广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解

Hybrid Rogue Wave and Breather Solutions for the Generalized Fifth-order Nonlinear Schrödinger Equation

摘要

基于规范变换，为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。应用达布变换的可迭代性质，获得该方程的N重达布变换。把广义五阶非线性薛定谔方程Lax对的两组特解代入二重和三重达布变换中，获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。

Abstract

Hybrid rogue wave and breather solutions for the generalized fifth-order nonlinear Schrödinger equation are investigated by extended Darboux transformation. Firstly， the Darboux transformation is constructed based on gauge transformation for the equation； and then， the N-fold Darboux transformation is derived by utilizing the iterative property of the Darboux transformation； finally， the hybrid rogue wave and breather solutions of the equation are obtained through substituting two sets of the particular solution for the Lax pair of the equation into two-fold and three-fold Darboux transformation. The results indicate that different parameters have different effects on hybrid solutions. As a novel result， rogue waves and breathers are able to exist independently on.

Graphical abstract

关键词

复合波解 / 广义五阶非线性薛定谔方程 / 达布变换

Key words

hybrid rogue wave and breather solutions / the generalized fifth-order nonlinear Schrödinger equation / Darboux transformation

广义五阶非线性薛定谔方程是描述一维海森堡铁磁自旋链的模型。近年来有较多关于广义五阶非线性薛定谔方程的研究成果，包括对广义五阶非线性薛定谔方程的一类精确解^［1］、N-孤子解^［2］、N-暗孤子解^［3］、 高阶怪波解^［4］和周期怪波解^［5］等。

关于复合波的相互作用解有一定的研究基础，文献［6］通过使用修正的达布变换讨论了怪波与呼吸子相互作用解的动力学行为；文献［7］讨论了具有两个高阶离散算子的广义非线性薛定谔系统的怪波与呼吸子的相互作用。本文进一步尝试构造广义五阶非线性薛定谔系统的怪波与呼吸子的复合波解。

1 广义五阶非线性薛定谔方程

对于广义五阶非线性薛定谔方程^［8］

\mathrm{i}{q}_x+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{q}_{tt}+{\left|q\right|}^{\mathrm{2}}q-\mathrm{i}\alpha H\left(q\right)+\gamma P\left(q\right)-\mathrm{i}\delta Q\left(q\right)=\mathrm{0},（1）

其中

\begin{array}{l}H\left(q\right)=q_{xxx}+\mathrm{6}{\left|q\right|}^{\mathrm{2}}{q}_x,\\ P\left(q\right)=q_{xxxx}+\mathrm{8}{\left|q\right|}^{\mathrm{2}}{q}_{xx}+\mathrm{6}{\left|q\right|}^{\mathrm{4}}q+\mathrm{4}{\left|q_x\right|}^{\mathrm{2}}q+\mathrm{6}{q}^{\mathrm{*}}{q_x}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{q}^{\mathrm{2}}{q}_{xx}^{\mathrm{*}},\\ Q\left(q\right)=q_{xxxxx}+\mathrm{10}{\left|q\right|}^{\mathrm{2}}{q}_{xxx}+\mathrm{10}{\left(q{\left|q_x\right|}^{\mathrm{2}}\right)}_t+\mathrm{20}{q}^{\mathrm{*}}{q}_x{q}_{xx}+\mathrm{30}{q}_t{\left|q\right|}^{\mathrm{4}}\mathrm{。}\end{array}

方程（1）的Lax对为

{\Phi }_x=U\Phi ,U=\mathrm{i}\left(\begin{array}{ll}\lambda & q^{\mathrm{*}}\left(x,t\right)\\ q\left(x,t\right)& -\lambda \end{array}\right),{\Phi }_t=V\Phi ,V={\displaystyle \sum _{c=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}\mathrm{i}{\lambda }^c\left(\begin{array}{cc}{A}_c& {B_c}^{\mathrm{*}}\\ B_c& -{A_c}^{\mathrm{*}}\end{array}\right),（2）

其中

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{0}}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|q{|}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}\gamma |q{|}^{\mathrm{4}}+\mathrm{i}\alpha \left(q_x{q}^{\mathrm{*}}-q_x^{\mathrm{*}}q\right)-\gamma \left(q^{\mathrm{*}}{q}_{xx}+q{q}_{xx}^{\mathrm{*}}-{\left|q_x\right|}^{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{6}\mathrm{i}\delta |q{|}^{\mathrm{2}}\left(q_x{q}^{\mathrm{*}}-q_x^{\mathrm{*}}q\right)+\\ \mathrm{i}\delta \left(q_{xxx}{q}^{\mathrm{*}}-\right.\left.q{q}_{xxx}^{\mathrm{*}}-q_{xx}{q}_x^{\mathrm{*}}+q_x{q}_{xx}^{\mathrm{*}}\right),\\ A_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\alpha |q{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}\delta |q{|}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2}\mathrm{i}\gamma \left(q{q}_x^{\mathrm{*}}-q^{\mathrm{*}}{q}_x\right)+\mathrm{2}\delta \left(q^{\mathrm{*}}{q}_{xx}+q{q}_{xx}^{\mathrm{*}}-{\left|q_x\right|}^{\mathrm{2}}\right),\\ A_{\mathrm{2}}=\mathrm{1}+\mathrm{4}\gamma |q{|}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}\mathrm{i}\delta \left(q^{\mathrm{*}}{q}_x-q{q}_x^{\mathrm{*}}\right),A_{\mathrm{3}}=-\mathrm{4}\alpha -\mathrm{8}\delta |q{|}^{\mathrm{2}},A_{\mathrm{4}}=-\mathrm{8}\gamma ,A_{\mathrm{5}}=\mathrm{16}\delta ,\\ B_{\mathrm{0}}=\mathrm{2}\alpha |q{|}^{\mathrm{2}}q+\mathrm{6}\delta |q{|}^{\mathrm{4}}q+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}{q}_x+\mathrm{6}\mathrm{i}\gamma |q{|}^{\mathrm{2}}{q}_x+\alpha q_{xx}+\mathrm{2}\delta q_{xx}^{\mathrm{*}}{q}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\delta {\left|q_x\right|}^{\mathrm{2}}q+\mathrm{6}\delta {\left(q_x\right)}^{\mathrm{2}}{q}^{\mathrm{*}}+\\ \mathrm{8}\delta q_{xx}|q{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{i}\gamma q_{xxx}+\delta q_{xxxx},\\ B_{\mathrm{1}}=q+\mathrm{4}\gamma |q{|}^{\mathrm{2}}q-\mathrm{2}\mathrm{i}\alpha q_x-\mathrm{12}\mathrm{i}\delta |q{|}^{\mathrm{2}}{q}_x+\mathrm{2}\gamma q_{xx}-\mathrm{2}\mathrm{i}\delta q_{xxx},\\ B_{\mathrm{2}}=-\mathrm{4}\alpha q-\mathrm{8}\delta |q{|}^{\mathrm{2}}q-\mathrm{4}\mathrm{i}\gamma q_x-\mathrm{4}\delta q_{xx},B_{\mathrm{3}}=-\mathrm{8}\gamma q+\mathrm{8}\mathrm{i}\delta q_x,B_{\mathrm{4}}=\mathrm{16}\delta q,B_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},\end{array}

其中\lambda是复特征值。方程（1）的经典达布变换是特殊的规范变换

\Phi [\mathrm{1}]=T^{\left[\mathrm{1}\right]}\Phi。（3）

通过式（3），方程（2）可以得到新的Lax对

\Phi {[\mathrm{1}]}_x=U^{\left[\mathrm{1}\right]}\Phi [\mathrm{1}],\Phi {[\mathrm{1}]}_t=V^{\left[\mathrm{1}\right]}\Phi \left[\mathrm{1}\right],（4）

其中U^{\left[\mathrm{1}\right]},V^{\left[\mathrm{1}\right]}与U,V在方程（3）中有相同的形式。矩阵中的q和s被q^{\left[\mathrm{1}\right]}和s^{\left[\mathrm{1}\right]}替换。U^{\left[\mathrm{1}\right]},V^{\left[\mathrm{1}\right]}满足

T_x^{\left[\mathrm{1}\right]}=U^{\left[\mathrm{1}\right]}{T}^{\left[\mathrm{1}\right]}-T^{\left[\mathrm{1}\right]}U,T_t^{\left[\mathrm{1}\right]}=V^{\left[\mathrm{1}\right]}{T}^{\left[\mathrm{1}\right]}-T^{\left[\mathrm{1}\right]}V,（5）

这里T^{\left[\mathrm{1}\right]}=\lambda I-S^{\left[\mathrm{1}\right]}，其中

I=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)=T^{[\mathrm{0}]},H^{[\mathrm{0}]}=\left(\begin{array}{cc}{\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]& -{\phi }_{\mathrm{21}}{[\mathrm{0}]}^{\mathrm{*}}\\ {\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]& {\phi }_{\mathrm{11}}{[\mathrm{0}]}^{\mathrm{*}}\end{array}\right),{\Lambda }^{[\mathrm{1}]}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_{\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\end{array}\right),（6）

{\Phi }_{\mathrm{1}}\left[\mathrm{0}\right]={\left({\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right],{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]\right)}^{\mathrm{T}}是方程（3）在q=q^{\left[\mathrm{0}\right]}和\lambda ={\lambda }_{\mathrm{1}}的特殊解。{\Phi }_{\mathrm{1}}{[\mathrm{0}]}^{\mathrm{\text{'}}}={\left(-{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right],{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]\right)}^{\mathrm{T}}也是 方程（3）在q=q^{\left[\mathrm{0}\right]}和\lambda ={\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}的特解。根据式（6），可以得到方程（1）的一重达布变换

q^{\left[\mathrm{1}\right]}=q^{[\mathrm{0}]}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{21}}^{\left[\mathrm{1}\right]}=q^{[\mathrm{0}]}-\frac{\mathrm{2}\left({\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}\right){\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]}{{\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]+{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]},（7）

当\lambda ={\lambda }_k\left(k=\mathrm{1,2},\cdots ,N\right),{\Phi }_k={\left({\phi }_{\mathrm{1}k},{\phi }_{\mathrm{2}k}\right)}^{\mathrm{T}}是方程（3）的基础解。N重达布变换通过一重达布变换迭代得到。关于方程（1）的N重达布变换为

q^{\left[N\right]}=q^{\left[N-\mathrm{1}\right]}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{21}}^{\left[N\right]}=q^{\left[N-\mathrm{1}\right]}-\frac{\mathrm{2}\left({\lambda }_N^{\mathrm{*}}-{\lambda }_N\right){\phi }_{\mathrm{2}N}\left[N-\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{1}N}^{\mathrm{*}}\left[N-\mathrm{1}\right]}{{\phi }_{\mathrm{1}N}\left[N-\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{1}N}^{\mathrm{*}}\left[N-\mathrm{1}\right]+{\phi }_{\mathrm{2}N}\left[N-\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{2}N}^{\mathrm{*}}\left[N-\mathrm{1}\right]},（8）

并且T^{\left[i\right]}=\lambda I-H^{\left[i-\mathrm{1}\right]}{\mathrm{\Lambda }}^{{\left[i\right]]}^{-\mathrm{1}}}{H}^{\left[i-\mathrm{1}\right]-\mathrm{1}}\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N\right)，这里

\begin{array}{l}I=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right)=T^{\left[\mathrm{0}\right]},H^{\left[i-\mathrm{1}\right]}=\left(\begin{array}{cc}{\phi }_{\mathrm{1}i}\left[i-\mathrm{1}\right]& -{\phi }_{\mathrm{2}i}{[i-\mathrm{1}]}^{\mathrm{*}}\\ {\phi }_{\mathrm{2}i}\left[i-\mathrm{1}\right]& {\phi }_{\mathrm{1}i}{[i-\mathrm{1}]}^{\mathrm{*}}\end{array}\right),A^{\left[i\right]}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_i& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& {\lambda }_i^{\mathrm{*}}\end{array}\right),\\ {\Phi }_i\left[i-\mathrm{1}\right]=\left(T^{\left[i-\mathrm{1}\right]}{T}^{[i-\mathrm{2}]},\cdots ,T^{[\mathrm{1}]}{T}^{[\mathrm{0}]}\right){\Phi }_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N\right),\end{array}（9）

这里{\Phi }_i={\left({\phi }_{\mathrm{1}i},{\phi }_{\mathrm{2}i}\right)}^{\mathrm{T}}\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3},\cdots ,N\right)是方程（3）在\lambda ={\lambda }_i时的基础解。此处，初值解是{\Phi }_{\mathrm{1}}\left[\mathrm{0}\right]={\left({\phi }_{\mathrm{1}i}\left[\mathrm{0}\right],{\phi }_{\mathrm{2}i}\left[\mathrm{0}\right]\right)}^{\mathrm{T}}={\left({\phi }_{\mathrm{1}i},{\phi }_{\mathrm{2}i}\right)}^{\mathrm{T}}={\Phi }_{\mathrm{1}}。

2 广义五阶非线性薛定谔方程的复合波解

假设方程（1）的种子解为q^{\left[\mathrm{0}\right]}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)t}，可以得到方程（3）与\lambda相关的两种解^［9］。

（1）当\lambda ={\lambda }_j=\mathrm{i}{h}_j，得到方程（2）的如下解：

{\Phi }_j\left(\epsilon \right)=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{1}j}\\ {\phi }_{\mathrm{2}j}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left(\mathrm{i}{C}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{i}{C}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\\ \left(C_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }}-C_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }}\right){\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\end{array}\right),（10）

其中

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\frac{{\left(h_j-\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}},C_{\mathrm{2}}=\frac{{\left(h_j+\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}},j=\mathrm{1,2},\cdots ,n,\\ \mathrm{\Delta }=\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left\{x+\left[\mathrm{8}\mathrm{i}{h}_j^{\mathrm{3}}\gamma +\mathrm{i}{h}_j\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}\gamma \right)+\mathrm{16}{h}_j^{\mathrm{4}}\delta +\mathrm{4}{h}_j^{\mathrm{2}}\left(\alpha +\mathrm{2}\delta \right)+\mathrm{2}\left(\alpha +\mathrm{3}\delta \right)\right]t\},\right.\end{array}

这里(-{\phi }_{\mathrm{2}j}^{\mathrm{*}},{\phi }_{\mathrm{1}j}^{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{T}}也是方程（3）在\lambda ={\lambda }_j^{\mathrm{*}}的解。应用这组特解（10）可以得到呼吸子解。

（2）当\lambda ={\lambda }_r=\mathrm{i}，得到方程（2）如下的解：

{\Phi }_j\left(\epsilon \right)=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{1}j}\\ {\phi }_{\mathrm{2}j}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left(\mathrm{i}{C}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{i}{C}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\\ \left(C_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Delta }}-C_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{\Delta }}\right){\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\end{array}\right),（11）

其中

\begin{array}{l}{C}_{\mathrm{1}}=\frac{{\left(h_j-\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}},C_{\mathrm{2}}=\frac{{\left(h_j+\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}},j=\mathrm{1,2},\cdots ,n,\\ \mathrm{\Delta }=\sqrt[]{h_j^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left\{x+\left[\mathrm{8}\mathrm{i}{h}_j^{\mathrm{3}}\gamma +\mathrm{i}{h}_j\left(\mathrm{1}+\mathrm{4}\gamma \right)+\mathrm{16}{h}_j^{\mathrm{4}}\delta +\mathrm{4}{h}_j^{\mathrm{2}}\left(\alpha +\mathrm{2}\delta \right)+\mathrm{2}\left(\alpha +\mathrm{3}\delta \right)\right]t+{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}{s}_k{f}^{\mathrm{2}k}\right\},\end{array}

这里\epsilon是小参数，且s_k=m_k+n_k\mathrm{i}。令h=\mathrm{1}+f^{\mathrm{2}}，在f=\mathrm{0}\left(\lambda ={\lambda }_r=\mathrm{i}\right)对{\Phi }_j\left({\lambda }_j\right)进行级数展开，得

\begin{array}{l}{\Phi }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+f^{\mathrm{2}}\right)\right)={\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left(\mathrm{0}\right)}+{\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left(\mathrm{1}\right)}{f}^{\mathrm{2}}+o\left(f^{\mathrm{2}}\right),\\ \\ {\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left[\mathrm{0}\right]}=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{11}}^{\left[\mathrm{0}\right]}\\ {\phi }_{\mathrm{21}}^{\left[\mathrm{0}\right]}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\eta -\mathrm{1}\right){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\\ \left(\mathrm{2}\eta +\mathrm{1}\right){\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\end{array}\right),{\Phi }_{\mathrm{2}}^{\left[\mathrm{1}\right]}=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{12}}^{\left[\mathrm{1}\right]}\\ {\phi }_{\mathrm{22}}^{\left[\mathrm{1}\right]}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\\ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}\gamma \right)}{\mathrm{2}}t}\end{array}\right),\end{array}（12）

其中，

\begin{array}{l}\eta =\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\left(t+c_{\mathrm{2}}\right),\\ A_{\mathrm{1}}=\left(-\mathrm{24}{\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}\right.\left(-\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)+\mathrm{3}{\left(-\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)+\right.\\ \mathrm{2}\left(\mathrm{3}\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)-\right.\\ \mathrm{12}{\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{16}((x+\left.c_{\mathrm{1}}\right)+\\ \left.\left.{\left.\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{5}\mathrm{i}+\mathrm{38}\alpha +\mathrm{124}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{350}\delta \right)+\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}\mathrm{i}{n}_{\mathrm{1}}\right)\right)\right),\end{array}

\begin{array}{l}{A}_{\mathrm{2}}=\left(-\mathrm{24}{\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}\right.\\ \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\mathrm{2}\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)+\\ \left(-\mathrm{1}+\mathrm{4}{\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}\right)+\\ \mathrm{2}\left(\mathrm{3}\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)+\right.\\ \mathrm{12}{\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{16}((x+\left.c_{\mathrm{1}}\right)+\\ \left.\left.{\left.\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{i}+\mathrm{6}\alpha +\mathrm{12}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{30}\delta \right)\right)}^{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\left(\left(x+c_{\mathrm{1}}\right)+\left(t+c_{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{5}\mathrm{i}+\mathrm{38}\alpha +\mathrm{124}\mathrm{i}\gamma +\mathrm{350}\delta \right)+\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}\mathrm{i}{n}_{\mathrm{1}}\right)\right)\right),\end{array}

其中c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}}是自由参数，{\left(-{\phi }_{\mathrm{21}}^{{[\mathrm{0}]}^{\mathrm{*}}},{\phi }_{\mathrm{11}}^{{[\mathrm{0}]}^{\mathrm{*}}}\right)}^{\mathrm{T}},{\left(-{\phi }_{\mathrm{22}}^{{[\mathrm{1}]}^{\mathrm{*}}},{\phi }_{\mathrm{12}}^{{[\mathrm{1}]}^{\mathrm{*}}}\right)}^{\mathrm{T}}也是方程（2）在\lambda ={\lambda }_r^{\mathrm{*}}的解。应用解（12）可以得到怪波解。

利用达布变换，将解（10）和解（12）进行组合，可以得到方程（1）的复合波解。

情形1 假设

T_r^{\left[\mathrm{1}\right]}=\lambda I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]},（13）

其中

\begin{array}{l}{S}_r^{\left[\mathrm{1}\right]}=\left(\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{11}r}^{\left[\mathrm{1}\right]}& s_{\mathrm{12}r}^{\left[\mathrm{1}\right]}\\ s_{\mathrm{21}r}^{\left[\mathrm{1}\right]}& s_{\mathrm{22}r}^{\left[\mathrm{1}\right]}\end{array}\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}r}}\left(\begin{array}{ll}{\lambda }_r{\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]+{\lambda }_r^{\mathrm{*}}{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]& \left({\lambda }_r-{\lambda }_r^{\mathrm{*}}\right){\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]\\ \left({\lambda }_r^{\mathrm{*}}-{\lambda }_r\right){\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]& {\lambda }_r{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]+{\lambda }_r^{\mathrm{*}}{\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]\end{array}\right),\end{array}（14）

且

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}r}={\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{11}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right]+{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]{\phi }_{\mathrm{21}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{0}\right],{\Phi }_{\mathrm{1}}\left[\mathrm{0}\right]={\left({\phi }_{\mathrm{11}}\left[\mathrm{0}\right],{\phi }_{\mathrm{21}}\left[\mathrm{0}\right]\right)}^{\mathrm{T}}={\left({\phi }_{\mathrm{11}}^{\left[\mathrm{0}\right]},{\phi }_{\mathrm{21}}^{\left[\mathrm{0}\right]}\right)}^{\mathrm{T}}={\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left[\mathrm{0}\right]}。

通过一重达布变换可以得到方程（1）的一阶怪波解

q_r^{\left[\mathrm{1}\right]}=q^{\left[\mathrm{0}\right]}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{21}r}^{\left[\mathrm{1}\right]},（15）

由于

\left(\lambda I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right)\left|{}_{\lambda ={\lambda }_r}{\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left[\mathrm{0}\right]}=\mathrm{0}\right.，

{\Phi }_{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}\right]=\underset{f\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\left({\lambda }_r{f}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{r}I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right)\left({\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left[\mathrm{0}\right]}+{\Phi }_{\mathrm{2}}^{\left[\mathrm{1}\right]}{f}^{\mathrm{2}}\right)}{f^{\mathrm{2}}}={\lambda }_r{\Phi }_{\mathrm{1}}^{\left[\mathrm{0}\right]}+\left({\lambda }_{r}I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right){\Phi }_{\mathrm{2}}^{\left[\mathrm{1}\right]},（16）

且

{\Phi }_{\mathrm{2}}\left[\mathrm{1}\right]={\left({\phi }_{\mathrm{12}}\left[\mathrm{1}\right],{\phi }_{\mathrm{22}}\left[\mathrm{1}\right]\right)}^{\mathrm{T}}。

情形2 假设

T_r^{\left[\mathrm{2}\right]}=\lambda I-S_r^{\left[\mathrm{2}\right]},（17）

其中

\begin{array}{l}{S}_r^{\left[\mathrm{2}\right]}=\left(\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{12}r}^{\left[\mathrm{2}\right]}& s_{\mathrm{12}r}^{\left[\mathrm{2}\right]}\\ s_{\mathrm{22}r}^{\left[\mathrm{2}\right]}& s_{\mathrm{22}r}^{\left[\mathrm{2}\right]}\end{array}\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}r}}\left(\begin{array}{ll}{\lambda }_r{\phi }_{\mathrm{12}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\lambda }_r^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{22}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]& \left({\lambda }_r-{\lambda }_r^{\mathrm{*}}\right){\phi }_{\mathrm{12}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]\\ \left({\lambda }_r^{\mathrm{*}}-{\lambda }_r\right){\phi }_{\mathrm{22}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]& {\lambda }_r{\phi }_{\mathrm{22}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\lambda }_r^{\mathrm{*}}{\phi }_{\mathrm{12}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]\end{array}\right),\end{array}（18）

且

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}r}={\phi }_{\mathrm{12}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{12}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\phi }_{\mathrm{22}}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{22}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]，

通过二重达布变换可以得到方程（1）的二阶怪波解

q_r^{\left[\mathrm{2}\right]}=q_r^{\left[\mathrm{1}\right]}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{22}r}^{\left[\mathrm{2}\right]}。（19）

通过得到的二阶怪波解，二重达布变换修正为

\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{11}h}\left[\mathrm{1}\right]\\ {\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]\end{array}\right)=\left({\lambda }_{\mathrm{1}}I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right)\left(\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{11}}\\ {\phi }_{\mathrm{21}}\end{array}\right),（20）

这里{\left({\phi }_{\mathrm{11}},{\phi }_{\mathrm{21}}\right)}^{\mathrm{T}}通过等式（12）(j=\mathrm{1})得到。

情形3 假设

T_h^{\left[\mathrm{2}\right]}=\lambda I-S_h^{\left[\mathrm{2}\right]},（21）

且

\begin{array}{l}{S}_h^{\left[\mathrm{2}\right]}=\left(\begin{array}{cc}{s}_{\mathrm{12}h}^{\left[\mathrm{2}\right]}& s_{\mathrm{12}h}^{\left[\mathrm{2}\right]}\\ s_{\mathrm{22}h}^{\left[\mathrm{2}\right]}& s_{\mathrm{22}h}^{\left[\mathrm{2}\right]}\end{array}\right)=\\ \frac{\mathrm{1}}{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}h}}\left(\begin{array}{ll}{\lambda }_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{11}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{21}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]& \left({\lambda }_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}\right){\phi }_{\mathrm{11}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{21}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]\\ \left({\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}\right){\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]& {\lambda }_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{21}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\phi }_{\mathrm{11}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]\end{array}\right),\end{array}（22）

且

{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}h}={\phi }_{\mathrm{12}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{21}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]。

在此基础上，通过二重达布变换可以得到方程（1）的一阶怪波与一阶呼吸子的复合波解

q_{\mathrm{1}r\mathrm{1}b}^{\left[\mathrm{2}\right]}=q_r^{\left[\mathrm{1}\right]}-\mathrm{2}{s}_{\mathrm{21}h}^{\left[\mathrm{2}\right]}=q_r^{\left[\mathrm{1}\right]}-\frac{\mathrm{2}\left({\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}\right){\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]}{{\phi }_{\mathrm{11}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{11}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]+{\phi }_{\mathrm{21}h}\left[\mathrm{1}\right]{\phi }_{\mathrm{21}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{1}\right]}\mathrm{。}（23）

情形4

通过修正的二重达布变换，将三重达布变换修正为

\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{12}h}\left[\mathrm{2}\right]\\ {\phi }_{\mathrm{22}h}\left[\mathrm{2}\right]\end{array}\right)=\left({\lambda }_{\mathrm{1}}I-S_r^{\left[\mathrm{2}\right]}\right)\left({\lambda }_{\mathrm{1}}I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right)\left(\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{11}}\\ {\phi }_{\mathrm{21}}\end{array}\right),（24）

在此基础上，通过修正的三重达布变换可以得到方程（1）的二阶怪波与一阶呼吸子的复合波解

q_{\mathrm{2}r\mathrm{1}b}^{\left[\mathrm{3}\right]}=q_r^{\left[\mathrm{2}\right]}-\frac{\mathrm{2}\left({\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}\right){\phi }_{\mathrm{22}h}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{12}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]}{{\phi }_{\mathrm{12}h}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{12}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]+{\phi }_{\mathrm{22}h}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{22}h}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]}\mathrm{。}（25）

情形5

通过修正的三重达布变换

\left(\begin{array}{c}{\phi }_{\mathrm{12}{h}^{\text{'}}}\left[\mathrm{2}\right]\\ {\phi }_{\mathrm{22}{h}^{\text{'}}}\left[\mathrm{2}\right]\end{array}\right)=\left({\lambda }_{\mathrm{2}}I-S_h^{\left[\mathrm{2}\right]}\right)\left({\lambda }_{\mathrm{2}}I-S_r^{\left[\mathrm{1}\right]}\right)\left(\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{12}}\\ {\phi }_{\mathrm{22}}\end{array}\right),（26）

可以得到方程（1）的一阶怪波与二阶呼吸子的复合波解

q_{\mathrm{1}r\mathrm{2}b}^{\left[\mathrm{3}\right]}=q_{\mathrm{1}r\mathrm{1}b}^{\left[\mathrm{2}\right]}-\frac{\mathrm{2}\left({\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}-{\lambda }_{\mathrm{1}}\right){\phi }_{\mathrm{22}{h}^{\text{'}}}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{12}{h}^{\text{'}}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]}{{\phi }_{\mathrm{12}{h}^{\text{'}}}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{12}{h}^{\text{'}}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]+{\phi }_{\mathrm{22}{h}^{\text{'}}}\left[\mathrm{2}\right]{\phi }_{\mathrm{22}{h}^{\text{'}}}^{\mathrm{*}}\left[\mathrm{2}\right]}\mathrm{。}（27）

3 结论

广义五阶非线性薛定谔方程可以描述五阶、四阶和三阶色散算子光脉冲在非均匀光纤中的传播。本文选择广义五阶非线性薛定谔方程Lax对的两种特解，应用达布变换给出了该方程的复合解，并详细讨论了怪波和呼吸子之间的相互作用。此外，通过图1-3展示不同的参数对复合波解的影响。本文的方法具有一定普遍性，可以应用到其它非线性可积系统的求解。

本文通过修正的达布变换方法得到了广义五阶非线性薛定谔系统怪波与呼吸子的复合波解。主要得到解的类型如下：一阶怪波与一阶呼吸子的复合波解、一阶怪波与二阶呼吸子的复合波解、二阶怪波与二阶呼吸子的复合波解。此外，本文还讨论了参数对复合波解不同的影响。研究结果表明怪波和呼吸子可以独立存在于复合波解中。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“在周期背景上的怪波及其相关问题研究”(12361052)

内蒙古自治区青年科技发展资助项目“应用数学”(NMGIRT2414)

内蒙古师范大学基本科研业务费资助项目“应用数学创新团队建设项目”(2022JBTD007)