基于两阶段随机规划的高铁列车开行方案优化方法

Optimization Method for High-Speed Railway Line Planning Based on Two-Stage Stochastic Programming

摘要

针对高铁旅客需求不确定性对运力配置的影响，在运行图编制阶段考虑以基本列车开行方案为主体、备用列车开行方案为补充的模式对列车开行方案进行优化。其中，基本方案对应常态化开行，各需求场景下均需执行；备用方案在编制阶段预先制定并纳入开行方案，根据实际客流决定是否启用。采用离散场景刻画需求不确定性，构建两阶段随机规划模型：第1阶段优化基本列车开行方案及其票额分配计划，并同步生成备用列车开行方案；第2阶段在需求场景实现后，依据实际客流决策备用列车的启用状态及其票额分配计划。通过线性化技术将模型转化为等价线性规划问题后，设计列生成算法进行求解，并以郑西高铁为例进行验证。结果表明：相较于Gurobi优化求解器，列生成算法可在短时间内求得高质量可行解；相较于直接利用需求量均值代替随机需求量的确定性方法，随机规划模型所得运输方案的目标值可提高11.05%；相较于仅采用单一基本列车开行模式，优化方法的目标值可提高6.94%。该方法在提升收益、适应需求波动方面优势明显，能够兼顾企业效益和服务质量。

Abstract

To address the impact of uncertainty in High-Speed Railway (HSR) passenger demand on capacity allocation, line planning is optimized during the timetable compilation phase by considering a mode that uses a basic line planning as the main framework and a backup line planning as a supplement. The basic scheme corresponds to normal operations and must be implemented under all demand scenarios, while the backup scheme is prepared in advance and included in line planning, with its implementation determined on actual passenger flow. Using discrete scenarios to describe demand uncertainty, a two-stage stochastic programming model is constructed. In the first stage, the basic line planning and its corresponding ticket allocation strategy are optimized, and the backup line planning is simultaneously generated. In the second stage, after demand scenarios are realized, the activation status of backup trains and their ticket allocation strategy are decided based on actual passenger flow. After the model is transformed into an equivalent integer linear programming by linearization techniques, a Column Generation (CG) algorithm is designed to solve it, then the Zhengzhou-Xi’an HSR is used as a case for verification. The results show that compared with Gurobi Optimizer, the CG algorithm can obtain high-quality feasible solutions within a short time. In contrast to the deterministic method that directly adopts average demand to replace stochastic demand, the transportation scheme derived from the stochastic programming model increases the objective value by 11.05%. Moreover, compared with the operation mode relying only on a single basic train, the objective value of the optimized method can be further raised by 6.94%. This method presents prominent advantages in revenue improvement and demand fluctuation adaptation, and can balance enterprise benefits and service quality simultaneously.

Graphical abstract

关键词

高速铁路 / 列车开行方案 / 票额分配 / 两阶段随机规划

Key words

High-Speed Railway (HSR) / Line planning / Ticket allocation / Two-stage stochastic programming

近年来，随着旅客运输需求增大，高铁客运组织优化问题受到广泛关注。列车开行方案是铁路客运组织的重要环节，它以客流为基础，以客流性质、特点和规律为依据，科学合理地安排列车起讫点、运行径路、停站方案、运行数量等，是体现从客流到列车流的组织方案。然而，由于高铁网络规模大、车站数量多、客流和列车流密集，这一方案的优化求解极为复杂，国内外已有众多学者论证了其为NP难问题^［1-3］。

列车开行方案决定了运输企业所提供的产品及其特性，票额分配计划明确了产品的营销策略，二者是影响运输企业运营效率与旅客出行选择的关键因素。国内外学者针对这2个问题已展开了深入研究。Goerigk等^［4］构建考虑旅客路径选择、列车运行径路与频率以及停站方案的混合整数线性规划模型，采用\epsilon约束法和遗传算法进行求解。靳国伟^［5］结合旅客出行选择，提出高铁分担率预测与开行方案反馈优化模型。Zhou等^［6］构建了考虑旅客路径分配的运行径路和频率综合优化模型，并设计外部近似方法进行求解。钟林环等^［7］研究了基于时变区间断面需求的高铁列车开行方案优化问题。王洪业等^［8］基于客票数据，通过票额调配模型和席位占用优化模型获得票额预分方案。Xu等^［9］在后疫情时代考虑社交距离，构建高铁席位分配优化模型。赵翔等^［10］在多列车多停站条件下研究高铁票额分配方法，采用粒子群算法求解。孙珏等^［11］基于预测客流研究单列车票额分配优化方法。周文梁等^［12］提出融合开行方案、客票定价和席位分配的综合优化方法，设计模拟退火算法进行求解。

以上研究大多基于确定需求展开，然而旅客需求常受极端天气、突发事件等诸多不确定因素干扰，呈现出一定随机性。制定运输组织方案时忽略这一特性会影响方案可靠性，进而影响运营效率与服务质量。目前已有部分学者开始关注随机需求下的运输组织优化问题。李博等^［13］构建了随机需求下基于风险决策的票额优化模型。Xu等^［14］研究了随机需求下高铁客货混运模式的列车运力分配问题。Cao等^［15］通过减少冗余列车和车厢数量调整随机需求下的运力分配。

为适应旅客需求的时空波动，铁路运输企业通常以基本列车运行图为骨架组织常态化运输，在客流高峰期通过编制分号运行图加密运力配置，并在突发需求或不利扰动条件下，辅以图外临客列车运行线实施应急保障，运行图编制一般遵循“运行线一次铺画、按需开行；编组长短结合、预留运力弹性”原则，统筹运行线铺画、列车编组配置及运输资源安排。在此背景下，面向运行图编制环节，充分考虑旅客需求不确定性，采用以基本列车开行方案为主体、备用列车开行方案为补充的模式，研究相似运营周期内基本列车与备用列车开行方案的优化。其中，基本方案以常态化客流需求为依据，作为常态化的开行安排，在各需求场景下均需实施；备用方案主要用于应对需求波动与不确定性，在编制阶段预先生成并纳入总体开行方案，待需求场景实现后再决策备用列车是否启用及其相应运行组织，以实现运力资源的动态配置，提高供需匹配程度。

基本列车与备用列车的开行相互耦合，共同决定运力供给结构与运行组织效果。基本方案运力冗余易造成资源闲置，运力不足则会频繁启用备用运行线，增加调度复杂度，加剧动车组资源的阶段性紧张。备用方案虽具有较强的调节能力，但其开行通常涉及车站、动车段（所）、客运及调度等多部门协同，组织环节多、实施约束强，并受动车组周转、检修能力与乘务组织等条件限制。因此，结合客流波动规律与资源约束，合理制定基本方案与备用方案，在发挥备用方案调节作用的同时保障方案可实施性，对提升高铁运力的精细配置与运行韧性意义重大。

本文考虑高铁旅客需求不确定性与列车运行组织特征，在以基本方案为主体、备用方案为补充的模式下，构建针对高铁列车开行方案的两阶段随机规划模型。进一步设计适配模型的求解算法，为铁路运输企业提供兼顾收益目标与服务水平约束的运输计划制定方法。

1 问题描述

铁路管理部门在制定运输计划时尽可能使运力运能与旅客需求吻合，在满足旅客出行需求、保障社会效益的同时，尽可能提高企业收益。现实中，突发事件和极端天气等因素往往使实际旅客需求呈现不确定性，既定运输计划或难以很好地匹配实际需求。因此，基于不确定的旅客需求，优化高铁列车开行方案并权衡各OD间的运力分配是当前亟待解决的重要研究课题。受多重因素影响，旅客需求具有内在随机性，即便在同一运营周期内，需求也是不确定的。为刻画该随机性，引入有限数量的场景集合W描述随机需求^［16-17］，可根据历史客流数据确定场景的划分数量和具体规模。

考虑到现实中客运计划的制定需权衡多方因素，难以在短时间内制定新的、有效的计划，管理部门通常选择对当前运输计划进行适当调整以应对客流波动。因此，在第1阶段确定与场景无关的基本列车开行方案及其票额分配计划，所有基本列车必须按计划开行，并同步生成备用列车开行方案。第2阶段，在需求场景实现后，根据基本列车开行方案调整备用列车相关决策，即决策备用列车的启用状态及其相应票额分配计划，实现运力资源动态调整。客运供需情况描述为：基本列车开行方案若能满足旅客需求，不启用备用列车；若不能完全满足需求，并且具备可供调度的动车组，则决策是否启用备用列车以服务溢出需求。

基于以下前提条件展开分析：①研究聚焦于列车运行图的编制阶段；②所有旅客均为直达运输，不考虑换乘行为；③采用固定票价策略，不考虑差异化票价机制影响；④可供调度的动车组数量有限，启用备用列车需满足一定数量限制，避免调度复杂性激增。在此基础上，针对旅客需求的不确定性，采用基本列车开行方案为主体、备用列车开行方案为补充的模式，构建以总利润最大为优化目标的两阶段随机规划模型，考虑区间通过能力及列车能力等约束，综合优化高铁列车开行方案和票额分配计划。

2 模型构建

为简化问题，以1条单向高铁线路为研究对象。模型参数定义如下：S为沿线车站集合，i,j\in S，；E_i为车站i距线路起点的里程，其初始值E₁取值为0；S_i^{+}为车站i前方的车站集合，S_i^{+}\subseteq S；S_i^{-}为车站i后方的车站集合，S_i^{-}\subseteq S；S_{\mathrm{o}}为列车始发站的备选集合，S_{\mathrm{o}}\subseteq S；S_{\mathrm{d}}为列车终到站的备选集合，S_{\mathrm{d}}\subseteq S；N为相邻车站构成的区间集合，n\in N；J_n为经过区间n的所有OD对集合；K为基本列车集合，k\in K；\overline{K}为备用列车集合，\overline{k}\in \overline{K}；\tilde{k}为所有列车集合的索引，满足\tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}；s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}为各列车统一的虚拟始发站；s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}为各列车统一的虚拟终到站；（i，j）为列车不间断运行弧，表示列车在车站i和车站j之间的车站不停靠；A为不间断运行弧集合，(i,j)\in A,\forall i,j\in S\bigcup \left\{s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}\right.，\left.s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}\right\}；Q为列车定员人数；H为列车最大停站次数；U为线路的区间通过能力；V为可启用的备用列车数量上限；P_{i,j}为车站i到车站j区间的票价；C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}为列车单位运营成本，元 · （km · 列）^-1；C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{1}}为基本列车的固定开行成本，元 · 列^-1；C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{2}}为备用列车的固定开行成本，元 · 列^-1；C_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}为列车单次停站成本，元 · 次^-1；p_w为场景w发生的概率；D_{i,j,w}为场景w下，车站i到车站j区间的旅客需求。

2.1　目标函数

为适当简化问题，使用有限数量的场景刻画需求随机性。该优化模型以总利润最大为目标，其目标函数Z为

Z=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{w\in W}{p}_w(R_w-C_{\mathrm{2}})-C_{\mathrm{1}}（1）

式中：R_w为场景w下的客票总收入；C_{\mathrm{1}}为基本列车使用成本；C_{\mathrm{2}}为备用列车使用成本；\sum _{w\in W}{p}_w(R_w-C_{\mathrm{2}})为高铁客运的期望总收益。

列车使用成本包括运营成本、固定开行成本和停站成本。其中，运营成本由单位运营成本和列车运行区段里程决定，停站成本为列车单次停站成本与停站次数的乘积。基本列车使用成本C_{\mathrm{1}}的计算式为

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\sum _{k\in K}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{x}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}-\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{x}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},k}\right)\right.+\\ \left.C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{1}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{x}_{i,j,k}\right]y_k\end{array}（2）

式中：x_{i,j,k}为0-1决策变量，若列车k使用不间断弧（i，j），则x_{i,j,k}取值为1，否则取值为0；y_k为0-1决策变量，若基本列车k实际投入使用，则y_k取值为1，否则取值为0。

与基本列车类似，备用列车使用成本C_{\mathrm{2}}的计算式为

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{2}}=\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{x}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\overline{k}}-\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{x}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},\overline{k}}\right)\right.+\\ \left.C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{2}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{x}_{i,j,\overline{k}}\right]{\overline{y}}_{\overline{k},w}\end{array}（3）

\mathrm{式中}：{\overline{y}}_{\overline{k},w}为0-1决策变量，若备用列车\overline{k}在场景w下实际启用，则{\overline{y}}_{\overline{k},w}取值为1，否则取值为0。

客票收入由票价和分配的票额或实际需求决定。当供过于求时，客票收入为票价与需求的乘积；当供不应求时，客票收入为票价与票额的乘积。据此，场景w下的客票收入R_w为

R_w=\sum _{i,j\in S}{P}_{i,j}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{k\in K}{q}_{i,j,k}+\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w},D_{i,j,w}\right\}

\left(\mathrm{4}\right)

式中：q_{i,j,k}为非负整数决策变量，表示基本列车k分配给OD对（i，j）的票额；{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}为非负整数决策变量，表示场景w下，备用列车\overline{k}分配给OD对（i，j）的票额。

综上，目标函数Z可更新为

\begin{array}{l}Z=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{w\in W}{p}_w\sum _{i,j\in S}{P}_{i,j}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{\sum _{k\in K}{q}_{i,j,k}+\right.\\ \left.\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w},D_{i,j,w}\right\}-\sum _{k\in K}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{x}_{i,|S|+\mathrm{1},k}-\right.\right.\\ \left.\left.\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{x}_{\mathrm{0},i,k}\right)+C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{1}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{x}_{i,j,k}\right]y_k-\\ \sum _{w\in W}\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{x}_{i,|S|+\mathrm{1},\overline{k}}-\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{x}_{\mathrm{0},i,\overline{k}}\right)+\right.\\ \left.C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{2}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{x}_{i,j,\overline{k}}\right]p_w{\overline{y}}_{\overline{k},w}\end{array}（5）

2.2　第1阶段模型约束

1）列车开行方案相关约束

列车开行方案决定了列车的运行区段和停站方案。具体决策过程如下。

\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{x}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},\tilde{k}}=\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{x}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\tilde{k}}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}（6）

\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{x}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\tilde{k}}\le \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}（7）

\sum _{j\in S_i^{-}}{x}_{j,i,\tilde{k}}=\sum _{j\in S_i^{+}}{x}_{i,j,\tilde{k}}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i\in S,\tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}（8）

\sum _{i,j\in S}{x}_{i,j,\tilde{k}}\le H\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}（9）

式（6）和式（7）表示列车的始发终到条件，即列车投入运营恰好存在始发站和终到站各1个；式（8）表示列车径路的连续性条件；式（9）表示列车停站总数须满足列车最大容许停站次数限制。

2）基本列车能力约束

列车在任一区段内可搭载的乘客总数受列车型号、车厢数量等因素影响。基本列车在任一区段上分配的票额总数应不超过列车定员人数。该约束为

\sum _{\left(i,j\right)\in J_n}{q}_{i,j,k}\le Q\begin{array}{cc}& \end{array}\forall n\in N,k\in K（10）

3）基本列车开行与票额分配耦合约束

票额分配以列车实际开行为前提，未开行的基本列车不得分配票额。该约束为

\sum _{i,j\in S}{q}_{i,j,k}\le y_{k}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（11）

式中：M为1个任意大正数。

4）基本列车停站与票额分配耦合约束

若基本列车在某个区间上分配票额，则必须在区间端点处停站。该约束为

q_{i,j,k}\le \sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}{x}_{\overline{i},i,k}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（12）

q_{i,j,k}\le \sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}{x}_{j,\overline{j},k}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（13）

5）变量取值约束

第1阶段决策变量取值范围约束为

\left\{\begin{array}{l}{x}_{i,j,\tilde{k}}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall i,j\in S,\tilde{k}\in K\bigcup \overline{K}\\ y_k\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall k\in K\\ q_{i,j,k}\in {\mathbb{Z}}^{+}\forall i,j\in S,k\in K\end{array}\right.\left(\mathrm{14}\right)

2.3　第2阶段模型约束

1）备用列车能力约束

与基本列车相类似，该约束表示备用列车在任一区段上分配的票额总数须满足列车定员人数限制，其表达式为

\sum _{\left(i,j\right)\in J_n}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le Q\begin{array}{cc}& \end{array}\forall n\in N,\overline{k}\in \overline{K}（15）

2）备用列车开行数量约束

一定周期内，区间通过能力通常与区间长度、列车速度和基础设施等因素有关。实际投入运营的列车总数须满足的区间容量限制为

\sum _{k\in K,\overline{k}\in \overline{K}}(y_k+{\overline{y}}_{\overline{k},w})\le U（16）

此外，启用备用列车通常涉及多个部门，且可供调度的动车组数量有限。启用的备用列车总数须满足的开行数量限制为

\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}{\overline{y}}_{\overline{k},w}\le V（17）

3）变量耦合约束

与基本列车相类似，备用列车开行与票额分配间的耦合关系约束为

\sum _{i,j\in S}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le {\overline{y}}_{\overline{k},w}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \overline{k}\in \overline{K}(18)

备用列车停站与票额分配间的耦合关系约束为

{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le \sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}{x}_{\overline{i},i,\overline{k}}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（19）

{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le \sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}{x}_{j,\overline{j},\overline{k}}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（20）

4）变量取值约束

第2阶段决策变量取值范围约束为

{\overline{y}}_{\overline{k},w}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\in {\mathbb{Z}}^{+}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（21）

2.4　线性化

目标函数中的非线性表达转换如下。

1）基本列车使用成本

引入新的0-1变量Y_{i,j,k}对C_{\mathrm{1}}进行线性化，将其转化为

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\sum _{k\in K}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{Y}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}-\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{Y}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},k}\right)\right.+\\ \left.\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{Y}_{i,j,k}\right]+\sum _{k\in K}{C}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{1}}{y}_k\end{array}\left(\mathrm{22}\right)

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

Y_{i,j,k}\le x_{i,j,k}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（23）

Y_{i,j,k}\le y_k\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（24）

Y_{i,j,k}\ge x_{i,j,k}+y_k-\mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（25）

Y_{i,j,k}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（26）

2）备用列车使用成本

引入新的0-1变量{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}对C_{\mathrm{2}}进行线性化，将其转化为

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{2}}=\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\left[C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{\overline{Y}}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\overline{k},w}-\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{\overline{Y}}_{s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},i,\overline{k},w}\right)\right.+\\ \left.\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}\right]+\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}{C}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{2}}{\overline{y}}_{\overline{k},w}\end{array}（27）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}\le x_{i,j,\overline{k}}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（28）

{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}\le {\overline{y}}_{\overline{k},w}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（29）

{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}\ge x_{i,j,\overline{k}}+{\overline{y}}_{\overline{k},w}-\mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（30）

{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（31）

3）客票收入

引入新的非负整数变量X_{i,j,w}对R_w进行线性化，将其转化为

R_w=\sum _{i,j\in S}{P}_{i,j}{X}_{i,j,w}（32）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

X_{i,j,w}\le \sum _{k\in K}{q}_{i,j,k}+\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S （33）

X_{i,j,w}\le D_{i,j,w}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S （34）

X_{i,j,w}\in {\mathbb{Z}}^{+}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S（35）

2.5　数学模型

基于上述分析和线性化手段，将高铁列车开行方案和票额分配综合优化问题的两阶段随机规划（Two-stage Stochastic Programming，TSP）模型更新如下。

\begin{array}{l}Z=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{w\in W}\sum _{i,j\in S}{p}_w{P}_{i,j}{X}_{i,j,w}-\\ \sum _{k\in K,\overline{k}\in K}\left(C_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{1}}{y}_k+\sum _{w\in W}{C}_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x},\mathrm{2}}{\overline{y}}_{\overline{k},w}{p}_w\right)-\\ \sum _{k\in K,\overline{k}\in K}{C}_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left[\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i\left(Y_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}+\sum _{w\in W}{\overline{Y}}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\overline{k},w}{p}_w\right)-\right.\\ \left.\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i\left(Y_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},k}+\sum _{w\in W}{\overline{Y}}_{s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},i,\overline{k},w}{p}_w\right)\right]-\\ \sum _{k\in K,\overline{k}\in K}\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}\left(Y_{i,j,k}+\sum _{w\in W}{\overline{Y}}_{i,j,\overline{k},w}{p}_w\right)\end{array}（36）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

式（6）—式（21），式（23）—式（26）

式（28）—式（31），式（33）—式（35）

3 求解算法

TSP是1个整数线性规划问题，涉及大量可行的列车开行方案，规模随车站数量增多急剧增大。现有商业优化软件（如Gurobi）可处理小规模算例，但难以在合理时间内求解大规模实际问题。因此，设计了1种列生成（Column Generation，CG）算法进行高效求解。算法整体思路为：首先给定初始开行方案集合，并启动松弛受限主问题获得对偶信息；然后将对偶信息传递给定价子问题，识别检验数为正的优质列车开行方案，并将其加入松弛受限主问题的开行方案集合；最后迭代求解松弛受限主问题和定价子问题，直至无法生成更优方案。

3.1　受限主问题

原始TSP的简化版本被称作受限主问题（Restricted Master Problem，RMP），仅包含决策变量的子集。为清晰描述RMP，现重新定义部分变量：y_{k,l}为0-1决策变量，若基本列车k执行开行方案l，则y_{k,l}取值为1，否则取值为0；{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}为0-1决策变量，在场景w下若备用列车\overline{k}执行开行方案\overline{l}，则{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}取值为1，否则取值为0。q_{i,j,k}和{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}的定义同TSP。

此外，将列车\tilde{k}的开行方案备选集合定义为T_{\tilde{k}}=\left\{t_{i,j,\tilde{k},\tilde{l}}|i,j\in S,\tilde{k}\in K\bigcup \overline{K},\tilde{l}\in L_{\tilde{k}}\right\}。其中，L_{\tilde{k}}为列车\tilde{k}的备选开行方案数量；t_{i,j,\tilde{k},\tilde{l}}为0-1变量，若列车\tilde{k}的备选开行方案\tilde{l}使用不间断弧（i，j），则t_{i,j,\tilde{k},\tilde{l}}取值为1，否则取值为0。因此，基于列生成的受限主问题可转化为

\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\sum _{w\in W}\sum _{i,j\in S}{p}_w{P}_{i,j}{X}_{i,j,w}-\\ \sum _{k\in K}\sum _{l\in L_k}{C}_l{y}_{k,l}+\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\sum _{\overline{l}\in {\overline{L}}_{\overline{k}}}\sum _{w\in W}{C}_{\overline{l}}{p}_w{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}\end{array}（37）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

\sum _{i,j\in S}{q}_{i,j,k}\le \sum _{l\in L_k}{y}_{k,l}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（38）

q_{i,j,k}\le \sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}\sum _{l\in L_k}{y}_{k,l}{t}_{\overline{i},i,k,l}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（39）

q_{i,j,k}\le \sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}\sum _{l\in L_k}{y}_{k,l}{t}_{j,\overline{j},k,l}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（40）

\sum _{l\in L_k}{y}_{k,l}\le \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（41）

\sum _{i,j\in S}{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le \sum _{\overline{l}\in L_{\overline{k}}}{\overline{y}}_{\overline{k},w,\overline{l}}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \overline{k}\in \overline{K}（42）

{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le \sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}\sum _{\overline{l}\in L_{\overline{k}}}{\overline{y}}_{\overline{k},w,\overline{l}}{t}_{\overline{i},i,\overline{k},\overline{l}}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}(43)

{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\le \sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}\sum _{\overline{l}\in L_{\overline{k}}}{\overline{y}}_{\overline{k},w,\overline{l}}{t}_{j,\overline{j},\overline{k},\overline{l}}M\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K}（44）

\sum _{\overline{l}\in L_{\overline{k}}}{\overline{y}}_{\overline{k},w,\overline{l}}\le \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall \overline{k}\in \overline{K}（45）

\sum _{k\in K}\sum _{l\in L_k}{y}_{k,l}+\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\sum _{\overline{l}\in {\overline{L}}_{\overline{k}}}\sum _{w\in W}{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}（46）

\sum _{\overline{k}\in \overline{K}}\sum _{\overline{l}\in L_{\overline{k}}}{\overline{y}}_{\overline{k},w,\overline{l}}\le V（47）

y_{k,l},{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\forall k\in K,\overline{k}\in \overline{K},l\in L_k,\overline{l}\in {\overline{L}}_{\overline{k}}（48）

q_{i,j,k},{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}\in {\mathbb{Z}}^{+}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,\overline{k}\in \overline{K},k\in K（49）

式（10），式（15），式（33）—式（35）

式中：C_{\overline{l}}为开行方案\overline{l}对应的成本，包括运营成本、固定开行成本和停站成本。

RMP仍以总利润最大为优化目标，考虑以下约束条件：列车能力约束、列车开行与票额分配耦合约束、列车停站与票额分配耦合约束、列车执行开行方案的唯一性约束（基本列车和备用列车均存在这4类约束）、区间通过能力约束、备用列车启用数量约束、线性化约束和变量取值约束。

为了获得受限主问题的对偶信息，需将0-1变量y_{k,l}，{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}和非负整数变量q_{i,j,k}，{\overline{q}}_{i,j,\overline{k},w}松弛为连续变量，相应地，将RMP表示为RRMP。令连续变量{\alpha }_k，{\beta }_{i,j,k}，{\gamma }_{i,j,k}，{\delta }_k，{\theta }_{\overline{k},w}，{\vartheta }_{i,j,\overline{k},w}，{\pi }_{i,j,\overline{k},w}，{\rho }_{\overline{k},w}，{\tau }_w，{\phi }_w分别表示式（38）—式（47）对应的对偶变量。调用Gurobi求解RRMP得到最优解，并将其最优对偶变量值记为{\tilde{\alpha }}_k，{\tilde{\beta }}_{i,j,k}，{\tilde{\gamma }}_{i,j,k}，{\tilde{\delta }}_k，{\tilde{\theta }}_{\overline{k},w}，{\tilde{\vartheta }}_{i,j,\overline{k},w}，{\tilde{\pi }}_{i,j,\overline{k},w}，{\tilde{\rho }}_{\overline{k},w}，{\tilde{\tau }}_w，{\tilde{\phi }}_w\mathrm{。}

3.2　定价子问题

由于RRMP中变量y_{k,l}，{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}对应于TSP解集中的列车开行方案，因此，在每次迭代中，定价子问题（Pricing subproblem，PSP）旨在针对每一列车寻找新的优质备选开行方案。PSP是基于列车的整数线性规划问题，通过Gurobi可快速求得最优解。

PSP中仅有1类决策变量，即0-1变量t_{i,j,k}，若列车k新的开行方案使用不间断弧（i，j），则t_{i,j,k}取值为1，否则取值为0。该变量可详细描述列车k的运行区段和停站方案。令{T_k}^{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}表示PSP识别出的新开行方案，根据列生成的基本原则^［19］，PSP以最大化检验数为优化目标，寻找使得子问题目标函数值为正且能改进主问题的优质列车开行方案。当PSP的最优目标函数值非正时，迭代终止。

RRMP中y_{k,l}，{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}均与开行方案选择有关，二者分别对应1个PSP。2个PSP的差异性体现在目标函数上，约束条件相同，均需满足列车的始发终到、列车径路的连续性、列车最大容许停站次数以及变量取值等条件。基于此，可将2个PSP分别表述如下。

y_{k,l}对应PSP的目标函数Z_{\mathrm{2}}和约束条件为

\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[-\left(C_{fix,\mathrm{1}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{t}_{i,j,k}\right.\right.+\\ C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{t}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}-\right.\left.\left.\left.\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{t}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},k}\right)\right)\right]-\\ \left(-M{\tilde{\alpha }}_k-\sum _{i,j\in S}\sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}{t}_{\overline{i},i,k}M{\tilde{\beta }}_{i,j,k}-\right.\\ \left.\sum _{i,j\in S}\sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}{t}_{j,\overline{j},k}M{\tilde{\gamma }}_{i,j,k}+{\tilde{\delta }}_k+\sum _{w\in W}{\tilde{\tau }}_w\right)\end{array}（50）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{t}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},k}=\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{t}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（51）

\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{t}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},k}\le \mathrm{1}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（52）

\sum _{j\in S_i^{-}}{t}_{j,i,k}=\sum _{j\in S_i^{+}}{t}_{i,j,k}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i\in S,k\in K（53）

\sum _{i,j\in S}{t}_{i,j,k}\le H\begin{array}{cc}& \end{array}\forall k\in K（54）

t_{i,j,k}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\begin{array}{cc}& \end{array}\forall i,j\in S,k\in K（55）

{\overline{y}}_{\overline{k},\overline{l},w}\mathrm{对应}\mathrm{的}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{P}的目标函数Z_{\mathrm{3}}为

\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{3}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[-\left(C_{fix,\mathrm{2}}+\sum _{i,j\in S}{C}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}{t}_{i,j,\overline{k}}\right.\right.+\\ C_{\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}}\left(\sum _{i\in S_{\mathrm{d}}}{E}_i{t}_{i,s_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}},\overline{k}}\right.-\left.\left.\left.\sum _{i\in S_{\mathrm{o}}}{E}_i{t}_{i,s_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}},\overline{k}}\right)\right)\right]-\\ \sum _{w\in W}\left(-\sum _{i,j\in S}\sum _{\overline{i}\in S_i^{-}}{t}_{\overline{i},i,\overline{k}}M{\tilde{\vartheta }}_{i,j,\overline{k},w}-M{\tilde{\theta }}_{\overline{k},w}-\right.\\ \left.\sum _{i,j\in S}\sum _{\overline{j}\in S_j^{+}}{t}_{j,\overline{j},\overline{k}}M{\tilde{\pi }}_{i,j,\overline{k},w}+{\tilde{\rho }}_{\overline{k},w}+{\tilde{\tau }}_w+{\tilde{\phi }}_w\right)\end{array}（56）

其约束条件与式（51）—式（55）结构一致，仅将式中基本列车索引k、集合K分别替换为备用列车索引\overline{k}、集合\overline{K}即可，限于篇幅不再重复罗列。

4 算例分析

4.1　算例数据

以郑西高速铁路郑州—西安方向为例，验证所提开行方案和票额分配综合优化方法的有效性。该线路共包括10个车站，分别为郑州东站（ZZD）、郑州西站（ZZX）、巩义南站（GYN）、洛阳龙门站（LYLM）、渑池南站（MCN）、三门峡南站（SMXN）、灵宝西站（LBX）、华山北站（HSB）、渭南北站（WNB）和西安北站（X’AB），依次按1—10的顺序编号。以这10个高铁站作为分界点，构成9个相邻物理区间，该线路示意图如图1所示。以高铁站作为旅客需求起讫点，存在45个OD对。为便于表示，对OD对进行编号，例如ZZD—ZZX为编号1，ZZD-GYN为编号2，ZZD-X’AB为编号9，ZZX-GYN为编号10，依此类推，WNB-X’AB为编号45。

现实中，受突发事件和极端天气等影响，旅客需求呈现一定随机性，该特性可能体现在旅客出行时间、出行目的地、出行需求量等方面。随机需求参数的输入，可根据历史数据归纳出尽可能多的经典场景并获知其概率分布。经典的样本平均近似方法（Sample Average Approximation，SAA），通过生成一定数量的随机变量样本，计算样本均值来近似估计数学期望，将难以直接求解的随机优化问题转化为确定性优化问题^［17］。基于SAA方法，本试验从实际客流数据中随机抽取10个需求场景，验证本文所提方法的有效性。10个场景下的具体旅客需求如图2所示。图中颜色越深表示需求量越高。

此外，假定列车定员1 200人，最多停站7次（不包含首末站），单位运营成本为200元 · （km · 列）^-1，单次停站成本为2 000元 · 次^-1，基本列车固定开行成本为60 000元 · 列^-1（取值参考文献［18］），备用列车固定开行成本为80 000元 · 列^-1，最多可启用备用列车5列。票价设置参考铁路12306的定价水平。

4.2　优化结果

本试验采用Matlab（2018b）软件进行编程求解，计算机配置为：Intel（R）Core（TM）i7-9700@ 3.00 GHz处理器和16 GB运行内存。共进行4组试验：试验1直接调用Gurobi求解等价TSP；试验2使用CG算法求解TSP；试验3使用CG求解确定需求下的整数线性规划模型（以10个场景下的平均需求作为输入求得运输计划，再将该计划分别代入各场景计算实际效益）；试验4使用CG求解仅考虑基本方案的整数线性规划模型。结果见表1。

由表1可知：对于TSP，Gurobi在7 200 s内无法找到可行解，CG在600 s内能够找到目标函数值为1 723 695元的近似最优解，说明所提CG算法在求解性能上具有很大优势；对于确定需求下的整数线性规划模型，CG在242 s内能够找到最大总收益为1 552 127元的最优解，相较于直接利用需求量均值代替随机需求量的确定性方法，基于TSP得到的运输方案的目标值提高了11.05%，在提升收益方面优势显著；对于仅考虑基本方案的整数线性规划模型，CG在600 s内能够找到最大期望总收益为1 611 783元的近似最优解，相较于此，将备用列车作为运力补充并进行场景启用决策得到的运输方案的目标值提高了6.94%。

试验2使用CG求解TSP共优化出10种不同的列车开行方案，记为l_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{2}},\dots ,l_{\mathrm{10}}，如图3所示。基本列车和不同场景下备用列车的详细开行方案见表2。由表2可知：本次客运共开行基本列车16列，其中7列执行l_{\mathrm{4}}，3列执行l_{\mathrm{6}}，2列分别执行l₅和l₈，1列分别执行l₂和l₇。各场景下备用列车的启用及执行方案为：场景1启用备用列车2列，分别执行l_{\mathrm{5}},l_{\mathrm{8}}；场景2启用备用列车1列，执行l_{\mathrm{8}}；场景3启用备用列车4列，分别执行l_{\mathrm{1}},l_{\mathrm{4}},l_{\mathrm{7}},l_{\mathrm{8}}；场景4启用备用列车1列，执行l_{\mathrm{9}}；场景5启用备用列车3列，其中1列执行l_{\mathrm{5}}，2列执行l_{\mathrm{8}}；场景6启用备用列车4列，分别执行l_{\mathrm{3}},l_{\mathrm{4}},l_{\mathrm{5}},l_{\mathrm{7}}；场景7启用备用列车1列，执行l_{\mathrm{3}}；场景8启用备用列车3列，其中2列执行l_{\mathrm{6}}，1列执行l_{\mathrm{8}}；场景9启用备用列车1列，执行l_{\mathrm{4}}；场景10启用备用列车2列，分别执行l_{\mathrm{4}},l_{\mathrm{10}}\mathrm{。}

为直观描述票额供应和旅客需求的匹配程度，基于试验2绘制了各场景下供需差值示意图，结果如图4所示。各场景下的票额供应为基本列车票额与该场景下启用的备用列车票额之和，旅客需求已知，取二者之差绘图。若某一OD对的供需差值为正，则表示该OD对间的需求完全满足，供过于求；若供需差值为0，则表示该OD对间的需求恰好满足，供求平衡；若供需差值为负，则表示该OD对间的需求未完全满足，供不应求。由图4可知，各场景下大部分OD对的供需差值都较为明显地分布在0附近，且震荡幅度较小，表明该方案能够很好地适应旅客需求波动。

为进一步量化供需匹配程度，表3列出了试验2和试验4中不同场景下旅客需求的满足度。由表3可知：考虑启用备用列车获得的列车开行方案和票额分配计划，各场景下需求被满足（即供过于求和供求平衡）的OD对数量均不低于30，而仅考虑基本方案时，各场景下供求平衡的OD对较少，且多数OD对上存在余票；各场景下未完全满足的OD对数量均显著高于考虑启用备用列车的情形，即供不应求的现象相对更加突出。

在分析OD对数量满足情况的基础上，进一步计算2个试验中各场景下的旅客周转量^［20］，以衡量OD需求量的服务程度。结果表明，各场景下，相较于仅考虑基本方案，考虑启用备用列车的旅客周转量均显著更高。以上分析验证了所提方法在提升收益、适应需求波动方面优势显著，能够有效兼顾企业效益和服务质量。

5 结论

（1）本文基于高铁旅客出行需求不确定性，提出了在运行图编制阶段，以基本列车开行方案为主体、备用列车开行方案为补充的模式下的高铁运输组织优化思路，适用于大规模高铁网络的列车开行方案和票额分配策略的设计与优化。

（2）从旅客需求和铁路运营2个方面出发，考虑旅客需求的随机性，以最大化高铁客票收入与高铁运营成本之差为目标，构建高铁列车开行方案和票额分配两阶段随机规划模型，并设计基于列生成的求解算法，在满足区间通过能力以及列车能力等约束下，优化高铁网络列车开行方案和票额分配计划。

（3）以郑西高铁为例验证了模型的正确性和算法的有效性。算例分析表明，相较于确定性均值需求方法，随机规划模型可将目标值提升11.05%；相较于单一基本列车开行模式，优化方法可将目标值提升6.94%。在建模中综合考虑需求不确定性和管理部门的运营成本，灵活启用备用列车可根据需求水平合理配置运力，保障高铁客运服务质量，提高高铁在客运市场的竞争力，对实际运营有一定参考意义。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(72171236)

湖南省自然科学基金资助项目(2025JJ50435)

湖南省自然科学基金资助项目(2022JJ30767)