磁电弹性材料中具有非理想界面的增强纳米圆孔的反平面问题

Anti-plane problem of a reinforced nano-circular holes with imperfect interfaces in a magnetoelectroelastic composites

摘要

基于Gurtin-Murdoch表/界面模型和弹簧层界面模型，研究无限大磁电弹性复合材料基体中具有非理想界面的增强纳米圆孔的反平面剪切问题。利用广义自洽法和复变函数理论得到增强相和基体相弹性场的精确解及磁电弹性复合材料的有效性能。通过数值算例，分析非理想参数、涂层的体积分数对磁电弹性复合材料有效性能以及基体中弹性场的影响规律。结果表明：当圆孔和涂层的尺寸非常小的情况下，非理想界面和表/界面效应对磁电弹性复合材料的有效性能、孔边周围弹性场有显著影响。通过改变涂层的体积分数和非理想界面参数可提高磁电弹性复合材料的有效性能并降低圆孔周围的应力集中。

Abstract

Based on the Gurtin-Murdoch surface/interface model and the spring layer interface model, the anti-plane shear problem of reinforced nano-circular holes with imperfect interfaces in the matrix of infinite magnetoelectroelastic(MEE) composites is studied. The generalized self-consistent method and complex function theory were used to obtain the accurate solution of the enhanced phase and matrix phase elastic field and the effective properties of MEE composites. The influence of imperfect parameters, the volume fraction of the coating on the effective properties of the MEE composite, and the elastic field in the matrix were analyzed. The results show that when the size of the round holes is very small, the imperfect interface and surface/interface effects have a significant effect on the effective properties of the MEE composite, elastic field of hole edge. By changing the volume fraction of the coating and the imperfect interface parameters, the effective properties of the MEE composite can be improved and the stress concentration around the round hole can be reduced.

Graphical abstract

关键词

磁电弹性复合材料 / 非理想界面 / 表/界面效应 / 弹性场 / 有效性能

Key words

MEE composites / imperfect interface / surface/interface effects / elastic field / effective properties

磁电弹性(MEE)复合材料具有优良的力-电-磁多场耦合的特性^[1-2]，广泛应用于传感技术、信息技术、新型的智能材料等领域^[3]。在生产制造过程中容易产生的缺陷如裂纹、夹杂、孔洞和位错等^[4-6]，会导致MEE力学性能和可靠性下降进而失效。在MEE复合材料的基体相与增强相之间起传递作用的界面对复合材料的整体性能有很大影响^[7-8]，特别是界面处出现微缺陷、开裂或脱粘等现象会降低材料的力学性能，甚至导致材料破坏。因此，对于MEE脆性材料而言，研究由外部载荷所引起的孔周围的应力集中和界面处的应力场以及对MEE复合材料的有效性能具有重要的科学意义。

对于MEE复合材料的宏观性能方面，Gao等^[9-10]研究了MEE固体裂纹问题，给出裂纹解析方法以及共线裂纹的一般解。齐敏等^[11]研究了半无限长磁电弹双材料条中螺位错与界面边裂纹的相互作用，分析几何参数、压电和压磁效应对应力强度因子的影响。近几年，纳米复合材料的研究受到许多研究者的广泛关注。为了预测纳米尺度下复合材料的有效性能，自洽法、Mori-Tanaka模型、广义自洽法和稀疏法等被成功应用于压电、磁电弹性复合材料^[12]。如Guo等^[13]基于Gurtin-Murdoch表/界面模型理论，提出MEE纳米复合材料的三相圆柱模型，并通过广义自洽法预测了纳米MEE复合材料的有效性能。Xiao等^[14]进一步研究了多涂层MEE纳米复合材料在远场受反平面机械载荷、面内电载荷和磁载荷作用下的有效性能，获得了MEE复合材料有效系数的封闭解。Hu等^[15-17]研究了MEE材料与涂层以及功能梯度层界面裂纹和椭圆孔的弹性场。Guo等^[18]研究了在反平面剪切下具有表/界面效应的MEE复合材料中强化纳米椭圆孔或纳米裂纹。

然而，在已有的文献中，大多数假设MEE复合材料的各相是完美粘结的，即理想界面。事实上，在实际的加工、制备和服役过程中，MEE复合材料的增强相与基体相之间的界面容易出现微裂纹、开裂或脱粘现象，因此，研究非理想界面对MEE复合材料有效性能的影响非常必要。Wang等^[19]研究了具有非理想界面的多铁性纤维复合材料在纵向剪切下的磁电弹性响应。Shi等^[20]研究了压电材料中具有非理想界面的三相（基体/涂层/纤维）圆柱形压电复合材料的有效性能，利用弹簧型界面模型和广义自洽法导出有效弹性模量与界面效应。但是，对于纳米尺度下非理想界面对MEE复合材料的断裂力学和有效性能的影响并未报道，因此，本文结合Gurtin-Murdoch表/界面模型^[21]和弹簧界面模型^[22]，利用复势法研究无限大MEE基体中具有非理想界面的增强纳米圆孔的反平面剪切问题，导出MEE材料增强相和基体相中应力、电位移和磁感应的精确解。并采用广义自洽法精确预测具有非理想界面的MEE复合材料的有效性能。通过数值算例，分析非理想界面、表/界面效应和涂层体积分数对MEE复合材料的有效性能及涂层和基体的弹性场的影响，为工程上智能复合材料的设计和优化提供理论参考。

1 问题描述和基本方程

考虑具有非理想界面的MEE增强纳米圆孔模型，如图1所示，在x₂方向的无限远处受反平面机械载荷、面内电载荷和面内磁载荷作用。等效介质、基体、涂层和孔的区域分别用E、M、L和C表示，体积为{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{E}}\mathrm{、}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{M}}\mathrm{、}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{L}}和{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{C}}。半径为R₁的轮廓S₀，半径R₂的轮廓S₁和半径为R₃的轮廓S₂分别表示涂层/孔、基体/涂层和等效介质/基体的界面，其中涂层/孔的界面为表/界面，基体/涂层的界面为非理想界面，然而，等效介质/基体的界面为理想界面。孔的体积分数v_{\mathrm{C}}=R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}/R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}，涂层的体积分数v_{\mathrm{L}}=\left(R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)/R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}，用v=v_{\mathrm{C}}+v_{\mathrm{L}}和\xi =R_{\mathrm{1}}/R_{\mathrm{2}}，则基体的体积分数v_{\mathrm{M}}=\mathrm{1}-v。

假设磁电极化方向沿着x₃轴方向，在直角坐标系下，MEE复合材料反平面剪切问题的基本方程包括^[18]

{\sigma }_{\mathrm{3}j,j}=\mathrm{0},D_{j,j}=\mathrm{0},B_{j,j}=\mathrm{0}(1)

{\gamma }_{\mathrm{3}j}=u_{\mathrm{3},j},E_j=-{\varphi }_{,j},H_j=-{\psi }_{,j}(2)

{\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{\mathrm{3}j}& D_j& B_j\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\mathbf{L}{\left[\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{3}j}& -E_j& -H_j\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(3)

其中：j=1, 2；{\sigma }_{\mathrm{3}j},{\gamma }_{\mathrm{3}j}和u_{\mathrm{3}}分别表示应力、应变和位移；D_j,E_j和\varphi分别表示电位移、电场和电势；B_j,H_j和\psi分别表示磁感应、磁场和磁势；上标T表示转置；材料系数矩阵L为

\mathbf{L}=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{44}}& e_{\mathrm{15}}& q_{\mathrm{15}}\\ e_{\mathrm{15}}& -{\lambda }_{\mathrm{11}}& -d_{\mathrm{15}}\\ q_{\mathrm{15}}& -d_{\mathrm{15}}& -{\mu }_{\mathrm{11}}\end{array}\right](4)

其中：c_{\mathrm{44}}\mathrm{、}{e}_{\mathrm{15}}\mathrm{、}{q}_{\mathrm{15}}\mathrm{、}{\lambda }_{\mathrm{11}}\mathrm{、}{d}_{\mathrm{15}}和{\mu }_{\mathrm{11}}分别表示弹性常数、压电常数、压磁常数、介电常数、磁电耦合系数和磁导率。

将式(2)代入式(3)再代入式(1)中，可得到由广义位移矢量\mathbf{u}={\left[\begin{array}{ccc}{u}_{\mathrm{3}}& \varphi & \psi \end{array}\right]}^{\mathrm{T}}表示的控制方程

\mathbf{L}{\nabla }^{\mathrm{2}}\mathbf{u}=\mathrm{0}(5)

其中{\nabla }^{\mathrm{2}}={\partial }^{\mathrm{2}}/\partial x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+{\partial }^{\mathrm{2}}/\partial x_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}为二维拉普拉斯算子。

根据复变函数理论，控制方程(5)中的广义位移矢量u的通解可以用解析函数f(z)的虚部表示

\mathbf{u}=\mathrm{I}\mathrm{m}\mathbf{f}(z)=\mathrm{I}\mathrm{m}{\left[\begin{array}{ccc}U& \mathrm{\Phi }& \mathrm{\Psi }\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(6)

其中：\mathrm{I}\mathrm{m}为虚部，\mathbf{f}(z)={\left[\begin{array}{ccc}U& \mathrm{\Phi }& \mathrm{\Psi }\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}为解析函数。

引入广义应力{\mathbf{\Sigma }}_j={\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{\mathrm{3}j}& D_j& B_j\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}和广义应变{\mathbf{Z}}_j={\left[\begin{array}{ccc}{\gamma }_{\mathrm{3}j}& -E_j& -H_j\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，将式(6)代入式(2)和式(3)可导出

{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}+\mathrm{i}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}=\mathbf{L}\left({\mathbf{Z}}_{\mathrm{2}}+\mathrm{i}{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}\right)=\mathbf{L}{\mathbf{f}}^{\text{'}}\left(z\right)=\mathbf{L}{\left[\begin{array}{ccc}{U}^{\text{'}}& {\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}& {\mathrm{\Psi }}^{\text{'}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}(7)

在极坐标系下，式(7)变为

\begin{array}{l}{\mathbf{\Sigma }}_{\theta }+\mathrm{i}{\mathbf{\Sigma }}_{\rho }=\mathbf{L}\left({\mathbf{Z}}_{\theta }+\mathrm{i}{\mathbf{Z}}_{\rho }\right)=\mathbf{L}\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\rho \partial \theta }+\mathrm{i}\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \rho }\right)\\ ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathbf{L}{\mathbf{f}}^{\text{'}}\left(z\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathbf{L}{\left[\begin{array}{ccc}{U}^{\text{'}}& {\mathrm{\Phi }}^{\text{'}}& {\mathrm{\Psi }}^{\text{'}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\end{array}(8)

在理想界面S₂处的广义位移、广义应变和广义应力均为连续的，则z平面内圆半径R₃处的边界条件为

\begin{array}{l}{\mathbf{u}}^{\mathrm{M}}={\mathbf{u}}^{\mathrm{E}}\\ {\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{M}}={\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{E}}\\ {\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{M}}={\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{E}}\end{array},  \left(\rho =R_{\mathrm{3}}\right)(9)

采用弹簧界面模型模拟基体和涂层之间界面的脱粘或开裂情况，则界面处的边界条件为

\begin{array}{l}{\mathbf{u}}^{\mathrm{M}}-{\mathbf{u}}^{\mathrm{L}}=\mathbf{K}{\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{L}}\\ {\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{L}}={\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{M}}\\ {\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{L}}={\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{M}}\end{array},  \left(\rho =R_{\mathrm{2}}\right)(10)

其中K为非理想界面参数矩阵

\begin{array}{l}\mathbf{K}=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{44}}^k& e_{{}_{\mathrm{15}}}^k& q_{{}_{\mathrm{15}}}^k\\ e_{{}_{\mathrm{15}}}^k& -{\lambda }_{{}_{\mathrm{11}}}^k& -d_{{}_{\mathrm{15}}}^k\\ q_{{}_{\mathrm{15}}}^k& -d_{{}_{\mathrm{15}}}^k& -{\mu }_{{}_{\mathrm{11}}}^k\end{array}\right]\\ c_{\mathrm{44}}^k=\frac{{\delta }_{\mathrm{44}}{R}_{\mathrm{2}}}{c_{\mathrm{44}}^{\mathrm{L}}},e_{{}_{\mathrm{15}}}^k=\frac{{\delta }_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{1}}{R}_{\mathrm{2}}}{e_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{L}}},q_{{}_{\mathrm{15}}}^k=\frac{{\delta }_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{2}}{R}_{\mathrm{2}}}{q_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{L}}}\\ {\lambda }_{{}_{\mathrm{11}}}^k=\frac{{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}{R}_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{{}_{\mathrm{11}}}^{\mathrm{L}}},d_{{}_{\mathrm{15}}}^k=\frac{{\delta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{3}}{R}_{\mathrm{2}}}{d_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{L}}},{\mu }_{{}_{\mathrm{11}}}^k=\frac{{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}{R}_{\mathrm{2}}}{{\mu }_{{}_{\mathrm{11}}}^{\mathrm{L}}}\end{array}(11)

其中：c_{\mathrm{44}}^k\mathrm{、}{e}_{{}_{\mathrm{15}}}^k\mathrm{、}{q}_{{}_{\mathrm{15}}}^k\mathrm{、}{\lambda }_{{}_{\mathrm{11}}}^k\mathrm{、}{d}_{{}_{\mathrm{15}}}^k\mathrm{、}{\mu }_{{}_{\mathrm{11}}}^k分别表示非理想界面的弹性常数、压电常数、压磁常数、介电常数、磁电耦合系数和磁导率。{\delta }_{\mathrm{44}}\mathrm{、}{\delta }_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\delta }_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{、}{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\delta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}均为非负的无量纲参数。

根据Gurtin-Murdoch表面/界面模型理论，纳米圆孔的表面被视为一个没有厚度但具有自身力学性能的薄层，则具有表/界面效应的圆孔边界条件为

\left\{\begin{array}{l}-{\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{\mathrm{L}}=\frac{{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}}{\rho }\frac{\partial {\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{S}}}{\partial \theta },\left(\rho =R_{\mathrm{1}}\right)\\ {\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{S}}={\mathbf{Z}}_{\theta }^{\mathrm{L}}\end{array}\right.(12)

其中L^S为界面弹性常数矩阵

{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{44}}^{\mathrm{S}}& e_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}& q_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}\\ e_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}& -{\lambda }_{{}_{\mathrm{11}}}^{\mathrm{S}}& -d_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}\\ q_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}& -d_{{}_{\mathrm{15}}}^{\mathrm{S}}& -{\mu }_{{}_{\mathrm{11}}}^{\mathrm{S}}\end{array}\right](13)

2 解析求解

为了求得解析解，假设解析函数为有限项的洛朗级数为

{\mathbf{f}}^{\mathrm{E}}={\mathbf{A}}_{\mathrm{1}}\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathbf{B}}_{\mathrm{1}}\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{\rho }(14)

{\mathbf{f}}^{\mathrm{M}}={\mathbf{A}}_{\mathrm{2}}\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathbf{B}}_{\mathrm{2}}\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{\rho }(15)

{\mathbf{f}}^{\mathrm{L}}={\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathbf{B}}_{\mathrm{3}}\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{\rho }(16)

由远场应力边界条件可得

{\mathbf{A}}_{\mathrm{1}}={\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}(17)

根据边界条件式(9)、(10)、(12)和远场边界条件式(17)，得到解析函数式(14)~(16)中的常向量分别为

{\mathbf{B}}_{\mathrm{3}}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}(18)

{\mathbf{A}}_{\mathrm{2}}={\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}(19)

{\mathbf{B}}_{\mathrm{2}}={\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}(20)

{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{\left[\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}+\mathbf{I}\right]{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}-\mathbf{I}\right]{\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\right]}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{1}}(21)

{\mathbf{B}}_{\mathrm{1}}=\frac{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}-\mathbf{I}\right]{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}+\mathbf{I}\right]{\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\right]{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}(22)

其中

\mathbf{Q}=R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\left(\frac{{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}}{R_{\mathrm{1}}}+{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\right)}^{-\mathrm{1}}\left(\frac{{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}}{R_{\mathrm{1}}}-{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\right)(23)

\begin{array}{l}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\mathbf{I}\right]\\ +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-\mathbf{I}\right]\mathbf{Q}\end{array}(24)

\begin{array}{l}{\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}=\frac{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-R_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-\mathbf{I}\right]\\ +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\mathbf{I}\right]\mathbf{Q}\end{array}(25)

由每个相的广义应变和广义应力的平均值，可以得

\begin{array}{ccc}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}}=\mathrm{0},& \overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{L}}}={\mathbf{A}}_{\mathrm{3}},& \overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}}={\mathbf{A}}_{\mathrm{2}},\\ \overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}}=\mathrm{0},& \overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{L}}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{3}},& \overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{A}}_{\mathrm{2}}\end{array}(26)

根据体积元法，MEE单元内的广义应力和广义应变可通过以下方程确定

\begin{array}{l}\overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}}=v_{\mathrm{C}}\overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}}+v_{\mathrm{L}}\overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{L}}}+v_{\mathrm{M}}\overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}}+\frac{v_{\mathrm{C}}}{\pi R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}\underset{{\mathrm{S}}_{\mathrm{0}}}{\int }{\mathbf{\Sigma }}_{\rho }^{{}^{\mathrm{L}}}{n}_p\mathrm{d}s\\ =\left(v_{\mathrm{L}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}\left(\mathbf{I}-\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right){\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}\end{array}(27)

\begin{array}{l}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{}}=v_{\mathrm{C}}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{C}}}+v_{\mathrm{L}}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{L}}}+v_{\mathrm{M}}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}}\\ +\frac{v_{\mathrm{L}}}{\pi \left(R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)}\underset{{\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}}{\int }\left({\mathbf{u}}^{\mathrm{M}}-{\mathbf{u}}^{\mathrm{L}}\right)n_p\mathrm{d}s\\ =\left(v_{\mathrm{L}}\mathbf{I}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\right){\mathbf{A}}_{\mathrm{3}}\left(\mathbf{I}+\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\end{array}(28)

根据广义自洽法，有效弹性模量可表示为

\overline{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\overline{{\mathbf{Z}}_{\mathrm{1}}^{}}(29)

将式(27)和式(28)代入式(29)中，得到具有非理想界面的MEE中增强纳米孔的有效模量为

\begin{array}{l}{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}=\left(v_{\mathrm{L}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}\left(\mathbf{I}-\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right)\\ \times {\left(v_{\mathrm{L}}\mathbf{I}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\left(\mathbf{I}+\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right)}^{-\mathrm{1}}\\ =\left((\mathrm{1}-{\xi }^{\mathrm{2}})v{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\left(\mathrm{1}-v\right){\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}\left(\mathbf{I}-\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right)\\ \times {\left((\mathrm{1}-{\xi }^{\mathrm{2}})v\mathbf{I}+\left(\mathrm{1}-v\right){\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\left(\mathbf{I}+\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right)}^{-\mathrm{1}}\end{array}(30)

由式(7)可得涂层相和基体相的广义应力为

\begin{array}{l}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{L}}\left(\rho ,\theta \right)+\mathrm{i}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{L}}\left(\rho ,\theta \right)=\mathrm{2}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\left(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{Q}}{{\rho }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\mathrm{i}\theta }\right)\\ \times {\left[\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}+{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right){\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}-{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right){\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\right]}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}\end{array}(31)

\begin{array}{l}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{M}}\left(\rho ,\theta \right)+\mathrm{i}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}\left(\rho ,\theta \right)=\mathrm{2}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\left({\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}-\frac{{\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}}{{\rho }^{\mathrm{2}}}{e}^{-\mathrm{2}\mathrm{i}\theta }\right)\\ \times {\left[\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}+{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right){\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}+\frac{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}-{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}}\right){\mathbf{S}}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\right]}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{\infty }}\end{array}(32)

3 特殊情况

1) 当K=0时，从式(30)中得到具有表/界面效应的纳米增强孔的有效弹性模量为

\begin{array}{l}{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}\mathrm{1}}=\left(v_L{\mathbf{L}}^L+v_M{\mathbf{L}}^M{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}+\frac{R_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}{\mathbf{L}}^S\left(\mathbf{I}-\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{Q}\right)\right)\\ \times {\left(v_L\mathbf{I}+v_M{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\right)}^{-\mathrm{1}}\end{array}(33)

其中

{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}=\frac{\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\mathbf{I}\right]}{\mathrm{2}}+\frac{\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-\mathbf{I}\right]\mathbf{Q}}{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}(34)

当基体和涂层的材料参数一样，即{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{E}\mathrm{1}}，且不考虑非理想效应，所得解和Guo等^[18]的结果吻合。

2) 当{\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}=\mathrm{0}时，从式(30)中得到宏观尺度下具有非理想界面的增强孔的有效弹性模量为

\begin{array}{l}{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}\mathrm{2}}=\left(v_{\mathrm{L}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)\\ \times {\left(v_{\mathrm{L}}\mathbf{I}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\frac{R_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}\left(\mathrm{1}+\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right)\mathbf{I}\right)}^{-\mathrm{1}}\end{array}(35)

其中

\begin{array}{l}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}=\frac{{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+R_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\mathbf{I}}{\mathrm{2}}\\ -\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+{\mathrm{R}}_{\mathrm{2}}^{-\mathrm{1}}\mathbf{K}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-\mathbf{I}\right]}{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\end{array}(36)

这与Shi等^[20]的结果一致。

3) 当\mathbf{K}={\mathbf{L}}^{\mathrm{S}}=\mathrm{0}时，从式(30)中得到经典的增强圆孔的有效弹性模量为

{\mathbf{L}}^{\mathrm{E}\mathrm{0}}=\left(v_{\mathrm{L}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\right)\times {\left(v_{\mathrm{L}}\mathbf{I}+v_{\mathrm{M}}{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\right)}^{-\mathrm{1}}(37)

其中

{\mathbf{S}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}=\frac{\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}+\mathbf{I}\right]}{\mathrm{2}}-\frac{R_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left[{\left({\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}\right)}^{-\mathrm{1}}{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}-\mathbf{I}\right]}{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}(38)

当基体和涂层的材料参数一样，即{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{E}\mathrm{0}}且不考虑非理想效应以及表/界面效应，所得解和Hu等^[17]的结果吻合。

4 数值算例

为了验证本文模型的正确性和有效性，图2给出本文得出的理想界面(Perfect interface, PI)和非理想界面(Without perfect interface)结果与已有的具有表/界面效应（Surface/interface effect, SIE）压电材料圆孔边缘处应力场的对比。基体材料的系数^[17]分别为c{}_{\mathrm{44}}^M=21.1×10⁹ N/m²，e{}_{\mathrm{15}}^M=12.3 C/m²，λ{}_{\mathrm{11}}^M=8.107×10^-9 C²N^-1m²；c{}_{\mathrm{44}}^S=2 N/m，e{}_{\mathrm{15}}^S=5×10^-8 C/m，λ{}_{\mathrm{11}}^S=0 C²N^-1m；δ₄₄=0.1，δ{}_{\mathrm{15}}^{\mathrm{1}}=0.1，δ{}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}=0.1。从图2可知，本文所得理想界面的结果（由式(31)、(32)中令{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}={\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}计算得到）与文献[12]中的结果完全一致，进一步看出非理想界面可使圆孔边缘处应力增大。

接下来，分析表/界面效应、非理想界面效应和涂层的体积分数对MEE复合材料的有效模量及纳米圆孔边缘和界面处的弹性场的影响。MEE基体^{[17, 23-25]}和表/界面层的材料性能^[13]分别如表1、表2所示。

图3给出在不同的非理想参数{\delta }_{\mathrm{44}}条件下，体积分数v（涂层和圆孔体积分数之和）对MEE复合材料增强纳米圆孔的无量纲有效模量的影响。非理性参数均为非负的无量纲参数，当其为0时表示理想界面（即完美粘结），当其值增大时表示界面逐渐变为脱粘，因此，本文中选取的非理想界面参数是在其可能范围内^[20]。其中：{\delta }_{\mathrm{44}}=\mathrm{0.1};\mathrm{0.2};\mathrm{0.3}，{\delta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{1}}=\mathrm{0}，{\delta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}=\mathrm{0}，{\delta }_{\mathrm{15}}^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，{\delta }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，R_{\mathrm{1}}=\mathrm{5}\mathrm{n}\mathrm{m}，R_{\mathrm{2}}=\mathrm{10}\mathrm{n}\mathrm{m}，{\mathbf{L}}^{\mathrm{L}}=\mathrm{2}{\mathbf{L}}^{\mathrm{M}}。从图3(a)中看出，有效弹性模量c_{\mathrm{44}}^E/c_{\mathrm{44}}^{\mathrm{0}}随着体积分数v和非理想参数{\delta }_{\mathrm{44}}的增大而减小。从图3(b)和图3(c)可以看出，有效压电模量e_{\mathrm{15}}^E/e_{\mathrm{15}}^{\mathrm{0}}和有效压磁模量q_{\mathrm{15}}^E/q_{\mathrm{15}}^{\mathrm{0}}在经典弹性的情况下随着体积分数v的增大始终减小，但在纳米尺度（具有表/界面效应）的情形下依赖于非理想参数{\delta }_{\mathrm{44}}。从图3((d)~(f))可以看出，有效介电模量{\lambda }_{\mathrm{11}}^E/{\lambda }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{0}}、有效电磁耦合模量d_{\mathrm{15}}^E/d_{\mathrm{15}}^{\mathrm{0}}和有效磁导率{\mu }_{\mathrm{11}}^E/{\mu }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{0}}在纳米尺度下均随着体积分数v和非理想参数{\delta }_{\mathrm{44}}增大而增大。表/界面效应对有效弹性模量c_{\mathrm{44}}^E/c_{\mathrm{44}}^{\mathrm{0}}和有效磁导率{\mu }_{\mathrm{11}}^E/{\mu }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{0}}几乎没有影响，但均会导致其他有效模量降低，换言之，表/界面效应会降低MEE的有效性能。

图4显示在非理想弹性参数{\delta }_{\mathrm{44}}=\mathrm{0};\mathrm{0.05};\mathrm{0.1}下受远场反平面机械载荷作用下圆孔周围的应力、电位移和磁感应的变化(R₁＝5 nm，R₂＝10 nm，v=0.01，L^L=2L^M)。从图4可以观察到，沿x₂方向的应力、电位移和磁感应关于x₂轴是对称的（即\theta =\mathrm{\pi }/\mathrm{2}\mathrm{和}\mathrm{3}\mathrm{\pi }/\mathrm{2}）。如图4((a)~(c))所示，在经典弹性理论中，受远场反平面机械载荷作用下，圆孔周围沿x₂方向的应力、电位移和磁感应在θ=π/2和3π/2处都等于零，但纳米尺度情形下在θ=π/2和3π/2处大于零。由图4(a)和4(b)可知，无论是经典还是微纳米尺度，圆孔周围的应力和电位移的最大值随着非理想弹性参数{\delta }_{\mathrm{44}}的增大而减小。由图4(c)可知，圆孔周围的磁感应的最大值在经典弹性下随着非理想弹性参数增大而减小。

5 结论

基于表/界面模型和弹簧界面模型，研究嵌入无限大MEE基体中的增强纳米圆孔在远场机械、电载荷和磁载荷作用下的反平面剪切问题。利用广义自洽法和复变函数理论，精确获得增强相和基体相中应力、电位移和磁感应的显式表达式及MEE复合材料的有效性能。通过数值算例可得到如下结论：

1) MEE复合材料的有效模量不仅取决于各相的体积分数，还取决于非理想参数和圆孔半径。在纳米尺度下表/界面效应对MEE复合材料的有效模量影响显著。

2) 有效弹性模量随着体积分数和非理想参数的增大而减小；有效压电模量和有效压磁模量在经典弹性的情况下随着体积分数的增大始终减小，但在纳米尺度（具有表/界面效应）的情形下依赖于非理想参数的大小；有效介电模量、有效电磁耦合模量和有效磁导率在纳米尺度下均随着体积分数和非理想参数的增大而增大。

3) 无论是经典还是微纳米尺度，圆孔周围的应力和电位移的最大值随着非理想弹性参数的增大而减小，而圆孔周围的磁感应的最大值在经典弹性下随着非理想弹性参数增大而减小。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12072166)

内蒙古自治区科技计划项目(2021GG0254)

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20220075)