具有传输条件的奇异分数阶微分方程的平方可积解

Square integrable solutions of singular fractional differential equations with transmission conditions

摘要

在Sturm-Liouville分数阶微分方程Weyl-Titchmarsh理论的基础上研究一类Caputo和Riemann-Liouville型算子作用于函数的分数阶微分方程，证明此方程在满足边界条件和传输条件时仍具有对应的Weyl-Titchmarsh理论，并在奇异区间上考虑该方程解的平方可积性。

Abstract

Based on the Weyl-Titchmarsh theory of Sturm-Liouville fractional differential equations, a class of fractional differential equations with Caputo and Riemann-Liouville type operators is studied, and it is proved that this equation also retains the corresponding Weyl-Titchmarsh theory when boundary conditions and transmission conditions are satisfied. Furthermore, the square integrability of the solutions to this equation is considered on the singular interval.

关键词

分数阶微分方程 / 平方可积解 / 极限圆 / 极限点

Key words

fractional differential equation / square integrable solution / limit circle / limit point

Sturm-Liouville问题起源于19世纪初，是通过解偏微分方程中的热传导方程，用分离变量的方法得到的，后来在数学和物理学中得到了广泛的应用。例如，正则Sturm-Liouville问题的第一特征值表示量子力学和量子化学中的第一能级^[1-2]。但实际问题中的许多数学问题需要在无限区间或有限区间上定义，在系数函数的端点处有奇点，因此，奇点问题一直是学者感兴趣的问题。随着奇异问题的谱变得越来越复杂，在规则情况下不仅出现了纯点谱，而且出现了绝对连续谱和奇异连续谱。这导致常规情况下的谱分解定理不再适用^[3-4]，需要对奇异问题的谱方面进行研究。

早在1910年，Weyl研究了一类奇异微分方程并取得了引人注目的成果：

-\left[p\left(x\right)y\text{'}\right]\text{'}+q\left(x\right)y=\lambda y,x\in \left[\mathrm{0},\mathrm{\infty }\right)

他用圆集法对奇异Sturm-Liouville方程进行了分类，将其分为极限点型和极限圆型，而这些结果恰好与此相关，即该方程的平方可积解的个数在极限点情形下，恰好存在一个平方可积解，而在极限圆情况下，存在两个线性无关的平方可积解，这种二分法是Weyl用几何方法进行研究的成果，这一理论引起了许多研究者的注意，具体可见参考文献[5-7]。

近年来，一些不连续的Sturm-Liouville问题引起了越来越多学者的兴趣，这些问题仍然来源于许多物理问题，比如薄的叠层块的热传导问题、中间有结点的弦振动问题等。为了处理这些内部不连续的实际问题，有必要在不连续点处加一些条件，这些条件通常被称为传输条件。郑素芳等^[8]研究了一类区间内具有一个内点传输条件的奇异Sturm-Liouville问题，得到了Weyl函数，并讨论了相应的性质。在此基础上，Li等^[9]研究了区间内具有有限内点传输条件的奇异Sturm-Liouville问题，利用经典的分析方法和线性算子的谱理论，讨论了Weyl圆的方程、圆心、半径等。对于Weyl问题的研究，刘志文等^[10]研究了一类非局部奇异二阶微分方程的Weyl分类，给出了此类方程极限点（圆）型的定义和划分这两类的充要条件，此外他们还研究了这些方程在实轴上的平方可积解的个数等。以上学者都是建立在整数阶微分方程上进行研究，随着科学技术的进步，许多学者开始将注意力从整数阶微分方程转向分数阶微分方程。M Klimek和O P Agrawal考虑了如下分数阶Sturm-Liouville方程：

{}_{}{}^c{}_{b^{-}}^{\alpha }p(x)D_{a^{+}}^{\alpha }y+q(x)y=\lambda w(x)y,x\in [a,b]

其中：\alpha \in (\mathrm{0},\mathrm{1})\bigcup (\mathrm{1},\mathrm{2}),p(x)\ne \mathrm{0},w(x)>\mathrm{0}，他们得到了与上述方程相关的对称形式，并利用这一对称性，得到了与该方程相关的若干对称边值问题的特征值的一些结果。文献[11-14]研究了一些具有特定边界条件的分数阶Sturm-Liouville问题，其成果主要涉及特征值和特征函数的存在性及性质。Uğurlu，Baleanu和Taş研究了如下分数阶微分方程：

{}_{}{}^c{}_{b^{-}}^{\alpha }p(x)D_{a^{+}}^{\alpha }y+q(x)y=\lambda y,x\in [a,b)

在连续区间上的平方可积解，研究过程中也得到了Weyl圆的方程、圆的半径等^[15]。杨清华等^[16]在文献[15]的参考下找到了新的算子，也研究此类问题并得到了类似的Weyl结论。

基于Uğurlu等的研究，本文主要讨论奇异区间上具有传输条件分数阶微分方程的Weyl-Titchmarsh理论。首先，构造依赖于传输条件中系数行列式的内积；然后，利用满足一定初始条件的解构造m函数，进而得到Weyl圆的方程、圆的半径等。由于新的算子定义的内积附含传输条件，会得到不同的契合式，因此，圆的方程等都会与传输条件中的系数行列式有关；最后，根据圆套的极限情况，得到了所研究分数阶微分方程解的平方可积性。

1 预备知识

本节主要介绍一些分数阶积分的基本定义及其性质和一些最大最小算子定义。

定义1^[17]　左右Riemann-Liouville (R-L)分数阶积分：

令[a,b]\subset \mathbb{R}，\mathfrak{R}(\alpha )>\mathrm{0}且y\in L^{\mathrm{1}}[a,b]，在\alpha \in \mathbb{C}上的左右Riemann-Liouville型分数阶积分I_{a^{+}}^{\alpha }y\left(x\right)和I_{b^{-}}^{\alpha }y\left(x\right)表示为

I_{a^{+}}^{\alpha }y(x):=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_a^x\frac{y(t)\mathrm{d}t}{{(x-t)}^{\mathrm{1}-\alpha }},x\in (a,b]

I_{b^{-}}^{\alpha }y(x):=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_x^b\frac{y(t)\mathrm{d}t}{{(t-x)}^{\mathrm{1}-\alpha }},x\in [a,b)

定义2^[17]　左右Riemann-Liouville (R-L)分数阶导数：

令[a,b]\subset \mathbb{R}，\mathfrak{R}(\alpha )\in (\mathrm{0},\mathrm{1})且y\in L^{\mathrm{1}}[a,b]，在\alpha \in \mathbb{C}上的左右Riemann-Liouville型分数阶微分D_{a^{+}}^{\alpha }y(x)和D_{b^{-}}^{\alpha }y(x)表示为

D_{a^{+}}^{\alpha }y(x):=D{I}_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(x),x\in (a,b]

D_{b^{-}}^{\alpha }y(x):=-D{I}_{b^{-}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(x),x\in [a,b)

其中，D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}是常用的微分运算符。

定义3^[17]　左右Caputo分数阶导数：

令[a,b]\subset \mathbb{R}，\mathfrak{R}(\alpha )\in (\mathrm{0},\mathrm{1})且y\in L^{\mathrm{1}}[a,b]，在\alpha \in \mathbb{C}上的左右Caputo型分数阶微分{}_{}{}^c{}_{a^{+}}^{\alpha }y(x)和{}_{}{}^c{}_{b^{-}}^{\alpha }y(x)表示为

{}_{}{}^c{}_{a^{+}}^{\alpha }y(x):=I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }Dy(x),x\in (a,b]

{}_{}{}^c{}_{b^{-}}^{\alpha }y(x):=-I_{b^{-}}^{\mathrm{1}-\alpha }Dy(x),x\in [a,b)

引理1^[17]　设，y\in AC[a,b]且z\in L^p(a,b)(\mathrm{1}\le p\le \mathrm{\infty })，则以下式子成立

\begin{array}{l}{\int }_a^{b}y\left(x\right)D_{b^{-}}^{\alpha }z\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}z\left(x\right){}_{}{}^{c}D{}_{a^{+}}^{\alpha }y\left(x\right)\mathrm{d}x\\ -y\left(x\right)I_{b^{-}}^{\mathrm{1}-\alpha }z\left(x\right)\left|{}_{x=a}^{x=b}\right.\end{array}

\begin{array}{l}{\int }_a^{b}y\left(x\right)D_{a^{+}}^{\alpha }z\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}z\left(x\right){}_{}{}^{c}D{}_{b^{-}}^{\alpha }y\left(x\right)\mathrm{d}x\\ +y\left(x\right)I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }z\left(x\right)\left|{}_{x=a}^{x=b}\right.\end{array}

2 分数阶微分方程

考虑如下分数阶微分方程

ly:={}_{}{}^{c}D{}_{b^{-}}^{\alpha }{D}_{a^{+}}^{\alpha }y+q\left(x\right)y=\lambda y，　 x\in [a,b)(1)

满足以下边界条件

\mathit{A}\mathit{Y}(a)+\mathit{B}\mathit{Y}(b)=\mathrm{0}(2)

并且在c点满足转移条件

\mathit{C}\mathit{Y}(c-)+\mathit{D}\mathit{Y}(c+)=\mathrm{0}(3)

a是式(1)的正则点，b是式(1)的奇异点。其中\mathbf{Y}=\left(\begin{array}{l}{I}_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y\\ D_{a^{+}}^{\alpha }y\end{array}\right)，\mathit{A}=(a_{ij})，\mathit{B}=(b_{ij})是复矩阵，\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left(\mathit{A}\left|\mathit{B}\right.\right)=\mathrm{2}，\mathit{C}=(c_{ij})，\mathit{D}=(d_{ij})是\mathrm{2}\times \mathrm{2}实矩阵，并且\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{C}=\rho >\mathrm{0}，\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathit{D}=\gamma >\mathrm{0}，q(x)在[a,b)的任意紧子集上是实值连续函数，，\lambda是一个复数。

在[a,c)\bigcup (c,b)上引入一种依赖于传输条件中系数行列式的内积

(f,g)=\rho {\int }_a^c{f}_{\mathrm{1}}{\overline{g}}_{\mathrm{1}}\mathrm{d}x+\gamma {\int }_c^d{f}_{\mathrm{2}}{\overline{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{d}x,f,g\in L^{\mathrm{2}}[a,b)(4)

其中，

f(x)=\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1}}(x),x\in [a,c)\\ f_{\mathrm{2}}(x),x\in (c,b)\end{array}\right.

g(x)=\left\{\begin{array}{l}{g}_{\mathrm{1}}(x),x\in [a,c)\\ g_{\mathrm{2}}(x),x\in (c,b)\end{array}\right.

则具有此内积的空间是Hilbert空间。

考虑Hilbert空间L^{\mathrm{2}}[a,b)中的函数，假设L^{\mathrm{2}}[a,b)中的函数y使得D_{a^{+}}^{\alpha }y和{}_{}{}^c{}_{b^{-}}^{\alpha }{D}_{a^{+}}^{\alpha }y在L^{\mathrm{2}}[a,b)中有意义，当f,g\in L^{\mathrm{2}}[a,b)且满足传输条件时以下等式成立

\begin{array}{l}(lf,g)-(g,lf)={\int }_a^b(glf-flg)\mathrm{d}x\\ =\gamma W(f,\overline{g};b)-\rho W(f,\overline{g};a)\end{array}(5)

通过计算可以得到契合函数

[f,g](x)=\left\{\begin{array}{l}\rho W(f,\overline{g};x),x\in (a,c)\\ \gamma W(f,\overline{g};x),x\in (c,b)\end{array}\right.

其中W(f,\overline{g};x)=I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }f{D}_{a^{+}}^{\alpha }\overline{g}-D_{a^{+}}^{\alpha }f{I}_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\overline{g}\mathrm{。}

3 平方可积解

设\phi (x,\lambda )和\theta (x,\lambda )分别是下列Cauchy问题的解：

\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l}ly=\lambda y\\ I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ D_{a^{+}}^{\alpha }y(a,\lambda )=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}ly=\lambda y\\ I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a,\lambda )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \\ D_{a^{+}}^{\alpha }y(a,\lambda )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \end{array}\right.\end{array}

其中，，\phi (x,\lambda )，\theta (x,\lambda )同时满足传输条件，且

\begin{array}{c}\phi (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in (a,c)\\ {\phi }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in (c,b)\end{array}\right.\\ \theta (x,\lambda )=\left\{\begin{array}{l}{\theta }_{\mathrm{1}}(x,\lambda ),x\in (a,c)\\ {\theta }_{\mathrm{2}}(x,\lambda ),x\in (c,b)\end{array}\right.\end{array}

因为W(\phi ,\theta ;a)=\mathrm{1}，所以\phi (x,\lambda )，\theta (x,\lambda )线性无关。另外根据转移条件经计算可得

W(\phi ,\theta ;x)=W(\phi ,\theta ;a)=\mathrm{1},x\in [a,c)

W(\phi ,\theta ;x)=\frac{\rho }{\gamma }W(\phi ,\theta ;c-)=\frac{\rho }{\gamma },x\in (c,b)

在空间L^{\mathrm{2}}[a,b)中定义最大算子和最小算子及其与传输条件相关的最大算子和最小算子。

定义4　由微分算式ly在L^{\mathrm{2}}[a,b)中生成的最大算子L_{\mathrm{M}}定义为：

D(L_{\mathrm{M}})=\left\{\begin{array}{l}y\in L^{\mathrm{2}}[a,b)\left|I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }{y}_{\mathrm{1}},D_{a^{+}}^{\alpha }{y}_{\mathrm{1}}\in A{C}_{loc}[a,c)\right.,\\ I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }{y}_{\mathrm{2}},D_{a^{+}}^{\alpha }{y}_{\mathrm{2}}\in A{C}_{loc}[c,b)\end{array}\right\}

L_{\mathrm{M}}y=ly，y\in D(L_{\mathrm{M}})

定义5　由微分式ly在L^{\mathrm{2}}[a,b)中生成的最小算子L_{\mathrm{0}}定义为：

D(L_{\mathrm{0}})=\left\{\begin{array}{l}y\in D(L_M)\left|I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)\right.\\ =I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(c-)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(c-)\\ =I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(c+)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(c+)\\ =I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(b)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(b)=\mathrm{0}\end{array}\right\}

L_{\mathrm{0}}y=ly，y\in D(L_{\mathrm{0}})

定义6　由微分算式ly在L^{\mathrm{2}}[a,b)中生成的算子T定义为：

D(T)=\left\{\begin{array}{l}y\in D(L_{\mathrm{M}})\left|\mathit{A}\mathit{Y}(a)+\mathit{B}\mathit{Y}(b)=\mathrm{0}\right.,\\ \mathit{C}\mathit{Y}(c-)+\mathit{D}\mathit{Y}(c+)=\mathrm{0}\end{array}\right\}

Ty=ly，y\in D(T)

定义7　与算子T相关的最大算子L_{\mathrm{M}T}定义为：

D(L_{\mathrm{M}T})=\left\{y\in D(L_{\mathrm{M}})\left|\mathit{C}\mathit{Y}(c-)+\mathit{D}\mathit{Y}(c+)=\mathrm{0}\right.\right\}

L_{\mathrm{M}T}y=ly，y\in D(L_{\mathrm{M}T})

定义8　与算子T相关的最小算子L_{\mathrm{0}T}定义为：

D(L_{\mathrm{0}T})=\left\{\begin{array}{l}y\in D(L_{\mathrm{M}T})\left|I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)\right.\\ =I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(b)=D_{a^{+}}^{\alpha }y(b)=\mathrm{0}\end{array}\right\}

L_{\mathrm{0}T}y=ly，y\in D(L_{\mathrm{0}T})

显然有，L_{\mathrm{0}}\subset L_{\mathrm{0}T}\subset T\subset L_{\mathrm{M}T}\subset L_{\mathrm{M}}。

方程ly=\lambda y的解除\theta外都可以表示成y=\phi (x,\lambda )+m\theta (x,\lambda )的倍数，且满足

I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha +m\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha

D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +m\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha

于是y在a点满足边界条件

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)=m(6)

再考虑方程的那些还在b点满足边界条件

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(b)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }y(b)=\mathrm{0}

(7)

的解，将y=\phi (x,\lambda )+m\theta (x,\lambda )代入式(7)，则可以得到

因为\phi (b,\lambda )和\theta (b,\lambda )都是\lambda的整函数，所以m(\lambda )是\lambda的半纯函数，而且\overline{m(\lambda )}=m(\overline{\lambda })。若\lambda是m(\lambda )的极点，则\theta (x,\lambda )满足

\left\{\begin{array}{l}ly=\lambda y\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)=\mathrm{0}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(b)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }y(b)=\mathrm{0}\end{array}\right.

如果记算子T为

D(T)=\left\{\left.y\in D(L_{\mathrm{M}T})\left|\begin{array}{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(a)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha D_{a^{+}}^{\alpha }y(a)=\mathrm{0}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }y(b)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }y(b)=\mathrm{0}\end{array}\right.\right\}\right.，

Ty=ly，y\in D(T)

则\lambda是T的特征值，\lambda是实的。因此，只要\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \ne \mathrm{0}，m(\lambda )就是确定的。令

z=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta ,\mathit{A}=(I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\phi )(b,\lambda )，\mathit{B}=(D_{a^{+}}^{\alpha }\phi )(b,\lambda )，

\mathit{C}=(I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\theta )(b,\lambda )，\mathit{D}=(D_{a^{+}}^{\alpha }\theta )(b,\lambda )，

因为

\left|\begin{array}{cc}\mathit{A}& \mathit{B}\\ \mathit{C}& \mathit{D}\end{array}\right|=W\left(\phi ,\theta ;b\right)=\frac{\rho }{\gamma }>\mathrm{0}

所以

m=-\frac{\mathit{A}z+\mathit{B}}{\mathit{C}z+\mathit{D}}

是一个分式线性变换，当\beta从\mathrm{0}变到\mathrm{\pi }时，z=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta跑遍了整个实轴，这样就将z平面上的直线和圆变换成了m平面上的直线和圆。

定理1　如果\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \ne \mathrm{0}，实轴在分式线性变换

m=-\frac{\mathit{A}z+\mathit{B}}{\mathit{C}z+\mathit{D}}

下的像是平面m上的圆C_b。其中：

1) 圆C_b的方程为

\left[y,y\right]\left(b\right)=\mathrm{0}

或

{\int }_a^c{\left|y_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\frac{\gamma }{\rho }{\int }_c^b{\left|y_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}dx=\frac{\mathrm{I}\mathrm{m}m}{\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda }

2) C_b的圆心为

m_{b\mathrm{0}}=-\frac{\left[\phi ,\theta \right]\left(b\right)}{\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)}

3) 圆C_b的半径为

\begin{array}{l}{r}_c=\frac{\rho }{\gamma \left|\left[\theta ,\overline{\theta }\right]\left(b\right)\right|}\\ =\frac{\rho }{\mathrm{2}\gamma \left|\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \right|\left[\rho {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\gamma {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right]}\end{array}

4) m在圆C_b内的充分必要条件为

。

证明：1) 将\mathit{A}，\mathit{B}，\mathit{C}，\mathit{D}代入式(7)得

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\left(\phi +m\theta \right)\left(b\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }\left(\phi +m\theta \right)\left(b\right)=\mathrm{0}

即

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\left(\mathit{A}+m\mathit{C}\right)\left(b\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }\left(\mathit{B}+m\mathit{D}\right)\left(b\right)=\mathrm{0}(8)

取上式的共轭

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta I_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\left(\overline{\mathit{A}}+\overline{m}\overline{\mathit{C}}\right)\left(b\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta D_{a^{+}}^{\alpha }\left(\overline{\mathit{B}}+\overline{m}\overline{\mathit{D}}\right)\left(b\right)=\mathrm{0}(9)

则由式(8)和式(9)可得到

\left(\begin{array}{cc}\mathit{A}+m\mathit{C}& \mathit{B}+m\mathit{D}\\ \overline{\mathit{A}}+\overline{m}\overline{\mathit{C}}& \overline{\mathit{B}}+\overline{m}\overline{\mathit{D}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\delta \\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\delta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)(10)

因为\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta和\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta不能同时为零，所以式(10)成立。当且仅当

\begin{array}{l}{\left|m\right|}^{\mathrm{2}}\left(\mathit{C}\overline{\mathit{D}}-\overline{\mathit{C}}\mathit{D}\right)+m\left(\overline{\mathit{B}}\mathit{C}-\overline{\mathit{A}}\mathit{D}\right)\\ +\overline{m}\left(\mathit{A}\overline{\mathit{D}}-\mathit{B}\overline{\mathit{C}}\right)+\left(\mathit{A}\overline{\mathit{B}}-\overline{\mathit{A}}\mathit{B}\right)=\mathrm{0}\end{array}(11)

该式是圆的方程，其中

\mathit{C}\overline{\mathit{D}}-\overline{\mathit{C}}\mathit{D}=W\left[\theta ,\overline{\theta }\right]\left(b\right)=\frac{\mathrm{1}}{\gamma }\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)

\overline{\mathit{B}}\mathit{C}-\overline{\mathit{A}}\mathit{D}=W\left[\theta ,\overline{\phi }\right]\left(b\right)=\frac{\mathrm{1}}{\gamma }\left[\theta ,\phi \right]\left(b\right)

\mathit{A}\overline{\mathit{D}}-\mathit{B}\overline{\mathit{C}}=W\left[\phi ,\overline{\theta }\right]\left(b\right)=\frac{\mathrm{1}}{\gamma }\left[\phi ,\theta \right]\left(b\right)

\mathit{A}\overline{\mathit{B}}-\overline{\mathit{A}}\mathit{B}=W\left[\phi ,\overline{\phi }\right]\left(b\right)=\frac{\mathrm{1}}{\gamma }\left[\phi ,\phi \right]\left(b\right)

代入式(11)得

\begin{array}{l}{\left|m\right|}^{\mathrm{2}}\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)+m\left[\theta ,\phi \right]\\ +\overline{m}\left[\phi ,\theta \right]\left(b\right)+\left[\phi ,\phi \right]\left(b\right)=\mathrm{0}\end{array}(12)

即

\left[\phi +m\theta ,\phi +m\theta \right]=\mathrm{0}

或

\left[y,y\right]=\mathrm{0}

由式(5)得

\begin{array}{l}{\int }_a^b\left(\overline{y}ly-yl\overline{y}\right)\mathrm{d}x=\gamma W\left(y,\overline{y};b\right)-\rho W\left(y,\overline{y};a\right)\\ =\left[y,\overline{y}\right]\left(b\right)-\left[y,\overline{y}\right]\left(a\right)\\ =-\left[y,\overline{y}\right]\left(a\right)\end{array}(13)

而

\begin{array}{l}\left[y,y\right]\left(a\right)=\left[\phi +m\theta ,\phi +m\theta \right]\left(b\right)\\ =-\rho \left(m-\overline{m}\right)W\left(\phi ,\theta ;a\right)\end{array}

=-\mathrm{2}i\rho \mathrm{I}\mathrm{m}m

另外，式(13)左端

\begin{array}{l}{\int }_a^b\left(\overline{y}ly-yl\overline{y}\right)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left(\overline{y}\lambda y-y\overline{\lambda }\overline{y}\right)\mathrm{d}x\\ =\mathrm{2}i\rho \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda {\int }_a^c{\left|y_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\mathrm{2}i\gamma \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda {\int }_c^b{\left|y_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\end{array}(14)

结合式(13)和(14)得圆的方程为

{\int }_a^c{\left|y_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\frac{\gamma }{\rho }{\int }_c^b{\left|y_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{I}\mathrm{m}m}{\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda }。

2) 将圆的方程式(11)和\left|m-m_{b\mathrm{0}}\right|=r_b即(m-m_{b\mathrm{0}})(\overline{m}-{\overline{m}}_{b\mathrm{0}})={r_b}^{\mathrm{2}}作比较可得

m_{b\mathrm{0}}=-\frac{A\overline{D}-B\overline{C}}{\overline{C}D-C\overline{D}}=-\frac{\left[\phi ,\theta \right]\left(b\right)}{\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)}

3) z=\mathrm{0}的像在圆上，即-\frac{B}{D}\in C_b，所以

r_b=\left|-\frac{B}{D}-\frac{A\overline{D}-B\overline{C}}{\overline{C}D-C\overline{D}}\right|=\left|\frac{AD-BC}{\overline{C}D-C\overline{D}}\right|

=\left|\frac{W\left(\phi ,\theta ;b\right)}{W\left(\theta ,\overline{\theta };b\right)}\right|=\frac{\rho }{\left|\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)\right|}

而

\left[\theta ,\theta \right]\left(b\right)=\mathrm{2}i\rho \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\mathrm{2}i\gamma \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x(15)

因此，得到圆的半径为

r_b=\frac{\rho }{\mathrm{2}\left|\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \right|\left[\rho {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\gamma {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right]}(16)

4) 将圆的方程

{\int }_a^c{\left|y_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\frac{\gamma }{\rho }{\int }_c^b{\left|y_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{I}\mathrm{m}m}{\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda }

与\left(m-m_{b\mathrm{0}}\right)\left(\overline{m}-{\overline{m}}_{b\mathrm{0}}\right)={r_b}^{\mathrm{2}}对比可知m在圆内时，有

于是m在圆内，当且仅当

(17)

定理2　在\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \ne \mathrm{0}条件下，如果b^{\text{'}}>b，则C_{b^{\text{'}}}\subset C_b，所以\left\{C_b\left|b>\mathrm{0}\right.\right\}组成了平面内的圆套。

证明： 由m在圆C_b内，当且仅当

可得。

由文中内容可知，方程(1)的解都可以表示为\theta \left(x,\lambda \right)和\phi \left(x,\lambda \right)+m\theta \left(x,\lambda \right)，m\in C_b的线性组合，所以要考虑这些解中有哪些是属于H=L^{\mathrm{2}}[a,b)，根据定理2，\left\{C_b\left|b>\mathrm{0}\right.\right\}是一个圆套，那么当b\to \mathrm{\infty }时，此圆套会趋近于一个非负的极限，这样便产生了两种情形：

1) 当极限值>0时，圆套收缩成一个圆；

2) 当极限值=0时，圆套收缩成一个点。

于是有如下定理：

定理3　假设在\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \ne \mathrm{0}的条件下，\phi ,\theta是问题(1)的满足以下初始条件：

\left\{\begin{array}{l}{I}_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\phi \left(a,\lambda \right)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ D_{a^{+}}^{\alpha }\phi \left(a,\lambda \right)=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}{I}_{a^{+}}^{\mathrm{1}-\alpha }\theta \left(a,\lambda \right)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \\ D_{a^{+}}^{\alpha }\theta \left(a,\lambda \right)=-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha \end{array}\right.

并同时满足传输条件(3)的两个线性无关解，其中，，则b\to \mathrm{\infty }时，C_b收缩成一个圆或一个点。

1) 极限圆情形下，ly=\lambda y,x\in [a,b)的任意解都是平方可积的；

2) 极限点情形下，ly=\lambda y,x\in [a,b)上只有一个线性无关解，且该解的平方是不可积的。

证明：1) 极限圆情形

\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{r}_b=r_{\mathrm{\infty }}>\mathrm{0}

即

r_b=\frac{\rho }{\mathrm{2}\left|\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \right|\left[\rho {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x+\gamma {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right]}=r_{\mathrm{\infty }}

所以

\rho {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\gamma {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\frac{\rho }{\mathrm{2}\left|\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda \right|r_{\mathrm{\infty }}}

而

‖\theta ‖=\left(\theta ,\theta \right)=\rho {\left({\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+\gamma {\left({\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}

故

\theta \in H=L^{\mathrm{2}}\left[a,b\right)

如果\widehat{m}是C_{\mathrm{\infty }}上的一点，则对一切b>\mathrm{0}都有\widehat{m}在C_{\mathrm{\infty }}内，因此

从而

\phi +\widehat{m}\theta \left(x,\lambda \right)\in H=L^{\mathrm{2}}\left[a,b\right)

这样方程ly=\lambda y,x\in \left[a,b\right)的一切解都是平方可积的。

2) 极限点情形

\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{r}_b=\mathrm{0}

所以，由圆的半径可知

\rho {\int }_a^c{\left|{\theta }_{\mathrm{1}}\right|}^{\mathrm{2}}dx+\gamma {\int }_c^b{\left|{\theta }_{\mathrm{2}}\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\mathrm{\infty }

即\theta \overline{\in }H=L^{\mathrm{2}}\left[a,b\right)，由于m_{\mathrm{\infty }}在所有的圆C_b内，所以

\phi +m_{\mathrm{\infty }}\theta \left(x,\lambda \right)\in H=L^{\mathrm{2}}\left[a,b\right)

于是方程ly=\lambda y，x\in [a,b)的两个线性无关解中有一个属于H=L^{\mathrm{2}}[a,b)，而另一个不属于H=L^{\mathrm{2}}[a,b)。

4 总结

在本文中，主要研究了在\alpha \in (\mathrm{0},\mathrm{1})的情形下奇异区间上具有传输条件的分数阶微分方程解的平方可积性。首先，在L^{\mathrm{2}}(a,b)空间里给出一些Riemann-Liouville、Caputo型导数的性质，通过计算得到所研究方程的Wronski行列式以及契合函数，再利用分别满足一定条件的解的关系得到Weyl圆的方程、圆的半径等，进一步用Weyl圆套的极限情况分析所研究微分方程解的平方可积性。

注：如果将方程中的S-L分数阶导数变为Caputo导数，那么无法得到类似的结论。因为无法通过内积并利用分数阶导数的分部积分公式得到相应的Wronski行列式，后面也无法用该知识点证明方程的两个解在满足一定的初始条件时是线性无关的，进而也无法得到对应的Wely理论。

参考文献

[1] QI J A, LI J, XIE B. Extremal problems of the density for vibrating string equations with applications to gap and ratio of eigenvalues[J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2020, 19(1): 12.

[2] QI J G, XIE B. Extremum estimates of the L ¹-norm of weights for eigenvalue problems of vibrating string equations based on critical equations[J]. Discrete and Continuous Dynamical System-Series B, 2021, 26(7): 3505-3516.

[3] SUN Y T, LI J, XIE B. Reducibility for wave equations of finitely smooth potential with periodic boundary conditions[J]. Journal of Differential Equations, 2019, 266(5): 2762-2804.

[4] ZHANG M R, WEN Z Y, MENG G, et al. On the number and complete continuity of weighted eigenvalues of measure differential equations[J]. Differential Integral Equations, 2018, 31(9/10): 761-784.

[5] AXYDEMIR K, OLGAR H, MUKHTAROV O S, et al. Deferential operator equations with interface conditions in modified direct sum spaces[J]. Filomat, 2018, 32(3): 921-931.

[6] OLGAR H, MUHTAROV O S, AXYDEMIR K. Some properties of eigenvalues and generalized eigenvectors of one boundary value problem[J]. Filomat, 2018, 32(3): 911-920.

[7] MUKHTAROV O S, AYDEMIR K.Basis properties of the eigenfunctions of two-interval Sturm-Liouville problems[J]. Analysis and Mathematical Physics, 2019, 9(3): 1363-1382.

[8] 郑素芳, 孙炯. 具转移条件奇型Sturm-Liouville算子相关的Weyl函数[J]. 数学的实践与认识, 2014, 44(1): 218-226.

[9] LI K, SUN J, HAO X L. Weyl function of Sturm-Liouville problems with transmission conditions at finite interior points[J]. Mediterranean Journal of Mathematics, 2017, 14(5): 189.

[10] 刘志文, 綦建刚, 徐亚飞. 非局部奇异二阶微分方程的Weyl分类[J]. 数学物理学报, 2020, 40(5): 1295-1304.

[11] BONDARENKO N P, CHITORKIN E E. Inverse Sturm-Liouville problem with spectral parameter in the boundary conditions[J]. Mathematics, 2023, 11(5): 1138.

[12] DEHGHAN M, MINGARELLI A B. Fractional Sturm-Liouville eigenvalue problems, I[J]. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas, 2020, 114(2): 46.

[13] AKDOĞAN Z, YAKAR A, DEMIRCI M.Discontinuous fractional Sturm-Liouville problems with transmission conditions[J]. Applied Mathematics and Computation, 2019, 350: 1-10.

[14] KLIMEK M, CIESIELSKI M, BLASZCZYK T. Exact and numerical solutions of the fractional Sturm-Liouville problem[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018, 21(1): 45-71.

[15] KILBAS A A, SRIVASTSVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam Boston: Elsevier, 2006.

[16] 杨清华, 郝晓玲. 一类分数阶微分方程的平方可积解[J]. 内蒙古大学学报(自然科学版), 2023, 54(5): 456-461.

[17] UĞURLU E, BALEANU D, TAŞ K. On square integrable solutions of a fractional differential equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2018, 337: 153-157.

基金资助

国家自然科学基金项目(12361027)