此可认为潜在列车数量与区段中各区间内车流量的大小相关，则K中的元素个数可表示为

\left|K\right|=\underset{s\in S\bigcup \left\{A\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\left\{⌈\frac{F_{s,s+\mathrm{1}}}{\overline{m}}⌉\right\}（1）

式中：A为区段起点技术站的索引；F_{s,s+\mathrm{1}}为区间（s,s+\mathrm{1}）内的车流量；\overline{m}为列车的平均编成辆数，辆。

2.3.1　优化目标

模型的优化目标分为5个部分，分别是：列车开行的固定成本、列车开行带来的换算收益、列车停站作业产生的费用、货车停留产生的车小时消耗和区段列车开行产生的额外集结费用。

1）列车开行固定成本

记列车开行的固定成本为Z_{\mathrm{1}}，即每列开行列车产生的固定费用的总和。每趟列车的固定成本包括集结与编组费用、司乘人员工资、检查作业费用等，即列车开行后必然产生的支出。该项成本需要最小化，可表示为

Z_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{k\in K}{g}_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}（2）

2）列车开行换算收益

记所有列车开行产生的换算收益为Z_{\mathrm{2}}，可通过对各列列车产生的换算效益求和得到，并需要将其最大化，即

Z_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{k\in K}{r}_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}{H}_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}（3）

其中，

H_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}=\sum _{\left(i,j\right)\in Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}}{f}_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}{w}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}{d}_{ij}{x}_{ij,k}+\sum _{\left(u,v\right)\in Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}}{f}_{uv}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{w}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{d}_{uv}{y}_{uv,k}

3）列车停站作业费用

记列车停站作业产生的费用为Z_{\mathrm{3}}，包括列车在站进行改编作业、列检等产生的费用。该目标函数在逻辑上也可等价为最小化列车因需要作业而停站的次数，可表示为

Z_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{k\in K}\sum _{s\in S}{\eta }_{sk}{g}_s^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}（4）

4）货车停留车小时消耗

记货车停留产生的车小时消耗为Z_{\mathrm{4}}，由于车流在中间站等待其他车流改编会产生停留消耗，且同一个去向的重空车流不一定搭乘同一趟列车，因此目标函数对每个去向的重空车流产生的停留消耗进行单独考虑。该目标函数需要最小化，表示为

\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{4}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{k\in K}{r}_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}\sum _{\left(i,j\right)\in Q}\sum _{s\in S}(f_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}{x}_{ij,k}+\\ f_{ij}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{y}_{ij,k}){\tau }_s{\eta }_{sk}{\phi }_{ij,s}\end{array}（5）

其中，

{\phi }_{ij,s}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1}& s\in S_{ij}\\ \mathrm{0}& s\notin S_{ij}\end{array}\right.\forall i,j,s\in S

式中：{\phi }_{ij,s}为判断车站s是否在i站到j站的范围内的符号函数，具有参数性质；S_{ij}为i站—j站途经的车站集合。

5）区段列车集结成本

记区段列车开行产生的额外的集结费用为Z_{\mathrm{5}}，每开行一列区段列车就会产生1个集结费用，该目标函数需要最小化，可表示为

Z_{\mathrm{5}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{k\in K}{r}_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}{c}^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}{m}^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}（6）

6）完整目标函数

结合上述分析，模型的优化目标Z是一个多目标函数，完整的目标函数可以表示为

Z=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\varpi }_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{1}}-{\varpi }_{\mathrm{2}}{Z}_{\mathrm{2}}+{\varpi }_{\mathrm{3}}{Z}_{\mathrm{3}}+{\varpi }_{\mathrm{4}}{Z}_{\mathrm{4}}+{\varpi }_{\mathrm{5}}{Z}_{\mathrm{5}})（7）

式中：{\varpi }_{\mathrm{1}}—{\varpi }_{\mathrm{5}}为下标对应目标函数的权重系数。

2.3.2　约束条件

模型的约束条件主要包括列车开行约束、车流唯一性约束、列车编组数量约束、区段列车开行约束、列车停站逻辑约束和变量取值约束。

1）列车开行约束

若i站到j站的重车流或空车流搭乘列车k，则说明列车k必然开行，故有

x_{ij,k}\le {\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}\forall k\in K,(i,j)\in Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}（8）

y_{ij,k}\le {\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}\forall k\in K,(i,j)\in Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}（9）

2）车流唯一性约束

假设中已经明确，每股重车流或空车流都必然有可搭乘的列车，且只能搭乘一趟列车、不能被拆分，故分别有

\sum _{k\in K}{x}_{ij,k}=\mathrm{1}\forall (i,j)\in Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}（10）

\sum _{k\in K}{y}_{ij,k}=\mathrm{1}\forall (i,j)\in Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}（11）

3）列车编组数量约束

列车在各区间内的牵引总重和总换长应满足区段规定的标准。由于模型主要针对的是摘挂列车，考虑到摘挂列车在沿途需要进行摘挂调车作业，列车编组不固定，为了便于组织列车开行以及求解模型，此处不对列车的牵引总重和换长设定下限。

列车在各站作业完毕后，在区间（s,s+\mathrm{1}）内的牵引总重应不大于规定的牵引定数要求，有

W_{s,s+\mathrm{1},k}\le W^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}\forall k\in K,(s,s+\mathrm{1})\in P（12）

其中，

\begin{array}{l}{W}_{s,s+\mathrm{1},k}=\sum _{\left(i,j\right)\in Q^{Load}}{f}_{ij}^{Load}{w}^{Load}{\varphi }_{ij,s,s+\mathrm{1}}{x}_{ij,k}+\\ \sum _{\left(u,v\right)\in Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}}{f}_{uv}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{w}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{\varphi }_{uv,s,s+\mathrm{1}}{y}_{uv,k}\\ \forall k\in K,(s,s+\mathrm{1})\in P\end{array}

列车在各站作业完毕后，在考虑机车换长影响的情况下，区间（s,s+\mathrm{1}）内列车的总换长应不大于区段规定换长标准

L_{s,s+\mathrm{1},k}\le L^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}-l^{\mathrm{L}\mathrm{c}\mathrm{m}}\forall k\in K,(s,s+\mathrm{1})\in P（13）

其中，

\begin{array}{l}{L}_{s,s+\mathrm{1},k}=\sum _{\left(i,j\right)\in Q^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}}{f}_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}{l}^{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}}{\varphi }_{ij,s,s+\mathrm{1}}{x}_{ij,k}+\\ \sum _{\left(u,v\right)\in Q^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}}{f}_{uv}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{l}^{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}}{\varphi }_{uv,s,s+\mathrm{1}}{y}_{uv,k}\\ \forall k\in K,(s,s+\mathrm{1})\in P\end{array}

\begin{array}{l}{\varphi }_{ij,s,s+\mathrm{1}}=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1}& (s,s+\mathrm{1})\in P_{ij}\\ \mathrm{0}& (s,s+\mathrm{1})\notin P_{ij}\end{array}\right.\forall i,j\in S,\\ (s,s+\mathrm{1})\in P\end{array}

式中：{\varphi }_{ij,s,s+\mathrm{1}}为判断区间（s,s+\mathrm{1}）是否在i站到j站范围内的符号函数；P_{ij}为i站到j站途经的区间集合。

4）区段列车开行约束

当列车k开行且途中不停靠任何中间站时，则该列车为区段列车，由此进一步构造约束式（14）—式（16）。需要指出的是，目标函数中已经隐含了区段列车开行的必要性判断，因此约束中无须重复考虑该条件；根据优化的方向，模型会决策是否开行区段列车，或是否全部开行摘挂列车。

式（14）为区段列车开行判断约束。在列车k开行的情况下，若其途中不停靠任何车站，则式子右边取值为1，此时变量{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}只能取值为1。

{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}\ge {\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}-\sum _{s\in S}{\eta }_{sk}\forall k\in K（14）

式（15）为区段列车不开行约束。若列车k在途中有停站，那么{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}只能取值为0。

M(\mathrm{1}-{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}})+\mathrm{1}\ge {\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}+\sum _{s\in S}{\eta }_{sk}\forall k\in K（15）

式（16）是区段列车开行的前提约束，即只有当列车k开行时，该列车才有可能是区段列车。

{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}\le {\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}\forall k\in K（16）

5）列车停站逻辑约束

若从i站到j站的车流搭载的是列车k，那么该列车在i站和j站一定需要停车作业，因此存在约束条件

I(x_{ij,k}+y_{ij,k})\le {\eta }_{ik}{\eta }_{jk}\forall k\in K,(i,j)\in Q,i,j\in S（17）

其中，

I\left(\alpha \right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \alpha >\mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \alpha \le \mathrm{0}\end{array}\right.\forall \alpha \in \mathbf{ℝ}

式中：I （\alpha）为对任意实数\alpha都成立的符号函数。

模型对各开行列车的停站次数不做具体限制，即若列车每站均停靠，则为普通摘挂列车；若列车不停靠任何中间站，则为区段列车；对于其他情况，则为重点摘挂列车。

6）变量取值约束

模型中所有用到的变量均为0-1变量，取值约束为

{\xi }_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}},{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}},x_{ij,k},y_{ij,k},{\eta }_{sk}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall k\in K,

(i,j)\in Q,s\in S（18）

3 模型线性化处理

模型MTOP的规模主要受到车站和列车数量的影响。例如，在包括两端技术站的基础上，当一个区段存在s个车站时，单个方向的重空车流最多会达到s（s-\mathrm{1}）支，其中重车流和空车流分别为s（s-\mathrm{1}）/\mathrm{2}支；此时该区段存在s-\mathrm{2}个中间站，根据排列组合关系，则任意一列摘挂列车的停站方案最多有{{\mathrm{2}}^s}^{-\mathrm{2}}-\mathrm{1}种可能；若该区段内最多允许开行\left|K\right|列摘挂列车，则整体方案数量将增加至（{{\mathrm{2}}^s}^{-\mathrm{2}}-\mathrm{1}）{}^{\left|K\right|}个。可以发现车站数量较多时模型的求解会变得十分困难。又由于模型MTOP目标函数中的货车停留车小时消耗Z_{\mathrm{4}}存在二次项，式（17）中的I（x_{ij,k}+y_{ij,k}）为阶跃函数且{\eta }_{ik}{\eta }_{jk}也为二次项，均具有非线性的特征。因此，模型MTOP是1个大规模的0-1整数非线性规划模型，部分商业软件无法直接对其求解。此时1种常见的求解思路是，根据解的形式和约束条件的特点设计相应的启发式算法，如模拟退火算法、遗传算法等，不过此类启发式算法需要考虑的模型参数较多，且大部分算法针对不同问题的复用性较差，不同场景往往需要重新设计算法流程和反复调参，耗时耗力；目前大部分启发式算法也难以获得问题的最优解，只是得到近似最优解，难以保证求解质量。

为便于求解，可以对模型MTOP中的非线性项进行线性化处理，构造等效的0-1整数线性规划模型。而要将模型线性化，关键就在于处理阶跃函数I （x_{ij,k}+y_{ij,k}）和二次降维。为此引入1个新的0-1变量z_{ij,k}代替阶跃函数，z_{ij,k}为从i站到j站的车流是否搭乘列车k，若搭乘则取值为1，否则取值为0。引入新变量后，还需要增加新的约束条件，即式（19）和式（20），从而建立变量z_{ij,k}，x_{ij,k}和y_{ij,k}间的联系。

x_{ij,k}+y_{ij,k}\le M{z}_{ij,k}\forall k\in K,\left(i,j\right)\in Q（19）

x_{ij,k}+y_{ij,k}\ge z_{ij,k} \forall k\in K,\left(i,j\right)\in Q（20）

式中：M为一个常数，取x_{ij,k}+y_{ij,k}的上界，由于模型中x_{ij,k},y_{ij,k}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}，故可取值为2。

对于目标函数中的二次项，引入2个新的0-1辅助变量{\beta }_{ij,sk}和{\gamma }_{ij,sk}。{\beta }_{ij,sk}=\mathrm{1}为列车k是否承运重车流f_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}且在s站停车作业，是则取值为1，否则取值为0；{\gamma }_{ij,sk}=\mathrm{1}为列车k是否承运空车流f_{ij}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}且在s站停车作业，是则取值为1，否则取值为0。基于引入的辅助变量，补充约束条件式（21）—式（26）。

{\beta }_{ij,sk}\le {\eta }_{sk} \forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（21）

{\beta }_{ij,sk}\le x_{ij,k}\forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（22）

{\beta }_{ij,sk}\ge {\eta }_{sk}+x_{ij,k}-\mathrm{1}\forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（23）

{\gamma }_{ij,sk}\le {\eta }_{sk} \forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（24）

{\gamma }_{ij,sk}\le y_{ij,k}\forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（25）

{\gamma }_{ij,sk}\ge {\eta }_{sk}+y_{ij,k}-\mathrm{1}\forall k\in K,(i,j)\in Q,s\in S（26）

由此，模型MTOP的目标函数式（7）可以被线性化为

\begin{array}{l}Z=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\sum _{k\in K}\left({\varpi }_{\mathrm{1}}{g}_k^{Train}{\xi }_k^{Train}-{\varpi }_{\mathrm{2}}{r}_k^{Tkm}{H}_k^{Tkm}+\stackrel{}{\underset{}{}}\right.\\ {\varpi }_{\mathrm{3}}\sum _{s\in S}{\eta }_{sk}{g}_s^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}+{\varpi }_{\mathrm{4}}{r}_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}\sum _{\left(i,j\right)\in Q}\sum _{s\in S}\left(f_{ij}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\beta }_{ij,sk}+\right.\\ \left.\stackrel{}{\underset{}{}}\left.f_{ij}^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}{\gamma }_{ij,sk}\right){\tau }_s{\phi }_{ij,s}+{\varpi }_{\mathrm{5}}{r}_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}{\zeta }_k^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}{c}^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}{m}^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}\right)\end{array}（27）

类似地，为等效转化式（17）中的二次项，引入1个新的0-1辅助变量{\mu }_{ij,k}为列车k是否同时在i站与j站进行停车作业，是则取值为1，否则取值为0。基于此，补充以下约束

{\mu }_{ij,k}\le {\eta }_{jk}\forall k\in K,(i,j)\in Q,i,j\in S（28）

{\mu }_{ij,k}\le {\eta }_{ik}\forall k\in K,(i,j)\in Q,i,j\in S（29）

{\mu }_{ij,k}\ge {\eta }_{ik}+{\eta }_{jk}-\mathrm{1}\forall k\in K,(i,j)\in Q,i,j\in S（30）

于是，约束式（17）就可以转变为

z_{ij,k}\le {\mu }_{ij,k}\forall k\in K,(i,j)\in Q,i,j\in S（31）

用式（27）替换模型MTOP的目标函数，用约束式（31）替换模型MTOP中的约束式（17），并补充约束式（19）—式（26）和式（28）—式（30），就可以得到1个0-1整数线性规划模型，将其记为MTOP-L。该模型相较于模型MTOP更易求解。考虑到模型MTOP-L已具有较好的线性特性，且在求解对象为单一区段的前提下问题规模并不会很大，目前通过主流商业优化软件求解线性模型是较为高效可行的办法，故可以利用商业优化软件Gurobi直接求解。

4 案例研究

4.1　案例背景及参数

以双线铁路上某区段的下行方向构造案例。该区段全长190 km，既有列车开行方案中安排开行3列摘挂列车，且均需在沿途各站停车作业。案例区段内的车站分布和车站间里程，以及既有摘挂列车开行方案如图3所示。图中：e和f为不同中间站；数字表示对应区间里程。

模型MTOP中的参数可根据区段内编组计划要求及车站技术参数，在结合历史情况、参考现场技术人员经验的基础上，灵活地获取和确定。此案例中，取列车的最大牵引定数W^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}为4 000 t，列车最大换长L^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}}为80，机车换长l^{\mathrm{L}\mathrm{c}\mathrm{m}}为1.9（按DF4型机车计算），单节货车平均换长l_{}^{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}}为1.2，平均每辆重车和空车的重量w^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}和w^{\mathrm{E}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{y}}分别为80和23 t，编开列车的固定成本g_k^{\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}}为1 000元·列^-1，区段列车集结参数c^{\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{t}}为11.5，每吨公里单位换算收益r_k^{\mathrm{T}\mathrm{k}\mathrm{m}}为0.05元，每车小时单位换算收益r_k^{\mathrm{C}\mathrm{h}}为1元。为便于说明和计算，取列车在各站的停站作业成本g_s^{\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}为200元·列^-1，在各站的停站作业时间{\tau }_s为0.6 h。考虑到各目标项已按成本或收益换算为统一量纲，且案例中不额外区分目标偏好，目标函数中权重系数{\varpi }_{\mathrm{1}}—{\varpi }_{\mathrm{5}}均取值为1。

区段内下行方向各站之间的重空车流量见表1。

为了找出区段中车流量最大的区间，根据表1数据获得区段内各区间的车流密度分布，如图4所示。图中：线路区间上、下方的数字分别表示重、空车流量，如区间A—a的重车数量为70辆，空车数量为43辆。从图4中可以看出，区间b—c的车流量最大，为138辆，区段内列车平均编成辆数取40辆时，根据式（2）得出潜在最多需要开行的4列列车，即K=\left\{\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}\right\}；结合第3部分排列组合关系进一步测算出，此时的开行方案至多达到260 144 641种，人工求得最优解显然十分困难。

4.2　结果分析

案例计算在Intel（R） Core（TM） i7-11370H，32 GB RAM的计算机上完成，并通过Python 3.12编程调用Gurobi 11.0.1求解，程序计算耗时约1 s。图5为求解得到的区段内下行方向列车开行最优方案。

由图5可以看出：在最优方案中共开行3列摘挂列车，其中摘挂列车1和摘挂列车2均为采用“站站停”模式的普通摘挂列车，即在沿途各站都办理摘挂调车作业；摘挂列车3为重点摘挂列车，列车仅在b，c和d站停车办理摘挂调车作业，其余中间站不停车；不开行区段列车，区段重车流由摘挂列车1输送，区段空车流由重点摘挂列车输送。

图6给出了优化方案中3列摘挂列车在各区间的牵引重量以及编成辆数变化情况。由于摘挂列车3以运输空车流为主，故其在c站之后的牵引重量一直偏低。由图6得出3列列车的平均牵引重量和平均编成辆数，结果见表2。

为了更直观地体现车流挂运情况，进一步绘制3列摘挂列车的车流分配，如图7所示。以摘挂列车1为例，其在技术站A编成后，列车内初始编组的重车中，5辆去往a站，4辆去往b站，5辆去往e站，12辆去往B站；空车中4辆去往a站，2辆去往b站，10辆去往c站，4辆去往e站。各站具体重空车流摘挂情况见表3。

表4给出了每列列车的收益及消耗，可以看出2列普通摘挂列车的吨公里收益均高于重点摘挂列车。结合图6分析，其主要原因在于重点摘挂列车的平均牵引重量较低，但重点摘挂列车的停站次数少于另外2列摘挂列车，故其停留消耗更低。不难看出，重点摘挂列车的作用并不在于提高单列收益，而在于承担部分距离较长的车流，通过减少停站作业的形式降低整个系统的总停留消耗。由此，即便没有编开区段列车，采用普通摘挂列车与重点摘挂列车相结合的组织方式，仍能获得一定的车小时节省。

将表4所得优化方案与该区段的既有方案进行对比发现：2种方案下都需要开行3列摘挂列车，所有列车的总吨公里收益均为1 277 344 tkm，原因在于2种方案输送的车流总量相同；既有方案的总停留消耗为361.8车小时，优化方案较既有方案降低了18.57%；既有方案列车总计停站18次，而优化方案仅停站15次。需要指出的是，优化案例中减少的停站次数是列车在车站停靠办理摘挂调车作业的次数，不包含列车因待避高等级列车或被越行而需要的停靠，优化案例中列车的具体开行时刻可根据运行图的铺画情况来灵活确定。

5 结语

区段内的车流组织是铁路运输组织中的重要一环。作为输送区段管内车流的主要方式，摘挂列车和重点摘挂列车的开行方案质量会直接影响相关车站的作业成本和效率。本文结合区段内的车流构成及各车流特性，在综合考虑区段列车、摘挂列车和重点摘挂列车作业及开行特点的基础上，对区段内摘挂流及少量区段流的组织进行优化研究，以期提升车流组织效率和运输效益。为此，先构建1个0-1整数非线性规划模型将问题数学化，再从便于求解的角度，对模型进行线性化处理。以某双线铁路区段下行方向为背景构造案例，所建模型得到的优化方案，可将总停站次数由18次减少至15次，将总停留消耗由361.8车小时降低至294.6车小时，减少67.2车小时，降幅达18.57%，有效减少停站作业和货车停留产生的车小时消耗。该模型在不编开区段列车的情况下，仅通过普通摘挂列车与重点摘挂列车的组织开行优化，也能获得一定的车小时节省，可以为区段内车流组织方案的优化提供参考。

在运输实践中，到达区段内的、从区段内出发的车流量都并非静态均值，而是每天波动的。为适应车流到发的动态性，需要进一步考虑车流波动对区段内货物列车组织带来的影响，将原本的静态问题转化为动态问题。引入车流波动因素后，管内列车组织方案还需要在与运行图协同优化的基础上滚动更新，上述动态综合优化会使问题的复杂性明显提高，有待未来开展更为深入的研究。

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基金资助

国家自然科学基金铁路基础研究联合基金资助项目(U2268207)

国家重点研发计划项目(2018YFB1201402)

中国国家铁路集团有限公司科技研究开发计划课题（N2024X033（JB））

中国铁道科学研究院集团有限公司科研开发计划项目(2022YJ356)