两类部分矩阵逆的填充

Completion of inverses for two kinds of partial matrices

摘要

根据秩理论和矩阵的可逆条件，研究了两类部分矩阵逆的填充问题，证明了两类部分矩阵逆的填充问题有解的充分必要条件，并给出了解的表示，最后分别举例验证结论。

Abstract

The filling problems for the inverses of two classes of partial matrices are studied on the basis of rank theory and invertibility conditions for matrices. The sufficient necessary conditions for the filling problems to have solutions are proved, and the representations of the solution are given, and examples are given to verify the conclusions, respectively.

关键词

矩阵填充 / 埃尔米特矩阵 / 值域 / 核

Key words

matrix completion / hermitian matrix / range / kernel

所谓部分矩阵是给定部分元素而其余元素是自由变量的矩阵。矩阵的填充是通过选取部分矩阵自由变量的值，使填充后的矩阵具有给定的某一性质，例如具有给定的逆、特征值、范数、行列式等。矩阵填充在很多科学领域和工程领域都具有重要的应用价值，比如运用矩阵填充原理使缺失的数据恢复^[1]和其在推荐系统中的应用^[2]。

国内外的许多学者对于部分矩阵逆的填充问题进行了大量研究，并取得了重要的研究成果。1986年，Fiedler等^[3]在任意数域上对填充问题{\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{12}}\\ A_{\mathrm{21}}& ?\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)进行了研究。1996年，Hua^[4]又进一步研究了上述矩阵的对称填充解。2013年，Lin等^[5]给出了填充问题{\left(\begin{array}{cc}?& A_{\mathrm{12}}\\ A_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{22}}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& ?\\ ?& ?\end{array}\right)的解。2016年，赵琳琳等^[6]给出了两类填充问题{\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{12}}\\ A_{\mathrm{21}}& ?\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}?& B_{\mathrm{12}}\\ ?& ?\end{array}\right)和{\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}& X\\ X^{\mathrm{*}}& A_{\mathrm{22}}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}?& B_{\mathrm{12}}\\ B_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}& ?\end{array}\right)有解的充分必要条件及其解的表示。2019年，白晓丽等^[7]研究了一类Hamilton矩阵逆的填充，给出了解的表示并举例进行了验证。当然，有关部分矩阵的其他一些填充问题也取得了许多研究成果，例如矩阵最大最小秩，舒尔补的填充，见文献[8]和文献[9]。

现讨论两类部分矩阵逆的填充问题，给出了它们存在解的充分必要条件和解的表示，并举例进行了验证。令所有的m\times n阶复矩阵用{\mathbb{C}}^{m\times n}表示，用符号N^{\mathrm{*}}，rank\left(N\right)，null\left(N\right)，\mathrm{I}\mathrm{m}\left(N\right)和Ker\left(N\right)分别表示矩阵N的共轭转置，秩，零空间的维数，值域和零空间。符号I表示具有对应阶数的单位矩阵。

1 研究的问题

主要研究了以下两个填充问题。

问题1　已知A\in {\mathbb{C}}^{n\times m}，B\in {\mathbb{C}}^{n\times q}，C\in {\mathbb{C}}^{p\times m}，D\in {\mathbb{C}}^{m\times p}，E\in {\mathbb{C}}^{q\times n}，m+q=n+p，求矩阵X\in {\mathbb{C}}^{p\times q}，使

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}?& D\\ E& ?\end{array}\right)(1)

问题2 已知A=A^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{C}}^{m\times m},B\in {\mathbb{C}}^{m\times p},C\in {\mathbb{C}}^{m\times p}，求矩阵X=X^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{C}}^{p\times p}，使

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}?& C\\ C^{\mathrm{*}}& ?\end{array}\right)(2)

引理1^[10] 令\alpha \subseteq \left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,\mathrm{n}\right\}，\alpha的补\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,\mathrm{n}\right\}\backslash \alpha记为{\alpha }^c，如果\alpha ,\beta \subseteq \left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,\mathrm{n}\right\}，那么A\left[\alpha |\beta \right]表示由A中位于\alpha行，\beta列的元素构成的子矩阵。若A可逆，则

nullA\left[\alpha |\beta \right]=null{A}^{-\mathrm{1}}\left[{\beta }^c|{\alpha }^c\right](3)

引理2A是Hermite矩阵，若A可逆，则A^{-\mathrm{1}}也是Hermite矩阵。

证明 设A是Hermite矩阵，由其定义可知A^{\mathrm{*}}=A。若A可逆，则有{\left(A^{\mathrm{*}}\right)}^{-\mathrm{1}}=A^{-\mathrm{1}}，即{\left(A^{-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{*}}=A^{-\mathrm{1}}，所以A^{-\mathrm{1}}也是Hermite矩阵。

事实上，问题1可描述为：已知A\in {\mathbb{C}}^{n\times m}，B\in {\mathbb{C}}^{n\times q}，C\in {\mathbb{C}}^{p\times m}，D\in {\mathbb{C}}^{m\times p}，E\in {\mathbb{C}}^{q\times n}，m+q=n+p，找矩阵X，Y，Z使

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)(4)

即找矩阵X，Y，Z使

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)=I(5)

由引理2，问题2可描述为：已知A=A^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{C}}^{m\times m}，B\in {\mathbb{C}}^{m\times p}，C\in {\mathbb{C}}^{m\times p}，找Hermite矩阵X，Y，Z使

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)(6)

即找Hermite矩阵X，Y，Z使

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)=I(7)

2 主要结果及证明

定理1 问题1有解当且仅当rank\left(\begin{array}{c}A\\ C\end{array}\right)=m，rank\left(\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right)=n，并且存在矩阵Z\in {\mathbb{C}}^{q\times p}满足：

(a)  null\left(A\right)=null\left(Z\right)；

(b)  AD+BZ=\mathrm{0}；

(c)  EA+ZC=\mathrm{0}；

(d)  Ker\left(Z\right)\subseteq Ker\left(I-CD\right)；

(e)  \mathrm{I}\mathrm{m}\left(I-EB\right)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m}\left(Z\right)。

证明 显然，存在矩阵X使\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)非奇异必须也一定有rank\left(\begin{array}{c}A\\ C\end{array}\right)=m，rank\left(\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right)=n。

必要性：问题1有解即存在矩阵X，Y，Z使(5)式成立，则：

AY+BE=I(8)

AD+BZ=\mathrm{0}(9)

CY+XE=\mathrm{0}(10)

CD+XZ=I(11)

YA+DC=I(12)

YB+DX=\mathrm{0}(13)

EA+ZC=\mathrm{0}(14)

EB+ZX=I(15)

条件(a)可由引理1得出，条件(b)、(c)、(d)和(e)分别可由式(9)、(14)、(11)和式(15)得到。

充分性：假设存在矩阵Z满足条件(a)~(e)。下须证，存在矩阵X，Y满足式(4)。式(4)在块对角等价下是不改变的，所以设P，Q，R，S可逆，有

\left(\begin{array}{cc}P& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Q& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& S\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}PAQ& PBS\\ RCQ& RXS\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}{Q}^{-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& S^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{P}^{-\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{Q}^{-\mathrm{1}}Y{P}^{-\mathrm{1}}& Q^{-\mathrm{1}}D{R}^{-\mathrm{1}}\\ S^{-\mathrm{1}}E{P}^{-\mathrm{1}}& S^{-\mathrm{1}}Z{R}^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)，则式(4)等价于：

{\left(\begin{array}{cc}PAQ& PBS\\ RCQ& RXS\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{Q}^{-\mathrm{1}}Y{P}^{-\mathrm{1}}& Q^{-\mathrm{1}}D{R}^{-\mathrm{1}}\\ S^{-\mathrm{1}}E{P}^{-\mathrm{1}}& S^{-\mathrm{1}}Z{R}^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)

其中，若将A，B，C，D，E和Z分别用PAQ，PBS，RCQ，Q^{-\mathrm{1}}D{R}^{-\mathrm{1}}，S^{-\mathrm{1}}E{P}^{-\mathrm{1}}和S^{-\mathrm{1}}Z{R}^{-\mathrm{1}}代替，条件(a)~(e)仍成立。所以，可以选取P，Q，R，S使PAQ，S^{-\mathrm{1}}Z{R}^{-\mathrm{1}}具有简单形式。不失一般性，可假设矩阵A，Z有下面的形式：

A=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)， Z=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)

由条件(a)得A与Z中(2，2)零块相等，A中的单位矩阵与Z中的单位矩阵不一定同阶，不影响计算情况下，没有做标识。并假设B，C，D，E，X，Y是根据A，Z进行的分块。根据A和Z特殊的形式以及条件(b)，得到

\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{11}}& D_{\mathrm{12}}\\ D_{\mathrm{21}}& D_{\mathrm{22}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ B_{\mathrm{21}}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

可得出

B_{\mathrm{11}}=-D_{\mathrm{11}}， B_{\mathrm{21}}=\mathrm{0}， D_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}。

根据A和Z特殊的形式以及条件(c)，得到

\left(\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{11}}& E_{\mathrm{12}}\\ E_{\mathrm{21}}& E_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& C_{\mathrm{12}}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

可得出

C_{\mathrm{11}}=-E_{\mathrm{11}}， C_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}， E_{\mathrm{21}}=\mathrm{0}。

此外，由条件(a)可得D_{\mathrm{22}}，E_{\mathrm{22}}都是方阵。由条件(d)可知存在矩阵X_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}& X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{12}}}\\ X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}& X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，使X_{\mathrm{1}}Z=I-CD成立，即

\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}& \mathrm{0}\\ X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{21}}& D_{\mathrm{22}}\end{array}\right)。

比较上式(2，2)处的元素得到C_{\mathrm{22}}{D}_{\mathrm{22}}=I，因此D_{\mathrm{22}}可逆。上式可化简得

X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}=I-C_{\mathrm{11}}{D}_{\mathrm{11}}，

X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}=-\left(C_{\mathrm{21}}{D}_{\mathrm{11}}+C_{\mathrm{22}}{D}_{\mathrm{21}}\right)。

由条件(e)可知存在矩阵X_{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}& X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}\\ X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{21}}}& X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，使Z{X}_{\mathrm{2}}=I-EB成立，即

\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}& X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{11}}& E_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& E_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，

比较上式(2，2)处的元素得到E_{\mathrm{22}}{B}_{\mathrm{22}}=I，因此B_{\mathrm{22}}可逆，上式可化简得

X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}=I-E_{\mathrm{11}}{B}_{\mathrm{11}}=I-C_{\mathrm{11}}{D}_{\mathrm{11}}，

X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}=-\left(E_{\mathrm{11}}{B}_{\mathrm{12}}+E_{\mathrm{12}}{B}_{\mathrm{22}}\right)。

可见X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}=X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}，现选取满足上述两条件的X

X=\left(\begin{array}{cc}I-C_{\mathrm{11}}{D}_{\mathrm{11}}& -\left(E_{\mathrm{11}}{B}_{\mathrm{12}}+E_{\mathrm{12}}{B}_{\mathrm{22}}\right)\\ -\left(C_{\mathrm{21}}{D}_{\mathrm{11}}+C_{\mathrm{22}}{D}_{\mathrm{21}}\right)& X_{\mathrm{22}}\end{array}\right)(16)

其中X_{\mathrm{22}}任意。

接下来根据X的取值，来选取Y值以符合(4)式。由必要条件AY+BE=I和YA+DC=I，即

\left(\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{11}}& Y_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{E}_{\mathrm{11}}& E_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& E_{\mathrm{22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ Y_{\mathrm{21}}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{21}}& D_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，

得

\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{11}}=I-B_{\mathrm{11}}{E}_{\mathrm{11}}=I-D_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{11}},\\ Y_{\mathrm{12}}=-\left(B_{\mathrm{11}}{E}_{\mathrm{12}}+B_{\mathrm{12}}{E}_{\mathrm{22}}\right),\\ Y_{\mathrm{21}}=-\left(D_{\mathrm{21}}{C}_{\mathrm{11}}+D_{\mathrm{22}}{C}_{\mathrm{21}}\right)\mathrm{。}\end{array}

由式(13)YB+DX=\mathrm{0}，即

\left(\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{11}}& Y_{\mathrm{12}}\\ Y_{\mathrm{21}}& Y_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{D}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ D_{\mathrm{21}}& D_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{X}_{\mathrm{11}}& X_{\mathrm{12}}\\ X_{\mathrm{21}}& X_{\mathrm{22}}\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right),得

Y_{\mathrm{22}}=-\left(Y_{\mathrm{21}}{B}_{\mathrm{12}}+D_{\mathrm{21}}{X}_{\mathrm{12}}+D_{\mathrm{22}}{X}_{\mathrm{22}}\right)B_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}

从而，可选

Y=\left(\begin{array}{cc}I-B_{\mathrm{11}}{E}_{\mathrm{11}}& -\left(B_{\mathrm{11}}{E}_{\mathrm{12}}+B_{\mathrm{12}}{E}_{\mathrm{22}}\right)\\ -\left(D_{\mathrm{21}}{C}_{\mathrm{11}}+D_{\mathrm{22}}{C}_{\mathrm{21}}\right)& -\left(Y_{\mathrm{21}}{B}_{\mathrm{12}}+D_{\mathrm{21}}{X}_{\mathrm{12}}+D_{\mathrm{22}}{X}_{\mathrm{22}}\right)B_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}\end{array}\right)(17)

容易验证由式(16)、(17)所表示的矩阵X，Y满足式(4)。

定理2 问题2有解当且仅当存在矩阵Z=Z^{\mathrm{*}}\in {\mathbb{C}}^{p\times p}满足：

(Ⅰ)  null\left(A\right)=null\left(Z\right)；

(Ⅱ)  AC+BZ=\mathrm{0}；

(Ⅲ)  Ker\left(Z\right)\subseteq Ker\left(I-B^{\mathrm{*}}C\right)；

(Ⅳ)  \mathrm{I}\mathrm{m}\left(I-C^{\mathrm{*}}B\right)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{m}\left(Z\right)。

证明 必要性：问题2有解即存在Hermite矩阵X，Y，Z使式(7)成立，则：

AY+B{C}^{\mathrm{*}}=I(18)

AC+BZ=\mathrm{0}(19)

B^{\mathrm{*}}Y+X{C}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0}(20)

B^{\mathrm{*}}C+XZ=I(21)

YA+C{B}^{\mathrm{*}}=I(22)

YB+CX=\mathrm{0}(23)

C^{\mathrm{*}}A+Z{B}^{\mathrm{*}}=\mathrm{0}(24)

C^{\mathrm{*}}B+ZX=I(25)

条件(Ⅰ)可由引理1得出，条件(Ⅱ)，(Ⅲ)和(Ⅳ)分别可由(19)，(21)和(25)式得到。

充分性：假设存在Hermite矩阵Z满足条件(Ⅰ)~(Ⅳ)。下须证，存在Hermite矩阵X，Y满足式(6)。A，Z是Hermite矩阵，则A，Z可以进行酉对角化。式(6)在酉块对角相似下等价不变，则存在P，R为酉矩阵，有

\left(\begin{array}{cc}P& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{P}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R^{\mathrm{*}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}PA{P}^{\mathrm{*}}& PB{R}^{\mathrm{*}}\\ R{B}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}& RX{R}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}P& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{P}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& R^{\mathrm{*}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}PY{P}^{\mathrm{*}}& PC{R}^{\mathrm{*}}\\ R{C}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}& RZ{R}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)，

使式(6)等价于：

{\left(\begin{array}{cc}PA{P}^{\mathrm{*}}& PB{R}^{\mathrm{*}}\\ R{B}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}& RX{R}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}PY{P}^{\mathrm{*}}& PC{R}^{\mathrm{*}}\\ R{C}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}& RZ{R}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)。

其中，若将A，B，B^{\mathrm{*}}，C和C^{\mathrm{*}}分别用PA{P}^{\mathrm{*}}，PB{R}^{\mathrm{*}}，R{B}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}，PC{R}^{\mathrm{*}}和R{C}^{\mathrm{*}}{P}^{\mathrm{*}}代替，条件(Ⅰ)~(Ⅳ)仍成立。所以，可选取P，R使PA{P}^{\mathrm{*}}，RZ{R}^{\mathrm{*}}具有简单形式。不失一般性，可假设矩阵A，Z有下面的形式：

A=\left(\begin{array}{cc}\Lambda & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)， Z=\left(\begin{array}{cc}\Delta & \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

其中\Lambda、\Delta为实对角矩阵并且可逆，并假设B，B^{\mathrm{*}}，C，C^{\mathrm{*}}，X，Y是根据A，Z进行的分块。根据A和Z特殊的形式以及条件(Ⅱ)，得到

\left(\begin{array}{cc}\Lambda C_{\mathrm{11}}& \Lambda C_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}\Delta & \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{21}}\Delta & \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

可得出

\Lambda C_{\mathrm{11}}+B_{\mathrm{11}}\Delta =\mathrm{0}，\Lambda C_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}，B_{\mathrm{21}}\Delta =\mathrm{0}，即\Lambda C_{\mathrm{11}}=-B_{\mathrm{11}}\Delta，C_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}，B_{\mathrm{21}}=\mathrm{0}。

此外，由条件(Ⅰ)可得C_{\mathrm{22}}和B_{\mathrm{22}}是方阵。由条件(Ⅲ)可知存在矩阵X_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}& X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{12}}}\\ X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}& X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，使X_{\mathrm{1}}Z=I-B^{\mathrm{*}}C成立，即

\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}\Delta & \mathrm{0}\\ X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}\Delta & \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}& B_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)。

比较上式(2，2)处的元素得到B_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{22}}=I，因此C_{\mathrm{22}}可逆，上式可化简得

X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}=\left(I-B_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{11}}\right){\Delta }^{-\mathrm{1}}={\Delta }^{-\mathrm{1}}+B_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{\Lambda }^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{11}}，

X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}=-\left(B_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{11}}+B_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{21}}\right){\Delta }^{-\mathrm{1}}。

由条件(Ⅳ)可知存在矩阵X_{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}& X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}\\ X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{21}}}& X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{22}}}\end{array}\right)，使Z{X}_{\mathrm{2}}=I-C^{\mathrm{*}}B成立，即

\left(\begin{array}{cc}\Delta X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}& \Delta X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}& C_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\\ \mathrm{0}& C_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)，

可化简得

X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}={\Delta }^{-\mathrm{1}}\left(I-C_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{11}}\right)={\Delta }^{-\mathrm{1}}+B_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{\Lambda }^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{11}}，

X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}=-{\Delta }^{-\mathrm{1}}\left(C_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{12}}+C_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{22}}\right)。

可见X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{11}}}=X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{11}}}，{\left(X_{{\mathrm{1}}_{\mathrm{21}}}\right)}^{\mathrm{*}}=X_{{\mathrm{2}}_{\mathrm{12}}}，现选取满足上述两条件的X，即

X=\left(\begin{array}{cc}{\Delta }^{-\mathrm{1}}+B_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{\Lambda }^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{11}}& -{\Delta }^{-\mathrm{1}}\left(C_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{12}}+C_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{22}}\right)\\ -\left(B_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{11}}+B_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}{C}_{\mathrm{21}}\right){\Delta }^{-\mathrm{1}}& X_{\mathrm{22}}\end{array}\right)(26)

其中X_{\mathrm{22}}为任意Hermite矩阵，所以X为Hermite矩阵。

接下来根据X的取值，选取Y值以符合式(6)，由必要条件AY+B{C}^{\mathrm{*}}=I和YA+C{B}^{\mathrm{*}}=I，即

\left(\begin{array}{cc}\Lambda Y_{\mathrm{11}}& \Lambda Y_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}& C_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\\ \mathrm{0}& C_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{11}}\Lambda & \mathrm{0}\\ Y_{\mathrm{21}}\Lambda & \mathrm{0}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}& \mathrm{0}\\ B_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}& B_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& I\end{array}\right)，

得

Y_{\mathrm{11}}={\Lambda }^{-\mathrm{1}}\left(I-B_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\right)={\Lambda }^{-\mathrm{1}}+C_{\mathrm{11}}{\Delta }^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}，

Y_{\mathrm{12}}=-{\Lambda }^{-\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}+B_{\mathrm{12}}{C}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\right)，

Y_{\mathrm{21}}=-\left(C_{\mathrm{21}}{B}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}+C_{\mathrm{22}}{B}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\right){\Lambda }^{-\mathrm{1}}。

由必要条件YB+CX=\mathrm{0}，即

\left(\begin{array}{cc}{Y}_{\mathrm{11}}& Y_{\mathrm{12}}\\ Y_{\mathrm{21}}& Y_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}_{\mathrm{11}}& B_{\mathrm{12}}\\ \mathrm{0}& B_{\mathrm{22}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{C}_{\mathrm{11}}& \mathrm{0}\\ C_{\mathrm{21}}& C_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{X}_{\mathrm{11}}& X_{\mathrm{12}}\\ X_{\mathrm{21}}& X_{\mathrm{22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，得

\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{22}}=-\left(Y_{\mathrm{21}}{B}_{\mathrm{12}}+C_{\mathrm{21}}{X}_{\mathrm{12}}+C_{\mathrm{22}}{X}_{\mathrm{22}}\right)B_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}=\\ {\left(B_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{*}}{B}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}{\Lambda }^{-\mathrm{1}}{B}_{\mathrm{12}}{B}_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}+C_{\mathrm{21}}{\Delta }^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}-{\left(B_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{*}}{X}_{\mathrm{22}}{B}_{\mathrm{22}}^{-\mathrm{1}}\end{array}(27)

从而，可选

Y=\left(\begin{array}{cc}{\Lambda }^{-\mathrm{1}}+C_{\mathrm{11}}{\Delta }^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}& -{\Lambda }^{-\mathrm{1}}\left(B_{\mathrm{11}}{C}_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}+B_{\mathrm{12}}{C}_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\right)\\ -\left(C_{\mathrm{21}}{B}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}+C_{\mathrm{22}}{B}_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\right){\Lambda }^{-\mathrm{1}}& Y_{\mathrm{22}}\end{array}\right)(28)

其中Y_{\mathrm{22}}满足式(27)，容易验证Y是Hermite矩阵。且由式(26)、(28)所表示的矩阵X，Y满足式(6)。

3 算例

例1 给定部分矩阵

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i& \mathrm{2}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\\ -\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i& \mathrm{0}& ?& ?\\ \mathrm{2}& \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}& ?& ?\end{array}\right)，

求矩阵X，Y，Z使下式成立，

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}?& ?& -\mathrm{4}+\mathrm{2}i& \mathrm{0}\\ ?& ?& \mathrm{3}& \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{4}+\mathrm{2}i& \mathrm{8}& ?& ?\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& ?& ?\end{array}\right)。

根据定理1，当取

P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{2}\end{array}\right)， Q=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{3}\end{array}\right)， R=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\end{array}\right)， S=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{2}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\end{array}\right)

时，上述两个矩阵等价于

\left(\begin{array}{cc}{A}^{\mathrm{\text{'}}}& B^{\mathrm{\text{'}}}\\ C^{\mathrm{\text{'}}}& X^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{2}-i& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\\ -\mathrm{2}-i& \mathrm{0}& ?& ?\\ \mathrm{2}& \mathrm{1}& ?& ?\end{array}\right)和

\left(\begin{array}{cc}{Y}^{{}^{\mathrm{\text{'}}}}& D^{\mathrm{\text{'}}}\\ E^{\mathrm{\text{'}}}& Z^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}?& ?& -\mathrm{2}+i& \mathrm{0}\\ ?& ?& \mathrm{1}& \mathrm{1}\\ \mathrm{2}+i& \mathrm{2}& ?& ?\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& ?& ?\end{array}\right)，

方程解不唯一。若取

Z^{\mathrm{\text{'}}}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)， X_{\mathrm{22}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{1}-i

根据式(16)、(17)可取

X^{\mathrm{\text{'}}}=\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{4}& -\mathrm{6}-i\\ \mathrm{3}-\mathrm{2}i& \mathrm{1}-i\end{array}\right)， Y^{\mathrm{\text{'}}}=\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{4}& -\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}i\\ i& \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i\end{array}\right)

经计算

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i& \mathrm{2}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\\ -\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}i& \mathrm{0}& -\mathrm{2}& -\mathrm{12}-\mathrm{2}i\\ \mathrm{2}& \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}& \mathrm{3}-\mathrm{2}i& \mathrm{4}-\mathrm{4}i\end{array}\right)，

\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\mathrm{8}& -\mathrm{18}+\mathrm{8}i& -\mathrm{4}+\mathrm{2}i& \mathrm{0}\\ \mathrm{3}i& \mathrm{15}+\mathrm{3}i& \mathrm{3}& \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\\ \mathrm{4}+\mathrm{2}i& \mathrm{8}& \mathrm{2}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，

经验证{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& D\\ E& Z\end{array}\right)。

例2 给定部分矩阵

\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{2}& \mathrm{0}& -\mathrm{4}+\mathrm{2}i& -\mathrm{2}+\mathrm{2}i& \mathrm{2}+i\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& i\\ -\mathrm{4}-\mathrm{2}i& \mathrm{0}& ?& ?& ?\\ -\mathrm{2}-\mathrm{2}i& \mathrm{0}& ?& ?& ?\\ \mathrm{2}-i& -i& ?& ?& ?\end{array}\right)，

求Hermite矩阵X，Y，Z使下式

{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}?& ?& \mathrm{2}-i& \mathrm{1}-i& \mathrm{0}\\ ?& ?& \mathrm{1}+i& \mathrm{2}& i\\ \mathrm{2}+i& \mathrm{1}-i& ?& ?& ?\\ \mathrm{1}+i& \mathrm{2}& ?& ?& ?\\ \mathrm{0}& -i& ?& ?& ?\end{array}\right)成立。

根据定理2，方程解不唯一，现取Z=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)，X_{\mathrm{22}}=\mathrm{2}，根据式(26)、(28)，可取

X=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{11}& \mathrm{6}-\mathrm{2}i& -\mathrm{4}-\mathrm{5}i\\ \mathrm{6}+\mathrm{2}i& \mathrm{5}& -\mathrm{1}-\mathrm{5}i\\ -\mathrm{4}+\mathrm{5}i& -\mathrm{1}+\mathrm{5}i& \mathrm{2}\end{array}\right)，

Y=\left(\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}-\mathrm{4}i\\ \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\mathrm{4}i& \frac{\mathrm{13}}{\mathrm{2}}\end{array}\right)，

经验证{\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\mathrm{*}}& X\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}Y& C\\ C^{\mathrm{*}}& Z\end{array}\right)，

即

{\left(\begin{array}{ccccc}\mathrm{2}& \mathrm{0}& -\mathrm{4}+\mathrm{2}i& -\mathrm{2}+\mathrm{2}i& \mathrm{2}+i\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& i\\ -\mathrm{4}-\mathrm{2}i& \mathrm{0}& \mathrm{11}& \mathrm{6}-\mathrm{2}i& -\mathrm{4}-\mathrm{5}i\\ -\mathrm{2}-\mathrm{2}i& \mathrm{0}& \mathrm{6}+\mathrm{2}i& \mathrm{5}& -\mathrm{1}-\mathrm{5}i\\ \mathrm{2}-i& -i& -\mathrm{4}+\mathrm{5}i& -\mathrm{1}+\mathrm{5}i& \mathrm{2}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}}

=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}& \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}-\mathrm{4}i& \mathrm{2}-i& \mathrm{1}-i& \mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\mathrm{4}i& \frac{\mathrm{13}}{\mathrm{2}}& \mathrm{1}+i& \mathrm{2}& i\\ \mathrm{2}+i& \mathrm{1}-i& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{1}+i& \mathrm{2}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -i& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)。

4 结论

基于矩阵与其逆矩阵之间秩的相等关系，通过块对角等价对复数域上的一类部分矩阵进行了逆的填充，得到了填充解存在的充分必要条件及相关解的表达式。此外，在充分利用Hermite矩阵性质和结构特点的基础上，又结合矩阵的秩理论，通过酉块对角相似，研究了一类Hermite矩阵逆的填充，同样得到了填充解存在的充分必要条件及相关解的表达式。这些结果为进一步研究部分矩阵的填充问题提供了有效的理论价值，也在矩阵填充的应用领域具有相应的实用价值。

参考文献

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2021LHMS01004)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2023LHMS01016)