带谱参数边界条件的二维向量型Sturm-Liouville问题特征值的依赖性

Dependence of eigenvalues of two-dimensional vector Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions

摘要

研究一类定义在区间[a,b]上的二维向量型Sturm-Liouville问题，通过构造适当的内积与Hilbert空间给出算子自伴性的证明。研究了该问题特征值与特征函数的依赖性问题，主要讨论特征值的连续性及其对各参数的可微性，并给出特征值对各个参数的微分表达式。

Abstract

Two-dimensional vector Sturm-Liouville problems defined on interval [a,b] are investigated. By constructing a suitable inner product and Hilbert space, the self-adjointness of the operator is proved. Next, the dependence of the eigenvalues and the eigenfunctions of the problems is studied, focusing primarily on the continuity of the eigenvalues and their differentiability with respect to various parameters. Moreover, differential expressions for the eigenvalues with respect to each parameter are provided.

关键词

向量型Sturm-Liouville问题 / 带谱参数的边界条件 / 连续性 / 可微性

Key words

vector-type Sturm-Liouville problem / eigenparameter dependent boundary conditions / continuity / differentiability

带谱参数边界条件的Sturm-Liouville (S-L)问题的出现是因其在一些物理问题中的应用，如热传导问题和边界滑竿上的弦振动问题等^[1-2]。近年来，由于带谱参数边界条件的S-L边值问题在工程技术领域中应用广泛，引起了很多学者的关注，关于这类问题的文献大量出现^[3-8]，其中关于纯量型S-L边值问题特征值依赖性方面的研究收获颇丰。此外，关于高阶边值问题的特征值依赖性也有一些结论，纪安桐等^[9]考虑了一类三阶微分方程边值问题特征值依赖性问题，给出了特征值对参数的可微依赖性及对部分参数的单调性证明。Zhang等^[10]考虑了带谱参数边界条件的三阶不连续边值问题的特征值的性质，给出了特征值关于系数函数与相关参数以及端点的依赖性证明，并求解了特征值关于端点的微分表达式。王琦等^[11]考虑了带转移条件的四阶微分方程边值问题的特征值依赖性问题，给出了特征值关于边界条件参数与端点的可微依赖性证明。

由纯量型S-L算子进行推广得到的向量型S-L算子对于研究多粒子运动有着重要作用^[12]。Calvert等^[13]研究了向量型S-L问题特征值的存在性及其渐近分布。Atkinson^[14]定义了矩阵的Prüfer变换，极大地推动了向量型S-L问题的研究进程。刘肖云等^[15]给出了在一般边界条件下自伴向量型S-L问题特征值对边界条件中的参数以及系数函数依赖性的证明。

总的来说，对纯量型S-L问题的研究在各个方面已得到了大量的结论，但对向量型S-L问题的研究并不广泛，特别是对边界条件中含有谱参数的向量型S-L问题有关特征值依赖性方面的研究比较匮乏。本文对一类边界条件带有谱参数的二维向量型S-L问题特征值的依赖性进行研究，主要讨论特征值对于系数函数，边界条件中的参数，以及端点的依赖性问题。

1 预备知识

考虑如下二维向量型S-L问题，其微分方程为

-(P{y}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+Qy=\lambda Wy,x\in [a,b]=J(1)

其中：\lambda \in \mathbb{C}是谱参数，y=(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}是二维向量型函数，{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}}表示\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶实矩阵构成的空间，{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}表示二维实列向量空间。类似的定义L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})表示定义在区间J上Lebesgue可积的\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶实值矩阵函数空间，Q^{\mathrm{*}}表示Q的复共轭转置矩阵，AC(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}})表示定义在区间J上绝对连续的二维实向量函数空间。本文中假设在区间J上

P,Q,W\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}}),P,W>\mathrm{0},Q^{\mathrm{*}}=Q(2)

其中：P,W>\mathrm{0}是指\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶矩阵P和W在区间J上是正定的。

满足边界条件：

(3)

A_{\lambda }y(b)-B_{\lambda }(P{y}^{\text{'}})(b)=\theta(4)

其中\theta是二维零向量，

A_{\lambda }=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \lambda {\eta }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right],B_{\lambda }=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \lambda {\eta }_{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}& \mathrm{1}\end{array}\right]。

边界条件系数满足：

{\eta }_i,{\gamma }_i\in \mathbb{R},{\eta }_i>\mathrm{0},i=\mathrm{1},\mathrm{2}(5)

令\tau (y)=W^{-\mathrm{1}}(-(P{y}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+Qy)，由方程(1)有

\tau (y)=\lambda y(6)

定义加权空间

其内积{〈f,g〉}_{S_W}={\int }_a^b{g}^{*}Wf\mathrm{d}x对任意f,g\in S_W都成立。

对任意y,\chi \in S_W，函数y和\chi的Lagrange契合式[y,\chi ]定义为

[y,\chi ]={{\chi }^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{*}}y-{\chi }^{\mathrm{*}}{y}^{[\mathrm{1}]}(7)

其中y=(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}，y^{[\mathrm{1}]}=P{y}^{\text{'}}=(y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]},y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}{)}^{\mathrm{T}}是拟导数。现考虑集合

D_{\mathrm{1}}=\left\{y\in L_W^{\mathrm{2}}(J):y,y^{[\mathrm{1}]}\in AC(J),\tau (y)\in L_W^{\mathrm{2}}(J)\right\}

对任意两个函数y,\chi \in D_{\mathrm{1}}，有以下Lagrange公式

{〈\tau (y),\chi 〉}_{S_W}-{〈y,\tau (\chi )〉}_{S_W}=[y,\chi ](b)-[y,\chi ](a)(8)

由边界条件式(4)有

\lambda \left(\begin{array}{c}{\eta }_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}(b)\\ {\eta }_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}(b)-y_{\mathrm{1}}(b)\\ y_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right)(9)

令

\begin{array}{c}{Y}_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{11}}\\ y_{\mathrm{12}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\eta }_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}(b)\\ {\eta }_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right),\\ Y_{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{21}}\\ y_{\mathrm{22}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}(b)-y_{\mathrm{1}}(b)\\ y_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right),\end{array}

则边界条件式(9)可写为

\lambda Y_{\mathrm{1}}=Y_{\mathrm{2}}。

定义内积空间\mathit{𝒮}=S_W\oplus {\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}，以及空间中的新内积

〈{\left(f,F_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}},{\left(g,G_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}〉={\int }_a^b{g}^{*}Wf\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{12}}(10)

对任意{\left(f,F_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}},{\left(g,G_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathit{𝒮}都成立。

考虑以下集合

\begin{array}{l}D(\mathbf{T})=\left\{Y=\left(\begin{array}{c}y\\ Y_{\mathrm{1}}\end{array}\right)\in \mathit{𝒮}:y\in D_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{1}}\in {\mathbb{C}}^{\mathrm{2}},Y_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{c}{\eta }_{\mathrm{1}}{y}_{\mathrm{2}}(b)\\ {\eta }_{\mathrm{2}}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right),\right.\\ \left.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}y(a)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}(P{y}^{\text{'}})(a)=\theta \right\}\end{array}。

并定义算子\mathbf{T}满足如下规则

\mathbf{T}\left(\begin{array}{c}y\\ Y_{\mathrm{1}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\tau (y)\\ Y_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\lambda Y。

至此，将S-L边值问题转化为相关的算子问题，接下来将讨论算子的自伴性。

引理1　 D(\mathbf{T})在\mathit{𝒮}中稠密。

定理1　算子\mathbf{T}是对称的。

证明：令F={\left(f(x),F_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}},G={\left(g(x),G_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})，则

\begin{array}{l}〈\mathbf{T}F,G〉-〈F,\mathbf{T}G〉\\ ={\int }_a^b{g}^{*}\left[-{\left(P{f}^{\text{'}}\right)}^{\text{'}}+Qf\right]\mathrm{d}x-{{\int }_a^b\left[-{\left(P{g}^{\text{'}}\right)}^{\text{'}}+Qg\right]}^{\mathrm{*}}f\mathrm{d}x\\ +\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{21}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{22}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{21}}{f}_{\mathrm{11}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{22}}{f}_{\mathrm{12}}\end{array}(11)

通过分部积分，可求得

{\int }_a^b{g}^{\mathrm{*}}\left[-(P{f}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+Qf\right]\mathrm{d}x-{\int }_a^b{\left[-(P{g}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+Qg\right]}^{*}f\mathrm{d}x={[f,g]}_a^b。

而

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{21}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{22}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{21}}{f}_{\mathrm{11}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{22}}{f}_{\mathrm{12}}\\ =-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)f_{\mathrm{1}}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)+f_{\mathrm{2}}(b){\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b)+{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}。

由边界条件(4)可求得

\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}(b)=[\mathrm{1}-(\lambda {\eta }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{1}})(\lambda {\eta }_{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}})]y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-(\lambda {\eta }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{1}})y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b),\\ y_{\mathrm{2}}(b)=(\lambda {\eta }_{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}})y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}。

因此，有

f_{\mathrm{2}}(b){\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b)+{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)f_{\mathrm{1}}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)=\mathrm{0}(12)

即

\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{21}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{22}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{21}}{f}_{\mathrm{11}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{22}}{f}_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}。

而由边界条件式(3)、(4)有

[f,g](a)=[f,g](b)=\mathrm{0}(13)

结合式(11)~(13)，可得

〈\mathbf{T}F,G〉-〈F,\mathbf{T}G〉=\mathrm{0}，

即算子\mathbf{T}是对称的。

定理2　算子\mathbf{T}是自伴的。

证明：因为\mathbf{T}是对称算子，即对任意Y=\left(y(x),\right.Y_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})和Z\in D({\mathbf{T}}^{\mathrm{*}}),\mathit{𝒰}\in \mathit{𝒮}，满足〈\mathbf{T}Y,Z〉=〈Y,\mathit{𝒰}〉，则Z\in D(\mathbf{T})且\mathbf{T}Z=\mathit{𝒰}。此时，Z=(z,Z_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}},\mathit{𝒰}=(u,{\mathit{𝒰}}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}。即以下性质成立：

(\mathrm{ⅰ})z,z^{[\mathrm{1}]}\in AC(J)。

(\mathrm{ⅱ})Z_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{c}{\eta }_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{2}}(b)\\ {\eta }_{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right)。

(\mathrm{ⅲ}){\mathit{𝒰}}_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{c}{z}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{2}}(b)-z_{\mathrm{1}}(b)\\ z_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-z_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}\right)。

(\mathrm{ⅳ})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}z(a)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}{z}^{[\mathrm{1}]}(a)=\theta。

(\mathrm{ⅴ})u=\tau (z)。

首先，对任意Y={(y,\mathrm{0},\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\oplus \{\mathrm{0}\}\oplus \{\mathrm{0}\}\subset D(\mathbf{T})，有〈\mathbf{T}Y,Z〉=〈Y,\mathit{𝒰}〉，因此

{\int }_a^b{z}^{\mathrm{*}}W\tau (y)\mathrm{d}x={\int }_a^b{u}^{*}Wy\mathrm{d}x

成立，即{〈\tau (y),z〉}_{S_W}={〈y,u〉}_{S_W}，由经典微分算子理论，性质(\mathrm{ⅰ})和性质(\mathrm{ⅴ})成立。

接下来，对所有Y=(y(x),Y_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})，由式(10)可将〈\mathbf{T}Y,Z〉=〈Y,\mathit{𝒰}〉改写为

\begin{array}{l}{〈\tau (y),z〉}_{S_W}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{z}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{21}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{z}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{22}}\\ ={〈y,\tau (z)〉}_{S_W}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{u}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{u}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{12}}\end{array}。

由于{〈\tau (y),z〉}_{S_W}-{〈y,\tau (z)〉}_{S_W}=[y,z](b)-[y,z](a)，从而

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{u}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{u}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{12}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{z}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{21}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{z}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{22}}\\ =[y,z](b)-[y,z](a)\end{array}(14)

结合对称性的证明有

\begin{array}{c}\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{u}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{u}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{12}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{z}}_{\mathrm{11}}{y}_{\mathrm{21}}-\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{z}}_{\mathrm{12}}{y}_{\mathrm{22}}\\ ={\overline{z}}_{\mathrm{2}}(b)y_{\mathrm{1}}(b)+{\overline{z}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)-y_{\mathrm{2}}(b){\overline{z}}_{\mathrm{1}}(b)-{\overline{z}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}。

由Naimark补缀引理，存在Y=(y(x),Y_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})，满足：

\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)=y_{\mathrm{2}}(b)=y_{\mathrm{1}}(a)=y_{\mathrm{2}}(a)=y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(a)=y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(a)=\mathrm{0},\\ y_{\mathrm{1}}(b)=\mathrm{1},y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)=\mathrm{1}\end{array}。

此时，z_{\mathrm{11}}={\eta }_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{2}}(b),z_{\mathrm{12}}={\eta }_{\mathrm{2}}{z_{\mathrm{1}}}^{[\mathrm{1}]}(b)成立，即性质(\mathrm{ⅱ})成立。

由Naimark补缀引理，存在Y=(y(x),Y_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})满足：

\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}(b)=y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)=y_{\mathrm{1}}(a)=y_{\mathrm{2}}(a)=y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(a)=y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(a)=\mathrm{0},\\ y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)=\mathrm{1},y_{\mathrm{2}}(b)=\mathrm{1}\end{array}。

此时，性质(\mathrm{ⅲ})成立。

由Naimark补缀引理，存在Y=(y(x),Y_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in D(\mathbf{T})满足：

\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}(b)=y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)=y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)=y_{\mathrm{2}}(b)=y_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(a)=y_{\mathrm{2}}(a)=\mathrm{0},\\ y_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(a)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}},y_{\mathrm{1}}(a)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\end{array}。

此时，性质(\mathrm{ⅳ})成立。因此，算子\mathbf{T}是自伴的。

推论1　算子\mathbf{T}的所有特征值都是实的。

推论2　令{\lambda }_{\mathrm{1}}和{\lambda }_{\mathrm{2}}是问题(1)~(5)两个不同的特征值，则与{\lambda }_{\mathrm{1}}和{\lambda }_{\mathrm{2}}相对应的特征函数F和G是相互正交的，即

〈{\left(f,F_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}},{\left(g,G_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}〉={\int }_a^b{g}^{*}Wf\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{g}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{12}}=\mathrm{0}。

引理2^[15] 假设f和g分别是方程(1)对应于\lambda ={\lambda }_{\mathrm{1}}和\lambda ={\lambda }_{\mathrm{2}}的特征函数，那么有

\begin{array}{l}{\left[f,g\right]}_a^b=\left[f,g\right](b)-\left[f,g\right](a)={\left[(P{g}^{\text{'}})\mathrm{*}f-g\mathrm{*}(P{f}^{\text{'}})\right]}_a^b\\ =({\lambda }_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}){\int }_a^{b}g\mathrm{*}Wf\end{array}。

2 特征值与特征函数

令u=y,v=P{y}^{\text{'}}则向量型S-L问题(1)~(5)等价于

u^{\text{'}}=P^{-\mathrm{1}}v,v^{\text{'}}=-(\lambda W-Q)u(15)

u(a)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}=v(a)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}(16)

A_{\lambda }u(b)=B_{\lambda }v(b)(17)

方程(15)对应的矩阵形式为

U^{\text{'}}=P^{-\mathrm{1}}V,V^{\text{'}}=-\left(\lambda W-Q\right)U(18)

这里U=[u(x),\tilde{u}(x)]，其中u(x),\tilde{u}(x)是方程(15)满足条件(16)与(17)的两个线性无关的解向量，V(\cdot ,\lambda )=P{U}^{\text{'}}(\cdot ,\lambda )，对于\lambda \in \mathbb{C}，令U(\cdot ,\lambda )为满足如下初始条件的解

U(a,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}E,V(a,\lambda )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}E(19)

其中E为\mathrm{2}\times \mathrm{2}阶的单位矩阵，那么方程(15)的任意解可表示为

u(x)=U(x,\lambda )C_{\mathrm{1}},v(x)=V(x,\lambda )C_{\mathrm{1}}(20)

如果\lambda是问题(15)~(17)特征值，解(20)还满足(17)

A_{\lambda }U(b,\lambda )C_{\mathrm{1}}=B_{\lambda }V(b,\lambda )C_{\mathrm{1}},

这里C_{\mathrm{1}}\ne \theta，因此，

w_{\mathrm{1}}(\lambda )=\left|A_{\lambda }U(b,\lambda )-B_{\lambda }V(b,\lambda )\right|=\mathrm{0}(21)

接下来，令U_{\mathrm{1}}(\cdot ,\lambda )为满足如下初始条件的解

U_{\mathrm{1}}(b,\lambda )=B_{\lambda },V_{\mathrm{1}}(b,\lambda )=A_{\lambda }(22)

其中V_{\mathrm{1}}(\cdot ,\lambda )=P{U_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(\cdot ,\lambda )，那么

w_{\mathrm{2}}(\lambda )=\left|U_{\mathrm{1}}(a,\lambda )\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}E-V_{\mathrm{1}}(a,\lambda )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}E\right|=\mathrm{0}(23)

因为Wronski行列式w[U,U_{\mathrm{1}}]与x无关，令

D(\lambda )=w[U,U_{\mathrm{1}}]=\left|\begin{array}{cc}U(x,\lambda )& U_{\mathrm{1}}(x,\lambda )\\ V(x,\lambda )& V_{\mathrm{1}}(x,\lambda )\end{array}\right|(24)

将x=a,b代入w[U,U_{\mathrm{1}}]可得式(23)和(21)。

定理3　 {\lambda }_{\mathrm{0}}是问题(1)~(5)的特征值，当且仅当

D({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}。

证明: 假设{\lambda }_{\mathrm{0}}是S-L问题(1)~(5)的一个特征值，u_{\mathrm{0}}(x)是其对应的特征函数，有

u_{\mathrm{0}}(x)=U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})C_{\mathrm{10}}=U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})C_{\mathrm{20}},

v_{\mathrm{0}}(x)=V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})C_{\mathrm{10}}=V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})C_{\mathrm{20}},

其中：C_{\mathrm{10}}，C_{\mathrm{20}}\ne \theta，然而

\left[\begin{array}{cc}U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& -U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\\ V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& -V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{10}}\\ C_{\mathrm{20}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\theta \\ \theta \end{array}\right],

所以

\left|\begin{array}{cc}U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& -U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\\ V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& -V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\\ V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\end{array}\right|=\mathrm{0},

即D({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}。

若{\lambda }_{\mathrm{0}}满足D({\lambda }_{\mathrm{0}})=\mathrm{0}，则线性方程组

\left[\begin{array}{cc}U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\\ V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})& V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{10}}\\ C_{\mathrm{20}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\theta \\ \theta \end{array}\right]

有非零解\left[\begin{array}{c}{C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}\\ {C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{20}}\end{array}\right]，因此有

U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}=-U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{20}},

V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}=-V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{20}}。

令\left[\begin{array}{c}u(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\\ v(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}\\ V(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{20}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}\\ -V_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{20}}\end{array}\right],即u(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})=U(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}=-U_{\mathrm{1}}(x,{\lambda }_{\mathrm{0}}){C^{\mathrm{\text{'}}}}_{\mathrm{10}}，显然u(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})满足条件(16)~(17)。因此，u(x,{\lambda }_{\mathrm{0}})是相应于{\lambda }_{\mathrm{0}}的特征函数，{\lambda }_{\mathrm{0}}是该问题的特征值。

3 特征值与特征函数的依赖性

引入Banach空间与范数用以讨论特征值的连续依赖性。

\mathrm{ℬ}=L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})\oplus L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})\oplus L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})\oplus {\mathbb{R}}^{\mathrm{7}}，及范数‖\omega ‖={\int }_a^b\left(‖P^{-\mathrm{1}}‖+‖Q‖+‖W‖\right)\mathrm{d}x+\left|a\right|+\left|b\right|+\left|{\eta }_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\eta }_{\mathrm{2}}\right|+\left|{\gamma }_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\gamma }_{\mathrm{2}}\right|+\left|\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\right|，其中\omega =\left(P^{-\mathrm{1}},Q,W,a,b,{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},\right.\left.\frac{\alpha }{\mathrm{2}}\right)\in \mathrm{ℬ}，令\mathrm{\Omega }=\left\{\omega \in \mathrm{ℬ}:(\mathrm{2}),(\mathrm{5})\mathrm{成立}\right\}。

定理4　令{\omega }_{\mathrm{0}}=(P_{\mathrm{0}}^{-\mathrm{1}},Q_{\mathrm{0}},W_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{0}},{\eta }_{\mathrm{10}},{\eta }_{\mathrm{20}},{\gamma }_{\mathrm{10}},{\gamma }_{\mathrm{20}},\frac{{\alpha }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}})，\lambda =\lambda (\omega ),\omega \in \mathrm{\Omega }是问题(1)~(5)的特征值，则\lambda在{\omega }_{\mathrm{0}}处连续，即对任意\epsilon >\mathrm{0}，存在\delta >\mathrm{0}，若\omega =(P^{-\mathrm{1}},Q,W,a,b,{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},\frac{\alpha }{\mathrm{2}})满足

则有

。

证明：证明类似文献[15]，这里省略细节。

定义1　S-L问题(1)~(5)的规一化特征向量F是指特征向量F满足

\begin{array}{l}{‖F‖}^{\mathrm{2}}=〈(f,F_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}},(f,F_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}〉\\ ={\int }_a^b{f}^{*}Wf\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{1}}}{\overline{f}}_{\mathrm{11}}{f}_{\mathrm{11}}+\frac{\mathrm{1}}{{\eta }_{\mathrm{2}}}{\overline{f}}_{\mathrm{12}}{f}_{\mathrm{12}}=\mathrm{1}\end{array}。

给出特征向量的连续依赖性。

定理5　对一些{\omega }_{\mathrm{0}}\in \mathrm{\Omega }，假设特征值\lambda ({\omega }_{\mathrm{0}})是单重的，并且定义(f,F_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in \mathit{𝒮}是\lambda ({\omega }_{\mathrm{0}})的规一化特征向量，则存在\lambda (\omega )的规一化特征向量(g,G_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{T}}\in \mathit{𝒮}，使得当\omega \to {\omega }_{\mathrm{0}}时，有

‖g(\cdot ,\omega )-f(\cdot ,{\omega }_{\mathrm{0}})‖\to \mathrm{0},‖P{g}^{\text{'}}(\cdot ,\omega )-P{f}^{\text{'}}(\cdot ,{\omega }_{\mathrm{0}})‖\to \mathrm{0}

在区间[a,b]上一致成立，且G_{\mathrm{1}}\to F_{\mathrm{1}}。

证明：证明可参考文献[15]。

定理4与定理5给出了特征值与特征函数的连续依赖性，表明特征值连续依赖于问题的各个参数。接下来将给出该问题特征值对定理3中所给参数的可微性及对各个参数的微分表达式。

定义2　设\mathit{𝒯}是从Banach空间X到Banach空间Y的一个映射，若\mathit{𝒯}在x\in X处可微，即存在一个有界线性算子\mathrm{d}{\mathit{𝒯}}_x:X\to Y，使得对h\in X有

\left|\mathit{𝒯}(x+h)-\mathit{𝒯}(x)-\mathrm{d}{\mathit{𝒯}}_x(h)\right|=o(h),h\to \mathrm{0}。

则称\mathit{𝒯}在x点Frechet可微（简称F可微）。

定理6　令\lambda (\omega ),\omega \in \mathrm{\Omega }是S-L问题(1)~(5)的特征值，Y是关于\lambda (\omega )的规一化特征向量，那么\lambda关于\omega中的所有参数都是可微的。此外，特征值关于各个参数的微分表达式为

① 固定除系数矩阵P外\omega中其他所有参数，令H\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})，H>\mathrm{0}，P^{-\mathrm{1}}H=H{P}^{-\mathrm{1}}，P_{H}P=P{P}_H，H^{\mathrm{*}}=H，则

\mathrm{d}{\lambda }_{P^{-\mathrm{1}}}(H)=-{\int }_a^b{f^{\left[\mathrm{1}\right]}}^{*}H{f}^{\left[\mathrm{1}\right]}。

② 固定除系数矩阵Q外\omega中其他所有参数，令H\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})，H>\mathrm{0}，H^{\mathrm{*}}=H，则

\mathrm{d}{\lambda }_Q(H)={\int }_a^b{f}^{*}Hf。

③ 固定除系数矩阵W外\omega中其他所有参数，令H\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})，H>\mathrm{0}，H^{\mathrm{*}}=H，则

\mathrm{d}{\lambda }_W(H)=-\lambda {\int }_a^b{f}^{\mathrm{*}}Hf。

④ 固定除参数\frac{\alpha }{\mathrm{2}}外\omega中其他所有参数，则

{\lambda }^{\text{'}}(\frac{\alpha }{\mathrm{2}})=-\mathrm{c}\mathrm{s}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}f\mathrm{*}(a)f(a)。

证明： 固定除系数矩阵P^{-\mathrm{1}}外\omega中其他所有参数，令P_H^{-\mathrm{1}}=P^{-\mathrm{1}}+H，H\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})，H^{\mathrm{*}}=H，H>\mathrm{0}和P^{-\mathrm{1}}H=H{P}^{-\mathrm{1}},P_{H}P=P{P}_H，设F=F(\cdot ,P^{-\mathrm{1}})，G=F(\cdot ,P^{-\mathrm{1}}+H)分别表示对应于特征值\lambda (P^{-\mathrm{1}})和\lambda (P^{-\mathrm{1}}+H)的实值规一化特征向量，又因为P^{-\mathrm{1}}\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})即P_H^{-\mathrm{1}}\in L(J,{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}\times \mathrm{2}})，则

P-P_H=P_{H}PH(25)

结合边界条件式(3)~(4)，通过分部积分直接计算可得

\begin{array}{l}(\lambda (P^{-\mathrm{1}}+H)-\lambda (P^{-\mathrm{1}}))〈F,G〉\\ ={\int }_a^b[-(P_H{g}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}{+Qg]}^{*}f\mathrm{d}x-{\int }_a^b{g}^{*}[-(P{f}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+Qf]\mathrm{d}x\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b))f_{\mathrm{2}}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\\ -[{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)(f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(b)-f_{\mathrm{1}}(b))\\ +{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)(f_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))]\\ ={\int }_a^b-(P_H{g}^{\text{'}}{)}^{*}H(P{f}^{\text{'}})\end{array}(26)

令H\to \mathrm{0}，有

\mathrm{d}{\lambda }_{P^{-\mathrm{1}}}(H)=-{\int }_a^b{f^{\left[\mathrm{1}\right]}}^{*}H{f}^{\left[\mathrm{1}\right]}(27)

所以，①是成立的。用同样的方法可以证明②和③也成立。

固定除参数\frac{\alpha }{\mathrm{2}}以外\omega中的其他所有参数，设F=F(\cdot ,\frac{\alpha }{\mathrm{2}}),G=F(\cdot ,\frac{\alpha }{\mathrm{2}}+h)分别表示对应于特征值\lambda (\frac{\alpha }{\mathrm{2}})和\lambda (\frac{\alpha }{\mathrm{2}}+h)的规一化特征向量，结合边界条件(4)，直接计算可得

(\lambda (\frac{\alpha }{\mathrm{2}}+h)-\lambda (\frac{\alpha }{\mathrm{2}}))〈F,G〉=[f,g](a)(28)

由边界条件(3)有

\begin{array}{l}[f,g](a)=(g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}f-g^{\mathrm{*}}{f}^{[\mathrm{1}]})(a)\\ =(P{g}^{\text{'}}{)}^{\mathrm{*}}(a)f(a)-g^{\mathrm{*}}(a)(P{f}^{\text{'}})(a)\\ =[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\frac{\alpha }{\mathrm{2}}+h)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\frac{\alpha }{\mathrm{2}})]g^{\mathrm{*}}(a)f(a)\end{array}(29)

方程两边同除h，令h\to \mathrm{0}，有

{\lambda }^{\text{'}}(\frac{\alpha }{\mathrm{2}})=\mathrm{c}\mathrm{s}{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}}\frac{\alpha }{\mathrm{2}}f\mathrm{*}(a)f(a)(30)

所以，④成立。

引理3　设f\in L_{loc}((a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}}),{\mathbb{C}}^{\mathrm{2}})，那么

\underset{h\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{1}}{h}{\int }_t^{t+h}f=f(t),a.e.(a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}})(31)

特别地，当f在t连续时式(31)也成立。

证明：对f=(f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}，f_i,(i=\mathrm{1},\mathrm{2})表示向量f的第i个分量。令a\in (a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}})，且定义F_i(t)={\int }_{a^{\text{'}}}^t{f}_i，则F_i\inA{C}_{loc}(a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}})，且F_i^{\mathrm{\text{'}}}(t)=f_i(t)在区间(a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}})几乎处处成立。因此

\frac{\mathrm{1}}{h}{\int }_t^{t+h}{f}_i=\frac{\mathrm{1}}{h}[F_i(t+h)-F_i(t)]，

当h\to \mathrm{0}，有

\frac{\mathrm{1}}{h}{\int }_t^{t+h}{f}_i\to {F_i}^{\mathrm{\text{'}}}(t)=f_i(t)

在区间(a^{\mathrm{\text{'}}},b^{\mathrm{\text{'}}})几乎处处成立，得证。

定理7　考虑S-L问题(1)~(5)，固定边界条件和区间端点a，令\lambda =\lambda (b),b\in (b+h,b^{\mathrm{\text{'}}})，则

\lambda (b)是b的连续函数。

对每一个b\in (b+h,b^{\mathrm{\text{'}}})，\lambda (b)都是单重的。

存在\lambda (b)的规一化特征向量u(\cdot ,b)，有u(\cdot ,b)和P{u}^{\text{'}}(\cdot ,b)在(b+h,b^{\mathrm{\text{'}}})的任何紧子区间上都是一致收敛的，即

u(\cdot ,b+h)\to u(\cdot ,b),P{u}^{\text{'}}(\cdot ,b+h)\to P{u}^{\text{'}}(\cdot ,b),h\to \mathrm{0}，

且这种收敛在(b+h,b^{\mathrm{\text{'}}})的任何紧子区间上都是一致的。

证明：参考文献[8]定理5.1.1，这里省略。

固定边界条件和区间端点b，令\lambda =\lambda (a)，a\in (a^{\mathrm{\text{'}}},a+h)，则在a点有相似的结论成立。

接下来考虑该算子问题特征值\lambda对\omega中的参数{\eta }_{\mathrm{1}},{\eta }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},a,b的微分表达式。

定理8　对S-L问题(1)~(5)，以下结论成立。

ⓐ 固定除参数{\eta }_{\mathrm{1}}以外\omega中其他所有参数，则

{\lambda }^{\text{'}}({\eta }_{\mathrm{1}})=-\lambda {\left|f_{\mathrm{2}}(b)\right|}^{\mathrm{2}}。

ⓑ 固定除参数{\eta }_{\mathrm{2}}外\omega中其他所有参数，则

{\lambda }^{\text{'}}({\eta }_{\mathrm{2}})=-\lambda {\left|f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\right|}^{\mathrm{2}}。

ⓒ 固定除参数{\gamma }_{\mathrm{1}}外\omega中其他所有参数，则

{\lambda }^{\text{'}}({\gamma }_{\mathrm{1}})={\left|f_{\mathrm{2}}(b)\right|}^{\mathrm{2}}。

ⓓ 固定除参数{\gamma }_{\mathrm{2}}外\omega中其他所有参数，则

{\lambda }^{\text{'}}({\gamma }_{\mathrm{2}})={\left|f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\right|}^{\mathrm{2}}。

ⓔ 固定除端点a外\omega中其他所有参数，则

\begin{array}{l}{\lambda }^{\text{'}}(a)=-f^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a,a)P^{-\mathrm{1}}(a)f^{[\mathrm{1}]}(a,a)\\ +((Q(a)-\lambda (a)W(a))f{(a,a))}^{\mathrm{*}}f(a,a)\end{array}。

ⓕ 固定除端点b外\omega中其他所有参数，则

\begin{array}{l}{\lambda }^{\text{'}}(b)=f^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b,b)P^{-\mathrm{1}}(b)f^{[\mathrm{1}]}(b,b)\\ -((Q(b)-\lambda (b)W(b))f{(b,b))}^{\mathrm{*}}f(b,b)\\ +f_{\mathrm{2}}(b,b)[{f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)-{f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)]\\ +f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b,b)[{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)-{f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)]\end{array}。

证明： 固定除参数{\eta }_{\mathrm{1}}以外\omega中的其他所有参数，设F=F(\cdot ,{\eta }_{\mathrm{1}}),G=F(\cdot ,{\eta }_{\mathrm{1}}+h)分别表示对应于特征值\lambda ({\eta }_{\mathrm{1}})和\lambda ({\eta }_{\mathrm{1}}+h)的规一化特征向量，结合边界条件直接计算可得

\begin{array}{l}(\lambda ({\eta }_{\mathrm{1}}+h)-\lambda ({\eta }_{\mathrm{1}}))〈F,G〉\\ =-{[f,g]}_a^b+({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b)-\lambda h{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b))f_{\mathrm{2}}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\\ -[{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)(f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(b)-f_{\mathrm{1}}(b))\\ +{{\overline{g}}^{[\mathrm{1}]}}_{\mathrm{1}}(b)(f_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))]\\ =-\lambda h{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)f_{\mathrm{2}}(b)\end{array}(32)

方程两边同除以h，令h\to \mathrm{0}，得

{\lambda }^{\text{'}}({\eta }_{\mathrm{1}})=-\lambda {\left|f_{\mathrm{2}}(b)\right|}^{\mathrm{2}}(33)

因此，ⓐ是成立的，用同样的方法可以证明ⓑ也成立。

固定除参数{\gamma }_{\mathrm{1}}以外\omega中的其他所有参数，设F=F(\cdot ,{\gamma }_{\mathrm{1}}),G=F(\cdot ,{\gamma }_{\mathrm{1}}+h)分别表示对应于特征值\lambda ({\gamma }_{\mathrm{1}})和\lambda ({\gamma }_{\mathrm{1}}+h)的规一化特征向量，结合边界条件直接计算可得

\begin{array}{l}(\lambda ({\gamma }_{\mathrm{1}}+h)-\lambda ({\gamma }_{\mathrm{1}}))〈F,G〉\\ =-{[f,g]}_a^b+[({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+({\gamma }_{\mathrm{1}}+h){\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b))f_{\mathrm{2}}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)]\\ -[{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)(f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(b)-f_{\mathrm{1}}(b))\\ +{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)(f_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))]\\ =h{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)f_{\mathrm{2}}(b)\end{array}(34)

方程两边同除以h，当h\to \mathrm{0}，得

{\lambda }^{\text{'}}({\gamma }_{\mathrm{1}})={\left|f_{\mathrm{2}}(b)\right|}^{\mathrm{2}}(35)

因此，ⓒ是成立的，用同样的方法可以证明ⓓ成立。

固定除参数a以外\omega中的其他所有参数，设F=F(\cdot ,a),G=F(\cdot ,a+h)分别表示对应于特征值\lambda (a)和\lambda (a+h)的规一化特征向量,结合边界条件直接计算可得

\begin{array}{l}(\lambda (a+h)-\lambda (a))〈F,G〉\\ =[f,g](a+h)-[f,g](a)\\ =(g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}f-g^{\mathrm{*}}{f}^{[\mathrm{1}]})(a+h)-(g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}f-g^{\mathrm{*}}{f}^{[\mathrm{1}]})(a)\\ =(g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a+h,a+h)-g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a,a+h))f(a,a)\\ -(g^{\mathrm{*}}(a+h,a+h)-g^{\mathrm{*}}(a,a+h))f^{[\mathrm{1}]}(a,a)\end{array}(36)

其中

\begin{array}{l}{g}^{\mathrm{*}}(a+h,a+h)-g^{\mathrm{*}}(a,a+h)\\ ={\int }_a^{a+h}(g^{*}{)}^{\text{'}}(t,a+h)\mathrm{d}t\\ ={\int }_a^{a+h}(P^{-\mathrm{1}}{g}^{\left[\mathrm{1}\right]}{)}^{*}(t,a+h)\mathrm{d}t\end{array}(37)

\begin{array}{l}{g}^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a+h,a+h)-g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a,a+h)\\ ={\int }_a^{a+h}(g^{[\mathrm{1}]*}{)}^{\text{'}}(t,a+h)\mathrm{d}t\\ ={\int }_a^{a+h}({(Q-\lambda W)g)}^{*}(t,a+h)\mathrm{d}t\end{array}(38)

结合引理3和定理7，方程两边同除以h，令h\to \mathrm{0}，得

\begin{array}{l}{\lambda }^{\text{'}}(a)=-f^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(a,a)P^{-\mathrm{1}}(a)f^{[\mathrm{1}]}(a,a)\\ +((Q(a)-\lambda (a)W(a))f{(a,a))}^{\mathrm{*}}f(a,a)\end{array}(39)

因此，ⓔ成立。

固定除参数b以外\omega中的其他所有参数，设F=F(\cdot ,b),G=F(\cdot ,b+h)分别表示对应于特征值\lambda (b)和\lambda (b+h)的规一化特征向量,结合边界条件直接计算可得

\begin{array}{l}(\lambda (b+h)-\lambda (b))〈F,G〉\\ =-{[f,g]}_b^{b+h}+({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b+h))f_{\mathrm{2}}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b+h))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\\ -(f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(b)-f_{\mathrm{1}}(b)){\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)\\ -(f_{\mathrm{2}}(b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b)){\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\end{array}(40)

在式(40)两边同加等式(12)，可得

\begin{array}{l}(\lambda (b+h)-\lambda (b))〈F,G〉\\ =-\left({\mathrm{g}}^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b+h)-g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b)\right)f(b)+\left(g^{\mathrm{*}}(b+h)-g^{\mathrm{*}}(b)\right)f^{[\mathrm{1}]}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b))f_{\mathrm{2}}(b)+({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b)){\gamma }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(b)\\ -({\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b))f_{\mathrm{2}}(b)+({\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\\ +({\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)){\gamma }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)-({\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b))f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b)\\ =-\left(g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b+h,b+h)-g^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b,b+h)\right)f(b,b)\\ +\left(g^{\mathrm{*}}(b+h,b+h)-g^{\mathrm{*}}(b,b+h)\right)f^{[\mathrm{1}]}(b,b)\\ -f_{\mathrm{2}}(b,b)[{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b,b+h)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b,b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b,b+h)\\ -{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h,b+h)-{\gamma }_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h,b+h)+{\overline{g}}_{\mathrm{1}}(b+h,b+h)]\\ +f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b,b)[-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b,b+h)-{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b,b+h)+{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b,b+h)\\ +{\overline{g}}_{\mathrm{2}}(b+h,b+h)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b+h,b+h)-{\overline{g}}_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}(b+h,b+h)]\end{array}。用同样的方法结合引理3与定理7，方程两边同除以h，令h\to \mathrm{0}，得

\begin{array}{l}{\lambda }^{\text{'}}(b)=f^{[\mathrm{1}]\mathrm{*}}(b,b)P^{-\mathrm{1}}(b)f^{[\mathrm{1}]}(b,b)\\ -((Q(b)-\lambda (b)W(b))f{(b,b))}^{\mathrm{*}}f(b,b)\\ +f_{\mathrm{2}}(b,b)[{f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)+{\gamma }_{\mathrm{1}}{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)-{f_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)]\\ +f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}(b,b)[{f_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)+{\gamma }_{\mathrm{2}}{f_{\mathrm{1}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)-{f_{\mathrm{2}}^{[\mathrm{1}]}}^{\mathrm{\text{'}}}(b,b)]\end{array}(41)

因此，ⓕ成立。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金项目(12261066)

国家自然科学基金项目(11661059)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2021MS01020)