基于新忆阻器的异质神经元混沌系统的动力学行为分析及电路实现

Dynamical behaviour analysis and circuit implementation of a heterogeneous neuronal chaotic system based on a novel memristor

摘要

不同神经元的活动具有较大差异，忆阻电磁感应效应在同质神经元中得到了广泛研究，但鲜有在异质神经元中的研究。首先，基于柯西分布函数与双曲正切函数，提出一种新理想型磁控忆阻器，并对该忆阻器进行电路实现。将新理想型磁控忆阻器引入二维Hindmarsh-Rose（HR）神经元与二维FitzHugh-Nagumo（FHN）神经元中，构建具有忆阻电磁感应效应的五维忆阻耦合异质神经元混沌系统。其次，分析该混沌系统的动力学行为，包括相图、庞加莱截面、分岔图、李雅普诺夫指数等。最后，利用Multisim设计该混沌系统吸引子的电路实现，从而验证数值仿真的正确性。结果表明，五维忆阻耦合异质神经元混沌系统能够表现出切分岔、周期、混沌等丰富的非线性动力学行为。

Abstract

The activities of different neurons are quite different. The memristive electromagnetic induction effect has been widely studied in homogeneous neurons, but there is a lack of research of it in heterogeneous neurons. In in this study, firstly, based on Cauchy distribution function and hyperbolic tangent function, a new ideal flux-controlled memristor is proposed, and its circuit implementation is realized. The new ideal flux-controlled memristor is introduced into a two-dimensional Hindmarsh-Rose (HR) neuron and a two-dimensional FitzHugh-Nagumo (FHN) neuron to construct a five-dimensional memristor-coupled heterogeneous neuron chaotic system with memristive electromagnetic induction effect. Secondly, the dynamic behaviors of the chaotic system are analyzed, including phase diagram, Poincaré map, bifurcation diagram, Lyapunov exponents. Finally, the circuit implementation of the chaotic attractors of the chaotic system are designed with Multisim to verify the correctness of the numerical simulation. The results show that the five-dimensional memristor-coupled heterogeneous neuron chaotic system can exhibit rich nonlinear dynamic behaviors such as tangent bifurcation, period and chaos.

Graphical abstract

关键词

磁控忆阻器 / 异质神经元 / 混沌 / 周期 / 电路实现

Key words

flux-controlled memristor / heterogeneous neurons / chaos / period / circuit implementation

1971年，蔡少棠教授首次提出了表征电荷与磁通量关系的电路基本元件^[1]，该元件被命名为忆阻器，忆阻(Memristor)是记忆(Memory)和电阻(Resistor)的合称。忆阻器由于其非线性与独特的记忆特性，已成为除电阻、电容、电感之外不可或缺的第四个基本电路元件。2008年，惠普实验室的研究人员第一次获得物理忆阻器件^[2]。忆阻器的主要表现形式为磁控忆阻器和荷控忆阻器。此外，因忆阻器具有可塑性和非易失性，与神经元突触的可塑性和非易失性十分类似，因此，忆阻器可以模拟神经元的突触^[3-6]。

神经生理学研究表明，大脑神经系统包含数以亿计的神经元细胞。神经元之间存在着丰富的放电动力学行为，比如周期性尖峰放电行为、周期性簇发放电行为，以及更加复杂的混沌放电行为等，而这些放电行为所表现的丰富动力学与人类的许多活动密切相关，诸如思考、记忆、意识、学习等功能，因此，神经动力学得到了研究人员的广泛关注。在过去几十年中，神经科学家们提出了多种神经元模型，在一定程度上模拟人脑神经系统的放电动力学行为。到目前为止，已经提出了许多神经元模型来揭示生物神经元的放电动力学行为，如Hodgkin-Huxley (HH)神经元模型^[7-9]、二维和三维Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型^[10]、Chay神经元模型^[11]、FitHugh-Nagumo (FHN)神经元模型^[12]、Morris-Lecar (ML)神经元模型^[13]、Rulkov神经元模型^[14]等。

此外，在电生理环境中，生物神经元的电活动会受到电磁辐射的影响，产生不同的电活动。而电磁辐射的影响可以通过磁通量来描述，因忆阻器表征了磁通量与电荷之间的关系，从而建立了具有电磁感应效应的神经元和神经网络模型，探讨电磁辐射对神经元和神经网络的影响。比如，Xu等^[15]利用磁控忆阻器模拟电磁感应效应，发现了忆阻威尔逊神经元模型丰富的电活动。Bao等^[16]研究了采用磁控忆阻器模拟具有自反馈突触的神经元模型电磁感应效应的共存放电模式。Chen等^[17]提出了一种具有电磁感应效应的双Hopfield神经元网络动力学行为。

神经元作为庞大的神经系统中的基本组成单位，由于神经元不同的功能，互异性在神经元系统中普遍存在。也正因神经元的互异性，不同的神经元会产生不同的放电模式和动力学行为。单个神经元系统和同质耦合神经元系统得到了广泛的研究，而神经网络中不同类型的耦合神经元能更好地反映真实的生物神经网络，且不同类型的神经元之间可能存在着多种放电模式和动力学行为，为了更准确地模拟生物神经网络，对异质神经元之间的放电模式和动力学行为的研究显得尤为重要。Ding等^[18]发现分数阶忆阻耦合异质Hindmarsh-Rose神经元表现出丰富的放电模式。Bao等^[19]提出了一种忆阻突触耦合异质Morris-Lecar双神经元网络，并探究了初值诱导的多种放电模式。Xu等^[20]提出了异质双Rulkov神经元模型的忆阻电磁感应效应，并研究了其所展现的多稳定性和相位同步问题。丁大为等^[21]研究了分数阶忆阻耦合异质神经元的多稳态现象。

近年来，研究人员通过不断努力，在关于忆阻耦合异质神经元的研究取得了一定的进展，但依旧需要进一步展开对异质神经元之间耦合情况的研究。

在上述工作的基础上，本文提出了一种新的忆阻耦合异质神经元系统。选择一个二维Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型和一个二维FitHugh-Nagumo (FHN)神经元模型，两个神经元具有异质性。将所提出的理想型磁控忆阻器用于表征异质神经元之间的电磁感应效应，利用相图、时域波形、庞加莱截面、分岔图、李雅普诺夫指数等传统的非线性分析工具对其进行了详细研究。研究发现，在电磁感应效应下，新的忆阻耦合异质神经元系统可以表现出丰富的动力学行为。通过Multisim设计了忆阻耦合异质神经元系统的电路实现，进一步验证了理论研究的结果。

1 理想磁控忆阻器的数学模型

根据忆阻器理论，基于柯西分布函数与双曲正切函数，构建理想型磁控忆阻器，其数学模型表示为

\left\{\begin{array}{l}i=W(w)v\\ \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}=v\end{array}\right.(1)

其中，v和i分别是忆阻器的输入电压、输出电流，w为忆阻状态变量，W\left(w\right)是新忆导函数。

W\left(w\right)=\frac{\mathrm{1}}{\pi }\frac{\mathrm{1}}{{\left(w+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(w\right)(2)

1.1 忆阻器特性的验证

在忆阻器两端施加正弦输入电压v=V_m\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{2}\mathrm{\pi }Ft\right)，分析不同的电压幅值V_m，不同的电压频率F，忆阻器的磁滞回线特征。

首先，设定输入电压频率F为10 Hz，在不同的电压幅值V_m=5、8、10 V时，忆阻器可以产生不同旁瓣面积的磁滞回线，如图1(a)所示。其次，设定输入电压幅值V_m=5 V，在不同的电压频率F=2、10、15、300 Hz时，忆阻器可以产生4条通过原点的磁滞回线，如图1(b)所示。

从图1(a)中可见，当固定正弦输入电压的频率时，磁滞回线的旁瓣面积随着正弦输入电压幅值的增大而增大。从图1(b)中可见，当固定正弦输入电压的幅值时，随着正弦输入电压频率的增加，磁滞回线的旁瓣面积越来越小。当正弦输入电压的频率逐步增大至无穷大时，磁滞回线最后会趋向于一条直线，这也表明该理想型磁控忆阻器可以展现出忆阻器的三个基本特征。

1.2 忆阻器的电路实现

基于式(1)和式(2)，设计了理想型磁控忆阻器的模拟等效电路，所设计的忆阻器对应的等效电路如图2(a)所示。首先，输入电压v经由\mathrm{U}\mathrm{1}和C_{\mathrm{1}}组成的积分电路送至反相比例放大器\mathrm{U}\mathrm{2}，\mathrm{U}\mathrm{2}的输出为忆阻状态变量w，然后经过实线框内的双曲正切函数电路和其他的运算放大器、无源电阻以及模拟乘法器，得到输出电流：

\begin{array}{c}i=\frac{R_{\mathrm{17}}{R}_{\mathrm{15}}{V}_{\mathrm{3}}v}{\frac{g^{\mathrm{2}}{R}_{\mathrm{16}}{R}_{\mathrm{14}}{R}_{\mathrm{13}}{R}_{\mathrm{11}}}{R_{\mathrm{12}}{R}_{\mathrm{10}}}{\left(\frac{R_{\mathrm{8}}{R}_{\mathrm{6}}w}{R_{\mathrm{7}}{R}_{\mathrm{5}}}+\frac{R_{\mathrm{8}}{R}_{\mathrm{6}}{V}_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{7}}{R}_{\mathrm{4}}}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{g{R}_{\mathrm{16}}{R}_{\mathrm{14}}{R}_{\mathrm{13}}{R}_{\mathrm{11}}{V}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{12}}{R}_{\mathrm{9}}}}\\ -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(w)v\end{array}(3)

在理想磁控忆阻器的Multisim电路仿真中，设置C_{\mathrm{1}}=\mathrm{100}\mathrm{n}\mathrm{F}，R_{\mathrm{1}}=\mathrm{10}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }。乘法器增益g=\mathrm{1}，R_i\left(i=\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{8},\mathrm{9},\mathrm{10},\mathrm{11},\mathrm{12},\mathrm{13},\mathrm{16},\mathrm{17},\mathrm{18},\mathrm{19},\mathrm{20},\mathrm{21}\right)=10 kΩ，R_{\mathrm{14}}=\mathrm{3.14}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }，R_{\mathrm{15}}=R_{\mathrm{22}}=\mathrm{1}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }。

Tanh在实线框内的等效电路如图2(b)所示。当R=\mathrm{10}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_F=\mathrm{520}\mathrm{\Omega }、R_C=\mathrm{1}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }以及I_{\mathrm{0}}=\mathrm{1.1}\mathrm{m}\mathrm{A}时，即可以实现双曲正切函数。

在电压幅值为5 V的正弦输入电压的激励下，理想型磁控忆阻器产生的磁滞回线如图3所示，示波器上可以观察到过原点的磁滞回线。其中，横轴为输入电压v，纵轴为电流i。

2 忆阻耦合异质神经元系统

二维Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型^[22]可定义为

\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y-a{x}^{\mathrm{3}}+b{x}^{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}\\ \dot{y}=c-d{x}^{\mathrm{2}}-y\end{array}\right.(4)

其中，x表示Hindmarsh-Rose神经元膜电位，y表示Hindmarsh-Rose神经元的恢复变量，a\mathrm{、}b\mathrm{、}c\mathrm{、}d为模型参数，I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}为外部输入电流。

二维FitHugh-Nagumo (FHN)神经元模型^[23]可定义为

\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=\frac{\mathrm{1}}{a}\left(x-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{3}}-y+I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}\right)\\ \dot{y}=ax-by+c\end{array}\right.(5)

其中，x表示FitHugh-Nagumo神经元膜电位，y表示FitHugh-Nagumo神经元的恢复变量，a,b,c为模型参数，I_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}为外部输入电流。

由于不同神经元之间的异质性，耦合异质神经元可以展现出丰富的动力学行为。将一个二维HR神经元模型和一个二维FHN神经元模型经过忆阻电磁感应效应耦合构建了一个新的异质神经元混沌系统，拓扑结构如图4所示，其模型如下

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{1}}=y_{\mathrm{1}}-a{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}+b{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{(w+\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(w)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\\ {\dot{y}}_{\mathrm{1}}=c-d{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}\\ {\dot{x}}_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{e}\left\{x_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{3}}-y_{\mathrm{2}}+k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{(w+\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(w)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\right\}\\ {\dot{y}}_{\mathrm{2}}=e{x}_{\mathrm{2}}-f{y}_{\mathrm{2}}+g\\ \dot{w}=x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\end{array}\right.(6)

其中，x_{\mathrm{1}}表示Hindmarsh-Rose神经元膜电位，y_{\mathrm{1}}表示Hindmarsh-Rose神经元的恢复变量，x_{\mathrm{2}}表示FitHugh-Nagumo神经元膜电位，y_{\mathrm{2}}表示FitHugh-Nagumo神经元的恢复变量，w表示忆阻器内部状态变量。a,b,c,d,e,f,g为系统参数，设定系统参数a=\mathrm{1}，b=\mathrm{3}，c=\mathrm{1.8}，d=\mathrm{5.5}，e=\mathrm{8}，f=\mathrm{0.8}，g=\mathrm{0.7}。电磁感应电流由两个异质神经元之间的膜电位差感应，通过理想型磁控忆阻器来表征，其中k为异质神经元之间的忆阻电磁感应耦合系数。

2.1 忆阻耦合异质神经元系统的平衡点分析

令{\dot{x}}_{\mathrm{1}}={\dot{y}}_{\mathrm{1}}={\dot{x}}_{\mathrm{2}}={\dot{y}}_{\mathrm{2}}=\dot{w}=\mathrm{0}，可以得到平衡点方程

\left\{\begin{array}{l}{y}_{\mathrm{1}}-a{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}+b{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{\left(w+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(w\right)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0}\\ c-d{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{e}\left\{x_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{3}}-y_{\mathrm{2}}+k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{\left(w+\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(w\right)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\right\}=\mathrm{0}\\ e{x}_{\mathrm{2}}-f{y}_{\mathrm{2}}+g=\mathrm{0}\\ x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\end{array}\right.(7)

通过求解方程(7)，得到系统(6)的平衡点

x_{\mathrm{1}}=x_{\mathrm{2}}=-\mathrm{2.086}\mathrm{6},\mathrm{0.744}\mathrm{8},-\mathrm{1.158}\mathrm{2}(8)

y_{\mathrm{1}}=-\mathrm{22.15},-\mathrm{1.251},-\mathrm{5.58}(9)

x_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{3}}-y_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}(10)

e{x}_{\mathrm{2}}-f{y}_{\mathrm{2}}+g=\mathrm{0}(11)

w=u(12)

式(12)中，u可为任意实数。

将式(8)中x_{\mathrm{2}}=-\mathrm{2.086}\mathrm{6},\mathrm{0.744}\mathrm{8},-\mathrm{1.158}\mathrm{2}分别代入式(11)、式(12)中，分别得到

y_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.941}\mathrm{7},\mathrm{0.607}\mathrm{1},-\mathrm{0.640}\mathrm{3}(13)

y_{\mathrm{2}}=-\mathrm{19.991},\mathrm{8.323},-\mathrm{10.707}(14)

显然，通过计算得到式(13)中与式(14)中y_{\mathrm{2}}的数学解并不一致，即所提出的忆阻耦合异质神经元系统是不存在平衡点的。值得注意的是，没有平衡点的忆阻耦合异质神经元系统也可以观察到混沌行为，所展现的混沌吸引子通常被称为隐藏吸引子^[24-26]。

选取忆阻电磁感应耦合系数k=\mathrm{1.18}，初始条件\left(x_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),x_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right)y_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),w\left(\mathrm{0}\right)\right)=\left(\mathrm{0.1},-\mathrm{1},-\mathrm{0.5},-\mathrm{5},\mathrm{1}\right)。利用相图、时域波形、庞加莱截面、李雅普诺夫指数等对忆阻耦合异质神经元系统进行动力学行为分析，验证了无平衡点的忆阻耦合异质神经元系统的混沌行为的存在。

系统在选取上述系统参数与初始条件下，在x_{\mathrm{1}}-y_{\mathrm{1}}平面、x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}平面、x_{\mathrm{1}}-w平面、x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}-w平面的相图及各个状态变量的时域波形如图5和图6所示，能够观察到忆阻耦合异质神经元系统产生的混沌现象。

忆阻耦合异质神经元系统的庞加莱截面如图7所示。由图7可知，忆阻耦合异质神经元系统的庞加莱截面是由密集的点组成，表明该系统处于非周期状态。

在这种情况下，经过数值仿真得到无平衡点的忆阻耦合异质神经元系统的Lyapunov指数分别为\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.069}\mathrm{917}、\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{2}}=-\mathrm{0.000}\mathrm{02}、\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{3}}=-\mathrm{0.366}\mathrm{712}、\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{4}}=-\mathrm{0.398}\mathrm{165}、\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{5}}=-\mathrm{4.839}\mathrm{04}，如图8所示。

根据忆阻耦合异质神经元系统的Lyapunov指数，可以计算该系统的分维数D_L为

\begin{array}{l}{D}_L=j+\frac{\mathrm{1}}{\left|\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{j+\mathrm{1}}\right|}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^j}\mathrm{L}{\mathrm{E}}_i\\ =\mathrm{2}+\frac{\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}+\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{2}}}{\left|\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{3}}\right|}=\mathrm{2.190}\mathrm{6}\end{array}(15)

根据数值仿真得到的Lyapunov指数\mathrm{L}{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}大于0，由于李雅普诺夫指数维数D_L为分数维，表明系统是混沌的，具有非周期轨道。

对忆阻耦合异质神经元系统进行0~1测试，结果如图9所示。由图可知，s和p随着时间的变化，两个变量显示出渐进无界增长，具有布朗运动的特征。

2.2 忆阻耦合异质神经元系统随耦合系数k变化的动力学行为

系统参数的改变会导致混沌系统产生不同的动力学行为，为了探究无平衡点的忆阻耦合异质神经元模型的动力学行为，通过绘制分岔图、李雅普诺夫指数谱、相图分析忆阻耦合异质神经元系统的动力学行为。

选择忆阻电磁感应耦合系数k作为分岔参数。固定系统参数a=\mathrm{1}，b=\mathrm{3}，c=\mathrm{1.8}，d=\mathrm{5.5}，e=\mathrm{8}，f=\mathrm{0.8}，g=\mathrm{0.7}，初始条件\left(x_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),x_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),\right.\left.w\left(\mathrm{0}\right)\right)=\left(\mathrm{0.1},-\mathrm{1},-\mathrm{0.5},-\mathrm{5},\mathrm{1}\right)，忆阻耦合异质神经元系统关于分岔参数k的分岔图如图10(a)所示。图10(b)给出了忆阻耦合异质神经元系统对应的前三个李雅普诺夫指数。通过分析，系统随着分岔参数k的增大，系统表现出倍周期分岔和切分岔现象，由此可见，系统随着分岔参数k的增大，系统的状态也会随之改变。

首先，在分岔参数k\in \left[\mathrm{0.3},\mathrm{0.51}\right]时系统呈现了周期1极限环。其次，经过倍周期分岔，在k\in \left[\mathrm{0.51},\right.\left.\mathrm{0.59}\right]时，系统呈现了周期2极限环。然后，系统再次经过倍周期分岔，在k\in \left[\mathrm{0.59},\mathrm{0.62}\right]时，系统呈现了周期4极限环。随后，系统经过倍周期分岔进入了混沌状态，在k=\mathrm{0.701}、k=\mathrm{0.802}、k=\mathrm{0.908}、k=\mathrm{1.023}四处均发生了切分岔，系统的混沌态突然转变为周期状态，引发了阵发混沌现象。并且在k=\mathrm{1.023}处之后，系统最终稳定在混沌状态。在此，选取了6个分岔参数k值，如表1所列，通过对应的6个分岔参数k的相图更清晰地展示了系统随耦合系数k变化时吸引子的运动状态。

3 忆阻耦合异质神经元系统的电路实现

忆阻耦合异质神经元系统的Multisim电路图如图12所示，验证了系统的动态特性。根据基尔霍夫电流定律，系统的电路方程表示为

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=\frac{y_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}}+\frac{p{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{2}}}-\frac{p^{\mathrm{2}}{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}}{R_{\mathrm{3}}}-\frac{p\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)W\left(w\right)}{R_{\mathrm{4}}}\\ C_{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}{y}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{d}t}=\frac{V_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{7}}}-\frac{p{x_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{8}}}-\frac{y_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{9}}}\\ C_{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\frac{x_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{12}}}-\frac{p^{\mathrm{2}}{x_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{3}}}{R_{\mathrm{13}}}-\frac{y_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{14}}}+\frac{p\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)W\left(w\right)}{R_{\mathrm{15}}}\\ C_{\mathrm{4}}\frac{\mathrm{d}{y}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}t}=\frac{x_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{18}}}-\frac{y_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{19}}}+\frac{V_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{20}}}\\ C_{\mathrm{5}}\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t}=\frac{R_{\mathrm{26}}{R}_{\mathrm{23}}{x}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{22}}{R}_{\mathrm{24}}{R}_{\mathrm{25}}}-\frac{R_{\mathrm{26}}{R}_{\mathrm{23}}{x}_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{21}}{R}_{\mathrm{24}}{R}_{\mathrm{25}}}\end{array}\right.(16)

在Multisim仿真过程中，系统参数a=\mathrm{1}，b=\mathrm{3}，c=\mathrm{1.8}，d=\mathrm{5.5}，e=\mathrm{8}，f=\mathrm{0.8}，g=\mathrm{0.7}，选择忆阻电磁感应耦合系数k=\mathrm{1.18}。根据上述系统参数的取值，设置积分时间常数为2 ms，即电容C_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\right.4,\left.\mathrm{5}\right)=\mathrm{200}\mathrm{n}\mathrm{F}，电阻阻值为R_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{9},\mathrm{10},\mathrm{11},\right.\left.\mathrm{16},\mathrm{17},\mathrm{20},\mathrm{21},\mathrm{22},\mathrm{23},\mathrm{24},\mathrm{25},\mathrm{26}\right)=\mathrm{10}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{3}}=\mathrm{3.33}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{4}}=\mathrm{8.47}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{8}}=\mathrm{1.818}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{12}}=R_{\mathrm{14}}=\mathrm{80}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{13}}=\mathrm{240}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{15}}=\mathrm{67.8}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{18}}=\mathrm{1.25}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }、R_{\mathrm{19}}=\mathrm{12.5}\mathrm{k}\mathrm{\Omega }，乘法器增益p=\mathrm{1}，V_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1.8}\mathrm{V}，V_{\mathrm{2}}=-\mathrm{0.7}\mathrm{V}。

在上述参数条件下，对忆阻耦合异质神经元系统的Multisim电路仿真结果如图13所示。电路仿真结果与Matlab数值模拟的结果基本相同。

4 比较分析

将所构建的新理想型磁控忆阻器耦合到两个二维HR神经元模型中，构建具有忆阻电磁感应效应的忆阻耦合同质神经元系统，选择相同的系统参数和初始条件，利用相图和分岔图比较分析了忆阻耦合同质神经元系统和本文的忆阻耦合异质神经元系统的动力学行为，发现忆阻耦合异质神经元系统具有更复杂、丰富的非线性动力学行为。

4.1 忆阻耦合异质神经元系统

系统参数设定同上文，初始条件\left(x_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),\right.\left.x_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),w\left(\mathrm{0}\right)\right)设置为\left(\mathrm{2},\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{1}\right)，绘制忆阻耦合异质神经元系统在x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}平面上的相图（图14），以及以忆阻电磁感应耦合系数k作为分岔参数的忆阻耦合异质神经元系统的分岔图（图15）。

4.2 忆阻耦合同质神经元系统

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{1}}=y_{\mathrm{1}}-a{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}+b{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{(w+\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(w)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\\ {\dot{y}}_{\mathrm{1}}=c-\mathrm{d}{x}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{1}}\\ {\dot{x}}_{\mathrm{2}}=y_{\mathrm{2}}-a{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}+b{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+k\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\pi }}\frac{\mathrm{1}}{{(w+\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}+{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(w)\right]\left(x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\right)\\ {\dot{y}}_{\mathrm{2}}=c-\mathrm{d}{x}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-y_{\mathrm{2}}\\ \dot{w}=x_{\mathrm{2}}-x_{\mathrm{1}}\end{array}\right.(17)

设定系统参数同本文，即a=\mathrm{1}，b=\mathrm{3}，c=\mathrm{1.8}，d=\mathrm{5.5}。初始条件\left(x_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{0}\right),x_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),y_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{0}\right),w\left(\mathrm{0}\right)\right)设置为\left(\mathrm{2},\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{1}\right)，绘制了忆阻耦合同质神经元系统在x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}平面上的相图（图16），以及以忆阻电磁感应耦合系数k作为分岔参数的忆阻耦合同质神经元系统的分岔图（图17）。

通过观测图14和图16中两个系统在x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}平面上的相图，忆阻耦合异质神经元系统与忆阻耦合同质神经元系统的混沌吸引子的形状不同；通过观测图15和图17中两个系统的分岔图，可以看出，忆阻耦合异质神经元系统相较于忆阻耦合同质神经元系统，可产生混沌行为的忆阻电磁感应耦合系数k的可调范围较大，并且忆阻耦合异质神经元系统所展现的动力学行为更加丰富。

5 总结

该系统是一个无平衡点的混沌系统，随忆阻电磁感应耦合系数的变化，系统能够生成多种周期、混沌等隐藏吸引子。

首先，本文提出了一种新的理想型磁控忆阻器，并验证了其符合忆阻器的基本特性。其次，将一个HR神经元模型和一个FHN神经元模型经过忆阻电磁感应效应耦合，构建一个新五维忆阻耦合异质神经元系统，在利用非线性分析工具对此系统的研究中发现，该系统是一个无平衡点的混沌系统。随忆阻电磁感应耦合系数的变化，系统可以表现出不同运动状态。最后，利用Multisim对忆阻耦合异质神经元系统进行了电路实现，验证了理论分析的结果。

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基金资助

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20220181)