多孔介质中偶应力纳米流体的电动能量转换研究

Electrokinetic energy conversion of couple stress nanofluids in porous media

摘要

主要研究纳米流体在压力梯度和外加电场作用下通过多孔管道的流动特性。首先，在Debye-Hückel近似下利用Poisson-Boltzmann方程求解电势场的分布。其次，利用物理相关的边界条件，求解动量方程得到纳米流体的速度的解析解。此外通过计算还得到了通道中纳米流体的流动电势和电动能量转换（Electrokinetic energy conversion，EKEC）效率的解析解。进一步用图像分析了流速、流动电势、EKEC效率和体积流率随偶应力参数、达西数、纳米颗粒体积分数和无量纲压力梯度参数变化的变化规律。

Abstract

The research focuses on the flow characteristics of nanofluids through porous pipelines under pressure gradients and external electric fields. Firstly, under the Debye-Hückel approximation, the Poisson-Boltzmann equation is used to solve the distribution of the electric potential field. Secondly, using physically related boundary conditions, the momentum equation is solved to obtain an analytical solution for the velocity of the nanofluid. In addition, analytical solutions for the streaming potential and electrokinetic energy conversion (EKEC) efficiency of the nanofluid in the channel were obtained through calculations. Further image analysis is conducted to investigate the changes in fluid flow velocity, streaming potential, EKEC efficiency and volume flow with the variation of couple stress parameters, Darcy number, nanoparticle volume fraction, and dimensionless pressure gradient parameters.

Graphical abstract

关键词

偶应力 / 纳米流体 / 电渗流 / 电动能量转换效率 / 流动电势

Key words

couple stress / nanofluids / electroosmotic flow / electrokinetic energy conversion efficiency / streaming potential

近年来，微流体技术为微电子、发电、汽车和航空航天等工业领域提供了新的动力^[1-3]。采用合适的强化传热技术是优化这些能量装置的关键。电渗透是一种重要的电动力学现象，在微流体和微机电系统中起着重要的作用。电渗流(electroosmotic flow, EOF)是一种重要的电动现象。当固体壁面与电解质溶液接触时，固液接触面会发生水解反应，从而被极化，形成表面电荷。表面电荷会吸引溶液中的异性离子同时排斥同性离子，使得固液界面附近形成正负离子浓度差，从而形成带电液体薄层，即双电层(Electric double layer, EDL)。在微纳米通道中，假设固体壁面带负电荷并在通道的主轴方向施加一个恒定的电场，由于电场力的作用，双电层中的离子会带动附近流体微团沿着电场方向发生移动，从而形成电渗流^[4]。Choi等^[5]提出的纳米流体具有独特的传热性能，可以大大提高液体的热导率，并且不易对管道造成磨损和堵塞。已经有学者对纳米流体在各种几何构型下的电渗流进行了研究^[6-8]。

另一种重要的电动现象是流动电势^[9-11]，它不需要外部电场，当施加压力梯度时，就会产生电场，进而产生流动电势，流动电势是一种特殊的电渗流。关于流动电势的研究大多集中在传热和能量转换效率上。将压力驱动产生的机械能和EDL的化学能转化为流动电流的电能，这种从微/纳流体通道获取电能的过程称为电动能量转换^[12-14]。Xie等^[15]在不考虑重叠EDL的情况下，从理论上研究了纳米流体的电动能量转换。在微观尺度上，经典连续介质力学无法解释材料尺寸效应的影响，因此，有必要引入一种新的理论来描述颗粒微观结构与尺寸参数之间的关系。偶应力理论^[16]是一种典型的非经典连续介质理论，主要关注牛顿黏度理论中通常被忽略的粒径效应。偶应力弹性理论是经典弹性理论的推广，许多研究者已经对偶应力流体的流动和传热进行了探讨研究^[17-19]。Romesh等^[20]确定了滑动边界条件下不可压缩偶应力流体的三种基本流动的速度和体积流量，分析了滑移参数、偶应力参数和压力梯度对速度的影响，结果表明，由于偶应力的存在，速度减小。Maurya等^[21]研究了偶应力流体通过封闭固体球体多孔介质的流动。Ashmawy^[22]研究了界面滑移条件下旋转球体周围偶应力流体的非平稳Stokes流动问题。

综上所述，关于压力梯度和电场的共同作用下偶应力纳米流体的流动及能量转化研究讨论相对较少。因此，本研究对微通道中具有偶应力的纳米流体流动及能量转化进行了理论研究。分析了微纳管道内纳米颗粒体积分数、无量纲压力梯度参数和偶应力参数等对流速、流动电势、EKEC效率和体积流率的影响。

1 理论与模型

考虑流域高度为2H的微纳米流体通道，通道中填充了含偶应力的纳米流体电解质溶液，如图1所示。电解质液体与管壁的化学相互作用在固液界面处产生EDL。此外，考虑沿轴向的恒定压力梯度-\mathrm{d}p/\mathrm{d}{x}^{\text{'}}，流体在外电场E_o的驱动下沿纳米管道x方向流动。

1.1 电势及其近似解

根据电动学理论，EDL内的电势分布可以用Poisson-Boltzmann (P-B)方程来描述，表示为

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{\psi }^{\text{'}}}{\mathrm{d}{z^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}=-\frac{{\rho }_e}{\epsilon }(1)

其中，{\psi }^{\text{'}}是电势，\epsilon是电解质的介电常数，{\rho }_e是净电荷密度。在对称离子型电解质溶液中，净电荷密度可以用Boltzmann分布表示：

{\rho }_e=-\mathrm{2}{n}_{\mathrm{0}}{z}_{\mathrm{0}}e\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\frac{z_{\mathrm{0}}e{\psi }^{\text{'}}}{k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}}\right)(2)

其中，n_{\mathrm{0}}为溶液离子体积浓度，e为自由电子电荷，z₀为离子化合价，k_{\mathrm{B}}为Boltzmann常数，T_{\mathrm{a}\mathrm{v}}为通道横截面的平均绝对温度。认为电势比热势小的多，即z_{\mathrm{0}}e{\psi }^{\text{'}}\le k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}，因此，应用Debye-Hückel近似\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(z_{\mathrm{0}}e{\psi }^{\text{'}}/k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\right)\approx z_{\mathrm{0}}e{\psi }^{\text{'}}/k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\right)将方程(1)线性化并引入以下无量纲形式z=\frac{z^{\text{'}}}{H}和K=\kappa H，其中\kappa ={\left(\mathrm{2}{n}_{\mathrm{0}}{e}^{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}/\epsilon k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}是Debye-Hückel参数，P-B方程改写为

\psi =\frac{e{z}_{\mathrm{0}}{\psi }^{\text{'}}}{k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}},\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\psi }{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}=K^{\mathrm{2}}\psi(3)

相应的无量纲边界条件为

{\left.\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}z}\right|}_{z=\mathrm{0}}=\mathrm{0}(4)

{\left.\psi \right|}_{z=\mathrm{1}}=\zeta(5)

其中，\zeta =e{z}_{\mathrm{0}}{\zeta }^{\text{'}}/k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}为通道壁面剪切面上的无量纲zeta电位，该zeta电位很小，满足Debye-Hückel近似，因此，在边界条件(4)~(5)下，静电势分布的无量纲形式为

\psi =\zeta \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Kz\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)}(6)

1.2 速度场求解

本文研究的含偶应力纳米流体模型的控制方程可表示为连续性方程和动量方程，分别为

\nabla \cdot q=\mathrm{0}(7)

\begin{array}{l}\rho \left[\frac{\partial q}{\partial t^{\text{'}}}+\left(q\cdot \nabla \right)\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\nabla \left(pc\right)\right)-\nabla P\\ -\mu \left(\nabla \times \nabla \times q\right)-\eta \left(\nabla \times \nabla \times \nabla \times q\right)\\ +\left(\lambda +\mathrm{2}\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot q\right)+F_x\end{array}(8)

其中，q是速度场，\rho是流体密度，\lambda \mathrm{、}\mu是黏度系数，c是单位质量的体力偶，P是压力，\eta是偶应力黏度系数。由于外加电场的出现，物体的力由电场产生的电场力构成。此外，多孔介质也产生相对于纳米流体的阻力，因此，F_x为沿流动方向作用在纳米流体力上的力，表示为

F_x={\rho }_e{E}_{\mathrm{0}}-\frac{{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}{k}u(9)

其中，{\rho }_e为双电层电荷密度，k为多孔介质的渗透率，{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}为纳米流体的有效黏度，表达式为{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=\mu /{\left(\mathrm{1}-\varphi \right)}^{\mathrm{2.5}}，\varphi为纳米颗粒体积分数。

将式(6)代入方程(8)，动量方程修正形式为

-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}{x}^{\text{'}}}+\mu \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{d}{z^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}-\eta \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{d}{z^{\text{'}}}^{\mathrm{4}}}-{\kappa }^{\mathrm{2}}\epsilon E_{\mathrm{s}}\zeta \times \frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\kappa z^{\text{'}}\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\kappa H\right)}+\frac{{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}{k}{u}^{\text{'}}=\mathrm{0}(10)

无滑移边界条件和关于轴的对称条件可写成

{\left.u\text{'}\left(z^{\text{'}}\right)\right|}_{z^{\text{'}}=\pm H}^{}=\mathrm{0},{\left.\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{u}^{\text{'}}}{\mathrm{d}{z^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}\right|}_{z^{\text{'}}=\pm H}=\mathrm{0}(11)

引入无量纲变量

z=\frac{z^{\text{'}}}{H},u=\frac{u^{\text{'}}}{U_{HS}},Da=\frac{k}{H^{\mathrm{2}}},K=\kappa H,\eta =\frac{\mu }{{\mu }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}(12)

其中，U_{HS}=-\epsilon E_{\mathrm{s}}\zeta /\mu为参考电渗透速度，K为无量纲EDL的电动宽度，Da为达西参数，H是流域的一半高度。

将上述无量纲应用于式(10)和式(11)，可以得到动量方程的无量纲形式和边界条件如下:

\Omega +\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{1}}{r}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{4}}u}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{4}}}+K^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Kz\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)}-\frac{\mathrm{1}}{Da\eta }u=\mathrm{0}(13)

{\left.u\right|}_{z=\pm \mathrm{1}}=\mathrm{0},{\left.\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}u}{\mathrm{d}{z}^{\mathrm{2}}}\right|}_{z=\pm \mathrm{1}}=\mathrm{0}(14)

其中，\Omega =\mathrm{\Delta }P{H}^{\mathrm{2}}/\mu U_{HS}是无量纲压力梯度参数，r=\sqrt[]{\mu H^{\mathrm{2}}/\eta }是偶应力参数。因此，流域中的EOF流速可由边界条件(14)求得

u\left(z\right)=A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(r_{\mathrm{1}}z\right)+B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(r_{\mathrm{2}}z\right)+C\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(Kz\right)+D(15)

其中，

\begin{array}{l}{r}_{\mathrm{1}}=\pm \sqrt[]{\frac{r^{\mathrm{2}}+\sqrt[]{r^{\mathrm{4}}-\mathrm{4}{r}^{\mathrm{2}}/Da\eta }}{\mathrm{2}}},\\ r_{\mathrm{2}}=\pm \sqrt[]{\frac{r^{\mathrm{2}}-\sqrt[]{r^{\mathrm{4}}-\mathrm{4}{r}^{\mathrm{2}}/Da\eta }}{\mathrm{2}}},\\ {\delta }_{\mathrm{1}}=C\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)+D,\\ {\delta }_{\mathrm{2}}=C{K}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right),\\ A=\frac{-r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}+{\delta }_{\mathrm{2}}}{\left(r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(r_{\mathrm{1}}\right)},\\ B=\frac{r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}-{\delta }_{\mathrm{2}}}{\left(r_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-r_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(r_{\mathrm{2}}\right)},\\ C=\frac{r^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}Da\eta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)\left(K^{\mathrm{4}}Da\eta -r^{\mathrm{2}}{K}^{\mathrm{2}}Da\eta -r^{\mathrm{2}}\right)},\\ D=Da\eta \mathrm{\Omega }\mathrm{。}\end{array}

1.3 流动电势

为了评估流动电势E_{\mathrm{s}}，应用电中性条件，流动电流和传导电流在稳定状态下保持动态平衡，即i_{\mathrm{c}}+i_{\mathrm{s}}=\mathrm{0}。因此，可以求出流动电势E_{\mathrm{s}}，电中性条件如下：

i=\mathrm{2}e{z}_{\mathrm{0}}{\int }_{-H}^{\mathrm{0}}\left(n_{+}{u}_{+}-n_{-}{u}_{-}\right)\mathrm{d}{z}^{\text{'}}=i_{\mathrm{c}}+i_{\mathrm{s}}=\mathrm{0}(16)

其中，i_{\mathrm{s}}是流动电流，i_{\mathrm{c}}是传导电流，正离子(u_{+} )和负离子(u_{-} )的速度是流体平流速度(u^{\text{'}} )和电迁移速度\pm e{z}_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{s} }^{\text{'}}/f_{\pm }的组合，可以表示为

u_{\pm }=u^{\text{'}}\pm \frac{e{z}_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{s}}^{\text{'}}}{f_{\pm }}(17)

式(17)中，f_{\pm }为阳离子和阴离子的离子摩擦系数,假设两者相同，即f_{+}=f_{-}=f。利用线性化Boltzman分布

\begin{array}{l}{n}_{\pm }=n_{\mathrm{\infty }}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[\mp \left(e{z}_{\mathrm{0}}{\psi }^{\text{'}}\right)/\left(k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\right)\right]\\ \approx n_{\mathrm{\infty }}\left[\mp \left(e{z}_{\mathrm{0}}{\psi }^{\text{'}}\right)/\left(k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\right)\right]\end{array}(18)

和式(17)，无量纲净离子电流可简化为

{\int }_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\psi u{U}_{HS}\mathrm{d}z=\frac{e{z}_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{s}}{E}_{\mathrm{0}}}{f}(19)

将式(6)和式(15)带入方程(19)可得到流动电势E_{\mathrm{s}},

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{s}}=\frac{f}{e{z}_{\mathrm{0}}{E}_{\mathrm{0}}}\left\{-\frac{\zeta A{U}_{HS}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(K+r_{\mathrm{1}}\right)}{K+r_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(K-r_{\mathrm{1}}\right)}{K-r_{\mathrm{1}}}\right)-\frac{\zeta B{U}_{HS}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(K+r_{\mathrm{2}}\right)}{K+r_{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(K-r_{\mathrm{2}}\right)}{K-r_{\mathrm{2}}}\right)\right.\\ \left.-\frac{\zeta C{U}_{HS}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(K\right)}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}K}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\mathrm{2}K\right)\right)-\frac{\zeta D{U}_{HS}}{K}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(K\right)\right\}\end{array}(20)

1.4 能量转换效率

在流体流动过程中，机械能转化为电能是电动流动中一个重要的应用。实际上，流向电流可以应用到外部负载上，从而实现能量转换。根据上述得到的流动速度和流动电势，可以计算出电动能量转换效率\xi，其数学表达式如下：

\xi =\frac{P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}{P_{\mathrm{i}\mathrm{n}}}(21)

其中，P_{\mathrm{i}\mathrm{n}}为输入功率，P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}为输出功率，输入功率和输出功率主要是由上述获得的流动速度，流动电势和流向电流决定，具体的表达式分别为

P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\left|\left(\frac{i_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{E_{\mathrm{s}}}{\mathrm{2}}\right)\right|(22)

P_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=\left|-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{x}^{\text{'}}}{Q}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}\right|(23)

其中，Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}代表纯压力驱动情形下输入的体积流率，可以表示为

Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\int }_{\mathrm{0}}^H-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{\mu }_f}\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}{x}^{\text{'}}}\left(H^{\mathrm{2}}-{z^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{d}{z}^{\text{'}}(24)

i_{\mathrm{s}}=\mathrm{2}e{z}_{\mathrm{0}}{\int }_{\mathrm{0}}^H{u}^{\text{'}}\left(n_{+}-n_{-}\right)\mathrm{d}{z}^{\text{'}}(25)

由式(21)~(25)得到\xi，

\xi =\mathrm{3}{K}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}{u}_r^{\mathrm{2}}\chi(26)

其中，\chi =\frac{k_{\mathrm{B}}{T}_{\mathrm{a}\mathrm{v}}\mu }{f\epsilon {{\zeta }^{\text{'}}}^{\mathrm{2}}}。

2 结果与分析

为了以图形的方式直观地呈现出相关参数对EOF流速的影响，确定参数的取值范围是很重要的。控制EOF在微通道内流速、流动电势和能量转换效率最重要的选择参数是偶应力参数r。本研究中流体黏度μ的取值范围是1×10^-3~1.5×10^-3 Pa·s，管道半高H的取值范围是10~500 μm，偶应力参数r的取值范围是0.5~10，无量纲EDL的电动宽度K的取值范围是0~30，无量纲压力梯度参数Ω的取值范围是-1~1，此外，参考电渗透速度U_HS 为5×10³ m/s。T_{\mathrm{a}\mathrm{v}}为298 K，k_{\mathrm{B}}为\mathrm{1.381}\times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{23}} JK。其他无量纲参数是通过分析相关文献[23-25]确定的。下面将解释这些参数如何影响流速、流动电势和能量转换效率的分布。

图2描述了偶应力参数、纳米颗粒体积分数、无量纲压力梯度参数和无量纲EDL的电动宽度对通道中无量纲速度的影响。从图2(a)可以看出，无量纲速度首先向微通道壁面方向增大，然后向微通道中心方向逐渐减小，这是因为当偶应力参数增加时，偶应力黏度系数减小，式(13)中的阻力项\left(-u/\left(Da\eta \right)\right)在通道中心线附近的速度下降中起的作用更大。纳米颗粒体积分数的变化对无量纲速度分布的影响较为明显。如图2(b)所示，纳米流体的无量纲速度随着体积分数的增大而减小。这幅图提供了对纳米流体的纳米颗粒体积分数的关键理解，纳米颗粒的出现可以增强纳米流体的有效黏度，有效黏度与速度相对应。这里需要说明的是，无量纲压力梯度参数Ω\left(\Omega =-\left(\mathrm{d}p/\mathrm{d}{x}^{\text{'}}\right)H^{\mathrm{2}}/\left(\mu U_{HS}\right)\right)表示压力驱动与电渗透力的相对度量。当\Omega =\mathrm{0}时，流体流动为纯电渗流动，即沿通道轴向不存在压力梯度产生的影响。当\Omega \ne \mathrm{0}时，压力驱动和电渗透力的作用都得到了体现。由图2(c)观察到随着Ω值的增加，流速增大。需要说明的是，\Omega >\mathrm{0}表示压力不利流动，因此，增大无量纲压力梯度参数意味着沿流动方向的压力驱动占主导地位，最终，施加的压力梯度加速了EOF在通道内的流动速度。由图2(d)可以看出，流速的大小随无量纲EDL的电动宽度增大而增大，速度的大小最终接近于壁面附近的最大值，这是因为无量纲EDL的电动宽度越大，表明管道中自由带电离子的密度越小，这将导致纳米流体的运动阻力越小。无量纲速度随达西数的变化如图2(e)所示，可以清楚地看到，无量纲速度随着达西数的增加而增加，这是因为当达西数增加时，流体流动阻力减小，从而无量纲速度增大。

图3描述了管道内纳米流体的无量纲流动电势在不同参数下随无量纲EDL的电动宽度的变化。

偶应力参数对无量纲流动电势的影响如图3(a)所示。随着偶应力参数的增大，流动电势减小。纳米颗粒体积分数对流动电势的影响如图3(b)所示。随着无量纲EDL的电动宽度增大，流动电势逐渐增强，最终趋近于零。这个事实表明，无量纲EDL的电动宽度越大，EDL厚度越小，即自由带电离子的密度减小。因此，在EDL的去除区域，特别是在微通道中心，流动电势表现较弱，这将导致纳米流体的电中性状态。同样，由纳米颗粒体积分数对流动势的影响发现，随着纳米颗粒体积分数的增加，流动电势增加。图3(c)给出了不同无量纲压力梯度参数下的无量纲流动电势的分布。观察到随着无量纲压力梯度参数的增加，流动电势减小。图3(d)描述的是不同达西数对流动电势的影响。结果表明，流动电势随着达西数的增大而减小，这是因为当达西数增加时，多孔介质可渗透度增大，即多孔介质中的障碍物减少，流体摩擦减少，对于流体区强度的影响减小，流动电势减小。

图4描述了不同参数（偶应力参数、纳米颗粒体积分数、无量纲压力梯度参数、达西数）下EKEC效率随无量纲EDL的电动宽度的变化。研究发现，EKEC效率随无量纲EDL的电动宽度变化，且不同参数对EKEC效率的影响不同，但EKEC效率都是先增加后减小。

从图4(a)可以看出，EKEC效率随着偶应力参数的增大而增大。当偶应力参数增大时，偶应力黏度系数减小，因此，流速增加，这进一步导致流动电势增加，从而提高EKEC效率。此外，从EKEC效率的表达式可以看出，EKEC效率与流动电势成正比，偶应力参数的增加导致流动电势增强，因此，EKEC效率也逐渐提高。由图4(b)可以看出，随着纳米颗粒体积分数的逐渐增加，EKEC效率下降，这是因为增加纳米颗粒的体积分数会导致纳米流体黏度的增加，从而阻碍纳米流体的流动并降低EKEC效率。图4(c)表明，无量纲压力梯度参数增大时，流速增加，进一步导致流动电势降低。从图4(d)可以看出，随着达西数的增加，EKEC效率逐渐增大，当达西数增大时，压力梯度-\mathrm{d}p/\mathrm{d}{x}^{\text{'}}会减小，从而导致EKEC效率逐渐增加。根据式(21)中能量转换效率的定义，较小的压力梯度会引起输入功率的减小，进而导致EKEC效率的增加。

图5描述了不同参数（偶应力参数、纳米颗粒体积分数、无量纲压力梯度参数、达西数）下体积流率随无量纲EDL电动宽度的变化。从图5(a)中观察到体积流率随着偶应力参数的增加而增加，这是因为较小的偶应力参数意味着驱动过程中偶应力的重要性较低（或不存在偶应力），这种类型的流动在通过微流体系统的物种输送中具有重要的应用。由图5(b)可以看出，随着纳米颗粒体积分数的逐渐增加，体积流率下降，这是因为增加纳米颗粒的体积分数会导致纳米流体流速的降低。图5(c)表明，体积流率随无量纲压力梯度参数的增大而增大，这是由于净体积输运中轴向驱动力的影响更大。从图5(d)可看出，体积流率随达西数的增大而增大。

3 结论

本文分析了含偶应力的纳米流体在压力梯度和外加电场作用下通过纳米管道中的流动特性，从理论上得到了纳米管道内的流速、流动电势、EKEC效率和体积流率的解析解。用图形说明了偶应力参数、纳米颗粒体积分数、无量纲压力梯度参数、无量纲EDL的电动宽度和达西数对流速、流动电势、EKEC效率和体积流率的影响。当其他参数一定时，较大的偶应力参数、达西数和无量纲压力梯度参数都会产生较小的流动电势。相反，纳米颗粒体积分数越大，流动电势越大。此外，研究结果还表明，较大的偶应力参数、达西数、无量纲压力梯度参数和较小的无量纲EDL的电动宽度可以有效提高纳米流体的EKEC效率。

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金项目(2023MS01012)

内蒙古自治区高等学校科学研究重点项目(NJZZ23076)

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20230031)