（3+1）维广义非线性发展方程的双线性Bäcklund变换与精确解

Bilinear Bäcklund Transform and Exact Solutions to a （3+1）-Dimensional Generalized Nonlinear Evolution Equation

摘要

基于Hirota双线性方法和试探函数法，研究一个（3+1）维广义非线性发展方程的双线性Bäcklund变换和精确解问题。用Hirota双线性法，构造（3+1）维广义非线性发展方程的双线性形式和双线性Bäcklund变换。基于双线性形式和双线性Bäcklund变换，利用试探函数法与符号计算系统Mathematica，获得（3+1）维广义非线性发展方程的多种精确解，包括呼吸波解、复合型解、Lump周期解和孤子解，并分析解的相互作用情况。

Abstract

The bilinear Bäcklund transformation and the exact solutions of a (3+1) dimensional generalized nonlinear development equation are studied based on the Hirota bilinear method and the trial function method in the paper. Firstly, the bilinear form and bilinear Bäcklund transformation of (3+1)⁃dimensional generalized nonlinear evolution equation are constructed by using Hirota bilinear method. Secondly, various exact solutions of (3+1)⁃dimensional generalized nonlinear evolution equation, including N⁃soliton solution, breather wave solution, compound solution, Lump periodic solution, Lump kink solution and soliton solution, are obtained by using trial function method and symbolic calculation system Mathematica based on bilinear form and bilinear Bäcklund transformation, and the interaction of the solutions is analyzed.

Graphical abstract

关键词

（3+1）维广义非线性发展方程 / Hirota双线性方法 / Bäcklund变换 / 试探函数法 / 精确解

Key words

（3+1）-dimensional generalized nonlinear evolution equation / Hirota bilinear method / Bäcklund transformation / trial function method / exact solution

非线性发展方程（NLEEs）在流体力学、等离子体物理、光纤和非线性交通流理论等工程和数学物理领域发挥着重要作用^［1⁃12］。求解非线性发展方程精确解的方法有很多，如Darboux变换^{［12⁃13］}、Bäcklund变换法^［9，14］、逆散射法^{［12，15］}和Hirota双线性法^［12］等。

本文借助Hirota双线性方法研究构造（3+1）维非线性发展方程的新解与Bäcklund变换问题，在原有（3+1）维非线性发展方程的基础上，不仅增加方程的线性项和非线性项，而且将方程的固定系数拓展为可变动的系数，从而推广了一个新的（3+1）维广义非线性发展方程（1）。（3+1）维广义非线性发展方程

u_{yt}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{u}_{xxxy}+{\alpha }_{\mathrm{2}}(u_x{u}_y{)}_x+{\beta }_{\mathrm{1}}{u}_{xxxz}+{\beta }_{\mathrm{2}}(u_x{u}_z{)}_x+{\gamma }_{\mathrm{1}}{u}_{xx}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{u}_{yy}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{u}_{zz}+{\omega }_{\mathrm{1}}{u}_{xy}+{\omega }_{\mathrm{2}}{u}_{xz}=\mathrm{0}，（1）

其中，u(x,y,z,t)是空间坐标x,y,z和时间坐标t的函数，参数{\alpha }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{2}}是非线性项的系数，参数{\alpha }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{1}}是色散系数，参数{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{3}},{\omega }_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{2}}是扰动效应系数。

方程（1）用来探索物理学中某些有趣的波现象，导数项描述波在一个方向上传播时间和空间演化，非线性项表示波的陡化，而线性项表示波的传播和色散。当取不同参数时，得到一些经典模型，因此研究方程的广义形式有助于研究一些约化模型的性质。

通过改变方程的系数，不仅包括原有（3+1） 维非线性发展方程中选取解的形式与参数关系，而且还能得到退化方程的新解。方程（1）中的一些特例，已成功用于数学、物理和非线性动力学等物理意义重大的非线性问题的数学模型。方程（1）仍具有非常丰富有趣的解结构，且原有（3+1）维非线性发展方程的求精确解的方法适用于求解推广后的（3+1）维广义非线性发展方程。

当取不同参数时，方程（1）可以退化到以下几种情形的方程。

情形1 当{\alpha }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{3},{\beta }_{\mathrm{1}}={\beta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\gamma }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{3},{\gamma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\gamma }_{\mathrm{3}}=\mathrm{3},{\omega }_{\mathrm{1}}={\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，方程（1）转化为（3+1）维非线性发展方程

u_{yt}-u_{xxxy}-\mathrm{3}(u_x{u}_y{)}_x-\mathrm{3}{u}_{xx}+\mathrm{3}{u}_{zz}=\mathrm{0}。（2）

通过变换

t\to -T,x\to X,y\to X,z\to X,u_X\to U，

方程（2）简化为KdV方程

U_{\mathrm{T}}+U_{XXX}+\mathrm{6}U{U}_X=\mathrm{0}。（3）

方程（2）在文献［16］中利用多元多项式提出，通过对线性叠加原理条件的校核，找到了方程的两种共振多波解。文献［17］通过Hirota双线性理论，得到了方程单孤子解，双孤子解，N⁃孤子解。利用同宿测试方法，得到了方程的有理呼吸波解和异常波解。文献［18⁃20］获得了方程的Bäcklund变换，用测试函数法推导出方程的新型相互作用解、呼吸波解、双波解和块周期解。

情形2 当{\alpha }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{2}}=-\mathrm{3},{\beta }_{\mathrm{1}}={\beta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},{\gamma }_{\mathrm{1}}=-\mathrm{3},{\gamma }_{\mathrm{2}}=\mathrm{3},{\gamma }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},{\omega }_{\mathrm{1}}={\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}时，方程（1）转化为（2+1）维广义非线性发展方程

u_{yt}-u_{xxxy}-\mathrm{3}(u_x{u}_y{)}_x-\mathrm{3}{u}_{xx}+\mathrm{3}{u}_{yy}=\mathrm{0}。（4）

方程（4）在文献［21］中提出，获得了方程的两类块解，并分析和说明了块解的局部特性和能量分布。文献［22］借助Hirota直接方法，获得了（2+1）维广义非线性发展方程的块状孤子与单条纹孤子以及块状孤子与双条纹孤子的两类相互作用解。

本文基于方程（1）的双线性形式和双线性Bäcklund变换，利用试探函数法与符号计算系统Mathematica，获得了（3+1）维广义非线性发展方程的多种精确解，包括呼吸波解、复合型解、Lump周期解和孤子解以及解的相互作用情况。

1 （3+1）维广义非线性发展方程的双线性形式与双线性Bäcklund变换

1.1 （3+1） 维广义非线性发展方程的双线性形式

基于Hirota双线性法，在可积约束

{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}},{\beta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}（5）

下，通过变量变换

u=\mathrm{2}{(\mathrm{l}\mathrm{n}f)}_x,f=f(x,y,z,t)，（6）

将方程（1）改写为双线性方程

\begin{array}{l}(D_y{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_y+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_z+{\gamma }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_z^{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_y+{\omega }_{\mathrm{2}}{D}_x{D}_z)f\cdot f=\\ \mathrm{2}[(f{f}_{yt}-f_y{f}_t)+{\alpha }_{\mathrm{1}}(f{f}_{xxxy}+\mathrm{3}{f}_{xx}{f}_{xy}-\mathrm{3}{f}_x{f}_{xxy}-f_{xxx}{f}_y)]+\\ {\beta }_{\mathrm{1}}(f{f}_{xxxz}+\mathrm{3}{f}_{xx}{f}_{xz}-\mathrm{3}{f}_x{f}_{xxz}-f_{xxx}{f}_z)+{\gamma }_{\mathrm{1}}(f{f}_{xx}-f_x{f}_x)+{\gamma }_{\mathrm{2}}(f{f}_{yy}-f_y{f}_y)+\\ {\gamma }_{\mathrm{3}}(f{f}_{zz}-f_z{f}_z)+{\omega }_{\mathrm{1}}(f{f}_{xy}-f_x{f}_y)+{\omega }_{\mathrm{2}}(f{f}_{xz}-f_x{f}_z)],\end{array}（7）

这里的D为双线性微分算子，其定义为

D_t^m{D}_x^{n}f\cdot g=({\partial }_t-{\partial }_{t\mathrm{\text{'}}}{)}^m({\partial }_x-{\partial }_{x\mathrm{\text{'}}}{)}^{n}f(t,x)g(t^{\mathrm{\text{'}}},x^{\mathrm{\text{'}}}){|}_{t^{\mathrm{\text{'}}}=t,x^{\mathrm{\text{'}}}=x}。（8）

1.2 （3+1） 维广义非线性发展方程的双线性Bäcklund变换

基于双线性形式（7），考虑

\begin{array}{l}P\equiv f^{\mathrm{2}}(D_y{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_y+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_z+{\gamma }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_z^{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_y+{\omega }_{\mathrm{2}}{D}_x{D}_z)g\cdot g-\\ g^{\mathrm{2}}(D_y{D}_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_y+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}{D}_z+{\gamma }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_z^{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_y+{\omega }_{\mathrm{2}}{D}_x{D}_z)f\cdot f,\end{array}（9）

其中g=g(x,y,z,t)是方程（7）的另一个解。

根据双线性算子性质

\begin{array}{l}(D_y{D}_{t}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_y{D}_{t}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_y(D_{t}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_x{D}_{y}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_x{D}_{y}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_x(D_{y}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_x{D}_{z}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_x{D}_{z}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_x(D_{z}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_x^{\mathrm{2}}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_x^{\mathrm{2}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_x(D_{x}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_y^{\mathrm{2}}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_y^{\mathrm{2}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_y(D_{y}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_z^{\mathrm{2}}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_z^{\mathrm{2}}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_z(D_{z}g\cdot f)\cdot (gf),\\ (D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{y}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_y(D_x^{\mathrm{3}}g\cdot f)\cdot (gf)-\mathrm{6}{D}_x(D_x{D}_{y}g\cdot f)\cdot (D_{x}g\cdot f),\\ (D_x^{\mathrm{3}}{D}_{z}g\cdot g)f^{\mathrm{2}}-(D_x^{\mathrm{3}}{D}_{z}f\cdot f)g^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{D}_z(D_x^{\mathrm{3}}g\cdot f)\cdot (gf)-\mathrm{6}{D}_x(D_x{D}_{z}g\cdot f)\cdot (D_{x}g\cdot f),\\ D_z(D_x^{\mathrm{2}}g\cdot f)\cdot (gf)=D_x[(D_x{D}_{z}g\cdot f)\cdot (gf)+(D_{x}g\cdot f)\cdot (D_{z}g\cdot f)],\end{array}（10）

将式（9）写为

\begin{array}{l}P=\mathrm{2}{D}_y(D_{t}g\cdot f+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}g\cdot f+{\lambda }_{\mathrm{1}}gf)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{D}_x(-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_{y}g\cdot f-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_{z}g\cdot f+{\lambda }_{\mathrm{2}}{D}_{x}g\cdot f+{\lambda }_{\mathrm{3}}gf)\cdot (D_{x}g\cdot f)+\\ \mathrm{6}{\lambda }_{\mathrm{3}}{D}_x(D_{x}g\cdot f)\cdot (gf)+\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{1}}{D}_x(D_{x}g\cdot f+{\lambda }_{\mathrm{4}}gf)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y(D_{y}g\cdot f)\cdot (gf)+\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_x(D_{y}g\cdot f)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{D}_z({\omega }_{\mathrm{2}}{D}_{x}g\cdot f+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}g\cdot f+{\lambda }_{\mathrm{5}}gf)\cdot (gf)+\mathrm{2}{D}_z({\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_{z}g\cdot f-{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x^{\mathrm{2}}g\cdot f)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x(D_x{D}_{z}g\cdot f)\cdot (gf)+\mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x(D_{x}g\cdot f)\cdot (D_{z}g\cdot f)=\\ \mathrm{2}{D}_y((D_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y+{\lambda }_{\mathrm{1}})g\cdot f)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{D}_x((-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_y-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_z+{\lambda }_{\mathrm{2}}{D}_x-{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_z+{\lambda }_{\mathrm{3}})g\cdot f)\cdot (D_{x}g\cdot f)+\\ \mathrm{2}{D}_z(({\omega }_{\mathrm{2}}{D}_x+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_z-{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{5}})g\cdot f)\cdot (gf)+\\ \mathrm{2}{D}_x((\mathrm{3}{\lambda }_{\mathrm{3}}{D}_x+{\gamma }_{\mathrm{1}}{D}_x+{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_y+{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x{D}_z+{\lambda }_{\mathrm{4}})g\cdot f)\cdot (gf)=\mathrm{0},\end{array}（11）

其中{\lambda }_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6}\right)为任意常数。

方程（7）的Bäcklund变换可写为

\left\{\begin{array}{l}{B}_{\mathrm{1}}g\cdot f=(D_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{D}_y+{\lambda }_{\mathrm{1}})g\cdot f=\mathrm{0},\\ B_{\mathrm{2}}g\cdot f=(-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_y-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x{D}_z+{\lambda }_{\mathrm{2}}{D}_x-{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_z+{\lambda }_{\mathrm{3}})g\cdot f=\mathrm{0},\\ B_{\mathrm{3}}g\cdot f=({\omega }_{\mathrm{2}}{D}_x+{\beta }_{\mathrm{1}}{D}_x^{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{D}_z-{\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{5}})g\cdot f=\mathrm{0},\\ B_{\mathrm{4}}g\cdot f=({\lambda }_{\mathrm{6}}{D}_x{D}_z+(\mathrm{3}{\lambda }_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}})D_x+{\omega }_{\mathrm{1}}{D}_y+{\lambda }_{\mathrm{4}})g\cdot f=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（12）

2 （3+1） 维广义非线性发展方程的精确解

2.1 呼吸波解与解的相互作用

假设方程（1）存在余弦函数与指数函数组合形式

f=p_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\nu }_{\mathrm{0}}({\varpi }_{\mathrm{0}}t+x+{\varsigma }_{\mathrm{0}}y+z)\right]+p_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{{\nu }_{\mathrm{1}}({\epsilon }_{\mathrm{0}}t+x+p_{\mathrm{0}}y+z)}+{\mathrm{e}}^{-{\nu }_{\mathrm{1}}({\epsilon }_{\mathrm{0}}t+x+p_{\mathrm{0}}y+z)}。（13）

其中p_{\mathrm{1}},p_{\mathrm{2}},{\nu }_{\mathrm{0}},{\nu }_{\mathrm{1}},{\varpi }_{\mathrm{0}},{\varsigma }_{\mathrm{0}},{\epsilon }_{\mathrm{0}},p_{\mathrm{0}}是待确定常数。

将式（13）代入双线性方程（7），并借助符号计算系统Mathematica软件确定参数之间以下关系：

\begin{array}{l}{\varpi }_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}}{{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}},p_{\mathrm{2}}=\frac{{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}},\\ {\epsilon }_{\mathrm{0}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{4}}}{{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}},\left({p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{4}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}\ne \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}（14）

将式（14）和（13）一起代入式（7），得到方程（1）如下呼吸波解：

u=\mathrm{2}\frac{-p_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{0}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\phi }_{\mathrm{1}})-{\nu }_{\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}{\mathrm{e}}^{{\phi }_{\mathrm{2}}}-{\mathrm{e}}^{-{\phi }_{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}}}{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}{\mathrm{e}}^{{\phi }_{\mathrm{2}}}+p_{\mathrm{1}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\phi }_{\mathrm{1}})-{\mathrm{e}}^{-{\phi }_{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}}}\mathrm{。}（15）

呼吸波解（15）中常数满足关系式

{\phi }_{\mathrm{1}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}}{{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}},{\phi }_{\mathrm{2}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{6}}}{{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}。（16）

式（14）-（16）中的参数({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}},{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}},\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}})见附录一。

测试函数是余弦函数和两个指数函数组的呼吸波解， 选取适当的参数， 描绘了呼吸波解（15）的三维图和相应的等高线图。图1显示了扭结孤子和周期波之间发生碰撞，融合成一个呼吸波解。随着参数z和y的降低，呼吸波沿x轴与t轴呈一定角度移动，并且传播过程中呼吸波的形状未发生改变。

2.2 复合型解与解的相互作用

假设方程（1）存在正弦函数、双曲正弦函数与指数函数组合形式

f=c_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{{\delta }_{\mathrm{2}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z}+c_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-({\delta }_{\mathrm{2}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z)}+c_{\mathrm{3}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\delta }_{\mathrm{4}}t+{\delta }_{\mathrm{3}}x+y+z)+c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}({\delta }_{\mathrm{6}}t+{\delta }_{\mathrm{5}}x+y+z)，（17）

其中c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}},c_{\mathrm{4}},{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{2}},{\delta }_{\mathrm{3}},{\delta }_{\mathrm{4}},{\delta }_{\mathrm{5}},{\delta }_{\mathrm{6}}是待定的常数。

将式（17）代入双线性方程（7），并借助符号计算系统Mathematica软件确定参数之间以下关系：

c_{\mathrm{2}}=-\frac{c_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{1}}},c_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},{\delta }_{\mathrm{5}}={\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{6}}={\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{9}},c_{\mathrm{1}}\ne \mathrm{0}。（18）

将式（18）和（17）代入式（7），得到方程（1）如下复合型解：

u=\frac{\mathrm{2}\left[c_{\mathrm{4}}{\delta }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{9}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z\right)+\frac{c_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-{\delta }_{\mathrm{2}}t-{\delta }_{\mathrm{1}}x-y-z}}{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{1}}}+c_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{{\delta }_{\mathrm{2}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z}\right]}{c_{\mathrm{4}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{9}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z\right)-\frac{c_{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-{\delta }_{\mathrm{2}}t-{\delta }_{\mathrm{1}}x-y-z}}{\mathrm{4}{c}_{\mathrm{1}}}+c_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{{\delta }_{\mathrm{2}}t+{\delta }_{\mathrm{1}}x+y+z}}。（19）

式（18）-（19）中的参数{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{9}}见附录一。

测试函数是正弦函数、双曲正弦函数与两个指数函数组合，产生带有聚集系数c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}},c_{\mathrm{4}}的复合型解，选取适当的参数，描绘复合型解（19）的三维图和相应的等高线图。图2显示参数z和y的降低，钟形孤子沿x轴与t轴呈一定角度移动，并且传播过程中钟形孤子的形状和振幅未发生改变。

2.3 Lump周期解与解的相互作用

假设方程（1）存在余弦函数与双曲余弦函数组合形式

f={\tau }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left({\nu }_{\mathrm{2}}t+x+y+{\nu }_{\mathrm{1}}z\right)+{\tau }_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\nu }_{\mathrm{4}}t+x+y+{\nu }_{\mathrm{3}}z\right)+{\tau }_{\mathrm{3}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left({\nu }_{\mathrm{6}}t+x+y+{\nu }_{\mathrm{5}}z\right)，（20）

其中{\tau }_{\mathrm{1}},{\tau }_{\mathrm{2}},{\tau }_{\mathrm{3}},{\nu }_{\mathrm{1}},{\nu }_{\mathrm{2}},{\nu }_{\mathrm{3}},{\nu }_{\mathrm{4}},{\nu }_{\mathrm{5}},{\nu }_{\mathrm{6}}是待定的常数。

将式（20）代入双线性方程（7），并借助符号计算系统Mathematica软件确定参数之间以下关系：

\begin{array}{l}{\nu }_{\mathrm{2}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{11}}+\mathrm{12}{\beta }_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}}}}{{\gamma }_{\mathrm{3}}{\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}},{\tau }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},{\gamma }_{\mathrm{3}}\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)\ne \mathrm{0},\\ {\nu }_{\mathrm{3}}=\frac{\left(-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}}}}{{\gamma }_{\mathrm{3}}\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)},\\ {\nu }_{\mathrm{4}}=-\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{12}}+\mathrm{2}\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}}}-\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{13}}+\left(-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right)\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}}}}{{\gamma }_{\mathrm{3}}{\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}（21）

将式（21）和（20）代入式（7）， 得到方程（1）如下Lump周期解：

u=\frac{\mathrm{2}\left({\tau }_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{3}}+{\tau }_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}{\phi }_{\mathrm{4}}\right)}{{\tau }_{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{3}}+{\tau }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}{\phi }_{\mathrm{4}}}，（22）

Lump周期解（22）中的常数满足以下关系式：

{\phi }_{\mathrm{3}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{14}}}{{\gamma }^{\mathrm{3}}{\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}},{\phi }_{\mathrm{4}}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{15}}}{{\gamma }^{\mathrm{3}}{\left({\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{2}}}。（23）

式（21）-（23）中的参数({\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}},{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{11}},\dots ,{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{15}})见附录一。

测试函数是余弦函数和两个双曲余弦函数组合，选取适当的参数，描绘了Lump周期解（22）的三维图和相应的等高线图。图3显示参数z和y的增加， 周期孤子沿x轴与t轴呈一定角度移动， 并且传播过程中周期孤子的形状未发生改变。

2.4 孤子解及其相互作用

显然，f=\mathrm{1}是方程（7）的解，将f=\mathrm{1}代入方程（12），得到四个线性偏微分方程

\left\{\begin{array}{l}{g}_t+{\alpha }_{\mathrm{1}}{g}_{xxx}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{g}_y+{\lambda }_{\mathrm{1}}g=\mathrm{0},\\ -\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{g}_{xy}-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{g}_{xz}+{\lambda }_{\mathrm{2}}{g}_x-{\lambda }_{\mathrm{6}}{g}_z+{\lambda }_{\mathrm{3}}g=\mathrm{0},\\ {\omega }_{\mathrm{2}}{g}_x+{\beta }_{\mathrm{1}}{g}_{xxx}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{g}_z-{\lambda }_{\mathrm{6}}{g}_{xx}+{\lambda }_{\mathrm{5}}g=\mathrm{0},\\ {\lambda }_{\mathrm{6}}{g}_{xz}+(\mathrm{3}{\lambda }_{\mathrm{3}}+{\gamma }_{\mathrm{1}})g_x+{\omega }_{\mathrm{1}}{g}_y+{\lambda }_{\mathrm{4}}g=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（24）

假设方程（24）指数形式解为

g=k+{\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}x+m_{\mathrm{2}}y+m_{\mathrm{3}}z+m_{\mathrm{4}}t},（25）

其中k,m_{\mathrm{1}},m_{\mathrm{2}},m_{\mathrm{3}},m_{\mathrm{4}},是待定常数。

将式（25）代入方程（24），并令{\mathrm{e}}^{m_{\mathrm{1}}x+m_{\mathrm{2}}y+m_{\mathrm{3}}z+m_{\mathrm{4}}t}的系数为零，可得到非线性代数方程组（未列出）。用符号计算系统Mathematica软件确定参数之间以下关系。

情形1

\begin{array}{l}{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{3}}={\lambda }_{\mathrm{4}}={\lambda }_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}},{\gamma }_{\mathrm{1}}=-m_{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{6}}-\frac{m_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}},\\ m_{\mathrm{4}}=-\frac{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}},{\beta }_{\mathrm{1}}=-\frac{m_{\mathrm{3}}{\gamma }_{\mathrm{3}}-m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+m_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{。}\end{array}（26）

情形2

\begin{array}{l}{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{3}}={\lambda }_{\mathrm{4}}={\lambda }_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{m}_{\mathrm{2}}},{\omega }_{\mathrm{1}}=-\frac{m_{\mathrm{1}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{6}}\right)}{m_{\mathrm{2}}},\\ m_{\mathrm{4}}=-\frac{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}},{\beta }_{\mathrm{1}}=-\frac{m_{\mathrm{3}}{\gamma }_{\mathrm{3}}-m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+m_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{。}\end{array}（27）

情形3

\begin{array}{l}{\lambda }_{\mathrm{1}}={\lambda }_{\mathrm{3}}={\lambda }_{\mathrm{4}}={\lambda }_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},m_{\mathrm{4}}=-m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\alpha }_{\mathrm{1}}-m_{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}},{\gamma }_{\mathrm{1}}=-m_{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{6}}-\frac{m_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}}{m_{\mathrm{1}}},\\ {\omega }_{\mathrm{2}}=-\frac{m_{\mathrm{3}}{\gamma }_{\mathrm{3}}}{m_{\mathrm{1}}}+\frac{m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}-{\lambda }_{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}}{\mathrm{3}},{\beta }_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{-\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\lambda }_{\mathrm{2}}}{m_{\mathrm{3}}}-\frac{{\lambda }_{\mathrm{6}}}{m_{\mathrm{1}}}\right)\mathrm{。}\end{array}（28）

将式（26）和（25）代入方程组（24），当{\lambda }_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6}\right)满足（26）式时，得到方程（1）如下单孤子解：

u=\mathrm{2}{(\mathrm{l}\mathrm{n}g)}_x=\frac{\mathrm{2}{m}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{x{m}_{\mathrm{1}}+y{m}_{\mathrm{2}}+z{m}_{\mathrm{3}}-\frac{t\left[\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)\right]}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}}}}{k+{\mathrm{e}}^{x{m}_{\mathrm{1}}+y{m}_{\mathrm{2}}+z{m}_{\mathrm{3}}-\frac{t\left[\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{m}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+m_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{1}}{m}_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{m}_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{6}}+\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)\right]}{\mathrm{3}{m}_{\mathrm{2}}}}}。（29）

选取适当的参数，单孤子解（29）的局部特征和能量分布见图4，包括三维图、等高线图和有特定参数选择的二维曲线。图4显示参数t和z的增加，单孤子沿x轴与y轴呈一定角度移动，并且传播过程中单孤子的形状和振幅未发生改变。利用结论（27）和（28）可以得到方程的另外孤子解。

3 结论

基于Hirota双线性方法，研究一个（3+1）维广义非线性发展方程的双线性Bäcklund变换和精确解问题。利用D⁃算子的定义和性质，得到方程（1）的双线性形式和双线性Bäcklund变换。 利用试探函数法求得该方程的呼吸波解、复合型解、Lump周期解和孤子解。并利用三维图和等高线图分析了解的相互作用。对于（3+1）维广义非线性发展方程的呼吸波解、复合型解、Lump周期解和基于双线性Bäcklund变换的 孤子解而言，通过改变方程的系数，不仅包括文献［17，19⁃20］中选取解的形式与参数关系，而且还能得到退化方程的新解。基于Bell多项式方法研究方程的Bäcklund变换、Lax对和无穷守恒律等可积性问题， 基于Hirota双线性方法研究方程多种叠加解等精确解问题。

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}={\alpha }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+{\beta }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\\ {\gamma }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}+\\ {\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}},\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}=\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\\ {p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+\\ \mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}},\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{3}}=-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{6}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{p}_{\mathrm{0}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\\ {\gamma }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\\ \mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{\omega }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}},\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{4}}=\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-p_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{6}{p}_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{1}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\\ p_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+p_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+p_{\mathrm{0}}{\omega }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-p_{\mathrm{0}}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}-\\ p_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}-p_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}},\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{5}}=-\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}t{\nu }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right)+{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\left(t{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}t{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+x+z-t{\omega }_{\mathrm{1}}+y{\varsigma }_{\mathrm{0}}-t{\gamma }_{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}\right)+{\varsigma }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}\left(x+z+y{\varsigma }_{\mathrm{0}}\right)+t{\nu }_{\mathrm{0}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\left({\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{6}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{6}}=\left(t{\gamma }_{\mathrm{2}}-y\right){{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}+{\nu }_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{0}}t\left({\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}-\mathrm{6}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{1}}-{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{1}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)-y{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}{p}_{\mathrm{0}}+t{\nu }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}\left(-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}+{\omega }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}\right)-\left(x+z\right){\nu }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}+-x{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-z{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+t{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{7}}=\mathrm{2}{p}_{\mathrm{0}}{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right)-{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\left(-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}+{\omega }_{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}\right)+{p_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\beta }_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{3}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{6}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}\right)-{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right],\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{8}}=\mathrm{12}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}\left({{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\right){p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{3}}+\mathrm{4}{p_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}\left(-{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{6}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{2}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{4}}\right)+\\ \mathrm{4}{\nu }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{p}_{\mathrm{0}}\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{0}}\right)+\mathrm{4}{\nu }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{{\varsigma }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{{\nu }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right),\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{9}}=-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{2}}{\delta }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}{\gamma }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{8}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}-\mathrm{8}{\beta }_{\mathrm{1}}{\delta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}-{\delta }_{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{10}}=\left({{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}\gamma \mathrm{3}-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}\beta {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{4}\beta {}_{\mathrm{1}}{}^{}{}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{11}}=-{\gamma }_{\mathrm{3}}\left[\mathrm{4}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}+\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{6}{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{2}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right)+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]+\left[\mathrm{24}{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{8}{\alpha }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{1}}\right)+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{8}{\beta }_{\mathrm{1}}-{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}-{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{12}}=\left[\mathrm{4}{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{4}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right)-\mathrm{2}{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{8}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\left[\mathrm{16}{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{8}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right)+\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{16}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{13}}=\left[-\mathrm{8}{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right)+{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{14}}=\left[\mathrm{2}z{\beta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}t{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-x{\gamma }_{\mathrm{3}}-y{\gamma }_{\mathrm{3}}-\mathrm{4}t{\alpha }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}-\mathrm{2}t{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}-{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(z+\mathrm{8}t{\beta }_{\mathrm{1}}-t{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+t{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\left[-\mathrm{4}z{\beta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{16}t{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-x{\gamma }_{\mathrm{3}}-y{\gamma }_{\mathrm{3}}+\mathrm{8}t{\alpha }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}+\mathrm{4}t{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-z+\mathrm{16}t{\beta }_{\mathrm{1}}+t{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+t{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\left[-z+\mathrm{4}t{\beta }_{\mathrm{1}}+t{\omega }_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{16}}}+\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\left[\left(z{\beta }_{\mathrm{1}}+\mathrm{8}t{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+x{\gamma }_{\mathrm{3}}+y{\gamma }_{\mathrm{3}}-\mathrm{2}t{\alpha }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}-t{\gamma }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}-t{\gamma }_{\mathrm{2}}{\gamma }_{\mathrm{3}}-t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}-t{\beta }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(z-t\left(\mathrm{4}{\beta }_{\mathrm{1}}+{\omega }_{\mathrm{2}}\right)\right){\nu }_{\mathrm{1}}-t{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right){\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left(z+\mathrm{2}t{\beta }_{\mathrm{1}}-t{\omega }_{\mathrm{2}}-\mathrm{2}t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right)\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{16}}}\right],\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{15}}=-{\gamma }_{\mathrm{3}}\left[-x-y+\mathrm{4}t{\alpha }_{\mathrm{1}}+t{\gamma }_{\mathrm{1}}+t{\gamma }_{\mathrm{2}}+t{\omega }_{\mathrm{1}}+\left(-z+\mathrm{4}t{\beta }_{\mathrm{1}}+t{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+t{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\\ \mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left[\mathrm{6}t{{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\left(x+y\right){\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{2}{\alpha }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{1}}+{\gamma }_{\mathrm{2}}+{\omega }_{\mathrm{1}}\right)\right]+\mathrm{2}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\left[-{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(z+\mathrm{2}t{\beta }_{\mathrm{1}}-t{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}+t{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]+\\ \left[\mathrm{24}t\beta {}_{\mathrm{1}}{}^{}{}^{\mathrm{2}}+\left(x+y\right){\gamma }_{\mathrm{3}}+t{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(\mathrm{8}{\alpha }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}-{\gamma }_{\mathrm{2}}-{\omega }_{\mathrm{1}}\right)+{\gamma }_{\mathrm{3}}\left(z+\mathrm{8}t{\beta }_{\mathrm{1}}-t{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\nu }_{\mathrm{1}}-t{{\gamma }_{\mathrm{3}}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\right]{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{12}t{\beta }_{\mathrm{1}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\sqrt[]{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{16}}},\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{16}}=\left({{\beta }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}\gamma \mathrm{3}-\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}\beta {\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{4}\beta {}_{\mathrm{1}}{}^{}{}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{\alpha }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}+\mathrm{3}{\beta }_{\mathrm{1}}{\gamma }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}\right){\tau }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{。}\end{array}

参考文献

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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“非线性发展方程的求解与可积性问题研究”(2020LH01008)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“非线性发展方程的贝克隆变换与无穷守恒律问题研究”(2022JBZD011)

内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目“非线性发展方程的可积性与相关问题研究”(CXJJB23009)