基于Eshelby夹杂理论高温冻土累积塑性应变修正模型

Modified model for cumulative plastic deformation in high-temperature permafrost based on Eshelby inclusions theory

摘要

针对不同黏粒含量的高温冻土，基于Eshelby夹杂理论分析了冰含量与等效变形模量之间的关系，在此基础上引入模量比对现有的Monismith累积塑性应变模型进行修正，得到了一种新的高温冻土累积塑性变形预测模型，并采用室内试验结果进行验证。结果显示：模型数据与试验数据具有较好的吻合度。新提出的修正Monismith累积塑性应变预测模型表征了冰含量与土体变形模量之间的关系，其可以较准确地模拟高温冻土整个动应变过程，并且能够反映组构变化所诱发的高温冻土累积变形特征的不同。

Abstract

For high-temperature permafrost with different clay grain contents, the relationship between ice content and equivalent deformation modulus was analyzed based on Eshelby inclusion theory, and then the modulus ratio was used to modify the existing Monismith cumulative plastic strain model to obtain a new cumulative plastic deformation prediction model for high-temperature permafrost, which was verified by using the indoor test results. The results show that the model data have good agreement with the experimental data. The newly proposed modified Monismith cumulative plastic strain prediction model characterizes the relationship between ice content and soil deformation modulus, which can simulate the whole dynamicstrain process of high-temperature permafrost more accurately and can reflect the difference of cumulative deformation characteristics of high-temperature permafrost induced by the group structure change.

Graphical abstract

关键词

高温冻土 / 累积塑性应变模型 / 车辆荷载 / Eshelby夹杂理论

Key words

high-temperature permafrost / cumulative plasticstrain model / vehicle loading / Eshelby inclusion theory

冻土地基累积塑性变形预测是寒区公路工程中亟需解决的关键科学问题之一，目前已有一定的研究成果。Lu等^[1]通过考虑冻融循环与动应力对土体应变的影响，建立了相应的预测模型，该模型可以在考虑多因素作用下土体变形发展趋势。刘家顺等^[2]采用双Abel黏壶，建立了间歇性加载方式下的累积塑性应变模型，与其他模型相比，该模型在间接性加载条件下可以对全应变阶段进行预测且吻合度较好。崔高航等^[3]通过对土样进行不同冻融循环处理，分析得到不同动应力下累积应变随振次的变化规律，提出一种新的累积塑性应变拟合模型，但该模型更符合“稳定型”累积塑性应变曲线形态。张斌龙等^[4]进行了一系列考虑围压影响的动三轴试验和纯主应力轴旋转试验，并建立了冻结黏土塑性安定和塑性蠕变临界动应力表达式，证实了主应力轴旋转条件下冻结黏土临界动应力在显著降低。综上而言，针对冻土累积塑性应变的研究，学者们主要通过改变加载方式或者试验条件，分析应力、频率、围压等因素对累积塑性应变的影响，提出相应的预测模型，这些模型可以反映动荷载作用大小、频率等的影响。随着全球气温的上升，高温冻土在多年冻土区占比不断加大，对于这种特殊冻土而言，其相变剧烈，温度的微小改变即会引起较大的组构变化。冰水含量不同，冻土的累积塑性变形特征明显不同。因此用已有的累积塑性变形预测模型来预测高温冻土地基在交通荷载作用下变形会出现较大误差。

本文利用Eshelby夹杂理论^[5]将高温冻土等效为含冰的夹杂体，分析了冰含量对高温冻土等效变形模量的影响规律。在此基础上建立了能够反映组构变化的高温冻土累积塑性应变修正模型，并且利用室内试验方法对模型进行了验证，从而为高温冻土区公路工程变形预测提供了理论计算方法。

1 Eshelby夹杂理论

假设一个无限大的均匀且各向同性的弹性体M，其内部有一区域Q（包裹体），包裹体在非外界环境作用下会自然发生永久变形{\epsilon }^{*}（本征应变）。M与Q在受到弹性因素影响时，由于二者材料性质差异，除了其本身应变之外，还将产生一个扰动应变{\epsilon }_{\alpha }。Eshelby将夹杂体视为与基体相同材料，利用夹杂体内部等效本征应变产生的扰动场来模拟这一扰动过程，从而提出等效夹杂理论：

L_{\mathrm{1}}\left({\epsilon }^v+{\epsilon }_{\alpha }\right)=L_s\left({\epsilon }^v+{\epsilon }_{\alpha }-{\epsilon }^{*}\right)(1)

其中：L_s与L_{\mathrm{1}}为变形模量张量，{\epsilon }^v为弹性体的应变。

2 基于Eshelby夹杂理论的高温冻土等效变形模量

把高温冻土等效为含冰晶夹杂的弹性体^[6]，忽略孔隙中的未冻水。图1为等效简化示意图。

假设高温冻土在边界上受到均匀应力{\sigma }^{\nu }的作用，若有一形状相同的匀质材料，其弹性模量与基体弹性模量相同，则在同样的外力作用下，它的本构关系为

{\sigma }^v=L_s{\epsilon }^v(2)

式中，L_s为基体材料的变形模量张量。

因冰夹杂体的存在，实际冻土中基体的平均应变不同于{\epsilon }^v，由于基体与冰夹杂体之间的相互作用产生一个扰动的应变{\epsilon }_{\alpha }，这时材料基体中的平均应力为

{\sigma }_s=L_s\left({\epsilon }^v+{\epsilon }_{\alpha }\right)(3)

显然，基体中的扰动应力为

{\sigma }_{\alpha }=L_s{\epsilon }_{\alpha }(4)

由于材料弹性性质的差别，在外力场作用下复合材料夹杂相内的平均应力和平均应变又不同于基体内的相应平均值，设它们的差值为{\sigma }^{\text{'}}与{\epsilon }^{\text{'}}。因此在基体平均背应力{\sigma }_s基础上的夹杂应力扰动问题可以用Eshelby等效夹杂原理来处理，即

{\sigma }_{\mathrm{1}}={\sigma }_s+{\sigma }^{\text{'}}(5)

将式(1)、(2)、(3)代入式(5)中得

{\sigma }^{\text{'}}=L_s\left({\epsilon }^{\text{'}}-{\epsilon }^{*}\right)(6)

{\sigma }_{\mathrm{1}}=L_s\left({\epsilon }^v+{\epsilon }_{\alpha }+{\epsilon }^{\text{'}}-{\epsilon }^{*}\right)(7)

或

{\sigma }_{\mathrm{1}}=L_{\mathrm{1}}\left({\epsilon }^v+{\epsilon }_{\alpha }+{\epsilon }^{\text{'}}\right)(8)

式中：{\sigma }^{\text{'}}、{\epsilon }^{\text{'}}为单个夹杂的存在引起的扰动应力与应变。利用Eshelby的推导结果：

{\epsilon }^{\text{'}}=S{\epsilon }^{*}(9)

式中：S为4阶Eshelby张量，与基体的弹性性质和夹杂的形状有关。

结合式(6)、(9)得

{\epsilon }^{\text{'}}=L_s\left(S-I\right){\epsilon }^{*}(10)

式中，I是单位张量。

视高温冻土为弹性复合材料，复合材料的平均体积应力等于{\sigma }^v，根据多孔介质应力方程^[7]得

{\sigma }^v=\left(\mathrm{1}-C_{\mathrm{1}}\right){\sigma }_s+C_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{1}}(11)

其中，C_{\mathrm{1}}是冰夹杂相的体积比例。

将式(3)、(5)代入式(11)中得

{\sigma }_{\alpha }=-C_{\mathrm{1}}{\sigma }^{\text{'}}(12)

{\epsilon }_{\alpha }=-C_{\mathrm{1}}\left({\epsilon }^{\text{'}}-{\epsilon }^{*}\right)=-C_{\mathrm{1}}\left(S-I\right){\epsilon }^{*}(13)

通过式(9)、(13)分别代入式(7)或(8)中,可以得到

{\epsilon }^{*}=A{\epsilon }^v(14)

其中：

A={\left\{L_s+\left(L_{\mathrm{1}}-L_s\right)\left[C_{\mathrm{1}}I+\left(\mathrm{1}-C_{\mathrm{1}}\right)S\right]\right\}}^{-\mathrm{1}}\left\{L_s-L_{\mathrm{1}}\right\}。

同样，高温冻土内部的平均应变\overline{\epsilon }为

\overline{\epsilon }={\epsilon }^v+C_{\mathrm{1}}{\epsilon }^{*}=\left(I+C_{\mathrm{1}}A\right){L_s}^{-\mathrm{1}}{\sigma }^v(15)

由此得到高温冻土的等效变形模量张量L

L={\left(I+C_{\mathrm{1}}A\right)}^{-\mathrm{1}}{L}_s(16)

式(16)是一个显式的表达式，由此可以清楚地看到冰体积含量对高温冻土的等效变形模量有影响。高温冻土中冰含量增加，引起高温冻土等效变形模量增加，造成累积塑性应变减小。

3 高温冻土累积塑性应变修正模型

Monismith累积塑性应变模型应用较为广泛，表达式简单、参数少。本文选取此模型作为理论基础进行修正模型的建立。

通过对式(16)进行变形可知，冰含量的变化最终所引起的是E_s/E值的变化，二者呈负相关。其中：E_s为土骨架颗粒变形模量，E为土体的等效变形模量。将E_s/E引入Monismith模型中可得

\epsilon =a{E}_s{E}^{-\mathrm{1}}{N}^b(17)

其中，a为模量比系数。

式(17)所表达的模型，如果忽略温度变化后冰水相变引起的土颗粒重分布，则在相变过程中土骨架颗粒变形模量E_s为一个定值，相变会引起土体等效变形模量的变化。冰含量增加，土体等效变形模量增加，冻土累积变形减小，反之，冰含量减小，土体等效变形模量减小，冻土累积塑性变形增加。因此，该修正模型能够反映组构的变化或者温度的变化，是具有反映高温冻土特点的累积塑性变形模型。

4 模型验证

4.1 试样制备

根据双电层理论^[8-9]，冻土中黏粒含量的改变会引起冰含量的变化，因此本文拟通过制备不同黏粒含量的高温冻土试样来模拟不同冰含量的多年冻土。

取标准砂与蒙脱石土共200 g，其中蒙脱石土占总质量的百分比为10%、12%、15%、20%，加10%的水，制作三轴试验试样，试样直径38 mm，高度76 mm，将试样放置于真空饱水仪中饱水。

对土样进行液塑限的测定，计算塑性指数，并进行饱水含水率的测试，结果见表1。

采用MesoMR23-060V-I低温核磁共振测试系统（见图2）进行不同黏粒含量高温冻土在-0.2、-0.5、-1.0、-1.5 ℃下的未冻水含量的测试。

试验测试结果见表2。从表中可以看出，温度越高、黏粒含量越大，未冻水含量越大。

未冻水含量与冰含量之和等于冻土的总含水率。用冻土的总含水率减去试验得到的未冻水含量（表2）便得到试验冻土样的冰含量，并绘制冰含量与黏粒含量的关系曲线（见图3）。可见试验土样在同温度下，黏粒含量越大，冰含量的绝对值越大。

4.2 不同冰含量试样的累积塑性变形试验

试验采用美国GCTS公司生产的STX-100动三轴测试仪，如图4所示。该设备的最大轴压25 kN，轴向最大频率10 Hz，最大行程50 mm，最大围压2 MPa。外接有低温恒温液浴循环两用装置，通过控制低温箱内冷却液的温度，使冷却液通过外接的耐低温管路在低温箱与试验腔室内壁之间不断循环流动，与腔室内的酒精进行热交换以达到最终控制腔室内试件温度的目的。温度控制范围为-50~200 ℃，温度控制精度±0.1 ℃。

试验采用周期性正弦荷载模拟车辆动荷载^[10]，围压20 kPa。采用等压固结的形式，待固结稳定后，再施加动应力。具体的加载方式如图5所示。

将制备好的饱水试件放置于低温箱中冻结到-30 ℃，冻结时间24 h，然后取样安装于三轴冷冻腔室中，设置腔室温度为预定的试验温度(-0.2、-0.5、-1.0、-1.5 ℃)，静置24 h以上，待腔室温度显示始终恒定在试验温度时，认为试样温度达到试验温度且内部温度均匀。

本文试验采用的“破坏应变标准”根据我国《地基动力特性测试规范》(GB/T 50269—2015)^[11]，取土样的弹性应变与塑性应变之和等于20%作为破坏标准，若试样最终变形没达到20%，则试验在循环次数N=10 000时自动终止。

4.3 修正模型对低温动三轴试验结果的预测

图6~图9为修正模型对试验数据的拟合结果。通过对比图可知，在各温度条件下，模型数据与试验数据具有较好的吻合度，应变趋势大致相同。表明修正模型对破坏型、稳定型两种曲线都具有很好的拟合效果，用此模型来预测高温冻土累积塑性应变具有较高的可靠性。

表3为修正模型各参数取值，结合图3可以看出，冰含量随着黏粒含量的增大而增大，相应的模量比在减小，从而造成累积塑性应变减小，这与前文所得到的结论是一致的。

5 结论

1) 运用Eshelby等效夹杂理论得到高温冻土等效变形模量，可以看出冰含量与等效变形模量呈正相关，与模量比呈负相关。

2) 在温度降低黏粒含量增大的同时，土样累积塑性应变在逐渐减小，累积塑性应变曲线从破坏型向稳定型过渡。

3) 通过引入模量比得到的修正M模型可以反映组构变化引起的冻土累积塑性变形，从而可以预测高温冻土地基的累积塑性变形。

4) 修正M模型对试验数据具有较好的拟合度。对不同黏粒含量的高温冻土，可考虑采用此模型对其累积塑性应变进行预测。修正模型一方面反映了冰含量对高温冻土累积塑性应变的影响规律，另一方面，模量比的引入降低了数据的离散性，使其与实际试验数据点更加接近。

5) 修正模型只考虑了冰夹杂相对高温冻土累积塑性应变的影响，然而在实际工况中，饱和高温冻土中存在一部分未冻水，其对土体的变形也会产生影响，因此在后续研究中可以考虑未冻水与冰共同耦合作用下对高温冻土累积塑性应变的影响，并在模型中予以体现。

参考文献

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