双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)展开法求解（3+1）维mKdvZK方程和（3+1）维YTSF方程的新孤子解

Double （G/G'，1/G） Expansion Method for Solving New Soliton Solutions of the （3+1） mKdvZK Equation and the （3+1） Dimensional YTSF Equation

摘要

研究（3+1）维修正Korteweg⁃devries⁃Zakharov⁃Kuznestsov方程和（3+1）维Yu⁃Toda⁃Sassa⁃Fukuymama方程的解。首先利用行波变换和代入变换将（3+1）维mKdvZKE和（3+1）维YTSFE转化为常微分方程，而后选择双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)展开法得到多个与现有的文献不同的精确解。本方法丰富了（3+1）维修正Korteweg⁃devries⁃Zakharov⁃Kuznestsov方程和（3+1）维Yu⁃Toda⁃Sassa⁃Fukuymama方程的解，说明所用方法和过程对构造非线性演化方程的精确解具有科学性和通用性。

Abstract

In the paper， we study the （3+1）-maintained positive Korteweg-devries-Zakharov-Kuznestsov （mKdvZKE） equations and （3+1）-dimensional Yu-Toda-Sassa-Fukuymama （YTSFE） equations， which have a wide background of application and important significance in nonlinear science and engineering. The （3+1）-dimensional mKdvZKE and （3+1）-dimensional YTSFE are firstly transformed into ordinary differential equations by applying the travelling wave transformation and the substitution transformation， and then the new exact solutions of the two equations are obtained by choosing the double （G/G'，1/G） expansion method. As examples， the method is applied to solutions for kink， soliton wave， periodic function， trigonometric function， etc. The method enriches the solutions of （3+1）-dimensional modified Korteweg-devries- Zakharov- Kuznestsov （mKdvZKE） equations and （3+1）-dimensional Yu-Toda-Sassa-Fukuymama （YTSFE） equations， which demonstrates the scientificity and universality of the method in solving the new exact solutions of the nonlinear evolution equations.

Graphical abstract

关键词

双

(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)

展开法 / 修正Korteweg⁃devries⁃Zakharov⁃Kuznestsov方程 / Yu⁃Toda⁃Sassa⁃Fukuymama方程 / 精确解

Key words

double （G/G'，1/G） expansion method / modified Korteweg-devries-Zakharov-Kuznestsov equation / Yu-Toda-Sassa-Fukuymama equation / exact solution

非线性演化方程（NLEEs）被广泛应用于固体物理、相对论物理、光纤、化学物理、化学运动学、流体力学以及平面波传播、河流流动等方面，促进了物理学、化学和材料科学的发展，非线性演化方程的研究越来越受到关注。因此，学者们提出了许多求解非线性演化方程的方法，如雅各比椭圆函数展开法^［1］、辅助方程法^［2］、改进F展开法^［3］、Hirota双线性^［4］、广义Kudryashov法^［5］、exp函数法^［6］、tanh函数法^［7］和改进的(G/G^{\text{'}})展开法^［8］、一次积分法^［9］、改进Khater法^［10］和扩展直接代数法^［11］等。许多学者都倾向于使用双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)扩展法，这种方法比之前的技术更加高效可靠。例如Chowdhury 等^［12］研究纳米离子电流方程和孤子方程，得到三角函数解和双曲函数解，Iqbal等^［13］给出修正Zakharov⁃Kuznetsov方程和Gerdjikov⁃Ivanov方程的t型、Kink型、钟型、奇异解以及完整行波解的周期奇异解。Khatun等^［14］给出修正Camassa⁃Holm（MCH）方程的双曲函数、三角函数和有理函数，以及广义（3+1）维时空（gCH⁃KP）方程表示的孤波解。此外定义了以下（3+1）修正Korteweg⁃de vries⁃Zakharov⁃Kuznestsov 方程^［15］

U_t+b{U}^{\mathrm{2}}{U}_x+U_{xxx}+U_{xyy}+U_{xzz}=\mathrm{0},（1）

其中，U(x,y,t)是该方程的因变量，t是时间变量，x,y,z是空间变量，系数b非零。Tasbozan等^［16］用直接代数方法求解方程（1），Yaslan等^［17］确定解以及几种不同类型的mKdVZKE解，Arslan等^［18］统一了解析方法求解不同分数参数的孤子解。

对于（3+1）维Yu⁃Toda⁃Sassa⁃Fukuymama （YTSFE）方程^［19］

-\mathrm{4}{U}_{xt}+U_{xxxx}+\mathrm{4}{U}_x{U}_{xz}+\mathrm{2}{U}_{xx}{U}_z+\mathrm{3}{U}_{yy}=\mathrm{0},（2）

其中，U(x,y,t)是该方程的因变量，t是时间变量，x,y,z是空间变量。

Cevikel等^［19］使用扩展tanh⁃coth法、sine⁃cosine方法和(G/G^{\text{'}})展开法求解方程（2）的周期解和周期奇异解。本文用双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)展开法讨论λ不同取值范围时（3+1）维mKdvZK方程和（3+1）维YTSF方程从而获得其新形式的精确解。

1 双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)展开法求解过程

考虑以下非线性演化方程（NLEEs）

P\left(u,u_x,u_y,u_z,u_{xx},u_{yy},u_{zz}\dots \right)=\mathrm{0}\mathrm{。}（3）

步骤1 行波变换

u\left(x,t\right)=u\left(\xi \right),\xi =kx+ly+nt,（4）

将式（4）代入式（3），得到常微分方程

H\left(u,u^{\text{'}},u^{\text{'}\text{'}},u^{\text{'}\text{'}\text{'}}\dots \right)=\mathrm{0}\mathrm{。}（5）

步骤2 假设方程（5）的精确解具有如下形式：

u\left(x,t\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^N}{a}_i{\varphi }^i+{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^N}{b}_i{\varphi }^{i-\mathrm{1}}\psi ,（6）

其中，\varphi =\frac{G^{\text{'}}}{G},\psi =\frac{\mathrm{1}}{G},并且a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\dots ,a_n,b_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{2}},\dots ,b_n为后续待求参数，同时 G(\xi )满足常微分方程

G^{\text{'}\text{'}}\left(\xi \right)+\lambda G\left(\xi \right)=u,（7）

且\varphi ,\psi满足等式

{\varphi }^{\text{'}}=-{\varphi }^{\mathrm{2}}+\mu \psi -\lambda ,{\psi }^{\text{'}}=-\varphi \psi ,（8）

其中\mu ,\lambda是待求常数。

以下分类讨论基于上述G(\xi )常微分方程的通解。

对于λ<0，

G\left(\xi \right)=A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda },（9）

{\psi }^{\mathrm{2}}=\frac{-\lambda }{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}}\left({\varphi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mu \psi +\lambda \right),（10）

其中\sigma =A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}，A_{\mathrm{1}}、A_{\mathrm{2}}为任意常数。

对于λ>0，

G\left(\xi \right)=A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda },（11）

{\psi }^{\mathrm{2}}=\frac{\lambda }{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma -{\mu }^{\mathrm{2}}}\left({\varphi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mu \psi +\lambda \right),（12）

其中\sigma =A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}，A_{\mathrm{1}}、A_{\mathrm{2}} 为任意常数。

对于λ=0，

G\left(\xi \right)=\frac{\mu }{\mathrm{2}}{\xi }^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{1}}\xi +A_{\mathrm{2}},（13）

{\psi }^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mu A_{\mathrm{2}}}\left({\varphi }^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\mu \psi \right),（14）

其中A_{\mathrm{1}}、A_{\mathrm{2}}为任意常数。

步骤3 将式（6）代入方程（5），合并与ϕ和\psi相关的同类项，使其系数均为零，得到一系列关于未知参数的方程组，然后根据关于G(\xi )的常微分方程的通解，将未知参数代入式（6）中的方程，从而得到非线性演化方程的精确解。

2 求解（3+1）维mKdvZK方程

对方程（1）进行行波变换

U=u\left(\xi \right),\xi =lx+my+nz+kt,（15）

由此得到

k{u}^{\text{'}}+bl{u}^{\mathrm{2}}{u}^{\text{'}}+l^{\mathrm{3}}u‴+l{m}^{\mathrm{2}}u‴+l{n}^{\mathrm{2}}u‴=\mathrm{0}\mathrm{。}（16）

对式（16）进行一次积分，可以得到

ku+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}bl{u}^{\mathrm{3}}+l^{\mathrm{3}}u″+l{m}^{\mathrm{2}}u″+l{n}^{\mathrm{2}}u″=\mathrm{0}\mathrm{。}（17）

通过平衡式（17）中的最高阶线性项和最高阶非线性项，得到n=1，可以假设方程（1）有如下形式的解：

u\left(\xi \right)=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\varphi +b_{\mathrm{1}}\psi ,（18）

其中\varphi =\frac{G^{\text{'}}}{G},\psi =\frac{\mathrm{1}}{G}，a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}为待定系数。将式（18）代入式（17），根据λ的取值范围进行分类讨论。

情况1 对于λ<0，

b=b,k=\mathrm{0},l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

b=b,k=k,l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

b=b,k=\mathrm{0},l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{1}}=-\frac{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}{\lambda \mu }。

b=\frac{\lambda \mu \left(l^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)},k=-\frac{\lambda \mu \left(l^{\mathrm{3}}+l{m}^{\mathrm{2}}+l{n}^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)},l=\mathrm{0},m=m,n=n,

a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

将方程（1）的结果代入式（18），根据式（9）和式（10）得出以下精确解：

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（19）

其中\xi =my+nz,b=b。

u_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{0}}+b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（20）

其中\xi =my+nz+kt,b=b。

u_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{0}}-\frac{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}{\lambda \mu }\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（21）

其中\xi =my+nz,b=b。

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{4}}=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（22）

其中\xi =my+nz-\frac{\lambda \mu \left(l^{\mathrm{3}}+l{m}^{\mathrm{2}}+l{n}^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}t,b=\frac{\lambda \mu \left(l^{\mathrm{2}}+m^{\mathrm{2}}+n^{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}{a}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}。

情况2 对于λ>0，

b=b,k=\mathrm{0},l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

b=b,k=k,l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

将方程（1）的结果代入式（18），根据式（11）和式（12）得出以下精确解：

b=\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma l^{\mathrm{2}}+{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma m^{\mathrm{2}}+{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma n^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{m}^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}},k=-\frac{l^{\mathrm{3}}+l{m}^{\mathrm{2}}+l{n}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},

l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{5}}=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)-A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（23）

其中\xi =my+nz,b=b。

u_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{0}}+b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（24）

其中\xi =my+nz+kt,b=b。

u_{\mathrm{7}}=b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（25）

其中\xi =my+nz-\frac{l^{\mathrm{3}}+l{m}^{\mathrm{2}}+l{n}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}t,b=\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma l^{\mathrm{2}}+{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma m^{\mathrm{2}}+{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma n^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{l}^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{m}^{\mathrm{2}}-{\mu }^{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\lambda }^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}。

情况3 对于λ=0，

b=b,k=\mathrm{0},l=\mathrm{0},m=m,n=n,a_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},a_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},b_{\mathrm{1}}=\pm \mathrm{2}。

将方程（1）的结果代入式（18），根据式（13）和式（14）得出以下精确解：

u_{\mathrm{8}}=\pm \mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mu }{\mathrm{2}}{\xi }^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{1}}\xi +C_{\mathrm{2}}},（26）

其中\xi =my+nz,b=b。

当参数A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},\mu ,l,m,n,\lambda ,a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}取特殊值时，u_{\mathrm{4}},u_{\mathrm{7}}的三维图和二维图如图1和图2所示。

3 求解（3+1）维YTSF方程

对方程（2）进行行波变换

U=u\left(\xi \right),\xi =x+y+z-ct,（27）

由此得出

U‴+\mathrm{3}{\left(U^{\text{'}}\right)}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{3}-\mathrm{4}c\right)U^{\text{'}}=\mathrm{0}\mathrm{。}（28）

平衡式（17）中的最高阶线性项和最高阶非线性项，得出m=1，则认为方程（2）有如下形式的解：

U\left(\xi \right)=a_{\mathrm{0}}+a_{\mathrm{1}}\varphi +b_{\mathrm{1}}\psi ,（29）

其中\varphi =\frac{G^{\text{'}}}{G},\psi =\frac{\mathrm{1}}{G}，a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}为待定系数。将式（29）代入方程（28），可以得到取决于λ取值范围的结果。

情况1 对于λ<0，

c=c,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}\mathrm{。}

c=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

c=c,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma -\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma },b_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}。

将方程（2）的结果代入式（29），根据式（9）和式（10）得出以下行波解：

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（30）

其中\xi =x+y+z-ct。

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（31）

其中\xi =x+y+z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}t。

u_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma -\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma }\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{-\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（32）

其中\xi =x+y+z-ct。

情况2 对于λ>0，

c=c,a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

c=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}。

c=-\frac{{\lambda }^{\mathrm{3}}\sigma -{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +\mathrm{3}\lambda {\mu }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma -{\mu }^{\mathrm{2}}\right)},a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma },b_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}。

将方程（2）的结果代入式（29），根据式（11）和式（12）得出以下行波解：

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{4}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)-A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（33）

其中\xi =x+y+z-ct。

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{5}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)-A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }}+\\ b_{\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},\end{array}（34）

其中\xi =x+y+z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}t。

u_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +\mathrm{2}{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{A_{\mathrm{1}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)-A_{\mathrm{2}}\sqrt[]{\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)}{A_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+A_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\sqrt[]{\lambda }\xi \right)+\frac{\mu }{\lambda }},（35）

其中\xi =x+y+z+-\frac{{\lambda }^{\mathrm{3}}\sigma -{\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma +\mathrm{3}\lambda {\mu }^{\mathrm{2}}+{\mu }^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left({\lambda }^{\mathrm{2}}\sigma -{\mu }^{\mathrm{2}}\right)}t。

情况3 对于λ=0，

c=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},a_{\mathrm{0}}=a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},b_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}。

将方程（2）的结果代入式（29），根据式（13）和式（14）得出以下行波解：

u_{\mathrm{7}}=a_{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{\mu \xi +A_{\mathrm{1}}}{\frac{\mu }{\mathrm{2}}{\xi }^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{1}}\xi +A_{\mathrm{2}}},（36）

其中\xi =x+y+z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}t。

当参数A_{\mathrm{1}},A_{\mathrm{2}},\mu ,y,z,c,\lambda ,a_{\mathrm{0}},a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}}取特殊值时，u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{7}}的三维图和二维图如图3和图4所示。

4 结论

本文通过行波变换和代入变换将（3+1）维mKdvZK和（3+1）维YTSFE转化为常微分方程，然后利用双(G/G^{\text{'}},\mathrm{1}/G)展开法得到两个方程的新精确解。对于mKdvZK，其中u_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{4}}与文献［15］中式（4.29）相似，u_{\mathrm{5}}与文献［18］中式（4.32）相同，同时u_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{6}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{7}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{8}}与已有的文献不同。对于YTSFE，其中u_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{2}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{3}}与文献［19］中式（5.28）、（5.29）相同，u_{\mathrm{6}}与文献［19］中式（5.30）相似，同时u_{\mathrm{4}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{5}}\mathrm{、}{u}_{\mathrm{7}}与现有的文献不同。该方法适用于求解非线性演化方程，能够提供了大量新的精确解，在实际应用中具有重要意义。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“带奇异势的非线性Schrödinger方程解的渐近行为研究”(12071323)