具有两个不连续点的二阶微分算子的J-自伴性

Second order differential operators with discontinuities at two points for J-selfadjoint

摘要

通过定义新的\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}空间和新的算子T来研究一类具有两个不连续点的微分算子T的J-自伴性、特征值问题与\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数。证明了算子T在新的\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}空间中是J-自伴的，并给出了\lambda是T的特征值的充要条件和算子T的\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数。

Abstract

By introducing a novel Hilbert space and a new operator T, the J-self-adjointness, eigenvalue problem and Green's function of a class of differential operators with two discontinuous points are investigated. It is demonstrated that the operator T is J-self-adjoint in the newly defined space, and then the eigenvalues of the operator T are computed and the Green's functions of such problems are presented.

关键词

J-自伴算子 / 转移条件 / 边界条件 / 特征值 /

\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}

函数

Key words

J-selfadjoint operator / transition conditions / boundary conditions / eigenvalue / Green's function

Glazman^[1]在1957年最先提出了J-对称算子和J-自伴算子的概念。2003年，Wang等^[2]讨论了J-对称微分算子的J-对称扩张的复J-辛几何的刻画。2007年，刘肖云等^[3]研究了\mathrm{2}n阶J-自伴向量微分算子的预解算子。在2020年，李骥等^[4]证明了一类边界条件不含谱参数的微分算子的J-自伴性，罗佩芳等^[5]证明了一类边界条件含谱参数的微分算子的J-自伴性。2023年，钱志祥等^[6]研究了单项J-对称向量微分表达式在其J-自伴域内生成的J-自伴向量微分算子的谱的离散型与其系数之间的关系。之前对2n阶J-自伴算子及其谱分析做了研究，见文献[7]。文献[8-10]研究了J-对称算子的J-自伴扩张问题，文献[11-12]探讨了算子的特征值问题。计算带有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数成为近年来研究的一个重要领域^[13-16]。但对于J-自伴算子的\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数研究甚少。本文讨论具有两个不连续点的微分算子的J-自伴性、特征值和\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数。

下面回顾一些基本概念。

定义1^[17]　设H是一个\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}空间，T是H中的线性算子，T:D(T)\to H。T称为是J-对称的，如果对于\forall x\in D(T)，y\in D(T)，有(JTJx,y)=(x,Ty)，其中J表示取复共轭，\forall y(x)\in H，Jy=\overline{y}。

注 复共轭线性算子J是一个等距算子：

‖Jy‖=‖y‖，\forall y(t)\in H，而且(Jx,Jy)=(y,x),\forall x(t),y(t)\in H。

定义2^[14]　设H是一个\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}空间，T:D(T)\subset H\toH是一个稠定的线性算子，T称为是J自共轭的，如果JTJ=T^{\mathrm{*}}。

引理1　补缀引理。

设微分算式l在区间I上是正则的，{\alpha }_s,\mathbb{C},s=\mathrm{0},\mathrm{1},\cdots ,n-\mathrm{1}，则存在函数y\in D(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})使得y^{[s]}(a)={\alpha }_s,y^{[s]}(b)={\beta }_s,(s=\mathrm{0},\mathrm{1},\cdots ,n-\mathrm{1})，其中D(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})是算子L的最大算子域。

1 算子T及其 J-自伴性

考虑下述微分算式

l(y):=-(p(x)y^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+q(x)y=\lambda y,x\in I(1)

其中，I=[a,{\xi }_{\mathrm{1}})\bigcup ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\bigcup ({\xi }_{\mathrm{2}},b]；系数p(x)=p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}});p(x)=p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}},x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}});p(x)=p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}},x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b];p_i(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3})是非零实数。q(x)是在[a,{\xi }_{\mathrm{1}}),({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})和({\xi }_{\mathrm{2}},b]上连续的复值函数，并且\underset{x\to {\xi }_i\pm \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}q(x)=q({\xi }_i\pm \mathrm{0})，i=\mathrm{1},\mathrm{2}存在有限极限。

对微分算式(1)赋予边界条件

h_{\mathrm{1}}y:=a_{\mathrm{1}}y(a)+a_{\mathrm{2}}{y}^{\text{'}}(a)=\mathrm{0}(2)

h_{\mathrm{2}}y:=b_{\mathrm{1}}y(b)+b_{\mathrm{2}}{y}^{\text{'}}(b)=\mathrm{0}(3)

以及转移条件

\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{3}}y:=c_{\mathrm{1}}y({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})+c_{\mathrm{2}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\\ +d_{\mathrm{1}}y({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})+d_{\mathrm{2}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}(4)

\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{4}}y:=c_{\mathrm{1}}^{\text{'}}y({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})+c_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\\ +d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}y({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})+d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}(5)

\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{5}}y:=c_{\mathrm{3}}y({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})+c_{\mathrm{4}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})\\ +d_{\mathrm{3}}y({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})+d_{\mathrm{4}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}(6)

\begin{array}{l}{h}_{\mathrm{6}}y:=c_{\mathrm{3}}^{\text{'}}y({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})+c_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})\\ +d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}y({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})+d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{y}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}\end{array}(7)

其中，a_i,b_i,(i=\mathrm{1},\mathrm{2})，c_j,c_j^{\text{'}},d_j,d_j^{\text{'}},(j=\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{4})都是实数，a_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0},b_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}。

设L是由边值问题(1)~(7)所确定的微分算子，令

\left|\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1}}& c_{\mathrm{2}}\\ c_{\mathrm{1}}^{\text{'}}& c_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\end{array}\right|={\rho }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0},\left|\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{1}}& d_{\mathrm{2}}\\ d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}& d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\end{array}\right|={\theta }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，

\left|\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{3}}& c_{\mathrm{4}}\\ c_{\mathrm{3}}^{\text{'}}& c_{\mathrm{4}}^{\text{'}}\end{array}\right|={\rho }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0},\left|\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{3}}& d_{\mathrm{4}}\\ d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}& d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}\end{array}\right|={\theta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}。

并将转移条件中的系数矩阵记作

C_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{1}}& c_{\mathrm{2}}\\ c_{\mathrm{1}}^{\text{'}}& c_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\end{array}\right),C_{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{cc}{c}_{\mathrm{3}}& c_{\mathrm{4}}\\ c_{\mathrm{3}}^{\text{'}}& c_{\mathrm{4}}^{\text{'}}\end{array}\right)，

D_{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{1}}& d_{\mathrm{2}}\\ d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}& d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\end{array}\right),D_{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{cc}{d}_{\mathrm{3}}& d_{\mathrm{4}}\\ d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}& d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}\end{array}\right)。

为了方便研究边值问题(1)~(7)，需要建立一个新的空间H和新算子T，将所研究的边值问题转化为研究算子T。下面建立新空间H，在空间L^{\mathrm{2}}(I)上定义如下内积

\left(f,z\right)=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}{f}_{\mathrm{1}}{\overline{z}}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}{f}_{\mathrm{2}}{\overline{z}}_{\mathrm{2}}\mathrm{d}x

+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^b{f}_{\mathrm{3}}{\overline{z}}_{\mathrm{3}}\mathrm{d}x,\forall f,z\in L^{\mathrm{2}}(I)，

其中，f_{\mathrm{1}}(x)=f(x)\left|{}_{[a,{\xi }_{\mathrm{1}})}\right.，f_{\mathrm{2}}(x)=f(x)\left|{}_{({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})}\right.，f_{\mathrm{3}}(x)=f(x)\left|{}_{({\xi }_{\mathrm{2}},b]}\right.，则(L^{\mathrm{2}}[a,b],(\cdot ,\cdot ))是\mathrm{H}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}空间，记为H。显然，H中的内积运算与转移条件的系数矩阵行列式{\rho }_{\mathrm{1}},\begin{array}{c}{\rho }_{\mathrm{2}}\end{array}和{\theta }_{\mathrm{1}},\begin{array}{c}{\theta }_{\mathrm{2}}\end{array}相关。

令D(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})表示L^{\mathrm{2}}[a,\mathrm{b}]内满足条件：

1) f_{\mathrm{1}}^{\text{'}},{\mathrm{f}}_{\mathrm{2}}^{\text{'}},{\mathrm{f}}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}分别在[a,{\xi }_{\mathrm{1}}),({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}}),({\xi }_{\mathrm{2}},b]上是局部连续的；

2) l(f)\in L^{\mathrm{2}}[a,b],h_{i}f=\mathrm{0}(i=\mathrm{3},\cdots ,\mathrm{6})的函数所组成的集合，且L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f=l(f),\forall f\in D(L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}})，则L_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}为与L相关的最大算子。

设L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}为与L相关的最小算子

D(L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})=\left\{f\in D(L_{max})\left|f(a)=f^{\text{'}}(a)=f(b)=f^{\text{'}}(b)=\mathrm{0}\right.\right\}，

L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f=l(f),\forall f\in D(L_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})，

定义算子T:

D(T)=\left\{f\in D(L_{max})\left|h_{\mathrm{1}}f=h_{\mathrm{2}}f=\mathrm{0}\right.\right\}，

Tf=l(f),\forall f\in D(T)，

下面在H中研究算子T的J-自伴性。

引理2　 D(T)在H中稠密。

证明：令\tilde{C}表示下述函数的全体

\eta (x)=\left\{\begin{array}{l}{\eta }_{\mathrm{1}}(x),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ {\eta }_{\mathrm{2}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ {\eta }_{\mathrm{3}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

其中，{\eta }_{\mathrm{1}}(x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}[a,{\xi }_{\mathrm{1}}),{\eta }_{\mathrm{2}}(x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}}),{\eta }_{\mathrm{3}}(x)\inC_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_{\mathrm{2}},b]，于是，\tilde{C}\subset D(T)，对任意f\in H，

f(x)=\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1}}(x),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ f_{\mathrm{2}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ f_{\mathrm{3}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.

及任意\epsilon >\mathrm{0},C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}[a,{\xi }_{\mathrm{1}})在L^{\mathrm{2}}[a,{\xi }_{\mathrm{1}})中稠密，故存在z_{\mathrm{1}}(x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}[a,{\xi }_{\mathrm{1}})，使得。

同理，存在z_{\mathrm{2}}(x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})，使得\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}\left|f_{\mathrm{2}}-\right.，存在z_{\mathrm{3}}(x)\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\xi }_{\mathrm{2}},b]，使得\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^b\left|f_{\mathrm{3}}-\right.。

令

z(x)=\left\{\begin{array}{l}{z}_{\mathrm{1}}(x),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ z_{\mathrm{2}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ z_{\mathrm{3}}(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

综上，对于任意f\in H及上述给定的\epsilon >\mathrm{0}，存在z(x)\in \tilde{C}，使得\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}{\left|f-z\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}{\left|f-z\right|}^{\mathrm{2}}，所以{\tilde{C}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}在H中稠密，从而必有D(T)是H中的稠密集。

定理1　算子T是J-自伴算子。

证明：任取f,z\in D(T)，由分部积分得

\begin{array}{l}(Tf,Jz)-(f,JTz)=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}l(f_{\mathrm{1}})z_{\mathrm{1}}dx+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}l(f_{\mathrm{2}})z_{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}l(f_{\mathrm{3}})z_{\mathrm{3}}\mathrm{d}x-\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}{f}_{\mathrm{1}}l(z_{\mathrm{1}})\mathrm{d}x-\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}{f}_{\mathrm{2}}l(z_{\mathrm{2}})\mathrm{d}x\\ -\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^b{f}_{\mathrm{3}}l(z_{\mathrm{3}})\mathrm{d}x=-\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,z;a)+\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,z;{\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})-W(f,z;{\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})+W(f,z;{\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})-\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,z;{\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,z;b),\end{array}

其中，W(f,z;x)=f(x)z^{\text{'}}(x)-f^{\text{'}}(x)z(x)。通过计算可得W\left(f,z;{\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0}\right)=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,z;{\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0}),W\left(f,z;{\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0}\right)=\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,z;{\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})。由h_{\mathrm{1}}f=h_{\mathrm{1}}z=\mathrm{0}及a_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}，得f^{\text{'}}(a)=-\frac{a_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{2}}}f(a),z^{\text{'}}(a)=-\frac{a_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{2}}}z(a)，代入计算有W(f,z;a)=\mathrm{0}。同理，由h_{\mathrm{2}}f=h_{\mathrm{2}}z=\mathrm{0}及b_{\mathrm{2}}\ne \mathrm{0}，可知W(f,z;b)=\mathrm{0}。

综上，有(Tf,Jz)=(f,JTz)，所以T是J-对称算子。

对任意f\in D(T)，由共轭算子的定义有(Tf,\overline{g})=(f,T^{\mathrm{*}}\overline{g})，故\overline{g}\in D(T^{\mathrm{*}})。又因为D(J{T}^{\mathrm{*}}J)=JD(T^{\mathrm{*}})，故下面只需证明若(Tf,\overline{g})=(f,\omega )成立，则必有g\in D(T)且\overline{lg}=\omega即可。由于对\forall f\in \tilde{C}\subset D(T)，有(Tf,\overline{g})=(f,\omega )成立，根据标准\mathrm{S}-\mathrm{L}理论及J-对称算子的定义，有g_{\mathrm{1}}^{\text{'}},g_{\mathrm{2}}^{\text{'}},g_{\mathrm{3}}^{\text{'}}分别在[a,{\xi }_{\mathrm{1}}),({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}}),({\xi }_{\mathrm{2}},b]上是局部连续的，\overline{lg}\in H且\omega =\overline{lg}。

以下证明g\in D(T)。g满足算子T的边界条件和转移条件，即有h_{i}g=\mathrm{0}(i=\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{6})成立。根据\left(Tf,\overline{g}\right)=(f,\omega )=\left(f,\overline{lg}\right)，有\left(Tf,\overline{g}\right)=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}fl(g)\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}fl(g)\mathrm{d}x+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}fl(g)\mathrm{d}x。另一方面，通过分部积分可得\left(Tf,\overline{g}\right)=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\theta }_{\mathrm{1}}}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}fl(g)\mathrm{d}x+\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}fl(g)\mathrm{d}x+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}fl(g)\mathrm{d}x-\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,g;a)+\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,g;{\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})-W(f,g;{\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})+W(f,g;{\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})-\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,g;{\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,g;b)。

因此，

\begin{array}{l}-\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,g;a)+\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}W(f,g;{\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})-W(f,g;{\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})\\ +W(f,g;{\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})-\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,g;{\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})+\frac{{\theta }_{\mathrm{2}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}W(f,g;b)\\ =\mathrm{0}(\mathrm{8})\end{array} 根据补缀引理，存在f\in D(T)，满足f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=f(b)=f^{\text{'}}(b)=\mathrm{0},f(a)\ne \mathrm{0}，则由式(8)有f(a)g^{\text{'}}(a)-f^{\text{'}}(a)g(a)=\mathrm{0}，再结合f^{\text{'}}(a)=-\frac{a_{\mathrm{1}}}{a_{\mathrm{2}}}f(a)，得出a_{\mathrm{1}}g(a)+a_{\mathrm{2}}{g}^{\text{'}}(a)=\mathrm{0}，即h_{\mathrm{1}}g=\mathrm{0}。同理可证h_{\mathrm{2}}g=\mathrm{0}。存在f\in D(T)，满足f(a)=f^{\text{'}}(a)=f(b)=f^{\text{'}}(b)=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}，但f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\ne \mathrm{0}，则由式(8)有\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})g^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})-[f({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})g^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})-f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})g({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})]=\mathrm{0}，将

\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}f({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}})f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\\ +(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}})f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})]\end{array}\\ \begin{array}{l}{f}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}})f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\\ +(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}})f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})]\end{array}\end{array}\right.(9)

代入上式，整理得

\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}[(c_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{d}_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}^{\text{'}})g({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})\\ +(c_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{d}_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{2}}^{\text{'}})g^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})]\end{array}(10)

存在f\in D(T)，满足f(a)=f^{\text{'}}(a)=f(b)=f^{\text{'}}(b)=f({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}-\mathrm{0})=f({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}}+\mathrm{0})=\mathrm{0}，但f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})\ne \mathrm{0}，则由式(8)有-\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}{f}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})g({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})-[f({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})g^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})-f^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})g({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})]=\mathrm{0}，将式(9)代入式(10)，整理得

\begin{array}{l}g({\xi }_{\mathrm{1}}-\mathrm{0})=\frac{\mathrm{1}}{{\rho }_{\mathrm{1}}}[(c_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}-c_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{d}_{\mathrm{1}})g({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})\\ +(c_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-c_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{d}_{\mathrm{2}})g^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}}+\mathrm{0})]\end{array}(11)

把式(10)和式(11)代入转移条件(4)和(5)计算，可得h_{\mathrm{3}}g=\mathrm{0},\begin{array}{c}{h}_{\mathrm{4}}g=\mathrm{0}\end{array}。同理，可证h_{\mathrm{5}}g=\mathrm{0},h_{\mathrm{6}}g=\mathrm{0}，所以h_{i}g=\mathrm{0}(i=\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{6})成立。

综上可知，算子T是J-自伴算子。

2 算子T的特征值

现在构造微分方程(1)的基本解。

设{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})满足初始条件{\varphi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )=\mathrm{1}，{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )=\mathrm{0}的解。{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})满足下面初始条件的解

\begin{array}{l}{\varphi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}}){\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}}){\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )]\end{array}，

\begin{array}{l}{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}){\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}){\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )]\end{array}，

{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]满足下面初始条件的解

\begin{array}{l}{\varphi }_{\mathrm{3}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}[(d_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{3}}){\varphi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{4}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{4}}){\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )]\end{array}，

\begin{array}{l}{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}[(d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{3}}-d_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}){\varphi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{4}}-d_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{4}}^{\text{'}}){\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )]\end{array}，

同样，设{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})满足初始条件{\chi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )=\mathrm{0},{\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )=\mathrm{1}的解。{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})满足下面初始条件的解

\begin{array}{l}{\chi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}}){\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}}){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )]\end{array}，

\begin{array}{l}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}[(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}){\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )]\end{array}，

{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )是方程-(p(x)y^{\text{'}}{(x))}^{\text{'}}+q(x)y(x)=\lambda y(x),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]满足下面初始条件的解

\begin{array}{l}{\chi }_{\mathrm{3}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}[(d_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{3}}){\chi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{4}}{c}_{\mathrm{4}}^{\text{'}}-d_{\mathrm{4}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{4}}){\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )]\end{array}，

\begin{array}{l}{\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}[(d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{3}}-d_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}){\chi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )\\ +(d_{\mathrm{3}}^{\text{'}}{c}_{\mathrm{4}}-d_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{4}}^{\text{'}}){\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{2}},\lambda )]\end{array}。

令

\varphi (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ {\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ {\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),\begin{array}{c}x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},b]\end{array}\end{array}\right.，

\chi (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ {\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ {\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),\begin{array}{c}x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},b]\end{array}\end{array}\right.，

因为函数{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )的\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}行列式独立于变量x，记作{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )，计算得

{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )={\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )-{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )

={\varphi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )-{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )=\mathrm{1}，

因此，{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )在[a,{\xi }_{\mathrm{1}})上线性无关。函数{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )的\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}行列式独立于变量x，记作{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )，计算得

{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )={\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )-{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )

=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}}>\mathrm{0}，

因此，{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )在({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})上线性无关。函数{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )的\mathrm{W}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}行列式独立于变量x，记作{\omega }_{\mathrm{3}}(\lambda )，计算得

{\omega }_{\mathrm{3}}(\lambda )={\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda )-{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )

=\frac{{\rho }_{\mathrm{2}}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}，

因此，{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )与{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )在({\xi }_{\mathrm{2}},b]上线性无关，则\varphi (x,\lambda )与\chi (x,\lambda )是方程ly=\lambda y,(x\in I)满足转移条件(4)~(7)的线性无关解。

引理3　设

u(x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ u_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ u_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),\begin{array}{c}x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},b]\end{array}\end{array}\right.

是方程ly=\lambda y的任意一个解，则它可以表示为

u(x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ e_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )+e_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ e_{\mathrm{5}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+e_{\mathrm{6}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},\mathrm{b}]\end{array}\right.，

其中，e_i\in \mathbb{C}(i=\mathrm{1},\cdots ,\mathrm{6})，若u(x,\lambda )满足转移条件(4)~(7)，则e_{\mathrm{1}}=-e_{\mathrm{3}}=e_{\mathrm{5}}，e_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{4}}=e_{\mathrm{6}}。

证明：将解u(x,\lambda )代入转移条件(4)和(5)中为

\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )+e_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ e_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )+e_{\mathrm{4}}{\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)=-D_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ e_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)，

即

\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{2}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{3}}\\ e_{\mathrm{4}}\end{array}\right)=-D_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}\\ e_{\mathrm{2}}\end{array}\right)。

由{\omega }_{\mathrm{1}}与{\omega }_{\mathrm{2}}之间的关系，上式可化解为

D_{\mathrm{1}}^{-\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{3}}+e_{\mathrm{1}}\\ e_{\mathrm{4}}+e_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\mathrm{0}。

因为D_{\mathrm{1}}，C_{\mathrm{1}}和\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )& {\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}({\xi }_{\mathrm{1}},\lambda )\end{array}\right)都是非奇异的，所以e_{\mathrm{3}}=-e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{4}}=-e_{\mathrm{2}}。同理e_{\mathrm{5}}=-e_{\mathrm{3}}，e_{\mathrm{6}}=-e_{\mathrm{4}}。故e_{\mathrm{1}}=-e_{\mathrm{3}}=e_{\mathrm{5}}，e_{\mathrm{2}}=-e_{\mathrm{4}}=e_{\mathrm{6}}。

将边值问题(1)~(7)的边界条件(2)和(3)写成矩阵形式，则

\mathit{A}\mathit{Y}(a)+\mathit{B}\mathit{Y}(b)=\mathrm{0},\mathit{Y}=\left(\begin{array}{c}y\\ y^{\text{'}}\end{array}\right)，

这里

\mathit{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{1}}& a_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right),\mathit{B}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& \mathrm{0}\\ b_{\mathrm{1}}& b_{\mathrm{2}}\end{array}\right)。

定理2　复数\lambda是边值问题(1)~(7)的特征值，当且仅当\lambda满足\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathit{A}+\mathit{B}\mathit{W}(b,\lambda ))=\mathrm{0}。

证明：1) 必要性。

设复数\lambda是边值问题(1)~(7)的特征值，y(x)是相应的特征函数，由引理3知，存在不全为零的常数e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{2}}使得

y(x)=\left\{\begin{array}{l}{e}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ -e_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )-e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ e_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

将y(x)代入边界条件\mathit{A}\mathit{Y}(a)+\mathit{B}\mathit{Y}(b)=\mathrm{0}，可得

\mathit{A}\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}(a,\lambda )\\ e_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(a,\lambda )\end{array}\right)

+\mathit{B}\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )\\ e_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )+e_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )\end{array}\right)=\mathrm{0}，

即

\left(\mathit{A}+\mathit{B}\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )& {\chi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )& {\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{1}}\\ e_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\mathrm{0}。

由于e_{\mathrm{1}}，e_{\mathrm{2}}不全为零，因此

\left|\mathit{A}+\mathit{B}\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )& {\chi }_{\mathrm{3}}(b,\lambda )\\ {\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )& {\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(b,\lambda )\end{array}\right)\right|=\mathrm{0}。

即\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathit{A}+\mathit{B}\mathit{W}(b,\lambda ))=\mathrm{0}。

2) 充分性。

若\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathit{A}+\mathit{B}\mathit{W}(b,\lambda ))=\mathrm{0}，则关于k_{\mathrm{1}}和k_{\mathrm{2}}的齐次线性方程组

(\mathit{A}+\mathit{B}\mathit{W}(b,\lambda ))\left(\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{1}}\\ k_{\mathrm{2}}\end{array}\right)=\mathrm{0}

有非零解{(\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}& k_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\end{array})}^{\mathrm{T}}。令

y(x)=\left\{\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+k_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ -k_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )-k_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ k_{\mathrm{1}}^{\text{'}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+k_{\mathrm{2}}^{\text{'}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

则y(x)是方程ly=\lambda y满足条件(2)~(7)的非零解，因此，\lambda是边值问题(1)~(7)的特征值。

3 算子T的\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数

计算算子T的\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}函数，首先要求出下述非齐次微分方程的解。

-(p(x)y^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+q(x)y=\lambda y-f(x),x\in I(12)

满足边界条件(2)和(3)和转移条件(4)~(7)。

齐次方程-(p(x)y^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+q(x)y=\lambda y,x\in I的通解为

U(x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ C_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ C_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.(13)

其中，C_{\mathrm{1}},C_{\mathrm{2}},C_{\mathrm{3}},D_{\mathrm{1}},D_{\mathrm{2}},D_{\mathrm{3}}为任意的常数。由常系数变易法，可以得到非齐次方程(12)的通解

U(x,\lambda )=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{1}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),\\ x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\end{array}\\ \begin{array}{l}{C}_{\mathrm{2}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{2}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),\\ x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\end{array}\\ \begin{array}{l}{C}_{\mathrm{3}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{3}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),\\ x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\end{array}\right.(14)

其中，C_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),C_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),C_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),D_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),D_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),D_{\mathrm{3}}(x,\lambda )满足

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\mathrm{0}\\ p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}[C_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}(x,\lambda )]=f(x)\\ x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\end{array}\right.，(15)

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=\mathrm{0}\\ p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}[C_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}(x,\lambda )]=f(x)\\ x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\end{array}\right.，(16)

和

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )=\mathrm{0}\\ p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}[C_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\varphi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda )+D_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda ){\chi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}(x,\lambda )]=f(x)\\ x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，(17)

由于\lambda不是特征值，故{\omega }_{\mathrm{3}}(\lambda )=\frac{{\rho }_{\mathrm{2}}}{{\theta }_{\mathrm{2}}}{\omega }_{\mathrm{2}}(\lambda )=\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}}{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )\ne \mathrm{0}，从而方程(15)、方程(16)、方程(17)分别有唯一的解

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\chi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{1}}\\ D_{\mathrm{1}}(x,\lambda )=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{1}},x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\end{array}\right.，

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{2}}\\ D_{\mathrm{2}}(x,\lambda )=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{2}},x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\end{array}\right.，

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{3}}(x,\lambda )=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{3}}\\ D_{\mathrm{3}}(x,\lambda )=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{3}},x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

代入式(14)得到非齐次方程(12)的通解

\begin{array}{c}U(x,\lambda )=\\ \left\{\begin{array}{l}\frac{{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\chi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )\\ +\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ \frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ \frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+C_{\mathrm{3}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+D_{\mathrm{3}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.\end{array}(18)

将式(18)代入条件(2)~(7)可求得

\left\{\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ C_{\mathrm{2}}=\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ C_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}\\ D_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\\ D_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ D_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\end{array}\right.，

从而式(18)可以重写为

\begin{array}{l}U(x,\lambda )=\\ \left\{\begin{array}{l}\frac{{\chi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+\frac{{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\chi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y,x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ \frac{{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}\\ {\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y)\\ {\chi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y,x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ \frac{{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_a^{{\xi }_{\mathrm{1}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{1}}(y,\lambda )\mathrm{d}y+\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{1}}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}f(y){\varphi }_{\mathrm{2}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\chi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_{{\xi }_{\mathrm{2}}}^{x}f(y){\varphi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y\\ +\frac{{\theta }_{\mathrm{1}}{\theta }_{\mathrm{2}}{\varphi }_{\mathrm{3}}(x,\lambda )}{p_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\rho }_{\mathrm{1}}{\rho }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}(\lambda )}{\int }_x^{b}f(y){\chi }_{\mathrm{3}}(y,\lambda )\mathrm{d}y,x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.\end{array}(19)

令

，

，

，

G(x,y,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{G}_{\mathrm{1}}(x,y,\lambda ),x\in [a,{\xi }_{\mathrm{1}})\\ G_{\mathrm{2}}(x,y,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{1}},{\xi }_{\mathrm{2}})\\ G_{\mathrm{3}}(x,y,\lambda ),x\in ({\xi }_{\mathrm{2}},b]\end{array}\right.，

故式(19)变为

U(x,\lambda )={\int }_a^{b}G(x,y,\lambda )f(y)\mathrm{d}y,x\in I(20)

定义3　称式(20)中的积分核G(x,y,\lambda )为算子T的Green函数。

参考文献

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基金资助

国家自然科学基金项目(11801286)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2018MS01021)