非线性分块算子矩阵的Dörfner谱性质

The properties of Dörfner spectrum of nonlinear block operator matrices

摘要

研究了对角非线性分块算子矩阵、上三角非线性分块算子矩阵以及斜对角非线性分块算子矩阵的Dörfner谱，得到了整个算子矩阵的Dörfner谱与其内部元的Dörfner谱之间的关系。此外，利用Frobenius-Schur分解方法，得到了2×2非线性分块算子矩阵的Dörfner谱与其Schur补的Dörfner谱之间的关系。

Abstract

The Dörfner spectrum of diagonal nonlinear block operator matrices, upper triangular nonlinear block operator matrices and off-diagonal nonlinear block operator matrices are studied respectively, and the connections between the Dörfner spectrum of those nonlinear block operator matrices and that of their entries are obtained. Moreover, the relationship between the Dörfner spectrum of \mathrm{2}\times \mathrm{2} nonlinear block operator matrices and that of their Schur complement is obtained by Forbenius-Schur decomposition.

关键词

非线性算子 / 算子矩阵 / Dörfner谱

Key words

nonlinear operator / operator matrices / Dörfner spectrum

算子的谱理论是泛函分析的核心研究内容之一，它在数学物理的许多方面发挥着重要的作用。目前关于算子的谱人们关注的多数是线性算子的谱。然而，在现实问题中描述一些复杂现象的算子多为非线性算子。于是，20世纪70年代数学家们引入了许多非线性算子谱的定义，这些谱在非线性积分方程、分岔理论、边值问题以及非线性方程的求解等问题中具有重要的应用^[1]。

线性分块算子矩阵是以Hilbert空间或Banach空间中线性算子为元素的算子矩阵，它在偏微分方程理论、插值理论、控制理论和非线性分析理论等领域有着广泛的应用，而算子矩阵的谱理论在这些应用中起着非常重要的作用^[2-4]。国内外诸多学者已经对线性算子矩阵谱理论及其相关问题进行了研究，并取得了许多重要的研究成果，参见文献[5-9]。值得注意的是，在数学物理和生物科学等实际应用中涉及的许多分块算子矩阵是非线性的。例如，非线性薛定谔方程

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}+i\frac{\partial u}{\partial t}+u{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}(1)

可以写成如下系统

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -I\\ T+i\frac{\partial }{\partial t}& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)(2)

其中T(u):={\left|u\right|}^{\mathrm{2}}u。与系统(2)相关的分块算子矩阵是非线性的。因此，2×2非线性分块算子矩阵

F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)(3)

具有重要的研究价值。近年来，学者们研究了Banach空间或Banach代数上2×2非线性分块算子矩阵(3)的一些不动点定理，并应用所得结果研究了非线性方程组解的存在性^[10-14]。在文献[15]和[16]中对非线性分块算子矩阵的几个谱初步进行了研究，但是，关于非线性分块算子矩阵谱的研究成果还相对较少，因此，本文主要研究了非线性分块算子矩阵的Dörfner谱，给出了整个算子矩阵的Dörfner谱与其内部元的Dörfner谱之间的关系。

1 预备知识

本文中X表示无穷维复Banach空间，C(X)表示X到X的所有连续（一般指非线性）算子构成的集合，L(X)表示从X到X的所有有界线性算子构成的集合。设F\in C(X)，定义^[1]

{[F]}_B=\underset{x\ne \mathrm{0}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\frac{‖F(x)‖}{‖x‖}(4)

{[F]}_b=\underset{x\ne \mathrm{0}}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\frac{‖F(x)‖}{‖x‖}(5)

若，记作F\in B(X)，并称F是线性有界的。注意到，当T\in L(X)时，有{[T]}_B=‖T‖。此外，通过{[F]}_b可定义如下谱：

{\sigma }_b(F)=\{\lambda \in \mathbb{C}:{[F-\lambda I]}_b=\mathrm{0}\}。

定义1^[1]

设F\in B(X)，则F的Dörfner预解集和Dörfner谱集分别定义为{\rho }_D(F)=\{\lambda \in \mathbb{C}:F-\lambda I是双射且{(F-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}\in B(X)\}，{\sigma }_D(F)=\mathbb{C}\backslash {\rho }_D(F)。

注1:当T\in L(X)时，{\sigma }_b(T)和{\sigma }_D(T)分别是T的近似点谱和经典谱。

引理1^[1]

设X,Y为Banach空间，F,G\in C(X)，则[F] _b [G] _b ≤[FG] _b ≤[F] _B [G] _b。

2 主要结果及其证明

定理1

设F=\left(\begin{array}{cc}A& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right)\in B(X\times X)且A(0)=D(0)=0，则

1)  {\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)；

2)  {\sigma }_D(F)={\sigma }_D(A)\bigcup {\sigma }_D(D)。

证明

1) 若\lambda \in {\sigma }_b(A)，则存在序列\{x_n\}\subset X且x_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots , 使得当n\to \mathrm{\infty }时,

\frac{‖(A-\lambda I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}。

取z_n={(\begin{array}{cc}{x}_n& \mathrm{0}\end{array})}^{\mathrm{{\rm T}}}\in X\times X，则z_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,且当n\to \mathrm{\infty }时，

\frac{‖(F-\lambda I)(z_n)‖}{‖z_n‖}=\frac{‖(A-\lambda I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}。

即\lambda \in {\sigma }_b(F)。同理亦可证明{\sigma }_b(A)\subset {\sigma }_b(F)。

反之，设\lambda \in {\sigma }_b(F)，则存在序列{z_n }=\left\{(\right.x_n{y}_n{)}^{\mathrm{{\rm T}}}\}\subset X\times X且z_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,使得当n→∞时，\frac{‖(F-\lambda I)(z_n)‖}{‖z_n‖}\to \mathrm{0}。

不妨假设对无穷多个n有‖x_n‖\ge ‖y_n‖，则x_n ≠0，\mathrm{且}\frac{‖(F-\lambda I)(z_n)‖}{‖z_n‖}=\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖(A-\lambda I)(x_n)‖,‖(D-\lambda I)(y_n)‖\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖x_n‖,‖y_n‖\right\}}\ge \frac{‖(A-\lambda I)(x_n)‖}{‖x_n‖}。

因此当n\to \mathrm{\infty }时，\frac{‖(A-\lambda I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}。

即\lambda \in {\sigma }_b(A)，同理亦可证明\lambda \in {\sigma }_b(D)，故\lambda \in {\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。因此{\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。

2) 由1)可知{[F-\lambda I]}_b>\mathrm{0}当且仅当{[A-\lambda I]}_b>\mathrm{0}且{[D-\lambda I]}_b>\mathrm{0}。显然F-\lambda I双射当且仅当A-\lambda I且D-\lambda I双射，因此{\rho }_D(F)={\rho }_D(A)\bigcap {\rho }_D(D)，故{\sigma }_D(F)={\sigma }_D(A)\bigcup {\sigma }_D(D)。

定理2

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right)\in B(X\times X)且B(\mathrm{0})=D(\mathrm{0})=\mathrm{0}，则

1) {\sigma }_b(A)\subset {\sigma }_b(F)\subset {\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)；

2) ({\sigma }_D(A)\backslash {\sigma }_D(D))\bigcup ({\sigma }_D(D)\backslash {\sigma }_D(A))\subset {\sigma }_D(F)\subset {\sigma }_D

(A)\bigcup {\sigma }_D(D)\mathrm{。}

证明

1) {\sigma }_b(A)\subset {\sigma }_b(F)的证明是显然的。下面证明{\sigma }_b(F)\subset {\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。设\lambda \in {\sigma }_b(F)，则{[F-\lambda I]}_b=\mathrm{0}。考虑到关系式

F-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& D-\lambda I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A-\lambda I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)(6)

成立。记作F-\lambda I=URV，其中U=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& D-\lambda I\end{array}\right)，R=\left(\begin{array}{cc}I& B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，V=\left(\begin{array}{cc}A-\lambda I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)\mathrm{。}显然R双射且{[R]}_b>\mathrm{0}。又因为{[F-\lambda I]}_b={[URV]}_b\ge {[U]}_b{[R]}_b{[V]}_b，因此{[U]}_b=\mathrm{0}或{[V]}_b=\mathrm{0}，从而\lambda \in {\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。故{\sigma }_b(A)\subset {\sigma }_b(F)(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。

2) 由关系式(6)易证{\sigma }_D(F)\subset {\sigma }_D(A)\bigcup {\sigma }_D(D)。下证({\sigma }_D(A)\backslash {\sigma }_D(D))\bigcup ({\sigma }_D(D)\backslash {\sigma }_D(A))\subset {\sigma }_D(F)。设\lambda \in {\sigma }_D(A)\backslash {\sigma }_D(D)，假设\lambda \notin {\sigma }_D(F)，则由关系式(6)易证\lambda \in {\rho }_D(A)，这与\lambda \in {\sigma }_D(A)矛盾，因此{\sigma }_D(A)\backslash {\sigma }_D(D)\subset {\sigma }_D(F)。类似地，可以证明{\sigma }_D(D)\backslash {\sigma }_D(A)\subset {\sigma }_D(F)。结论得证。

根据定理2中的2)，容易得到下列推论。

推论1

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right)\in B(X\times X)且B(\mathrm{0})=D(\mathrm{0})=\mathrm{0}。若{\sigma }_D(A)\bigcap {\sigma }_D(D)=\mathrm{\varnothing }，则{\sigma }_D(F)={\sigma }_D(A)\bigcup {\sigma }_D(D)。

定理3

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right)\in B(X\times X)且B(\mathrm{0})=D(\mathrm{0})=\mathrm{0}，则{\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)={\sigma }_b(F)\bigcup ({\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}})，其中{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{[A-\lambda I]}_b>\mathrm{0}\mathrm{且}A-\lambda I\mathrm{不是}\mathrm{双射}\}。

证明

易证 {\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)\supset {\sigma }_b(F)\bigcup ({\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}})。

反之，设\lambda \in ({\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D))\backslash {\sigma }_b(F)。由定理2可得\lambda \in {\sigma }_b(D)\backslash {\sigma }_b(A)，从而\lambda \in {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}\bigcup {\rho }_D(A)。

假设\lambda \in {\rho }_D(A)，则{[A-\lambda I]}_b>\mathrm{0}且A-\lambda I双射，于是由关系式(6)有{[U]}_b=[(F-\lambda I)V^{-\mathrm{1}}{R}^{-\mathrm{1}}{]}_b\ge {[F-\lambda I]}_b[V^{-\mathrm{1}}{]}_b[R^{-\mathrm{1}}{]}_b>\mathrm{0}。进而{[D-\lambda I]}_b>\mathrm{0}。这与\lambda \in {\sigma }_b(D)矛盾。故\lambda \in {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}，从而({\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D))\backslash {\sigma }_b(F)\subset ({\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}})。

综上所述结论成立。

根据定理3，容易得到下列推论。

推论2

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right)\in B(X\times X)且B(\mathrm{0})=D(\mathrm{0})=\mathrm{0}，则

{\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D),

当且仅当

{\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}\subset {\sigma }_b(F)。

特别地，如果{\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{\varnothing }，则

{\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)。

注2:定理3和推论2的结论对于线性上三角算子矩阵同样成立，参见文献[7]。

定理4

设F=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& \mathrm{0}\end{array}\right)\in B(X\times X)且F(\mathrm{0})=\mathrm{0}。则

1) \mathrm{0}\in {\sigma }_b(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_b(B)\bigcup {\sigma }_b(C)；

2) 如果B\in L(X)，则

{\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(BC)\}\backslash \{\mathrm{0}\}；

3) 如果C\in L(X)，则

{\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(CB)\}\backslash \{\mathrm{0}\}。

证明

1) 与定理1中的1)的证明类似。

2) 如果B\in L(X)，则

\left(\begin{array}{cc}I& \frac{\mathrm{1}}{\lambda }B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\lambda I& B\\ C& -\lambda I\end{array}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\lambda }\left(\begin{array}{cc}BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I& \mathrm{0}\\ \lambda C& -{\lambda }^{\mathrm{2}}I\end{array}\right)(7)

记U=\left(\begin{array}{cc}I& \frac{\mathrm{1}}{\lambda }B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，V=\left(\begin{array}{cc}BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I& \mathrm{0}\\ \lambda C& -{\lambda }^{\mathrm{2}}I\end{array}\right)，显然U是可逆的。因此对任意\mathrm{0}\ne \lambda \in \mathbb{C}，{[F-\lambda I]}_b>\mathrm{0}当且仅当{[V]}_b>\mathrm{0}。若\lambda \in {\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}，则存在序列\{z_n\}=\{{(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\end{array})}^{\mathrm{{\rm T}}}\}\subset X\times X且z_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,使得当n\to \mathrm{\infty }时，\frac{‖V(z_n)‖}{‖z_n‖}\to \mathrm{0}。

不妨假设对无穷多个n有‖x_n‖\ge ‖y_n‖，则x_n\ne \mathrm{0}，且\frac{‖V(z_n)‖}{‖z_n‖}=\frac{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖(BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I)(x_n)‖,‖\lambda C(x_n)-{\lambda }^{\mathrm{2}}{y}_n‖\right\}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{‖x_n‖,‖y_n‖\right\}}\ge \frac{‖(BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I)(x_n)‖}{‖x_n‖}。

因此当n\to \mathrm{\infty }时，\frac{‖(BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}，即{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(BC)\backslash \{\mathrm{0}\}。

反之，若{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(BC)\backslash \{\mathrm{0}\}，则存在序列\{x_n\}\subset X且x_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,使得当n\to \mathrm{\infty }时，

\frac{‖(BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}，

取z_n={(\begin{array}{cc}{x}_n& \frac{\mathrm{1}}{\lambda }C(x_n)\end{array})}^{\mathrm{{\rm T}}}\in X\times X，则z_n\ne \mathrm{0}，n=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,且当n\to \mathrm{\infty }时，

\frac{‖V(z_n)‖}{‖z_n‖}\le \frac{‖(BC-{\lambda }^{\mathrm{2}}I)(x_n)‖}{‖x_n‖}\to \mathrm{0}，

从而\lambda \in {\sigma }_b(V)\backslash \{\mathrm{0}\}，进而\lambda \in {\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}。

3) 与2)的证明类似。

根据定理4，容易得到下面定理。

定理5

设F=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& B\\ C& \mathrm{0}\end{array}\right)\in B(X\times X)且F(\mathrm{0})=\mathrm{0}。则

1) \mathrm{0}\in {\sigma }_D(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_D(B)\bigcup {\sigma }_D(C)；

2) 如果B\in L(X)，则

{\sigma }_D(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_D(BC)\}\backslash \{\mathrm{0}\}；

3) 如果C\in L(X)，则

{\sigma }_D(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_D(CB)\}\backslash \{\mathrm{0}\}。

在线性分块算子矩阵中，Schur不是研究谱性质的有力工具(参见文献[17-18])。给定一个2×2线性分块算子矩阵

T=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)。

则

\begin{array}{c}T-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ C{(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A-\lambda I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& S_{\mathrm{1}}(\lambda )\end{array}\right)\\ \times \left(\begin{array}{cc}I& {(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right),\lambda \notin \sigma (A)\end{array}(8)

和

\begin{array}{c}T-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}I& B{(D-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{2}}(\lambda )& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& D-\lambda I\end{array}\right)\\ \times \left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ {(D-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}C& I\end{array}\right),\lambda \notin \sigma (D)\end{array}(9)

称为Frobenius-Schur分解，其中

S_{\mathrm{1}}(\lambda )=D-\lambda I-C{(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}B,\lambda \notin \sigma (A)

S_{\mathrm{2}}(\lambda )=A-\lambda I-B{(D-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}C,\lambda \notin \sigma (D)

称作T的Schur补。

注意到，当A和C(或B和D)为有界线性算子时，2×2非线性分块算子矩阵\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)也可以分解成(8)(或(9))的形式。于是我们可以将Frobenius-Schur分解的概念推广到非线性分块算子矩阵的情形。

下面我们利用Frobenius-Schur分解方法，给出\mathrm{2}\times \mathrm{2}非线性分块算子矩阵的Dörfner谱与其Schur补的Dörfner谱之间的关系。

定理6

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\in C(X\times X)。若B,D\in B(X)，A,C\in L(X)且\rho (A)\ne \mathrm{\varnothing }，则当\lambda \in \rho (A)时，有下列结论成立：

1) \lambda \in {\sigma }_b(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_b(S_{\mathrm{1}}(\lambda ))；

2) \lambda \in {\sigma }_D(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_D(S_{\mathrm{1}}(\lambda ))，其中S_{\mathrm{1}}(\lambda )=D-\lambda I-C{(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}B。

证明

当\lambda \in \rho (A)时，F-\lambda I可分解为式(8)，记作F-\lambda I=UMV。其中U=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ C{(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}& I\end{array}\right)，M=\left(\begin{array}{cc}A-\lambda I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& S_{\mathrm{1}}(\lambda )\end{array}\right)，V=\left(\begin{array}{cc}I& {(A-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}B\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)。

显然，U和V是同胚算子。

1) 设\lambda \in {\sigma }_b(F)，则{[F-\lambda I]}_b=\mathrm{0}。因为{[U]}_b>\mathrm{0}，{[V]}_b>\mathrm{0}且

{[F-\lambda I]}_b={[UMV]}_b\ge {[U]}_b{[M]}_b{[V]}_b。

所以{[M]}_b=\mathrm{0}，从而[S_{\mathrm{1}}{(\lambda )]}_b=\mathrm{0}，即\mathrm{0}\in {\sigma }_b(S_{\mathrm{1}}(\lambda ))。

反之，设\mathrm{0}\in {\sigma }_b(S_{\mathrm{1}}(\lambda ))，则{[M]}_b=\mathrm{0}。因为[U^{-\mathrm{1}}{]}_b>\mathrm{0}，[V^{-\mathrm{1}}{]}_b>\mathrm{0}且

{[M]}_b=[U^{-\mathrm{1}}(F-\lambda I)V^{-\mathrm{1}}{]}_b\ge [U^{-\mathrm{1}}{]}_b{[F-\lambda I]}_b[V^{-\mathrm{1}}{]}_b，

因此{[F-\lambda I]}_b=\mathrm{0}，从而\lambda \in {\sigma }_b(F)。

2) 因为U和V是同胚算子，则由关系式(8)易得结论成立。

定理7

设F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\in C(X\times X)。若A,C\in B(X)，B,D\in L(X)且\rho (A)\ne \mathrm{\varnothing }，则当\lambda \in \rho (D)时，有下列结论成立：

1) \lambda \in {\sigma }_b(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_b(S_{\mathrm{2}}(\lambda ))；

2) \lambda \in {\sigma }_D(F)当且仅当\mathrm{0}\in {\sigma }_D(S_{\mathrm{2}}(\lambda ))，

其中S_{\mathrm{2}}(\lambda )=A-\lambda I-B{(D-\lambda I)}^{-\mathrm{1}}C。

证明

与定理6的证明完全类似。

3 例

下面举例说明结论的有效性。

例1

设X=l^{\mathrm{\infty }}，对任意x=(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ,x_n,\dots )\in X，定义

A(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},\dots )=‖x‖e，

B(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},\dots )=(\mathrm{0},x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\dots ),

D(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},\dots )=‖x‖e，

其中e=(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0},\dots )\in X。考虑算子矩阵

F=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ \mathrm{0}& D\end{array}\right),

则由定理3可得

({\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D))\backslash {\sigma }_b(F)={\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}。

进一步由推论2可得{\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D)，其中

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{[A-\lambda I]}_b>\mathrm{0}\mathrm{且}\mathrm{A}-\lambda I\mathit{不是}\mathit{双射}\}。

另一方面，通过计算可得

{\sigma }_b(F)={\sigma }_b(A)={\sigma }_b(D)=\{\lambda \in \mathbb{C}:\left|\lambda \right|=\mathrm{1}\}。

因此

({\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D))\backslash {\sigma }_b(F)=\mathrm{\varnothing }且{\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}=\mathrm{\varnothing }。

进而

({\sigma }_b(A)\bigcup {\sigma }_b(D))\backslash {\sigma }_b(F)={\sigma }_b(D)\bigcap {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}。

这说明定理3和推论2是正确的。

例2

考虑非线性薛定谔方程

\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}+i\frac{\partial u}{\partial t}+u{\left|u\right|}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，

则此方程可以写成如下系统：

\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -I\\ T+i\frac{\partial }{\partial t}& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)，

其中T(u):={\left|u\right|}^{\mathrm{2}}u。该系统所对应的算子矩阵为

F=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -I\\ T+i\frac{\partial }{\partial t}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

则由定理4中的2)可得

{\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(BC)\}\backslash \{\mathrm{0}\}。

另一方面，通过计算可知

{\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\mathrm{\varnothing }，{\sigma }_b(BC)\backslash \{\mathrm{0}\}=\mathrm{\varnothing }。

因此

{\sigma }_b(F)\backslash \{\mathrm{0}\}=\{\lambda \in \mathbb{C}:{\lambda }^{\mathrm{2}}\in {\sigma }_b(BC)\}\backslash \{\mathrm{0}\}。

这说明定理4中的2)是正确的。

参考文献

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2023QN01012)

内蒙古工业大学科学研究项目(DC2300001264)

内蒙古自治区引进人才支持项目(DC2300001432)