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一类三阶上三角关系矩阵的左（右）Weyl性

董淑婷 ,  吴秀峰

内蒙古师范大学学报（自然科学版） ›› 2024, Vol. 53 ›› Issue (02) : 183 -190.

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内蒙古师范大学学报（自然科学版） ›› 2024, Vol. 53 ›› Issue (02) : 183 -190. DOI: 10.3969/j.issn.1001-8735.2024.02.009

一类三阶上三角关系矩阵的左（右）Weyl性

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Left（right） Weyl Properties for a Class of Third Order Upper Triangular Relation Matrices

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摘要

设H1,H2,H3为无穷维复可分Hilbert空间。对给定关系A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),记MD,E,F=ADE0BF00C∈ℬℛ(H1⊕H2⊕H3),给出存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)，使得MD,E,F为左（右）Weyl关系的充分必要条件。

Abstract

Let H1,H2,H3 be infinite-dimensional complex separable Hilbert spaces， for the given relation A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),and write MD,E,F=ADE0BF00C∈ℬℛ(H1⊕H2⊕H3),a necessary and sufficient condition is given for MD,E,F being a left（right） Weyl relation for some D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2) of satisfying D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0).

关键词

关系矩阵 / 左（右）Weyl关系 / 指标

Key words

relation matrix / left （right） Weyl relation / index

引用本文

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董淑婷,吴秀峰. 一类三阶上三角关系矩阵的左（右）Weyl性[J]. 内蒙古师范大学学报（自然科学版）, 2024, 53(02): 183-190 DOI:10.3969/j.issn.1001-8735.2024.02.009

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线性算子谱理论问题是泛函分析中重要内容，诸多学者将其应用到量子力学的研究中，用谱的特点刻画量子计算的表达方式等。由于在谱理论的研究中，Fredholm定理和Weyl定理是反映线性算子谱结构的重要内容，所以研究算子矩阵的Fredholm性和Weyl性对物理学等学科的发展具有重要意义。随着对算子理论的深入研究，发现越来越多的多值算子和非稠定算子。因此，经典的算子理论对其不再适用。为研究此类算子和进一步完善算子理论，线性关系理论的研究成为必然。
算子矩阵的谱理论一直备受国内外学者们的关注，文献［1］研究了在Hilbert空间中二阶上三角算子 矩阵MD=AD0B的（左）右Fredholm性；文献［2］研究了在Hilbert空间中三阶上三角算子矩阵MD,E,F的Weyl型定理。
近年来，学者们开始研究关系矩阵的谱理论［3⁃7］。例如，文献［3⁃4］分别研究了二阶上三角关系矩阵MD的本质谱和Weyl谱的扰动；文献［5］借助空间分解方法刻画了二阶上三角关系矩阵MD本质谱的性质。对于三阶关系矩阵而言，文献［6］给出三阶关系矩阵的六类本质谱与其对角元之间的联系，其中D,E,F均是单值的；文献［7］利用对角元的闭性及Fredholm性给出三阶关系矩阵的闭性及Fredholm性的充要条件。本文给出了存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F为左（右）Weyl关系的充分必要条件。
下面给出如下记号和基本概念。以ℒℛ(Hi,Hj)表示从Hi到Hj的所有线性关系构成的集合，ℒℛ(Hi,Hi)简记为ℒℛ(Hi)。设T∈ℒℛ(H1,H2),分别以kerT={x∈domT:Tx=T(0)},ranT=T(domT),mulT={y∈H2:y∈T(0)}表示T的零空间，值域和多值部分。记n(T)=dimkerT,d(T)=dimranT⊥,β(T)=dim(H2/ranT)。若n(T)和d(T)之一有限，则定义T的指标为ind(T)=n(T)-d(T)。
定义T∈ℒℛ(H1,H2)的图为G(T)={(u,v)∈H1⊕H2:u∈domT,v∈T(u)}。T的闭包T¯和共轭关系T*分别定义为G(T¯)=G(T)¯和G(T*)={(v,v')∈H2⊕H1:对任意(u,u')∈G(T),u',v=u,v'}确定的关系。设N是H1的子空间，定义TN∈ℒℛ(H1,H2)为G(TN)={(u,v)∈H1⊕H2:v∈Tu+N}确定的关系。此外，记T[⊥]=PT(0)⊥T。若它的图G(T)是H1⊕H2的闭子空间，则称T是闭的。以𝒞ℛ(H1,H2)表示所有从H1到H2的闭线性关系构成的集合，记𝒞ℛ(H1)=𝒞ℛ(H1,H1)。若T∈ℒℛ(H1,H2)且||T||<∞,则称T是有界线性关系。记ℬℛ(H1,H2)为所有从H1到H2的有界线性关系之集，ℬ𝒞ℛ(H1,H2)为所有从H1到H2的有界闭线性关系之集。
设T∈ℒℛ(H1,H2),QT为从H2到H2/T(0)¯的商映射，则QTT是单值的，并且对任意的x∈H1，定义||Tx||=||QTTx||，且定义T的范数为||T||=||QTT||。对于T∈ℒℛ(H1,H2),有kerT*=ranT⊥,mulT*=domT⊥,kerT¯=ran(T*)⊥且mulT¯=dom(T*)⊥。若T是稠定的，则T*是闭算子。设T∈𝒞ℛ(H1,H2),则ranT闭当且仅当ranT*是闭的。
设T∈𝒞ℛ(H1,H2)且ranT是闭的。若n(T)<∞,则称T是左Fredholm关系；若d(T)<∞,则称T是右Fredholm关系；若n(T)<∞且d(T)<∞,则称T是Fredholm关系。若T是左Fredholm关系且ind(T)≤0,则称T是左Weyl关系；若T是右Fredholm关系且ind(T)≥0,则称T是右Weyl关系；若T是Fredholm关系且ind(T)=0,则称T是Weyl关系。

1 辅助引理

引理1［8］ 设T∈ℒℛ(H1),则

（i）若T连续，并且domT和T(0)都是闭的，则T是闭的；

（ii）T闭当且仅当QTT闭且T(0)是闭的；

（iii）T*是闭的且||T*||≤||T||。

引理2［8］ 设T∈ℬℛ(H1,H2)。若T(0)是闭的，则kerT是闭的。

引理3 设A∈ℒℛ(H1),B∈ℒℛ(H2),C∈ℒℛ(H3),D∈ℒℛ(H2,H1),E∈ℒℛ(H3,H1),F∈ℒℛ(H3,H2)为给定关系，则

QMD,E,FMD,E,F=QA D EAQA D EDQA D EE0QB FBQB FF00QCC。

证明 根据文献［5］中定理2.7，结论易得。

引理4［3］ 设T∈ℬ𝒞ℛ(H1),则

（i）T是左Fredholm关系当且仅当QTT是左Fredholm关系，且ind(T)=ind(QTT);

（ii）T是右Fredholm关系当且仅当QTT是右Fredholm关系，且ind(T)=ind(QTT)。

引理5［1］ 设A∈ℬ(H1),B∈ℬ(H2),则存在D∈ℬ(H2,H1)使得MD是左Fredholm算子当且仅当A为左Fredholm算子，且

n(B)<∞或者n(B)=d(A)=∞,ranB闭;d(A)=∞,ranB不闭。

引理6［9］ 设T∈ℒℛ(H1),则对任意的x∈domT有||PT(0)⊥Tx||=||Tx||，并且||PT(0)⊥T||=||T||。

引理7［9］ 设T∈ℒℛ(H1),则ranT是闭的当且仅当T(0)¯⊆ranT且ranT⊥是闭的。

引理8［8］ 设T∈ℬ𝒞ℛ(H1),ranT不闭，则存在无穷维闭子空间M⊆ranT¯使得M⋂ranT={0}，且M+ranT=ranT¯。

引理9［10］ 设A∈ℒℛ(H1),B∈ℬ𝒞ℛ(H2),则对任意的D∈ℬℛ(H2,H1)都有ranMD不闭当且仅当ranB不闭且d(A)<∞。

引理10 设A∈ℬ𝒞ℛ(H1),B∈ℬ𝒞ℛ(H2),C∈ℬ𝒞ℛ(H3),D∈ℬ𝒞ℛ(H2,H1),E∈ℬ𝒞ℛ(H3,H1),F∈ℬ𝒞ℛ(H3,H2)为给定关系。若A(0)+D(0)+E(0),B(0)+F(0)都是闭的，则MD,E,F的共轭关系MD,E,F*是单值的，且

MD,E,F*=A*00D*B*0E*F*C*:(A(0)⊥⋂D(0)⊥⋂E(0)⊥)⊕(B(0)⊥⋂F(0)⊥)⊕C(0)⊥→H1⊕H2⊕H3。

证明 根据文献［9］中定理2.12，结论易得。

2 主要结果及证明

定理1 设A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),则存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F是左Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i）A是左Fredholm关系；

（ii）B(0),C(0)是闭的；

（iii）下面（a）―（f）之一成立：

（a）ranB和ranC都闭，n(B)<∞,n(C)<∞且

n(A)+n(B)+n(C)≤d(A)+d(B)+d(C)；

（b）ranB和ranC都闭，n(C)<∞且n(B)=d(A)=∞;

（c）ranB和ranC都闭，n(B)<∞且n(C)=d(B)=∞;

（d）ranC闭，n(C)=d(A)=∞;

（e）ranB闭，ranC不闭，n(B)<∞且d(B)=∞;

（f）ranC不闭，d(A)=∞。

证明 充分性。设条件（i），（ii），（iii）成立。因为A是左Fredholm关系，所以ranA是闭的且n(A)<∞。下面分为六种情形讨论。

情形1：ranB和ranC都闭，n(B)<∞,n(C)<∞且式（1）成立。此时，取D=0,E=0,F=0,由条件（i），（ii）和（iii）可知MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，从而MD,E,F是闭关系。因此，ranMD,E,F=ranA⊕ranB⊕ranC和kerMD,E,F=kerA⊕kerB⊕kerC都是闭的，所以d(MD,E,F)=d(A)+d(B)+d(C)且n(MD,E,F)=n(A)+n(B)+n(C)<∞。进而MD,E,F是左Fredholm关系，结合式（1）可知n(MD,E,F)≤d(MD,E,F),故MD,E,F是左Weyl关系。

情形2：ranB和ranC都闭，n(C)<∞且n(B)=d(A)=∞。此时，取ranA⊥的无穷维闭子空间Ω1,Ω2,使得Ω1⊕Ω2=ranA⊥且dimΩ1=n(B)。令E=0,F=0,定义

D=000D100:kerB⊥⊕kerB→ranA⊕Ω1⊕Ω2,

其中D1:kerB→Ω1为酉算子。易得MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，n(MD,E,F)=n(A)+n(C)<∞,ranMD,E,F=ranA⊕Ω1⊕ranB⊕ranC是闭的且d(MD,E,F)=d(B)+d(C)+dimΩ2=∞。进而MD,E,F是左Fredholm关系，结合n(MD,E,F)<d(MD,E,F)可知MD,E,F是左Weyl关系。

情形3：ranB和ranC都闭，n(B)<∞且n(C)=d(B)=∞。此时，取ranB⊥的无穷维闭子空间Δ1,Δ2,使得Δ1⊕Δ2=ranB⊥且dimΔ1=n(C)。令D=0,E=0,定义

F=000F100:kerC⊥⊕kerC→ranB⊕Δ1⊕Δ2,

其中F1:kerC→Δ1为酉算子。易得MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，n(MD,E,F)=n(A)+n(B)<∞,ranMD,E,F=ranA⊕ranB⊕Δ1⊕ranC是闭的且d(MD,E,F)=d(A)+d(C)+dimΔ2=∞。进而MD,E,F是左Fredholm关系，结合n(MD,E,F)<d(MD,E,F)可知MD,E,F是左Weyl关系。

情形4：ranC闭且n(C)=d(A)=∞。因此，取ranA⊥的闭子空间Ωi(i=1,2,3,4)使得Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕Ω4=ranA⊥,dimΩ1=dimkerB⊥,dimΩ2=n(B)且dimΩ3=dimΩ4=∞。取kerC的闭子空间Mi(i=1,2,3)使得M1⊕M2⊕M3=kerC,dimM1=∞,dimM2=dimranB¯⋂B(0)⊥且dimM3=dimranB⊥。定义

D=00D100D20000:kerB⊥⊕kerB→ranA⊕Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕Ω4,
E=0000000000000E1000000:kerC⊥⊕M1⊕M2⊕M3→ranA⊕Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕Ω4,
F=00F100000000F2:kerC⊥⊕M1⊕M2⊕M3→ranB¯⋂B(0)⊥⊕B(0)⊕ranB⊥,

其中D1:kerB⊥→Ω1,D2:kerB→Ω2,E1:M1→Ω3,F1:M2→ranB¯⋂B(0)⊥,F2:M3→ranB⊥均为酉算子。易得MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，n(MD,E,F)=n(A)<∞,ranMD,E,F=ranA⊕Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕H2⊕ranC是闭的， 且d(MD,E,F)=dimΩ4+d(C)=∞。进而MD,E,F是左Fredholm关系，结合n(MD,E,F)<d(MD,E,F)可知MD,E,F是左Weyl关系。

情形5： ranB闭，ranC不闭，n(B)<∞且d(B)=∞。注意到ranC不闭且C(0)是闭的，由引理7可得ranC⊥不闭，因此dimkerC⊥=∞。取ranB⊥的闭子空间Δ1,Δ2使得Δ1⊕Δ2=ranB⊥,dimΔ1=∞且dimΔ2=n(C)。令D=0,E=0,定义

F=00F100F2:kerC⊥⊕kerC→ranB⊕Δ1⊕Δ2,

其中F1:kerC⊥→Δ1,F2:kerC→Δ2均为酉算子。易得MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，n(MD,E,F)=n(A)+n(B)<∞,ranMD,E,F=ranA⊕H2⊕C(0)是闭的，进而MD,E,F是左Fredholm关系。由于C∈ℬℛ(H3)且C(0)是闭的，根据引理1可知C是闭的，应用引理8可得β(C)=∞。结合β(C)≤β(MD,E,F)有β(MD,E,F)=d(MD,E,F)=∞,故MD,E,F是左Weyl关系。

情形6：ranC不闭且d(A)=∞。同理dimkerC⊥=∞。取ranA⊥的闭子空间Ωi(i=1,2,3,4)使得Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕Ω4=ranA⊥,dimΩ1=dimkerB⊥,dimΩ2=n(B),dimΩ3=∞且dimΩ4=n(C)。令F=0,定义D形如（2），

E=000000E100E2:kerC⊥⊕kerC→ranA⊕Ω1⊕Ω2⊕Ω3⊕Ω4,

其中E1:kerC⊥→Ω3,E2:kerC→Ω4均为酉算子。易得MD,E,F(0)=A(0)⊕B(0)⊕C(0)是闭的，n(MD,E,F)=n(A)<∞,ranMD,E,F=H1⊕B(0)⊕C(0)是闭的，进而MD,E,F是左Fredholm关系。根据情形5可知d(MD,E,F)=∞,故MD,E,F是左Weyl关系。

必要性。设存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F是左Weyl关系。因为MD,E,F的左Weyl性蕴含MD,E,F的闭性，所以B(0)和C(0)都是闭的。应用引理3和引理4可得，从H1⊕H2⊕H3到(H1⊕H2⊕H3)/MD,E,F(0)的左Fredholm算子QMD,E,FMD,E,F可写为如下形式

QMD,E,FMD,E,F=QA D EAQA D EDQA D EE0QB FBQB FF00QCC=QAAQADQAE0QBBQBF00QCC。

根据引理5，QAA是左Fredholm算子，进而由引理4可知A是左Fredholm关系。因此，条件（i），（ii）成立。

接下来证明（iii）成立。用反证法，假设断言（a）-（f）均不成立。下面分为六种情形讨论。

情形1： ranB和ranC都闭，d(A)+d(B)<n(C)=∞且n(B)<∞。因为A是左Fredholm关系，所以ranA是闭的。MD,E,F作为从H1⊕kerB⊥⊕kerB⊕kerC⊥⊕kerC到ranA⊕ranA⊥⊕H2⊕H3的关系可写为如下矩阵形式

MD,E,F=A1D1D2E1E20D3D4E3E40B1B-BF1F2000C1C-C。

此时，对任意x1∈kerD4,x2∈kerE4都有D2x1⊆ranA，E2x2⊆ranA，则存在x0∈H1使得(A1x0+D2x1)⋂E2x2≠∅,即0∈A1x0+D2x1-E2x2,故(x0  0  x1  0  -x2)T∈kerMD,E,F。由n(E4)=∞可知n(MD,E,F)=∞,这与MD,E,F的左Fredholm性矛盾。

情形2： ranB和ranC都闭且d(A)<n(B)=∞。同理可知ranA是闭的。根据引理5和QMD,E,FMD,E,F的左Fredholm性可知QMDMD=QAAQAD0QBB是左Fredholm算子，进而由引理4推出MD是左Fredholm关系。则MD作为从H1⊕kerB⊥⊕kerB到ranA⊕ranA⊥⊕H2的关系可写为如下矩阵形式

MD=A1D1D20D3D40B1B-B。

此时，对任意x1∈kerD4有D2x1⊆ranA,则存在x0∈H1使得A1x0⋂D2x1≠∅,即0∈A1x0-D2x1,因此(x0    0    -x1)T∈kerMD。由于n(D4)=∞,所以n(MD)=∞,这与MD的左Fredholm性矛盾。

情形3：ranB和ranC都闭，n(B)<∞,n(C)<∞且d(A)+d(B)+d(C)<n(A)+n(B)+n(C)。易知A，B和C均为左Fredholm关系，ranMD,E,F=ranA⊕ranB⊕ranC和kerMD,E,F=kerA⊕kerB⊕kerC都是闭的，d(MD,E,F)=d(A)+d(B)+d(C)且n(MD,E,F)=n(A)+n(B)+n(C)<∞。根据MD,E,F的左Weyl性可知ind(MD,E,F)≤0,所以n(A)+n(B)+n(C)≤d(A)+d(B)+d(C),矛盾。

情形4：ranB闭，ranC不闭且d(A)<n(B)=∞。根据情形2的证明可知与MD的左Fredholm性矛盾。

情形5： ranB闭，ranC不闭，d(A)<∞且d(B)<∞。观察到C∈ℬℛ(H3)且C(0)闭，由引理1可知C∈ℬ𝒞ℛ(H3)，定义

MF=BF0C:H2⊕H3→H2⊕H3。

由d(B)<∞,ranC不闭及引理9可知，对任意F∈ℬℛ(H3,H2)都有ranMF不闭。因为B(0)和C(0)都是闭的，所以MF(0)是闭的，进而MF为闭关系。根据d(A)<∞及引理9可知，对任意D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1)都有ranMD,E,F不闭，这与MD,E,F的左Fredholm性矛盾。

情形6： ranB不闭且d(A)<∞。注意到B∈ℬℛ(H2)且B(0)闭，所以B∈ℬ𝒞ℛ(H2)。由于ranB不闭且d(A)<∞,应用引理9可得对任意D∈ℬℛ(H2,H1)都有ranMD不闭，这与MD的左Fredholm性矛盾。

推论1 设A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),则存在D∈ℬ(H2,H1),E∈ℬ(H3,H1),F∈ℬ(H3,H2)使得MD,E,F是左Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i）A是左Fredholm关系；

（ii）B(0),C(0)是闭的；

（iii）下面（a）―（f）之一成立：

（a）ranB和ranC都闭，n(B)<∞,n(C)<∞且

n(A)+n(B)+n(C)≤d(A)+d(B)+d(C);

（b）ranB和ranC都闭，n(C)<∞且n(B)=d(A)=∞;

（c）ranB和ranC都闭，n(B)<∞且n(C)=d(B)=∞;

（d）ranC闭，n(C)=d(A)=∞;

（e）ranB闭，ranC不闭，n(B)<∞且d(B)=∞;

（f）ranC不闭，d(A)=∞。

证明 注意到D∈ℬ(H2,H1),E∈ℬ(H3,H1),F∈ℬ(H3,H2)时，D(0)=0,E(0)=0,F(0)=0。因此，D(0) ⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0),所以由定理1可直接推出推论1。

定理2 设A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),则存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F是右Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i）C是右Fredholm关系；

（ii）A(0)，B(0)是闭的；

（iii）下面（a）―（f）之一成立：

（a）ranA和ranB都闭，d(A)<∞,d(B)<∞且

d(A)+d(B)+d(C)≤n(A)+n(B)+n(C);

（b）ranA和ranB都闭，d(B)<∞且n(B)=d(A)=∞;

（c）ranA和ranB都闭，d(A)<∞且n(C)=d(B)=∞;

（d）ranA闭，n(C)=d(A)=∞;

（e）ranA不闭，ranB闭，d(B)<∞且n(B)=∞;

（f）ranA不闭，n(C)=∞。

证明 充分性。设条件（i），（ii），（iii）成立。因为C是右Fredholm关系，所以C是闭关系，ranC是闭的且d(C)<∞。进而ranC*是闭的且n(C*)<∞,根据引理1可知，C*是闭的，故C*是左Fredholm算子。下面分成六种情形讨论。

情形1：ranA和ranB都闭，d(A)<∞,d(B)<∞且式（3）成立。因为D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0),所以应用条件（i），（ii）及引理1可得A,B,MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*和ranB*都闭，n(A*)<∞,n(B*)<∞且n(A*)+n(B*)+n(C*)≤d(A*)+d(B*)+d(C*)。根据引理1可知MD,E,F*是闭的，结合定理1及引理10可得从A(0)⊥⊕B(0)⊥⊕C(0)⊥到H1⊕H2⊕H3的MD,E,F*为左Weyl算子，所以ranMD,E,F*是闭的，n(MD,E,F*)<∞,ind(MD,E,F*)≤0。进而ranMD,E,F是闭的，d(MD,E,F)<∞,ind(MD,E,F)≥0,故存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F为右Weyl关系。

情形2：ranA和ranB都闭，d(B)<∞且n(B)=d(A)=∞。同理A,B和MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*和ranB*都闭，n(B*)<∞且d(B*)=n(A*)=∞。证明方法类似于情形1可得存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F 为右Weyl关系。

情形3：ranA和ranB都闭，d(A)<∞且n(C)=d(B)=∞。同理A,B和MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*和ranB*都闭，n(A*)<∞且d(C*)=n(B*)=∞。证明方法类似于情形1可得存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F为 右Weyl关系。

情形4：ranA闭且n(C)=d(A)=∞。同理A,B和MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*闭且d(C*)=n(A*)=∞。证明方法类似于情形1可得存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)使得MD,E,F为右Weyl关系。

情形5：ranA不闭，ranB闭，d(B)<∞且n(B)=∞。同理A,B和MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*不闭，ranB*闭，n(B*)<∞且d(B*)=∞。证明方法类似于情形1，可得存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)，使得MD,E,F为右Weyl关系。

情形6：ranA不闭且n(C)=∞。同理A,B和MD,E,F都是闭关系。因此，ranA*不闭且d(C*)=∞。证明方法类似于情形1，可得存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)，使得MD,E,F为右Weyl关系。

必要性。设存在满足D(0)⊆A(0),E(0)⊆A(0),F(0)⊆B(0)的D∈ℬℛ(H2,H1),E∈ℬℛ(H3,H1),F∈ℬℛ(H3,H2)，使得MD,E,F是右Weyl关系。因为MD,E,F的右Weyl性蕴含MD,E,F的闭性，所以A(0),B(0)和C(0)都是闭的，根据引理1可得A,B和C都是闭关系。由MD,E,F是右Weyl关系可知ranMD,E,F是闭的，d(MD,E,F)<∞,ind(MD,E,F)≥0。因此，ranMD,E,F*是闭的，n(MD,E,F*)<∞,ind(MD,E,F*)≤0,根据引理1可知MD,E,F*是闭的，故MD,E,F*为左Weyl算子。应用定理1中的（i）可知C*是左Fredholm算子，所以ranC*是闭的且n(C*)<∞。进而ranC是闭的且d(C)<∞,故C是右Fredholm关系，条件（i）成立。由定理1中的（iii）可得ranA*和ranB*都闭，n(A*)<∞,n(B*)<∞且n(A*)+n(B*)+n(C*)≤d(A*)+d(B*)+d(C*)或者ranA*和ranB*都闭，n(B*)<∞且d(B*)=n(A*)=∞或者ranA*和ranB*都闭，n(A*)<∞且d(C*)=n(B*)=∞或者ranA*闭且d(C*)=n(A*)=∞或者ranA*不闭，ranB*闭，n(B*)<∞且d(B*)=∞或者ranA*不闭且d(C*)=∞,进而可知条件（iii）中（a）―（f）均成立。

推论2 设A∈ℬℛ(H1),B∈ℬℛ(H2),C∈ℬℛ(H3),则存在D∈ℬ(H2,H1),E∈ℬ(H3,H1),F∈ℬ(H3,H2)，使得MD,E,F是右Weyl关系当且仅当下列条件成立：

（i）C是右Fredholm关系；

（ii）A(0)，B(0)是闭的；

（iii）下面（a）―（f）之一成立：

（a）ranA和ranB都闭，d(A)<∞，d(B)<∞且

d(A)+d(B)+d(C)≤n(A)+n(B)+n(C);

（b）ranA和ranB都闭，d(B)<∞且n(B)=d(A)=∞;

（c）ranA和ranB都闭，d(A)<∞且n(C)=d(B)=∞;

（d）ranA闭，n(C)=d(A)=∞;

（e）ranA不闭，ranB闭，d(B)<∞且n(B)=∞;

（f）ranA不闭，n(C)=∞。

证明 由定理2证明可得结论成立。

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用
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基金资助

内蒙古自治区自然科学基金资助项目“Hamilton算子矩阵谱的Fredholm扰动”(2022LHMS01003)

内蒙古自治区高等学校青年科技英才项目(NJYT22029)

内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“Hamilton算子矩阵谱的半Fredholm扰动”(2022JBBJ009)

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