电路网络中的Mikusinski算符演算

Mikusinski operator calculus in circuit networks

摘要

基于Mikusinski算符在计算方面的便捷性，将该算符应用于电路网络理论。首先介绍了Mikusinski算符系统的基本概念及相关定理，并利用算符与函数之间的互化关系将电流微分方程转化为算符方程。随后推导出电路网络中电压、阻抗等的算符表达式，形成一套基于算符体系的电路网络模型。通过研究基本二端网络的短路电流和一端短路的四端网络稳定电流这两个实例，来验证所提出方法在解决实际问题时的有效性。

Abstract

The Mikusinski operator is applied to circuit network theory due to its computational convenience. Firstly, the basic concepts and related theorems of the Mikusinski operator system are introduced, and the current differential equations are transformed into operator equations by using the transformation relationship between operators and functions. Subsequently, the operator expressions for voltage and impedance in the circuit network are derived, forming a set of circuit network models based on the operator system. The effectiveness of the proposed method in solving practical problems is verified by studying two instance: short-circuit current in a basic two-terminal network and stabilized current in a four-terminal network with one end short-circuited.

Graphical abstract

关键词

Mikusinski算符 / 二端网络 / 四端网络 / 阻抗

Key words

mikusinski operator / two-terminal network / four-terminal network / impedance

著名波兰数学家Mikusinski在20世纪中期创立了算符演算系统^[1-2]，由于其可以大大减少工科生正确理解Laplace变换的数学要求，且比Laplace变换具有更广泛的通用性，所以其具有更广泛的应用价值。比如在数学方面周之虎^[3-4]对Mikusinski算符在微分方程求解方面的研究为微分方程拓宽了思路，提出了自己的见解以及新的问题。Rani等^[5]利用算符系统来求解Prabhakar微分方程，使Prabhakar微分方程解法更加简便、高效。Li等^[6]提出了分数段Mikusinski算子逆的证明，为处理Abel型积分方程提供了一种替代方法。在其他学科领域里，Kogan^[7]利用分布卷积代数的Mikusinski运算演算提出了新的解决数学物理问题的方法。在电路网络方面程德仁^[8]在1977年的论文中论述了算符演算在电路与系统分析中的应用。电路网络是电工学的基础，在部分电路网络的应用中，有些数学运算太过烦琐，不利于高效解决问题，从而极大地限制了学科的发展。本文就基本二端网络中的短路电流以及一端短路的四端网络的稳定电流这两个简单实例来体现算符在电路网络应用中的便捷性。

1 预备知识

1.1 Mikusinski算符基本概念

记函数类\mathfrak{C}是定义在区间所有复值连续函数的集合。卷积的概念是Mikusinski算符理论的出发点，下面给出其定义。

定义1^{[1-2, 9]}　设a，b\in \mathfrak{C}，称积分

所确定的函数c为函数a和b的卷积。

容易验证卷积具有结合律和交换律，并且关于函数的加法运算满足分配律，从而函数类\mathfrak{C}是一个交换环。作为理论的基础，引入一个重要定理—Titchmarsh定理，该定理是在1924年引进并证明的，其证明过程详见参考文献[2]。

定理1　（Titchmarsh定理）^{[1-2, 9]}若a、b\in \mathfrak{C}且a和b均不为零，则a和b的卷积也不为零。

由Titchmarsh定理可知，函数类\mathfrak{C}是一个无零因子的交换环。将无零因子交换环\mathfrak{C}扩张为一个分式域，记作𝔐  ，称为Mikusinski算符系统，其元素为分式\frac{a}{b}(b\ne \mathrm{0})，称之为Mikusinski算符，简称为算符。在区间上处处为零的函数是零元素，分式\frac{b}{b}是单位元1。复数域C是𝔐  的子域。对于a，b，c，d且b，d均不为0，有下列性质^{[1-2, 9]}：

1)  \frac{a}{b}=\frac{c}{d}当且仅当ad=bc；

2)  \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}；

3)  \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}。

性质1) 强调了𝔐   中元素相等的意义，性质2) 和3) 规定了𝔐   中的加法运算和乘法运算。当不存在适合等式a=bc的c\in \mathfrak{C}时，分式\frac{a}{b}表示一个算符，当存在c\in \mathfrak{C}适合等式a=bc时，算符\frac{a}{b}可看作函数，因此，\mathfrak{C}\in \mathfrak{M}。约定：对于f\in \mathfrak{C}，当需要显示其在t处的值同时也作为算符出现时，用符号\left\{f(t)\right\}表示f，当仅需表示其在t处的值时，用符号f(t)表示。

下面介绍积分算符和微分算符。b\in \mathfrak{C}和常数函数\left\{\mathrm{1}\right\}卷积\left\{\mathrm{1}\right\}\left\{f(t)\right\}=\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^{t}b(\tau )\mathrm{d}\tau \right\}，从中可以看到，\left\{\mathrm{1}\right\}具有积分作用，记l=\left\{\mathrm{1}\right\}，称为积分算符，积分算符的逆算符记为s=l^{-\mathrm{1}}，称为微分算符。特别地，s^{-\mathrm{2}}=l^{\mathrm{2}}=\left\{\mathrm{1}\right\}\left\{\mathrm{1}\right\}=\left\{{\int }_{\mathrm{0}}^t\mathrm{d}\tau \right\}=\left\{t\right\}。关于微分算符有如下定理，在后面的应用中有很重要的作用。

定理2^{[1-2, 9]}　若函数a=\left\{a\left(t\right)\right\}在上具有连续的导函数a^{\text{'}}=\left\{a^{\text{'}}\left(t\right)\right\}，则sa=a^{\text{'}}+a\left(\mathrm{0}\right)，其中a\left(\mathrm{0}\right)是指函数a在t=\mathrm{0}的值。

当a\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}时，由定理2可知，sa=a^{\text{'}}=\left\{a^{\text{'}}\left(t\right)\right\}，即微分算符s和算符\left\{a\left(t\right)\right\}所得的卷积等于a\left(t\right)的导函数，例如

\begin{array}{l}{s}^{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}x\right\}=s\left(\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+x^{\mathrm{2}}}\right\}+\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{0}\right)\\ =s\left(\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+x^{\mathrm{2}}}\right\}\right)=-\mathrm{2}\left\{\frac{x}{{\left(\mathrm{1}+x^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right\}+\mathrm{1}\end{array}

该定理推广到n阶导数后为定理3。

定理3^{[1-2, 9]}　若函数a\left(t\right)在区间上有n阶连续的导函数，则

s^{n}a=a^{\left(n\right)}+a^{\left(n-\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{0}\right)+a^{\left(n-\mathrm{2}\right)}\left(\mathrm{0}\right)s+\cdots +a\left(\mathrm{0}\right)s^{n-\mathrm{1}}

对实数\alpha，有s\left\{{\mathrm{e}}^{\alpha t}\right\}=\mathrm{1}+\alpha \left\{{\mathrm{e}}^{\alpha t}\right\}，\left\{{\mathrm{e}}^{\alpha t}\right\}=\frac{\mathrm{1}}{s-\alpha }。进而

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{s+\alpha }=\left\{{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\right\}\\ \frac{\alpha }{s^{\mathrm{2}}+{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{i\alpha t}-{\mathrm{e}}^{-i\alpha t}}{\mathrm{2}i}\right\}=\left\{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha t\right\}\\ \frac{s}{s^{\mathrm{2}}+{\alpha }^{\mathrm{2}}}=\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{i\alpha t}+{\mathrm{e}}^{-i\alpha t}}{\mathrm{2}}\right\}=\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha t\right\}\end{array}

同理，可以用类似的方法推导出关于三角函数和双曲函数的公式如下：

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{{(s-\alpha )}^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}=\left\{\frac{\mathrm{1}}{\beta }{\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta t\right\},\beta >\mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{1}}{{(s-\alpha )}^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}=\left\{\frac{\mathrm{1}}{\beta }{\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\beta t\right\},\beta >\mathrm{0}\\ \frac{s-\alpha }{{(s-\alpha )}^{\mathrm{2}}+{\beta }^{\mathrm{2}}}=\left\{{\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta t\right\}\\ \frac{s-\alpha }{{(s-\alpha )}^{\mathrm{2}}-{\beta }^{\mathrm{2}}}=\left\{{\mathrm{e}}^{\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\beta t\right\}\end{array}

例如：计算\frac{\mathrm{6}{s}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4}s+\mathrm{2}}{s^{\mathrm{4}}+s^{\mathrm{2}}}时，先进行有理式分解，有

\begin{array}{l}\frac{\mathrm{6}{s}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4}s+\mathrm{2}}{s^{\mathrm{4}}+s^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{4}s+\mathrm{2}}{s^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{2}s-\mathrm{2}}{s^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\\ =\mathrm{4}l+\mathrm{2}{l}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}s}{s^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{2}}{s^{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\\ =\left\{\mathrm{4}+\mathrm{2}t+\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t-\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\right\}\end{array}

1.2 电路网络中的算符演算

在物理学中，带有电感L的基本电路中电流强度的微分方程可写为

L{I}^{\text{'}}+RI=E(1)

其中，I，R，E分别表示电流强度、电阻以及电动势。当L，R，E均为常数时，微分方程(1)加大括号为

\left\{L{I}^{\text{'}}(t)+RI(t)\right\}=\left\{E\right\}(2)

假设在t=\mathrm{0}时有I(\mathrm{0})=\mathrm{0}，可以得到(1)的算符方程

LsI+RI=\frac{E}{s}(3)

因此，

I=\frac{E}{s\left(Ls+R\right)}=\frac{E}{R}\left(\frac{\mathrm{1}}{s}-\frac{\mathrm{1}}{s+\frac{R}{L}}\right)=\left\{\frac{E}{R}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\frac{R}{L}t}\right)\right\}

在t时刻电流强度I(t)=\frac{E}{R}\left(\mathrm{1}-{\mathrm{e}}^{-\frac{R}{L}t}\right)。

在将电流方程化为算符方程时，需要特别明确哪一个字母被理解为函数，哪一个字母被理解为常数。比如当E为常数电动势时，可以得到方程(2)，进而转化为算符方程(3)。但当电动势E随着时间t变化时，方程(1)需写为

\left\{L{I}^{\text{'}}(t)+RI(t)\right\}=\left\{E(t)\right\}(4)

转化成算符方程如下：

LsI+RI=\left\{E(t)\right\}

得

I=\frac{\mathrm{1}}{L}\left\{E(t)\right\}\frac{\mathrm{1}}{s+\frac{R}{L}}

所以，在t时刻的电流强度为

I(t)=\frac{\mathrm{1}}{L}{\int }_{\mathrm{0}}^{t}E\left(t-\tau \right){\mathrm{e}}^{-\frac{R}{L}\tau }\mathrm{d}\tau

这正是方程(4)的常数变易法公式所得到的解。

在基本电路中再加上电容C，如图1所示。

用Q表示电容器极片上的电荷，构成以下微分方程组：

\left\{\begin{array}{l}L{I}^{\text{'}}+RI+\frac{Q}{C}=E\\ Q^{\text{'}}=I\end{array}\right.

这里的记号“Q^{\text{'}}”表示其关于t的导数。将上述方程转化为算符形式：

\left\{\begin{array}{l}LsI+RI+\frac{Q}{C}=E+LI(\mathrm{0})\\ sQ=I+Q(\mathrm{0})\end{array}\right.

式中，I(\mathrm{0})和Q(\mathrm{0})表示当t=\mathrm{0}时的电流强度和电荷，消去Q可以得到

\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)I=E+LI(\mathrm{0})+\frac{V(\mathrm{0})}{s}(5)

式中，V(\mathrm{0})=-\frac{Q(\mathrm{0})}{C}指的是电容器上的初始电压。假设电流与电荷初始值均为零，则方程(5)可写为(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs})I=E，即I=\frac{E}{Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}}。若t=\mathrm{0}，则把恒为常数的电动势E_{\mathrm{0}}接入电路，即(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs})I=\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}，化简得

I=\frac{E_{\mathrm{0}}}{L\left(s^{\mathrm{2}}+\frac{R}{L}s+\frac{\mathrm{1}}{LC}\right)}=\frac{E_{\mathrm{0}}}{L\left[{\left(s+\alpha \right)}^{\mathrm{2}}+\mu \right]}

式中，\alpha =\frac{R}{\mathrm{2}L}，\mu =\frac{\mathrm{1}}{LC}-\frac{R^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}^{\mathrm{2}}}。由1.1节中算符和三角函数及算符和双曲三角函数之间的互化关系有

从而可得

1) 当\mu >\mathrm{0}时，I(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{L}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt[]{\mu }t；

2) 当\mu =\mathrm{0}时，I(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{L}t{\mathrm{e}}^{-\alpha t}；

3) 当时，I(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{L}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{-\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\sqrt[]{-\mu }t。

若假设I(\mathrm{0})和Q(\mathrm{0})为常数，E=\mathrm{0}，这就意味着在t=\mathrm{0}时电路被短路了。此时称流过电路的电流为短路电流，记作\overline{I}，其表征系统的初始状况。短路电流适合算符方程：

\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)\overline{I}=LI\left(\mathrm{0}\right)+\frac{V\left(\mathrm{0}\right)}{s}(6)

由此可以得出短路电流为

\overline{I}=\frac{LI\left(\mathrm{0}\right)+\frac{V\left(\mathrm{0}\right)}{s}}{Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}}

化简上式得

\begin{array}{l}\overline{I}=\frac{LI\left(\mathrm{0}\right)+\frac{V\left(\mathrm{0}\right)}{s}}{Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}}=\frac{LI\left(\mathrm{0}\right)s+V\left(\mathrm{0}\right)}{L\left(s^{\mathrm{2}}+\frac{R}{L}s+\frac{\mathrm{1}}{LC}\right)}\\ =\frac{s+\alpha }{\frac{\mathrm{1}}{I\left(\mathrm{0}\right)}\left[{(s+\alpha )}^{\mathrm{2}}+\mu \right]}+\frac{\frac{V\left(\mathrm{0}\right)}{LI\left(\mathrm{0}\right)}-\alpha }{\frac{\mathrm{1}}{I\left(\mathrm{0}\right)}\left[{\left(s+\alpha \right)}^{\mathrm{2}}+\mu \right]}\end{array}

式中，\alpha =\frac{R}{\mathrm{2}L}，\mu =\frac{\mathrm{1}}{LC}-\frac{R^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}^{\mathrm{2}}}。同理，由1.1节中算符和三角函数及算符和双曲三角函数之间的互化关系有

从而可得

1) 当\mu >\mathrm{0}时，

\begin{array}{l}\overline{I}(t)=I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sqrt[]{\mu }t\\ +\left(\frac{V(\mathrm{0})}{L}-\alpha I(\mathrm{0})\right)\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt[]{\mu }t;\end{array}

2) 当\mu =\mathrm{0}时，

\overline{I}(t)=I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\alpha t}+\left(\frac{V(\mathrm{0})}{L}-\alpha I(\mathrm{0})\right)t{\mathrm{e}}^{-\alpha t};

3) 当时，

\begin{array}{l}\overline{I}(t)=I(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt[]{-\mu }t\\ +\left(\frac{V(\mathrm{0})}{L}-\alpha I(\mathrm{0})\right)\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{-\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\sqrt[]{-\mu }t\mathrm{。}\end{array}

利用短路电流的概念，可以把方程(6)写成

\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)\left(I-\overline{I}\right)=E(7)

引入记号Z=Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}，它是微分算符s的分式函数，完全表征了\mathrm{L}\mathrm{R}\mathrm{C}系统的动力学性质，称为该系统的阻抗。此时方程(7)可写为

Z\left(I-\overline{I}\right)=E(8)

当短路电流\overline{I}=\mathrm{0}时，方程简化为ZI=E。

现在考虑一种新的情形，如果施加在电路网络中的电动势是正弦的，则电动势可以用函数形式E(t)=E_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega t-E_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega t来确定，将其化为算符形式为E=\frac{E_{\mathrm{1}}s-E_{\mathrm{2}}\omega }{s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}}，其中，\omega称为电压脉动或角频率，代入方程(7)得

\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)I=\frac{E_{\mathrm{1}}s-E_{\mathrm{2}}\omega }{s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}}

解出I的表达式为

I=\frac{I_{\mathrm{1}}s-I_{\mathrm{2}}\omega }{s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}}+\frac{As+B}{L{s}^{\mathrm{2}}+Rs+\frac{\mathrm{1}}{C}}(9)

式中，I_{\mathrm{1}}，I_{\mathrm{2}}，A，B均为常数。令I_{\mathrm{u}}=\frac{I_{\mathrm{1}}s-I_{\mathrm{2}}\omega }{s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}}，I_{\mathrm{p}}=\frac{As+B}{L{s}^{\mathrm{2}}+Rs+\frac{\mathrm{1}}{C}}，则方程(9)可写为I=I_{\mathrm{u}}+I_{\mathrm{p}}。

观察I_{\mathrm{p}}可知其表达式与短路电流表达式具有类似形状，所以在R>\mathrm{0}的情况下，当其迅速下降到零时，就会产生正弦电流I_{\mathrm{u}}，称之为稳定电流，函数表达式为I_{\mathrm{u}}(t)=I_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega t+I_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega t，I_{\mathrm{p}}称为瞬时电流^[1-2]。

I_{\mathrm{p}}是算符关于s的有理式，假定其分子没有s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}，给方程(9)两端同时乘(s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}})，有

I_{\mathrm{1}}s-I_{\mathrm{2}}\omega +I_{\mathrm{p}}\left(s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}\right)=\frac{E_{\mathrm{1}}s-E_{\mathrm{2}}\omega }{Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}}(10)

令s=i\omega，代入方程(10)后给方程两边同时乘以\frac{\mathrm{1}}{i\omega }，有

I_{\mathrm{1}}+i{I}_{\mathrm{2}}=\frac{E_{\mathrm{1}}+i{E}_{\mathrm{2}}}{Li\omega +R+\frac{\mathrm{1}}{Ci\omega }}(11)

比较等式两端的实部和虚部就可求得I_{\mathrm{1}}和I_{\mathrm{2}}：

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}=\frac{E_{\mathrm{1}}R-E_{\mathrm{2}}\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)}{R^{\mathrm{2}}+{\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)}^{\mathrm{2}}}\\ I_{\mathrm{2}}=\frac{E_{\mathrm{1}}\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)+E_{\mathrm{2}}R}{R^{\mathrm{2}}+{\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)}^{\mathrm{2}}}\end{array}

所以，

I_{\mathrm{u}}=\frac{E_{\mathrm{1}}Rs-E_{\mathrm{2}}\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)s-E_{\mathrm{1}}\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)\omega -E_{\mathrm{2}}R\omega }{\left[R^{\mathrm{2}}+{\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)}^{\mathrm{2}}\right]\left(s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}\right)}

计算瞬时电流I_{\mathrm{p}}可以用类似的方法。由方程(10)可得

I_{\mathrm{p}}=\frac{E_{\mathrm{1}}s-E_{\mathrm{2}}\omega -(I_{\mathrm{1}}s-I_{\mathrm{2}}\omega )\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)}{\left(s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}}\right)\left(Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}\right)}

而方程(11)又可以写成如下形式：

E_{\mathrm{1}}+i{E}_{\mathrm{2}}=\left(I_{\mathrm{1}}+i{I}_{\mathrm{2}}\right)\left(Li\omega +R+\frac{\mathrm{1}}{Ci\omega }\right)

对比左右两端的实部和虚部可得

\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{1}}=I_{\mathrm{1}}R-I_{\mathrm{2}}\left(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)\\ E_{\mathrm{2}}=I_{\mathrm{2}}R+I_{\mathrm{1}}\left(L\omega +\frac{\mathrm{1}}{C\omega }\right)\end{array}

故，

I_{\mathrm{p}}=\frac{\frac{I_{\mathrm{2}}}{Cs\omega }-I_{\mathrm{1}}\left(L+\frac{\mathrm{2}}{C(s^{\mathrm{2}}+{\omega }^{\mathrm{2}})}\right)}{Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}}

前面提到的电压函数形式E(t)=E_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega t-E_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega t还可以写为E(t)=E_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t+\phi )，其中，E_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{{E_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+E_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}，\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\phi =\frac{E_{\mathrm{2}}}{E_{\mathrm{1}}}，E_{\mathrm{0}}为电压的振幅，\phi为电压的周相。类似地，可以写出稳定电流的函数形式：I_{\mathrm{u}}(t)=I_{\mathrm{0}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t+\psi )，其中，I_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{{I_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}，\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\psi =\frac{I_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{1}}}，I_{\mathrm{0}}为电流强度的振幅，\psi为电流强度的周相。

令E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\phi }=E_{\mathrm{1}}+i{E}_{\mathrm{2}}，I_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\psi }=I_{\mathrm{1}}+i{I}_{\mathrm{2}}，那么方程(11)可变形为

Li\omega +R+\frac{\mathrm{1}}{Ci\omega }=\frac{E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\phi }}{I_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\psi }}=Z_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\theta }

式中，Z_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{R^{\mathrm{2}}+{(L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega })}^{\mathrm{2}}}，\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\frac{L\omega -\frac{\mathrm{1}}{C\omega }}{R}。Z_{\mathrm{0}}为表观电阻，\theta称为周相位移。综合方程得

E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\phi }=Z_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\theta }{I}_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\psi }(12)

由此推出显而易见的关系式^[1-2]：

Z_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{0}}=E_{\mathrm{0}},\theta +\psi =\phi

2 两种基本网络中的算符演算

2.1 基本二端网络中短路电流研究

由电感L、电阻R和电容C串联而成的简单网络称为基本二端网络，而这个网络具有阻抗Z=Ls+R+\frac{\mathrm{1}}{Cs}。若将不变的电动势E=\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}施加到图2所示的网络中，某一段时间后，在该支路AB和BD上有电流I_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}，I_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}，因而在电容器上有电压E_{\mathrm{0}}。在时间t=\mathrm{0}时断开点K，此时回路AFB和BFD作为两个基本二端网络是串联的。用Z_{\mathrm{1}}和Z_{\mathrm{2}}表示这两个基本二端网络的阻抗，用\overline{I_{\mathrm{1}}}和\overline{I_{\mathrm{2}}}表示短路电流，则对整个系统来说有

Z_{\mathrm{1}}(I-\overline{I_{\mathrm{1}}})+Z_{\mathrm{2}}(I-\overline{I_{\mathrm{2}}})=E

即

(Z_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}})\left(I-\frac{Z_{\mathrm{1}}\overline{I_{\mathrm{1}}}+Z_{\mathrm{2}}\overline{I_{\mathrm{2}}}}{Z_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}}\right)=E

令Z=Z_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}，\overline{I}=\frac{Z_{\mathrm{1}}\overline{I_{\mathrm{1}}}+Z_{\mathrm{2}}\overline{I_{\mathrm{2}}}}{Z_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}}，由此就得到了阻抗的方程(8)。该方程只有在所给定的二端网络上没有任何外部的电感作用时才成立。

综上，复合网络的阻抗等于组成这个网络的两个基本二端网络的阻抗之和，同理，可以将之推广到n个基本二端网络的情况。

基于\overline{I}=\frac{Z_{\mathrm{1}}\overline{I_{\mathrm{1}}}+Z_{\mathrm{2}}\overline{I_{\mathrm{2}}}}{Z_{\mathrm{1}}+Z_{\mathrm{2}}}，可以利用短路电流的公式得出

\overline{I}=\frac{L_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+L_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+\frac{V_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+V_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})}{s}}{Z}(13)

V_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})和V_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})指的是这两个基本二端网络的初始电压。由方程(13)就可以算出图2电路网络在时间t=\mathrm{0}时断开点K时的短路电流为

\begin{array}{l}\overline{I}=\frac{\frac{E_{\mathrm{0}}{L}_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{1}}}+\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}}{L_{\mathrm{1}}s+R_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{1}}s}}\\ =\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}\cdot \frac{L_{\mathrm{1}}s+R_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}{s}^{\mathrm{2}}+R_{\mathrm{1}}s+R_{\mathrm{2}}s+\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{1}}}}\\ =\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}\cdot \frac{s+\alpha -\alpha +\frac{R_{\mathrm{1}}}{L}}{{(s+\alpha )}^{\mathrm{2}}+\mu }\end{array}

式中，\alpha =\frac{R_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}}，\mu =\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{1}}{C}_{\mathrm{1}}}-\frac{(R_{\mathrm{1}}+R_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{1}}}。将算符转换成函数形式为

1) 当\mu >\mathrm{0}时，

\begin{array}{l}\overline{I}(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\sqrt[]{\mu }t\\ +\left[\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}\left(\frac{R_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}}-\alpha \right)\right]\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\sqrt[]{\mu }t;\end{array}

2) 当\mu =\mathrm{0}时，

\overline{I}(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}+\left[\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}\left(\frac{R_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}}-\alpha \right)\right]t{\mathrm{e}}^{-\alpha t};

3) 当时，

\begin{array}{l}\overline{I}(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\sqrt[]{-\mu }t\\ +\left[\frac{E_{\mathrm{0}}}{R_{\mathrm{1}}}\left(\frac{R_{\mathrm{1}}}{L_{\mathrm{1}}}-\alpha \right)\right]\frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{-\mu }}{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\sqrt[]{-\mu }t\mathrm{。}\end{array}

2.2 一端短路的四端网络的稳定电流

当考虑两个相互电感耦合的回路时，如图3所示，左图中的阻抗用Z₁表示，右图中的阻抗用Z₂表示。

由电感耦合方程得

\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{1}}(I_{\mathrm{1}}-\overline{I_{\mathrm{1}}})=E_{\mathrm{1}}+M{I}_{\mathrm{2}}^{\text{'}}\\ Z_{\mathrm{2}}(I_{\mathrm{2}}-\overline{I_{\mathrm{2}}})=-E_{\mathrm{2}}+M{I}_{\mathrm{1}}^{\text{'}}\end{array}\right.(14)

式中，M为回路的互感系数。由于I_{\mathrm{1}}^{\text{'}}=s{I}_{\mathrm{1}}-I_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})，I_{\mathrm{2}}^{\text{'}}=s{I}_{\mathrm{2}}-I_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})以及方程(6)，假设I_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=I_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}，V_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=V_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}，则方程(14)展开化简得

\left\{\begin{array}{l}{Z}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1}}-Ms{I}_{\mathrm{2}}=E_{\mathrm{1}}\\ Z_{\mathrm{2}}{I}_{\mathrm{2}}-Ms{I}_{\mathrm{1}}=-E_{\mathrm{2}}\end{array}\right.(15)

解出方程(15)中E_{\mathrm{1}}和I_{\mathrm{1}}，得

\left\{\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{1}}=\frac{Z_{\mathrm{1}}}{Ms}{E}_{\mathrm{2}}+\left(\frac{Z_{\mathrm{1}}{Z}_{\mathrm{2}}}{Ms}-Ms\right)I_{\mathrm{2}}\\ I_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{Ms}{E}_{\mathrm{2}}+\frac{Z_{\mathrm{2}}}{Ms}{I}_{\mathrm{2}}\end{array}\right.(16)

观察方程(16)，该方程有两个输入端和两个输出端。一般地，称具有两个输入端和两个输出端的电路网络系统为四端网络，图3就是一个典型的四端网络的例子。按照四端网络的概念把E_{\mathrm{1}}和I_{\mathrm{1}}表示为

\left\{\begin{array}{l}{E}_{\mathrm{1}}=A_{\mathrm{11}}{E}_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{12}}{I}_{\mathrm{2}}\\ I_{\mathrm{1}}=A_{\mathrm{21}}{E}_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{22}}{I}_{\mathrm{2}}\end{array}\right.(17)

式中，A_{\mathrm{11}}，A_{\mathrm{12}}，A_{\mathrm{21}}，A_{\mathrm{22}}指的是算符。每个四端网络都可以用算符矩阵来表示。比如方程(17)用算符矩阵表示为\left(\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{1}}\\ I_{\mathrm{1}}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{12}}\\ A_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{22}}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{E}_{\mathrm{2}}\\ I_{\mathrm{2}}\end{array}\right)。

现实中常会遇到图4类型的电路图，该电路图在第二个支路连接了线圈，使得最后一条支路被短路，即整个电路的输出端被短路，此时E_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}。

所以，该四端网络可以用如下矩阵来表示：

\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{c}R\\ \mathrm{1}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ Cs\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}& \begin{array}{c}R\\ \mathrm{1}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ {(Ls)}^{-\mathrm{1}}\end{array}& \begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\mathrm{1}+Rs+R(\mathrm{2}+RCs){(Ls)}^{-\mathrm{1}}\\ Cs+(\mathrm{1}+RCs){(Ls)}^{-\mathrm{1}}\end{array}& \begin{array}{c}R(\mathrm{2}+RCs)\\ \mathrm{1}+RCs\end{array}\end{array}\right]\end{array}

由方程(17)可得

\left\{\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{1}}=\frac{A_{\mathrm{22}}}{A_{\mathrm{12}}}{E}_{\mathrm{1}}\\ I_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{12}}}{E}_{\mathrm{1}}\end{array}\right.

从而I_{\mathrm{1}}=\frac{RCs+\mathrm{1}}{R(RCs+\mathrm{2})}{E}_{\mathrm{1}}，I_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{R(RCs+\mathrm{2})}{E}_{\mathrm{1}}。此时，给该四端网络接入常值电动势E_{\mathrm{1}}=\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}，那么

I_{\mathrm{1}}=\frac{RCs+\mathrm{1}}{R(RCs+\mathrm{2})}\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R}\left(\frac{\mathrm{1}}{s}-\frac{\mathrm{1}}{RCs}\cdot \frac{\mathrm{1}}{s+\mathrm{2}{(RC)}^{-\mathrm{1}}}\right)

即

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}(t)=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{1}}{RC}\left\{\mathrm{1}\right\}\left\{{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{2}}{RC}t}\right\}\right)\\ =\frac{E_{\mathrm{0}}}{R}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}R}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{2}}{RC}t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}R}\right)\end{array}

同理，

I_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{R\left(RCs+\mathrm{2}\right)}\frac{E_{\mathrm{0}}}{s}=E_{\mathrm{0}}\left(\frac{\mathrm{1}}{Rs}\cdot \frac{\mathrm{1}}{RC}\cdot \frac{\mathrm{1}}{s+\frac{\mathrm{2}}{RC}}\right)

即

I_{\mathrm{2}}(t)=-\frac{E_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}R}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{2}}{RC}t}+\frac{E_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}R}

如果施加在图4中的电压是正弦的，则利用正弦电动势的相关方程，令E_{\mathrm{1}}=E_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\phi }，I_{\mathrm{1}}=I_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\psi }，s=i\omega，则该网络的输入端的稳定电流为

I_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\psi }=\frac{RCi\omega +\mathrm{1}}{R^{\mathrm{2}}Ci\omega +\mathrm{2}R}{E}_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{i\phi }

从而

I_{\mathrm{0}}=\frac{E_{\mathrm{0}}}{R}\sqrt[]{\frac{\mathrm{2}RCi\omega +\mathrm{3}}{R^{\mathrm{2}}{C}^{\mathrm{2}}{\omega }^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}RCi\omega +\mathrm{4}}}

同理，可得输出端的电流振幅和周相。

3 结论

文章分别通过基本二端网络的短路电流实例和一端短路情况下的四端网络的输入端及输出端电流实例，应用Mikusinski算符系统来求解使其计算过程简单化，跳过积分运算，实现了复杂问题简单化。随着学科之间的不断发展与融合，电工电子技术在互联网时代的应用越来越广泛^[10-22]，因此，本文为电工电子学科解决问题提供了一种新的解决思路，在类似的实际问题中会有益处。

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基金资助

国家自然科学基金项目(12061050)

内蒙古自治区自然科学基金项目(2020MS01004)