一种可供选择的敏感问题项目计数调查法

An alternative item count technique for sensitive questions survey

摘要

针对经典项目计数法中存在的“天花板和地板效应”，采用将敏感问题与一个非敏感问题进行复合的方法，设计一种新的估计敏感问题比例的项目计数法。在新方法中，两个实验组中都包含敏感问题。理论和数值模拟结果表明，在一定条件下，新方法可以获得更有效的估计量，该方法不仅提高了隐私保护度，也消除了经典项目计数法的“天花板和地板效应”。

Abstract

In response to the "ceiling and floor effects" present in the classical item count technique, a new item count technique is designed to estimate the proportion of sensitive questions by combining a sensitive question with a non-sensitive one. In the new approach, both experimental groups contain sensitive questions. Theoretical and numerical simulation results show that under certain conditions, the new method can obtain more effective estimators, which not only enhances privacy protection, but also eliminates the "ceiling and floor effects" of the classical item count technique.

关键词

敏感性问题 / 项目计数法 / 随机化回答技术

Key words

sensitive question / item count technique / randomized response technique

在抽样调查中，敏感性问题调查由于与受访者的隐私相关，收集有效的真实数据异常困难，对受访者直接进行敏感问题调查时，受访者出于对自身隐私的保护，很可能给出具有误导性的回答。Warner^[1]开创性地提出了利用随机化回答技术 (Randomized response technique，RRT)解决有关属性特征敏感性问题调查时的困难。这种方法虽然有着良好的统计性质，但并不能使受访者很好地认识到随机化方法对其隐私保护的技术实质，因此，容易出现不按技术要求进行做答的情况。不真实的回答结果会导致统计精度低，甚至会导致推断结果与真实结果产生很大的偏差。Miller^[2]首先提出了项目计数法 (Item count technique，ICT)，方法如下：将被调查者随机分配为对照组和实验组，对照组包含G个非敏感二值属性问题，而实验组包含对照组的问题再增加1个所关心的敏感问题，即G+1个问题。每个问题均为被调查者实际是否具有该问题属性的二值变量，如具有，值为1，否则，值为0；两组中个体均回答所有问题答案之和。此方法使受访者容易认识到自己的隐私是如何得到保护的，因此，提高了受访者做出真实可靠回答的可能性。由于不使用随机化装置，大大降低了调查成本。但经典ICT存在所谓的“天花板和地板效应”，“天花板效应”是指实验组中回答值为G+1的受访者会直接暴露其具有敏感属性，从而极大降低其给出真实回答的可能性。“地板效应”是指实验组回答值为0的受访个体不具有敏感特征，这样，就存在实验组受访者出于对个人隐私的保护而选择回答0。Ahlquist^[3]指出ICT中问题的最佳设计旨在保证极少数受访者出现这两种极端情况，但经典ICT无法解决这两种极端情况。为了解决这两种极端情况，Christofides等^[4-5]通过让真实回答项为G+1和0的受访者，分别回答1和G，同时解决两种效应带来的影响。两种改进都会增大某些回答污名化的概率，真实情况为0的受访者被迫回答G，很大程度上提高了其被误认为具有敏感特征的可能性，使得受访者给出不真实的回答。Hussain等^[6]提出了一种单组的项目计数法，这种方法需要知道所有非敏感问题在人群中比例，需要很合理地设计非敏感问题来获得有效的统计量。Wu等^[7]在使用泊松或负二项分布来替代经典ICT中的非敏感问题的情况下，同时考虑了实际调查中的非依从行为，既简化了调查设计，又不泄露受访者的隐私。Bernardelli等^[8]进一步解决了Poisson项目计数法中样本量最佳分配问题。Qiu等^[9]考虑了基于区间估计的样本量确定的问题，导出四种不同的随机化回答模型的样本量公式，可以在给定的置信水平上控制置信区间的宽度，保证达到预定精度。Liu等^[10]、刘寅等^[11]和吴琴等^[12]对Poisson项目计数法进行了扩展，从定性敏感问题扩展到定量敏感问题，提出解决定量敏感问题的零浮动Poisson项目计数法，并在一个调查汽车保险理赔欺诈行为中进行了应用。Chou等^[13]在ICT中引入敏感问题辅助信息来提高估计的效率。Li等^[14]综合过去二十年发表的有关ICT的54项研究发现，使用ICT代替直接提问时，获得坦诚回答的可能性更高，数值上体现在一个敏感项目被选择的概率比直接提问高0.089。De等^[15]通过实际调查案例也显示，当直接向孕妇询问有关香烟消费问题时，使用经典项目计数，患病率估计偏差存在显著下降趋势。项目计数法被广泛应用于社会科学调查中，如Boto-García等^[16]使用项目计数法来获取曾经具有结束夫妻关系意图人数的比例，Nakai^[17]通过项目计数法来获取具有反移民情绪的公民比例。更多的研究文献见[18-21]。因此，ICT调查方法及其改进方法具有广阔的应用空间。使用随机化技术及其变形的关键在于通过随机化技术污染数据从而隐藏了受访者的真实状态。传统及其改进的项目计数法通常需要两组数据，一组包含敏感问题，另一组不包含敏感问题，通过两组数据来对总体敏感比例进行估计，因此不包含敏感问题的受访组没有提供有关敏感问题的信息。受到Kowalczyk等^[22]及Gaia等^[23]研究模型的启发，通过设置两个实验组，每组都包含敏感问题，同时对回答0和G+1的情况进行了改进，使得回答0不再表示没有敏感属性，回答G+1也不表示一定具有敏感属性，消除了传统项目计数法的“天花板和地板效应”，减少了受访者为了保护自己而故意回答0现象出现的可能性，也提高了对真实回答G+1的保护程度。与Christofides等^[4]的研究比较，可以保留部分0和G+1的报告值，同时两个实验组中，对于同一种可能被模型误判的情况分别设置为相反的回答，一定程度上削弱了受访者由于担心暴露而故意给出虚假答案的意愿，克服了样本数据误差大导致统计精度差的问题。

1 双实验组的项目计数法

两个实验组中的受访者需要对问卷中G个非敏感问题以及一个包含敏感问题的复合问题进行作答，其中G个非敏感问题用G个随机变量表示，其相互独立且服从参数为的0~1分布，复合问题中敏感问题和非敏感问题对应两个随机变量，独立且分别服从参数为的0~1分布。

实验一组：受访者对于每个非敏感问题，符合计数为1，否则计数为0。个体对第i个非敏感问题示性值记为

{\alpha }_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G\right),X_{\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\alpha }_i,(\mathrm{0}\le X_{\mathrm{1}}\le G)

对于包含敏感问题的复合问题：S_{\mathrm{1}}=1表示同时具有敏感问题属性和非敏感问题属性或者同时不具有敏感问题属性和非敏感问题属性；S_{\mathrm{1}}=0表示其他情况。报告中所有非敏感问题示性值和复合问题示性值的和记为Y_{\mathrm{1}}。

实验二组：非敏感问题与实验一组中的非敏感问题相同，个体对第i个非敏感问题的示性值记为

{\beta }_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G\right),X_{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\beta }_i,(\mathrm{0}\le X_{\mathrm{2}}\le G)

对于包含敏感问题的复合问题：S_{\mathrm{2}}=0表示同时具有敏感问题属性和非敏感问题属性或者同时不具有敏感问题属性和非敏感问题属性；S_{\mathrm{2}}=1表示其他情况。报告所有非敏感问题示性值和复合问题示性值的和记为Y_{\mathrm{2}}。

根据上述ICT，可得

\left\{\begin{array}{l}{Y}_{\mathrm{1}}=X_{\mathrm{1}}+S_{\mathrm{1}},Y_{\mathrm{1}}\ge \mathrm{0}\\ Y_{\mathrm{2}}=X_{\mathrm{2}}+S_{\mathrm{2}},Y_{\mathrm{2}}\ge G+\mathrm{1}\end{array}\right.(1)

对式(1)求期望可得

\begin{array}{l}E(Y_{\mathrm{1}})=E(X_{\mathrm{1}})+E(S_{\mathrm{1}})=E\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\alpha }_i\right)+E(S_{\mathrm{1}})\\ ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i+E(S_{\mathrm{1}})\end{array}(2)

\begin{array}{l}E(Y_{\mathrm{2}})=E(X_{\mathrm{2}})+E(S_{\mathrm{2}})=E\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\beta }_i\right)+E(S_{\mathrm{2}})\\ ={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i+E(S_{\mathrm{2}})\end{array}(3)

式(2)和式(3)做差：

E(Y_{\mathrm{1}})-E(Y_{\mathrm{2}})=\left(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}\right)\pi +\mathrm{1}-\mathrm{2}\lambda(4)

因此，

\pi =\frac{E(Y_{\mathrm{1}})-E(Y_{\mathrm{2}})}{\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(5)

从总体中抽取大小为n的简单随机样本，随机分成两组，n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}分别为两个实验组的受访者数量。按提出的项目计数方法进行调查。记Y_{\mathrm{1}i}\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,n_{\mathrm{1}}\right),Y_{\mathrm{2}j}\left(j=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,n_{\mathrm{2}}\right)分别为实验一组、实验二组中受访者的子样本，基于矩估计理论，得到敏感问题比例\pi的新估计量为

{\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}=\frac{\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}-\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}}{\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(6)

其中，\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}},\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}分别为两个实验组中受访者回答的均值。

进一步，

\begin{array}{l}E({\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}})=\frac{E\left(\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}\right)-E\left(\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}\right)}{\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\\ =\frac{\pi \lambda +(\mathrm{1}-\pi )(\mathrm{1}-\lambda )-\left[(\mathrm{1}-\pi )\lambda +\pi (\mathrm{1}-\lambda )\right]}{\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\\ =\pi ,\end{array}

因此，式(6)给出的估计为敏感问题比例\mathrm{\pi }的无偏估计。

当复合问题中非敏感问题的概率设置为0时，实验二组与传统的项目计数法的实验组问卷相同。当复合非敏感问题的概率设置为1时，实验一组与传统的项目计数法的实验组问卷相同。所以，本文提出的ICT是经典ICT的改进。

2 模型比较

2.1 效率比较

假设受访者没有非依从行为且非敏感问题相同独立，选择方差作为测度，与经典ICT进行精度比较。

经典ICT中敏感比例估计量及其方差使用Hussain^[24]给出的方法：

\begin{array}{c}{\widehat{\pi }}_{\mathrm{t}}=\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}-\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}\\ \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\widehat{\pi }}_{\mathrm{t}})=\frac{\pi (\mathrm{1}-\pi )}{n_{\mathrm{2}}}+\frac{n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i\left(\mathrm{1}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i\right)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}+\frac{\stackrel{G}{\underset{i,k=\mathrm{1},i\ne k}{n\sum {\theta }_i{\theta }_k}}}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\end{array}，

经过变形得

\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\widehat{\pi }}_{\mathrm{t}})=V\left(\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}\right)+V\left(\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}\right)=\frac{\pi (\mathrm{1}-\pi )}{n_{\mathrm{2}}}+\frac{n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i(\mathrm{1}-{\theta }_i)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}(7)

本文提出的敏感比例估计量的方差为

\begin{array}{l}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}})=\frac{V\left(\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}\right)+V\left(\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}\right)}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\\ =\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\left[\frac{V\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\alpha }_i+S_{\mathrm{1}}\right)}{n_{\mathrm{1}}}+\frac{V\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\alpha }_i+S_{\mathrm{2}}\right)}{n_{\mathrm{2}}}\right]\\ =\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\left[\frac{n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i(\mathrm{1}-{\theta }_i)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}+\frac{nV(S)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\right]\\ =\frac{\mathrm{1}}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\frac{n{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^G}{\theta }_i(\mathrm{1}-{\theta }_i)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}+\frac{n}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\frac{\lambda (\mathrm{1}-\lambda )}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\\ +\frac{n\pi (\mathrm{1}-\pi )}{\mathrm{4}{n}_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\end{array}(8)

其中，

\begin{array}{l}V(S)=\left[\pi \lambda +\left(\mathrm{1}-\pi \right)\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\right]\left[\mathrm{1}-\pi \lambda -\left(\mathrm{1}-\pi \right)\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\right],\\ V(S_{\mathrm{1}})=V(S_{\mathrm{2}})=V(S)\mathrm{。}\end{array}

经典ICT中敏感问题比例估计量的方差是敏感问题的方差与非敏感问题的方差之和。由式(7)可知新方法敏感比例估计量的方差由敏感问题S的方差、非敏感问题的方差和复合问题中非敏感问题的方差三部分组成。两个实验组中复合问题的方差是相等的。计算经典ICT敏感比例估计量方差与本文提出的敏感比例估计量方差的差，记为\Delta：

\begin{array}{l}\Delta =\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left({\widehat{\pi }}_{\mathrm{t}}\right)-\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left({\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}\right)\\ =\left(\frac{\mathrm{1}}{n_{\mathrm{2}}}-\frac{n}{\mathrm{4}{n}_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\right)\left(\mathrm{1}-\pi \right)\pi +\left(\frac{n}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}-\frac{n}{{(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2})}^{\mathrm{2}}}\right){\displaystyle \sum _i^G}{\theta }_i\left(\mathrm{1}-{\theta }_i\right)\\ -\frac{n}{{\left(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}\frac{\lambda \left(\mathrm{1}-\lambda \right)}{n_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{2}}}\end{array}(9)

由于式(9)中的参数\pi未知，很难得到明显的参数条件，使得\Delta为正值，但存在确定参数使得式(9)结果为正，例如在，\lambda固定取值后，一定可以得到{\theta }_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G\right)使得式(9)的取值为正。表明新模型可以通过设置非敏感问题来获得方差小于传统ICT的估计量。第四小节中的数值模拟结果显示式(9)得到正值的条件往往没有那么苛刻。

2.2 样本容量的确定

在调查之前，不同实验组的样本量应该提前确定，以提高调查的效率，在总样本容量确定的条件下，式(8)最小时，调查效率最高。

当复合问题中非敏感问题概率\lambda确定时，式(8)的取值由样本总量与各实验组样本量乘积的比值来确定。通过简单的方程求解可知当其他参数条件确定后，两个实验组样本量相等时，统计量的方差最小，从而调查效率最高。

3 隐私保护度

本节使用经典的Lanke ^[25]方法和Chaudhuri等^[26]方法对新方法和经典项目计数法的隐私保护度进行比较，并给出了数值模拟结果。

在二值问题中Lanke方法通过使用两种回答情况下，暴露概率最大值作为隐私保护度的度量值，当隐私保护度越高时，暴露概率的最大值越小。推广到项目计数法中，可以取不同回答中暴露概率的最大值，作为对隐私保护度的度量。

设S表示受访者是否具有敏感属性，R表示受访者的回答值，p_i\left(i=\mathrm{0},\mathrm{1},\cdots ,G\right)表示G个非敏感问题回答值的和取值为i的概率，则回答值为m的暴露概率定义为

P\left(S=\mathrm{1}\left|R=m\right.\right)=\frac{\theta p_{m-\mathrm{1}}}{\theta p_{m-\mathrm{1}}+\left(\mathrm{1}-\theta \right)p_m}(10)

使用经典ICT的最大暴露概率为

\begin{array}{l}{D}_{\mathrm{t}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[P\left(S=\mathrm{1}\left|R=\mathrm{0}\right.\right),\cdots ,P\left(S=\mathrm{1}\left|R=G+\mathrm{1}\right.\right)\right]\\ =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[\mathrm{0},\frac{\theta p_{\mathrm{0}}}{\theta p_{\mathrm{0}}+\left(\mathrm{1}-\theta \right)p_{\mathrm{1}}},\cdots ,\frac{\theta p_{G-\mathrm{1}}}{\theta p_{G-\mathrm{1}}+\left(\mathrm{1}-\theta \right)p_G},\mathrm{1}\right]\\ =\mathrm{1}\end{array}(11)

而新方法中实验一组的最大暴露概率为

\begin{array}{l}{D}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{1}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left[P\left(S=\mathrm{1}\left|R=\mathrm{0}\right.\right),\cdots ,P\left(S=\mathrm{1}\left|R=G+\mathrm{1}\right.\right)\right]\\ =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)}{\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)+\left(\mathrm{1}-\pi \right)\lambda },\right.\\ \frac{\pi \lambda p_{k-\mathrm{1}}+\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)p_k}{p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}\pi \lambda +\mathrm{1}-\pi -\lambda \right)+p_k\left(\pi +\lambda -\mathrm{2}\mathrm{\pi }\lambda \right)},(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G),\\ \left.\frac{\pi \lambda }{\pi \lambda +\left(\mathrm{1}-\pi \right)\left(\mathrm{1}-\lambda \right)}\right\}\end{array}(12)

实验二组的最大暴露概率为

\begin{array}{l}{D}_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{2}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{P\left(S=\mathrm{1}\left|R=\mathrm{0}\right.\right),\cdots ,P\left(S=\mathrm{1}\left|R=G+\mathrm{1}\right.\right)\right\}\\ =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\frac{\pi \lambda }{\pi \lambda +\left(\mathrm{1}-\pi \right)\left(\mathrm{1}-\lambda \right)},\right.\\ \frac{\pi \lambda p_k+\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)p_{k-\mathrm{1}}}{p_k\left(\mathrm{2}\pi \lambda +\mathrm{1}-\pi -\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\left(\pi +\lambda -\mathrm{2}\pi \lambda \right)},(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G),\\ \left.\frac{\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)}{\pi \left(\mathrm{1}-\lambda \right)+\left(\mathrm{1}-\pi \right)\lambda }\right\}\end{array}(13)

由于两个实验组中回答为G+1不再是处于完全暴露中，即暴露概率都小于1，因此优于经典ICT。只要对完全暴露的回答即G+1进行保护，例如回答一个不为G+1的数值都可以得到小于1的最大暴露概率，因此无法很好度量新方法的隐私保护度，Chaudhuri等^[26]提出的方法可以改进这种度量方式。方法如下：

记为第i个受访者具有敏感特征的概率，L_i(R)为第i个受访者回答为R情况下有敏感特征的条件概率。记为

J_i\left(R\right)=\frac{L_i\left(R\right)/L_i}{{\left[\mathrm{1}-L_i\left(R\right)\right]}_{}/\left(\mathrm{1}-L_i\right)}(14)

表示受访者回答值为R时的“危险度量”，量化了受访者回答R时暴露其敏感属性的风险。Worner二值敏感问题随机化调查模型中J_i(R)为J_i(\mathrm{0})和J_i(\mathrm{1})，这两者互为倒数，但在回答值大于2的情况下只度量一个值没有实际意义，因此引入

\overline{J_i}=\frac{\mathrm{1}}{G+\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{G+\mathrm{1}}}{J}_i\left(k\right)(15)

\overline{J_i}作为新的替代度量，取决于ICT中问题的设计，评判的标准是当ICT中设定概率不同的非敏感问题时，计算出不同的\overline{J_i}之间越接近，隐私保护越好。以下进行本文ICT和经典ICT的\overline{J_i}值计算。

首先计算不同情况下的条件概率：

实验一组：

\left\{\begin{array}{l}P\left(R_i=\mathrm{0}\left|S=\mathrm{1}\right.\right)=p_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\\ P\left(R_i=k\left|S=\mathrm{1}\right.\right)=p_k\left(\mathrm{1}-\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\lambda ,(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G)\\ P\left(R_i=G+\mathrm{1}\left|S=\mathrm{1}\right.\right)=p_G\lambda \end{array}\right.(16)

实验二组：

\left\{\begin{array}{l}P\left(R_i=\mathrm{0}\left|S=\mathrm{0}\right.\right)=p_{\mathrm{0}}\lambda \\ P\left(R_i=k\left|S=\mathrm{0}\right.\right)=p_k\lambda +p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right),(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G)\\ P\left(R_i=G+\mathrm{1}\left|S=\mathrm{0}\right.\right)=p_G\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\end{array}\right.(17)

其中，R_i\left(i=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G\right)为第i个受访者的回答值，S=1表示具有敏感属性。

L_i(R)的计算过程如下：

\begin{array}{l}{L}_i(\mathrm{0})=\frac{L_i\left(\mathrm{1}-\lambda \right)p_{\mathrm{0}}}{L_i\left(\mathrm{1}-\lambda \right)p_{\mathrm{0}}+\left(\mathrm{1}-L_i\right)p_{\mathrm{0}}\lambda },\\ L_i(k)=\frac{L_i\left[p_k\left(\mathrm{1}-\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\lambda \right]}{L_i\left[p_k(\mathrm{1}-\lambda )+p_{k-\mathrm{1}}\lambda \right]+\left(\mathrm{1}-L_i\right)\left[p_k\lambda +p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)\right]}\\ \left(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G,\right),\\ L_i\left(G+\mathrm{1}\right)=\frac{L_i\lambda p_G}{L_i\lambda p_G+\left(\mathrm{1}-L_i\right)p_G\left(\mathrm{1}-\lambda \right)}\mathrm{。}\end{array}

因此，可以计算J_i(R)，

\begin{array}{l}{J}_i(\mathrm{0})=\frac{\mathrm{1}-\lambda }{\lambda },\\ J_i\left(k\right)=\frac{p_k\left(\mathrm{1}-\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\lambda }{p_k\lambda +p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)},\left(k=\mathrm{1},\mathrm{2},\cdots ,G\right),\\ J_i\left(G+\mathrm{1}\right)=\frac{\lambda }{\mathrm{1}-\lambda }\mathrm{。}\end{array}

进而计算\overline{J_{i\mathrm{1}}}，

\begin{array}{l}\overline{J_{i\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{G+\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{G+\mathrm{1}}}{J}_i\left(k\right)\\ =\frac{\mathrm{1}}{G+\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}-\lambda }{\lambda }+\frac{\lambda }{\mathrm{1}-\lambda }+{\displaystyle \sum _{K=\mathrm{1}}^G}\frac{p_k\left(\mathrm{1}-\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\lambda }{p_k\lambda +p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)}\right]\end{array}(18)

同理，对于第二个实验组可以得到

\begin{array}{l}\overline{J_{i\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{G+\mathrm{2}}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{G+\mathrm{1}}}{J}_i\left(k\right)\\ =\frac{\mathrm{1}}{G+\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}-\lambda }{\lambda }+\frac{\lambda }{\mathrm{1}-\lambda }+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^G}\frac{p_k\lambda +p_{k-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}-\lambda \right)}{p_k\left(\mathrm{1}-\lambda \right)+p_{k-\mathrm{1}}\lambda }\right]\end{array}(19)

对于经典ICT其J_{G+\mathrm{1}}项取值为正无穷，导致\overline{J_{ic}}=\mathrm{\infty }，当非敏感问题的概率都相等时，\overline{J_{ic}}取值由复合问题中非敏感问题的概率值\lambda决定。非敏感问题的概率都相等，且\lambda确定后，更改概率值不同的非敏感问题，\overline{J_{ic}}都为一个定值，隐私受到很大保护。

4 数值模拟

4.1 统计量点估计平均值模拟

本小节中使用R语言来进行仿真模拟，G表示非敏感问题的数量，n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}分别表示两组受访者的数量，\pi表示真实的敏感问题比例，\lambda表示复合问题中非敏感问题的概率，{\theta }_i表示第i个非敏感问题的概率。对每种情况都进行了1 000次模拟。当G = 7时，取非敏感问题概率\left({\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_{\mathrm{7}}\right)=\left(\mathrm{0.1},\mathrm{0.15},\mathrm{0.2},\mathrm{0.25},\right.\left.\mathrm{0.3},\mathrm{0.35},\mathrm{0.40}\right)，而当G=\mathrm{5}时，取\left({\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_{\mathrm{5}}\right)=\left(\mathrm{0.1},\right.\left.\mathrm{0.15},\mathrm{0.2},\mathrm{0.25},\mathrm{0.3}\right)，得到表1。

表1的模拟结果表明，在没有受访者进行误报和非敏感问题相同的情况下，两个实验组的样本量相同与不同时，新方法和经典ICT方法的估计值的平均值几乎都是相同的。

4.2 统计量点估计方差模拟

本小节分别计算样本容量相同和不同时，经典项目计数法和本文提出方法估计量的方差，以及对两者估计量方差进行对比。参数设定值与4.1节相同，得到表2。

表2的结果表明，当复合问题中非敏感问题的概率\lambda远离0.5时，新方法估计量的方差小于经典ICT。在其他条件都相同的情况下，两个实验组的样本量相同时，估计量的方差大概率会有一定程度的减小，这种情况可以解释为样本量相同时对污名化的抵消程度更高。在其他情况相同时及非敏感问题的概率值相等时，可以减小经典ICT和本文提出方法中估计量的方差，在复合问题中非敏感问题的概率值远离0.5时，估计量的方差值更小。估计量的方差并没有随着非敏感问题数量的增加而减小，是因为增加非敏感问题的数量后，每一种回答值的概率不再相同，无法进行有效的方差比较。而当非敏感问题不变时，增加非敏感问题的数量，估计量的方差会增大。

4.3 模型隐私保护度计算

假设非敏感问题的数量为G，复合问题中非敏感问题的概率为\lambda，G个非敏感问题回答值的和取值为i的概率为p_i\left(i=\mathrm{0},\mathrm{1},\cdots ,G+\mathrm{1}\right)。在分别固定\lambda和p_i下使用Christofides提到的隐私保护度的计算方法，给出两个实验组的隐私保护度度量值如表3所示。在复合问题中非敏感问题的概率值不变的情况下，增加非敏感问题的数量，同样使用Christofides提到的隐私保护度的计算方法对两个实验组隐私保护度进行计算，得到表4。

表3与表4主要计算了不同参数条件下新方法的隐私保护度，由模拟结果可知，当参数\lambda确定，p_i\left(i=\mathrm{0},\mathrm{1},\cdots ,G\right)取值不同时，计算得到不同隐私保护度的度量值之间变化差异很小，因此可知模型隐私保护度性能良好。而在p_i确定后，隐私保护度取决于\lambda的值，当\lambda越接近0.5时，两组隐私保护度量值趋近于定值1，此时保护度最高，但估计量的方差趋于正无穷。这种情况与文献[27]等给出的精度与保护度之间矛盾关系的结果是一致的，即估计量效率的改进往往是以牺牲保护度为代价。

4.4 置信区间

在大样本条件下，基于非敏感问题，复合问题中非敏感问题以及敏感问题三者之间都相互独立。根据概率理论样本统计量{\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}渐近正态分布。利用样本方差来近似代替总体方差

\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left({\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}\right)=\frac{\left[V\left(\overline{{Y_{\mathrm{1}}}_{·}}\right)+V\left(\overline{{Y_{\mathrm{2}}}_{·}}\right)\right]}{{\left(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}\approx \frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}\left[\frac{S_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{n_{\mathrm{1}}}+\frac{S_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{n_{\mathrm{2}}}\right](21)

得到统计量{\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}的\mathrm{100}\left(\mathrm{1}-\gamma \right)\mathrm{\%}置信区间为

\left[{\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}\pm Z_{\mathrm{1}-\frac{\gamma }{\mathrm{2}}}\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{{\left(\mathrm{4}\lambda -\mathrm{2}\right)}^{\mathrm{2}}}\left[\frac{S_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{n_{\mathrm{1}}}+\frac{S_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{n_{\mathrm{2}}}\right]}\right](22)

在\left({\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_{\mathrm{7}}\right)=\left(\mathrm{0.2},\mathrm{0.3},\mathrm{0.4},\mathrm{0.1},\mathrm{0.25},\mathrm{0.4},\mathrm{0.3}\right)，复合问题中非敏感问题概率分别为0.1、0.15、0.20、0.30、0.35、0.40，两组实验组的样本容量都为400的情况下进行1 000次模拟计算，得到不同条件下的覆盖率，如表5所示。

表5的结果表明，当非敏感问题的概率固定时，相同模拟次数下，复合问题中的非敏感问题概率小时构造的置信区间包含总体敏感比例真值的频数多。

5 实例分析

本节针对本文提出的方法，选择我国9个地区总体艾滋病病毒感染比例进行实例模拟。

G表示非敏感问题的数量，\pi表示真实具有敏感属性人数的比例，取值为2022年选择地区公布的现存艾滋病病毒携带者人数与当年常住总人口的比值，\lambda表示复合问题中非敏感问题的概率，取0.9。{\theta }_i表示第i个非敏感问题的概率，当G = 7时，取非敏感问题概率\left({\theta }_{\mathrm{1}},{\theta }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_{\mathrm{7}}\right)=\left(\mathrm{0.1},\mathrm{0.15},\mathrm{0.2},\mathrm{0.25},\mathrm{0.3},\right.\left.\mathrm{0.35},\mathrm{0.40}\right)，在各地区随机选取200 000人，令{\widehat{\pi }}_{\mathrm{S}}表示选取样本中视艾滋病病毒调查为非敏感问题直接调查得到的携带者比例的估计。实际上，此问题属于敏感问题调查，按照本文提出的方法设计如下：将样本分为200小组，每组1 000人，各小组内实验组和对照组人数均为500进行模拟，{\widehat{\pi }}_{\mathrm{N}}表示200组敏感比例估计的均值，最后，得到不同地区的模拟结果如表6所示。

由表6模拟结果可知，当人群总体中具有敏感问题属性个体占比很小时，提出的方法仍然适用，其误差来源于抽样误差和项目计数模型的随机误差。

6 结论

本文提出的新方法消除了传统项目计数法中存在的“天花板和地板效应”，同时设置了两个包含敏感问题的实验组，将两组实验组中复合问题的回答值取反，对两组污名化产生的影响进行了一定程度的抵消，提高了样本的信息利用率。在不存在非依从的情况下，通过R语言进行仿真模拟，与经典ICT对比，结果表明，新方法可以通过调整复合问题中非敏感问题来获得方差小于经典项目计数法的估计量，并且提高了隐私保护度。由于消除了“天花板和地板效应”，受访者的配合意愿增强，获得的数据可靠度增加，进而估计量更有效。为了取得更有效的结果，防止估计量的方差趋近于无穷大，复合问题中非敏感问题的概率应尽量远离0.5。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12361058)

国家自然科学基金项目(11861049)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2022MS01006)

内蒙古自治区直属高校基本科研业务费项目(JY20220083)