Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的Lax可积性研究

Lax-Integrability and Related Problems of Jimbo-Miwa-Like Equation

摘要

基于双Bell多项式方法，将Jimbo⁃Miwa⁃Like方程化为双线性形式，运用Bell多项式的相关性质，构造出方程的双Bell多项式Bäcklund变换、双线性Bäcklund变换、Lax对、无穷守恒律和孤子解。运用试探函数法和符号计算软件Mathematica获得方程的复合型解，并选取适当的参数，绘制一部分精确解的图像来说明性质。

Abstract

The Jimbo-Miwa-Like equation is transformed into bilinear form based on the Bell-polynomial method， and double Bell polynomial Bäcklund transformation， bilinear Bäcklund transformation， Lax pair， infinite conservation law and solitons of the equation are derived through symbolic computation by using the relevant properties of Bell-polynomial. Then， the complex solutions are obtained by applying the trail function method and symbolic calculation software Mathematica， and some of graphs for exact solutions are made to illustrate their properties through selecting the appropriate parameters.

Graphical abstract

关键词

Bell多项式方法 / Bäcklund变换 / Lax对 / 无穷守恒律 / 试探函数法

Key words

Bell-polynomial method / Bäcklund transformation / Lax pair / infinite conservation law / trail function method

孤子理论是非线性科学中的重要分支，在数学、物理学和生物学等自然科学领域中广泛应用。寻找孤子方程精确解的方法一直是众多学者研究的热点问题之一，如Hirota双线性方法^［1］、齐次平衡法^［2］、Bäcklund 变换法^［3］、有理函数变换法^［4］、Bell多项式法^［5］。文献［6］应用Bell多项式方法分析了Hirota⁃Bilinear方程（1）的孤子解和怪波解，文献［7］应用广田双线性法获得（3+1）维Hirota⁃Bilinear方程（1）的块解。

u_{yt}-u_{xxxy}-\mathrm{3}(u_x{u}_y{)}_x-\mathrm{3}{u}_{xx}+u_{zz}=\mathrm{0}。（1）

文献［8］应用Bell多项式研究了（3+1）维Jimbo⁃Miwa方程（2）的Lax对，Bäcklund变换和N⁃孤子解。

\mathrm{2}{u}_{yt}+u_{xxxy}-\mathrm{3}(u_x{u}_y{)}_x-\mathrm{3}{u}_{zz}=\mathrm{0}。（2）

文献［9］应用线性叠加原理研究了拓展（3+1）维Jimbo⁃Miwa方程（3）的孤子解。文献［10］给出了拓展 （3+1）维Jimbo⁃Miwa方程（3）的精确解。

u_{xxxy}+\mathrm{3}(u_x{u}_y{)}_x+\mathrm{2}{u}_{yt}-\mathrm{3}(u_{xz}+u_{zz}+u_{yz})=\mathrm{0}。（3）

文献［11］给出了包含方程（1）、方程（2）和方程（3）的（3+1）Jimbo⁃Miwa⁃Like方程（4）的孤子解和三角函数与指数函数复合的精确解。

\alpha u_{xxxy}+\beta (u_x{u}_y{)}_x+\gamma u_{yt}+\mu u_{zz}+\delta u_{xx}+\lambda u_{xz}+\theta u_{yz}=\mathrm{0}，（4）

其中\alpha ,\beta ,\gamma ,\mu ,\delta ,\lambda ,\theta为任意常数。

文献［6⁃11］没有研究方程（4）的无穷守恒律，本文利用试探函数法求解方程的精确解，当选取适当参数可包含文献［11］中的精确解。首先基于Bell多项式方法，给出方程（4）的双线性形式、Lax对、Bäcklund变换和无穷守恒律，其次利用小参数展开法计算方程（4）的单孤子解、双孤子解和N⁃孤子解，同时利用符号计算软件Mathematica画出对应图像，最后运用试探函数法求解其它类型的精确解。

1 双线性导数的定义与性质

关于D⁃算子在文献［12⁃13］中有如下定义和性质。

1.1 D⁃算子定义

设f(t,x)与g(t,x)是变量t与x的可微函数，引进微分算子D_t与D_x使得对任意的非负整数m和n都有

D_t^m{D}_x^{n}f\cdot g=({\partial }_t-\partial {\mathrm{\text{'}}}_t{)}^m({\partial }_x-\partial {\mathrm{\text{'}}}_x{)}^{n}f(t,x)\cdot g(t\mathrm{\text{'}},x\mathrm{\text{'}}){|}_{t=t\mathrm{\text{'}},x=x\mathrm{\text{'}}}。（5）

那么式（5）称为函数f与g对t施行m次双线性导数D_t，对x施行n次双线性导数D_x。

1.2 D⁃算子性质

性质1 函数f(t,x)与常数1的双线性导数是通常的导数，即

D_t^m{D}_x^{n}f\cdot \mathrm{1}={\partial }_t^m{\partial }_x^{n}f。（6）

性质2 当m+n为奇数时

D_t^m{D}_x^{n}f\cdot f=\mathrm{0}。（7）

性质3 当m+n是偶数时其值不变，当m+n是奇数时要改变符号

D_t^m{D}_x^{n}f\cdot g={(-\mathrm{1})}^{m+n}{D}_t^m{D}_x^{n}g\cdot f。（8）

2 Bell多项式相关结论

Bell多项式的概念及相关性质如下^［14］。

定义1 设f=f(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},\cdots ,x_n)是C^{\mathrm{\infty }}上多变量函数，称

Y_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(f)=Y_{n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}},\dots ,n_l}(f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l})={\mathrm{e}}^{-f}{\partial }_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{\partial }_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots {\partial }_{x_l}^{n_l}{\mathrm{e}}^f（9）

为Bell多项式，简记为Y⁃多项式。

定义2 多维Bell多项式定义为

{\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(v,w)=Y_{n_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}},\dots ,n_l}(f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}),（10）

其中函数f和它的导数分别被函数w和v的相应项按照如下规则替换

f_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l}=\left\{\begin{array}{c}{v}_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l},r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}+\cdots +r_l=\mathrm{奇数},\\ w_{r_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},r_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,r_l{x}_l},r_{\mathrm{1}}+r_{\mathrm{2}}+\cdots +r_l=\mathrm{偶数}\mathrm{。}\end{array}\right.（11）

前几个低阶的双Bell多项式分别为

{\mathrm{𝒴}}_x(v)=v_x,{\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{2}x}(v,w)=w_{\mathrm{2}x}+v_x^{\mathrm{2}},{\mathrm{𝒴}}_{x,t}(v,w)=w_{x,t}+v_x{v}_t,

{\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{3}x}(v,w)=v_{\mathrm{3}x}+\mathrm{3}{v}_x{w}_{\mathrm{2}x}+v_x^{\mathrm{3}},{\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{4}x}(v,w)=w_{\mathrm{4}x}+\mathrm{3}{w}_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{v}_x{v}_{\mathrm{3}x}+\mathrm{6}{v}_x^{\mathrm{2}}{w}_{\mathrm{2}x}+v_x^{\mathrm{4}}。（12）

定理1 阶数为n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l的双Bell多项式和标准的Hirota线性项D_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x\mathrm{2}}^{n\mathrm{2}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot G之间的关系为

{\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(v=\mathrm{l}\mathrm{n}F/G,w=\mathrm{l}\mathrm{n}FG)={(FG)}^{-\mathrm{1}}{D}_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot G,（13）

其中n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l\ge \mathrm{1}。

特别地，当G=F时，式（13）化为

F^{-\mathrm{2}}{D}_{x_{\mathrm{1}}}^{n_{\mathrm{1}}}{D}_{x_{\mathrm{2}}}^{n_{\mathrm{2}}}\cdots D_{x_l}^{n_l}F\cdot F=y_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(\mathrm{0},q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0},n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l=\mathrm{奇数},\\ P_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l},n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l=\mathrm{偶数}\mathrm{。}\end{array}\right.（14）

则称

P_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(q)={\mathrm{𝒴}}_{n_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{1}},n_{\mathrm{2}}{x}_{\mathrm{2}},\dots ,n_l{x}_l}(\mathrm{0},q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F)（15）

为P⁃多项式，当且仅当n_{\mathrm{1}}+n_{\mathrm{2}}+\cdots +n_l为偶数时。

3 Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性形式、Bäcklund变换、Lax对和无穷守恒律

3.1 Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性形式

引进势场q=q(x,y,z,t)，并令

u=c{q}_x,（16）

其中c是一个可选择的常数。当选取适当的常数c时，将方程（4）化为P⁃多项式形式。

将式（16）代入方程（4）得

c\alpha q_{\mathrm{4}x,y}+\beta (c{q}_{\mathrm{2}x}c{q}_{x,y}{)}_x+c\gamma q_{x,y,t}+c\mu q_{x,\mathrm{2}z}+c\delta q_{\mathrm{3}x}+c\lambda q_{\mathrm{2}x,z}+c\theta q_{x,y,z}=\mathrm{0}\mathrm{。}（17）

式（17）中取c=\mathrm{1}，并经对x积分一次，取积分常数为0，得

E(q)=\alpha q_{\mathrm{3}x,y}+\beta q_{\mathrm{2}x}{q}_{x,y}+\gamma q_{y,t}+\mu q_{\mathrm{2}z}+\delta q_{\mathrm{2}x}+\lambda q_{x,z}+\theta q_{y,z}=\mathrm{0}。（18）

当约束条件为\beta =\mathrm{3}\alpha时，根据式（15）有

P_{\mathrm{2}x}(q)=q_{\mathrm{2}x},P_{xt}(q)=q_{xt},P_{\mathrm{3}x,y}(q)=q_{\mathrm{3}x,y}+\mathrm{3}{q}_{x,y}{q}_{\mathrm{2}x},（19）

将式（19）化为

\alpha P_{\mathrm{3}x,y}+\gamma P_{y,t}+\mu P_{\mathrm{2}z}+\delta P_{\mathrm{2}x}+\lambda P_{x,z}+\theta P_{y,z}=\mathrm{0}。（20）

根据Hirota算子和Bell多项式之间的关系，从方程（20）得到（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性形式

(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)F\cdot F=\mathrm{0}。（21）

其中D_x^{\mathrm{3}}{D}_y,D_y{D}_t,D_z^{\mathrm{2}},D_x^{\mathrm{2}},D_x{D}_z,D_y{D}_z满足式（5）。

3.2 Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的Bäcklund变换和Lax对

为得到Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性Bäcklund变换和Lax对。首先令q=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}G和q\mathrm{\text{'}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}F分别为方程（18）的两个不同解。将两解代入方程（18）并作代数运算得到

\begin{array}{l}E(q\mathrm{\text{'}})-E(q)=\alpha {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{xxxy}+\mathrm{3}\alpha (q{\mathrm{\text{'}}}_{\mathrm{2}x}q{\mathrm{\text{'}}}_{xy}-q_{\mathrm{2}x}{q}_{xy})+\gamma {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{yt}+\\ \mu {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{zz}+\delta {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{xx}+\lambda {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{xz}+\theta {(q\mathrm{\text{'}}-q)}_{yz}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（22）

引入新变量v,w

v=\frac{q\mathrm{\text{'}}-q}{\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{n}F/G,w=\frac{q\mathrm{\text{'}}+q}{\mathrm{2}}=\mathrm{l}\mathrm{n}FG,（23）

并代入方程（22）整理后得到

\begin{array}{l}E(w+v)-E(w-v)=\\ \mathrm{2}[\alpha v_{xxxy}+\mathrm{3}\alpha w_{xxy}{v}_{\mathrm{2}x}+\mathrm{3}\alpha v_{xxy}{w}_{xx}+\gamma v_{yt}+\mu v_{zz}+\delta v_{xx}+\lambda v_{xz}+\theta v_{yz}]=\\ \mathrm{2}\alpha {\partial }_y[{\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{3}x}(v,w)]+\mathrm{2}\{\gamma {\partial }_y[{\mathrm{𝒴}}_t(v,w)]+\mu {\partial }_z[{\mathrm{𝒴}}_z(v,w)]+\delta {\partial }_x[{\mathrm{𝒴}}_x(v,w)]+\\ \lambda {\partial }_x[{\mathrm{𝒴}}_z(v,w)]+\theta {\partial }_z[{\mathrm{𝒴}}_y(v,w)]\}+\mathrm{6}\alpha W[{\mathrm{𝒴}}_{x,y}(v,w),{\mathrm{𝒴}}_x(v)]=\mathrm{0},\end{array}（24）

其中W是一个Wronski行列式。

如果取一个特定的约束

{\mathrm{𝒴}}_{x,y}(v,w)=\tau {\mathrm{𝒴}}_x(v)，（25）

\tau是任意常数。

在约束（25）下，式（24）可以表示为

{\partial }_y[\alpha {\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{3}x}(v,w)+\gamma {\mathrm{𝒴}}_t(v)]+{\partial }_z[\mu {\mathrm{𝒴}}_z(v)+\theta {\mathrm{𝒴}}_y(v)]+{\partial }_x[\delta {\mathrm{𝒴}}_x(v)+\lambda {\mathrm{𝒴}}_z(v)]=\mathrm{0}。（26）

为使式（26）恒等于0，结合相关法则，得到Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双Bell多项式Bäcklund变换

\left\{\begin{array}{l}\alpha {\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{3}x}+r{\mathrm{𝒴}}_t=c_{\mathrm{1}},\\ \mu {\mathrm{𝒴}}_z+\theta {\mathrm{𝒴}}_y=c_{\mathrm{2}},\\ \delta {\mathrm{𝒴}}_x+\lambda {\mathrm{𝒴}}_z=c_{\mathrm{3}},\\ {\mathrm{𝒴}}_{x,y}=\tau {\mathrm{𝒴}}_x\mathrm{。}\end{array}\right.（27）

其中c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}}为积分常数。

由\mathrm{𝒴}⁃多项式与双线性算子之间的关系，得到（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性Bäcklund变换

\left\{\begin{array}{l}(\alpha D_x^{\mathrm{3}}+\gamma D_t-c_{\mathrm{1}})F\cdot G=\mathrm{0},\\ (\mu D_z+\theta D_y-c_{\mathrm{2}})F\cdot G=\mathrm{0},\\ (\delta D_x+\lambda D_z-c_{\mathrm{3}})F\cdot G=\mathrm{0},\\ (D_x{D}_y-\tau D_x)F\cdot G=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（28）

计算（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的Lax对。由Hopf⁃Cole变换，令v=\mathrm{l}\mathrm{n}\psi并结合\mathrm{𝒴}⁃多项式的相关性质得出

\begin{array}{l}{\mathrm{𝒴}}_x(v)=\frac{{\psi }_x}{\psi },{\mathrm{𝒴}}_t(v)=\frac{{\psi }_t}{\psi },{\mathrm{𝒴}}_y(v)=\frac{{\psi }_y}{\psi },{\mathrm{𝒴}}_z(v)=\frac{{\psi }_z}{\psi },{\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{2}x}(v,w)=q_{\mathrm{2}x}+\frac{{\psi }_{\mathrm{2}x}}{\psi },\\ {\mathrm{𝒴}}_{\mathrm{3}x}(v,w)=\frac{{\psi }_{\mathrm{3}x}}{\psi }+\mathrm{3}{q}_{\mathrm{2}x}\frac{{\psi }_x}{\psi },{\mathrm{𝒴}}_{x,y}(v,w)=\frac{{\psi }_{x,y}}{\psi }+q_{xy}\mathrm{。}\end{array}（29）

将式（29）代入式（27）中，化简得到

\left\{\begin{array}{l}\alpha {\psi }_{\mathrm{3}x}+\mathrm{3}\alpha q_{\mathrm{2}x}{\psi }_x+\gamma {\psi }_t=c_{\mathrm{1}}\psi ,\\ \mu {\psi }_z+\theta {\psi }_y=c_{\mathrm{2}}\psi ,\\ \delta {\psi }_x+\lambda {\psi }_z=c_{\mathrm{3}}\psi ,\\ {\psi }_x=\frac{{\psi }_{xy}+q_{xy}\psi }{\tau }\mathrm{。}\end{array}\right.（30）

将式（30）中第四个方程代入第一个方程中，第二个方程与第三个方程相加，整理得

\left\{\begin{array}{c}(L_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{3}})\psi =(\mu {\partial }_z+\theta {\partial }_y+\delta {\partial }_x+\lambda {\partial }_z-c_{\mathrm{2}}-c_{\mathrm{3}})\psi =\mathrm{0},\\ ({\partial }_t+L_{\mathrm{2}})=\left({\partial }_t+\frac{\alpha {\partial }_x^{\mathrm{3}}}{\gamma }+\frac{\mathrm{3}\alpha q_{\mathrm{2}x}{\partial }_{xy}}{\gamma \tau }+\frac{\mathrm{3}\alpha q_{\mathrm{2}x}{q}_{xy}}{\gamma \tau }-\frac{c_{\mathrm{1}}}{\gamma }\right)\psi =\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（31）

即为（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的Lax对，满足条件[L_{\mathrm{1}}-C,{\partial }_t+L_{\mathrm{2}}]=\mathrm{0}。其中L_{\mathrm{1}}=\mu {\partial }_z+\theta {\partial }_y+\delta {\partial }_x+\lambda {\partial }_z，C=c_{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{3}}L_{\mathrm{2}}=\frac{\alpha {\partial }_x^{\mathrm{3}}}{\gamma }+\frac{\mathrm{3}\alpha q_{\mathrm{2}x}{\partial }_{xy}}{\gamma \tau }+\frac{\mathrm{3}\alpha q_{\mathrm{2}x}{q}_{xy}}{\gamma \tau }-\frac{c_{\mathrm{1}}}{\gamma }。在双线性表示的变换（16）中，q_x用u代替恰好为（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程，即Lax可积的。

3.3 Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的无穷守恒律

由关系式{\partial }_x{\mathrm{𝒴}}_y={\partial }_y{\mathrm{𝒴}}_x=v_{xy}，式（27）可重新写为

\left\{\begin{array}{l}{w}_{xy}+v_x{v}_y-\tau v_x=\mathrm{0},\\ {\partial }_x(\alpha v_{\mathrm{3}x}+\mathrm{3}\alpha v_x{w}_{\mathrm{2}x}+\alpha v_x^{\mathrm{3}}+\mu v_z+\theta v_y+\delta v_x+\lambda v_z)=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（32）

为了推导方程的无穷守恒律，引入势函数\eta =\frac{q_x^{\mathrm{\text{'}}}-q_x}{\mathrm{2}}，由式（23）知

v_x=\eta ,w_x=q_x+\eta ,（33）

将式（33）代入式（32）得到一个Riccati方程

{\eta }_y+\eta {\partial }_x^{-\mathrm{1}}{\eta }_y+q_{xy}-\tau \eta =\mathrm{0},（34）

和一个离散型方程

{\partial }_x[\alpha ({\eta }_{xx}+\mathrm{3}\eta q_{xx}+\mathrm{3}\eta {\eta }_x+{\eta }^{\mathrm{3}})]+\gamma {\eta }_t+\mu {\eta }_z+\theta {\eta }_y+\delta {\eta }_x+\lambda {\eta }_z=\mathrm{0}。（35）

进一步，将级数展开式

\eta =\epsilon +{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\infty }}{I}_n(q,q_x,\cdots ,q_{xn}){\epsilon }^{-n}（36）

代入式（34），比较\epsilon的同次幂系数，得到守恒密度I_n的递推关系

\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{1}}=-u_x,I_{\mathrm{2}}=-I_{\mathrm{1},x}+\tau {\partial }_y^{-\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1},x},\cdots ,\\ I_n=-I_{n-\mathrm{1},x}-\tau {\partial }_y^{-\mathrm{1}}{I}_{n-\mathrm{1},x}-{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{n-\mathrm{2}}}{\partial }_y^{-\mathrm{1}}{\partial }_x(I_i{\partial }_y^{-\mathrm{1}}{I}_{n-i-\mathrm{1},x}),n=\mathrm{3,4}\cdots \mathrm{。}\end{array}（37）

再将级数（36）代入式（35），得

\begin{array}{l}{\partial }_x\left[\alpha {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,\mathrm{2}x}{\epsilon }^{-n}+\mathrm{3}\left(\epsilon +{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_n{\epsilon }^{-n}\right){\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,x}{\epsilon }^{-n}+\mathrm{3}\left(\epsilon +{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_n{\epsilon }^{-n}\right){\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,x}{\epsilon }^{-n}+{\left(\epsilon +{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_n{\epsilon }^{-n}\right)}^{\mathrm{2}}\right]+\gamma {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,t}{\epsilon }^{-n}+\eta {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,z}{\epsilon }^{-n}+\delta {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,x}{\epsilon }^{-n}+\\ \lambda {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,z}{\epsilon }^{-n}+\theta {\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{I}_{n,y}{\epsilon }^{-n}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（38）

比较\epsilon的同次幂，得到了无穷守恒律

G_{n,t}+L_{n,y}+K_{n,z}+F_{n,x}=\mathrm{0}。（39）

连带流F_n满足递推关系

F_{\mathrm{1}}=\alpha (I_{\mathrm{1},xx}-I_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{I}_{\mathrm{2},x}+\mathrm{6}{I}_{\mathrm{3}})+\delta I_{\mathrm{1}},

F_{\mathrm{2}}=\alpha [I_{\mathrm{2},xx}+\mathrm{6}{I}_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{2}}-\mathrm{6}{I}_{\mathrm{4}}+\mathrm{3}(I_{\mathrm{3},x}+I_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{1},x}-I_{\mathrm{1}}{I}_{\mathrm{2}})]+\delta I_{\mathrm{2}},\cdots ,

F_n=\alpha [I_{n,xx}+\mathrm{3}(\mathrm{2}{I}_{n+\mathrm{2}}+\sum _{i+j=n+\mathrm{1}}{I}_i{I}_j)+\sum _{i+j+k=n}{I}_i{I}_j{I}_k+\mathrm{3}(I_{n+\mathrm{1},x}+\sum _{i+j=n}{I}_i{I}_{j,x}-I_{\mathrm{1}}{I}_n)]+\delta I_n,

n=\mathrm{3,4},\cdots（40）

4 Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的单孤子解及双孤子解

4.1 单孤子解

设

F(x,y,z,t)=\mathrm{1}+f^{\mathrm{1}}\epsilon +f^{\mathrm{2}}{\epsilon }^{\mathrm{2}}+\cdots +f^j{\epsilon }^j+\cdots（41）

代入式（25），同时比较\epsilon的同次幂系数得

\epsilon :(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{1}}=\mathrm{0},（42）

{\epsilon }^{\mathrm{2}}:(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)(\mathrm{1}\cdot f^{\mathrm{2}}+f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{1}}+f^{\mathrm{2}}\cdot \mathrm{1})=\mathrm{0},（43）

{\epsilon }^{\mathrm{3}}:(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)(\mathrm{1}\cdot f^{\mathrm{3}}+f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{2}}+f^{\mathrm{2}}\cdot f^{\mathrm{1}}+f^{\mathrm{3}}\cdot \mathrm{1})=\mathrm{0}。（44）

将式（42）-（44）化简为

\alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{1}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{1}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{1}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{1}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{1}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{1}}=\mathrm{0},（45）

\begin{array}{l}-(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{1}}=\\ \mathrm{2}(\alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{2}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{2}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{2}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{2}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0},\end{array}（46）

\begin{array}{l}-(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{2}}=\\ \alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{3}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{3}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{3}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{3}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{3}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（47）

设f^{\mathrm{1}}有指数函数形式解

f^{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{\xi },{\xi }_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}t+b_{\mathrm{1}}x+c_{\mathrm{1}}y+d_{\mathrm{1}}z，（48）

且满足约束条件\alpha b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}+\gamma c_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}+\mu d_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\delta b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\lambda b_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}+\theta c_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}，其中a_{\mathrm{1}},b_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{1}},d_{\mathrm{1}}为任意常数。

代入式（42）得到

-(\alpha b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}+\gamma c_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}+\mu d_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\delta b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\lambda b_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}+\theta c_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}){\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}=\mathrm{0},（49）

代入式（43）得到

\begin{array}{l}(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z){\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}=\\ \mathrm{2}(\alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{2}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{2}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{2}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{2}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{2}})=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（50）

若取f^{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，则式（47）化简为\alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{3}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{3}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{3}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{3}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{3}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}。依次令f^{\mathrm{3}}=f^{\mathrm{4}}=\cdots =f^n=\mathrm{0}，级数被截断为有限形式。

当\epsilon =\mathrm{1}时，F(t,x,y,z)=\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{\xi }，得到方程的单孤子解

u=\mathrm{2}[\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{\xi }{)]}_x=\frac{\mathrm{2}b{\mathrm{e}}^{a_{\mathrm{1}}t+b_{\mathrm{1}}x+c_{\mathrm{1}}y+d_{\mathrm{1}}z}}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{a_{\mathrm{1}}t+b_{\mathrm{1}}x+c_{\mathrm{1}}y+d_{\mathrm{1}}z}}\mathrm{。}（51）

选取参数b_{\mathrm{1}}=\lambda =-\mathrm{1},c_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{1}}=\gamma =\mu =\alpha =d_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}并绘制图像（图1）。

4.2 双孤子解

为得到方程的双孤子解，设f^{\mathrm{1}}有指数形式解，取

f^{\mathrm{1}}={\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}},{\xi }_j=a_{j}t+b_{j}x+c_{j}y+d_{j}z，（52）

并满足约束条件\alpha b_j^{\mathrm{3}}{c}_j+\gamma c_j{a}_j+\mu d_j^{\mathrm{2}}+\delta b_j^{\mathrm{2}}+\lambda b_j{d}_j+\theta c_j{d}_j=\mathrm{0}。令h=h({\xi }_{\mathrm{1}})={\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}},g=g({\xi }_{\mathrm{2}})={\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}，得到

\begin{array}{l}\mathrm{2}(\alpha f_{\mathrm{3}x,y}^{\mathrm{2}}+\gamma f_{y,t}^{\mathrm{2}}+\mu f_{\mathrm{2}z}^{\mathrm{2}}+\delta f_{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}+\lambda {f_{x,}^{\mathrm{2}}}_z+\theta f_{y,z}^{\mathrm{2}})=\\ -(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)f^{\mathrm{1}}\cdot f^{\mathrm{1}}=\\ -(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z)({\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}})=\\ -\mathrm{2}(\alpha D_x^{\mathrm{3}}{D}_y+\gamma D_y{D}_t+\mu D_z^{\mathrm{2}}+\delta D_x^{\mathrm{2}}+\lambda D_x{D}_z+\theta D_y{D}_z){\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}\cdot {\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}=\\ -\mathrm{2}[-(\mathrm{2}\alpha (h_{xxxy}g-\mathrm{3}{h}_{xxy}{g}_x+\mathrm{3}{h}_{xy}{g}_{xx}-h_{xxx}{g}_y)+\gamma (h_{yt}g+h_y{g}_t+h_t{g}_y+h{g}_{yt})+\\ \mu (h_{zz}g-\mathrm{2}{h}_z{g}_z+h{g}_{zz})+\delta (h_{xx}g-\mathrm{2}{h}_x{g}_x+h{g}_{xx})+\lambda (h_{xz}g+h_x{g}_z+h_z{g}_x+h{g}_{xz})+\\ \theta (h_{yz}g+h_y{g}_z+h_z{g}_y+h{g}_{yz})]=-\mathrm{2}[\alpha b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})+\mathrm{6}\alpha b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{1}})+\\ \lambda (b_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\gamma (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\theta (c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})\\ (d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\mu (d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\delta (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}]\mathrm{。}\end{array}（53）

令f^{\mathrm{2}}=m{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}+{\xi }_{\mathrm{2}}}，记{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{12}}}=m，代入式（53）

\begin{array}{l}m[\alpha (b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})+\lambda (b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})+\gamma (a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}})(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})+\\ \theta (c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})+\mu (d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\delta (a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}]=-[\alpha b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})+\mathrm{6}\alpha b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{1}})+\\ \lambda (b_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\gamma (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\theta (c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\\ \mu (d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\delta (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}],\end{array}（54）

得到

m=-\frac{\begin{array}{l}\alpha b_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})+\mathrm{6}\alpha b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{1}})+\lambda (b_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\\ \gamma (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}})(c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})+\theta (c_{\mathrm{1}}-c_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}})+\mu (d_{\mathrm{1}}-d_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\delta (a_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}\end{array}}{\begin{array}{l}[\alpha (b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})+\lambda (b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})+\gamma (a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}})(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})+\\ \theta (c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}})(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})+\mu (d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}+\delta (a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}]\end{array}},（55）

则f^{\mathrm{2}}={\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}+{\xi }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{12}}}={\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}+{\xi }_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{12}}}，令f^{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，得到f^{\mathrm{4}}=f^{\mathrm{5}}\cdots =\mathrm{0}。

当\epsilon =\mathrm{1}时，f(t,x,y,z)=\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}+{\xi }_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{12}}},则方程的双孤子解为

u=\mathrm{2}[\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{2}}}+{\mathrm{e}}^{{\xi }_{\mathrm{1}}+{\xi }_{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{12}}}{)]}_x=\mathrm{2}\frac{h{b}_{\mathrm{1}}+g{b}_{\mathrm{2}}+hg{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{12}}}\left(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{1}+h{b}_{\mathrm{1}}+g{b}_{\mathrm{2}}+hg{\mathrm{e}}^{A_{\mathrm{12}}}}。（56）

选取参数a_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=\delta =c_{\mathrm{2}}=\mathrm{2},a_{\mathrm{1}}=d_{\mathrm{2}}=\gamma =\mu =\lambda =\theta =c_{\mathrm{1}}=\alpha =\mathrm{1},并绘制图像（图2）。

5 试探函数法与精确解

引入测试函数

F={\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}}+{\epsilon }_{\mathrm{4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{4}}+{\epsilon }_{\mathrm{5}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{5}}+{\epsilon }_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{6}}+{\epsilon }_{\mathrm{7}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{7}}+{\epsilon }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\varphi }_{\mathrm{8}},（57）

其中{\varphi }_i=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_{i}t，{\epsilon }_i为待定的常数。

将式（57）代入方程双线性形式中，并令{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}},{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{4}},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{5}},\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{6}},\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{7}},\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\varphi }_{\mathrm{8}}的系数为零，得到一组非线性代数方程组，利用符号计算软件Mathematica，求出方程组的如下几种解。

情况1

{\epsilon }_{\mathrm{4}}={\epsilon }_{\mathrm{5}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}={\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},\lambda =\frac{-\mathrm{3}\alpha (a_{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}})(a_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{4}}+a_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{5}}+A_{\mathrm{6}}+A_{\mathrm{7}})}{(-A_{\mathrm{3}}-A_{\mathrm{4}}-A_{\mathrm{5}}{)}^{\mathrm{2}}},（58）

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{1}}=-a_{\mathrm{3}}(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})b_{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}),A_{\mathrm{2}}=-a_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})b_{\mathrm{3}}+a_{\mathrm{3}}(b_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}),\\ A_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{3}}(b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}),A_{\mathrm{4}}=a_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}),A_{\mathrm{5}}=a_{\mathrm{1}}(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}),\\ A_{\mathrm{6}}=\mathrm{2}{a}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}[(b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}})-(b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{3}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{3}}),A_{\mathrm{7}}=a_{\mathrm{1}}[a_{\mathrm{3}}(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{2}})-\\ a_{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{1}})+c_{\mathrm{3}}(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}})]\mathrm{。}\end{array}

情况2

{\epsilon }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{7}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},

\begin{array}{l}\gamma =\frac{\delta \left(a_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\right)+\alpha A_{\mathrm{8}}}{+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}-\frac{\lambda a_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}-\lambda a_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}}{-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}-\frac{\theta \left(b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\right)}{-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}},\\ \mu =\frac{\delta \left(a_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{6}}{d}_{\mathrm{6}}\right)+\alpha b_{\mathrm{6}}{A}_{\mathrm{8}}}{-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}-\frac{\lambda a_{\mathrm{6}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}{d}_{\mathrm{2}}-\lambda a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}{b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}+\frac{\theta b_{\mathrm{6}}\left(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}{d}_{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}\right)}{-b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{6}}}\mathrm{。}\end{array}（59）

其中A_{\mathrm{8}}=\mathrm{4}{a}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{6}}{b}_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{6}}{c}_{\mathrm{6}}^{\mathrm{2}}\mathrm{。}

情况3

{\epsilon }_{\mathrm{3}}={\epsilon }_{\mathrm{4}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}={\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},\gamma =\frac{-C_{\mathrm{2}}-C_{\mathrm{3}}-C_{\mathrm{4}}-\alpha C_{\mathrm{5}}-C_{\mathrm{6}}}{C_{\mathrm{1}}},\mu =\frac{-C_{\mathrm{8}}-\alpha C_{\mathrm{9}}-C_{\mathrm{10}}-\lambda C_{\mathrm{11}}}{C_{\mathrm{7}}},（60）

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=-\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\left(b_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ C_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(\lambda a_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+\lambda a_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}\right)-\left(\lambda a_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}+\lambda a_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right),\\ C_{\mathrm{3}}=\theta \left(\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}\right)-\left(b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\right),\\ C_{\mathrm{4}}=\delta \left(\mathrm{2}\left(a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)c_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\right),\\ C_{\mathrm{5}}=\mathrm{2}\left(a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}\right)c_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}-\left(\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right),\\ C_{\mathrm{6}}=\theta \left(\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}\right)-\left(b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\right),\\ C_{\mathrm{7}}=b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}},\\ C_{\mathrm{8}}=\delta \left(-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ C_{\mathrm{9}}=-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}},\\ C_{\mathrm{10}}=\theta \left(-b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ C_{\mathrm{11}}=a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}

情况4

{\epsilon }_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{4}}={\epsilon }_{\mathrm{5}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},\delta =-\frac{\gamma (b_{\mathrm{7}}{c}_{\mathrm{3}}-b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{7}})(d_{\mathrm{7}}{c}_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{7}}{d}_{\mathrm{3}})}{(a_{\mathrm{7}}{c}_{\mathrm{3}}-c_{\mathrm{7}}{a}_{\mathrm{3}}{)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（61）

情况5

{\epsilon }_{\mathrm{3}}={\epsilon }_{\mathrm{5}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}={\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},\gamma =\frac{-B_{\mathrm{3}}-\alpha B_{\mathrm{4}}-B_{\mathrm{5}}-B_{\mathrm{6}}}{B_{\mathrm{1}}},\mu =\frac{-B_{\mathrm{7}}-\alpha B_{\mathrm{8}}-B_{\mathrm{9}}-B_{\mathrm{10}}}{B_{\mathrm{2}}},（62）

\begin{array}{l}{B}_{\mathrm{1}}=-\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\left(b_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ B_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}},\\ B_{\mathrm{3}}=\delta \left(\mathrm{2}\left(a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)c_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\right),\\ B_{\mathrm{4}}=\mathrm{2}\left(a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}\right)c_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}-\left(\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right),\\ B_{\mathrm{5}}=\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(\lambda a_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+\lambda a_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}\right)-\left(\lambda a_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}+\lambda a_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right),\\ B_{\mathrm{6}}=\theta \left(\mathrm{2}{c}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\left(b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}\right)-\left(b_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}\right)\left(c_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}\right)\right),\\ B_{\mathrm{7}}=\delta \left(-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{2}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ B_{\mathrm{8}}=-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}}{a}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}},\\ B_{\mathrm{9}}=\theta \left(-b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-b_{\mathrm{5}}^{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}\right),\\ B_{\mathrm{10}}=\lambda (a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{5}}+a_{\mathrm{5}}{b}_{\mathrm{2}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}}-a_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{5}}{c}_{\mathrm{5}}{d}_{\mathrm{5}})\mathrm{。}\end{array}

情况6

{\epsilon }_{\mathrm{3}}={\epsilon }_{\mathrm{4}}={\epsilon }_{\mathrm{5}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{8}}=\mathrm{0},

\lambda =-\frac{\theta \left(b_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}\right)}{a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}}-\frac{\delta \left(a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}\right)}{c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}}-\frac{\alpha A_{\mathrm{9}}}{c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}}-\frac{\eta \left(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}\right)}{a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}}-\frac{\gamma \left(b_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{1}}+b_{\mathrm{1}}{d}_{\mathrm{2}}+b_{\mathrm{2}}{d}_{\mathrm{2}}\right)}{\left(a_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}\right)\left(c_{\mathrm{1}}+c_{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{。}（63）

其中A_{\mathrm{9}}=a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{2}}\mathrm{。}

情况7

{\epsilon }_{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{3}}={\epsilon }_{\mathrm{4}}={\epsilon }_{\mathrm{5}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}=\alpha =\delta =\gamma =\mathrm{0},\mu =\frac{\theta (a_{\mathrm{8}}{b}_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{1}}{b}_{\mathrm{8}})}{-a_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{8}}},\lambda =\frac{\theta (b_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{1}}-b_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{8}})}{-a_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}{c}_{\mathrm{8}}}\mathrm{。}（64）

情况8

{\epsilon }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{4}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{6}}=\mathrm{0},{\epsilon }_{\mathrm{7}}=\mathrm{0},\delta =\frac{\gamma (b_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{8}}-b_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{3}})(d_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{3}}-d_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{8}})}{(a_{\mathrm{8}}{c}_{\mathrm{3}}-a_{\mathrm{3}}{c}_{\mathrm{8}}{)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}（65）

将式（58）—（65）代入式（16）中，令c=\mathrm{1}，得到如下8组精确解：

\begin{array}{l}{u}_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}}{]}_x,u_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{6}}{]}_x,\\ u_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{5}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{5}}{]}_x,u_{\mathrm{4}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}}+{\epsilon }_{\mathrm{7}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{7}}{]}_x,\\ u_{\mathrm{5}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{4}}{]}_x,u_{\mathrm{6}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{7}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{7}}{]}_x,\\ u_{\mathrm{7}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\varphi }_{\mathrm{8}}{]}_x,u_{\mathrm{8}}=\mathrm{2}\mathrm{l}\mathrm{n}[{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}}+{\epsilon }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\varphi }_{\mathrm{8}}{]}_x\mathrm{。}\end{array}（66）

当选取参数{\epsilon }_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{2}}=\mathrm{1},z=t=b_{\mathrm{3}}=\mathrm{2},c_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}时， 方程的精确解u_{\mathrm{1}}可化为（图3）

u_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{4}+x+y}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{2}+x+\mathrm{2}y)}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{4}+x+y}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathrm{2}+x+\mathrm{2}y)}\mathrm{。}（67）

当选取参数{\epsilon }_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}={\epsilon }_{\mathrm{6}}=a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{6}}=z=t=c_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=b_{\mathrm{6}}=d_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{1}}=d_{\mathrm{6}}=\mathrm{1},c_{\mathrm{6}}=\mathrm{0}时，方程的精确解u_{\mathrm{2}}可化为（图3）

u_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}+x+y}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}+x+y)}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}+x+y}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}+\mathrm{1}+y)}\mathrm{。}（68）

当选取参{\epsilon }_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=t=c_{\mathrm{5}}=b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{5}}=d_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},{\epsilon }_{\mathrm{5}}=z=c_{\mathrm{1}}=\mathrm{2},a_{\mathrm{5}}=b_{\mathrm{5}}=\mathrm{3}时，方程的精确解u_{\mathrm{3}}可化为（图3）

u_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3}+x+y}+\mathrm{6}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\mathrm{3}+\mathrm{3}x+\mathrm{3}y)}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3}+x+y}+\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{3}+\mathrm{3}+\mathrm{3}y)}\mathrm{。}（69）

当选取参数c_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{7}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}=z=b_{\mathrm{7}}=b_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{7}}=\mathrm{1},t=a_{\mathrm{3}}=\mathrm{2},a_{\mathrm{7}}=\mathrm{3},方程的精确解u_{\mathrm{4}}可化为（图3）

u_{\mathrm{4}}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{4}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{3}+\mathrm{2}x+y)+\mathrm{3}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}{(\mathrm{3}+\mathrm{3}x+y)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[\mathrm{3}+\mathrm{2}x+y]+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{3}+\mathrm{3}x+y)}\mathrm{。}（70）

当选取参数{\epsilon }_{\mathrm{1}}={\epsilon }_{\mathrm{2}}=a_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{4}}=b_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{4}}=d_{\mathrm{2}}=c_{\mathrm{2}}=d_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{4}}=\mathrm{1},{\epsilon }_{\mathrm{4}}=z=t=b_{\mathrm{4}}=c_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}时，方程的精确解u_{\mathrm{5}}可化为（图4）

u_{\mathrm{5}}=\mathrm{2}\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{6}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{4}+x+y}-\mathrm{4}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{4}+\mathrm{2}x+\mathrm{2}y)}{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{6}-x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{4}+x+y}+\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{4}+\mathrm{2}+\mathrm{2}y)}\mathrm{。}（71）

当选取参数{\epsilon }_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{3}}=d_{\mathrm{7}}={\epsilon }_{\mathrm{7}}=z=b_{\mathrm{7}}=b_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{7}}=\mathrm{1},a_{\mathrm{3}}=t={\epsilon }_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}时，方程的精确解u_{\mathrm{6}}可化为（图4）

u_{\mathrm{6}}=\mathrm{2}\frac{-\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}-\mathrm{2}x-y}+\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{5}+\mathrm{2}x+\mathrm{2}y}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}{(\mathrm{4}+x+\mathrm{2}y)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{5}-\mathrm{2}x-y}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{5}+\mathrm{2}x+\mathrm{2}y}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{4}+x+\mathrm{2}y)}\mathrm{。}（72）

当选取参数{\epsilon }_{\mathrm{8}}=a_{\mathrm{1}}=c_{\mathrm{1}}=d_{\mathrm{1}}=b_{\mathrm{8}}=c_{\mathrm{8}}=z=\mathrm{1},{\epsilon }_{\mathrm{1}}=a_{\mathrm{8}}=a_{\mathrm{1}}=t=d_{\mathrm{8}}=\mathrm{2}时，方程的精确解u_{\mathrm{7}}可化为（图4）

u_{\mathrm{7}}=\mathrm{2}\frac{-\mathrm{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3}-\mathrm{2}x-\mathrm{2}y}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{5}+\mathrm{2}x+y)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{5}+\mathrm{2}x+y)}{\mathrm{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{3}-\mathrm{2}x-\mathrm{2}y}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathrm{5}+\mathrm{2}x+y)}\mathrm{。}（73）

当选取参数d_{\mathrm{3}}=b_{\mathrm{8}}=z=t=d_{\mathrm{8}}=b_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{8}}=\mathrm{1},{\epsilon }_{\mathrm{8}}=a_{\mathrm{3}}=a_{\mathrm{8}}={\epsilon }_{\mathrm{3}}=c_{\mathrm{3}}=\mathrm{2},方程的精确解u_{\mathrm{8}}可化为（图4）

u_{\mathrm{8}}=\mathrm{2}\frac{\mathrm{4}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\mathrm{3}+\mathrm{2}x+y)+\mathrm{1.125}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{(\mathrm{2}+\mathrm{2}x+y)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}[\mathrm{3}+\mathrm{2}x+y]+\mathrm{0.5625}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\mathrm{3}+\mathrm{3}x+y)}\mathrm{。}（74）

6 结论

本文基于Bell多项式相关性质得到Jimbo⁃Miwa⁃Like方程的双线性形式，其次通过变量替换得到方程的双线性Bäcklund变换和Lax对，从而验证方程的可积性，最后通过截断法得到方程的单孤子解及双孤子解的表达式并绘制图像观察性质。同时基于广田双线性方法和试探函数法研究方程的精确解问题，并获得了双指数函数和三角函数或双曲函数组成的复合解、双曲函数和三角函数组成的新复合解。

文献［8］给出了方程（2）的Lax对和Bäcklund变换，本文进一步给出了的（3+1）维Jimbo⁃Miwa⁃Like方程（4）的Lax对、Bäcklund变换和无穷守恒律。

文献［11］选取如下测试函数

F={\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{2}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{3}}+{\epsilon }_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{4}},（75）

其中{\varphi }_i=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_{i}t，{\epsilon }_i为任意常数，得到方程的孤子解、三角函数和指数函数的复合解。本文利用小参数展开法得到方程的单孤子解和双孤子解，在式（75）基础上增加了正弦函数、正切函数、负幂指数、正割函数等，选取如下测试函数

F={\epsilon }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\varphi }_{\mathrm{1}}}+{\epsilon }_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\varphi }_{\mathrm{2}}}+{\epsilon }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{3}}+{\epsilon }_{\mathrm{4}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{4}}+{\epsilon }_{\mathrm{5}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\varphi }_{\mathrm{5}}+{\epsilon }_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{6}}+{\epsilon }_{\mathrm{7}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{7}}+{\epsilon }_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\varphi }_{\mathrm{8}}，

得到方程（4）的更多精确解（66），通过画图得到方程的更多性质。该方程从Lax对构造达布变换和逆散射变化等问题还有待进一步研究。

参考文献

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“非线性发展方程的求解与可积性问题研究”(2020LH01008)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“非线性发展方程的Bäcklund变换与无穷守恒律问题研究”(2022JBZD011)

内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目“非线性发展方程的可积性与相关问题研究”(CXJJB23009)