（3+1）维Jimbo-Miwa方程的分离变量解与相互作用

The Variables Separation Solutions and Their Interaction of the （3+1） Dimensional Jimbo-Miwa Equation

摘要

构造（3+1）维Jimbo-Miwa（J-M）方程由任意函数组成的分离变量解，并分析解的相互作用。通过 一种函数变换，将（3+1）维Jimbo-Miwa（J-M）方程的求解问题转化为常微分方程和非线性代数方程组的求解问题。借助符号计算系统Mathematica求出非线性代数方程组的解。用常微分方程的解与非线性代数方程组的解，构造（3+1）维Jimbo-Miwa（J-M）方程由任意函数组成的分离变量解。根据函数的任意性，通过图像分析了解其 相互作用。

Abstract

The variables separation solutions composed of arbitrary function of the (3+1) dimensional Jimbo Miwa (J⁃M) equation are constructed and the interaction of solutions is analyzed in the paper. To solve the (3+1) dimensional Jimbo Miwa (J⁃M) equation, the solutions to the (3+1) dimensional are firstly transformed into the solutions to ordinary differential equations and nonlinear algebraic equation systems through a kind of function transformation, and then the solutions of nonlinear algebraic equations are solved by using the symbolic computing system Mathematica. The solutions of the (3+1) dimensional Jimbo Miwa (J⁃M) equation are constructed from solutions of ordinary differential equations and nonlinear algebraic equations, which are separated variable solutions composed of arbitrary function. The interaction of the solutions is analyzed through image analysis technique according to the arbitrariness of the function.

Graphical abstract

关键词

函数变换 / （3+1）维Jimbo-Miwa方程 / 分离变量解 / 相互作用

Key words

function transformation / （3+1） dimensional Jimbo-Miwa equation / variables separation solutions / interaction

孤立子理论主要研究非线性发展方程的以下几个问题：（1）建立比较准确的数学模型；（2）给出具有普遍意义的求解方法；（3）分析研究解的代数几何性质。多年来，该理论给出达布变换法、Painlevé分析法、 广田双线性方法、双曲正切函数展开法和辅助方程法等 ^［1⁃16］，并获得多种新解。如文献［4］用Painlevé分析法，构造（3+1）维Jimbo-Miwa方程的N孤子解。

u_{xxxy}+\mathrm{3}{u}_{xy}{u}_x+\mathrm{3}{u}_y{u}_{xx}+\mathrm{2}{u}_{yt}-\mathrm{3}{u}_{xz}=\mathrm{0}\mathrm{。}（1）

文献［7］用Riccati-Bernoulli辅助常微分方程法，构造Davey-Stewartson方程的精确解。文献［13］ 用辅助方程法，构造具有色散系数的（2+1）维非线性SchrÖdinger方程的精确解。文献［14］用三角函数型辅助方程，构造sine-Gordon型方程的精确解。

本文基于辅助方程法^{［5⁃7，12⁃16］}，研究一般的（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的求解问题，并获得了几种 新结论。

u_{xxxy}+\alpha u_{xy}{u}_x+\beta u_y{u}_{xx}+\gamma u_{yt}+\delta u_{xz}=\mathrm{0},（2）

其中\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta均为常数。当\alpha =\mathrm{3},\beta =\mathrm{3},\gamma =\mathrm{2},\delta =-\mathrm{3}时， （3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）转化为（3+1）维Jimbo-Miwa方程（1）。

本文给出一种函数变换，借助符号计算系统Mathematica，将（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的求解问题转化为常微分方程的求解问题。通过计算获得了方程（2），由一个任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)与Jacobi 椭圆函数、Riemann \theta 函数、双曲函数、三角函数等函数组合的无穷序列复合型解。根据f_{\mathrm{0}}(z,t)的任意性，分析了几种解的相互作用问题。

1 函数变换与分离变量解

1.1 函数变换

假设（3+1）维Jimbo-Miwa方程的解为

u(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta ),（3）

这里P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{1}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right),Q(\eta )=Q\left({\mu }_{\mathrm{1}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right) 是其变量的待定函数；f_{\mathrm{0}}(z,t)是\{z,t\}为变量的任意函数；f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3}),{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})是互不相等的待定常数。

将式（3）代入（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2），并令P^{\text{'}}(\xi )H^{″}(\zeta ),Q^{\text{'}}(\eta )H^{″}(\zeta ),H^{\text{'}}(\zeta )P^{″}(\xi ),Q^{\text{'}}(\eta )P^{″}(\xi ),H^{\text{'}}(\zeta )Q^{″}(\eta ),P^{\text{'}}(\xi )Q^{″}(\eta )的系数为零，可得一个非线性代数方程组（未列出）。用符号计算系统Mathematica求出该方程组的如下解

{\lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}},{\mu }_{\mathrm{1}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}},\alpha =-\beta，（4）

{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\mu }_{\mathrm{1}}=\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{0}}},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\alpha =-\beta，（5）

{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\mu }_{\mathrm{1}}=-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\alpha =\beta，（6）

{\mu }_{\mathrm{2}}=-\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}},\alpha =\beta ,f_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，（7）

{\mu }_{\mathrm{2}}=\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}},\alpha =-\beta ,f_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}，（8）

{\mu }_{\mathrm{1}}=-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{0}}},f_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},\alpha =\mathrm{3},\beta =\mathrm{3},\gamma =\mathrm{2},\delta =-\mathrm{3},（9）

{\lambda }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},{\mu }_{\mathrm{1}}=-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{0}}},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},\alpha =\mathrm{3},\beta =\mathrm{3},\gamma =\mathrm{2},\delta =-\mathrm{3}\mathrm{。}（10）

1.2 分离变量解

利用已得到的解（4）—（10），获得了以下几种结论。

结论1 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（4）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{1}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta ),（11）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left(\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right),Q(\eta )=Q\left(\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right)，H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)满足下列常微分方程

\frac{f_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{P}^{(\mathrm{4})}(\xi )+\left(\frac{f_{\mathrm{1}}\delta {\lambda }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}+f_{\mathrm{1}}\gamma {\lambda }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}\right)P^{″}(\xi )=\mathrm{0},（12）

\frac{f_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}{Q}^{(\mathrm{4})}(\eta )+\left(\frac{f_{\mathrm{2}}\delta {\mu }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}+f_{\mathrm{2}}\gamma {\mu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)Q^{″}(\eta )=\mathrm{0},（13）

f_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{2}}{H}^{(\mathrm{4})}(\zeta )+\left(f_{\mathrm{3}}\delta {\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}+f_{\mathrm{3}}\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}}\right)H^{″}(\zeta )=\mathrm{0}\mathrm{。}（14）

结论2 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（5）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{2}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta ),（15）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right)为其变量的任意函数。Q(\eta )=Q\left(\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)满足常微分方程（13）和（14）。

结论3 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数 f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（6）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{3}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta ),（16）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right)为其变量的任意函数。Q(\eta )=Q\left(-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)满足下列第三种椭圆方程

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{\left(Z^{\text{'}}(\eta )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{1}}{Z}^{\mathrm{2}}(\eta )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{1}}{Z}^{\mathrm{3}}(\eta )-m_{\mathrm{0}}Z(\eta )-m_{\mathrm{1}}=\mathrm{0},\\ Q^{\text{'}}(\eta )=\frac{\mathrm{d}Q(\eta )}{\mathrm{d}\eta }=Z^{\text{'}}(\eta ),A_{\mathrm{1}}=-\frac{f_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}},B_{\mathrm{1}}=-\frac{f_{\mathrm{2}}\delta {\mu }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}+f_{\mathrm{2}}\gamma {\mu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}},C_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}{f}_{\mathrm{2}}\beta {\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（17）

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{2}}{\left(Y^{\text{'}}(\zeta )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{2}}{Y}^{\mathrm{2}}(\zeta )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{2}}{Y}^{\mathrm{3}}(\zeta )-m_{\mathrm{2}}Y(\zeta )-m_{\mathrm{3}}=\mathrm{0},\\ H^{\text{'}}(\zeta )=\frac{\mathrm{d}H(\zeta )}{\mathrm{d}\zeta }=Y^{\text{'}}(\zeta ),A_{\mathrm{2}}=f_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{2}},B_{\mathrm{2}}=f_{\mathrm{3}}\delta {\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}+f_{\mathrm{3}}\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}},C_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}\beta {\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}\right.（18）

这里m_k(k=\mathrm{0,1},\mathrm{2,3})为积分常数。

结论4 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（7）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{4}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta ),（19）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{1}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right),Q(\eta )=Q\left({\mu }_{\mathrm{1}}x-\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right)满足如下第三种椭圆方程

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{3}}{\left(X^{\text{'}}(\xi )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{3}}{X}^{\mathrm{2}}(\xi )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{3}}{X}^{\mathrm{3}}(\xi )-m_{\mathrm{4}}X(\xi )-m_{\mathrm{5}}=\mathrm{0},\\ P^{\text{'}}(\xi )=\frac{\mathrm{d}P(\xi )}{\mathrm{d}\xi }=X^{\text{'}}(\xi ),A_{\mathrm{3}}=f_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}},B_{\mathrm{3}}=f_{\mathrm{1}}\delta {\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}+f_{\mathrm{1}}\gamma {\lambda }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}},C_{\mathrm{3}}=\mathrm{2}{f}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\beta {\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}\right.（20）

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{4}}{\left(S^{\text{'}}(\eta )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{4}}{S}^{\mathrm{2}}(\eta )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{4}}{S}^{\mathrm{3}}(\eta )-m_{\mathrm{6}}S(\eta )-m_{\mathrm{7}}=\mathrm{0},\\ Q^{\text{'}}(\eta )=\frac{\mathrm{d}Q(\eta )}{\mathrm{d}\eta }=S^{\text{'}}(\eta ),A_{\mathrm{4}}=-\frac{f_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}},B_{\mathrm{4}}=-\frac{f_{\mathrm{2}}\gamma {\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}+f_{\mathrm{2}}\delta {\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{3}},C_{\mathrm{4}}=-\frac{\mathrm{2}{f}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\beta {\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（21）

这里m_k(k=\mathrm{4,5},\mathrm{6,7})为积分常数。

结论5 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（8）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{5}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta ),（22）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{1}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right),Q(\eta )=Q\left({\mu }_{\mathrm{1}}x+\frac{{\mu }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right)满足如下常微分方程

f_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{P}^{(\mathrm{4})}(\xi )+\left(f_{\mathrm{1}}\delta {\lambda }_{\mathrm{1}}{\lambda }_{\mathrm{3}}+f_{\mathrm{1}}\gamma {\lambda }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{1}}\right)P^{″}(\xi )=\mathrm{0},（23）

\frac{f_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}{Q}^{(\mathrm{4})}(\eta )+\left(\frac{f_{\mathrm{2}}\gamma {\lambda }_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{1}}{\omega }_{\mathrm{2}}}{{\lambda }_{\mathrm{1}}}+f_{\mathrm{2}}\delta {\mu }_{\mathrm{1}}{\mu }_{\mathrm{3}}\right)Q^{″}(\eta )=\mathrm{0}\mathrm{。}（24）

结论6 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（9）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{6}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta )，（25）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；Q(\eta )=Q\left(-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)满足如下第三种椭圆方程

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{5}}{\left(R^{\text{'}}(\eta )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{5}}{R}^{\mathrm{2}}(\eta )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{5}}{R}^{\mathrm{3}}(\eta )-m_{\mathrm{8}}R(\eta )-m_{\mathrm{9}}=\mathrm{0},\\ Q^{\text{'}}(\eta )=\frac{\mathrm{d}Q(\eta )}{\mathrm{d}\eta }=R^{\text{'}}(\eta ),A_{\mathrm{5}}=-\frac{f_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}},B_{\mathrm{5}}=\frac{f_{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}{\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right)}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}},C_{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{6}{f}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}\right.（26）

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{6}}{\left(L^{\text{'}}(\zeta )\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{B}_{\mathrm{6}}{L}^{\mathrm{2}}(\zeta )+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{C}_{\mathrm{6}}{L}^{\mathrm{3}}(\zeta )-m_{\mathrm{10}}L(\zeta )-m_{\mathrm{11}}=\mathrm{0},\\ H^{\text{'}}(\zeta )=\frac{\mathrm{d}H(\zeta )}{\mathrm{d}\zeta }=L^{\text{'}}(\zeta ),A_{\mathrm{6}}={\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{f}_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{2}},B_{\mathrm{6}}=f_{\mathrm{3}}\left(-\mathrm{3}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}}\right),C_{\mathrm{6}}=\mathrm{6}{f}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{2}}\mathrm{。}\end{array}\right.（27）

这里m_k(k=\mathrm{8,9},\mathrm{10,11})为积分常数。

结论7 当（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的系数与常数f_j(j=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\lambda }_i,{\mu }_i,{\nu }_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3});{\omega }_l(l=\mathrm{1,2},\mathrm{3})满足关系式（10）时，（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）存在如下分离变量解

u_{\mathrm{7}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}P(\xi )+f_{\mathrm{2}}Q(\eta )+f_{\mathrm{3}}H(\zeta ),（28）

这里f_{\mathrm{0}}(z,t)是(z,t)为变量的任意函数；P(\xi )=P\left({\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right)为其变量的任意函数。Q(\eta )=

Q\left(-\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H(\zeta )=H\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)满足第三种椭圆方程（26）和（27）。

1.3 精确解与相互作用

1.3.1 指数函数、三角函数、多项式函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的复合型解

通过结论1、2和5可构造此类精确解。下面以结论1为实例，构造复合型解，并分析解的相互作用情况（其余情形未讨论）。经计算获得常微分方程（12）、（13）和（14）的如下解

（29）

\left\{\begin{array}{l}{P}_{\mathrm{2}}(\xi )=c_{\mathrm{4}}+c_{\mathrm{5}}\xi +c_{\mathrm{6}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(r_{\mathrm{1}}\xi \right)+c_{\mathrm{7}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(r_{\mathrm{2}}\xi \right),\\ r_{\mathrm{1,2}}=\mp \frac{\sqrt[]{-\delta {\lambda }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}}}{\sqrt[]{{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}},\hspace{1em}\left(\delta {\lambda }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}\right){\lambda }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（30）

P_{\mathrm{3}}(\xi )=c_{\mathrm{8}}+c_{\mathrm{9}}\xi +c_{\mathrm{10}}{\xi }^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{11}}{\xi }^{\mathrm{3}},\delta {\lambda }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{0}\mathrm{。}（31）

（32）

\left\{\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{2}}(\eta )=c_{\mathrm{15}}+c_{\mathrm{16}}\eta +c_{\mathrm{17}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(r_{\mathrm{3}}\eta \right)+c_{\mathrm{18}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(r_{\mathrm{4}}\eta \right),\\ r_{\mathrm{3,4}}=\mp \frac{\sqrt[]{-\delta {\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{2}}}}{\sqrt[]{{\mu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}},\hspace{1em}\left(\delta {\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{2}}\right){\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（33）

Q_{\mathrm{3}}(\eta )=c_{\mathrm{19}}+c_{\mathrm{20}}\eta +c_{\mathrm{21}}{\eta }^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{22}}{\eta }^{\mathrm{3}},\hspace{1em}\delta {\mu }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}\mathrm{。}（34）

（35）

\left\{\begin{array}{l}{H}_{\mathrm{2}}(\zeta )=c_{\mathrm{27}}+c_{\mathrm{28}}\zeta +c_{\mathrm{29}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(r_{\mathrm{5}}\zeta \right)+c_{\mathrm{30}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(r_{\mathrm{6}}\zeta \right),\\ r_{\mathrm{5,6}}=\mp \frac{\sqrt[]{-\delta {\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}-\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}}}}{\sqrt[]{{\nu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}},\hspace{1em}\left(\delta {\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}}\right){\nu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.（36）

H_{\mathrm{3}}(\zeta )=c_{\mathrm{31}}+c_{\mathrm{32}}\zeta +c_{\mathrm{33}}{\zeta }^{\mathrm{2}}+c_{\mathrm{34}}{\zeta }^{\mathrm{3}},\delta {\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{3}}+\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}{\omega }_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}\mathrm{。}（37）

这里P_q(\xi )=P_q\left(\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t\right),Q_q(\eta )=Q_q\left(\frac{{\mu }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\mu }_{\mathrm{2}}y+{\mu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{2}}t\right),H_q(\zeta )=H_q\left({\nu }_{\mathrm{1}}x+{\nu }_{\mathrm{2}}y+{\nu }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{3}}t\right)(q=\mathrm{1,2},\mathrm{3});c_l(l=\mathrm{0,1},\mathrm{2},\cdots ,\mathrm{33,34})为任意常数。

将P_q(\xi ),Q_q(\eta ),H_q(\zeta )(q=\mathrm{1,2},\mathrm{3})三三组合，代入式（11）后可得到由指数函数、三角函数、多项式函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的复合型解。如当f_{\mathrm{2}}=\mathrm{0},f_{\mathrm{3}}=\mathrm{0}时，将式（29）代入式（11），可得到如下解

u_{\mathrm{11}}(x,y,z,t)=f_{\mathrm{0}}(z,t)+f_{\mathrm{1}}\left[c_{\mathrm{0}}+c_{\mathrm{1}}\xi +c_{\mathrm{2}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(r_{\mathrm{1}}\xi \right)+c_{\mathrm{3}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(r_{\mathrm{2}}\xi \right)\right],（38）

这里r_{\mathrm{1,2}}=\mp \frac{\sqrt[]{-\delta {\lambda }_{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}{\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-\gamma {\nu }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\omega }_{\mathrm{1}}}}{\sqrt[]{{\lambda }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}{\nu }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}},\xi =\frac{{\lambda }_{\mathrm{2}}{\nu }_{\mathrm{1}}}{{\nu }_{\mathrm{2}}}x+{\lambda }_{\mathrm{2}}y+{\lambda }_{\mathrm{3}}z+{\omega }_{\mathrm{1}}t,。

1.3.2 分析解的相互作用

当f_{\mathrm{1}}=\mathrm{1},x=\mathrm{2},y=\mathrm{2},\delta =\mathrm{2},\gamma =-\mathrm{2},{\lambda }_{\mathrm{2}}=\mathrm{7},{\lambda }_{\mathrm{3}}=\mathrm{3},{\nu }_{\mathrm{1}}=\mathrm{3},{\nu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{2},{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{5},c_{\mathrm{0}}=-\mathrm{2},c_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},c_{\mathrm{2}}=\mathrm{3},c_{\mathrm{3}}=-\mathrm{2}时，根据f_{\mathrm{0}}(z,t)的任意性，分析解（38）的相互作用情况。

情形1 若解（38）中取f_{\mathrm{0}}(z,t)=f_{\mathrm{01}}^{\mp }(z,t)=\mp \frac{\mathrm{4}\left(z^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{z}^{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{60}{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{72}{t}^{\mathrm{2}}-\mathrm{63}}{{\left(\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}},则复合型解（38）的相互作用情况见图1。

情形2 若解（38）中取f_{\mathrm{0}}(z,t)=f_{\mathrm{02}}^{\mp }(z,t)=\mp \frac{{\left(\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(z^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{z}^{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{60}{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{72}{t}^{\mathrm{2}}-\mathrm{63}},则复合型解（38）相互作用情况见图2。

情形3 若解（38）中取

f_{\mathrm{0}}(z,t)=f_{\mathrm{03}}^{\mp }(z,t)=\mp \frac{\mathrm{4}\left(z^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{z}^{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{60}{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{72}{t}^{\mathrm{2}}-\mathrm{63}}{{\left(\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}}-\frac{{\left(\mathrm{2}{z}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\left(z^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{z}^{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{60}{z}^{\mathrm{2}}-\mathrm{72}{t}^{\mathrm{2}}-\mathrm{63}},

则复合型解（38）相互作用情况见图3。

情形4 若情形3的图（e）中取z=\mathrm{1}，图（f）中取t=\mathrm{0}，则复合型解的相互作用的效果见图4。

以上通过解（38）中取几种不同的函数f_{\mathrm{0}}(z,t),获得了由指数函数、多项式函数和函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的复合型解。通过符号计算系统Maple分析了解其相互作用情况（见图1―4）。根据函数f_{\mathrm{0}}(z,t)的任意性，可获得更丰富性质的解。

1.3.3 构造由Jacobi椭圆函数、Riemann \theta函数、双曲函数、三角函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的无穷序列复合型解

根据文献［5⁃6］给出的相关结论，可获得第三种椭圆方程（17）、（18）、（20）、（21）、（26）和（27）的两个结论：（1） 获得Jacobi 椭圆函数、Riemann \theta 函数、双曲函数和三角函数解，这里包括光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解；（2） 获得解的非线性叠加公式。

基于结论3、4、6和7，利用第三种椭圆方程解的非线性叠加公式，可构造（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2），由Jacobi 椭圆函数、Riemann \theta 函数、双曲函数、三角函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的无穷序列复合型解（限于篇幅未讨论）。

2 结论

本文通过函数变换与辅助方程相结合的方法，借助符号计算系统，给出了（3+1）维Jimbo-Miwa方程（2）的几种结论（1—7）。利用这些结论，构造了由指数函数、三角函数、多项式函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)组合的复合型解。

本文研究的方程（2）包含方程（1）。因此，可构造（3+1）维Jimbo-Miwa方程（1）的Jacobi 椭圆函数、Riemann \theta 函数、双曲函数、三角函数、多项式函数和任意函数f_{\mathrm{0}}(z,t)，通过几种形式组合的无穷序列复合型解。文献［4］用Painlevé分析法，构造（3+1）维Jimbo-Miwa方程（1）的Bȁcklund变换，获得了由指数函数组合的N孤子解，未能获得本文给出的多种函数组合的复合型解。

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基金资助

国家自然科学基金资助项目“在周期背景上的怪波及其相关问题研究”(12361052)

内蒙古自治区青年科技发展资助项目“应用数学”(NMGIRT2414)

内蒙古师范大学基本科研业务费资助项目“支持一流科技领军人才和创新团队建设”(2022JBZD011)

“应用数学创新团队建设项目”(2022JBTD007)