（2+1）维potential Kadomtsev-Petviashvili方程的有理解

Rational solutions for the (2+1)-dimensional potential Kadomtsev-Petviashvili equation

摘要

基于Hirota双线性方法，求得一类potential Kadomtsev-Petviashvili（pKP）方程的有理解，并对该解作出了证明，进而求得方程的lump解、高阶lump解和多lump解，同时通过图像展现了两种lump波的不同碰撞方式，分析了多个lump波碰撞的动力学性质。

Abstract

The rational solutions are obtained and proved for a class of potential Kadomtsev-Petviashvili (pKP) equations by the Hirota bilinear method. The lump solution, high-order-lump solution, and multi-lump solution are obtained and proved. The different collision modes of the two types of lump waves are shown by images and the dynamics of multiple lump wave collisions is analyzed.

Graphical abstract

关键词

lump解 / Hirota双线性 / potential Kadomtsev-Petviashvili方程

Key words

lump solution / hirota bilinear form / potential Kadomtsev-Petviashvili equation

求解非线性偏微分方程是一个重要的课题，对于海洋动力学、非线性Boussinesq方程及其多孤子解^[1]、等离子体物理学、非线性光学等领域的研究起着非常重要的作用。近年来，求解非线性偏微分方程精确解的方法有很多种，例如逆散射变换法^[2]、达布变换法^[3]、齐次平衡法^[4]、双曲函数法^[5]，G′/G展开法^[6-7]等。

Lump解最早是由Zakharov和Manakov提出的，是有理解的一种，出现于许多的物理现象中^[8]，例如等离子体、浅水波、光学介质和玻色-爱因斯坦凝聚物等^[9-12]。

1970年，Kadomtsev等^[13]提出了一个二维色散波方程，研究了KdV方程在弱横向扰动影响下孤子解的稳定性，这个方程现在被称为KP方程(Ka-domtsev-Petviashvili，KP)^[14]，KP方程是孤子方程中最基本的可积方程之一。(2+1)维方程(potential Kado-mtsev-Petviashvili，pKP)是一类KP型方程，用于表示物理和数学中出现的线性问题，自(2+1)维pKP方程被发现以来，一些专家和学者研究了该方程的行波解、线性孤波解、类孤子解以及一些数值解^[15-19]。

近年来，Hirota双线性方法成为了求解非线性偏微分方程精确解的有力工具^[20]。本文通过Hirota双线性方法^[21]求得该方程的双线性形式，并运用Pfaff式求证了pKP方程有理解的一般形式，获得了该方程的lump解、High-order lump解以及Multi-lump解，并分析了High-order lump解和Multi-lump解中lump波不同的动力学性质。

1 pKP方程有理解的推导

本文所研究的(2+1)维pKP方程形式如下^[22]：

u_{xt}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{u}_x{u}_{xx}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{u}_{xxxx}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{u}_{yy}=\mathrm{0}(1)

利用变换

u=\frac{\mathrm{12}{\alpha }_{\mathrm{2}}}{{\alpha }_{\mathrm{1}}}{(\mathrm{l}\mathrm{n}f)}_x(2)

将(2+1)维pKP方程转化为Hirota双线性方程

\begin{array}{l}(D_x{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{2}}{D}_x^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{D}_y^{\mathrm{2}})f\cdot f\\ =f{f}_{xt}-f_t{f}_x+{\alpha }_{\mathrm{2}}(\mathrm{3}{f}_{xx}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{f}_x{f}_{\mathrm{3}x}\\ +f{f}_{\mathrm{4}x})+{\alpha }_{\mathrm{3}}(f{f}_{yy}-f_y^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}\end{array}(3)

定理1　方程(3)有N\times N阶行列式实数解f={\tau }_n，其中

\left\{\begin{array}{l}{\tau }_n=\underset{\mathrm{1}\le i,j\le N}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}(m_{ij}^{(n)})\\ m_{ij}^{(n)}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n_j}}{c}_{jk}(p_j{\partial }_{p_j}+{\xi }_j{)}^{n_j-k}\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{n_i}}{d}_{il}(q_i{\partial }_{q_i}+{\eta }_i{)}^{n_i-l}\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}\\ {\xi }_j=p_{j}x+\mathrm{2}i{p}_j^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{p}_j^{\mathrm{3}}t\\ {\eta }_i=q_{i}x-\mathrm{2}i{q}_i^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{q}_i^{\mathrm{3}}t\\ c_{ik}={\overline{d}}_{ik},q_j={\overline{p}}_j\end{array}\right.(4)

其中，n_i,n_j是任意的正整数，p_j,c_{ik}是任意复常数。在一般情况下，设c_{i\mathrm{0}}=\mathrm{1}，c_{ij}=\mathrm{0}(i,j\ne \mathrm{0})上述解被称为阶数为N的n有理解。

对定理1进行证明，首先证明方程(3)存在N\times N阶矩阵实数解f={\tau }_n。

引入m_{ij}^{(n)},{\phi }_i^{(n)},{\psi }_j^{(n)}是关于x,y,t的函数，并满足以下条件

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial m_{ij}^{(n)}}{\partial x}={\phi }_i^{(n)}{\psi }_j^{(n)}\\ \frac{\partial m_{ij}^{(n)}}{\partial y}={\phi }_i^{(n-\mathrm{1})}{\psi }_j^{(n)}+{\phi }_i^{(n)}{\psi }_j^{(n+\mathrm{1})}\\ \frac{\partial m_{ij}^{(n)}}{\partial t}={\phi }_i^{(n-\mathrm{2})}{\psi }_j^{(n)}+{\phi }_i^{(n-\mathrm{1})}{\psi }_j^{(n+\mathrm{1})}+{\phi }_i^{(n)}{\psi }_j^{(n+\mathrm{2})}\end{array}\right.(5)

根据Pfaff式，行列式{\tau }_n满足

{\tau }_n=\underset{\mathrm{1}\le i,j\le N}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}(m_{ij}^{(n)})=(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\dots ,N,N^{\mathrm{*}},\dots ,{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})(6)

假设式(6)满足双线性方程

(D_x{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{2}}{D}_x^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{D}_y^{\mathrm{2}}){\tau }_n\cdot {\tau }_n=\mathrm{0}(7)

为了方便计算，引入Pfaff式

\left\{\begin{array}{l}{m}_{ij}^{(n)}=(i,j^{\mathrm{*}}),(i,j)=(i^{\mathrm{*}},j^{\mathrm{*}})=\mathrm{0}\\ {\tau }_n=(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\dots ,N,N^{\mathrm{*}},\dots ,{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}},{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}})=(\cdot )\\ (b_m,j^{\mathrm{*}})=\frac{{\partial }^m}{\partial x^m}{\psi }_j^{(n)},(d_m,i)=\frac{{\partial }^m}{\partial x^m}{\phi }_i^{(n)}\\ (b_m,i)=(d_m,j^{\mathrm{*}})=(b_m,d_m)=\mathrm{0}\end{array}\right.(8)

根据式(5)和式(8)，经过计算可以得到关于m_{ij}^{(n)}的偏导数

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}{m}_{ij}^{(n)}=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},i,j^{\mathrm{*}})\\ \frac{\partial }{\partial y}{m}_{ij}^{(n)}=(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{0}},i,j^{\mathrm{*}})-(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{1}},i,j^{\mathrm{*}})\\ \frac{\partial }{\partial t}{m}_{ij}^{(n)}=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{2}},i,j^{\mathrm{*}})- (b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},i,j^{\mathrm{*}})+(b_{\mathrm{2}},d_{\mathrm{0}},i,j^{\mathrm{*}})\end{array}\right.(9)

再根据式(8)和式(9)，利用Pfaff的相关性质及以上运算可得

\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial x}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{\partial }{\partial y}{\tau }_n=(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{0}},\cdot )-(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{1}},\cdot )\\ \frac{\partial }{\partial t}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{2}},\cdot )-(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+ (b_{\mathrm{2}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{3}}}{\partial x^{\mathrm{3}}}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{2}},\cdot )+\mathrm{2}(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+(b_{\mathrm{2}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{4}}}{\partial x^{\mathrm{4}}}{\tau }_n= \mathrm{2}(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+\mathrm{3}(b_{\mathrm{2}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+ (b_{\mathrm{3}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ +(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{3}},\cdot )+\mathrm{3}(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial t}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{3}},\cdot )+(b_{\mathrm{3}},d_{\mathrm{0}},\cdot )-(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}{\tau }_n=\mathrm{2}(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )- (b_{\mathrm{2}},d_{\mathrm{1}},\cdot )+ (b_{\mathrm{3}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ +(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{3}},\cdot )-(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{2}},\cdot )\end{array}\right.(10)

由于

\begin{array}{l}\left(D_x{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{2}}{D}_x^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{3}}{D}_y^{\mathrm{2}}\right){\tau }_n\cdot {\tau }_n=\left({\alpha }_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{4}}}{\partial x^{\mathrm{4}}}{\tau }_n+\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial t}{\tau }_n+{\alpha }_{\mathrm{3}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}{\tau }_n\right){\tau }_n\\ - \left(\mathrm{4}{\alpha }_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{3}}}{\partial x^{\mathrm{3}}}{\tau }_n-\frac{\partial }{\partial t}{\tau }_n\right) \frac{\partial }{\partial x}{\tau }_n+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{2}}{\left(\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}{\tau }_n\right)}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{3}}{\left(\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_n\right)}^{\mathrm{2}}\end{array}(11)

根据方程组(11)得

\left\{\begin{array}{l}{\tau }_n=(\cdot ),\frac{\partial }{\partial x}{\tau }_n=(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}{\tau }_n-\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_n=\mathrm{2}(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{1}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x^{\mathrm{2}}}{\tau }_n+\frac{\partial }{\partial y}{\tau }_n=\mathrm{2}(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{0}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{3}}}{\partial x^{\mathrm{3}}}{\tau }_n-\frac{\partial }{\partial t}{\tau }_n=\mathrm{3}(b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )\\ \frac{{\partial }^{\mathrm{4}}}{\partial x^{\mathrm{4}}}{\tau }_n-\mathrm{4}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial x\partial t}{\tau }_n+\mathrm{3}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}}{\partial y^{\mathrm{2}}}{\tau }_n=\mathrm{12}(b_{\mathrm{0}},d_{\mathrm{0}},b_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}},\cdot )\end{array}\right.(12)

将式(12)代入式(11)中，可求得当{\alpha }_{\mathrm{1}}={\alpha }_{\mathrm{1}}，{\alpha }_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}，{\alpha }_{\mathrm{3}}=-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}时，方程(7)成立。

综上所述，f={\tau }_n是双线性方程(3)的解，该双线性方程所对应的pKP方程的非线性偏微分方程形式如下：

u_{xt}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{u}_x{u}_{xx}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{u}_{xxxx}-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{u}_{yy}=\mathrm{0}(13)

接下来证明

\left\{\begin{array}{l}{\tau }_n=\underset{\mathrm{1}\le i,j\le N}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}(m_{ij}^{(n)})\\ m_{ij}^{(n)}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n_j}}{c}_{jk}(p_j{\partial }_{p_j}+{\xi }_j{)}^{n_j-k}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{n_i}}{d}_{il}(q_i{\partial }_{q_i}+{\eta }_i{)}^{n_i-l}\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}\end{array}\right.(14)

对于此部分的证明，文献[23-24]中有详细阐述，由于篇幅限制，本文只作粗略证明。

首先将m_{ij}^{(n)},{\phi }_i^{(n)},{\psi }_j^{(n)}取以下函数

\begin{array}{l}{\psi }_j^{(n)}=A_j{p}_j^n{e}^{{\xi }_j},{\phi }_i^{(n)}=B_i{\left(-q_i\right)}^{-n}{e}^{{\eta }_i},d_{ij}^{(n)}=\mathrm{0}\\ m_{ij}^{(n)}=A_j{B}_i\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}{\left(-\frac{P_j}{q_i}\right)}^n{e}^{{\xi }_j+{\eta }_i}\end{array}(15)

其中

\begin{array}{l}{\xi }_j=p_j{x}_{\mathrm{1}}+p_j^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+p_j^{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}},{\eta }_i=q_i{x}_{\mathrm{1}}-q_i^{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}}+q_i^{\mathrm{3}}{x}_{\mathrm{3}}\\ A_j={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n_j}}{c}_{jk}{\left(p_j{\partial }_{p_j}\right)}^{n_j-k},B_i={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{n_i}}{d}_q{\left(q_i{\partial }_{q_i}\right)}^{n_i-l}\end{array}(16)

上式中，p_j,q_i,c_{jk},d_{il}为任意复数，n_j,n_i为任意正整数。将A_j,B_i代入方程(15)中，可以得到

\left\{\begin{array}{l}\left(p_j{\partial }_{p_j}\right)p_j^n{e}^{{\xi }_j}=p_j\left(n{p}_j^{n-\mathrm{1}}{e}^{{\xi }_j}+p_j^n{e}^{{\xi }_j}{\partial }_{p_j}{\xi }_j^n+p_j^n{e}^{{\xi }_j}{\partial }_{p_j}\right)\\ = e^{{\xi }_j}{p}_j^n\left(p_j{\partial }_{p_j}+p_j{\partial }_{p_j}{\xi }_j+n\right)\\ =e^{{\xi }_j}{p}_j^n\left(p_j{\partial }_{p_j}+\widehat{{\xi }_j}+n\right)\\ \left(q_i{\partial }_{q_i}\right){\left(-q_i\right)}^{-n}{e}^{{\eta }_i} =q_i(-n(-q_i{)}^{-n-\mathrm{1}}{e}^{{\eta }_i}\\ +(-q_i{)}^{-n}{e}^{{\eta }_i}{\partial }_{q_i}{\eta }_i+(-q_i{)}^{-n}{e}^{{\eta }_i}{\partial }_{q_i})n\\ =e^{{\eta }_i}(-q_i{)}^{-n}(q_i{\partial }_{q_i}+q_i{\partial }_{q_i}{\eta }_i-n)n\\ =e^{{\eta }_i}{\left(-q_i\right)}^{-n}(q_i{\partial }_{q_i}+{\widehat{\eta }}_i-n)\end{array}\right.(17)

其中，{\widehat{\xi }}_j=p_j{\partial }_{p_j}{\xi }_j，\widehat{{\eta }_i}=q_i{\partial }_{q_i}{\eta }_i。由此，函数m_{ij}^{(n)}被化简成

\begin{array}{l}{m}_{ij}^{(n)}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n_j}}{c}_{jk}{\left(p_j{\partial }_{p_j}\right)}^{n_j-k}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^n}{d}_{il}{\left(q_i{\partial }_{q_i}\right)}^{n_i-l}\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}{\left(-\frac{P_j}{q_i}\right)}^n{e}^{{\xi }_j+\eta }\\ =e^{{\xi }_i+{\eta }_i}{\left(-\frac{P_j}{q_i}\right)}^n{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{n_j}}{c}_{jk}{\left(p_j{\partial }_{p_j}+{\widehat{\zeta }}_j+n\right)}^{n_j-k}\\ {\displaystyle \sum _{l=\mathrm{0}}^{n_i}}{d}_{ii}{\left(q_i{\partial }_{q_i}+\widehat{{\eta }_i}-n\right)}^{n_i-l}\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}\end{array}(18)

因此以m_{ij}^{(n)}为元素的行列式{\tau }_n满足方程(7)，进而证得f={\tau }_n是方程(13)的解。

为简便且不失一般性，在本文中统一取c_{i\mathrm{0}}=\mathrm{0},c_{ij}=\mathrm{0}(i,j\ne \mathrm{0})。

2 基本Lump解

当N=\mathrm{1}，n=\mathrm{1}时，可以得到pKP方程(13)的最基本二次函数解，此时

\begin{array}{l}f=(p_{\mathrm{1}}{\partial }_{p_{\mathrm{1}}}+{\xi }_{\mathrm{1}})(q_{\mathrm{1}}{\partial }_{q_{\mathrm{1}}}+{\eta }_{\mathrm{1}})\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}}\\ =\frac{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+{\eta }_{\mathrm{1}}\right){\xi }_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+{\xi }_{\mathrm{1}}\right)}{{\left(p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{3}}}\\ +\frac{p_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}+{\xi }_{\mathrm{1}}+{\eta }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{\xi }_{\mathrm{1}}\right)\right)}{{\left(p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{3}}}\end{array}(19)

其中

\left\{\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}i,q_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}i\\ \xi =p_{\mathrm{1}}x+\mathrm{2}i{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t\\ \eta =q_{\mathrm{1}}x-\mathrm{2}i{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t\end{array}\right.(20)

由此，可得出原方程的lump解

u(x,y,t)=\frac{-\mathrm{4}\left(a_{\mathrm{1}}+\mathrm{6}t{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2}{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{\Theta }+\mathrm{2}\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }-a_{\mathrm{1}}-\mathrm{6}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t)}(21)

其中

\begin{array}{l}\mathrm{\Theta }=\mathrm{1}+\mathrm{6}t{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{18}{t}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{6}}+\mathrm{4}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}},\\ \mathrm{\Delta }=a_{\mathrm{1}}(x-\mathrm{2}y{b}_{\mathrm{1}}+\mathrm{3}t{b}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}),\end{array}

选取参数a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，b_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1}，{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，可以得到方程(13)的lump解图像，如图1所示。

3 High-order-lump解

取定N=\mathrm{1}，再通过取不同值的n，可以得到相应的pKP方程的n-order-lump解。

根据定理1，设方程双线性形式的解为

f=(p_{\mathrm{1}}{\partial }_{p_{\mathrm{1}}}+{\xi }_{\mathrm{1}}{)}^n(q_{\mathrm{1}}{\partial }_{q_{\mathrm{1}}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{)}^n\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}}(22)

3.1 2-order-lump解

当n=\mathrm{2}时，可以得到pKP方程(13)的二阶解，即2-order-lump解

\begin{array}{l}f=(p_{\mathrm{1}}{\partial }_{p_{\mathrm{1}}}+{\xi }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}(q_{\mathrm{1}}{\partial }_{q_{\mathrm{1}}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}}\\ =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}}({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\frac{p_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{1}}}{\xi }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}-\frac{p_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}}\\ +\frac{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+q_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}+p_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+q_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{1}}}({\xi }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}})\\ +\frac{\mathrm{2}(a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})}{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}}+(a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}){\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}-\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}}({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}})\\ +\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}(q_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}+p_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{\text{'}}}) +\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}({\xi }_{\mathrm{1}}+{\eta }_{\mathrm{1}})\\ - \frac{\mathrm{3}(a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}} (q_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{1}}+p_{\mathrm{1}}{\eta }_{\mathrm{1}})-\frac{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{3}(a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}})(\mathrm{23})\end{array}

其中，p_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}i,q_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}i，\xi =p_{\mathrm{1}}x+\mathrm{2}i{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t，\eta =q_{\mathrm{1}}x-\mathrm{2}i{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t。相应的，可得出原方程的2-order-lump解

u(x,y,t)=-\frac{\mathrm{3}}{{\alpha }_{\mathrm{1}}}(\mathrm{l}\mathrm{n}f{(x,y,t))}_x(24)

选取参数a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，b_{\mathrm{1}}=-\mathrm{0.5}，{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，可以得到方程(13)的2-order-lump解的图像，如图2所示。

2-order-lump解为两个lump波的相互作用，当时，两个lump波在对称轴两侧，且无限靠近对称轴做运动。当t=\mathrm{0}时，两个波最终完全融合在一起。随着时间的变化，当t>\mathrm{0}时，两个波逐渐脱离原本的对称轴同时向右移动。

3.2 3-order-lump解

当n=\mathrm{3}时，可以得到pKP方程(13)的三阶解，即3-order-lump解为

f=(p_{\mathrm{1}}{\partial }_{p_{\mathrm{1}}}+{\xi }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{3}} (q_{\mathrm{1}}{\partial }_{q_{\mathrm{1}}}+{\eta }_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}+q_{\mathrm{1}}}(25)

其中，p_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}i,q_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}i，\xi =p_{\mathrm{1}}x+\mathrm{2}i{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t，\eta =q_{\mathrm{1}}x-\mathrm{2}i{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}y-\mathrm{3}{q}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}t，由于该解的表达式过于复杂，在此不具体给出。

选取参数a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，b_{\mathrm{1}}=-\mathrm{0.5}，{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，可以得到方程(13)的3-order-lump解的图像，如图3所示。

3-order-lump解为三个lump波的相互作用，其运动规律与2-order-lump解相似。当时，三个lump波围绕对称轴进行运动，并无限靠近对称轴做运动。当t=\mathrm{0}时，三个波最终融合。随着时间的变化，当t>\mathrm{0}时，三个波会脱离原有的对称轴向右运动。

4 Multi-lump解

取n=\mathrm{1}，由定理1可知，pKP方程的双线性形式的Multi-lump解有如下表达形式

\left\{\begin{array}{l}f= {\tau }_n=\underset{\mathrm{1}\le i,j\le N}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}}(m_{ij}^{(n)})\\ m_{ij}^{(n)}=(p_j{\partial }_{p_j}+{\xi }_j)(q_i{\partial }_{q_i}+{\eta }_i)\frac{\mathrm{1}}{p_j+q_i}\end{array}\right.(26)

其中

\begin{array}{l}{p}_j=a_j+b_{j}i,p_j=a_j-b_{j}i,\\ {\xi }_j=p_{j}x+\mathrm{2}yi{p}_j^{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

4.1 2-lump解

当N=\mathrm{2}时，可以得到pKP方程(13)的2-lump解，可表示为

\left\{\begin{array}{l}u(x,y,t)=-\frac{\mathrm{3}}{{\alpha }_{\mathrm{1}}}(\mathrm{l}\mathrm{n}f{(x,y,t))}_x\\ f(x,y,t)=\left|\begin{array}{cc}{m}_{\mathrm{11}}& m_{\mathrm{12}}\\ m_{\mathrm{21}}& m_{\mathrm{22}}\end{array}\right|\end{array}\right.(27)

此处m_{ij}(i,j=\mathrm{1},\mathrm{2})在式(26)中被定义。

给定a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{2}}=\mathrm{2},b_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1},b_{\mathrm{2}}=\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，可以得到相应的2-lump解的三维图及等高线图（如图4）。

2-lump解依旧是两个lump波的相互作用。当t=\mathrm{0}时，两个lump波在x=\mathrm{0},y=\mathrm{0}处完全融合，但是与图2对比不难发现，lump波在2-order-lump解与2-lump解中的碰撞方式不同，2-lump解中的lump波不再围绕对称轴进行移动，穿过两个波中心的线也不再呈直线，而是曲线，两波围绕曲线做无规则运动。

4.2 3-lump解

当N=\mathrm{3}时，可以得到pKP方程(13)的3-lump解，可表示为

\left\{\begin{array}{l}u(x,y,t)=-\frac{\mathrm{3}}{{\alpha }_{\mathrm{1}}}(\mathrm{l}\mathrm{n}f{(x,y,t))}_x\\ f(x,y,t)=\left|\begin{array}{ccc}{m}_{\mathrm{11}}& m_{\mathrm{12}}& m_{\mathrm{13}}\\ m_{\mathrm{21}}& m_{\mathrm{22}}& m_{\mathrm{23}}\\ m_{\mathrm{31}}& m_{\mathrm{32}}& m_{\mathrm{33}}\end{array}\right|\end{array}\right.(28)

此处m_{ij}(i,j=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3})在式(26)中被定义。

给定a_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{2}}=\mathrm{2},a_{\mathrm{3}}=\mathrm{1},b_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},b_{\mathrm{2}}=-\mathrm{2},b_{\mathrm{3}}=-\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，可以得到相应的3-lump解的三维图及等高线图（如图5）。

3-lump解是三个lump波的相互作用，由图5与图3对比可以发现，图5中没有明显的对称轴。当t\ne \mathrm{0}时，三个lump波围绕一条曲线做无规则运动，当t=\mathrm{0}时，三个lump波在x=\mathrm{0},y=\mathrm{0}处完全融合为一个lump波。

5 结论

本文运用广田双线性方法，借助Pfaff式，证明得出了一类pKP方程的有理解通式，进而求得了方程的lump解，并对N和n取不同值时，可得到两种不同的lump波的碰撞形式，分别如图2、图3、图4、图5所示。其中High-order-lump解中的lump波围绕一条对称轴进行运动，当时，波无限向对称轴靠近；随着时间的变化，当t=\mathrm{0}时，两个波完全融合在一起；t>\mathrm{0}时，波逐渐脱离原有的对称轴向右移动；而在Multi-lump解中，当t\ne \mathrm{0}时，波围绕着一条曲线进行无规则运动；当t=\mathrm{0}时，波完全融合在一起。

本文通过pKP方程有理解的通式，求得了两种不同lump波的碰撞方式，这种方式所求得解的形式多于符号计算所求得的解，利用有理解的通式还可以求得更丰富的解的形式，这也是接下来工作的重点。

参考文献

[1] 贺艳飞, 尹晓军. 正压流体中具有beta效应的非线性Boussinesq方程及其多孤子解[J]. 内蒙古大学学报, 2024, 55(2): 132.

[2] 艾克霍思 W. 范哈顿 A. 逆散射变换和孤立子理论[M]. 黄迅成, 译. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1984: 22-40.

[3] GU C H. Soliton theory and its applications[M]. Berlin, Heidelberg: Springer, 1995.

[4] 范恩贵, 张鸿庆. 非线性孤子方程的齐次平衡法[J]. 物理学报, 1998, 47(3): 353-362.

[5] 张荣荣, 庞晶. 基于双曲正切与双曲正割函数展开方法构造修正Kawachara方程解[J]. 内蒙古工业大学学报(自然科学版), 2021, 40(6): 401-407.

[6] 庞晶, 靳玲花, 赵强. 变系数非线性发展方程的G′/G展开解[J]. 物理学报, 2012, 61(14): 1-5.

[7] 尹天乐, 庞晶. 基于有理变换的改进辅助方程法在变系数非线性发展方程中的应用[J]. 高校应用数学学报A辑, 2022, 37(3): 297-307.

[8] SMAEL H F, MURAD M A S, BULUT H.M-lump waves and their interaction with multi-soliton solutions for a generalized new (3+1)-dimensional generalized Kadomtsev-Petviashvili equation in (3+1)‍-dimensions[J]. CHINESE JOURNAL OF PHYSICS, 2022, 77(3): 1357-1364.

[9] YAN X Y, LIU J ZH, XIN X P. Soliton solutions and lump-type solutions to the (2+1)‍-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation with variable coefficient[J]. Physics Letters A, 2023, 457: 128574-128582.

[10] CHEN F P, CHEN W X, WANG L, et al. Nonautonomous characteristics of lump solutions for a (2+1)-dimensional Korteweg-de Vries equation with variable coefficients[J]. Applied mathematics letters, 2019, 96: 33-39.

[11] LIU J G, HE Y. Abundant lump and lump-kink solutions for the new (3+1)‍-dimensional generalized Kadomtsev-Petviashvili equation[J]. Nonlinear dynamics, 2018, 92(3): 1103-1108.

[12] YONG X L, MA W X, HUANG Y H, et al. Lump solutions to the kadomtsev-petviashvili I equation with a self-consistent source[J]. Computers & Mathematics With Applications, 2018, 75(9): 3414-3419.

[13] KADOMTSEV B B, PETVIASHVILI V I. On the stability of solitarywaves inweakly dispersive media[J]. Soviet Physics Doc, 1970: 539-541.

[14] LIU M M, YU J P, MA W X, et al. Dynamic analysis of lump solutions based on the dimensionally reduced generalized Hirota bilinear KP-boussinesq equation[J]. Modern Physics Letters B, 2023, 37(9): 2250203.

[15] KAO C Y, KODAMA Y. Numerical study of the KP equation for non-periodic waves[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2012, 82(7): 1185-1218.

[16] SENTHILVELAN M. On the extended applications of Homogenous Balance Method[J]. Applied Mathematics and Computation, 2001, 123(3): 381-388.

[17] GENG J S, ZHANG H Q. Solitary wave solutions, lump solutions and interactional solutions to the (2+1)-dimensional potential kadomstev-petviashvili equation[J]. Modern Physics Letters B Condensed Matter Physics, Statistical Physics, Applied Physics, 2020, 34(4): 2050055-1‒2050055-13.

[18] 李新月, 祁娟娟, 赵敦, 等. 自旋-轨道耦合二分量玻色-爱因斯坦凝聚系统的孤子解[J]. 物理学报, 2023, 72(10): 279-289.

[19] VERMA E A A. New analytical solutions of (3+1)‍- dimensional shallow water wave equation (SWW)‍[J]. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education(TURCOMAT), 2021, 12(2): 3036-3038.

[20] YIN T L, XING Z Q, PANG J. Modified hirota bilinear method to (3+1)-D variable coefficients generalized shallow water wave equation[J]. Nonlinear Dynamics, 2023, 111(11): 9741-9752.

[21] 広田良吾. 孤子理论中的直接方法[M]. 王红艳, 译. 北京: 清华大学出版社, 2008: 58-98.

[22] HOSSEINI K, SADRI K, RABIEI F, et al. The (2+1)‍- dimensional potential kadomtsev-petviashvili equation:its solitons and complexiton-sciencedirect[J]. Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 2022, 5: 100316.

[23] HONG Q S, AI H C. Rational solutions and lump solutions of the potential YTSF equation[J]. Zeitschrift Fur Naturforschung A, 2017, 72(7): 72.

[24] 孙红倩. 基于双线性形式孤子方程的精确解[D]. 上海: 上海理工大学, 2018.

基金资助

国家自然科学基金项目(10561151)

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20220003)

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(ZTY2023008)